Prosenteilla vertaaminen

Prosenteilla vertaaminen 61. Eevalla on 20 ja hän saa lisää toiset 20. Kuinka monta prosenttia Eevan rahasumma kasvaa? a) 20 % b) 50 % c) 100 % 20 a) 1 100% 20 62. Kuinka monta prosenttia a) 100 on suurempi kuin 80 b) 80 on pienempi kuin 100? erotus 100 80 20 a) 0,25 25% arvo johon verrataan 80 80 100 80 20 b) 0,2 20 % 100 100 63. Onko väittämä oikein vai väärin? Perustele vastauksesi. a) Kun puolueen kannatus nousi 20 prosentista 25 prosenttiin, se kasvoi 0,05 prosenttiyksikköä. b) Kun yhtiön omavaraisuusaste kasvoi 8 prosentista 10 prosenttiin, se kasvoi 2 prosenttiyksikköä. c) Kun yhtiön tulos laski 30 miljoonasta 25 miljoonaan euroon, se aleni 20 %. d) Kun ehdokkaan äänimäärä putosi 16 000:sta 12 000:een, äänimäärä laski 25 %. a) väärin: muutos 25 20 = 5 prosenttiyksikköä b) oikein: 10 8 = 2 prosenttiyksikköä 30 25 5 c) väärin: 0,1666... 17 % 30 30 16 000 12 000 4000 d) oikein: 0,25 25 % 16 000 16000 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 1

64. Kunnallisvero on 17,50 %. Laske uusi veroprosentti, kun se a) nousee 1,5 prosenttiyksikköä b) laskee 0,75 prosenttiyksikköä. a)17,50 % + 1,5 % = 19 % b) 17,50 % 0,75 % = 16,75 % 65. 1 500 euron kuukausipalkka oli korotuksen jälkeen 1 580. Kuinka monta prosenttia palkka nousi? muutos: 1 580 1500 = 80 muutos alkuperäinen eli 80 0,0533... 5,3 % 1 500 Vastaus: Palkka nousi 5,3 %. 66. Sata vuotta sitten tiikereiden määrä oli 106 700, ja nykyään niitä on 3 200. Kuinka monta prosenttia tiikereiden määrä on vähentynyt sadassa vuodessa? 106700 3200 0,9700... 0,97 97% 106700 Vastaus: Tiikerien määrä on vähentynyt 97 %. 67. Vuonna 2013 Lebron James teki NBA:n loppuottelussa 37 pistettä. Kaksi vuotta myöhemmin hän teki loppuottelussa 44 pistettä. Kuinka monta prosenttia pistemäärä parani? 44 37 37 0,18918... 0,189 18,9% Vastaus: Pistemäärä parani 18,9 %. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 2

68. Lastenvaateliike Baby s Byysat myy avajaistarjouksena kahdet housut hintaan 14,95. Kuinka monta prosenttia alennus on, kun housut maksavat yksittäin 12,95? housujen alkuperäinen hinta: 2 12,95 = 25,90 ( ) alennus: 25,90 14,95 = 10,95 10,95 alennusprosentti: 0,4227... 42% 25,90 Vastaus: Alennus on 42 %. 69. Lukiolaiset keräsivät rahaa maailman katulapsille. He muodostivat joukkueita, jotka osallistuivat hyväntekeväisyyskävelyyn. Joukkueiden tuotot olivat 631 927. Kuinka monta prosenttia vähemmän rahaa keräsi pienimmän tuoton saanut joukkue kuin suurimman tuoton saanut joukkue? erotus 927 631 296 0,3193... 32% arvo johon verrataan 927 927 Vastaus: Pienimmän tuoton saanut joukkue keräsi 32 % vähemmän kuin suurimman tuoton kerännyt joukkue. 70. Diagrammi kuvaa, kuinka monta prosenttia miehistä ja naisista eri ikäryhmissä luki aikakauslehtiä vähintään kerran viikossa vuosina 1981, 1991, 2002 ja 2009. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 3

a) Kuinka monta prosenttiyksikköä aikakauslehtien lukeminen väheni vuosien 1981 ja 2009 välisenä aikana 15 24-vuotiaiden ikäryhmässä? b) Missä ikäryhmässä muutos oli suurin kyseisellä aikavälillä? a) 86 % 58 % = 28 prosenttiyksikköä b) Ikäluokassa 10 14: 41 % 77 % = 36 prosenttiyksikköä Vastaus: a) 28 prosenttiyksikköä b) Ikäluokassa 10 14-vuotiaat. 71. Housut maksavat kaupassa 49. Verkkokaupassa housut myydään 5 % halvemmalla, mutta hintaan lisätään toimituskulut 6,90. Kummasta kaupasta housut saa halvemmalla? Kuinka monta prosenttia halvemmalla? Kauppa: 49 ( ) Nettikauppa: 49 0,95 + 6,9 = 53,45 ( ) erotus on 53,45 49 = 4,45 ( ) 4,45 53,45 0,08325... 8,3% Vastaus: Housut saa kaupasta 8,3 % halvemmalla kuin nettikaupasta. 72. Vuonna 1610 ruotsinkielisiä suomalaisia oli 17,50 % väestöstä. Vuonna 2010 heitä oli 5,42 %. Kuinka monta a) prosenttiyksikköä b) prosenttia ruotsinkielisten osuus on pienentynyt 400 vuodessa? a) 5,42 % 17,50 % = 12,08 prosenttiyksikköä 12,08 b) 0,69028... 0,690 69,0% 17,5 Vastaus: Ruotsinkielisten osuus on pienentynyt a) 12,08 prosenttiyksikköä, b) 69,0 %. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 4

73. Virtasten kodin pinta-ala on 124 m 2 ja mökin 36 m 2. Kuinka monta prosenttia kodin pinta-ala on suurempi kuin mökin pinta-ala? 124 36 2,4444... 244 % 36 Vastaus: Kodin pinta-ala on 244 % suurempi kuin mökin pinta-ala. 74. Vuonna 2014 uudet älypuhelinliittymät lisääntyivät 800 miljoonalla. Vuoden 2014 lopussa niitä oli 2,7 miljardia. Kuinka monta prosenttia älypuhelimien määrä lisääntyi? 0,8 0, 4210... 0, 42 42 % 1,9 Vastaus: Älypuhelinten määrä lisääntyi 42 %. 75. Ihmisellä on keskimäärin 100 000 hiusta, joista irtoaa päivittäin 20 100 hiusta. Nämä hiukset kasvavat kuitenkin takaisin. Hiusten määrään vaikuttaa myös niiden väri: vaaleahiuksisilla on keskimäärin 150 000 hiusta, mustahiuksisilla 110 000, ruskeahiuksisilla 100 000 ja punahiuksisilla 75 000. Hiukset kasvavat kuukaudessa 1 1,5 cm. a) Kuinka monta prosenttia enemmän hiuksia on vaaleahiuksisilla keskimäärin kuin ruskeahiuksisilla? b) Kuinka monta prosenttia vähemmän hiuksia on punahiuksisilla keskimäärin kuin vaaleahiuksisilla? c) Kuinka monta promillea ihmisen hiuksia irtoaa päivittäin keskimäärin? 150 000 100 000 50 000 a) 0,5 50% 100 000 100 000 150 000 75 000 75 000 b) 0,5 50% 150 000 150 000 20 c) alaraja: 0,0002 0,2 100 000 100 yläraja: 0,001 1 100 000 Vastaus: a) Vaaleahiuksisilla on 50 % enemmän hiuksia kuin ruskeahiuksisilla. b) Punahiuksisilla on 50 % vähemmän hiuksia kuin vaaleahiuksisilla. c) Hiuksia irtoaa 0,2 1. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 5

76. Matkatoimisto tarjoaa matkan Riikaan hintaan 19,90. Kahdeksanhenkinen seurue tilaa liput Riikaan internetin kautta. Lippujen hinta on yhteensä 624, ja se sisältää lentokenttäverot, matkalaukut ruumaan, mahdolliset vakuutukset, toimitusmaksut ja luottokorttimaksut. a) Mikä oli matkan todellinen hinta henkeä kohden? b) Kuinka monta prosenttia kalliimpi se oli mainoksen hintaan nähden? a) 624 78 8 Vastaus: 78 / hlö b) hintaero 78 19,90 = 58,10 ( ) 58,10 2,9195... 292% 19,90 Vastaus: a) Matkan hinta oli 78 /hlö. b) Matka oli mainokseen verrattuna 292 % kalliimpi. 77. Suosittujen safarimatkojen hinnat ovat nousseet joka vuosi 5,0 %. Kuinka monta prosenttia enemmän safarimatka maksaa nyt kuin neljä vuotta sitten? Koska alkuperäistä safarimatkan hintaa ei ole annettu, sitä merkitään a:lla. 100 % + 5 % = 105 % = 1,05 Hinta tulee joka vuosi 1,05-kertaiseksi. 1,05 1,05 1,05 1,05 a = 1,05 4 a = a 1,2155 1,22a 1,22 = 122 % Uusi hinta on 122 % alkuperäisestä. Hinta on noussut 122 % 100 = 22 % Vastaus: Safarimatka maksaa nyt 22 % enemmän kuin neljä vuotta sitten. 78. Kukkakauppias alensi atsalean hintaa 5,7 %, jolloin kukkien myynti kasvoi 5,7 %. Miten kukkien myyntitulot muuttuivat? Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 6

Kootaan tehtävän tiedot taulukkoon. Koska hinnalle ja myynnille ei ole annettu lukuarvoja, merkitään kukkien alkuperäistä hintaa a:lla ja myytyjen kukkien alkuperäistä määrää b:llä. 100 % 5,7 % = 94,3 % = 0,943 100 % + 5,7 % = 105,7 % = 1,057 Tilanne Atsalean hinta ( ) Myynti (kpl) Myyntitulot ( ) Alussa a b ab Lopussa 0,943a 1,057b 0,943a 1,057b Myynnistä saatavat tulot ovat muutosten jälkeen 0,943a 1,057b = 0,996751ab. Tämä on 99,6751 % alkuperäisistä myyntituloista ab. Myynnistä saatavat tulot laskivat siis 100 % 99,6751 % = 0,3249 % 0,3 %. Vastaus: Myyntitulot laskivat 0,3 %. 79. Suorakulmion leveyttä pienennetään 72 %. Kuinka monella prosentilla suorakulmion pituutta pitää suurentaa, jotta suorakulmion pinta-ala ei muutu? Kootaan tehtävän tiedot taulukkoon. Koska suorakulmion leveydelle ja pituudelle ei ole annettu lukuarvoja, merkitään alkuperäistä leveyttä a:lla ja alkuperäistä pituutta b:llä. Uusi pituus tulee k- kertaiseksi. 100 % 72 % = 28 % = 0,28 Tilanne Leveys Pituus Pinta-ala Alussa a b ab Lopussa 0,28a kb ab 0,28a kb = ab : ab 0,28k = 1 : 0,28 k = 3,5714... 3,57 = 357 % Pituutta pitää suurentaa 357 % 100 % = 257 %. Vastaus: Suorakulmion pituutta pitää suurentaa 257 %. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 7

80. Rusinat valmistetaan haihduttamalla vettä viinirypäleistä. Viinirypäleen vesipitoisuus on 82 % ja rusinan 15 %. Rusinan sokeripitoisuus on 60 %. Mikä on viinirypäleiden sokeripitoisuus? Vesi Muu aines Massa Rusina 0,15a 0,85a a Viinirypäle 0,85a Koska viinirypäleen vesipitoisuus on 82 %, on muu aines 18 % rypäleen koko massasta. 0,85a Rypäleen koko massa on. 0,18 Rusinan (ja samalla myös rypäleen) sisältämän sokerin määrä on 0,6 a = 0,6a. 0,6a 0,18 0,6a Viinirypäleen sokeripitoisuus on 0,12705... 0,127 12,7%. 0,85a 0,85a 0,18 Vastaus: Viinirypäleen sokeripitoisuus on 12,7 %. 81. Kuinka monta prosenttia a) 50 on suurempi kuin 40 b) 40 on pienempi kuin 50? a) b) 50 40 10 0,25 25 % 40 40 50 40 10 0,2 20 % 50 50 Vastaus: a) 25 % b) 20 %. 82. Sirun tuntipalkka nousi 8,5 eurosta 10 euroon. Kuinka monta prosenttia palkankorostus oli? 10 8,5 8,5 1,5 8,5 0,1764... 18% Vastaus: Palkankorotus oli 18 %. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 8

83. Pakaristen asunnon kuukausivuokra nousi vuodenvaihteessa 780 eurosta 840 euroon. Kuinka monta prosenttia korotus oli? 840 780 780 60 780 0,0769... 8% Vastaus: Korotus oli 8 %. 84. Talletustilin korko alenee 3 prosentista 2,25 prosenttiin. Kuinka monta a) prosenttiyksikköä, b) prosenttia muutos on? a) 3 2,25 = 0,75 prosenttiyksikköä 0,75 b) 0,25 3 Vastaus: Korko aleni a) 0,75 prosenttiyksikköä, b) 25 %. 85. Tarmo tilaa vuodeksi Sarjiksen, jonka vuosihinta on 75. Hän saa tilauksestaan 35 prosentin opiskelija-alennuksen. Kuinka suuri on a) alennus, b) alennettu hinta? a) alennus: 0,35 75 = 26,25 ( ) b) alennettu hinta: 75 26,25 = 48,75 ( ) Vastaus: a) Alennus on 26,25. b) Alennettu hinta on 48,75. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 9

86. Taulukossa on esitetty puoluejohtajien äänimäärät eduskuntavaaleissa 2015. Puoluejohtaja Äänimäärä 2015 Muutos verrattuna vuoteen 2011 Juha Sipilä 30 733 +25 190 Ville Niinistö 8 815 +3 453 Päivi Räsänen 7 547 +552 Alexander Stubb 27 003 14 765 Timo Soini 29 441 13 996 Paavo Arhinmäki 7 874 9 352 Carl Haglund 21 363 ei ehdolla 2011 Antti Rinne 12 096 ei ehdolla 2011 Juha Sipilän ja Alexander Stubbin äänimäärät muuttuivat edellisiin vaaleihin verrattuna eniten. Laske heidän äänimääriensä muutokset prosentteina. 25190 Juha Sipilä: 4,5444... 4,54 454% 30733 25190 Alexander Stubb: 14765 0,3535... 0,35 35% 27003 14765 87. Tuotteen hinta oli 125, ja sitä korotettiin joulumyyntiin 15 %. Joulun jälkeen hinta alennettiin takaisin alkuperäiseksi. Kuinka monta prosenttia hinta muuttui joulun jälkeen? korotettu hinta: 0,15 125 + 125 = 143,75 tai 1,15 125 = 143,75 alennus: 143,75 125 143,75 18,75 143,75 Vastaus: Hinta muuttui 13 %. 0,1304... 13% 88. Kulutusmaidossa on rasvaa 3,5 %. a) Kuinka monta grammaa rasvaa on 6 desilitrassa maitoa? b) Kuinka monta prosenttia se on päivittäisestä 25 gramman rasvasuosituksesta? Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 10

a) 0,035 0,6 = 0,021 b) 21 0,84 84 % 25 Vastaus: a) Rasvaa on 21 g. b) Se on 84 % päivittäisestä rasvasuosituksesta. 89. Kunnan väkiluku on 6 580 asukasta, ja se kasvaa ensin 4 % mutta pienenee sitten 5 %. a) Kuinka suuri väkiluku on muutosten jälkeen? b) Kuinka monta prosenttia muutos on kaikkiaan? a) kasvaa 4 % eli tulee 1,04-kertaiseksi: 1,04 6 580 = 6 843,2 vähenee 5 % eli tulee 0,95 kertaiseksi: 0,95 6 843,2 = 6 501,04 6 501 yhdellä lausekkeella: 1,04 0,95 6 580 = 6 501,04 6 501 b) 6 580 6 501 = 79 79 6 580 0,01200... 1,2 % Vastaus: a) Väkiluku on muutosten jälkeen 6 501. b) Väkiluku pieneni 1,2 %. 90. Iiro ostaa uuden auton. Auton arvo alenee joka vuosi 20 %. Kuinka monta prosenttia auton arvo on alentunut kolmessa vuodessa? Koska auton alkuperäistä arvoa ei ole annettu, sitä merkitään a:lla. Auton arvo on aina 100 % 20 % = 80 % vuoden takaisesta arvosta eli se muuttuu 0,8-kertaiseksi. 0,8 0,8 0,8 a = 0,512a. Arvo on 51,2 % alkuperäisestä. Auton arvo on alentunut 100 % 51,2 % = 48,8 % 49 %. Vastaus: Auton arvo on alentunut 49 % kolmessa vuodessa. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 11

91. Sienten vesipitoisuus on 90 %. Kun sieniä kuivataan, niiden vesipitoisuus laskee 12 prosenttiin. Kuinka monta prosenttia vedestä haihtuu sieniä kuivatettaessa? Vesi Muu aines Massa Sieni 0,9a 0,1a a Kuivattu sieni 0,1a Koska kuivatun sienen vesipitoisuus on 12 %, on muu aines 88 % kuivatun sienen koko massasta. 0,1a Kuivatun sienen koko massa on. 0,88 Kuivatussa sienessä on vettä 0,1 a 0,1 a 0,088a 0,012a 0,1 a. 0,88 0,88 0,88 0,88 0,012a Lasketaan veden määrän väheneminen ( 0,9a - ) prosentteina: 0,88 0,012a 0,9a 0,88 0,9a 0,98484... 0,985 98,5%. Vastaus: Vedestä haihtuu 98,5 %. 92. Makeispakkausta suurennettiin siten, että siihen mahtui 13 % enemmän makeisia kuin aikaisemmin. Samalla hintaa korotettiin 16 %. Muutoksen seurauksena pakkauksia myytiin 12 % aiempaa vähemmän. a) Lisääntyikö vai vähenikö makeisten myyntimäärä? b) Entä myynnistä saatavat tuotot? Kuinka monta prosenttia muutos oli? Kootaan tehtävän tiedot taulukkoon. Koska pakkauskoolle ja hinnalle ei ole annettu lukuarvoja, merkitään makeispakkauksen alkuperäistä kokoa a:lla, hintaa b:llä ja myytyjen makeispakkausten määrää c:llä. 100 % + 13 % = 113 % = 1,13 100 % + 16 % = 116 % = 1,16 100 % 12 % = 88 % = 0,88 Tilanne Makeispakkauksen Makeispakkauksen Myynti (kpl) koko hinta ( ) Alussa a b c Lopussa 1,13a 1,16b 0,88c Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 12

a) Makeisten myynti painon mukaan Myyntimäärä ennen muutoksia oli ac. Myyntimäärä muutosten jälkeen oli 1,13a 0,88c = 0,9944ac. Tämä on 99,44 % alkuperäisestä myyntimäärästä ac. Määrä laski siis 100 % 99,44 % = 0,56 % 0,6 %. b) Makeisten myynti hinnan mukaan Myynnistä saatavat tulot ennen muutoksia ovat bc. Myynnistä saatavat tulot muutosten jälkeen ovat 1,16b 0,88c = 1,0208bc. Tämä on 102,08 % alkuperäisestä myyntitulosta bc. Tulot nousivat siis 102,08 % 100 % = 2,08 % 2,1 %. Vastaus a) Makeisia myytiin painon mukaan mitattuna 0,6 % vähemmän muutoksen jälkeen. b) Myynnistä saatavien tulojen mukaan myynti nousi 2,1 %. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 13