Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin ke 7.3. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 2 Ratkaisut 1. Kuvan 1 pisteessä vallitsee jännitystila: s x -50 MPa, s y 40 MPa, t yx 25 MPa. a. Piirrä kuvaan jännitysnuolet ja lukuarvot. (1p) b. Eräässä kappaleessa vallitsee jännitystila: s x 50 MPa, s y -40 MPa, t yz 25 MPa, t xy -20 MPa, t zx 10 MPa. Kirjoita kappaleen jännitystilaa kuvaava jännitysmatriisi [S]. (0p) a. Kun hahmotetaan kaksiulotteisia jännitystiloja, noudatetaan seuraavia periaatteita: Positiivinen normaalijännityskomponentti (vetojännitys) osoittaa pinnan normaalin suuntaisesti koordinaattiakselin positiiviseen suuntaan, negatiivinen (puristusjännitys) negatiiviseen. Positiivinen leikkausjännityskomponentti osoittaa vaikutuspinnan suuntaisesti koordinaattiakselin positiiviseen suuntaan, ja päinvastoin. Leikkausjännityskomponentin ensimmäinen alaindeksi viittaa vaikutuspinnan normaaliin ja toinen alaindeksi ilmaisee vaikutussuunnan. Nurkat täydennetään symmetrisesti. Näin ollen myös jännitysmatriisi ([S]) on symmetrinen. Jännityksen arvo kirjoitetaan kuvaan ilman etumerkkiä. b. S 50MPa 20MPa 10MPa 20MPa 40MPa 25MPa 10MPa 25MPa 0 1
2. Kuvan 2 paineastian tarkastusluukku on kiinnitetty 20 kappaleella M22 teräspultteja, joiden kierteen keskihalkaisija on 21,188 mm. Kannen sisähalkaisija on 600 mm. Määritä yhden pultin poikkileikkauksen normaalijännitys, kun astiassa on 8 MPa ylipaine. Ovatko pultit mitoitettu oikein, kun kyseessä olevan teräksen myötöraja R e 400 MPa ja vaadittu varmuusluku n sall 1,2. Oletetaan, että ylipaineen aiheuttama kuormitus jakautuu ruuvien kesken tasaisesti. (1,5p) Kuva 1 Lasketaan ensin paineen aiheuttama voimaresultantti F - A /00110 p πr 6 p 7 8 6006 mm 6 8 N/mm 6 2,3MN. (1) Ratkaistaan yhteen pulttiin kohdistuva normaalivoima Saadaan ratkaistua yhden pultin normaalijännitys σ N B C F 6D - 66ECF8E,GH 133,1kN. (2) 6D H L M LNNOP Varmuusluku n sall määritellään niin, että Nyt s kri R e, joten saadaan R S CCQDFG,QH (6C,CUU VV)X 320,8 MPa (3) n Z[// \]LP (4) \^_`` σ Z[// a b 8DD de[ c^_`` C,6 333,3 MPa. (5) Näin ollen pultit kestävät kuormituksen. 2
3. Kuvan 3 rakenne koostuu kahdesta sauvasta, jotka on asennettu kahden äärettömän jäykän seinän väliin. Rakenteen pituus voi kasvaa vapaasti mitan d 0,6 mm. Sauvojen materiaalit ovat teräs (Te) ja kupari (Cu). Paljonko lämpötila DT saa kasvaa, jottei rakenteessa esiintyvä suurin puristusjännitys saavuta arvoa 55 MPa? (1,5p) E Te 210 GPa, a Te 12 10-6 1/ C ja A Te 6 cm 2 E Cu 120 GPa, a Cu 18 10-6 1/ C ja A Cu 12 cm 2 a 0,4 m ja b 0,2 m Tehtävässä käytetään seuraavia perusyhtälöitä Kuva 2 Kummassakin sauvoissa vaikuttaa sama normaalivoima σ Eε (1) L L D α T (2) ε l l m (3) N n0 N op (4) Koska terässauvan poikkipinta-ala on pienempi kuin kuparisauvan, siinä vallitsee suurempi normaalijännitys. Lasketaan suurinta puristusjännitystä vastaava normaalivoima N op σ op A op 55 MPa 600 mm 6 33000 N N n0 (5) Kappaleen kokonaisvenymä saadaan yhtälöllä Siitä saadaan venymät teräs- ja kuparisauvalle ε ε p + ε o (6) 3
ε op ε p op o + ε op ja ε n0 ε p n0 + ε o n0. (7) Yhtälöistä (1), (2) ja (3) saadaan määritettyä teräkselle ja kuparille elastinen venymä ja lämpövenymä ε p op p ε n0 H sb \ sb ja ε t sb M sb t op α op T, sb (8) \ un H un ja ε t un M un t n0 α n0 T. un (9) Äärettömän jäykät seinät rajoittavat yhteiseksi pituuden muutokseksi L n0 + L op δ (10) Yhtälöä (3) ja sauvojen alkuperäisiä pituuksia a ja b käyttämällä saadaan Yhteyksiä (4), (8) ja (9) käyttämällä saadaan bε n0 + aε op δ (11) b H sb M un t un + α n0 T + a H sb M sb t sb + α op T δ (12) Otetaan N te yhteiseksi tekijäksi ja ratkaistaan lämpötila DT N op b A n0 E n0 + a A op E op + α n0 b + α op a T δ T N op b + a A n0 E n0 A op E op α n0 b + α op a + δ T ( 33000N) 89,4K 0,2m 0,4m 12 10 4 m 2 120 10 9 N + m 2 6 10 4 m 2 210 10 9 N + 0,6 10 3 m m 2 18 10 6 1 1 0,2 + 12 10 6 K K 0,4 4
4. Kuvan 4 poikkileikkaukseltaan suorakulmaiseen, lineaarisesti kimmoiseen, kahdesta teräskappaleesta yhteen liimattuun terässauvaan kohdistuu vetävä voima F 15 kn. Määritä sauvassa vallitseva suurin jännitys, kun reiän muotoluku a r 3 ja loven a l 2,2. Sauvan mitat ovat h 20 mm, w 15 mm, d 10 mm, u 10 mm. Teräksen vetolujuus on 400 MPa ja epoksiliiman keskimääräinen leikkauslujuus teräkselle on 17 MPa. Kuinka suuri kulman q on oltava, jotta liimasauma kestää saman vetovoiman kuin sauvan rasitetuin kohta? (2p) Sauvan poikkipinta-ala päässä loven kohdalla ja reiän kohdalla Kuva 3 A hw 300 mm 6, (1) a uw 150 mm 6, (2) A B h d w 150 mm 6. (3) Loven ja reiän vaikutus normaalijännitykseen huomioidaan muotoluvun a avulla ja sen avulla lasketaan alueen jännityshuippu / maksiminormaalijännitys. Muotolukujen laskemiseen palataan tämän kurssin lopussa. Periaate on, että mitä isompi esim. 5
hitsisauman pyöristyssäde, sitä pienempi maksimijännitys. Tämä on hyvä ottaa huomioon esim. teräs- tai teräsbetonirakenteita suunniteltaessa. Seuraavaksi lasketaan kunkin kohdan normaalijännitys: Päässä σ M 50 MPa, M (4) loven kohdalla (σ ) / α / 220 MPa, (5) ja reiän kohdalla [ (σ ) B α B M L 300 MPa. (6) Nähdään, että suurin normaalijännityksen maksimiarvo on reiän alueella. Lasketaan suurin vetävä voima F max Seuraavaksi tarkastellaan liimasaumaa F V[ƒ (\ _ ) 8DDde[ 150mm 6 20kN. (7) L Q Trigonometrian avulla saadaan leikkausvoiman komponentti ja sauman pinta-ala Q cos (θ) F V[ƒ (8) A Z Ž ( ) w. (9) Yhdistämällä kaavat (8) ja (9) saadaan sauman leikkausjännitykseksi τ M^ ( ) _ š ( ) (6 ) _. (10) 6 Ž œ Ratkaistaan kulma q sijoittamalla liiman leikkauslujuus t q 17 MPa θ ([B ZžcX Ÿ _ m,mx m,mÿ ) m,mx 15,3 (11) 6 6
Todellisuudessa liimasaumassa vaikuttaa myös normaalijännitys, mutta tällaisessa tapauksessa tarkastelussa joudutaan käyttämään myötöehtoja, joita ei käsitellä tässä vaiheessa. 7