Sarjat ja integraalit, kevät 2014

Transkriptio

1 Sarjat ja integraalit, kevät 2014 Peter Hästö 12. maaliskuuta 2014 Matemaattisten tieteiden laitos

2 Osaamistavoitteet Kurssin onnistuneen suorittamisen jälkeen opiskelija osaa erottaa jatkuvuuden ja tasaisen jatkuvuuden käsitellä reaalilukujonoja ja -sarjoja määritellä ja laskea epäoleellinen Riemann integraali käsitellä funktiojonoja ja sarjoja derivoida ja integroida edellä mainittuja Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 12. maaliskuuta / 15

3 Kurssin varsinaiset tavoitteet Kurssi selventää analyysin peruskäsitteiden olemusta ja niiden käyttöä (määritelmien tulkinta; todistuksen lukeminen) Matemaattisen keskustelukulttuurin edistäminen itsenäinen työn arviointi ( onks tää oikein? ) kriittinen keskustelu ( mistä tuo seuraa? ) argumentointi (grounds warrant (backing) claim) väärien vastausten hyödyntäminen; pois vastauskeskeisyydestä Asenteet ( tehtävän pitää ratketa korkeintaan viidessä minuutissa ) Kehittää representaatioiden (kuvat, diagrammit) käyttöä ongelmien ratkaisemisessa Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 12. maaliskuuta / 15

4 Kurssin varsinaiset tavoitteet Kurssi selventää analyysin peruskäsitteiden olemusta ja niiden käyttöä (määritelmien tulkinta; todistuksen lukeminen) Matemaattisen keskustelukulttuurin edistäminen itsenäinen työn arviointi ( onks tää oikein? ) kriittinen keskustelu ( mistä tuo seuraa? ) argumentointi (grounds warrant (backing) claim) väärien vastausten hyödyntäminen; pois vastauskeskeisyydestä Asenteet ( tehtävän pitää ratketa korkeintaan viidessä minuutissa ) Kehittää representaatioiden (kuvat, diagrammit) käyttöä ongelmien ratkaisemisessa Tällä kurssilla menettelytavat saattavat poiketa muista kursseista, mutta täällä eksplikoidaan ja opetellaan taitoja jotka muutkin opettajat olettavat opiskelijoilla olevan! Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 12. maaliskuuta / 15

5 Luennon rooli Kurssilla käytetään Sarjat ja integraalit/ Analyysi 1-luentomonistetta Tunneilla (vain) tärkeimmät osat käydään läpi, useasta näkökulmasta, esim. yleiset virhekäsitykset määritelmästä intuitioon intuitiosta määritelmään inuitiosta todistus todistuksesta ydin keskiviikkoisin 10:15 12:00, 14.5 asti joka viikko, paitsi 30.4 Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 12. maaliskuuta / 15

6 Kurssin suoritus kurssi jakautuu kolmeen kolmen viikon osaan (viikot 11 13, ja 17 20) jokaisessa osassa pitää osallistua kahteen tutoriaaliin sekä tehdä vähintään 1/3 laskuharjoitustehtävistä (jotkin tehtävät saatetaan kerätä kirjallisina); ei koetta arvostelu hyv/hyl vaihtoehtoisesti kurssin voi tenttiä: tätä vaihtoehtoa voi suositella niille joiden mielestä aiemmat matematiikan kurssit ovat olleet liian helppoja. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 12. maaliskuuta / 15

7 Tutoriaali Pienryhmä (4 henkeä) kokoontuu 2h pohtimaan tehtäviä ja käy 0,5h keskustelun ohjaajan kanssa Kirjaa ylös ajatuksesi ongelmien ratkaisemiseksi älä kumita! Pyri ryhmäkeskustelussa kehittämään keskustelukumppanin ideasta ratkaisu sen sijaan, että pyrkisit saamaan hänet näkemään asian samalla tavalla kuin sinä Pienryhmän kokoonpano eri joka kurssin osassa (vapaamatkustajaongelma) Ryhmä varaa ajan osoitteesta ccc?key=0aml0ffn0gcqwdhozvhz3r2dxsetzy3vbs3jqm2xmcxc &usp=sharing (osoite kurssin kotisivulla) Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 12. maaliskuuta / 15

8 Laskuharjoitusryhmät Rasti-ruutuun periaattella, kuka on valmis esittämään ratkaisuideansa Tavoite keskustella ratkaisuista: ratkaisun kriittinen tarkastelu kaikkien vastuulla, samoin ratkaisun perusteleminen/ puolustaminen Laskarin pitäjän vastuulla ei ole oikean ratkaisun esittäminen vaan osallistujien sparraaminen sopivan kriittiseen arviointiin Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 12. maaliskuuta / 15

9 Itsenäinen työskentely/arviointi Tavoitteena ei ole osata toistaa harjoitustehtävien tai lauseiden/määritelmien sisältö, vaan ymmärtää jälkimmäiset ja osata itse ratkoa saman tyylisiä tehtäviä, vaikkei niitä olisi koskaan nähnyt ennen... Seurauksia: harjoituksissa ei kopioida ratkaisuja, vaan verrataan omaa ajattelua muiden ajatuksiin kaikkiin kokeisiin voi ottaa mukaan luentomateriaalin ja muistiinpanot Itsenäinen työskentely yksin työskentely; kannattaa ehdottomasti ratkaista tehtäviä ja opiskella materiaalia ryhmissä Myös tuutortupa on käytössä ma ja to Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 12. maaliskuuta / 15

10 Ajankäyttö Luentoja Harjoitustuntia Tutoriaalit Itsenäinen työskentely Yhteensä 18 h 18 h 3 h 121 h 160 h Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 12. maaliskuuta / 15

11 Ajankäyttö Luentoja Harjoitustuntia Tutoriaalit Itsenäinen työskentely Yhteensä 18 h 18 h 3 h 121 h 160 h Ovatko yliopiston matematiikan kurssit oikeasti opettajakeskeisiä? Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 12. maaliskuuta / 15

12 Kysymyksiä? Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 12. maaliskuuta / 15

13 Opetustiimi Peter Hästö (M211), vastaanotto kun ovi on auki (=aina paitsi aamulla) Henna Heikkinen Olli Hyvärinen Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 12. maaliskuuta / 15

14 Luvun 2 sisältö 1. Sarjan suppenemisen määritelmä; x k ja k p karakterisoinnit 2. Majoranttiperiaate; suhdetesti; juuritesti; vertailuperiaate 3. Itseisen suppenemisen määritelmä; sarjan uudelleen järjestely 4. Vuorottelevat sarjat ja Leibnizin lause. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 12. maaliskuuta / 15

15 Ratkaisujen arviointia 1. Sarja 1 suppenee, koska lim 1 = ( 2) k = 1 3 (lasku taululla). 3. ( 1) k 5k 13 mukaan. on alternoiva sarja joka suppenee Leibnizin lauseen Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 12. maaliskuuta / 15

16 Lauseen lukeminen 1. Analysoikaa Lauseen todistusta: selvittäkää mitä siinä käytetyt käsitteet ja merkinnät tarkoittavat tarkastakaa joka askel, mitä siinä tehdään, ja miksi päättely pätee tämän jälkeen voitte miettiä mistä todistuksen idea tulee, ja miten siihen on päädytty. 2. Selvittäkää mitkä ovat luvut k 1, k 2 ja k 3 esimerkissä (siis mikä on muuttujan numeroarvo) kun luvun 2009 korvaa luvulla 2. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 12. maaliskuuta / 15

17 Määritelmän hahmottaminen Keksikää mahdollisimman hankala alternoiva sarja. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 12. maaliskuuta / 15