Pertti Koivisto. Analyysi C

Pertti Koivisto Anlyysi C TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 68/28 TAMPERE 28

TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 68/28 JOULUKUU 28 Pertti Koivisto Anlyysi C ISBN 978-952-3-93-2 (pdf) ISSN-L 799-858 ISSN 799-858

Anlyysi C Epäoleellinen integrli j srjt Pertti Koivisto Joulukuu 28

Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi C. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist, hrjoitustehtävien rtkisemist j tenttiin vlmistutumist. Moniste sisältää melko kttvsti kurssill käsiteltävät sit, mutt pikoitellen lisäselitykset j mhdollinen lisämterili helpottnevt tekstin seurmist j esitettyjen sioiden ymmärtämistä. Moniste ei vrsinisesti ole trkoitettu kttvksi itseopiskelupketiksi. Monisteen rkenne j sisältö pohjutuvt suurelt osin jo edesmenneen Seppo Vepsäläisen ikoinn Tmpereen yliopistoss pitämiin luentoihin. Sisältöä on jonkin verrn muokttu kevyempään suuntn j myös rkenteess on tehty muutoksi. Kurssin menestyksellinen seurminen edellyttää Tmpereen yliopiston opintojksoill Anlyysi A j Anlyysi B (j niiden esitietoin olevill opintojksoill) esitettyjen sioiden hyvää hllint. Jos kurssill trvittvt esitiedot ovt päässeet unohtumn ti niiden hllinnss on muust syystä puutteit, myös esitietojen kertmiseen pitää vrt riittävästi ik (kurssin Anlyysi C seurmisen ohess). Kosk moniste on suor jtko kurssien Anlyysi A j B vstville monisteille, mtemtiikn opiskelun luonnett koskevien huomutusten oslt näissä lkusnoiss tyydytään viittmn kurssin Anlyysi A monisteen lkusnoihin. Lopuksi esitän kiitokset kikille, jotk ovt kommenteilln, ehdotuksilln j neuvoilln uttneet minu tämän monisteen teoss. Pertti Koivisto

Sisältö Esitietoj 2 Epäoleellinen integrli 2 2. Integrlin suppeneminen....................... 2 2.2 Ei-negtiivisen funktion integrlin suppeneminen.......... 3 2.3 Itseinen suppeneminen......................... 22 2.4 Integrointi yli äärettömän välin.................... 25 3 Srjteorin lkeit 48 3. Määritelmiä............................... 48 3.2 Perustuloksi.............................. 57 3.3 Positiiviterminen srj......................... 64 3.4 Vuorottelev srj............................ 78 3.5 Itseinen suppeneminen......................... 83 4 Funktiosrjoist 88 4. Funktiosrjn suppeneminen...................... 88 4.2 Srjn tsinen suppeneminen..................... 92 4.3 Tsisen suppenemisen seuruksi................... 99 5 Potenssisrjoist 9 5. Määritelmä............................... 9 5.2 Potenssisrjn suppenemissäde j -väli................ 2 5.3 Potenssisrjn määrittelemä funktio.................. 8 5.4 Tylorin srj.............................. 25

Esitietoj Kursseill Anlyysi A j B esitetyt lukujonon j funktion rj-rvo, funktion jtkuvuutt j derivtt sekä lkeisfunktioit j Riemnn-integrli koskevt tulokset oletetn jtkoss tunnetuksi. Monisteen esimerkeissä hyödynnetään iemmill kursseill käsiteltyjen lkeisfunktioiden perusominisuuksi lskusääntöineen (sisältäen derivointi- j integrointitulokset). Lisäksi muutmien esimerkkien j huomutusten ymmärtäminen edellyttää perustietämystä integrointitekniikst. Käytettyjä menetelmiä ovt esimerkiksi yhdistetyn funktion integrointisääntö, osittisintegrointi j sijoitussääntö. Seurvss on vielä kertuksen minittu muutmi tuloksi, joit jtkoss tulln käyttämään. Tvnomisten lskusääntöjen ohell monisteen esimerkeissä hyödynnetään muutmi kursseill Anlyysi A j B johdettuj rj-rvotuloksi. Tällisi ovt esimerkiksi rj-rvot ( lim + n sin x e j lim n n) x x kurssilt Anlyysi A sekä rj-rvot lim x kurssilt Anlyysi B. log( + x) x j lim x x s (s R) ex Todistuksiss hyödynnetään myös välillä I määritellyn Riemnn-integrlin (.) G(x) x c f(t) dt (x, c I) jtkuvuutt j mhdollist derivoituvuutt. Kyseiset tulokset esitetään viittusten selkeyttämiseksi ll vielä lusein. Luse.. Ehdon (.) funktio G on jtkuv välillä I. Luse.2. Jos funktio f on jtkuv välillä I, niin ehdon (.) funktio G on pitsi jtkuv myös derivoituv välillä I j G (x) f(x) x I.

2 Epäoleellinen integrli Riemnn-integrlin määrittelyssä oli kksi rjoitust. Toislt integrointiväli oli äärellinen suljettu väli, j toislt integroitv funktio oli rjoitettu integrointivälillä. Seurvksi tutkitn tpuksi, joiss rjoitteet eivät välttämättä ole voimss. Aluksi luovutn vtimuksest, että integroitv funktio on rjoitettu integrointivälillä. Integrointiväli on edelleen äärellinen. Sen jälkeen trkstelln tilnnett, joss integrointiväli on ääretön, j lopuksi trkstelln tpust, joss on luovuttu molemmist rjoitteist. 2. Integrlin suppeneminen 2.. Epäoleellisuus välin päätepisteessä Trkstelln luksi tilnnett, joss integroitv funktio ei ole rjoitettu integrointivälin [, b] loppupisteessä. Olkoon siis f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, z] kikill z ], b[ eli z f(x) dx on olemss kikill z ], b[. Määritelmä 2.. Jos rj-rvo z lim f(x) dx z b on äärellisenä olemss, snotn että integrli suppenee, j merkitään b f(x) dx z lim f(x) dx z b b f(x) dx. 2

Määritelmän 2. integrli snotn funktion f epäoleelliseksi integrliksi välillä [, b]. Jos rj-rvo ei ole olemss ti se ei ole äärellinen, snotn että integrli hjntuu. Funktion epäoleellinen integrli integrointivälin lrjll määritellään vstvsti. Myös tällöin integrlin snotn hjntuvn, jos rj-rvo ei ole olemss ti se ei ole äärellinen. Määritelmä 2.2. Jos on f sellinen välillä ], b] määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [z, b] kikill z ], b[ j on olemss äärellinen rj-rvo b lim f(x) dx, z + z snotn että integrli suppenee, j merkitään b f(x) dx b lim f(x) dx z + z b f(x) dx. Huomutus 2.. Määritelmän 2. ehto Riemnn-integroituvuudest väleillä [, z] toteutuu, jos esimerkiksi f on jtkuv välillä [, b[. Vstvsti määritelmän 2.2 ehto Riemnn-integroituvuudest väleillä [z, b] toteutuu, jos f on jtkuv välillä ], b]. Huomutus 2.2. Yllä olev vstv huomutus voidn esittää myös muille luvun 2 määritelmille j tuloksille. Toisin snoen funktion jtkuvuus välillä I tk funktion Riemnn-integroituvuuden jokisell välin I suljetull osvälillä. Huomutus 2.3. Jos hlutn korost integrlin epäoleellisuutt ti epäoleellisuuspisteitä, voidn merkitä j z lim f(x) dx z b b lim f(x) dx z + z 3 b b + f(x) dx f(x) dx.

Esimerkki 2.. Määritetään x 2 dx. Epäoleellisuuspiste on nyt integrointivälin ylärjll. Siis z dx lim x 2 z lim z / z x 2 dx rc sin x lim (rc sin z rc sin ) z rc sin π 2. Esimerkki 2.2. Tutkitn integrlin b x s dx b x s dx (b >, s R) suppenemist, j osoitetn, että b dx hjntuu, kun s, j suppenee, kun s <. xs Epäoleellisuuspiste on nyt integrointivälin lrjll. Olkoon z jokin välin ], b[ piste. Jos s, niin (2.) b z x s dx / b z log x log b log z, Jos s <, niin x s on jtkuv välillä [, b], joten kyseessä ei ole vrsininen epäoleellisuuspiste (vrt. huomutus 2.4, s. 6). 4

j jos s, niin (2.2) b z x s dx / b z x s s b s s z s s. Täten sdn seurvt tpukset. : Jos s >, niin tuloksen (2.2) perusteell b lim x s dx z + z joten integrli hjntuu. b s z s lim z + s lim z + < {}}{ s vkio ( {}}{ b s {}}{ z s ), 2 : Jos s, niin tuloksen (2.) perusteell b lim x s dx z + z joten integrli hjntuu. lim z + 3 : Jos s <, niin tuloksen (2.2) perusteell ( { vkio }}{{}}{ log b log z ), b lim x s dx z + z joten integrli suppenee. b s z s lim z + s lim z + > {}}{ s ( {}}{ vkio {}}{ b s z ) s b s s, Siis kohtien - 3 perusteell b Lisäksi integrlin supetess dx hjntuu, kun s, j suppenee, kun s <. xs b x s dx b s s. 5

Huomutus 2.4. Jos funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, b], niin missä z lim f(x) dx z b b lim f(x) dx z + z b f(x) dx on funktion f Riemnn-integrli välillä [, b]. b f(x) dx, Todistus. Väite seur suorn jtkuvuuden määritelmästä, sillä luseen. (s. ) nojll G (z) z f(x) dx j G 2 (z) ovt jtkuvi funktiot välillä [, b]. Täten b z f(x) dx lim G (z) G (b) j lim G 2(z) G 2 (). z b z + 2..2 Epäoleellisuus välin sisäpisteessä Trkstelln sitten tilnnett, joss epäoleellisuuspiste on integrointivälin [, b] sisäpisteessä. Määritelmä 2.3. Olkoon funktio f määritelty välillä [, b] pitsi mhdollisesti pisteessä c ], b[. Oletetn lisäksi, että f on Riemnn-integroituv välillä [, z] kikill z ], c[ j Riemnn-integroituv välillä [z, b] kikill z ]c, b[. Tällöin snotn, että integrli suppenee, jos integrlit suppenevt. Tällöin b c f(x) dx f(x) dx b c f(x) dx j b c f(x) dx + f(x) dx b c f(x) dx. 6

Esimerkki 2.3. Tutkitn integrlin suppenemist. x 3 dx Epäoleellisuuspiste on nyt integrointivälin keskellä pisteessä x. Jos esimerkiksi z >, niin z Siis integrli hjntuu. x 3 dx / z 2x ( ) 2 2 z 2 x 3 dx, kun z +. Huomutus 2.5. Jos integrlin epäoleellisuuspiste on keskellä integrointiväliä, integrlin suppenemist määritettäessä rj-rvotrkstelu ei s suoritt epäoleellisuuspisteen eri puolill oleviss integrleiss yhtäikisesti (ks. esimerkki 2.4). Esimerkki 2.4. Trkstelln esimerkin 2.3 integrli x 3 dx. Nyt lim z + ( z x 3 dx + z ) x dx 3 lim z + ( z / 2x 2 + / z ) 2x 2 ( ( ) lim z + 2 z + ( ) ) 2 z }{{ 2 }, mutt integrli ei siis suppene. 7

Huomutus. Yhtäikisen rj-rvotrkstelun ohell mhdollinen virhe on, että keskellä integrointiväliä olev integrlin epäoleellisuuspistettä ei ollenkn huomioid. Esimerkiksi lskemll suorviivisesti x 3 dx / ( 2x 2 2 ) 2 sdn virheellinen tulos, sillä kyseessä on epäoleellinen integrli j esimerkissä 2.4 osoitettiin, että kyseinen epäoleellinen integrli hjntuu. 2..3 Epäoleellisuus välin molemmiss päätepisteissä Trkstelln sitten vielä tpust, joss funktio ei ole rjoitettu integrointivälin kummsskn päätepisteessä. Ennen vrsinist määrittelyä esitetään yksi tilnnett helpottv putulos. Luse 2.6. Olkoon funktio f määritelty välillä [, b[ j c ], b[. Oletetn lisäksi, että f on Riemnn-integroituv välillä [, z] kikill z ], b[. Tällöin integrlit b f(x) dx j b c f(x) dx suppenevt (ti hjntuvt) smnikisesti. Edelleen jos integrlit suppenevt, niin b f(x) dx b c f(x) dx c f(x) dx. Todistus. Väitteet seurvt suorn rj-rvon lskusäännöistä, sillä vkio {}}{ c z f(x) dx + f(x) dx z f(x) dx z ]c, b[ c j z f(x) dx z c f(x) dx c f(x) dx z ]c, b[. 8

Huomutus 2.7. Lusett 2.6 vstv tulos on voimss, jos epäoleellisuuspiste on integrointivälin lrjll (hrjoitustehtävä). Sitten voidn esittää vrsininen määrittely. Jos funktio ei ole rjoitettu integrointivälin kummsskn päätepisteessä, tilnne yksinkertisesti plutetn minkä thns välin sisäpisteen vull tpuksiin, joss funktio ei ole rjoitettu integrointivälin lkupisteessä j loppupisteessä. Määritelmä 2.4. Olkoon funktio f Riemnn-integroituv jokisell välin ], b[ suljetull osvälillä. Olkoon lisäksi c ], b[. Tällöin integrli suppenee, jos integrlit b f(x) dx c f(x) dx molemmt suppenevt. Tällöin j b c f(x) dx b f(x) dx c f(x) dx + b c f(x) dx. Huomutus 2.8. Luseen 2.6 j huomutuksen 2.7 nojll integrlin b f(x) dx rvo määritelmässä 2.4 ei riipu pisteen c vlinnst. Huomutus. Määritelmässä 2.4 esitetty osväleihin jko soveltuu myös tpuksiin, joss funktioll on epäoleellisuuspiste välin päätepisteessä j sisäpisteessä (ti päätepisteissä j sisäpisteissä). 9

Esimerkki 2.5. Tutkitn integrlin suppenemist. x( x) dx Integrlill on epäoleellisuuspiste integrointivälin molemmiss päätepisteissä. Aluksi hvitn, että välillä ], [ x( x) dx 2 2 x ( x) 2 dx 2 rc sin x + C. Olkoon nyt c jokin välin ], [ piste. Tällöin j c lim z + z dx x(x ) lim z + 2 ( rc sin c {}}{ rc sin z ) 2 rc sin c z lim z c dx x(x ) lim 2 ( z π 2 {}}{ rc sin z rc sin c ) π 2 rc sin c. Siis integrli suppenee j x( x) dx x( x) dx c x( x) dx + x( x) dx 2 rc sin c + ( π 2 rc sin c ) π. c Huomutus 2.9. Jos integrlill on epäoleellisuuspiste integrointivälin molemmiss päätepisteissä, integrlin suppenemist määritettäessä rj-rvotrkstelu ei s suoritt molemmiss päätepisteissä yhtäikisesti (ks. esimerkki 2.6). Vrt. myös huomutus 2.5 j huomutus 2.4 (s. 42).

Esimerkki 2.6. Trkstelln integrli 2x x( x) dx. Yhtäikisell rj-rvotrkstelull sdn z z 2x lim dx lim log (x( x)) z + x( x) z + z z ( ) lim log (( z)z) log (z( z)) z +, mutt integrli ei kuitenkn suppene (hrjoitustehtävä). / 2..4 Perustuloksi Esitetään luvun 2. lopuksi vielä pri epäoleellisten integrlien tutkimist helpottv tulost. Luse 2.. Oletetn, että integrlit b f(x) dx j b g(x) dx suppenevt j λ R. Tällöin myös funktioiden λf j f + g epäoleelliset integrlit suppenevt välillä [, b] j b b λf(x) dx λ f(x) dx, j b (f + g)(x) dx b f(x) dx + b g(x) dx. Todistus. Tulokset seurvt suorn rj-rvon lskusäännöistä.

Luse 2.. Oletetn, että integrli suppenee. Tällöin b f(x) dx z b lim f(x) dx j lim f(x) dx. z + z b z Todistus. Todistetn tpus, joss on yksi epäoleellisuuspiste integrointivälin ylärjll. Muut tpukset todistetn vstvsti (hrjoitustehtävä). Olkoon siis f Riemnn-integroituv välillä [, c] kikill c ], b[. Tällöin luseen. (s. ) nojll Lisäksi luseen 2.6 nojll joten b b z f(x) dx f(x) dx z lim f(x) dx z + b z f(x) dx b f(x) dx Siis rj-rvon lskusääntöjen perusteell b ( lim f(x) dx lim z b z b z b b z z f(x) dx. f(x) dx z ], b[, f(x) dx z ], b[. { vkio }} { b z f(x) dx f(x) dx z f(x) dx lim f(x) dx z b f(x) dx b f(x) dx. ) 2

2.2 Ei-negtiivisen funktion integrlin suppeneminen Tutkitn sitten epäoleellisen integrlin suppenemist, kun integroitv funktio on ei-negtiivinen. Tällöin pystytään hyödyntämään tieto, että välillä ], b[ ksvvll j ylhäältä rjoitetull funktioll on vsemmnpuoleinen rj-rvo pisteessä b. Luse 2.2. Olkoon f sellinen välillä [, b[ määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, z] kikill z ], b[. Oletetn lisäksi, että f(x) kikill x [, b[. Jos tällöin on olemss sellinen M >, että (2.3) niin suppenee j z f(x) dx M z ], b[, b b f(x) dx f(x) dx M. Todistus. Merkitään G(z) z f(x) dx, z [, b[. Tällöin G on oletuksen nojll ylhäältä rjoitettu välillä [, b[. Olkoot nyt z j z 2 sellisi välin [, b[ pisteitä, että z < z 2. Kosk f(x) kikill x [z, z 2 ], niin G(z 2 ) G(z ) z 2 z f(x) dx. Siis G on välillä [, b[ ksvv, joten rj-rvo lim G(z) z b on olemss j lim G(z) M. z b 3

Huomutus 2.3. Jos funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, z] kikill z ], b[ j lisäksi f(x) M kikill x [, b[, niin z f(x) dx z M dx M(z ) < M(b ) z ], b[. Siis luseen 2.2 ehto (2.3) on voimss esimerkiksi (ei-negtiivisille) ylhäältä rjoitetuille funktioille. Huomutus 2.4. Lusett 2.2 j huomutust 2.3 vstvt tulokset ovt voimss myös välillä ], b] (hrjoitustehtävä). Esimerkki 2.7. Kosk + sin x 2 x ], ], niin huomutuksen 2.3 nojll luseen 2.2 (j huomutuksen 2.4) ehdot ovt voimss. Siis ( + sin ) dx x suppenee. Luse 2.5 (Mjornttiperite). Olkoot f j g sellisi välillä [, b[ määriteltyjä funktiot, että f j g ovt Riemnn-integroituvi välillä [, z] kikill z ], b[ j (i) f(x) g(x) x [, b[, (ii) b g(x) dx suppenee. Tällöin suppenee j b b f(x) dx f(x) dx b g(x) dx. 4

Todistus. Olkoon z [, b[. Kosk g(x) kikill x [, b[, niin y z g(x) dx y ]z, b[. Siis rj-rvon perusominisuuksien nojll b z g(x) dx y lim g(x) dx, y b z missä rj-rvon olemssolo seur ehdost (ii) j luseest 2.6 (s. 8). Täten ehdon (i) j luseen 2.6 nojll z f(x) dx Siis ehdon (ii) nojll z g(x) dx z z g(x) dx + f(x) dx on ylhäältä rjoitettu, joten luseen 2.2 nojll suppenee j b b f(x) dx f(x) dx b b z g(x) dx. g(x) dx b g(x) dx. Jos tutkitn pelkästään epäoleellisen integrlin suppenemist, mjornttiperite voidn esittää muodoss, jot on joskus yksinkertisempi käyttää. Seurus 2.6 (Mjornttiperite). Olkoot f j g sellisi välillä [, b[ määriteltyjä funktiot, että f j g ovt Riemnn-integroituvi välillä [, z] kikill z ], b[ j (i) A > j c ], b[ siten, että f(x) A g(x) x [c, b[, (ii) b c Tällöin myös suppenee. g(x) dx suppenee. b f(x) dx 5

Todistus. Jos c ], b[, niin luseen 2.6 (s. 8) nojll integrlit b f(x) dx j b c f(x) dx suppenevt smnikisesti, j jos A >, niin luseen 2. (s. ) nojll integrlit b g(x) dx j b A g(x) dx suppenevt smnikisesti. Mjornttiperitett käyttäen voidn siis osoitt epäoleellisen integrlin suppeneminen vertmll integroitv funktiot johonkin funktioon, jonk epäoleellisen integrlin tiedetään suppenevn. Epäoleellisen integrlin hjntuminen voidn vstvll tvll osoitt käyttämällä minornttiperitett. Myös minornttiperitteest esitetään kksi versiot. Luse 2.7 (Minornttiperite). Olkoot f j g sellisi välillä [, b[ määriteltyjä funktiot, että f j g ovt Riemnn-integroituvi välillä [, z] kikill z ], b[ j (i) f(x) g(x) x [, b[, (ii) b g(x) dx hjntuu. Tällöin myös hjntuu. b f(x) dx Todistus. Jos b f(x) dx suppenisi, niin ehdon (i) j mjornttiperitteen perusteell myös b g(x) dx suppenisi, mistä seurisi ristiriit ehdon (ii) knss. 6

Seurus 2.8 (Minornttiperite). Olkoot f j g sellisi välillä [, b[ määriteltyjä funktiot, että f j g ovt Riemnn-integroituvi välillä [, z] kikill z ], b[ j (i) A > j c ], b[ siten, että f(x) A g(x) x [c, b[, (ii) b c g(x) dx hjntuu. Tällöin myös hjntuu. b f(x) dx Todistus. Vstvsti kuin seurus 2.6. Huomutus 2.9. Luseit 2.5 j 2.7 j seuruksi 2.6 j 2.8 vstvt tulokset ovt voimss myös välillä ], b] (hrjoitustehtävä). Esimerkki 2.8. Osoitetn, että epäoleellinen integrli suppenee, j rvioidn integrlin rvo. e x x 2 dx Epäoleellisuuspiste on nyt integrointivälin ylärjll. : Kosk e x < e kikill x [, [, niin e x < e x 2 x 2 x [, [. 2 : Integrli e dx e dx x 2 x 2 suppenee (esimerkki 2., s. 4, j luse 2., s. ). 7

Kohdist j 2 seur mjornttiperitteen nojll, että integrli suppenee. Lisäksi esimerkin 2. nojll e x x 2 dx e x x 2 dx e π 2. Huomutus 2.2. Kosk b dx (b > ) xs suppenee täsmälleen silloin, kun s < (esimerkki 2.2, s. 4), niin g(x) x s on usein sopiv vertilufunktio, kun epäoleellisuuspiste on välin [, b] lrjll. Esimerkki 2.9. Osoitetn, että epäoleellinen integrli (2.4) 5 x 3 + 2x 2 + 6 x 3 + x 2 dx hjntuu. Epäoleellisuuspiste on nyt integrointivälin lrjll. : Jos < x, niin x 3 x 2. Täten x 3 + 2x 2 + 6 x 3 + x 2 6 x 3 + x 6 2 x 2 + x 3 x ], ]. 2 x2 2 : dx hjntuu (esimerkki 2.2, s. 4). x2 Kohdist j 2 seur minornttiperitteen nojll, että integrli (2.4) hjntuu. 8

Esimerkki 2.. Osoitetn, että epäoleellinen integrli suppenee. x log( + x) dx Epäoleellisuuspiste on nyt integrointivälin lrjll. : Trkstelln pufunktiot Nyt f(x) log(x + ) x, x [, ]. 2 f (x) x + 2 x [, ], joten f on ksvv välillä [, ]. Kosk f(), niin f(x) x [, ] j edelleen log ( + x) x 2 x [, ]. Siis x log( + x) x x 2 2 x x ], ]. 2 : Integrli suppenee (esimerkki 2.2, s. 4). x dx Kohdist j 2 seur mjornttiperitteen nojll, että epäoleellinen integrli suppenee. x log( + x) dx 9

Huomutus 2.2. Esimerkin 2. vertilufunktio sdn johdettu myös rjrvotuloksest log( + x) lim, x + x sillä funktion rj-rvon perusominisuuksien nojll on olemss sellinen h >, että ekvivlenssin 2 < log( + x) x < 3 2 epäyhtälöt ovt voimss välillä ], h] ], ]. Täten j edelleen < 2 3 x < log( + x) < 2 x < x 2 < log( + x) < 3x 2 x ], h] x log( + x) < 2 x x ], h]. Esimerkki 2.. Osoitetn, että epäoleellinen integrli hjntuu. log( + x) dx Epäoleellisuuspiste on nyt integrointivälin lrjll. : Huomutuksen 2.2 nojll on olemss sellinen h >, että log( + x) 2 3 x > x ], h]. 2 : Integrli hjntuu (esimerkki 2.2, s. 4). h x dx Kohdist j 2 seur minornttiperitteen nojll, että epäoleellinen integrli hjntuu. log( + x) dx 2

Huomutus 2.22. Kosk b dx j (x ) s b dx ( < b) (b x) s suppenevt täsmälleen silloin, kun s < (hrjoitustehtävä, vrt. huomutus 2.2), niin g(x) (x ) s on usein sopiv vertilufunktio, kun epäoleellisuuspiste on välin [, b] lrjll, j vstvsti g(x) (b x) s on sopiv vertilufunktio, kun epäoleellisuuspiste on välin [, b] ylärjll. Esimerkki 2.2. Osoitetn, että epäoleellinen integrli (2.5) hjntuu. π sin x (π x) 2 dx Epäoleellisuuspiste on nyt integrointivälin ylärjll. : Kosk sin x sin (π x) kikill x R, niin lim x π sin x π x lim x π sin (π x) π x Siis on olemss sellinen luku h, että < h < π j sekä edelleen sin x π x 2 sin x (π x) 2 2 π x 2 : Huomutuksen 2.22 perusteell π π h lim z sin z z x [π h, π[ x [π h, π[. dx hjntuu. π x. Kohdist j 2 seur minornttiperitteen nojll, että integrli (2.5) hjntuu. 2

2.3 Itseinen suppeneminen Trkstelln vielä lyhyesti epäoleellisen integrlin itseistä suppenemist. Itseistä suppenemist koskeviss määritelmissä j luseiss oletetn tietysti, että trksteltv funktio on Riemnn-integroituv epäoleellisen integrlin määrittelyissä esiintyvillä integrointivälin suljetuill osväleillä (ks. huomutus 2.25, s. 24). Määritelmä 2.5. Epäoleellinen integrli b f(x) dx suppenee itseisesti, jos vstv epäoleellinen integrli suppenee. b f(x) dx Luse 2.23. Jos integrli b f(x) dx suppenee itseisesti, se suppenee tvllisesskin mielessä. Todistus. Oletetn, että suppenee. Kosk b f(x) dx f(x) f(x) 2 f(x) x [, b], niin mjornttiperitteen nojll myös b ( f(x) f(x)) dx suppenee. Täten luseen 2. (s. ) nojll myös epäoleellinen integrli suppenee. b ( ) b f(x) ( f(x) f(x)) dx f(x) dx 22

Esimerkki 2.3. Osoitetn, että epäoleellinen integrli suppenee. x sin x dx Epäoleellisuuspiste on nyt integrointivälin lrjll. Tutkitn itseistä suppenemist. : Kosk niin sin x x ], ], sin x ], ]. x x x x 2 : Integrli suppenee (esimerkki 2.2, s. 4). x dx Kohdist j 2 seur mjornttiperitteen nojll, että integrli x sin x dx suppenee itseisesti j smll luseen 2.23 nojll myös tvllisesss mielessä. Huomutus 2.24. Luse 2.23 ei ole voimss kääntäen (ks. esimerkki 2.4). Määritelmä 2.6. Epäoleellinen integrli suppenee ehdollisesti, jos se suppenee tvllisess mielessä, mutt ei suppene itseisesti. Esimerkki 2.4. Voidn osoitt, että integrli π x sin x dx suppenee ehdollisesti eli se suppenee tvllisess mielessä, mutt ei suppene itseisesti (hrjoitustehtävä, vrt. huomutukset 2.26, s. 26, j 2.4, s. 4). 23

Huomutus 2.25. Itseistä suppenemist koskeviss määritelmissä j luseiss oletetn tietysti, että trksteltv funktio on Riemnn-integroituv epäoleellisen integrlin määrittelyissä esiintyvillä integrointivälin suljetuill osväleillä. Jos esimerkiksi, kun x Q, f(x), kun x R \ Q, niin integrlin ei snot suppenevn, vikk integrli b f(x) dx b f(x) dx b dx b suppenee, sillä f ei ole Riemnn-integroituv millään suljetull välillä. 24

2.4 Integrointi yli äärettömän välin Edellä ljennettiin Riemnn-integrli tpuksiin, joiss integroitv funktio ei ollut rjoitettu integrointivälillä. Seurvksi tutkitn integrointi, kun integrointiväli ei ole rjoitettu. Luvuiss 2.4. 2.4.3 keskitytään väliin [, [. Luvuss 2.4.4 (s. 4) trkstelu ljennetn koskemn myös väliä ], b] j luvuss 2.4.5 (s. 43) vstvsti erilisten epäoleellisten integrlien yhdistelmiä. 2.4. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen funktio, että f on Riemnn-integroituv jokisell välin [, [ suljetull osvälillä eli z f(x) dx on olemss kikill z >. Määritelmä 2.7. Jos rj-rvo z lim f(x) dx z on äärellisenä olemss, snotn, että integrli suppenee, j merkitään f(x) dx f(x) dx z lim f(x) dx. z Määritelmän 2.7 integrli snotn funktion f epäoleelliseksi integrliksi välillä [, [. Jos rj-rvo ei ole olemss ti se ei ole äärellinen, snotn, että integrli hjntuu. Huomutus. Määritelmässä 2.7 ei edellytetä, että funktio f on rjoitettu välillä [, [ (toki f on rjoitettu välin [, [ suljetuill osväleillä) ti että funktioll f(x) on rj-rvo, kun x (ks. esimerkki 2.26, s. 39). 25

Esimerkki 2.5. Integrli hjntuu, sillä rj-rvo ei ole olemss. z lim sin x dx z lim z sin x dx / z cos x lim ( cos z) z Esimerkki 2.6. Määritetään e x log 2 x dx. Käyttämällä yhdistetyn funktion derivointisääntöä sekä potenssin j logritmin derivointikvoj sdn z lim z e x log 2 dx lim x z z lim z e / z e ( ) log x log 2 x x dx ( lim z log z ) log e ( ). Huomutus 2.26. Olkoon >. Tällöin integrlit f(x) dx j ( ) x f dx 2 x suppenevt (ti hjntuvt) smnikisesti j niiden supetess f(x) dx ( ) x f dx. 2 x 26

Todistus. Tulos seur rj-rvon perusominisuuksist, sillä sijoittmll x t j dx t dt, 2, z z sdn z f(x) dx z ( ) f ( ) dt t t 2 z ( ) t f dt 2 t z ( ) x f dx. 2 x Esimerkki 2.7. Tutkitn integrlin x s dx suppenemist ( >, s R), j osoitetn, että dx suppenee, kun s >, j hjntuu, kun s. xs Huomutuksen 2.26 perusteell suppenee täsmälleen silloin, kun x s dx ( x ) s dx suppenee. Integrli x 2 xs dx dx x2 s dx x2 s puolestn suppenee esimerkin 2.2 (s. 4) nojll täsmälleen silloin, kun 2 s < eli kun s >. Siis dx suppenee, kun s >, j hjntuu, kun s. xs 27

Aiemmisss luvuiss esitetyt epäoleellisi integrlej koskevt tulokset ovt vstvll tvll voimss, kun integrointiväli ei ole rjoitettu. Luseet todistetn vstvsti kuin rjoittmttomien funktioiden tpuksess, j todistukset jätetään hrjoitustehtäviksi. Luse 2.27. Olkoon funktio f Riemnn-integroituv jokisell välin [, [ suljetull osvälillä. Olkoon lisäksi b >. Tällöin integrlit f(x) dx j b f(x) dx suppenevt (ti hjntuvt) smnikisesti j niiden supetess f(x) dx b f(x) dx b f(x) dx. Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. luse 2.6, s. 8). Luse 2.28. Oletetn, että integrlit f(x) dx j g(x) dx suppenevt. Tällöin (i) c f(x) dx suppenee j c f(x) dx c f(x) dx (c R), (ii) (f + g)(x) dx suppenee j (f + g)(x) dx f(x) dx + g(x) dx. Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. luse 2., s. ). 28

Luse 2.29. Oletetn, että integrli f(x) dx suppenee. Tällöin lim f(x) dx. z z Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. luse 2., s. 2). 2.4.2 Ei-negtiivisen funktion integrlin suppeneminen Ei-negtiivisen funktion integrlin suppenemisen tutkimiseen on rjoittmttomll välillä käytössä smt putulokset kuin tpuksess, joss funktion rvo ei ole rjoitettu. Perustuloksen on nytkin, että ei-negtiivisen funktion integrli on ksvv j että ksvvll ylhäältä rjoitetull funktioll on rj-rvo. Luse 2.3. Olkoon f sellinen funktio, että f(x) kikill x j f on Riemnn-integroituv jokisell välin [, [ suljetull osvälillä. Jos tällöin on olemss sellinen M >, että z f(x) dx M z >, niin suppenee j f(x) dx f(x) dx M. Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. luse 2.2, s. 3). 29

Esimerkki 2.8. Olkoon >. Osoitetn, että integrli (2.6) sin 2 x x 2 dx suppenee, j rvioidn integrlin rvo. Selvästi sin 2 x x 2 x. Kosk sin 2 x kikill x R, niin lisäksi z sin 2 x x 2 dx z x 2 dx / z x z < z >. Siis luseen 2.3 nojll integrli (2.6) suppenee j sin 2 x x 2 dx. Myös mjorntti- j minornttiperitteet ovt voimss vstvll tvll kuin rjoittmttomille funktioille. Peritteet todistetn vstvsti kuin rjoittmttomien funktioiden tpuksess, j todistukset jätetään hrjoitustehtäviksi. Luse 2.3 (Mjornttiperite). Oletetn, että f j g ovt Riemnnintegroituvi jokisell välin [, [ suljetull osvälillä j (i) f(x) g(x) x, (ii) g(x) dx suppenee. Tällöin suppenee j f(x) dx f(x) dx g(x) dx. Todistus. Kuten luse 2.5 (s. 4). 3

Seurus 2.32 (Mjornttiperite). Oletetn, että f j g ovt Riemnnintegroituvi jokisell välin [, [ suljetull osvälillä j (i) A > j c ], [ siten, että f(x) A g(x) x c, (ii) c g(x) dx suppenee. Tällöin myös suppenee. f(x) dx Todistus. Kuten seurus 2.6 (s. 5). Rjoittmttomien funktioiden tpn mjornttiperitteell on nyt mhdollist osoitt epäoleellisen integrlin suppeneminen vertmll integroitv funktiot johonkin funktioon, jonk integrlin tiedetään suppenevn. Edellytyksenä tietysti on, että tällinen funktio löydetään. Vstvsti minornttiperitteell voidn osoitt epäoleellisen integrlin hjntuminen vertmll integroitv funktiot johonkin funktioon, jonk integrlin tiedetään hjntuvn. Luse 2.33 (Minornttiperite). Oletetn, että f j g ovt Riemnnintegroituvi jokisell välin [, [ suljetull osvälillä j (i) g(x) f(x) x, (ii) g(x) dx hjntuu. Tällöin myös hjntuu. f(x) dx Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. luse 2.7, s. 6). 3

Seurus 2.34 (Minornttiperite). Oletetn, että f j g ovt Riemnnintegroituvi jokisell välin [, [ suljetull osvälillä j (i) A > j c ], [ siten, että A g(x) f(x) x, (ii) c g(x) dx hjntuu. Tällöin myös hjntuu. f(x) dx Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. seurus 2.8, s. 7). Esimerkki 2.9. Tutkitn epäoleellisen integrlin suppenemist. x 2 + x dx ( > ) : Kosk niin x 2 + x x 2 > x, < x 2 + x x 2 x. 2 : Integrli suppenee (esimerkki 2.7, s. 27). x 2 dx Kohdist j 2 seur mjornttiperitteen nojll, että integrli suppenee (kun > ). x 2 + x dx 32

Esimerkki 2.2. Osoitetn, että epäoleellinen integrli (2.7) hjntuu. 2 + sin x x : Kosk 2 + sin x kikill x R, niin 2 : Integrli 2 + sin x x hjntuu (esimerkki 2.7, s. 27). x dx > x. x dx Kohdist j 2 seur minornttiperitteen nojll, että integrli (2.7) hjntuu. Esimerkki 2.2. Tutkitn epäoleellisen integrlin suppenemist. : Kosk niin 2 : Integrli x + x dx < x + x x + x 2x x, x + x 2x 2 x hjntuu (esimerkki 2.7, s. 27). x dx > x. Kohdist j 2 seur minornttiperitteen nojll, että integrli hjntuu. x + x dx 33

Luse 2.35. Olkoot f j g sellisi funktioit, että f(x) j g(x) kikill x j f sekä g ovt Riemnn-integroituvi jokisell välin [, [ suljetull osvälillä. Jos tällöin on olemsss rj-rvo lim x f(x) g(x) B ( < B < ), niin f(x) dx j suppenevt (ti hjntuvt) smnikisesti. g(x) dx Todistus. Kosk B > j f(x) sekä g(x) kikill x, voidn olett, että muuttujn x jostkin riittävän suurest rvost lken g(x) >. Siis rj-rvon määritelmän nojll on olemss sellinen x >, että 2 B < f(x) g(x) < 3 2 B x x j edelleen < B 2 g(x) < f(x) < 3B 2 g(x) x x. Täten mjorntti- j minornttiperitteiden nojll integrlit suppenevt smnikisesti. f(x) dx j g(x) dx Huomutus 2.36. Jos luseess 2.35 rj-rvo B j integrli g(x) dx suppenee, myös integrli suppenee. f(x) dx Todistus. Hrjoitustehtävä. 34

Huomutus 2.37. Jos luseess 2.35 rj-rvo B j integrli g(x) dx hjntuu, myös integrli hjntuu. f(x) dx Todistus. Hrjoitustehtävä. Esimerkki 2.22. Osoitetn, että integrli suppenee täsmälleen silloin, kun s <. j Olkoon f(x) x s dx (s R) + x2 xs + x 2 (x ) g(x) xs x 2 (x ). Tällöin f(x) > sekä g(x) > kikill x. Lisäksi lim x f(x) g(x) lim x Edelleen esimerkin 2.7 (s. 27) nojll x s x 2 x 2 lim ( + x 2 ) x s x + x >. 2 g(x) dx dx x2 s suppenee täsmälleen silloin, kun 2 s > eli s <. Siis luseen 2.35 perusteell f(x) dx suppenee täsmälleen silloin, kun s <. x s + x 2 dx 35

Huomutus. Lusett 2.35 on toisinn helpompi sovelt kuin mjornttij minornttiperitteit. Kyseiset peritteet ovt kuitenkin sikäli yleisempiä, että niitä voi joskus käyttää siinäkin tpuksess, että luseen 2.35 vtim rj-rvo ei ole olemss (ks. esimerkki 2.2). Lisäksi mjorntti- j minornttiperitteit voi in käyttää, kun luseen 2.35 vtim rj-rvo on olemss. Trvittv mjoroiv ti minoroiv funktio sdn tällöin luseen 2.35 todistuksess käytetyllä menettelyllä. Esimerkki 2.23. Osoitetn lusett 2.35 käyttäen, että esimerkin 2.2 epäoleellinen integrli x + x dx hjntuu. j Olkoon f(x) x + x g(x) x Nyt f(x) > j g(x) > kikill x. Lisäksi kun x, j integrli / f(x) g(x) x + x x hjntuu (esimerkki 2.7, s. 27). Täten integrli hjntuu luseen 2.35 perusteell. (x ) (x ). x x + x +, x x dx x + x dx 36

2.4.3 Itseinen suppeneminen Trkstelln sitten vielä epäoleellisen integrlin itseistä suppenemist, kun integrointiväli ei ole rjoitettu. Itseistä suppenemist koskeviss määritelmissä j luseiss oletetn tietysti, että trksteltv funktio on Riemnn-integroituv integrointivälin kikill suljetuill osväleillä (vrt. huomutus 2.25, s. 24). Aiemmin esitetyt epäoleellisen integrlin itseistä suppenemist koskevt tulokset ovt vstvll tvll voimss, kun integrointiväli ei ole rjoitettu. Tulokset todistetn vstvsti kuin rjoittmttomien funktioiden tpuksess, j todistukset jätetään hrjoitustehtäviksi. Määritelmä 2.8. Epäoleellinen integrli f(x) dx suppenee itseisesti, jos vstv epäoleellinen integrli suppenee. f(x) dx Luse 2.38. Jos integrli f(x) dx suppenee itseisesti, se suppenee tvllisesskin mielessä. Todistus. Hrjoitustehtävä (vrt. luse 2.23, s. 22). Huomutus 2.39. Nytkin epäoleellinen integrli suppenee ehdollisesti, jos se suppenee tvllisess mielessä, mutt ei suppene itseisesti. 37

Esimerkki 2.24. Integrlit sin x x s dx j cos x x s dx suppenevt itseisesti mjornttiperitteen nojll inkin silloin, kun s >, sillä kikill x j sin x x s j x s x s dx suppenee, kun s > (esimerkki 2.7, s. 27). cos x x s x s Esimerkki 2.25. Osoitetn, että epäoleellinen integrli suppenee. Tutkitn itseistä suppenemist. cos(x 2 ) x 2 dx : Nyt cos(x 2 ) x 2 x 2 x. 2 : Integrli suppenee (esimerkki 2.7, s. 27). x 2 dx Kohdist j 2 seur mjornttiperitteen nojll, että integrli cos(x 2 ) x 2 dx suppenee, joten luseen 2.38 nojll myös integrli suppenee. cos(x 2 ) x 2 dx 38

Esimerkki 2.26. Osoitetn esimerkkiä 2.25 hyödyntämällä, että epäoleellinen integrli sin(x 2 ) dx. suppenee. Nyt Olkoon z >. Osittisintegroimll sdn z Lisäksi rj-rvo on olemss, sillä sin(x 2 ) dx 2 suppenee (esimerkki 2.25). Siis rj-rvo on olemss, joten suppenee. 2 2 z z / z 2 lim z 2 ( ( ) ( sin(x 2 ) 2x) dx x ( ) D ( cos(x 2 ) ) dx x ( ) cos(x 2 ) z x 2 ( cos(z 2 ) z {}}{ cos(z 2 ) ) cos z lim z x 2 cos(x2 ) dx. ) cos z cos(x 2 ) dx. 2 x 2 z cos(x 2 ) dx 2 x 2 cos(x 2 ) x 2 dx z lim sin(x 2 ) dx z sin(x 2 ) dx cos 2. 39

Huomutus 2.4. Luse 2.38 ei ole voimss kääntäen. Voidn esimerkiksi osoitt, että sin x x dx suppenee ehdollisesti (hrjoitustehtävä, vrt. esimerkki 2.4, s. 23). π 2.4.4 Muut rjoittmttomt välit Luvuiss 2.4. 2.4.3 ljennettiin Riemnn-integrli tpuksiin, joiss integrointiväli oli [, [. Integrli b f(x) dx määritellään vstvsti eli integrli suppenee, jos rj-rvo b lim f(x) dx z z on äärellisenä olemss. Luvuiss 2.4. 2.4.3 esitetyt tulokset ovt vstvsti voimss myös integrointivälillä ], b]. Integrointiväli voi oll rjoittmton myös molemmiss päätepisteissä. Tällöin integrli määritellään vstvsti kuin luvuss 2. jkmll välipisteen vull integrli khteen osn. Siis integrli määritellään integrlien f(x) dx c f(x) dx j f(x) dx (c R) c vull. 4

Esimerkki 2.27. Määritetään (2.8) x 2 + x + dx. joten Neliöimällä sdn x 2 + x + ( x + 2 x 2 + x + dx 2 3 ) ( 2 ( + 3 ) ) 2 3 2x+ 4 4 3 +, 3 2 ( ) 2 dx 2 rc tn 2x + + C. 2x+ 3 + 3 3 Siis z lim z dx lim x 2 + x + z / z 2 rc tn 2x + 3 3 2 lim z 3 ( π 2 {}}{ rc tn 2z + rc tn ) 3 3 j 2 ( π 3 2 π ) 6 lim dx lim z x 2 + x + z z / z π 3 π 3 3 2 3 rc tn 2x + 3 lim z ( 2 rc tn 3 3 π 2 {}}{ rc tn 2z + ) 3 2 ( π 3 6 + π ) 2 π 3 3 + π 3. Siis integrli (2.8) suppenee j x 2 + x + dx x 2 + x + dx + x 2 + x + dx ( π 3 3 + π ) ( π 3 + π ) 3 3 3 2π 3. 4

Huomutus 2.4. Jos suppenee, niin rj-rvo lim z z f(x) dx z f(x) dx on olemss. Sen sijn kääntäen rj-rvo voi oll olemss integrlin silti hjntuess (ks. esimerkki 2.28). Vrt. myös huomutus 2.9, s.. Esimerkki 2.28. Trkstelln funktiot f(x) 2x + x 2 +. Tällöin lim z z z 2x + dx lim x 2 + z lim z z / z z z ( ) 2x x 2 + + dx x 2 + ( log(x 2 + ) + rc tn x ) lim z ( ( log(z 2 + ) + rc tn z ) ( lim z ( log(( z) 2 + ) + rc tn( z) ) ) {}}{ π 2 π 2 {}}{{}}{ ) log(z 2 + ) log(z 2 + ) + rc tn z rc tn( z) Integrli π 2 + π 2 π. 2x + x 2 + dx ei kuitenkn suppene, sillä esimerkiksi integrli hjntuu. 2x + x 2 + dx lim (( log(z 2 + ) + rc tn z ) ( + ) ) z 42

2.4.5 Rjoittmton funktio j ääretön väli Integrli voidn trkstell myös tpuksiss, joiss sekä funktio ei ole rjoitettu integrointivälillä että integrointiväli ei ole rjoitettu. Jos integrointiväli ei ole rjoitettu j funktioll on integrointivälin toisess päätepisteessä epäoleellisuuspiste, integrli määritellään vstvsti kuin luvuss 2. (määritelmä 2.4, s. 9) jkmll välipisteen vull integrli khteen osn. Siis integrli määritellään integrlien vull j integrli integrlien vull. c + c f(x) dx f(x) dx j j + b f(x) dx c f(x) dx ( < c) f(x) dx b c f(x) dx (c < b) Jos epäoleellisuuspiste c on rjoittmttomn välin keskellä, määritellään epäoleellinen integrli kuten vstvss tpuksess luvuss 2. (määritelmä 2.3, s. 6) yhdistämällä epäoleelliset integrlit, joiss c on integrointivälin loppupiste j lkupiste. Siis integrli f(x) dx määritellään integrlien vull, integrli integrlien c c f(x) dx f(x) dx j j b c f(x) dx ( < c) f(x) dx b c 43 f(x) dx (c < b)

vull j integrli integrlien c f(x) dx j f(x) dx c f(x) dx (c R) vull. Alkuperäinen integrli tulee tällöin jetuksi vähintään kolmeksi integrliksi, sillä inkin toinen yhdistettävistä integrleist on sellinen, että funktio ei ole rjoitettu integrointivälillä j integrointiväli ei ole rjoitettu. Täten kyseinen integrli on jettv uuden välipisteen vull vielä (inkin) khteen osn. Esimerkki 2.29. Tutkitn integrlin suppenemist. x 2 + x dx Integrlill on epäoleellisuuspiste myös lrjll, joten jetn epäoleellisuustrkstelu khteen osn vlitsemll c jkopisteeksi. Kosk niin Kosk lisäksi x 2 + x x > x ], ], < x 2 + x x ], ]. x x dx suppenee (esimerkki 2.2, s. 4, s ), niin mjornttiperitteen nojll integrli 2 suppenee. x 2 + x dx Toislt esimerkin 2.9 (s. 32) nojll myös integrli suppenee ( ). Täten integrli suppenee. x 2 + x dx x 2 + x dx x 2 + x dx + x 2 + x dx 44

Esimerkki 2.3. Tutkitn Eulerin gmmfunktiot Γ(s) x s e x dx (s > ). Jetn epäoleellisuustrkstelu khteen osn kirjoittmll Γ(s) + x s e x dx + x s e x dx I + I 2. : Kosk e x on idosti vähenevä, niin e > e x e > x ], ]. Täten < x s e x < x s x ], ]. Lisäksi esimerkin 2.2 (s. 4) nojll x s dx dx x s suppenee, kun s < eli s >. Täten mjornttiperitteen nojll myös I suppenee, kun s >. j 2 : Kosk lim x x s e x x s+ lim x 2 x e x x 2 dx x 2 dx suppenee esimerkin 2.7 (s. 27) nojll, niin huomutuksen 2.36 (s. 34) nojll myös integrli I 2 suppenee. Täten kohtien j 2 perusteell Γ(s) suppenee (kun s > ). Käyttämällä osittisintegrointi sdn (kun x, s > ) x s e x dx xs s e x s xs e x + s Jos s, niin integrli hjntuu (hrjoitustehtävä). x s s ( e x ) dx x s e x dx. 45

Täten x s e x dx lim x s e x dx z + z ( lim z + s lim z + / z x s e x + s z x s e x dx ( ) e z s e z s }{{} + lim z + s e + x s e x dx, s ) x s e x dx s z kun s >. Kosk niin vstvsti (kun s > ) lim z z s e z, Siis kun s >, niin z x s e x dx lim x s e x dx z ( lim z s / z ( lim z s e z z s x s e x + s }{{} z s e + x s e x dx. s x s e x dx ) z e ) + lim x s e x dx z s x s e x dx x s e x dx + x s e x dx ( s e + ) ( x s e x dx + s s e + ) x s e x dx s s x s e x dx 46

eli Γ(s) Γ(s + ) s j edelleen Γ(s + ) s Γ(s). Lisäksi Γ() e x dx lim z / z {}}{ e x lim ( e z ), z joten Γ(2), Γ(3) 2 2,. j yleisesti Γ(n + ) n! (n N). Kun s, niin funktioll Γ(s) on täsmällisesti otten näennäinen epäoleellisuuspiste pisteessä x, sillä funktiot x s e x ei ole tällöin määritelty. Kosk funktion rvoll yksittäisessä pisteessä ei ole merkitystä integroinnin knnlt, voidn tässä olett, että x s e x e x myös pisteessä x. 47

3 Srjteorin lkeit 3. Määritelmiä Olkoon (x n ) relilukujono. Muodostetn muodostetn tämän jonon jäsenistä uusi lukujono (S n ), missä S x, S 2 x + x 2, S 3 x + x 2 + x 3,. S n x + x 2 + + x n. Määritelmä 3.. Lukujono (S n ) snotn lukujonon (x n ) jäsenten muodostmksi srjksi j sitä merkitään x k ti x + x 2 + + x n +. k Luku x n on srjn n:s termi, j S n on srjn n:s ossumm. Jos rj-rvo lim S n S n on äärellisenä olemss (ts. ossummien muodostm lukujono (S n ) suppenee), snotn, että srj suppenee j sen summ on S. Tällöin merkitään x k S. k Jos rj-rvo ei ole äärellisenä olemss, snotn srjn hjntuvn. Huomutus. Yllä määritelmässä 3. merkintä x k k trkoitt siis kht eri si: sekä srj että (suppenevn) srjn summ. Srjn summll on tietysti rvo vin, kun srj suppenee. 48

Huomutus. Ei ole mitenkään oleellist, millä kirjimell srjn summusindeksiä merkitään. Sm srj voidn ilmoitt esimerkiksi muodoiss x k, k x n n ti x i. i Tässä monisteess ovt useimmiten käytössä indeksit k j n. Huomutus. Ei myöskään ole oleellist, että srjn termien indeksointi lk ykkösestä. Jos srjn indeksointi lk jostkin kokonisluvust p, voidn vstvsti määritellä kp x k lim n Vrsinkin tpus p esiintyy usein. n x k. kp Huomutus. Lukujonon rj-rvon perusominisuuksist seur, että srjt x k k j x k (p Z + ) kp suppenevt smnikisesti j niiden supetess x k k x k kp p k x k. On myös syytä korost äärellisen summn j srjn (eli äärettömän summn) ero. Äärellisessä summss x + x 2 + + x n yhteenlskettvien järjestystä voidn viht j summn voidn lisätä ti siitä voidn poist sulkuj ilmn, että summn rvo muuttuu. Äärellisellä summll on myös in yksikäsitteinen rvo. Srjn summss on kuitenkin kyse rj-rvost, joten edellä minitut ominisuudet eivät välttämättä ole voimss. Esimerkiksi srjn termien järjestyksen vihto ti termien ryhmittely sulkuj lisäämällä ti poistmll voi vikutt srjn suppenemiseen ti srjn summn rvoon. 49

Huomutus 3.. Suppenevss srjss peräkkäisiä termejä voidn kuitenkin yhdistellä lisäämällä srjn sulkuj, sillä suluttmll sdun srjn ossummien jono on lkuperäisen srjn ossummien jonon osjono. Täten jono suppenee kohti sm rj-rvo j stu uusi srj suppenee j sillä on sm summ kuin lkuperäisellä srjll. Sulkujen poistminen suppenevst srjst ei sen sijn ole luvllist. Esimerkiksi srj ( ) + ( ) + ( ) + + + + suppenee (kukin ossumm on ), mutt srj hjntuu (ks. esimerkki 3.2). + + + Esimerkki 3.. Osoitetn, että srj k suppenee j että sen summ on. Kosk kikill k Z +, niin k(k + ) 2 + 2 3 + 3 4 + k(k + ) k k + S n n k n k k(k + ) ( k ) k + ( ) ( + 2 2 ( + 3) 3 ( + + 4) n ) n + Siis n +. joten trksteltv srj suppenee j ( lim S n lim ) n n n +, k k(k + ). 5

Huomutus. Srj kutsutn teleskooppiseksi, jos sen termit x k voidn (kuten esimerkissä 3.) esittää muodoss x k k k+ (k Z + ). Kuten esimerkistä 3. hvitn, teleskooppinen srj suppenee, jos lukujonoll ( k ) on rj-rvo. Esimerkki 3.2. Osoitetn, että srj hjntuu. Nyt ( ) k+ + + + k S n n ( ) k+ k joten rj-rvo lim S n n ei ole olemss. Siis srj hjntuu., kun n on priton,, kun n on prillinen, Esimerkki 3.3 (Hrmoninen srj). Osoitetn, että hrmoninen srj hjntuu. joten Siis S n Olkoon k Z +. Tällöin n k k n k k k k+ k k k x k+ k x dx k + 2 + 3 + dx n+ x [k, k + ], k+ k x dx k dx n+ joten lim S n. n Siis hrmoninen srj hjntuu. / k+ k x dx. log x log(n + ) n Z +, 5

Esimerkki 3.4 (Geometrinen srj). Osoitetn, että geometrinen srj q k k q k + q + q 2 + k suppenee täsmälleen silloin, kun q <, j että tällöin Nyt Jos siis q <, niin k S n + q + + q n q k q. lim S n n q, q n, kun q, q n, kun q. j jos q, niin rj-rvo lim n S n ei ole (äärellisenä) olemss. Täten geometrinen srj suppenee täsmälleen silloin, kun q <, j tällöin k q k q. Huomutus. Jos srjn indeksointi loitetn nollst, törmätään toisinn epämääräiseen muotoon. Tällöin noudtetn sopimust, että srjn terminä. Huomutus. Jos q <, niin esimerkin 3.4 nojll k q k ( q) q q q q. Määritelmä 3.2. Jos S n on srjn x k k n:s ossumm, niin R n on srjn n:s jäännöstermi. x k S n k x k kn+ 52

Huomutus. Srjn jäännöstermi ei ole hyvin määritelty siinä mielessä, että jos srj hjntuu, niin jäännöstermillä ei ole rvo. Huomutus. Jäännösterminkään määritettelyssä ei ole oleellist, että srjn indeksointi lk nimenomn ykkösestä. Jos srjn indeksointi lk jostkin muust luvust, on jäännöstermin indeksin lkurvo sitten vin muutettv vstvsti. Sinänsä ei ole myöskään oleellist, että trksteltv jäännöstermi vst mimenomn ossumm S n. Esimerkiksi jäännöstermin rj-rvo tutkittess voi joskus oll merkinnällisesti yksinkertisemp määritellä jäännöstermi vstmn jotkin muut ossumm. Huomutus 3.2. Jos S on suppenevn srjn summ j S n srjn n:s ossumm, niin R n S S n. Lisäksi tällöin lim R n lim (S S n ) n n lim S lim S n S S. n n Esimerkki 3.5. Jos q <, niin geometrisen srjn (ks. esimerkki 3.4) q k k jäännöstermiksi sdn R n kn q k q qn q qn q. Huomutus. Kosk geometrisen srjn indeksointi loitetn nollst, niin srjn n:nnen jäännöstermin indeksointi esimerkissä 3.5 lk rvost n (eikä siis rvost n + ). Määritetään luvun 3. lopuksi vielä summ khdelle myöhemminkin esiintyvällä srjlle. Summi hyödynnetään myöhemmissä esimerkeissä. 53

Esimerkki 3.6. Osoitetn, että srj ( ) k suppenee j sen summ on log 2 (vrt. esimerkki 4.4, s. 3). Olkoon k S n n k k ( ) k srjn n:s ossumm. Oletetn lisäksi, että t [, ], j trkstelln geometrist srj, jonk suhdeluku on t. Kosk t, niin kyseisen geometrisen srjn n:nneksi ossummksi sdn (ks. esimerkki 3.4) Täten Jos siis n Z +, niin n k ( t) k ( t)n ( t) n + t ( t) k + ( t)n + t k + t dt ( n k k + t ( t)n + t. n Z +. ) ( t) k + ( t)n dt + t n k n k n k n k ( t) k dt + ( ) k / ( ) k ( ) k k + + R n ( t) n + t dt }{{} Merk. R n t k+ k + + R n k + + R n n k ( ) k k + R n S n + R n. 54

Toislt + t dt / log( + t) log( + ) log log 2, joten Kosk S n log 2 R n n Z +. ( t) R n n + t dt / ( t) n + t t n + t dt t n dt t n+ n + n + dt niin lim S n lim (log 2 R n ) n n Siis trksteltv srj suppenee j, kun n, lim log 2 lim R n log 2. n n ( ) k k k log 2. 55

Esimerkki 3.7. Tutkimll geometrist summ, jonk suhdeluku on t 2, voidn vstvll tvll kuin esimerkissä 3.6 osoitt (hrjoitustehtävä), että srj suppenee j k (vrt. esimerkki 5.2, s. 2). k ( ) k 2k + ( ) k 2k + rc tn π 4 56

3.2 Perustuloksi Trkstelln sitten muutmi srjojen perusominisuuksi. Luse 3.3. Jos k x k suppenee, niin lim k x k. Todistus. Srjn supetess ossummien jonoill (S n ) j (S n ) on sm rj-rvo S eli lim S n lim S n S. n n Täten lim x n lim (S n S n ) n n lim S n lim S n S S. n n Huomutus 3.4. Luse 3.3 ei ole voimss kääntäen. Esimerkiksi hrmoninen srj hjntuu (ks. esimerkki 3.3, s. 5), vikk sen termin rj-rvo on noll. Luse 3.3 voidn esittää myös muodoss, jot voidn helposti käyttää srjn hjntumisen osoittmiseen. Seurus 3.5 (Hjntumistrkstin). Jos lim x k k hjntuu., niin srj x k k Esimerkki 3.8. Osoitetn, että srj hjntuu. n n n + 2 Kosk n lim n n + 2 lim n + 2 ( ), n niin srj hjntuu hjntumistrkstimen nojll. 57

Esimerkki 3.9. Vstvll tvll kuin esimerkissä 3.8 voidn osoitt, että srj n sin n hjntuu (hrjoitustehtävä). n Luse 3.6. Olkoon x k S, y k T j c R. Tällöin k k (i) (ii) c x k c S, k (x k + y k ) S + T. k Todistus. Äärellisten summien perusominisuuksien j oletusten nojll (i) S n n c x k n c x k c S, kun n, k k (ii) S n n (x k + y k ) k n n x k + y k S + T, kun n. k k Huomutus. Luseess 3.6 srjn summn olemssolo sisältää tietysti oletuksen (ti väitteen), että srj suppenee. Esimerkki 3.. Kosk esimerkin 3.7 (s. 56) perusteell niin luseen 3.6 nojll k ( ) k 2k + rc tn, k ( ) k+ 2k + ( ) k ( ) k 2k + rc tn rc tn( ) π 4 (j siis molemmt srjt suppenevt). Vrt. esimerkki 5.2, s. 2. 58

Esimerkki 3.. Osoitetn, että srj suppenee, j määritetään srjn summ. + 2 k+2 k 3 k+ Luseen 3.6 j geometrisen srjn suppenemistulosten (esimerkki 3.4, s. 52) nojll j k k 3 k+ k 2 k+2 3 k+ k 3 3 k 3 2 2 3 2k 3 k 4 3 k ( 3 k ( 2 3 ) k 3 ) k 4 3 3 2 3 3 3 2 2 4 3 3 4 (j siis molemmt srjt suppenevt). Täten luseen 3.6 nojll trksteltv srj suppenee j k + 2 k+2 3 k+ ( ) 2k+2 + k 3k+ 3 k+ 2 + 4 9 2. Esimerkki 3.2. Lusett 3.6 käyttäen geometrisen srjn q k k jäännöstermi sdn srjn supetess helposti määritettyä myös käyttämättä srjn ossumm (vrt. esimerkki 3.5, s. 53), sillä kun q <, niin R n q k q n q k q n kn k q qn q. Seurus 3.7. Jos c j srj x k k hjntuu, niin myös srj hjntuu. c x k k 59

Esimerkki 3.3. Srj k hjntuu seuruksen 3.7 nojll, sillä 2 k j hrmoninen srj hjntuu (esimerkki 3.3, s. 5). k k 2 k k k 2 k Seurus 3.8. Jos toinen srjoist x k k j y k k suppenee j toinen hjntuu, niin srj (x k + y k ) k hjntuu. Esimerkki 3.4. Osoitetn, että srj k + 2 k(k + ) hjntuu. Kosk k + 2 k(k + ) k (k + ) + k(k + ) k + k(k + ) kikill k Z +, niin väite seur suorn seuruksest 3.8, sillä srj k(k + ) k suppenee (esimerkki 3., s. 5) j hrmoninen srj k hjntuu (esimerkki 3.3, s. 5). k 6

Huomutus. Jos srjt x k k molemmt hjntuvt, niin srj j y k k (x k + y k ) k voi hjntu ti supet (ks. esimerkki 3.5). Esimerkki 3.5. Olkoon x k k j y k k (k Z + ). Tällöin srjt x k j y k k k molemmt hjntuvt (hrmoninen srj; seurus 3.7). Toislt srj ( ( (x k + y k ) k k k + )) k k suppenee, mutt srj ( (x k + x k ) k k k + ) 2 k k k hjntuu (esimerkki 3.3). Huomutus. Jos srjt x k k molemmt suppenevt, niin srjn j x k y k k y k k ei silti trvitse supet (ks. esimerkki 3.6). 6

Esimerkki 3.6. Myöhemmin esimerkissä 3.3 (s. 8) osoitetn, että srj x k k k suppenee. Kuitenkin kertomll stu srj ( ) k+ k x k x k k k ( ) k+ k ( )k+ k hjntuu hrmonisen srjn (esimerkki 3.3, s. 5). k k Todistetn vielä luvun 3.2 lopuksi pri sinänsä ilmeistä myöhemmissä todistuksiss trvittv putulost. Luse 3.9. Jos srjt S x k j T k y k k suppenevt j niin S T. x k y k k Z +, Todistus. Luseen oletusten perusteell n S n x k k n y k T n n Z +. k Kosk srjt suppenevt, niin lukujonon rj-rvon perusominisuuksien nojll S lim S n lim T n T. n n Seurus 3.. Jos srjt S suppenevt, niin S T. x k j T k x k k 62

Todistus. Kosk x k x k x k k Z +, niin luseen 3.9 (j srjn suppenemisen perusominisuuksien) nojll T S T. Täten väite seur itseisrvon perusominisuuksist. Huomutus 3.. Luvun 3.2 tulokset ovt tietysti voimss myös, jos srjn indeksointi lk jostkin muust luvust kuin. 63

3.3 Positiiviterminen srj Positiivitermisellä srjll trkoitetn srj, jonk termit ovt ei-negtiivisi. Toisin snoen srj x k k on positiiviterminen, jos x k kikill k Z +. Luse 3.2. Positiiviterminen srj suppenee täsmälleen silloin, kun sen ossummien jono (S n ) on ylhäältä rjoitettu. Todistus. Positiivitermisen srjn ossummien jono (S n ) on ilmn muut ksvv. Jos (S n ) on lisäksi ylhäältä rjoitettu, niin rj-rvo lim S n S n on olemss monotonisten jonojen perusluseen nojll, joten srj suppenee Jos ts (S n ) ei ole ylhäältä rjoitettu, niin lim S n, n joten srj hjntuu. Positiivitermisille srjoille on lukuisi suppenemistestejä, joist tässä trkstelln muutm. Aluksi trkstelln integrlitestiä. 3.3. Integrlitrkstin Integrlitestissä tvoitteen on verrt srjn j epäoleellisen integrlin suppenemist. Luse 3.3 (Integrlitrkstin). Olkoon f sellinen vähenevä funktio, että f(x) kikill x. Tällöin f(k) suppenee k f(x) dx suppenee. 64

Todistus. Kosk f on vähenevä, niin kikill k Z +. Täten f(k) f(x) f(k + ) x [k, k + ] f(k) j edelleen k+ k f(k) dx k+ k f(x) dx k+ k f(k + ) dx f(k + ) k Z + (3.) n f(k) k n+ f(x) dx n f(k + ) k n+ k2 f(k) n Z +. : Oletetn ensiksi, että suppenee. Kosk nyt f(x), niin S n f(x) dx n n f(k) f() + f(k) (3.) n f() + k k2 f(x) dx f() + kikill n Z +. Siis jono (S n ) on ylhäältä rjoitettu, joten srj suppenee luseen 3.2 nojll. : Oletetn sitten, että f(k) k f(k) M k f(x) dx } {{ } vkio suppenee. Olkoon z > j n z. Tällöin n z < n + j kosk f on ei-negtiivinen, niin z f(x) dx n+ Täten epäoleellinen integrli f(x) dx (3.) suppenee luseen 2.3 (s. 29) nojll. f(x) dx n f(k) k f(k) M. k 65

Huomutus 3.4. Luseen 3.3 todistuksest hvitn, että srjn j sitä vstvn epäoleellisen integrlin supetess f(x) dx f(k) f() + f(x) dx. k Huomutus 3.5. Integrlitrkstimesskn ei ole oleellist, että srjn summus loitetn indeksin rvost. Tulos pätee tietysti myös muill loitusrvoill k, kunhn vin trksteltv funktio f on vähenevä j f(x) kikill x k. Esimerkki 3.7. Osoitetn, että srj hjntuu. Funktio n2 f(x) n log n x log x on vähenevä j positiivinen, kun x 2. Täten integrlitrkstimen nojll Kosk z lim z 2 2 x log x dx niin sekä integrli että srj hjntuvt. f(x) dx suppenee lim z / z 2 log(log x) 2 x log x dx n2 n log n f(n) suppenee. n2 {}}{ lim ( log(log z) log(log 2)), z 66

Esimerkki 3.8. Osoitetn, että srj n n s suppenee, kun s >, j hjntuu, kun s. : Olkoon s. Tällöin lim n n s lim n n {}}{ s >, joten srj hjntuu hjntumistrkstimen nojll. 2 : Olkoon s >. Trkstelln funktiot f(x) x s, jok on nyt vähenevä j, kun x. Lisäksi esimerkin 2.7 (s. 27) nojll x s dx suppenee, kun s >, j hjntuu, kun s. Täten integrlitrkstimen nojll srj n s n suppenee, kun s >, j hjntuu, kun < s. Väite seur nyt kohdist j 2. Huomutus. Esimerkin 3.8 suppenevt srjt määrittelevät (osin) ns. Riemnnin zet-funktion ζ(s) (s > ), n s n joll on keskeinen rooli nlyyttiseksi lukuteoriksi kutsutull mtemtiikn oslueell. Huomutus. Jos s >, niin x s dx z lim z x s dx lim z s Täten huomutuksen 3.4 nojll sdn rvio / z s ζ(s) + s ( ) lim xs z s z s (s > ). s. 67

3.3.2 Mjorntti- j minornttiperite Mjorntti- j minorttiperitteiss trksteltv srj verrtn srjoihin, joiden tiedetään suppenevn ti hjntuvn. Peritteit kutsutn siksi myös vertiluperitteiksi. Luse 3.6 (Mjornttiperite). Jos (i) x k y k k Z +, (ii) y k suppenee, k niin myös srj x k suppenee. k Todistus. Ehdost (ii) seur, että on olemss sellinen T R, että y k T. k Kosk ehdon (i) nojll y k kikill k Z +, niin T n y + y 2 + + y n T n Z +. Täten ehdon (i) nojll S n x + x 2 + + x n y + y 2 + + y n T n Z +. Siis ossummien jono (S n ) on ylhäältä rjoitettu, joten luseen 3.2 nojll srj suppenee. x k k Jos K >, niin srjt y k k j K y k k suppenevt smnikisesti. Lisäksi srjn lkupään termeillä ei ole merkitystä srjn suppenemisen knnlt. Täten mjornttiperite voidn esittää seurvss sen käyttöä yksinkertistvss muodoss. 68

Seurus 3.7 (Mjornttiperite). Jos (i) K > j k Z + siten, että x k K y k k k, (ii) y k suppenee, k niin myös srj x k suppenee. k Mjornttiperitteell voidn siis osoitt srjn suppeneminen. Srjn hjntumisen osoittmiseen voidn vstvsti käyttää minornttiperitett, jost esitetään ts kksi eri muotoilu. Luse 3.8 (Minornttiperite). Jos (i) y k x k k Z +, (ii) y k hjntuu, k niin myös srj x k hjntuu. k k k Todistus. Jos srj x k suppenisi, niin myös srj y k suppenisi mjornttiperitteen nojll, missä on ristiriit oletuksen (ii) knss. Seurus 3.9 (Minornttiperite). Jos (i) K > j k Z + siten, että K y k x k k k, (ii) y k hjntuu, k niin myös srj x k hjntuu. k 69

Esimerkki 3.9. Osoitetn, että srj suppenee. k 2 k + 4 k 3 k + 5 k : Jos k N, niin 2k + 4 k 3 k + 5 4k + 4 k ( ) 4 k. 2 k 5 k 5 2 : Srj ( 4 k 5 suppenee, sillä kyseessä on geometrinen srj (esimerkki 3.4, s. 52), jonk suhdeluvulle q 4 pätee q <. 5 Kohdist j 2 seur mjornttiperitteen nojll, että trksteltv srj suppenee. ) k Huomutus. Mjorntti- j minornttiperitteit sovellettess käytetään vertilusrjn usein esimerkin 3.8 (s. 67) srj n jok suppenee, kun s >, j hjntuu, kun s. Erikoistpuksen tässä on hrmoninen srj (s ), jok siis hjntuu. n s, Esimerkki 3.2. Osoitetn, että srj hjntuu. : Jos n Z +, niin n + 3 n 2 + 2 2 : Hrmoninen srj n n n + 3 n 2 + 2 n n 2 + 2n n 2 3n 2 3 n. n hjntuu. Kohdist j 2 seur minornttiperitteen nojll, että trksteltv srj hjntuu. 7

Esimerkki 3.2. Vstvll tvll kuin esimerkissä 3.2 voidn osoitt, että srj n + 5 n 3 6n suppenee (hrjoitustehtävä). n Esimerkki 3.22. Osoitetn, että srj hjntuu. : Jos n Z +, niin ( ) n + 3 n n n + 3 n (n + 3) n n + 3 + n 3 n + 3 + n 3 n + 3n + n 3 2 n + n n 2 : Srj n. n hjntuu (esimerkki 3.8, s. 67). Kohdist j 2 seur minornttiperitteen nojll, että srj ( ) n + 3 n n hjntuu. 7

Esimerkki 3.23. Osoitetn, että srj suppenee. n n 2 e x2 dx : Kosk < e x2 kikill x R, niin n 2 e x2 dx n 2 dx n 2 n Z +. 2 : Srj n suppenee (esimerkki 3.8, s. 67). n2 Kohdist j 2 seur nyt mjornttiperitteen nojll, että trksteltv srj hjntuu. Huomutus. Epäoleellisen integrlin tpn (ks. huomutus 2.2, s. 2) sopiv mjoroiv ti minoroiv srj voidn joskus löytää tutkimll srjojen termien rj-rvo. Esimerkki 3.24. Osoitetn, että srj (3.2) hjntuu. sin n n Trkstelln vertilusrjn hrmonist srj. Kosk lim n sin n n, niin lukujonon rj-rvon perusominisuuksien nojll on olemss sellinen indeksin rvo n, että 2 sin n 3 n n. 2 n Täten < 2 n sin n n. n Kosk hrmoninen srj hjntuu, niin minornttiperitteen nojll myös srj (3.2) hjntuu. 72

3.3.3 Osmäärätrkstin Osmäärätrkstimess srjn suppeneminen pyritään selvittämään tutkimll khden peräkkäisen termin suhdett. Luse 3.2 (Osmäärätrkstin). Trkstelln srj x k. k (i) Jos olemss sellinen vkio L, < L <, j sellinen indeksin rvo k Z +, että x k > j niin trksteltv srj suppenee. x k+ x k L k k, (ii) Jos olemss sellinen vkio L j sellinen indeksin rvo k Z +, että x k > j x k+ x k L k k, niin trksteltv srj hjntuu. Todistus. (i) : Kosk niin Siis x k > j x k+ x k L k k, x k+ x k L k k. eli < x k +p x k +p L x k +p 2 L 2 x k L p p N < x k +p x k L p }{{} p N. vkio 2 : Kosk < L <, niin geometrinen srj suppenee. L p p Kohdist j 2 seur mjornttiperitteen nojll, että srj x k +p p 73

suppenee. Kosk srjn lkupään termeillä ei ole merkitystä srjn suppenemisen knnlt, myös srj suppenee. x k k (ii) Vstvll tvll kuin kohdss (i) sdn (kosk L ), että x k +p x k L p x k }{{} vkio > p N. Siis lim x k, k joten srj hjntuu hjntumistrkstimen nojll. Huomutus. Luseen 3.2 kohdss (i) ei ehdon sijst ei riitä ehto x k+ x k L < k k x k+ x k < k k. Esimerkiksi hrmoninen srj toteutt jälkimmäisen ehdon, mutt ei suppene. Esimerkki 3.25. Osoitetn, että srj suppenee. Nyt srjn k:s termi x k 3 + 2 3 + 2 3 + 2 2 2 3 + 2 2 2 3 + 3 2 p 3, kun k 2p (p Z +) eli k on prillinen, p 2 p 3, kun k 2p (p Z +) eli k on priton. p Selvästi x k > kikill k Z +. Kun k on priton (k 2p, p Z + ), niin x k+ x k x 2p x 2p 2 p 3 p / 2 p 3 p 2p 3 p 2 p 3 p 2, 74

j kun k on prillinen (k 2p, p Z + ), niin Täten Siis x k+ x k x 2p+ x 2p x 2(p+) x 2p x k+ x k 2 ti 2 (p+) 3 p+ x k+ x k 3 x k+ x k 2 < k Z +, joten srj suppenee osmäärätrkstimen nojll. / 2 p 3 p 2p 3 p 2 p 3 p+ 3. k Z +. Osmäärätrkstimest käytetään usein muoto, joss tutkitn termien osmäärän rj-rvo. Trkstimen rj-rvomuoto on usein helpompi käyttää, mutt toislt perusmuoto on yleisempi, sillä se voi sopi myös tpuksiin, joiss termien osmäärällä ei ole rj-rvo (ks. esimerkki 3.25). Luse 3.2 (Osmäärätrkstin). Oletetn, että srj x k on positiiviterminen j termien osmäärällä on k rj-rvo x k+ lim K. k x k Jos K <, niin srj suppenee, j jos K >, niin srj hjntuu. Todistus. Olkoon lukujen K j keskirvo. L K + 2 : Oletetn, että K <. Tällöin K < L < j lukujonon rj-rvon perusominisuuksien nojll on olemss sellinen k Z +, että x k+ x k < L < k k. Täten srj suppenee osmäärätrkstimen perusversion nojll. 2 : Oletetn, että K >. Tällöin K > L > j lukujonon rj-rvon perusominisuuksien nojll on olemss sellinen k Z +, että x k+ x k > L > k k. Täten srj hjntuu osmäärätrkstimen perusversion nojll. 75

Huomutus. Jos luseess 3.2 rj-rvo on, niin srj voi supet ti hjntu (ks. esimerkki 3.26). Esimerkki 3.26. Toinen srjoist n n hjntuu j toinen suppenee (ks. esimerkki 3.8, s. 67). Kuitenkin j lim n lim n / n + n lim n / (n + ) 2 n lim 2 n j n n n + n 2 lim n n 2 (n + ) 2 lim n + n joten molemmiss srjoiss termien osmäärän rj-rvo on. + 2 n + n 2, Esimerkki 3.27. Osoitetn, että srj suppenee. n (n!) 2 (2n)! Srj on selvästi positiiviterminen. Jos x n on srjn n:s termi, niin x n+ x n ((n + )!)2 / (n!) 2 (2(n + ))! (2n)! (n + )! (n + )! (2n)! n! n! (2n + 2)! (n + )(n + ) (2n + )(2n + 2) ( + n )( + n ) (2 + n )(2 + 2 n ), kun n, 4 joten osmäärätrkstimen rj-rvomuodon nojll srj suppenee. 76

Esimerkki 3.28. Osoitetn, että srj hjntuu. Jos x n on srjn n:s termi, niin n n! 2 2n x n+ x n (n + )! 2 2(n+) / n! (n + )! 22n n + 22n n! 2 2n+2 4, kun n. Siis on olemss sellinen vkio L j sellinen indeksin rvo n Z +, että x n > j x n+ x n L n n, joten osmäärätrkstimen nojll srj hjntuu. Esimerkki 3.29. Osoitetn, että srj n x n n! + x + x2 2! + x3 3! + suppenee, kun x. : Kun x, niin srjn suppeneminen on ilmeistä. Kosk srjn ensimmäinen termi on ykkönen j muut termit ovt nolli, niin srjn kikkien ossummien rvo j täten myös srjn summ on. 2 : Olkoon x >. Tällöin srj on selvästi positiiviterminen j x n+ / x n (n + )! n! xn+ n! x n (n + )! x n +, kun n, joten osmäärätrkstimen rj-rvomuodon nojll srj suppenee. 77

3.4 Vuorottelev srj Olkoon x k kikill k Z +. Tällöin srj ( ) k x k x x 2 + x 3 + ( ) k x k + k snotn vuorottelevksi srjksi. Vuorottelevn srjn suppenemist voidn tutki esimerkiksi Leibnizin luseen vull. Luse 3.22 (Leibnizin luse). Oletetn, että (i) x k k Z +, (ii) x x 2 x 3 x k, (iii) lim k x k. Tällöin srj ( ) k x k k suppenee. Lisäksi jäännöstermi R n on smnmerkkinen kuin ensimmäinen poisjätetty termi ( ) n x n+ j R n x n+. Todistus. Olkoon ε > j S n srjn n:s ossumm (n Z + ). Kun p Z + j p on priton, niin S n+p S n ( ) n x n+ + ( ) n+ x n+2 + + ( ) n+p x n+p ( ) n x n+ x n+2 + + x n+p {}}{ (x n+ x n+2 ) + + {}}{ (x n+p 2 x n+p ) + {}}{ x n+p x n+ x n+2 + + x n+p 2 x n+p + x n+p x n+ x n+. {}}{{}}{ (x n+2 x n+3 ) (x n+p x n+p ) 78

Vstvsti jos p on prillinen, niin S n+p S n ( ) n x n+ + ( ) n+ x n+2 + + ( ) n+p x n+p ( ) n x n+ x n+2 + x n+p {}}{{}}{ (x n+ x n+2 ) + + (x n+p x n+p ) x n+ x n+2 + + x n+p x n+p x n+ x n+. {}}{ (x n+2 x n+3 ) {}}{ (x n+p 2 x n+p ) {}}{ x n+p Siis S n+p S n x n+ n, p Z +. Kosk x n kikill n Z + j lim x n, n niin lukujonon rj-rvon perusominisuuksien nojll on olemss sellinen rjluku n ε Z +, että x n+ < ε n n ε. Täten S n+p S n < ε n n ε, p Z +. Siis Cuchyn suppenemisehdon nojll lukujono (S n ) j smll myös srj ( ) k x k k suppenee. Trkstelln sitten jäännöstermiä R n (n Z + ). Kosk srj suppenee, niin ( ) n R n ( ) ( n ( ) n x n+ + ( ) n+ x n+2 + ( ) n+2 x n+3 + ) x n+ x n+2 + x n+3 j edelleen huomutuksen 3. (s. 5) nojll x n+ x n+2 + x n+3 {}}{{}}{ x n+ x n+2 + x n+3 x n+4 + 79

sekä x n+ x n+2 + x n+3 x n+ Täten {}}{{}}{ x n+2 + x n+3 x n+3 + x n+4 x n+. ( ) n R n x n+. Kosk ( ) n R n, niin jäännöstermin R n on oltv smnmerkkinen kuin ensimmäinen poisjätetty termi ( ) n x n+. Lisäksi siis R n x n+. Huomutus. Leibnizin lusett sovellettess riittää, että luseen oletukset ovt voimss indeksin k jostkin rvost k lken. Tällöin tietysti jäännöstermiä koskev ehto on voimss vin, kun k k. Esimerkki 3.3. Osoitetn, että ( ) n+ suppenee s >. n n s : Jos s >, niin srj on selvästi vuorottelev. 2 : Jos s >, niin n s on (idosti) ksvv j 3 : Jos s >, niin lim n n. s > 2 s > 3 s > >. Kohdist - 3 seur nyt Leibnizin luseen nojll, että srj suppenee, kun s >. Jos ts s, niin rj-rvo ( ) n+ n n s ( ) n+ lim lim n n s n ( ) n+ n s ei ole olemss. Täten srj hjntuu hjntumistrkstimen nojll. 8

Esimerkki 3.3. Osoitetn, että srj ( 4) n n n! n ( ) n 4n n! suppenee. : Srj on vuorottelev. 2 : Jos n N, niin 4 n n! 4n+ (n + )! (n + )! n! 4n+ 4 n Siis 4 n n! 4n+ (n + )! 4n+2 (n + 2)! n + 4 n 3. n 3, joten Leibnizin luseen ehto (ii) on voimss, kun n n 3. 3 : Kosk < 4n n! 4 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 4 n 4 4 2 4 3 4 4 4 5 4 5 4 5 32 ( ) 4 n 4 3 5 kikill n 4, niin lim n 4 n n!. Kohdist - 3 seur nyt Leibnizin luseen nojll, että srj suppenee. n ( ) n 4n n! 8

Huomutus. Leibnizin luseess termien monotonisuusehto on välttämätön (ks. esimerkki 3.32). Esimerkki 3.32. Olkoon x k p + + ( ) k, kun k 2p ti k 2p (p Z + ). Osoitetn, että vuorottelev srj (3.3) ( ) k x k k 2 2 + + 3 3 + + hjntuu, vikk Leibnizin luseen ehdot (i) j (iii) ovt voimss. Selvästi x k kikill k Z + j lim x k. k Täten Leibnizin luseen ehdot (i) j (iii) ovt voimss. Toislt hrmonisen srjn ossummn (ks. esimerkki 3.3, s. 5) n k k joten myös srjn (3.3) ossumm S 2n k, kun n, n ( ) k + k + + n k n k 2 (k + ) 2 k 2 n k k, kun n. Täten srjn (3.3) ossummien jono hjntuu, joten myös srj (3.3) hjntuu. 82

3.5 Itseinen suppeneminen Trkstelln lopuksi vielä lyhyesti srjn itseistä suppenemist. Määritelmä 3.3. Srj x k suppenee itseisesti, jos srj x k suppenee. k k Luse 3.23. Itseisesti suppenev srj suppenee myös tvllisess mielessä. Todistus. Oletetn, että srj x k k suppenee. Kosk x k x k 2 x k k Z +, niin mjornttiperitteen nojll myös srj ( x k x k ) k suppenee. Täten myös termit yhdistämällä stu srj ( xk ( x k x k ) ) k x k k suppenee. Huomutus. Luse 3.23 ei ole voimss kääntäen (ks. esimerkki 3.34). Määritelmä 3.4. Srj suppenee ehdollisesti, jos srj suppenee, mutt ei suppene itseisesti. 83

Esimerkki 3.33. Srj q n n suppenee itseisesti, kun q <, sillä tällöin srj q n n suppenee (esimerkki 3.4, s. 52). q n n Esimerkki 3.34. Kun < s, niin srj ( ) n+ n suppenee Leibnizin luseen nojll (esimerkki 3.3, s. 8), mutt srj ( ) n+ n s n s n hjntuu (esimerkki 3.8, s. 67). Täten srj n s ( ) n+ n suppenee ehdollisesti, kun < s. n s n Esimerkki 3.35. Osoitetn, että srj n suppenee ehdollisesti. ( ) n 3n + ( ) n }{{} x n 4 5 + + Srj suppenee Leibnizin luseen nojll (hrjoitustehtävä). Kosk x n j hrmoninen srj 3n + ( ) n 3n + 3n + n 4 n > n Z + hjntuu (esimerkki 3.3, s. 5), niin minornttiperitteen nojll srj n n x n n hjntuu. Täten suppeneminen ei ole itseistä. 84

Esimerkki 3.36. Vstvll tvll kuin esimerkeissä 3.34 j 3.35 voidn osoitt, että srj ( ) n log n n n2 suppenee ehdollisesti (hrjoitustehtävä). Huomutus. Positiivitermisiä srjoj koskevt suppenemiskriteerit sttvt oll tehokkit myös muille srjoille, kun sovelletn niitä srjn, joss terminä on lkuperäisen termin itseisrvo. Esimerkki 3.37. Osoitetn, että srj suppenee. niin : Kosk 2 : Srj n n sin n + cos(n 2 ) } n {{ 2 } x n sin n + cos(n 2 ) 2 n Z+, x n 2 n 2 n Z +. suppenee (esimerkki 3.8, s. 67). n2 Kohdist j 2 seur mjornttiperitteen nojll, että srj suppenee, joten srj n x n n sin n + cos(n 2 ) n 2 suppenee itseisesti j siis myös tvllisess mielessä. Huom. Srjn suppenemisen tutkimiseen ei nyt void käyttää Leibnizin lusett, sillä srj ei ole vuorottelev. 85

Esimerkki 3.38. Esimerkissä 3.29 (s. 77) osoitettiin, että srj suppenee, kun x. Osoitetn nyt, että srj suppenee kikill x R. Olkoon siis x < j n N. Jos nyt n x n n! niin x n > j x n xn n!, x n+ x n / x n+ x n (n + )! n! x n+ n! x n (n + )! x n +, kun n, joten osmäärätrkstimen nojll srj suppenee itseisesti j smll tvllisess mielessä. Siis srj suppenee (itseisesti) kikill x R. Huomutus. Positiivitermisiä srjoj koskevt suppenemiskriteerit voidn joisskin tpuksiss myös suorn muunt muotoon, joss srjn termin sijst tutkitn termin itseisrvo. Trkstelln esimerkkinä osmäärätestin rj-rvomuoto (luse 3.2, s. 75). Luse 3.24 (Osmäärätrkstin). Oletetn, että srjn x k k termien itseisrvojen osmäärällä on rj-rvo x k+ lim k x k K. Jos K <, niin srj suppenee, j jos K >, niin srj hjntuu. Todistus. : Oletetn, että K <. Tällöin srj suppenee positiivitermisten srjojen osmäärätrkstimen nojll itseisesti j siis myös tvllisess mielessä. 86

2 : Oletetn, että K >. Olkoon L K + 2 lukujen K j keskirvo. Tällöin K > L > j lukujonon rj-rvon perusominisuuksien nojll on olemss sellinen k Z +, että x k+ x k > L > k k. Vstvll tvll (hrjoitustehtävä) kuin positiivitermisten srjojen osmäärätestin (luse 3.2, s. 73) todistuksess sdn (kosk L > ), että Siis x k +p > x k L p > x k }{{} vkio lim x k, k joten srj hjntuu hjntumistrkstimen nojll. Esimerkki 3.39. Tutkitn srjn suppenemist. Kun k, niin x k+ x k k k k ( 2) k k! } {{ } x k > p Z +. (k + ) k+ / k k 2 k+ (k + )! 2 k k! 2k 2 k! (k + )k+ k+ (k + )! k k 2 2 2 (k + )k+ k + k k (k + )k k k 2 ( + ) k k ( k + k ) k 2 e >. Siis srj hjntuu osmäärätrkstimen (luse 3.24) nojll. 87

4 Funktiosrjoist 4. Funktiosrjn suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn funktioist u k : I R, k N, muodostettu srj u k (x). k Srj on tietenkin määritelty välillä I. Srjn ossummst käytetään merkintää S n (x) n k u k (x). Ossumm S n (x) vstvst jäännöstermistä käytetään merkintää R n (x) u k (x). Numeeristen srjojen tpn nytkään ei ole oleellist, millä kirjimell srjn indeksiä merkitään ti loitetnko srjn indeksointi nollst, ykkösestä ti jostkin muust kokonisluvust. Smten ossummst voitisiin ivn hyvin käyttää merkintää n S n (x) u k (x) j jäännöstermistä vstvsti merkintää R n (x) kn k kn+ u k (x). Jos piste x kuuluu srjn määrittelyväliin j srjn indeksointi loitetn nollst, srjn ensimmäisenä terminä esiintyy myös epämääräinen muoto. Aiempn tpn tällöin noudtetn sopimust, että srjn terminä. Määritelmä 4.. Funktioist u k : I R muodostettu srj u k (x) k suppenee (eli suppenee pisteittäin ti tvllisess mielessä) välillä I kohti summfunktiot S : I R, jos S(x) u k (x) jokiselle yksittäiselle pisteelle x I. k 88

Huomutus 4.. Srj u k (x) k suppenee kohti summfunktiot S(x) välillä I täsmälleen silloin, kun kikill x I. lim S n(x) S(x) n Huomutus 4.2. Kvnttoreit käyttäen srjn suppeneminen välillä I trkoitt, että u k (x) k x I : ε > : n ε N siten, että R n (x) < ε n > n ε. Jos srjn ossumm on S n (x) j summ S(x), niin yllä olev ehto voidn ilmist myös muodoss x I : ε > : n ε N siten, että S n (x) S(x) < ε n > n ε. Huomutus. Kosk srjn suppeneminen välillä I plutuu srjn suppenemiseen välin I yksittäisissä pisteissä, luvuss 3 johdetut srjojen perusominisuudet ovt voimss myös välillä I (jos srj suppenee välillä I). Jos esimerkiksi c R j u k (x) S(x) k j w k (x) T (x) k (j siis trksteltvt srjt suppenevt) välillä I, niin myös c u k (x) c S(x) k j (u k (x) + w k (x)) S(x) + T (x) k (j kyseiset srjt suppenevt) välillä I (vrt. luse 3.6, s. 58). 89

Esimerkki 4.. Esimerkissä 3.4 (s. 52) osoitettiin, että geometrinen srj x k k suppenee välillä I ], [. Srjn supetess x k k x. Jos x, niin geometrinen srj ei suppene vn hjntuu. Esimerkki 4.2. Esimerkissä 3.38 (s. 86) osoitettiin, että srj k suppenee kikill x R. Srjn summ määritetään esimerkissä 4.6 (s. 7). x k k! Esimerkki 4.3. Olkoon c R. Tutkitn, milloin srj (x c) n n suppenee. Kun x c j n, niin (x c) n+ /(n + ) (x c) n /n n n x c n+ (n + ) x c n n x c x c. n + Täten suppenemisen trkstelu voidn jk seurviin tpuksiin. : Jos x c, niin joten srj suppenee. (x c) n n 2 : Jos < x c <, niin srj n (x c) n n n, n suppenee osmäärätrkstimen (itseisen suppenemisen version) nojll. 3 : Jos x c >, niin srj (x c) n n hjntuu osmäärätrkstimen (itseisen suppenemisen version) nojll. n 9

4 : Jos x c, niin (x c) n n n n n, joten srj hjntuu (esimerkki 3.3, s. 5). 5 : Jos x c, niin kyseessä on vuorottelev srj n ( ) n n, jok suppenee Leibnizin luseen nojll (esimerkki 3.3, s. 8). Kohdist - 5 seur, että srj (x c) n suppenee täsmälleen silloin, kun x c [, [ eli x [c, c + [. n n Esimerkki 4.4. Kosk ( ) k x k k k ( x) k, k k niin esimerkin 4.3 nojll srj ( ) k x k k suppenee täsmälleen silloin, kun x [, [ eli kun x ], ]. Srjn summ määritetään esimerkissä 4.4 (s. 3). k Esimerkki 4.5. Vstvll tvll kuin esimerkissä 4.3 voidn osoitt, että srj (x 2) n n 2 2 2n suppenee täsmälleen silloin, kun x [ 2, 6] (hrjoitustehtävä). n 9

4.2 Srjn tsinen suppeneminen Olisi mukv, jos funktiosrjn termien ominisuudet (esimerkiksi jtkuvuus, derivoituvuus j integroituvuus) periytyisivät srjn supetess srjn summfunktiolle. Yleisesti näin ei kuitenkn välttämättä tphdu (ks. esimerkki 4.3, s. ). Siksi on trpeen tutki srjn pisteittäistä suppenemist vhvemp ominisuutt. Määritelmä 4.2. Srj suppenee tsisesti välillä I, jos u k (x) k ε > : n ε N siten, että R n (x) < ε x I, n > n ε, missä R n (x) on srjn jäännöstermi (ks. s. 88). Huomutus 4.3. Jos srjn ossumm on S n (x) j summ S(x), niin määritelmän 4.2 ehto voidn ilmist myös muodoss ε > : n ε N siten, että S n (x) S(x) < ε x I, n > n ε. Huomutus 4.4. Srj ei suppene tsisesti välillä I, jos u k (x) k ε > : n ε N: x I : n > n ε siten, että R n (x) ε eli jos ε > : n ε N: x I : n > n ε siten, että S n (x) S(x) ε, missä S n (x) on srjn ossumm j S(x) srjn summ. 92

Huomutus 4.5. Jos srj suppenee tsisesti välillä I, se suppenee tsisesti myös jokisell välin I osvälillä. Huomutus. Jos srj suppenee tsisesti välillä I, se suppenee myös pisteittäin välillä I. Huomutus. Jos funktiosrj ei suppene josskin välin I pisteessä, srj ei tietenkään suppene tsisesti (eikä myöskään pisteittäin) välillä I. Huomutus 4.6. Olkoon c R. Jos srjt u k (x) k j w k (x) k suppenevt tsisesti välillä I, myös srjt c u k (x) k j (u k (x) + w k (x)) k suppenevt tsisesti välillä I (hrjoitustehtävä). Esimerkki 4.6. Osoitetn, että geometrinen srj (ks. esimerkki 4., s. 9) x k k x suppenee tsisesti jokisell välin ], [ suljetull osvälillä [, b]. Vlitn (mielivltinen) ε >. Merkitään c mx{, b }, jolloin < c <. Hyödyntämällä geometrisen srjn summkv sdn jäännöstermille rvio (vrt. esimerkki 3.2, s. 59) R n (x) x k x n x k x n kn k x xn x 93 x ], [.

Täten Lisäksi R n (x) x n x x x n c cn x [, b]. lim n joten on olemss sellinen n ε N, että Täten Siis srj suppenee tsisesti välillä [, b]. c cn, c cn < ε n > n ε. R n (x) < ε x [, b], n > n ε. x k k Esimerkki 4.7. Osoitetn, että geometrinen srj (ks. esimerkki 4., s. 9) x k k x ei suppene tsisesti välillä I ], [. Vlitn ε. Olkoon n ε N mielivltinen j n > n ε jokin joukon Z + lkio. Olkoon lisäksi z ( ) n n 2 2 n 2. Tällöin z I sekä Täten esimerkin 4.6 nojll Siis srj R n (z) ei suppene tsisesti välillä I. z < j 2 zn. 2 z n z z zn 2 2. x k k 94

Esimerkki 4.8. Olkoon >. Tällöin srj ( ) k k suppenee tsisesti välillä I [, [ (hrjoitustehtävä). Huom. Jos, niin piste x kuuluu väliin I. Tällöin ( ) k k, k x joten tsist suppenemist ei voi osoitt Weierstrssin M-testiä (ks. luse 4.8) käyttäen. Tehtävä on siis rtkistv suorn määritelmää käyttäen eli rvioimll srjn jäännöstermiä. k x Huomutus 4.7. Esimerkistä 4.8 nähdään, että srjn tsinen suppeneminen ei tk, että srj suppenisi itseisesti. Srjn tsisen suppenemisen tutkiminen suorn määritelmään perustuen on melko hnkl. Seurvksi esitettävä Weierstrssin M-testi trjo joskus helpon tvn osoitt, että srj suppenee tsisesti. Testiä ei kuitenkn voi käyttää sen osoittmiseen, että srj ei suppene tsisesti. Weierstrssin M-testissä trksteltvn srjn termejä mjoroidn jonkin suppenevn numeerisen srjn termeillä. Tällöin myös trksteltvn srjn jäännöstermiä voidn rvioid koko välillä tämän yhden suppenevn numeerisen srjn jäännöstermillä. Kosk numeerisen srjn jäännöstermi lähestyy suppenemisen vuoksi noll termien lukumäärän ksvess, sdn riittävä rvio myös trksteltvn funktiosrjn jäännöstermille (vrt. esimerkki 4.6, s. 93). Luse 4.8 (Weierstrssin M-testi). Olkoot M, M, M 2,... ei-negtiivisi relilukuj j I jokin relilukuväli. Jos (i) k N siten, että u k (x) M k x I, k > k, (ii) srj M k suppenee, k niin srj u k (x) suppenee tsisesti välillä I. k 95

Todistus. Vlitn (mielivltinen) ε >, j oletetn, että n > k. Luseen oletusten j mjornttiperitteen nojll srjt M k, kn u k (x) j kn u k (x) kn suppenevt kikill x I. Käyttämällä seurust 3. (s. 62) sekä oletust (i) j lusett 3.9 (s. 62) sdn nyt kikill x I. R n (x) u k (x) kn u k (x) kn Lisäksi oletuksen (ii) perusteell (huomutus 3.2, s. 53) lim n M k, kn M k kn joten lukujonon rj-rvon määritelmän nojll on olemss sellinen n N, että Täten M k < ε n > n. kn R n (x) M k kn in, kun n > n ε mx{k, n } j x I. Siis srj u k (x) k < ε suppenee tsisesti välillä I. Huomutus 4.9. Weierstrssin M-testin nojll myös srj u k (x) k suppenee tsisesti välillä I. 96

Esimerkki 4.9. Osoitetn, että jos s >, niin srjt sin(kx) cos(kx) j k s k s k suppenevt tsisesti joukoss R. Olkoon s >. Tällöin sin(kx) : k s j k s 2 : srj Siis srjt k k cos(kx) k s x R, k Z k s +, suppenee (esimerkki 3.8, s. 67). ks k sin(kx) k s j k cos(kx) k s suppenevt Weierstrssin M-testin nojll tsisesti joukoss R. Esimerkki 4.. Käyttämällä Weierstrssin M-testiä voidn osoitt, että srj ( x)x k k suppenee tsisesti välillä [, ] (hrjoitustehtävä). Esimerkki 4.. Osoitetn, että srj k k x k k! suppenee tsisesti jokisell äärellisellä välillä [, b]. Käytetään mjornttisrjn välin [, b] päätepisteessä stv srj. Olkoon siis c mx{, b }. Tällöin x k : k! ck k! 2 : srj Täten srj k c k k! x [, b], k N, suppenee (esimerkki 3.38, s. 86). suppenee tsisesti välillä [, b] Weierstrssin M-testin nojll. k 97 x k k!

Esimerkki 4.2. Vstvsti kuin esimerkissä 4. voidn osoitt, että srjt ( ) k x 2k k (2k)! j k ( ) k x 2k+ (2k + )! suppenevt tsisesti jokisell äärellisellä välillä [, b] (hrjoitustehtävä). 98

4.3 Tsisen suppenemisen seuruksi 4.3. Summfunktion jtkuvuus Osoitetn seurvksi, että vikk srjn supetess srjn termien jtkuvuus jollkin välillä ei välttämättä periydy srjn summfunktiolle, näin tphtuu, jos srjn suppeneminen on tsist. Luse 4.. Jos välillä I tsisesti suppenevn srjn termit ovt jtkuvi välillä I, myös srjn summfunktio on jtkuv välillä I. Todistus. Todistetn jtkuvuus tpuksess, joss trksteltv piste on välin I sisäpiste. Tpukset, joiss kyseessä on (esimerkiksi suljetun) välin päätepiste, todistetn vstvsti (hrjoitustehtävä). Olkoon siis I välin I sisäpiste. Vlitn (mielivltinen) ε >. Olkoon lisäksi S n (x) tsisesti suppenevn srjn ossumm j S(x) summ (välillä I). Kosk srj suppenee tsisesti välillä I, huomutuksen 4.3 (s. 92) nojll on olemss sellinen n ε Z +, että S n (x) S(x) < ε 3 x I, n > n ε. Olkoon nyt n > n ε. Kosk srjn termit ovt jtkuvi välillä I, srjn (äärellinen) ossumm S n (x) on jtkuv pisteessä x. Täten jtkuvuuden määritelmän nojll on olemss sellinen δ >, että 2 S n (x) S n () < ε 3 in, kun x < δ. Jos siis x < δ (j x I), niin S(x) S() S(x) S n (x) + S n (x) S n () + S n () S() -ey S(x) S n (x) }{{} < ε 3 + S n (x) S n () }{{} < ε 3 + S n () S() }{{} < ε 3 < ε 3 + ε 3 + ε 3 ε. Siis funktio S(x) on jtkuv pisteessä x. Kosk oli mielivltinen välin I piste, niin S on jtkuv välillä I. Tällöin on trksteltv vsemmlt ti oikelt jtkuvuutt. 2 Todistuksen yleisyyttä rjoittmtt voidn olett luvun δ olevn niin pieni, että jos x < δ, niin x I. 99

Huomutus. Srjn summfunktio voi tietenkin oll jtkuv välillä I, vikk srjn suppeneminen ei olisikn tsist välillä I (ks. esimerkki 4.7, s. 94). Seurus 4.. Jos srjn termit ovt jtkuvi välillä I, mutt srjn summfunktio ei ole jtkuv välillä I, niin srj ei suppene tsisesti välillä I. Esimerkki 4.3. Tutkitn srjn tsist suppenemist välillä [, ]. Kosk ( x 2 )x k k ( x 2 )x k ( x 2 ) x k, k k niin geometrisen srjn suppenemisen nojll trksteltv srj suppenee (pisteittäin) j ( x 2 )x k ( x 2 ) x + x k kikill x ], [. Lisäksi srj suppenee, kun x ±, sillä tällöin ( x 2 )x k k. k Siis srj suppenee välillä [, ] j ( x 2 )x k k x +, kun x <,, kun x. Nyt srjn termit ovt jtkuvi välillä [, ]. Srjn summfunktio sen sijn ei ole (vsemmlt) jtkuv pisteessä x. Täten seuruksen 4. nojll srj ei suppene tsisesti välillä [, ]. ( x 2 )x k k

4.3.2 Srjn integrointi Osoitetn sitten, että funktiosrj voidn integroid termeittäin, jos srj suppenee tsisesti j srjn termit ovt jtkuvi. Luse 4.2. Oletetn, että (i) funktiot u k ovt jtkuvi välillä [, b] (kikill k N), (ii) srj S(x) u k (x) suppenee tsisesti välillä [, b]. k Tällöin termit u k (x) integroimll muodostettu srj suppenee j b ( u k (x) k ) } {{ } S(x) dx b u k (x) dx. k Todistus. Vlitn (mielivltinen) ε >, j merkitään S n (x) n k u k (x), n Z +. Kosk funktiot u k ovt jtkuvi j srjn suppeneminen on tsist välillä [, b], niin luseen 4. (s. 99) nojll summfunktio S on jtkuv j siten myös integroituv välillä [, b]. Myös srjn yksittäiset termit j ossummfunktiot S n (n Z + ) ovt jtkuvin funktioin integroituvi välillä [, b]. Kosk srj suppenee tsisesti välillä [, b], on huomutuksen 4.3 (s. 92) nojll olemss sellinen n ε Z +, että Jos siis n > n ε, niin S n (x) S(x) < ε b b b S n (x) dx S(x) dx x [, b], n > n ε. b (S n (x) S(x)) dx b S n (x) S(x) dx

< b ε. Siis lukujonon rj-rvon määritelmän nojll b (4.) lim S n (x) dx n j edelleen k b b ε b dx S(x) dx n b u k (x) dx n lim u k (x) dx k b n lim ( n k u k (x) b n lim S n (x) dx ) dx (4.) b S(x) dx b ( u k (x) k ) dx. Seurus 4.3. Oletetn, että c I j (i) funktiot u k ovt jtkuvi välillä I (kikill k N), (ii) srj S(t) u k (t) suppenee tsisesti välillä I. k Tällöin yhtälön (4.2) oikell puolell olev srj suppenee j (4.2) kikill x I. x c S(t) dt x ( c u k (t) k ) dt k x c u k (t) dt Huomutus. Yhtälö (4.2) ei välttämättä päde (mutt voi päteä), jos srjn suppeneminen ei ole tsist. 2

Esimerkki 4.4. Osoitetn, että ( ) k x k k k log( + x) x ], ]. Esimerkin 3.6 (s. 54) nojll väite pätee, kun x. Trkstelln siis voint väliä ], [. Otetn lähtökohdksi geometrinen srj ( t) k, t ], [, k + t j integroidn srj termeittäin. Srj suppenee trksteltvll välillä, mutt suppeneminen ei ole tsist koko välillä (esimerkki 4.7, s. 94). Sen sijn välillä [, ], missä < <, suppeneminen on tsist (esimerkki 4.6, s. 93). Olkoon nyt x [, ]. Kosk trksteltvn geometrisen srjn termit ovt jtkuvi välillä ], [, niin seuruksen 4.3 nojll x + t dt x ( k ( t) )dt k k x ( t) k dt ( ) k k / x t k+ k + ( ) k xk+ k k +. Toislt joten x + t dt / x log( + t) log( + x) log log( + x), (4.3) ( ) k x k k k ( ) k xk+ k k + log( + x). Kosk < < j x [, ] olivt mielivltisi, yhtälö (4.3) pätee kikill x ], [ j smll siis koko välillä ], ]. 3

Esimerkki 4.5. Lsketn srjn summ. Aluksi hvitn, että k k2 k Edelleen srj k2 ( ) k k k 2 / 2 x k k k xk x k k 2 x k dx. suppenee tsisesti välillä [, ] (esimerkki 4.6, s. 93) j termit 2 xk (k Z + ) ovt jtkuvi välillä [, ]. Täten luseen 4.2 perusteell 2 k k2 k k 2 2 / 2 2 ( x k dx ) x k dx k x dx log( x) 2 ( ) x k dx k log 2 + log log 2. Huomutus 4.4. Jos esimerkin 4.4 tulos oletetn tunnetuksi, esimerkin 4.5 tulos voidn lske suorn k k2 k k ( ) k ( ) k ( 2 )k k k ( ) k ( 2 )k k log( + ( 2 )) log 2 log 2. 4

4.3.3 Srjn derivointi Trkstelln sitten srjn derivointi termeittäin jollkin välillä. Nyt srjn tsinen suppeneminen ei voi oll riittävä ehto sille, että srjn summfunktio on derivoituv j summfunktion derivtt on srjn termit derivoimll muodostetun srjn summfunktio. Esimerkiksi srj k sin(kx) k 2 suppenee tsisesti joukoss R (esimerkki 4.9, s. 97), mutt srjn termit derivoimll muodostettu srj cos(kx) k k hjntuu hrmonisen srjn esimerkiksi pisteessä x. Riittävä ehto on nyt derivoimll sdun srjn tsinen suppeneminen. Itse srjst riittää olett tsisen suppenemisen sijst suppeneminen pelkästään yhdessä trksteltvn välin pisteessä. Luse 4.5. Oletetn, että (i) funktiot u k j u k ovt jtkuvi välillä I (kikill k N), (ii) srj u k (c) suppenee inkin yhdessä pisteessä c I, k (iii) srj u k(x) suppenee tsisesti välillä I. k Tällöin srj S(x) u k (x) k suppenee (pisteittäin) kikill x I j srjn summfunktio S on derivoituv välillä I sekä S (x) d dx u k (x) k u k(x) x I. k 5

Todistus. Luseen 4. (s. 99) nojll funktio f(x) u k(x) k on jtkuv j siten integroituv välillä I. Olkoon nyt x I. Merkitään F (x) Tällöin seuruksen 4.3 (s. 2) nojll F (x) x c f(t) dt x c f(t) dt. x ( c u k(t) k ) dt x u k(t) dt k c k / x c u k (t) (u k (x) u k (c)). k Siis srj (u k (x) u k (c)) k suppenee (kosk sen summfunktio on F (x)). Täten myös srj u k (x) k (u k (x) u k (c) + u k (c)) k (u k (x) u k (c)) + k suppenee khden suppenevn srjn summn (luse 3.6, s. 58). Lisäksi S(x) F (x) + S(c). u k (c) k Kosk f on luseen 4. (s. 99) nojll jtkuv välillä I, niin F on luseen.2 (s. ) nojll derivoituv välillä I j F (x) d x f(t) dt f(x) dx c kikill x I. Täten myös S on derivoituv välillä I j kikill x I. S (x) d dx (F (x) + S(c)) F (x) 6 u k(x) k u k(x) k

Esimerkki 4.6. Srj f(x) k x k k! + x + x2 2! + x3 3! + suppenee kikill x R (esimerkki 4.2, s. 9). Määritetään srjn summfunktio f. Merkitään Kosk u (x) j u k (x) xk k! (k N). niin (4.4) u k(x) k xk k! u k(x) + k k xk (k )! x k (k )! k x k k! k Z +, u k (x) k kikill x R. Siis srj j siitä termit derivoimll stu srj ovt sm srj. Esimerkin 4. (s. 97) nojll tämä srj suppenee tsisesti jokisell äärellisellä välillä [, b]. Kosk lisäksi termit u k (x) j u k(x) ovt jtkuvi kikill x R j kikill k N, niin luseen 4.5 nojll f (x) d dx u k (x) k jokisell äärellisellä välillä [, b]. Täten k u k(x) (4.4) f (x) f(x) x R. u k (x) f(x) k Kosk d {}}{ dx (f(x)e x ) ( f (x) f(x)) e x x R, niin integrlilskennn perusluseen nojll on olemss sellinen C R, että Siis Kosk f(), niin C. Täten f(x)e x C x R. f(x) C e x x R. f(x) k x k k! e x x R. 7

Huomutus. Siis e x + x + x2 2! + x3 + x R. 3! 8

5 Potenssisrjoist 5. Määritelmä Olkoot,, 2,... relisi vkioit j c R. Määritelmä 5.. Muoto k (x c) k + (x c) + 2 (x c) 2 + k olev srj snotn c-keskiseksi potenssisrjksi. Nytkään ei tietenkään ole merkitystä, merkitäänkö potenssisrjn summusindeksiä kirjimell k vi jollkin muull kirjimell, esimerkiksi kirjimell n. Os vkioist,, 2,... voi oll myös nolli, jolloin merkintöjä voidn joskus yksinkertist jättämällä kyseiset termit merkitsemättä (ks. esimerkit 5.3 j 5.5 sekä huomutus 5.). Selvästi jokinen potenssisrj suppenee (vkioiden,, 2,... rvoist riippumtt) pisteessä x c. On myös mhdollist, että piste x c on ino piste, joss potenssisrj suppenee (ks. esimerkki 5.). Toislt potenssisrj voi supet koko relilukujoukoss (ks. esimerkki 5.2) ti sitten jollkin äärellisellä välillä (ks. muut esimerkit j luku 5.2). Esimerkki 5.. Osmäärätrkstimen nojll potenssisrj k!(x c) k k suppenee vin, kun x c. Jos nimittäin x c, niin (k + )! (x c) k+ (k + ) x c, k! (x c) k kun k. Esimerkki 5.2. Potenssisrj k k! xk k x k k! suppenee kikill x R (esimerkki 4.2, s. 9). 9

Esimerkki 5.3. Esimerkin 4.3 (s. 9) perusteell potenssisrj (x c) n n suppenee täsmälleen silloin, kun x [c, c + [. Esimerkki 5.4. Olkoon A. Geometrisen srjn (esimerkki 4., s. 9) suppenemisest seur, että potenssisrj A(x c) k A (x c) k k k suppenee täsmälleen silloin, kun x c < eli kun x ]c, c + [. Jos erityisesti A j c, kyseessä on potenssisrj n x k k eli tvllinen geometrinen srj. Tämä suppenee, kun x ], [. Esimerkki 5.5. Käyttämällä osmäärätrkstint j Leibnizin lusett voidn osoitt, että potenssisrj k ( ) k 2k + x2k+ x x3 3 + x5 5 x7 7 + suppenee täsmälleen silloin, kun x [, ] (hrjoitustehtävä). Huomutus 5.. Kun esimerkin 5.5 srjn suppenemist tutkitn esimerkiksi osmäärätestillä, kyseessä on srj missä k k k, ( )k 2k + x2k+ k N. Potenssisrjn jteltun kyseessä on kuitenkin srj missä n n n x n,, kun n 2k (k N) eli n on prillinen, ( ) k 2k +, kun n 2k + (k N) eli n on priton.

Kuten jo luss todettiin, potenssisrj suppenee joko yhdessä pisteessä ti sitten jollkin välillä (jok voi oll koko relilukujoukko). Luse 5.2. Jos potenssisrj suppenee pisteessä x c, niin srj suppenee (vieläpä itseisesti) myös välillä { x R x c < r } ]c r, c + r[, missä r x c. Todistus. Oletetn, että srj k (x c) k k suppenee j x c. Kosk suppenevn srjn termit ovt rjoitettuj, on olemss sellinen M >, että eli Siis k r k k (x c) k M k N k M r k k N. k (x c) k M r k x c k M ( ) k x c x R k N. r Täten srj k (x c) k M k N suppenee itseisesti mjornttiperitteen nojll, kun x c < r (mjornttin suppenev geometrinen srj). Seurus 5.3. Jos srj k (x c) k k hjntuu j x c > x c ( r), myös srj hjntuu. k (x c) k k

5.2 Potenssisrjn suppenemissäde j -väli Luvun 5. esimerkeistä j tuloksist hvitn, että yleisesti potenssisrj näyttäisi suppenevn jollkin välillä (ti vin pisteessä x c). Trkstelln nyt si täsmällisemmin. Määritelmä 5.2. Jos joukko S { x c k k (x c) k suppenee } on ylhäältä rjoitettu, niin potenssisrjn k (x c) k k suppenemissäde R sup S. Jos joukko S ei ole ylhäältä rjoitettu, niin R. Luseen 5.2 nojll sdn välittömästi seurvt tulokset (hrjoitustehtävä). Luse 5.4. Potenssisrjn suppenemissäteellä R on seurvt ominisuudet. (i) Jos R, niin srj suppenee vin, kun x c. (ii) Jos R, niin srj suppenee kikill x R. (iii) Jos < R <, niin srj suppenee, kun x c < R, j srj hjntuu, kun x c > R. Huomutus 5.5. Jos < R <, niin luseen 5.4 kohdn (iii) perusteell potenssisrj suppenee välillä ]c R, c + R[. Kyseistä väliä kutsutn potenssisrjn suppenemisväliksi. Jos R, niin potenssisrjn suppenemisväli surkstuu pisteeksi c, j jos R, niin suppenemisväli on koko relilukujoukko. Huomutus 5.6. Suppenemisvälin päätepisteissä c R j c + R potenssisrj voi supet ti hjntu (ks. esimerkki 5.7, s. 3). Joskus potenssisrjn suppenemisvälillä trkoitetn väliä, jok sisältää nyt määritellyn suppenemisvälin (eli voimen välin) lisäksi myös välin päätepisteet ti päätepisteen, jos potenssisrj suppenee kyseisissä pisteissä. 2

Huomutus 5.7. Potenssisrjn suppeneminen j itseinen suppeneminen ovt yhtäpitäviä muull pitsi mhdollisesti pisteissä c R j c + R. Esimerkki 5.6. Esimerkin 5. (s. 9) potenssisrjn suppenemissäde on j esimerkin 5.2 (s. 9) potenssisrjn suppenemissäde on. Esimerkki 5.7. Esimerkkien 5.3 (s. ), 5.4 (s. ) j 5.5 (s. ) jokisen potenssisrjn suppenemissäde on. Suppenemisvälin päätepisteissä esimerkkien 5.3-5.5 srjt kuitenkin käyttäytyvät eri tvll. Esimerkin 5.4 potenssisrj hjntuu suppenemisvälin molemmiss päätepisteissä, esimerkin 5.5 srj suppenee suppenemisvälin molemmiss päätepisteissä j esimerkin 5.3 srj suppenee toisess päätepisteessä j hjntuu toisess päätepisteessä. Jos potenssisrjn kertoimet ovt itseisrvoltn pienempiä ti yhtäsuuri kuin jonkin toisen potenssisrjn kertoimet, niin potenssisrjojen suppenemissäteet ovt käänteisessä järjestyksessä. Tämä nähdään seurvst luseest. Luse 5.8. Olkoot R j R 2 (järjestyksessä) potenssisrjojen k (x c) k k j b k (x c) k k suppenemissäteet. Jos on olemss sellinen k N, että (5.) k b k k > k, niin R R 2. Todistus. Olkoon x jokin välin ]c R 2, c + R 2 [ piste. Tällöin srj b k (x c) k k suppenee itseisesti. Ehdost (5.) seur täten mjornttiperitteen nojll, että myös srj k (x c) k n 3

suppenee itseisesti. Siis srj k (x c) k suppenee kikiss välin ]c R 2, c + R 2 [ pisteissä. Täten R R 2. n Huomutus 5.9. Olkoon M >, m > j R potenssisrjn k (x c) k k suppenemissäde. Jos on olemss sellinen k N, että (i) k M kikill k > k, niin R, (ii) k m kikill k > k, niin R, (iii) m k M kikill k > k, niin R. Todistus. Väite seur suorn luseest 5.8, sillä esimerkin 5.4 (s. ) perusteell potenssisrjt m(x c) k j M(x c) k k molemmt suppenevt täsmälleen silloin, kun x c <, joten kummnkin srjn suppenemissäde on yksi. k Esimerkki 5.8. Määritetään potenssisrjn k x k k suppenemissäde R, kun tiedetään, että lim k k 3. Kosk lim k k 3, niin lukujonon rj-rvon perusominisuuksien nojll on olemss sellinen k N, että 2 k 4 k > k. Täten huomutuksen 5.9 kohdn (iii) nojll R. 4

Seurv luse nt käyttökelpoisen j usein helpon tvn määrittää potenssisrjn suppenemissäde. Luse 5.. Jos k lim k k+ niin potenssisrjn suppenemissäde R A. A ( A < ti A ), k (x c) k k Todistus. Jos x c, niin trksteltv potenssisrj suppenee. Jos ts x c, niin k+ (x c) k+ (5.2) lim k k (x c) k k lim k+ k x c x c, A joten srjn suppenemist voidn tutki osmäärätrkstint käyttäen. : Jos A j x c, niin rj-rvo (5.2) on ääretön. Täten srj hjntuu, kun x c. Siis R A ( ). 2 : Jos A, niin rj-rvo (5.2) on noll. Täten srj suppenee kikill x R. Siis R A ( ). 3 : Jos < A <, niin srj suppenee, kun j hjntuu, kun Siis R A. x c < eli x c < A, A x c > eli x c > A. A Huomutus. Luse 5. ei ole voimss kääntäen, sillä luseess vdittv rj-rvo ei välttämättä ole olemss (ks. esimerkki 5.). 5

Esimerkki 5.9. Määritetään potenssisrjn suppenemissäde R. Kosk lim k k + (k + ) + (k + ) x k k lim k k + k + 2, niin luseen 5. nojll R. Suppenemisvälin päätepisteissä x ± srj hjntuu hjntumistrkstimen nojll, joten srj suppenee täsmälleen silloin, kun x <. Esimerkki 5.. Määritetään potenssisrjn n n! n n xn suppenemissäde R. Kun n, niin n! / n n (n + )! / (n + ) n+ n! (n + )n+ nn (n + )! (n + )n+ n n (n + ) ( n + n ) n ( + ) n n e. Täten R e luseen 5. nojll. Srj siis suppenee, kun x < e, j hjntuu, kun x > e. Suppenemissäde ei kuitenkn kerro mitään srjn suppenemisest pisteissä x ± e, joten näissä pisteissä suppeneminen on tutkittv erikseen. 6

Esimerkki 5.. Oletetn, että n 2 n n 4 kikill n Z +. Määritetään potenssisrjn n x n suppenemissäde R. n Olkoot R 2 j R 4 (järjestyksessä) potenssisrjojen n 2 x n n j n 4 x n n suppenemissäteet. Kosk n 2 n n 4 kikill n Z +, niin luseen 5.8 nojll Toislt lim n R 2 R R 4. n 2 j lim (n + ) 2 n joten luseen 5. nojll R 2 R 4. Siis R. n 4 (n + ) 4, Huomutus. Luseen 5. käytössä on kuitenkin oltv huolellinen. Kosk 2 k 2, lim k 2 k+ niin vromton luseen 5. käyttö nt esimerkiksi potenssisrjn suppenemissäteeksi virheellisesti R 2. missä 2 k x 2k k Potenssisrjn jteltun kyseessä on kuitenkin srj n n n x n, 2 k, kun n 2k (k N) eli n on prillinen,, kun n 2k + (k N) eli n on priton. Täten jok toinen srjn termi on noll j peräkkäisten termien osmäärän rjrvo ei void tutki. Näin ollen srjn suppenemissädettä ei void määrittää lusett 5. käyttäen. Osmäärätrkstint käyttäen srjn suppenemissäteeksi sdn R 2 (hrjoitustehtävä). 7

5.3 Potenssisrjn määrittelemä funktio Tutkitn seurvksi potenssisrjn summfunktiot. Potenssisrjn suppenemisominisuuksist seur, että potenssisrjn summfunktio on määritelty jollkin välillä (ti mhdollisesti vin yhdessä pisteessä). Luvuss 4 osoitettiin, että jos funktiosrj suppenee tsisesti jollkin välillä, srjn termien jtkuvuus j integroituvuus periytyvät srjn summfunktiolle. Siksi loitetn osoittmll, että potenssisrj suppenee in tsisesti jokisell suppenemisvälin suljetull osvälillä. Seuruksen sdn sitten välittömästi summfunktion jtkuvuutt j integroituvuutt koskevt tulokset. Luse 5.. Olkoon k (x c) k n potenssisrj, jonk suppenemissäde R >. Tällöin srj suppenee tsisesti jokisell välillä I r [c r, c + r], missä < r < R. Todistus. Kosk j srj k (x c) k k x c k k r k x I r j k N k r k k k ((c + r) c) k k suppenee (huomutus 5.7, s. 3), niin Weierstrssin M-testin (luse 4.8, s. 95) nojll srj k (x c) k suppenee tsisesti välillä I r. k Luse 5.2. Olkoon f(x) k (x c) k k potenssisrj, jonk suppenemissäde R >. Tällöin srj määrittelee koko suppenemisvälillä ]c R, c + R[ jtkuvn funktion f. 8

Todistus. Srjn termit k (x c) k ovt jtkuvi kikill x R j kikill k N, joten luseen 4. (s. 99) nojll myös srjn summfunktio f on jtkuv jokisell luseen 5. välillä I r. Kosk r voi oll mielivltisen lähellä luku R, summfunktio on jtkuv koko välillä ]c R, c + R[. Luse 5.3. Potenssisrj f(x) k (x c) k k voidn integroid termeittäin jokisell srjn suppenemisvälin ]c R, c + R[ (R > ) suljetull osvälillä [, b] eli termit integroimll muodostettu srj suppenee j b b f(x) dx k (x c) k dx. Todistus. Luseen 5. nojll srj k k k (x c) k suppenee tsisesti välillä [, b]. Kosk srjn termit ovt lisäksi jtkuvi välillä [, b], väite seur luseest 4.2 (s. ). Kosk potenssisrjn termit voidn helposti integroid, luseen 5.3 tulos sdn muotoon b f(x) dx k k k + / b (x c) k+ k ( k (b c) k+ ( c) k+). k + Vlitsemll yllä c j b x sdn termeittäin integrointi koskevlle tulokselle seurv muoto. Seurus 5.4. Olkoon f(x) k (x c) k k potenssisrj, jonk suppenemissäde R >. Jos x ]c R, c + R[, niin x c f(t) dt k k k + (x c)k+. 9

Esimerkki 5.2. Osoitetn, että rc tn x k ( ) k 2k + x2k+ x [, ]. Esimerkkien 3.7 (s. 56) j 3. (s. 58) perusteell väite pätee välin päätepisteissä x j x. Trkstelln siis voint väliä ], [. Otetn lähtökohdksi potenssisrj ( ) k t 2k ( t 2 ) k + t, 2 k k jonk suppenemisväli on geometrisen srjn ], [. Täten luseen 5.3 perusteell x + t 2 dt x ( k ) ( ) k t 2k dt k x ( ) k k ( ) k t 2k dt / x t 2k+ 2k + kikill x ], [. Toislt k ( ) k 2k + x2k+ kikill x R, joten x + t 2 dt / x rc tn t rc tn x rc tn x k ( ) k 2k + x2k+ x ], [. Siis väite pätee koko välillä [, ]. Kun x >, väite ei tietenkään päde, sillä srj hjntuu (ks. esimerkki 5.5, s. ). Trkstelln sitten potenssisrjojen derivointi termeittäin. Aluksi osoitetn, että jos muodostetn uusi srj derivoimll jonkin potenssisrjn termit, tuloksen on potenssisrj, joll on sm suppenemissäde kuin lkuperäisellä potenssisrjll. 2

Luse 5.5. Potenssisrjoill k (x c) k k on sm suppenemissäde. j k k (x c) k k Todistus. Olkoot R j R 2 (järjestyksessä) srjojen suppenemissäteet. Kosk k (x c) k k j k k (x c) k k k k k k Z +, niin luseen 5.8 (s. 3) nojll R R 2. Osoitetn sitten, että R R 2. Olkoon < r < R. Tällöin srj k (x c) k k suppenee pisteessä x c + r. Kosk suppenevn srjn termit ovt rjoitettuj, on olemss sellinen M >, että eli Siis k r k k ((c + r) c) k M k Z+ k M r k k Z +. k k (x c) k M k x c k rk M k r x c r k kikill x R j kikill k Z +. Edelleen srj M k x c k M k r r r x c k M k k r r x c k (k + ) k r suppenee (esimerkki 5.9, s. 6) in, kun x c < eli x c < r. r Täten srj k k (x c) k k suppenee mjornttiperitteen nojll in, kun x c < r. Siis srj suppenee kikill x ]c r, c + r[, joten R 2 r. Kosk r voidn vlit mielivltisen läheltä luku R, niin R 2 R j edelleen R R 2. 2

Seurus 5.6. Jos srj k (x c) k k integroidn termeittäin (yli välin [c, x]), niin sdull srjll on sm suppenemissäde kuin lkuperäisellä srjll. Huomutus. Termeittäin derivoimll ti integroimll sdun srjn suppenemisest suppenemisvälin päätepisteissä c R j c + R edellä olevt tulokset eivät kerro mitään. Luse 5.7. Potenssisrj k (x c) k k voidn derivoid termeittäin jokisess suppenemisvälinsä ]c R, c + R[ (R > ) pisteessä eli (5.3) d dx k (x c) k k k k (x c) k x ]c R, c + R[. k Todistus. Jokisell välillä I r [c r, c + r], missä < r < R, on voimss : 2 : k (x c) k suppenee (sillä r < R), k k k (x c) k suppenee tsisesti (luse 5. j luse 5.5), k 3 : termit k (x c) k (k N) j k k (x c) k (k Z + ) ovt jtkuvi. Täten srj k (x c) k k voidn luseen 4.5 (s. 5) nojll derivoid termeittäin j yhtälö (5.3) on voimss jokisell välillä I r. Kosk r voidn vlit mielivltisen läheltä luku R, niin k (x c) k k voidn derivoid termeittäin koko välillä ]c R, c + R[ j yhtälö (5.3) on voimss kikill x ]c R, c + R[. 22

Esimerkki 5.3. Määritetään srjn f(x) summ välillä ], [. Esimerkin 5.3 (s. ) nojll srjn suppenemissäde R. Täten f (x) d x k dx k k x k x k x k k x k kikill x ], [. Kosk myös k D( log( x)) x, niin integrlilskennn perusluseen nojll on olemss sellinen C R, että k x k k k f(x) log( x) + C kikill x ], [. Kosk f(), niin C j kikill x ], [. f(x) log( x) k Seurus 5.8. Potenssisrjn k (x c) k k summfunktioll S(x) on srjn suppenemisvälillä ]c R, c+r[ (R > ) kikkien kertlukujen derivtt j (5.4) S (n) (x) k (k ) (k (n )) k (x c) k n kn kikill x ]c R, c + R[. Huomutus 5.9. Potenssisrjn S(x) k (x c) k k summfunktion derivtt S (n) (x) ovt srjn suppenemisvälillä tietenkin myös jtkuvi. 23

Jos yhtälössä (5.4) erityisesti x c, niin summlusekkeen muut termit kuin k n ovt nolli. Täten S (n) (c) n (n ) (n (n )) n n! n eli kikill n N. Siis S(x) k S (k) (c) k! n n! S(n) (c) (x c) k x ]c R, c + R[. Näin on tullut todistetuksi seurus 5.2. Seurus 5.2. Jos funktio f voidn esittää välillä ]c h, c + h[ (h > ) potenssisrjn f(x) k (x c) k, niin tämä esitys on yksikäsitteinen j k kikill k N. k f (k) (c) k! Luse 5.2 (Yksikäsitteisyysluse). Jos jollkin välillä ]c h, c+h[ (h > ) on voimss k (x c) k b k (x c) k, niin k b k kikill k N. k k Todistus. Jos potenssisrjojen yhteinen summfunktio välillä ]c h, c + h[ on S(x), niin seuruksen 5.2 nojll kikill k N. k S(k) (c) k! b k 24

5.4 Tylorin srj Tähän sti funktiosrjoj tutkittess pääsillisen tvoitteen on ollut määrittää srjojen summfunktioit. Seurvksi trkstelln käänteistä tehtävää eli etsitään potenssisrj, jonk summfunktio on jokin hluttu funktio. 5.4. Tylorin polynomi Ennen vrsinist trkstelu esitetään yksi käyttökelpoinen putulos, jonk vull pystytään mhdollisesti rvioimn löydetyn potenssisrjn virhetermiä. Luse 5.22 (Tylorin luse). Jos funktio f j sen derivtt f, f,..., f (n) ovt jtkuvi välillä [, b] j derivtt f (n+) on olemss välillä ], b[, niin on olemss sellinen ξ ], b[, että f(b) n k f (k) () k! (b ) k + f (n+) (ξ) (n + )! (b )n+. Todistus. Merkitään j jolloin F (x) F (x) d ( f(x) + dx f (x) + n k f (k) (x) k! g(x) (b x) n+, n k f (k) (x) k! ( n f (k+) (x) k k! (b x) k (b x) k ) (b x) k f (k) ) (x) (b x)k (k )! j f (n+) (x) n! (b x) n g (x) (n + )(b x) n. Luseen oletusten nojll funktiot g(x) j F (x) ovt jtkuvi välillä [, b] j derivoituvi välillä ], b[. Täten (differentililskennn) yleistetyn välirvoluseen nojll on olemss sellinen ξ ], b[, että (5.5) F (ξ)[g(b) g()] g (ξ)[f (b) F ()] 25

eli Siis f (n+) (ξ) n! sekä edelleen j Kosk F (b) f(b), j niin (b ξ) n [g(b) g()] (n + )(b ξ) n [F (b) F ()]. f (n+) (ξ) n! f(b) f (n+) (ξ) (n + )! [g(b) g()] (n + ) [F (b) F ()] [g(b) g()] [F (b) F ()] F (b) F () + f (n+) (ξ) (n + )! F () n k f (k) () k! [g() g(b)]. (b ) k g() g(b) (b ) n+ (b ) n+, n k f (k) () k! (b ) k + f (n+) (ξ) (n + )! (b )n+. Jos b < j Tylorin luseen oletukset ovt voimss väleillä [b, ] j ]b, [, niin Tylorin luseen todistuksess ξ ]b, [ j yhtälö (5.5) korvutuu yhtälöllä F (ξ)[g() g(b)] g (ξ)[f () F (b)], jok on yhtäpitävä yhtälön (5.5) knss. Täten voidn esittää seurv huomutus. Huomutus 5.23. Tylorin luse on voimss myös, kun b <. Tällöin tietysti ξ ]b, [ j luseen oletuksi on trksteltv väleillä [b, ] j ]b, [. Tylorin luseen oletuksi trksteltess hvitn, että jos derivtt f (n) (n Z + ) on jtkuv välillä [, b], myös derivtt f, f,..., f (n ) ovt jtkuvi välillä [, b]. Muutenhn derivtt f (n) ei voitisi muodost. Täten olisi riittänyt olett pelkästään derivtn f (n) jtkuvuus. Jos vstvsti derivtt f (n+) on olemss jollkin välillä I, niin derivttojen f, f,..., f (n) on oltv jtkuvi välillä I. Näin ollen voidn esittää seurv Tylorin luseen seurus. 26

Seurus 5.24. Jos funktio f on n + kert derivoituv pisteen c josskin ympäristössä I j x I (x c), niin on olemss sellinen ξ ]c, x[ (ti ξ ]x, c[, jos x < c), että (5.6) f(x) n k f (k) (c) k! (x c) k + f (n+) (ξ) (n + )! (x c)n+. Todistus. Sovelletn Tylorin lusett välillä [c, x] (ti [x, c]). Huomutus 5.25. Jos x c, niin yhtälö (5.6) on voimss kikill luvun ξ rvoill, sillä n k f (k) (c) k! (c c) k + f (n+) (ξ) (n + )! (c c)n+ f () (c)! + f(c). Määritelmä 5.3. Yhtälössä (5.6) esiintyvää summ T n (x) n k f (k) (c) k! (x c) k kutsutn funktion f(x) Tylorin polynomiksi pisteessä c. Jos erityisesti c, niin polynomi kutsutn funktion f(x) Mclurinin polynomiksi. Tylorin polynomi käyttäen seurukselle 5.24 sdn jonkin verrn selkeämpi esitysmuoto. Huomutus 5.26. Jos funktio f on n+ kert derivoituv pisteen c josskin ympäristössä I j x I (x c), niin on olemss sellinen ξ ]c, x[ (ti ξ ]x, c[, jos x < c), että f(x) T n (x) + R n (x), missä R n (x) f (n+) (ξ) (n + )! (x c)n+. 27

Tylorin luseess rvio jäännöstermille stiin differentililskennn yleistettyä välirvolusett käyttäen. Käyttämällä osittisintegrointi voidn helposti todist (induktioll, hrjoitustehtävä) Tylorin luseen jäännöstermille täsmällinen esitys ( huomutus 5.27). Tällöin on oletettv myös derivtn f (n+) jtkuvuus. Huomutus 5.27. Jos funktio f j sen derivtt f, f,...,f (n+) ovt jtkuvi pisteen c josskin ympäristössä I j x I, niin f(x) T n (x) + R n (x), missä R n (x) n! x c f (n+) (t) (x t) n dt. Esimerkki 5.4. Muodostetn funktion f(x) log( + x) Tylorin polynomi pisteessä c (eli funktion Mclurinin polynomi). Funktioll f(x) log( + x) on selvästi kikkien kertlukujen (jtkuvt) derivtt, kun x >. Olkoon siis x >. Derivoimll funktio muutmi kertoj hvitn, että f (x) + x ( + x), f (x) ( ) ( + x) 2, f (x) ( )( 2) ( + x) 3, f (4) (x) ( )( 2)( 3) ( + x) 4, Induktioll voidn nyt helposti todist, että. f (k) (x) ( ) k (k )! ( + x) k ( )k (k )! ( + x) k k, joten f (k) () ( ) k (k )! k. 28

Kosk f(), niin funktion f Mclurinin polynomi on T n (x) n k f (k) () k! x k f() + n k f (k) () k! x k + n k ( ) k (k )! k! x k n ( ) k x k k k kikill n N. Jos n, niin yllä T (x). missä Lisäksi huomutuksien 5.27 j 5.26 nojll (x >, n N) ti (jos x ) log( + x) T n (x) + R n (x), R n (x) n! n! x x f (n+) (t) (x t) n dt ( ) n n! ( + t) n+ (x t)n dt x ( ) n (x t) n dt ( + t) n+ R n (x) f (n+) (ξ) (n + )! xn+ ( )n n! ( + ξ) n+ (n + )! xn+ ( ) n (n + ) ( + ξ) n+ xn+, missä ξ ], x[ (ti ξ ]x, [, jos x < ). 29

5.4.2 Tylorin srj Trkstelln sitten vrsinist tehtävää eli etsitään potenssisrj, jonk summfunktio on hluttu funktio f. Lähtökohdn trjo seurus 5.2 (s. 24), sillä jos funktioll f(x) on välillä ]c h, c + h[ (h > ) potenssisrjkehitelmä niin seuruksen 5.2 nojll Siis etsitty potenssisrj on f(x) k k (x c) k, k f (k) (c). k! (5.7) k f (k) (c) (x c) k, k! jot nyt tutkitn trkemmin. Määritelmä 5.4. Srj (5.7) kutsutn funktion f(x) Tylorin srjksi (ti srjkehitelmäksi) pisteessä c. Jos Tylorin srjss c, niin srj kutsutn funktion f(x) Mclurinin srjksi. Funktion f(x) Tylorin srj voidn muodost pisteessä c silloin, kun f (k) (c) on olemss kikill k N eli funktioll f on pisteessä c kikkien kertlukujen derivtt. Tällöin derivtt f (k) (x) ovt olemss (j ne ovt jtkuvi) myös jollkin välillä ]c h, c + h[ (h > ), sillä f (k+) (c) voidn muodost vin, jos derivtt f (k) (c) on määritelty pisteen c josskin ympäristössä. Funktion f(x) pisteessä c muodostetun Tylorin srjn summ ei välttämättä ole f(x) kikill x R. Ensinnäkin srj voi hjntu muuttujn x joillkin rvoill. Toislt on mhdollist, että vikk srj suppenee jollkin välillä I, niin srjn summ ei ole f(x) välillä I (ks. esimerkki 5.23, s. 36). Pisteessä x c srjn summ on in f(c), sillä k f (k) (c) k! (c c) k f () (c)! f(c), mutt yleisesti Tylorin srjn summ on f(x) vin, kun srjn ossumm eli vstv Tylorin polynomi T n (x) lähestyy rvo f(x), kun n. Toisin snoen 3

jos funktion f Tylorin srj voidn muodost pisteessä c, niin f(x) k f (k) (c) k! (x c) k täsmälleen silloin, kun lim T n(x) f(x) eli lim R n (x), n n missä R n (x) on huomutuksiss 5.26 j 5.27 esiintyvä Tylorin polynomi T n (x) vstv jäännöstermi. Esitetään si vielä täsmällisesti luseen muodoss. Luse 5.28. Oletetn, että funktioll f on kikkien kertlukujen derivtt pisteessä c. Tällöin f (k) (c) f(x) (x c) k k! täsmälleen silloin, kun k lim R n(x), n missä R n (x) on huomutuksiss 5.26 j 5.27 esiintyvä Tylorin polynomi T n (x) vstv jäännöstermi. Jos funktion f Tylorin srjn summ pisteessä x on f(x), snotn, että srj esittää funktiot f pisteessä x. Tylorin srjn voimssololue on niiden pisteiden joukko, joiss srj esittää funktiot f. Joskus snotn myös, että funktio f voidn kehittää Tylorin ti Mclurinin srjksi. Esimerkki 5.5. Muodostetn funktion f(x) sin x Mclurinin srj, j osoitetn, että srj esittää funktiot sin x kikill x R (eli srjn voimssololue on koko relilukujen joukko). Induktioll voidn helposti todist, että f (2k) (x) ( ) k sin x j f (2k+) (x) ( ) k cos x kikill k N j kikill x R. Täten f (2k) () j f (2k+) () ( ) k 3

kikill k N. Siis k f (k) () k! x k k ( ) k (2k + )! x2k+ on funktion f(x) sin x Mclurinin srj. Osoitetn vielä, että tämän srjn summ on sin x kikill x R. Jos x, niin sekä srjn summ että sinin rvo ovt nolli, joten srj esittää funktiot sin x. Olkoon sitten x. Tylorin luseen (huomutus 5.26) nojll sin x T n (x) + R n (x), missä T n (x) on funktion sin x Mclurinin polynomi (n N) j Nyt kikill n N j joten Siis luseen 5.28 nojll R n (x) f (n+) (ξ) (n + )! xn+ (ξ ], x[ ti ξ ]x, [ ). R n (x) f (n+) (ξ) (n + )! xn+ lim n x n+ (n + )!, lim R n(x). n x n+ (n + )! sin x k ( ) k (2k + )! x2k+ x x3 3! + x5 x R. 5! Tylorin luseen vtim funktion derivttojen lskeminen j jäännöstermitrkstelu on usein työlästä. Seurv jo luksi esitetty huomio trjo mhdollisuuden käyttää Tylorin luseen sijst jo iemmin muodostettuj potenssisrjoj. Huomutus 5.29. Jos funktioll f(x) on välillä ]c h, c + h[ (h > ) potenssisrjkehitelmä (5.8) f(x) k (x c) k, k niin seuruksen 5.2 (s. 24) nojll tämä srj on funktion f(x) Tylorin srj pisteessä c. 32

Huomutus 5.3. Huomutuksen 5.29 Tylorin srjn voimssololue on vähintään huomutuksen väli ]c h, c + h[, mutt voimssololue voi oll ljempikin. Voimssololue sisältää esimerkiksi kikki ne väliin ]c h, c + h[ kuulumttomt pisteet x, joille on jo osoitettu, että ehto (5.8) on voimss. Tällöinhän muodostettu Tylorin srj esittää funktiot f(x) myös pisteessä x. Tällinen tilnne voi esiintyä esimerkiksi, jos ]c h, c + h[ on trksteltvn Tylorin srjn suppenemisväli j väliin kuulumton piste on suppenemisvälin päätepiste. Aiemmin muodostettuj potenssisrjoj voidn nyt yrittää hyödyntää joko suorn ti muokkmll niitä sopivsti. Jos on iemmin osoitettu, että jonkin oike muoto olevn potenssisrjn summ on josskin pisteen c ympäristössä funktio, jonk Tylorin srj etsitään, niin tehtävä on srjn muodostmisen oslt jo suoritettu. Jäljellä on mhdollisesti vielä srjn voimssololueen määrittäminen, jos voimssololue ei selviä iemmn trkstelun perusteell. Jos toislt edellä minittu potenssisrj ei ole tiedoss, voidn yrittää muokt tunnettuj potenssisrjoj siten, että uuden srjn summ on hluttu funktio. Mhdollisi tpoj ovt esimerkiksi srjojen derivointi j integrointi, funktioiden sijoittminen srjoihin muuttujn x tillle ti sopivien (esimerkiksi trigonometristen) kvojen käyttö. Lähtökohdn trjo esimerkiksi geometrinen srj x k k x, jok potenssisrjn on funktion f(x) x Mclurinin srj välillä ], [. Esimerkki 5.6. Esimerkissä 4.4 (s. 3) osoitettiin geometrist srj integroimll j iempi tuloksi käyttäen, että log( + x) k ( ) k k x k x x2 2 + x3 3 x4 + x ], ]. 4 Huomutusten 5.29 j 5.3 nojll kyseinen srj on funktion log( + x) Mclurinin srj välillä ], ]. Jos x > ti x, niin srj hjntuu (esimerkki 4.4, s. 9). Täten srjn summ ei voi oll log( + x) (j log( + x) ei edes ole määritelty, kun x ). 33

Esimerkki 5.7. Määritetään kosinin Mclurinin srj j srjn voimssololue. Kosinin Mclurinin srj voidn tietysti määrittää vstvsti kuin sinin Mclurinin srj esimerkissä 5.5. Menetellään nyt kuitenkin toisin j hyödynnetään esimerkissä 5.5 muodostettu srj sin x k ( ) k (2k + )! x2k+ x R. Kosk tämä srj voidn potenssisrjn derivoid termeittäin, niin cos x D(sin x) D ( k ( ) k ) (2k + )! x2k+ k k ( ) k (2k + )! D(x2k+ ) ( ) k (2k + ) x2k (2k + )! k ( ) k (2k)! x2k kikill x R. Siis funktion cos x Mclurinin srj on cos x k ( ) k (2k)! x2k x2 2! + x4 4! x6 + x R. 6! Esimerkki 5.8. Esimerkissä 5.2 (s. 2) osoitettiin geometrist srj integroimll j iempi tuloksi käyttäen, että rc tn x k ( ) k 2k + x2k+ x x3 3 + x5 x [, ]. 5 Huomutusten 5.29 j 5.3 nojll kyseinen srj on funktion rc tn x Mclurinin srj välillä [, ]. Jos x >, niin srj hjntuu (esimerkki 5.5, s. ), joten srjn summ ei tietenkään ole rc tn x (eli srj ei esitä funktiot rc tn x). 34

Esimerkki 5.9. Esimerkissä 4.6 (s. 7) osoitettiin, että e x k x k k! k k! xk x R. Huomutuksen 5.29 nojll srj on funktion e x Mclurinin srj (kikill x R). Esimerkki 5.2. Määritetään funktion e x, kun x, f(x) x, kun x, Mclurinin srj j srjn voimssololue. joten Lisäksi Esimerkin 5.9 perusteell e x x e x x k k k (k + )! k x k k! x k k! k x k k! k x k k! k x R, x k (k + )! + 2! + 3! + f(), x. joten srj esittää funktiot f(x) myös pisteessä x. Täten huomutuksen 5.29 nojll f(x) k (k + )! xk + x 2! + x2 3! + x3 + x R. 4! Esimerkki 5.2. Määritetään funktion x ( > ) Mclurinin srj j srjn voimssololue. Esimerkin 5.9 perusteell x e x log (x log ) k k! k joten huomutuksen 5.29 nojll (log ) k x k x R, k k! x (log ) k x k x R. k k! 35

Esimerkki 5.22. Määritetään funktion f(x) e 3x+ Mclurinin srj j srjn voimssololue. Esimerkin 5.9 perusteell e 3x+ e e 3x e (3x) k k k! k e3 k k! Esimerkki 5.23. Olkoon e x f(x) 2, kun x,, kun x. x k x R. Voidn suhteellisen helposti osoitt, että f (n) () kikill n N (hrjoitustehtävä). Täten funktion f(x) Mclurinin srj on n f (n) () n! x n n n! xn x R. n Srj tietenkin suppenee kikill x R mutt nt funktion f(x) rvon vin pisteessä x. 5.4.3 Sovelluksi Tylorin srj voidn käyttää esimerkiksi funktion rj-rvon j äärirvon määrittämiseen (korvmll funktio Tylorin srjlln), derivttojen määrittämiseen pisteessä c sekä yleensäkin erilisiin likirvotehtäviin. Esimerkki 5.24. Määritetään derivtt f (n) (), kun e x, kun x, f(x) x, kun x. Esimerkin 5.2 nojll f(x) n Täten seuruksen 5.2 (s. 24) nojll j edelleen Siis esimerkiksi f (n) () n! f (n) () (n + )! xn x R. (n + )! n + f (29) () 22. 36 n N n N.

Esimerkki 5.25. Määritetään rj-rvo lim x e x x x2 x3 2 6. x 3 rc tn x Tehtävä voidn rtkist käyttämällä neljä kert l Hospitlin sääntöä, mutt tällöin joudutn kohtuullisen mutkikkisiin derivointeihin. Määritetään rj-rvo nyt l Hospitlin säännnön sijst käyttämällä funktioiden potenssisrjesityksiä. Esimerkin 5.9 nojll joten e x + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 5! + x6 + x R, 6! e x x x2 2 x3 6 x4 4! + x5 5! + x6 6! + ( x 4 4! + x ) 5! + x2 6! + kikill x R. Esimerkin 5.8 nojll ts joten rc tn x x x3 3 + x5 x [, ], 5 ( ) x 3 rc tn x x 3 x x3 3 + x5 5 ( ) x 4 x2 3 + x4 5 kikill x [, ]. Jos siis < x, niin e x x x2 x3 2 6 x 3 rc tn x ( x4 + x + x2 + ) 4! 5! 6! ( x 4 x 2 + x4 ) 3 5 + x + x2 + 4! 5! 6! x2 + x4, 3 5 jost nähdään suorn, että lim x e x x x2 x3 2 6 x 3 rc tn x 4! 24. 37

Esimerkki 5.26. Määritetään integrlille e x2 dx sellinen likirvo, että virhe on korkeintn 2. Esimerkin 5.9 perusteell ( x 2 ) k e x2 k! k ( ) k x 2k x R. k! k Potenssisrjn srj voidn integroid termeittäin, joten e x2 dx ( k ( ) k ) x 2k dx k! ( ) k x 2k dx k k! k / ( ) k (2k + )k! x2k+ k ( ) k (2k + )k!. Tulokseksi stu srj toteutt selvästi Leibnizin luseen ehdot, joten srj suppenee j jäännöstermille sdn rvio R n (2n + )n! kikill n N. Virheelle settu vtimus toteutuu nyt, jos eli (2n + )n! 2 (2n + )n!. Pienin epäyhtälön toteuttv kokonisluku on 4, joten esimerkiksi e x2 dx 3 k tuott hlutun trkkkuuden. ( ) k (2k + )k! 3 + 42 26 35 38

Esimerkki 5.27. Arvioidn funktiot f(x) sin x välillä [, π 4 ] trkkuudell 4. Esimerkissä 5.5 (s. 3) osoitettiin, että sin x T n (x) + R n (x), missä T n (x) on funktion sin x Mclurinin polynomi (n N) j R n (x) x n+ (n + )! kikill x R j kikill n N. Välillä [, π ] trvittvksi ehdoksi tulee täten 4 jok toteutuu, kun n 6. ( ) π n+ < 4, (n + )! 4 Siis riittävän trkk tulos sdn, kun vlitn rvioksi esimerkiksi T 6 (x). Täten kikill x [, π ] on voimss rvio 4 missä δ < 4. sin x T 6 (x) + R 6 (x) x x3 3! + x5 5! δ, 39