Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot sekä nopeuskenttä (b Osoita, että syntyvä nopeuskenttä on pyörteetön (c Piirrä virtaviiva, joka kulkee pisteen x = 25 m, y = m kautta, kun m = 6 m 2 /s ja = 96 m 2 /s, ja laske nopeuden itseisarvo kyseisessä pisteessä Ratkaisu (Kappaleet 623, 643, 65 (a Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot Potentiaalifunktioksi saadaan tällöin Virtafunktioksi saadaan vastaavasti φ = m 2π ln r + 2π θ ψ = m 2π θ 2π ln r Nopeuskenttä saadaan aivan vastaavasti summaamalla nielun ja pyörteen nopeuskentät, jolloin saadaan v r = m 2πr, v θ = 2πr (b Virtaus on pyörteetön, jos sen pyörteisyys on nolla Tämä voitaisiin laskea suoraan käyttämällä roottorin määritelmää sylinterikoordinaatistossa Lasketaan tämä kuitenkin karteesisessa koordinaatistossa, jota varten kirjoitetaan nopeus karteesisessa koordinaatistossa Karteesiset nopeudet saadaan sylinterikoordinaatiston komponenteista yhteydellä u = v r cos θ v θ sin θ, v = v r sin θ + v θ cos θ, missä sin θ = y x2 + y, cos θ = x 2 x2 + y 2 Sijoitetaan karteesisten komponenttien lausekkeisiin nopeudet sylinterikoordinaatistossa, jolloin saadaan u = v = m 2π x 2 + y 2 m 2π x 2 + y 2 x x2 + y 2 y x2 + y 2 + 2π x 2 + y 2 2π x 2 + y 2 y x2 + y 2 = x x2 + y 2 = mx y 2π(x 2 + y 2 my + x 2π(x 2 + y 2 Koska virtaus on kaksiulotteinen, on ainoa mielenkiintoinen pyörteisyyden komponentti ζ z Tämä on määritelmän mukaan ζ z = v x u y
Sijoitetaan tähän nopeuden komponentit, jolloin saadaan ζ z = 2π(x2 + y 2 4πx (my + x 4π 2 (x 2 + y 2 2 2π(x2 + y 2 4πy (mx y 4π 2 (x 2 + y 2 2 = 2πx2 + 2πy 2 4πmxy 4πx 2 + 2πx 2 + 2πy 2 + 4πmxy 4πy 2 4π 2 (x 2 + y 2 2 = Eli virtaus on pyörteetöntä Oheinen lasku on hyvä esimerkki siitä, miksi perusratkaisujen synnyttämiä virtauksia tarkastellaan mieluummin sylinterikoordinaatistossa, jossa pyörteettömyyden laskenta olisi ollut huomattavasti yksinkertaisempaa (c Virtaviiva on helpointa piirtää käyttämällä hyväksi tietoa, että virtaviivat ovat virtafunktion tasa-arvokäyriä Jotta saamme määritettyä oikean virtaviivan, tulee ensin määrittää virtafunktion arvo kysytyssä pisteessä Tämä saadaan suoraviivaisesti sijoittamalla tunnetut arvot virtafunktion lausekkeeseen Kysytty piste on sylinterikoordinaatistossa r = 25 m, θ = Virtafunktion arvoksi saadaan ψ 25, = 6 96 ln 25 4918, 8 2π 2π Sijoitetaan tämä virtafunktion yleiseen lausekkeeseen, jolloin saadaan Ratkaistaan tästä r θ:n funktiona eli ψ 25, = m 2π θ 2π ln r 2π ln r = m 2π θ ψ 25, ln r = m θ 2π ψ 25, r = e mθ/ 2πψ 25,/ = emθ/ e 2πψ 25,/ Sijoittamalla tähän tunnetut arvot, voidaan virtaviiva piirtää r, θ-koordinaatistossa Virtaviiva on esitetty kuvassa 1 Nopeuden itseisarvo kyseisessä pisteessä voidaan laskea joko karteesisten tai sylinterikoordinaatiston komponenttien avulla Koska nopeuskomponenttien lausekkeet sylinterikoordinaatistossa ovat huomattavasti yksinkertaisemmat, käytetään niitä Nopeuden itseisarvo on tällöin v = m v 2r + v 2θ = 2 4π 2 r + 2 2 4π 2 r = 1 m2 + 2 2πr 2 Sijoitetaan tähän tunnetut arvot, jolloin saadaan 1 v = 6 2π 25 m 2 m4 s 2 Tehtävä 2 m4 + 962 s 2 72 m s Tarkastellaan seinän vaikutusta pyörteen synnyttämään virtauskenttään Pyörteen lähellä olevan seinän vaikutus voidaan kuvata sijoittamalla yhtä voimakas, mutta vastakkaissuuntainen pyörre symmetrisesti seinän toiselle puolelle (kts kuva Mielivaltaisessa pisteessä r sijaitsevan
2 15 1 5 5 1 15 2-5 -1-15 -2-2 -15-1 -5 5 1 15 2 Kuva 1: Pisteen x = 25, y = kautta kulkeva virtaviiva lähteen virtafunktio pisteessä r on muotoa ψ = 2π ln r r (a Osoita, että nopeuskenttä toteuttaa läpitunkemattomuusehdon seinällä (b Laske paine seinällä pisteessä A Oleta, että paine äärettömän kaukana vastaa ilmakehän painetta Vertaa saatua tulosta paineeseen ilman seinää (eli ilman peilattua pyörrettä Kuva 2: Tehtävän asettelu Ratkaisu (Kappaleet 623, 653 (a Koska reunaehto seinällä on helpoin kuvata karteesisessa koordinaatistossa, kannattaa virtafunktiot lausua karteesisessa koordinaatistossa Mielivaltaisesti sijoitetun pyörteen virtafunktio on tällöin ψ = 2π ln (x x 2 + (y y 2
Valitaan koordinaatisto siten, että origo on kuvan pisteessä A ja x-akseli on kohtisuorassa seinään Tällöin oikealla olevan pyörteen sijainti on x = a, y = ja vasemmalla olevan pyörteen x = a, y = Kokonaisvirtafunktio saadaan summaamalla virtafunktiot eli ψ = 2π ln (x + a 2 + y 2 2π ln (x a 2 + y 2 = 2π ln (x + a 2 + y 2 (x a 2 + y 2 Tästä nähdään itseasiassa suoraan, että virtaus on seinän suuntaista, koska jos tähän sijoitetaan seinän sijainti x =, saadaan ψ = 2π ln a 2 + y 2 a 2 + y = 2 eli virtafunktion arvo seinällä on vakio, joten virtaviiva kulkee seinää pitkin Läpitunkemattomuusehdon toteutuminen voidaan toki osoittaa myös laskemalla seinää vastaan kohtisuora nopeus Tämä saadaan suoraan virtafunktiosta derivoimalla eli Seinällä x =, joten tästä saadaan u = ψ y = 1 2y 2π (x + a2 + y 2 2 (x + a 2 + y 2 1 2y 2π (x a2 + y 2 2 (x a 2 + y 2 = [ ] y 2π (x + a 2 + y y 2 (x a 2 + y 2 u x= = 2π eli seinää vastaan kohtisuora nopeus häivää seinällä y y a 2 + y 2 = (b Paine kysytyssä pisteessä saadaan Bernoullin yhtälön avulla Äärettömän kaukana pyörteen vaikutus häviää, jolloin nopeus on nolla Asetetaan ilmakehän paine nollaksi, jolloin saamme tuloksena paineen suhteessa ilmakehän paineeseen Bernoullin yhtälö p 2 + 1 2 ρv 2 2 + ρgz 2 = p 1 + 1 2 ρv 2 1 + ρgz 1 antaa tässä tilanteessa (oletetaan, että ei ole korkeuseroja p A + 1 2 ρv 2 A = = p A = 1 2 ρv 2 A Koska piste A on seinällä on nopeudella ainoastaan seinän suuntainen komponentti eli V A = v Seinän suuntainen nopeus saadaan virtafunktiosta derivoimalla eli v = ψ x = 1 2(x + a 2π (x + a2 + y 2 2 (x + a 2 + y 2 + 1 2(x a 2π (x a2 + y 2 2 (x a 2 + y 2 = 2π [ x a (x + a 2 + y x + a 2 (x a 2 + y 2 ]
Piste A on origossa, joten saadaan V A = 2π ( a a a = 2 a 2 πa Sijoittamalla tämä Bernoullin yhtälöön saadaan paineeksi p A = ρ2 2π 2 a 2 Verrataan tätä tilanteeseen ilman seinää eli kun tarkasteltavana on ainoastaan oikean puoleinen pyörre Pyörre indusoi ainoastaan tangentiaalista nopeutta, jolloin V A = v θ Pyörteelle v θ = 2πr, jolloin pisteessä A V A = 2πa, eli nopeus on tasan puolet nopeudesta seinän kanssa Paine on tällöin p A = ρ2 8π 2 a 2, eli alipaine on neljäsosa verrattuna alipaineeseen seinän kanssa Seinä siis kiihdyttää virtausta pyörteen ja seinän välissä ja aiheuttaa suuremman alipaineen Esimerkiksi Formula 1 -autojen tapauksessa tämä efekti kasvattaa etusiipien alaspäin painavaa voimaa verrattuna siihen, että etusiipi olisi kaukana maan pinnasta Tehtävä 3 Norsepower kehittää Suomessa roottoripurjeita, joita voidaan käyttää laivan propulsion apuna Roottoripurje on laivan kannelle pystyyn asennettava pyörivä sylinteri, joka synnyttää sopivilla tuulenkulmilla laivaa eteenpäin työntävän voiman (kts kuva Laitteen ympärille syntyvää virtausta voidaan approksimoida potentiaaliteorian avulla Tarkastellaan virtausta kaksiulotteisesti sylinteriin kiinnitetyssä koordinaatistossa, jossa tuleva virtaus on x-akselin suuntaista (kts kuva Tällöin virtauskentän potentiaalifunktio on φ = r cos θ (1 + a2 ωa 2 θ Tässä a on sylinterin säde ja ω sylinterin kulmanopeus (rad/s Oletetaan, että sylinterin pituus on 24 m ja halkaisija 4, m Tulevan virtauksen nopeus = 1 m/s ja sylinterin pyörimisnopeus on 125 rpm Fluidi on ilmaa (a Osoita, että annettu potentiaalifunktio toteuttaa läpitunkemattomuusehdon sylinterin pinnalla (b Määritä ja piirrä painejakauma p(θ sylinterin pinnalla (c Laske sylinteriin kohdistuva, tulevaa virtausta vastaan kohtisuora voima integroimalla painejakauma sylinterin pinnan yli Huomaa, että kaksiulotteinen tarkastelu antaa voiman per pituusyksikkö r 2
Kuva 3: Viking Grace alukselle asennettu roottoripurje (kuva: Viking line ja roottoripurjeen kaksiulotteinen approksimaatio Ratkaisu (Kappale 66 (a Annettu potentiaalifunktio toteuttaa läpitunkemattomuusehdon, jos säteen suuntainen nopeus v r häviää, kun r = a Säteen suuntainen nopeus saadaan potentiaalifunktion derivaattana eli v r = φ (1 r = cos θ + a2 r cos θ (1 2a2 r 2 r = cos θ a2 3 r 2 Sylinterin pinnalla saadaan tällöin v r r=a = cos θ (1 a2 =, eli säteen suuntainen nopeus häviää sylinterin pinnalla, ja sen läpi ei tapahdu virtausta (b Koska säteen suuntainen nopeus häviää sylinterin pinnalla, on sylinterin pinnalla vain tangentiaalista nopeutta v θ Tämä saadaan vastaavasti potentiaalifunktiota derivoimalla eli v θ = 1 φ = sin θ (1 + a2 ω a2 r θ r 2 r Sylinterin pinnalla saadaan tällöin a 2 v θ r=a = sin θ (1 + a2 ω a2 a 2 a = 2 sin θ ωa Paine saadaan Bernoullin yhtälöstä p 2 + 1 2 ρv 2 2 + ρgz 2 = p 1 + 1 2 ρv 2 1 + ρgz 1, jossa kaukana ylävirrassa p 1 =, V 1 = ja sylinterin pinnalla V 2 = v θ r=a Korkeuseroja ei huomioida Yhtälöstä saadaan tällöin p r=a = 1 2 ρ 2 1 2 ρv2 θ r=a = 1 2 ρ ( 2 v 2 θ r=a Sijoitetaan tähän nopeuden lauseke sylinterin pinnalla, jolloin saadaan p r=a = 1 2 ρ ( 2 4 2 sin 2 θ 4ωa sin θ ω 2 a 2 = 1 ( 2 ρ 2 1 4 sin 2 4ωa sin θ θ ω2 a 2 2
Jos tähän sijoitetaan tunnetut arvot (oletetaan, että ρ = 1, 225 kg/m 3, saadaan p r=a 61, 25 Pa ( 1 4 sin 2 θ 1, 47 sin θ 6, 85 Tämä painejakauma on esitetty kuvassa 4 61, 25 Pa ( 4 sin 2 θ 1, 47 sin θ 5, 85 2-2 -4 p [Pa] -6-8 -1-12 -14 45 9 135 18 225 27 315 36 theta [deg] Kuva 4: Painejakauma sylinterin pinnalla (c Lasketaan sylinteriin kohdistuva voima intergoimalla painejakauma sylinterin ympäri Kohdassa θ vaikuttava paine aiheuttaa differentiaaliselle pinta-alkiolle differentiaalisen y-akselin suuntaisen voiman df y = p r=a a sin θdθ, jossa differentiaalinen pinta-alkio on adθ Koko pintaan vaikuttava voima (per pituusyksikkö saadaan integroimalla differentiaaliset voimat koko piirin ympäri eli F y = 2π p r=a a sin θdθ Sijoitetaan tähän paineen lauseke, jolloin saadaan F y = 1 2π ( 2 ρ 2 a sin θ 4 sin 3 θ 4ωa sin2 θ ω2 a 2 sin θ dθ 2 Koska sini-funktio on jaksollinen, häviävät integroinnissa termit, joissa esiintyy sinin ensimmäinen potenssi Integraali yksinkertaistuu tällöin muotoon F y = 1 2π ( 2 ρ 2 a 4 sin 3 θ + 4ωa sin2 θ dθ Integrointia varten voimme kirjoittaa sin 3 θ = sin θ sin 2 θ = sin θ ( 1 cos 2 θ
ja sin 2 θ = 1 cos 2θ 2 2 Sijoittamalla nämä integraalin lausekkeeseen saadaan F y = 1 2π [ 2 ρ 2 a 4 sin θ 4 sin θ cos 2 θ + 2ωa ] (1 cos 2θ dθ Näistä ensimmäinen ja viimeinen termi häviää jälleen jaksollisuuden vuoksi, jolloin integraalista saadaan F y = 1 2π ( 2 ρ 2 a 4 sin θ cos 2 θ + 2ωa dθ 2π = 1 2 ρ 2 a = 1 ( 4 2 ρ 2 a = 2πρωa 2 ( 4 3 cos3 θ + 2ωaθ 3 4 3 + 2ωa2π Kokonaisvoima saadaan kertomalla tämä sylinterin pituudella eli F tot,y = 2πρωa 2 l Sijoitetaan tähän tunnetut arvot, jolloin voimaksi saadaan F tot,y = 2π 1, 225 kg m 1 m 3 s 125 rad 2π 2 2 m 2 24 m 96, 72 kn 97 kn 6 s