Riemannin sarjateoreema LuK-tutielma Sami Määttä 2368326 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sysy 206
Sisältö Johdanto 2 Luujonot 3 2 Sarjat 4 2. Vuorottelevat sarjat........................ 6 2.2 Ehdollisesti ja itseisesti suppenevat sarjat............ 6 2.3 Riemannin sarjateoreema..................... 9 Lähdeluettelo 3
Johdanto Tutielmassa tutustutaan alusi luujonen suppenemisen äsitteeseen, jota tarvitaan sarjan summan määrittelyssä. Tutielmassa tutustutaan sarjoihin luuisten esimerien avulla, jolloin saadaan osetuspintaan niiden ominaisuusiin. Sen lisäsi tarastellaan vuorottelevia sarjoja, joihin liittyy olennaisesti ehdollinen suppenevuus. Tutielma ulminoituu Riemannin sarjateoreeman todistuseen, jossa aiemmin mainittuja äsitteitä hyödynnetään. Sarjateoreemalla ei ole juuriaan äytännön äyttöohteita vaan toimii esitysenä ehdollisesti suppenevien sarjojen ominaisuusista. Tutielmassa on äytetty pääasiassa O. E. Stanaitisin teosta [] ja sarjan määritelmä on peräisin P. Hästön luentomonisteesta [2]. Riemannin sarjateoreeman todistus pohjautuu J. M. Hyslopin teosen [3] todistuseen. 2
Luujonot Määritelmä.. Oloon luujono {a } R ja A R. Luujonon sanotaan suppenevan luuun A, jos aiille ε > 0 on olemassa sellainen luu n ε Z +, että a A < ε, un > n ε. Miäli luujono ei suppene, niin sanotaan, että se hajaantuu. Jos luujono suppenee luuun A, niin meritään lim a = A. Määritelmä.2. Oloon luujono {a } R. Luujonon {a } sanotaan olevan ylhäältä rajoitettu, jos on olemassa sellainen luu A R, että a A aiilla =, 2, 3,.... Vastaavasti luujonon {a } sanotaan olevan alhaalta rajoitettu, jos on olemassa sellainen luu B R, että a B aiilla =, 2, 3,.... Miäli luujono on ylhäältä ja alhaalta rajoitettu sanotaan sen olevan rajoitettu. Lemma.3. Oloon luujono {a } R suppeneva. Tällöin se on rajoitettu. Huomautus.4. Luujono ei välttämättä suppene, vaia se olisi rajoitettu. Rajoittamaton luujono ei uitenaan suppene. 3
2 Sarjat Määritelmä 2.. Oloon reaaliluujono {a } R. Muodostetaan sellainen jono S n, että n S n = a = a + a 2 + a 3 + + a n. Jos jono S n suppenee eli on olemassa sellainen S R, että lim S n = S, n niin luua S sanotaan sarjan summasi ja meritään a = lim n n a = lim n S n = S. Esitystä a sanotaan sarjasi ja jonoa S n sanotaan sarjan osasummasi. Lemma 2.2. Oloon ε > 0. Jos sarja sellainen luu ε > 0, että a suppenee, niin on olemassa a < ε, un > ε. Eli lim a = 0. Todistus. Lause on todistettu teosessa [] sivulla 42. Esimeri 2.3. Osoitetaan, että sarja Todistus. Nyt (+) suppenee luuun. ( + ) = + ( + ) = ( + ) ( + ) = + ( + ) ( + ) = +. Siis sarjan osasumma S (+) n voidaan esittää muodossa 4
( S n = ) ( + 2 2 ) ( + 3 4 ) ( + + 5 n ) n + ( = + 2 ) ( + 2 3 ) ( + + 3 n ) n n + = n + aiilla n =, 2, 3,.... Täten ( ( + ) = lim S n = lim ) ( ) = lim =. n n n + n n + Esimeri 2.4. Osoitetaan, että harmoninen sarja Todistus. Osoitetaan, että harmonisen sarjan ole rajoitettu eli se hajaantuu Lemman.3 nojalla. Nyt S =, S 2 = + 2 = + 2, S 4 = + ( 2 + 3 + ) 4 Indutiolla luvulle n voidaan osoittaa, että hajaantuu. osasumma S n = n > + 2 + 2 4 = + 2 2, S 2 n + n 2 = + n, n = 0,, 2,.... 2 ei Nyt lim ( + n) =, joten Lemman.3 nojalla S n 2 n ei ole rajoitettu, eiä siten suppene. Tästä taas seuraa, että harmoninen sarja hajaantuu. 5
2. Vuorottelevat sarjat Määritelmä 2.5. Sarjan sanotaan olevan vuorotteleva sarja, jos se on muotoa ( ) a tai ( ) a, missä a > 0. =0 Huomautus 2.6. Vuorotteleva sarja sisältää äärettömästi positiivisia ja negatiivisia termejä. Esimeri 2.7. Sarja ( ) on vuorotteleva, sillä se on muotoa = 2 + 3 4 + 2 + 2 utsutaan vuorottelevasi harmonisesi sarjasi. ( ) a, jossa a =. Tätä sarjaa Lemma 2.8. Oloon vuorotteleva harmoninen sarja ( ). Sarja sup- penee luuun ln 2 eli ( ) = ln 2. Todistus. Lemma on todistettu teosessa [] sivuilla 3638. 2.2 Ehdollisesti ja itseisesti suppenevat sarjat Määritelmä 2.9. Oloon sarja a. Miäli sarja a suppenee, niin sa- notaan, että sarja a suppenee itseisesti. Miäli sarja ei suppene itseisesti, mutta a suppenee, niin sanotaan, että sarja suppenee ehdollisesti. 6
Esimeri 2.0. Tarastellaan vuorottelevaa harmonista sarjaa ) Nyt sarja 2) Toisaalta ( ) ( ) Esimerin 2.4 nojalla. = ln 2 Lemman 2.8 nojalla eli se suppenee. = ( ). on harmoninen sarja ja se hajaantuu Kohtien ) ja 2) nojalla sarja 2.9 nojalla. ( ) suppenee ehdollisesti määritelmän Lause 2.. Oloon ehdollisesti suppeneva sarja negatiivisia ja positiivisia termejä. Todistus. Oloon suppeneva sarja a. a. Tällöin sarjassa on ) Oletetaan ensin, että a > 0 aiilla =, 2, 3,.... Nyt oletusesta seuraa, että sarja a suppenee. Lisäsi a = a, sillä a > 0. Näin ollen sarja a siis suppenee itseisesti, eiä ehdollisesti. 2) Oletetaan, että a < 0 aiilla =, 2, 3,.... Nyt oletusen nojalla sarja a suppenee. Lisäsi a = a = a, sillä a < 0. Kosa sarja a suppenee, niin myös a suppenee. Tällöin se siis suppenee itseisesti. 3) Oletetaan vielä, että a = 0. Nyt sarja a = 0 = 0 = 0. Siis se suppenee itseisesti. Täten ohtien )-3) nojalla ehdollisesti suppenevassa sarjassa a täytyy olla seä positiivisia että negatiivisia termejä. Lisäsi siinä voi olla myös termejä, jota ovat 0. 7
Lemma 2.2. Ehdollisesti suppenevassa sarjassa positiivisia ja negatiivisia termejä. a on ääretön määrä Lause 2.3. Oloon ehdollisesti suppeneva sarja a. Tällöin sen positiivisten termien ja negatiivisten termien eriseen muodostamat sarjat hajaantuvat. Todistus. Oloon ehdollisesti suppeneva sarja a ja tämän eräs osasumma S n = n a. Lauseen 2. ja Lemman 2.2 nojalla sarjassa a on äärettömästi positiivisia ja negatiivisia termejä. Oloon B n summa osasumman S n positiivisista termeistä ja C n2 vastaavasti summa negatiivisista termeistä, missä n + n 2 = n. Kummassain osasummassa voi olla ääretön määrä termejä, jota ovat 0. Oloon lisäsi σ n = n a. Täten S n = B n + C n2 ja σ n = B n + C n2 = B n C n2, sillä C n2 0. Nyt oletusen nojalla lim S n = S ja lim σ n =, sillä sarja a on ehdollisesti n n suppeneva. Nyt B n = 2 (2B n ) = 2 (B n + B n + C n2 C n2 ) = 2 (B n + B n + C n2 + C n2 ) = 2 (B n + C n2 + B n + C n2 ) = 2 (σ n + S n ) ja 8
C n2 = 2 ( 2C n 2 ) = 2 ( C n 2 C n2 + B n B n ) = 2 ( C n 2 C n2 + B n B n ) = 2 (B n + C n2 B n C n2 ) = 2 (B n + C n2 (B n + C n2 )) = 2 (σ n S n ). Siis B n = 2 (σ n + S n ) ja C n2 = 2 (σ n S n ). Nyt σ n oletusen nojalla hajaantuu, joten myös B n ja C n2 hajaantuvat. Huomautus 2.4. Lause 2. ja Lemma 2.2 ovat seurausta Lauseesta 2.3. 2.3 Riemannin sarjateoreema Lause 2.5 (Riemannin sarjateoreema). Oloon sarja a ehdollisesti suppeneva. Tällöin sarjan termit voidaan järjestellä uudelleen siten, että sarja suppenee mitä tahansa reaaliluua S R ohti. Todistus. Ehdollisesti suppenevan sarjan positiivisten ja negatiivisten termien muodostamat sarjat hajaantuvat, joten niitä voidaan uudelleenjärjestelyn avulla valita missä järjestysessä vain. Tällöin esimerisi voidaan lisätä positiivisia termejä siten, että osasumma ylittää halutun luvun ja sitten lisätä negatiivisia termejä, että osasumma alittaa halutun luvun. Tätä menettelyä voidaan jataa loputtomasti. Todistus on siis itse asiassa vain menettelyeino, jolla sarja saadaan suppenemaan haluttuun luuun. Oloon sarja A = a ehdollisesti suppeneva, B = b sarja, joa oos- tuu sarjan A termeistä a, joille a 0 ja C = c sarja, joa oostuu vastaavasti termeistä a, joille a < 0. Oloon ε > 0 ja S R. Todistetaan indution avulla, että sarja D = joa saadaan uudelleenjärjestelemällä sarja A, suppenee luuun S eli, että aiille ε > 0 on olemassa sellainen luu n ε N, että D n S < ε, un n > n ε. 9 d,
Perusasel: Nyt, osa sarja osasumma n b hajaantuu Lauseen 2.3 nojalla, voidaan muodostaa b, jossa luu n on pienin sellainen oonaisluu, että n b > S. Määritellään d = b aiilla =, 2, 3,..., n. Vastaavasti myös sarja c hajaantuu Lauseen 2.3 nojalla. Täten voidaan valita luu m, joa on pienin sellainen oonaisluu, että n m b + c < S, sillä c 0 aiilla =, 2, 3,..., m. Määritellään d n + = c aiilla =, 2, 3,..., m. Indutio-oletus: Oletetaan, että voidaan valita pienimmät sellaiset oonaisluvut n > n ja m > m, että n m b + c < S. Indutioasel: Valitaan pienin sellainen oonaisluu n + > n, että n + m b + c > S. Määritellään d n +m + = b n + aiilla =, 2,..., n + n. Valitaan pienin sellainen oonaisluu m + > m, että n + b + m + 0 c < S
d n+ +m + = c m + aiilla =, 2,..., m + m. Nyt siis D n > S, D n +m < S,..., D n +m < S, D n+ +m > S, D n+ +m + < S,... edellisten ohtien nojalla. Nyt luu n on pienin sellainen oonaisluu, että D n Tästä siis seuraa, että n b S. Tällöin > S eli n b > S. n n b S < b, josta seuraa, että n n b S < n b b = b n. Nyt b n = d n, sillä määriteltiin, että d = b aiilla =, 2, 3,..., n eli D n S < d n. Vastaavasti luu m on pienin sellainen oonaisluu, että D n +m < S eli n b + m c = D n + m c < S. Tästä seuraa, että D n + m c S. Täten joten m D n + c < S D n + m ( m D n + c S < D m n + c D n + c, m c ) = c m. Nyt c m = d n +m, sillä määriteltiin, että d n + = c aiilla =, 2, 3,..., m eli D n +m S < d n +m.
Vastaavasti sama päättely pätee myös luvuille n + ja m +, joten D n+ +m S < b n+ ja D n+ +m + S < c m+. Kosa b n+ ja c m+ ovat suppenevan sarjan termejä, niin Lemman 2.2 nojalla aiilla ε > 0 on olemassa sellainen oonaisluu n ε, että b n+ < ε, un n + > n ε ja c m+ < ε, un m + > n ε. Nyt aiille sellaisille oonaisluvuilla n, että n + m < n < n + + m + pätee, että D n S < max{ b n+, c m+ } < ε. Esimeri 2.6. Tiedetään Lemman 2.8 nojalla, että ( ) siis ln 2 = 2 + 3 4 + 5 6 + 7 8 + 9 0 +, joten, un ln 2 errotaan luvulla 2, saadaan sarja = ln 2. Nyt 2 ln 2 = 2 + 2 3 2 + 2 5 3 + 2 7 4 + 2 9 5 + = 2( ) Järjestellään sarja 2( ) uudelleen, jolloin saada uusi sarja D, jolla on samat termit, mutta eri summa. D = (2 ) ( 2 2 + 3 ) ( 2 3 4 + 5 ) 5 6 + = 2 + 3 4 + 5 6 + 7 8 + 9 0 + = ln 2. 2
Lähdeluettelo [] O. E. Stanaitis: An Introduction to Sequences, Series and Improper Integrals. St. Olaf College, Minnesota, 967. [2] P. Hästö: Sarjat ja integraalit -luentomoniste. Oulun yliopisto, 20. [3] J. M. Hyslop: Innite Series. University of Witwatersran, Johannesburg, 959. 3