KIINTEÄN AINEEN MEKANIIKAN PERUSTEET

Transkriptio

1 KIINTÄN AINN MKANIIKAN PRUSTT YHTÄLÖKOKOLMA Kari Santao Pitkä versio Opiskelin nimi opiskelinumero Voisitteko ystävällisesti ilmoittaa tässä yhtälökokoelmassa havaitsemistanne virheistä puutteista. Ota tämä yhtälökokoelma mukaan tenttiin välikokeeseen. Älä tee tähän mitään merkintöjä. Tutustu yhtälökokoelmaan, jotta tiedät mitä siinä on missä järjestyksessä yhtälöt on esitetty. Jos tenttiin tullessasi huomaat, että yhtälökokoelma on unohtunut kotiin, pyydä kokeen valvolta uusi kopio. (6)

2 Myös lujuusopissa käytetään Newtonin. lakia, joka on jossa PF on voimavektori, m on massa Pa on partikkelin kiihtyvyys. PF m Pa, () Insinöörijännityksen σ ins todellisen normaalijännityksen σ tod arvot voidaan laskea yhteyksistä σ ins N A 0 σ tod N A, () joissa N on normaalivoima, A 0 on rakenteen alkuperäinen poikkipinta-ala A on rakenteen todellinen poikkipinta-ala. Normaalivoima N on positiivinen aiheuttaessaan vetojännityksen. Poikkileikkauksessa A vaikuttava keskimääräisen normaalijännityksen arvo saadaan yhteydestä σ kesk σ kesk N A. (3) Poikkileikkauksessa A vaikuttava keskimääräisen leikkausjännityksen τ kesk arvo saadaan yhteydestä jossa Q on leikkausvoima. τ kesk Q A, (4) Mittavälin pituuden muutoksen ΔLsuhde alkuperäiseen pituuteen L 0 on nimeltään insinöörivenymä eli venymä ε se määritellään seuraavalla tavalla ε L & L 0 L 0 ΔL L 0. (5) Yllä olevassa yhteydessä mitta L 0 on alkuperäinen mittapituus mitta L on mittapituuden suuruus nykytilassa. Todellinen venymä on ε tod ε tod L L 0 L dl ln L % ΔL 0 ln % ε ins. (6) L 0 Tilavuudenlaajenemiskerroin e määritellään seuraavasti: e : dv & dv 0 dv 0 josta saadaan e ε % ε y % ε z. (7) Liukukulman tai toiselta nimeltään liukuman γ suuruus saadaan piirtämällä kappaleeseen alkutilassa suora kulma. Olkoon tämän kulman suuruus nykytilassa α. Liukuman γ suuruus saadaan yhteydestä γ π & α (8) Hooken lain mukaan normaalijännityksen σ (leikkausjännityksen τ) venymän ε (liukuman γ) välinen riippuvuus on lineaarinen eli σ ε e τ G γ e, (9) joissa on kimmokerroin G on liukukerroin joissa yläindeksi e viittaa elastiseen muodonmuutokseen. (6)

3 Jos käytetään merkintää ε e ilmaisemaan elastista venymää kuormittavan voiman F vaikutussuunnassa merkintää ε e z ilmaisemaan elastisia venymiä voiman F vaikutussuuntaa vastaan kohtisuorissa suunnissa, voidaan kirjoittaa ν : & εe z, josta seuraa ε e z &νεe. (0) ε e Yllä olevassa määritelmässä oleva merkintä ν on Poissonin luku. Kimmo-, liuku- G suppeumakertoimen ν välinen yhteys on G (% ν). () Ramberg Osgood ovat esittäneet seuraavanlaisen epälineaarisen konstitutiivisen yhteyden ε σ % c σ jossa olevien materiaalivakioiden arvot määritetään kokeellisesti. n, () Jos materiaalin muodonmuutos koostuu lineaarisesta elastisuudesta lämpölaajenemisesta, saadaan kokonaisvenymä ε Hooken lain mukaisen venymän lämpölaajenemisen summana yhteydestä ε e ε T ε ε e % ε T jossa ε e σ ε T α ΔT. (3) Yllä olevassa α on pituuden lämpötilakerroin. Nortonin laki on Strain hardening malli on ε0 v ε0 re σ σ re n. (4) ε0 v ε0 re g v k f (σ), (5) jossa jännitysriippuvuus f(σ) voi olla samanlainen kuin Nortonin laissa. Suosittelen primääri- sekundäärivirumisen mallintamiseen ranskalaisten käyttämää mallia, joka yksinkertaistettuna voidaan kirjoittaa seuraavaan muotoon ε0 v ε0 re σ & β σ re n β 0 a ε0 v & b β σ re m. (6) Tarkastellaan pieniä muodonmuutoksia, jolloin *ε* < 0,. Tällöin (kokonais)venymä voidaan ilmaista osiensa summana seuraavasti ε ε e % ε T % ε p % ε v. (7) Yllä olevan yhtälöön venymätermit kuvaavat eri muodonmuutosmekanisme. Termi on elastinen venymä, termi ε T on lämpövenymä, termi ε p on plastinen venymä termi ε v on virumisvenymä. ε e 3(6)

4 Loven muotoluku α on jossa σ ma on suurin jännitys σ nim on nimellinen jännitys. Sallitun kuormituksen varmuusluku e ỹ : A b n sall n sall Määritellään vaikuttavan kuormituksen varmuusluku : n vaik : α σma σ nim, (8) Kriittinen kuormitus Sallittu kuormitus Poikkipinnan painopisteen paikka saadaan yhteydestä määritellään seuraavalla tavalla: n vaik, joka on A b ỹ da e z :. (9) Kriittinen kuormitus Vaikuttava kuormitus. (0) A b A b z da, joissa (ỹ, z) on mielivaltainen A b :n virittämässä tasossa oleva koordinaatisto. Jos (ỹ, z) on painopistekoordinaatisto, on yllä olevien integraalien arvo nolla. Jos pinta-ala A b voidaan kaa osiin A, A, A 3 jne., voidaan painopisteen paikka laskea yhtälöstä e ỹ (A % A % A 3 %...) e ỹ A ỹ % e ỹ A % e ỹ3 A 3 %... () Koordinaatisto (y,z ) on poikkileikkauksen A (uuman) painopisteessä siitseva koordinaatisto mitta e ỹ merkkinen etäisyys ỹ-akselista y -akseliin. Palkin resultanttinormaalivoima N (), resultanttileikkausvoima Q y () resultanttitaivutusmomentti M z () määritellään seuraavasti () N () : A da Q y () : A τ y da vielä M z () : joissa (,y,z), τ y τ y (,y,z) A on palkin poikkipinta-ala. A y da, (3) Yhden muuttun funktion f() arvoa pisteessä 0 % Δ voidaan arvioida ottamalla Taylorin sarsta kaksi ensimmäistä termiä. Tällöin saadaan f( 0 % Δ). f( 0 ) % Mf( ) 0 Δ eli f( 0 % Δ). f( 0 ) % fn( 0 ) Δ. (4) Kahden muuttun funktion g(,y) arvoa pisteessä ( 0 % Δ,y 0 % Δ y ) voidaan arvioida ottamalla Taylorin sarsta kolme ensimmäistä termiä. Tällöin saadaan g( 0 % Δ,y 0 % Δ y ). g( 0,y 0 ) % Mg(,y ) 0 0 dm z () d Q y () dq y () d Δ % Mg( 0,y 0 ) My Δ y. (5) Suoran palkin kautuneen kuorman, leikkausvoiman taivutusmomentin välillä q y () Q y () M z () vallitsevat seuraavat yhteydet &q y (). (6) 4(6)

5 Taulukko. rilaisten tkuvien kuormien q y () aiheuttamia resultanttileikkausvoimakuvaajiaq y () resultanttitaivutusmomenttikuvaajia M z (). Ohessa myös vastaavat graafiset kuvaat vapaasti tuetulle palkille. Kuormitus Vaste Leikkausvoima Q y () Taivutusmomentti M z () q y () q 0 q 0 (+) (-) (+) y Q y () &q 0 M z () & q 0 y c q 0 (+) (-) (+) q y () q 0 c Q y () &q 0 c M z () & q 0 3 6c q 0 c y q y () q 0 & c (+) (-) Q y () &q 0 & c (+) M z () &q 0 & 3 6c Taivutetun suoran palkin normaalijännityksen σ arvo saadaan yhtälöstä (,y) M z () I z () y % N () A(). (7) Jäyhyysmomentti z-akselin suhteen I z () jäyhyysmomentti y-akselin suhteen I y () sekä keskipakomomentti I yz () polaarinen jäyhyysmomentti I p () ovat I z () : A b y da I y () : A b z da I yz () : A b yz da (8) I p () : A b r da. (9) Ylläolevissa määritelmissä A b on palkin poikkipinta-ala r on pisteen etäisyys origosta. Vastaavasti 5(6)

6 I z Kuva. Jäyhyysmomentin I z arvon laskeminen jäyhyysmomentista. I z Kuva. (a) Monimutkaisen profiilin ko osa-alueisiin (b) osa-alue A. A b y da niin edelleen. (30) Steinerin säännön. muoto. Olkoon poikkileikkauksen painopisteakselisto (y,z). Olkoon toinen (lähes) mielivaltainen koordinaatisto (ỹ, z). Oletetaan, että jäyhyysmomentin arvo tunnetaan koordinaatiston (ỹ, z) suhteen että halutaan määrittää sen arvo painopistekoordinaatiston (y,z) suhteen. Tällöin käytetään yhtälöitä lopuksi I z () I z () & (e ỹ) A b (3) I y () Iỹ() & (e z ) A b (3) I yz () Iỹ z () & e ỹ e z A b. (33) Steinerin säännön. muoto. Joskus voidaan palkin poikkileikkaus atella koostuneeksi osa-alueista A, A, A 3 jne. Kuvan (a) osoittamalla tavalla. Jos näiden osa-alueiden painopisteiden paikat jäyhyysmomentit omien painopisteittensä suhteen on helppo laskea, voidaan koko poikkileikkauksen jäyhyysmomentti laskea osa-alueiden jäyhyysmomenteista Steinerin säännön. muodon avulla. Koko poikkileikkauksen jäyhyysmomentit koko poikkileikkauksen painopisteakselin suhteen saadaan yhtälöistä I z () Σ n I zi () % (e yi ) A i (34) momentit oman painopisteakselistonsa (y i,z i ) suhteen. A b I y () Σ n lopuksi I yz () Σ n i i i I yi () % (e zi ) A i (35) I yizi () % e yi e zi A i. (36) Yllä olevissa yhtälöissä oikean puolen. termit ovat osa-alueiden jäyhyys- Reikäsääntö. Jos perusmuodon reikien y-akselit yhtyvät [laskettaessa jäyhyysmomenttia I z () ] tai perusmuodon reikien z -akselit yhtyvät [laskettaessa jäyhyysmomenttia I y () ], voidaan käyttää reikäsääntöä. Se on A i I z () I umpi z () & I z () & I z (). (37) Kuva 0. Poikkileikkaus, jossa on reikiä reikäsäännön edellyttämällä tavalla. 6(6)

7 Ympyrän muotoiselle poikkileikkaukselle, jonka säde on a, suorakaiteen muotoiselle poikkileikkaukselle, jonka leveys on b korkeus on h, on johdettu seuraavat tulokset I z () I y () π a 4 4 I p () π a 4 Palkin poikkileikkauksen pääjäyhyyksien arvot saadaan yhtälöistä I z () bh3 (38) I I y % I z Jäyhyysmomenttia % (I z & I y ) % 4 I yz I I y % I z I () vastaava suunta saadaan yhteydestä & (I z & I y ) % 4 I yz. (39) tanα I & I y I yz. (40) Tarkastellaan palkkia, jonka poikkileikkaus ei muutu. Paikassa, jossa normaalivoiman N () suuruus ei muutu, vallitsee seuraavanlainen leikkausjännitys τ y (,y) Q y () S z (y) I z b(y) jossa S z (y) A y da. (4) Funktio S z (y) on tason y y alapuolella olevan poikkileikkauspinnan staattinen momentti painopisteakselin z suhteen. Suoran palkin kimmoviivan d v() d & M z () () I z () v() differentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa seuraavilla tavoilla d d () I z () d v() d & dm z () d &Q y () (4) vielä d d () I z () d v() d q y () Viimeisessä yhtälössä r() on palkin kaarevuussäde. r() & d v(). (43) d Tässä kurssissa Cauchyn jännitystensori σ c määritellään käyttäen yhtälöä Pn" σ c : Pt, jossa Pn" Pn, (44) jossa Pn on (kuvitellusta) kappaleesta ulospäin suuntautuva yksikkönormaali jossa Pt on traktio. Ne ovat Liikemäärän taseen periaate (laki) on LL MV Pt da % V ρ Pb dv D Dt V ρ Pv dv. (45) Liikeyhtälöt ovat (,yz)-koordinaatistossa 7(6)

8 M % Mτ y My % Mτ z Mz % ρ 0 b ρ 0 0v Mτ y % Mσ y My % Mτ zy Mz % ρ 0 b y ρ 0 0v y (46) Mτ z % Mτ yz My % Mσ z Mz % ρ 0 b z ρ 0 0v z. Jos yllä olevien yhtälöiden oikeat puolet voidaan pieninä termeinä olettaa nolliksi, yhtälöitä kutsutaan tasapainoyhtälöiksi. Liikemäärän momentin periaate (laki) on LL MV ( Pr Pt )da % V ( Pr ρ Pb )dv D Dt V ( Pr ρ Pv )dv. Liikemäärän momentin taseen laista saadaan tulokseksi se, että jännitystensori σ τ y τ y, τ zy τ yz τ z τ z. (48) (47) on symmetrinen eli Kaksiaksiaalisessa tilanteessa Greenin venymämatriisin [] komponentit saadaan yhteydestä dpş" δpş & dps" δps (ε G d δ % γg y dy δ % γg y d δy % εg y dy δy). (49) Kaksiaksiaalisessa tilanteessa Greenin venymämatriisin [] komponentit ovat ε G Mu % Mu % Mv (50) ε G y Mv My % Mv My % Mu My (5) vielä γg y Mu My % Mv % Mu Mu My % Mv Mv My (5) lopuksi γg y Mu My % Mv % Mv Mv My % Mu Mu My. (53) Tarkastellaan jännityksiä kolmiaksiaalisessa tilanteessa. Oletetaan, että jännityskomponenttien arvot tunnetaan (,y,z) -koordinaatistossa. Normaalijännityksen σ n, joka vaikuttaa oheisessa kuvassa olevan yksikkönormaalin Pn ilmaisemassa suunnassa, arvo saadaan tällöin yhtälöstä 8(6)

9 σ n cos θ % σ y cos θ y % σ z cos θ z % τ y cosθ cosθ y % τ yz cosθ y cosθ z % τ z cosθ cosθ z, (54) Yllä olevassa muunnosyhtälössä olevien kulmien z (θ,θ y,θ z ) välillä vallitsee yhteys cos θ % cos θ y % cos θ z. (55) Tarkastellaan kahta erikoistapausta: θ θ z θ y n y () Materiaalin pisteessä vallitsee tasojännitystila σ z τ yz τ z / 0. () Materiaalin pisteessä vallitsee kolmiaksiaalinen jännitystila, mutta jännityksiä tarkastellaan tasoissa, joiden normaalit ovat z -akselia vastaan kohtisuorassa. Tällöin ovat voimassa muunnosyhtälöt σ n cos θ % σ y sin θ % τ y cosθ sinθ (56) τ nt &( & σ y )sinθ cosθ & τ y (sin θ & cos θ). (57) Kolmiulotteisessa tapauksessa pääjännitykset σ I $ σ II $ σ III saadaan karakteristisen yhtälön juurina. Karakteristinen yhtälö on σ 3 & ( % σ y % σ z ) σ % ( σ y % σ y σ z % σ z & τ y & τ yz & τ z ) σ & σ y σ z & τ y τ yz τ z % τ yz % σ y τ z % σ z τ y 0. (58) Pääleikkausjännitykset saadaan yhteyksistä τ,τ,τ 3 τ joista saadaan ± σ I & σ III τ ± σ I & σ II vielä τ 3 ± σ II & σ III, (59) τ ma σ I & σ III. (60) Jos tiedetään, että yksi pääjännityksistä on tiettyä tasoa vastaan kohtisuorassa suunnassa, niin kaksi muuta pääjännitystä on tässä tasossa. Niiden suuruudet saadaan yhtälöistä σ, % σ y ± ( & σ y ) % 4 τ y (6) Pääjännityksiä vastaavat pääsuunnat ovat tanθ σ & τ y θ θ ± π. (6) 9(6)

10 Tässä tasossa olevien leikkausjännitysten ääriarvot ovat τ ma min ± σ & σ tanψ & & σ y τ y ψ ψ % π. (63) Tarkastellaan pisteiden P Q välistä venymää kolmiulotteisessa kappaleessa. Oletetaan, että venymäkomponenttien arvot tunnetaan (,y,z) -koordinaatistossa. Venymän g PQ, z joka vaikuttaa oheisessa kuvassa olevan na PQ virittämässä suunnassa, arvo ds saadaan tällöin yhtälöstä Q θ z g PQ g cos θ % g y cos θ y % g z cos θ z θ θ y (64) % γ y cosθ cosθ y % γ yz cosθ y cosθ z % γ z cosθ cosθ z. P y Yllä olevan muunnosyhtälön kulmien (θ,θ y,θ z ) välillä vallitsee yhteys cos θ % cos θ y % cos θ z. (65) Tarkastellaan kahta erikoistapausta: g PQ () Materiaalin pisteessä vallitsee tasovenymätila g z γ yz γ z / 0. () Materiaalin pisteessä vallitsee kolmiaksiaalinen venymätila, mutta venymiä tarkastellaan (,y) - tason suuntaisissa tasoissa. Tällöin ovat voimassa yhtälöt ε n ε cos θ % ε y sin θ % γ y sinθ cosθ (66) γ nt &(ε & ε y )sinθ cosθ & γ y (sin θ & cos θ). (67) Jos tiedetään, että yksi päävenymistä on tiettyä tasoa vastaan kohtisuorassa suunnassa, niin kaksi muuta päävenymää ovat tässä tasossa. Niiden suuruudet saadaan yhtälöistä ε, ε % ε y ± (ε & ε y ) % γ y. (68) Päävenymien suunnat saadaan yhteydestä Hooken laki on tann (ε & g ) γ y n n ± π. (69) ε e & ν (σ y % σ z ) γe y τ y G ε e y σ y & ν ( % σ z ) γe yz τ yz G (70) ε e z σ z & ν ( % σ y ) γe z τ z G. 0(6)

11 Yllä oleva yhteys pätee mielivaltaiselle koordinaatistolle (,y,z), joten päävenymien (ε,ε,ε 3 ) pääjännityksien (σ,σ,σ 3 ) välinen yhteys on ε e σ & ν (σ % σ 3 ) γe / 0 ε e σ & ν (σ % σ 3 ) γe 3 / 0 (7) ε e 3 σ 3 & ν (σ % σ ) γe 3 / 0. Ottamalla käyttöön (elastinen) tilavuuden-laajenemiskerroin e e [pienet muodonmuutokset] eli Yllä olevasta Hooken laista saadaan e e ε e % εe y % εe z ( ε e % εe % εe 3 ) (7) % ν ε e % ν & ν ee τ y G γ e y σ y % ν ε e y % ν & ν ee τ yz G γ e yz (73) σ z % ν ε e z % ν & ν ee τ z G γ e z. Jos lämpölaajeneminen otetaan huomioon, saadaan ε et & ν (σ y % σ z ) % α ΔT γet y τ y G ε et y σ & ν (σ % σ y z ) % α ΔT γet yz τ yz G (74) ε et z σ & ν (σ % σ z y ) % α ΔT γet z τ z G. % ν ε et % ν & ν eet & α ΔT & ν τ y G γ et y σ y % ν ε et y % ν & ν eet & α ΔT & ν τ yz G γ et yz (75) σ z % ν ε et z % ν & ν eet & α ΔT & ν τ z G γ et z. Ottamalla käyttöön jännitystilan ensimmäinen invariantti s, joka määritellään s : % σ y % σ z σ % σ % σ 3 (76) (6)

12 voidaan johtaa yhteys Tasojännitystilassa e et & ν σ z τ yz τ z 0. Hooken laki saa tällöin muodot ε e & νσ y γ e y τ y G s % 3 α ΔT. (77) (% ν) τ y ε e y σ y & ν (78) Tasovenymätilassa σ y ε e z &ν % σ y. & ν (εe % νεe y ) τ y G γe y (% ν) γe y & ν (εe y % νεe ). ε e z γ e yz γ e z 0. Hooken laki saa tällöin muodot % ν εe % ν & ν (εe % εe y ) τ y G γe y (% ν) γe y (79) σ y % ν εe y % ν & ν (εe % εe y ) (80) σ z ε e ε e y % ν % ν % ν ν & ν (εe % εe y ). ( & ν) & νσ y γ e y τ y G ( & ν) σ y & ν. (% ν) Venymäliuskan vastuksen muutos ΔR saadaan yhteydestä ΔR k(t) g m % φ(t), (8) R jossa R on venymäliuskan vastus alkutilassa, k(t) on k-kerroin g m on liuskan mittaama mekaaninen venymä. Wheatstonen sillan ulostulojännite U A saadaan sillassa olevien vastusten resistanssien R, R, R 3 R 4 sekä syöttöjännitteen U avulla seuraavasti τ y (8) U A R R 3 & R R 4 (R % R )(R 3 % R 4 ) U. (83) Jos R R 3 R R 4, on Wheatstonen sillan ulostulojännite U A = 0 silta on tasapainossa. Tasapainotilasta poikkeutetun Wheatstonen sillan ulostulojännite U A on (6)

13 U A r ( % r) ΔR R & ΔR R % ΔR 3 R 3 & ΔR 4 R 4 U, (84) jossa R / R r. Määritellään muodonmuutosenergiatiheys w(ε e ) seuraavalla tavalla: w(ε e ) : ε e 0 dε e % σ y dεe y % σ z dεe z % τ y dγe y % τ yz dγe yz % τ z dγe z. (85) Koko kappaleen muodonmuutosenergia kappaleen tilavuuden V yli eli W saadaan integroimalla muodonmuutosenergiatiheys w(ε e ) W : V w(ε e )dv. Komplementaarinen muodonmuutosenergiatiheys w c (σ) määritellään seuraavalla tavalla: (86) w c (σ) : σ 0 ε e d % εe y dσ y % εe z dσ z % γe y dτ y % γe yz dτ yz % γe z dτ z. (87) Koko kappaleen komplementaarinen muodonmuutosenergia saadaan integroimalla komplementaarinen muodonmuutosenergiatiheys w c (σ) kappaleen tilavuuden V yli eli W c W c : V w c (σ) dv. (88) Jos materiaali on homogeenista jos lämpötilan vaikutukset voidaan jättää huomiotta muodonmuutosenergiatiheydellä w(ε e ) komplementaarisella muodonmuutosenergiatiheydellä w c (σ) on seuraavat ominaisuudet: Mw(εe ) Mε e ε e Mwc (σ) M. Yllä olevia yhtälöitä vastaavat yhtälöt ovat voimassa myös muille komponenteille. Funktion von Mises σ vm arvo saadaan yhtälöstä [σ vm ] : ( & σ y ) % (σ y & σ z ) % (σ z & ) % 3 τ y % τ yz % τ z. (90) Tarkastellaan poikkileikkaukseltaan pyöreän sauvan vääntöä. Sauvaa kuormittaa vääntömomentti M v, jolloin siihen syntyy kiertymiskulma n. Olkoon vääntösauvan säteen suuntainen koordinaatti r, materiaalin liukukerroin G vääntymä θ dn&d. Tällöin saadaan τ G θ r M v GI p θ jossa I p Jos sauvan pituus on l sen poikkileikkaus ei muutu, saadaan A r da. θ dn&d Y Δn θ l. (9) (89) (9) 3(6)

14 Ympyrän muotoisen onton poikkipinnan, jonka ulkosäde on a sisäsäde on b, polaarinen jäyhyysmomentti on Jos vääntöakseli siirtää tehon P, niin saadaan I p π (a 4 & b 4 ). (93) P ω M v jossa ω π n. (94) Yllä olevissa yhtälöissä ω on kulmanopeus n on pyörimisnopeus (kierrosnopeus). Tarkastellaan kahta rynnössä olevaa hammaspyörää, joiden halkaisit ovat. Merkitään näiden hammaspyörien kierrosnopeutta merkeillä. Tällöin saadaan välityssuhteeksi i n A n B d A d B i d A d B n B n A. (95) Sisäpuolisen ylipaineen p kuormittaman ohutseinämäisen painesäiliön kehänsuuntainen normaalijännitys σ n pituussuuntainen normaalijännitys saadaan yhteyksistä σ n pd t jossa D on painesäiliön ulkohalkaisi t on seinämän paksuus. pd 4 t, (96) Alla olevassa kuvassa on nomogramme, joiden avulla voi laskea akseleiden loven muotoluvun α arvo. 4(6)

15 /t 0,04 0,08 0,5 5 0,06 0, 0, 0,3 4 0,5 3,0,0 0,4 0,6 0,8,0 d/d /t 0,04 0,08 0,5 0,06 0, 0, 5 0,3 4 0,5 3 0,4 0,6 0,8,0 d/d,0,0 /t ,04 0,06 0,08 0, 0,5 0, 0,3 0,5,0,0 0,4 0,6 0,8,0 d/d F d D F M d t D M T d t D T t /t /t 0,04 0,06 0,08 5 0, 0,5 4 0, 0,3 3 0,5,0,0 0,4 0,6 0,8,0 d/d /t 0,04 0,06 0,08 5 0, 0,5 4 0, 0,3 3 0,5,0,0 0,4 0,6 0,8,0 d/d 0,04 0,06 0,08 0, 0,5 0, 0,3 0,5,0,0 0,4 0,6 0,8,0 d/d F D d t F M D t d M T D d t T 5(6)

16 Tarkastellaan keskeisesti puristetun voiman F kuormittaman sauvan nurhtamista. Olkoon nurhdussauvan taipuma v, jolloin nurhduksen differentiaaliyhtälö on v % k v 0, jossa k F I (97) dellä mainitun differentiaaliyhtälön ratkaisu on v C % C % C 3 cos(k) % C 4 sin(k). (98) ulerin nurhdustapausten nurhdusvoiman F n arvot saadaan yhteydestä F n µ π I l, (99) jossa µ on kiinnityksestä riippuva kerroin, l on sauvan pituus. ulerin tapaukset ovat F F F F uler uler uler 3 uler 4, Kiintea aine Yhtalokokoelma wpd/Santao 6(6)