YHTÄLÖ JA EPÄYHTÄLÖ. Aiheet
|
|
- Jyrki Aro
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 YHTÄLÖ JA EPÄYHTÄLÖ Aiheet Yhtälö ja sen ratkaisu Yhtälön ratkaisu lisäämällä ja vähentämällä Yhtälön ratkaisu jakamalla Yhtälön ratkaisu kertomalla Vakiokirjaimia Testaa taitosi 1 Identtiset yhtälöt Ongelmanratkaisua yhtälön avulla Toisen asteen yhtälö Epäyhtälö Testaa taitosi 2 1
2 Yhtälö ja sen ratkaisu Katso apua: urly.fi/ni 101. Päättele, mikä on muuttujalla merkityn punnuksen massa Päättele, mikä on muuttujalla merkityn punnuksen massa. 2
3 10. Onko = yhtälön ratkaisu? a) + 8 = 11 b) 2 4 = c) = Toteuttaako luku yhtälön + 4 = - 8? a) 4 b) a) Kirjoita yhtälö, jonka vasen puoli on 4 ja oikea puoli + 9. b) Millä :n arvolla a-kohdan yhtälö on tosi? 106. Päättele yhtälön ratkaisu. a) + 6 = 1 b) + = 0 c) 4 = Päättele yhtälön ratkaisu. a) - 5 = - b) - 1 = 17 c) 10 = Kirjoita yhtälö ja päättele sen ratkaisu. a) Lukujen ja 5 summa on 12. b) Kun luku kerrotaan kolmella, saadaan vastaukseksi 24. c) Lukujen ja erotus on Tutki, onko = 5 yhtälön ratkaisu. 45 a) 2 - = 2 + b) ( - 1) = c) = Päättele yhtälön ratkaisu. 2 a) 2 = 9 b) 0,5 = 4 c) = 4
4 111. Keksi yhtälö, jonka ratkaisu on = Onko yhtälö tosi vai epätosi, kun = -4? a) + 8 = b) = Päättele, millä :n arvolla lauseke saa arvon kolme Osoita, että luku on yhtälön juuri. a) = + 4 b) 12( - 1) = ( - 1) 115. Keksi yhtälö, jonka oikea puoli on ja ratkaisu on = Päättele, millä :n arvolla lausekkeet ja - 1 saavat saman arvon Millä vakion a arvolla yhtälön a + = 8 ratkaisu on = 2? 4
5 Vastaukset kg kg 10. a) kyllä b) ei c) ei 104. a) ei b) kyllä 105. a) 4 = + 9 b) = 106. a) = 7 b) = - c) = a) = 2 b) = 6 c) = a) + 5 = 12, = 7 b) = 24, = 8 c) - = a) kyllä b) ei c) ei 110. a) = 4,5 b) = 8 c) = a) epätosi b) tosi 11. = = a = Takaisin tehtäviin 5
6 Yhtälön ratkaisu lisäämällä ja vähentämällä Katso apua: urly.fi/nif 201. Ratkaise yhtälö. a) - = 9 b) - 2 = 5 c) + 4 = Ratkaise yhtälö. a) - 1 = -2 b) + = 1 c) + 7 = Ratkaise yhtälö. a) -2 + = -1 b) + 0,5 = 0,75 c) - 1, = -0, Ratkaise yhtälö. a) y - 1 = 7 b) z + 9 = 2 c) a + 2 = Ratkaise yhtälö. a) 4 = + 6 b) 7 = c) 2 = Ratkaise yhtälö. a) - 1 = b) = c) =
7 207. Muodosta ja ratkaise yhtälö. a) Kun lukujen 4 ja tuloon lisätään luku, saadaan luku kolminkertaisena. b) Kun lukuun 10 lisätään luku kaksinkertaisena, saadaan lukujen ja 9 summa Millä :n arvolla lausekkeet ja 5-4 ovat yhtä suuret? 209. Ratkaise yhtälö. a) (4 + 2) - ( - 4) = 7 b) ( - 2) = 2( + 1) 210. Ratkaise yhtälö. a) (10-2) - (9 + ) = -1 b) 5( - 1) = 4( - 2) 211. Millä vakio t arvolla yhtälön 2 + t = - juuri on 1? 212. Millä :n arvolla binomi - 6 saa arvon -11? 21. Osoita, että = 2 on yhtälön = 0 ratkaisu. 7
8 Vastaukset 201. a) = 12 b) = 7 c) = a) = - 1 b) = -2 c) = a) = - b) = 0,25 c) = 0, a) = 8 b) z = -7 c) a = a) = 6 b) = 1 c) = a) = 6 b) = -2 c) = a) 4 + =, = - b) = + 9, = = a) = 1 b) = a) = 4 b) = t = = Takaisin tehtäviin 8
9 Yhtälön ratkaisu jakamalla Katso apua: urly.fi/nig 01. Ratkaise yhtälö. a) = 9 b) 2 = 16 c) 5 = Ratkaise yhtälö. a) 4 = -12 b) = 66 c) -2 = 6 0. Ratkaise yhtälö. a) 6 = b) 5 = 4 c) = 1,8 04. Ratkaise yhtälö. a) 0, = 0,6 b) 0,02 = -0,8 c) 0,9 = Ratkaise yhtälö. a) 2 + = 11 b) = 21 c) + 7 = Ratkaise yhtälö. a) 6y + 5 = y + 17 b) 2y - 1 = 7 c) 4y = 2y 07. Ratkaise yhtälö. a) = + 12 b) 9-2 = + 10 c) 7-4 =
10 08. Millä muuttujan arvolla lausekkeet ovat yhtä suuret? a) 5-7 ja + 5 b) ja Muodosta ja ratkaise yhtälö. a) Kun lukujen 4 ja tuloon lisätään luku 1, saadaan luvun 2 ja tulon sekä luvun 10 summa. b) Kun lukuun 8 lisätään luku kaksinkertaisena, saadaan lukujen 12 ja summa. 10. Ratkaise yhtälö. a) -(2-8) = 0 b) (2 + ) = Ratkaise yhtälö. a) 6 + ( - 2) = -(2 + ) b) 5( - ) - (8 + ) = Millä muuttujan arvolla lausekkeen arvo on 40? 1. Osoita, että yhtälöillä = 1 ja = on yhteinen ratkaisu. 14. Ratkaise yhtälö + 4 = 5-6. (YO k02) 15. Määritä lausekkeen arvo sillä :n arvolla, joka toteuttaa yhtälön + 1 = 0. (YO s98) 16. Millä muuttujan arvolla lausekkeet 2 + ja -( + ) saavat saman arvon? (YO s1) 10
11 Vastaukset 01. a) = b) = 8 c) = a) = - b) = 22 c) = a) = 2 4 b) = 5 c) = 0,6 04. a) = 2 b) = - 40 c) = a) = 4 b) = 4 c) = a) y = 4 b) y = 4 c) y = a) = 5 b) = 2 c) = a) = 6 b) = a) = , = 4,5 b) = 12 +, = a) = 4 b) = a) = 7 b) = = = = -2 Takaisin tehtäviin 11
12 Yhtälön ratkaisu kertomalla Katso apua: urly.fi/nih 401. Ratkaise yhtälö. a) = 5 b) 4 = 2 c) 7 = Ratkaise yhtälö. a) 10 = - b) 5 = 6 c) 2 = Ratkaise yhtälö. a) 6 + = 11 b) 4-1 = 6 c) + 2 = Ratkaise yhtälö. a) 6-2 = 10 b) + 7 = 5 c) + 7 = Ratkaise yhtälö. 2 a) = 4 b) 5 = 6 c) 4 = Ratkaise yhtälö. 2 a) 5 = -4 b) 5 = c) 6 =
13 407. Ratkaise yhtälö. a) = 10 5 b) - = 8 2 c) = 408. Muodosta ja ratkaise yhtälö. a) Kun lukujen ja 5 osamäärään lisätään luku 2, saadaan 14. b) Kun luku kerrotaan luvulla 2 ja tulo jaetaan luvulla 7, osamääräksi saadaan Ratkaise yhtälö. a) = 5 b) - 5 = 4 c) = Ratkaise yhtälö. a) 2 - = b) 6 - = 7 c) = Ratkaise yhtälö. a) = 10 2 b) 7-1 = 10 c) 7-1 = Ratkaise yhtälö. a) + = 12 b) 2 - = 5 c) 4 + = Ratkaise yhtälö. + 1 a) = b) = c) = 5 1
14 414. Ratkaise yhtälö a) 2 + = b) - 4 = Millä a :n arvolla = on yhtälön ratkaisu? a a) - 5 = a + 4 b) 8 ( 2 - ) = 2 a k k Millä k :n arvolla yhtälön 2 = juuri on 4? 14
15 Vastaukset 401. a) = 15 b) = 8 c) = a) = -0 b) = -0 c) = a) = 48 b) = 28 c) = a) = 72 b) = 14 c) = 405. a) = 6 b) = 10 c) = a) = - 10 b) = 20 c) = a) = 25 b) = 6 c) = a) = 14, = 60 b) 7 = 6, = a) = 1 b) = 2 c) = a) = 5 b) = 7 1 c) = 411. a) = 12 b) = 14 c) = 2, a) = b) = 1 c) = a) = 11 b) = 8 c) = a) = 0 b) = a) a = -8 b) a = k = 2 Takaisin tehtäviin 15
16 Vakiokirjaimia Katso apua: urly.fi/nii 501. Ratkaise yhtälö + y = 7 a) muuttujan suhteen b) muuttujan y suhteen Ratkaise yhtälö 5a - 2b = a + 6 a) muuttujan a suhteen b) muuttujan b suhteen. 50. Suunnikkaan pinta-ala A saadaan kertomalla suunnikkaan kanta a ja korkeus h eli A = a h. a) Ratkaise yhtälöstä h. b) Suunnikkaan pinta-ala on 72 cm 2 ja kanta 9 cm. Laske suunnikkaan korkeus a-kohdan yhtälön avulla. ah 504. Kolmion pinta-ala lasketaan yhtälöstä A = 2, missä A on pinta-ala, a on kanta ja h on korkeus. a) Ratkaise yhtälöstä korkeus h. b) Kolmion pinta-ala on 15 cm 2 ja kanta 6 cm. Laske kolmion korkeus a-kohdan yhtälön avulla Ratkaise yhtälöstä. a) + a = b b) = 6y c) 2 = 4y - 8z 16
17 506. Ratkaise yhtälöstä. a) -4y = b) -y + = z - y c) b - a = 4a 507. Ratkaise yhtälö suluissa olevan muuttujan suhteen. a) F = ma (a) b) E = mgh (h) c) U = RI (R) 508. Ratkaise yhtälö suluissa olevan muuttujan suhteen. a) V = Ah (h) b) E = mc 2 (m) c) A = a + b 2 h (a) 1 + b 1 = f Reaaliluvut a, b ja f toteuttavat yhtälön a. Mikä on b :n arvo, kun a = 5 ja f = 11? (YO k96) 17
18 Vastaukset 501. a) = -y + 7 b) y = a) a = b + b) b = a - A 50. a) h = a b) 8 cm 2A 504. a) h = a b) 5 cm 505. a) = -a + b b) = 2y c) = 2y - 4z 506. a) = -y - b) = z 5A c) = b F 507. a) a = m b) h = E mg U c) R = I V 508. a) h = A b) m = E 2A c 2 c) a = h - b b = Takaisin tehtäviin 18
19 Testaa taitosi 1 Tee testi: urly.fi/nio 19
20 Identtiset yhtälöt Katso apua: urly.fi/nij 601. Ratkaise yhtälö. a) = b) + 5 = Ratkaise yhtälö. a) - 15 = + 6 b) - 5 = Ratkaise yhtälö. a) = b) - 5 = Keksi yhtälö, jolla a) ei ole yhtään ratkaisua b) on äärettömän monta ratkaisua c) on yksi ratkaisu = Ratkaise yhtälö. a) 6( - 1) = 2( + 2) b) 2( - 5) = ( - 1) 606. Ratkaise yhtälö. a) 2( - 1) + = - 2 b) ( - 4) - = 2( - 1) ( + 6) 20
21 607. Millä a:n arvolla yhtälöllä a + 7 = 9 on äärettömän monta ratkaisua? 608. Millä b:n arvolla yhtälöllä b = 4 ei ole ratkaisua? 21
22 Vastaukset 601. a) ei ratkaisua b) Kaikki reaaliluvut toteuttavat yhtälön a) ei ratkaisua b) = a) Kaikki reaaliluvut toteuttavat yhtälön. b) = a) ei ratkaisua b) = a) Kaikki reaaliluvut toteuttavat yhtälön. b) ei ratkaisua 607. a = b = 5 Takaisin tehtäviin 22
23 Ongelmanratkaisua yhtälön avulla Katso apua: urly.fi/nik Ratkaise seuraavat tehtävät yhtälön avulla a) Kun luvusta vähennetään 7, saadaan 7. Mikä on kysytty luku? b) Mihin lukuun on lisättävä 14, jotta tulokseksi saadaan -8? 702. a) Mikä luku on kerrottava kuudella, jotta saadaan tulokseksi kolme? b) Mikä luku on jaettava kahdeksalla, jotta saadaan tulokseksi 12? 70. Muodosta ja ratkaise yhtälö. a) Lukujen ja 5 summa on 16. b) Lukujen ja 7 erotus on Muodosta ja ratkaise yhtälö. a) Lukujen ja tulo on 21. b) Lukujen ja 4 osamäärä on Emmalla ja Siirillä on yhteensä 27. Emmalla on 5 vähemmän kuin Siirillä. Kuinka paljon rahaa kummallakin on? 706. Manu ja Veeti jakoivat 200 keskenään siten, että Manu sai 80 enemmän kuin Veeti. Kuinka paljon kumpikin sai? 2
24 707. Helsingin Lokit on pelannut Korisliigassa 1 ottelua. Tappioita on kolme enemmän kuin voittoja. Kuinka monta ottelua Lokit on voittanut? 708. Eetu on 8 vuotta vanhempi kuin Milka. Heidän yhteenlaskettu ikänsä on 6 vuotta. Kuinka vanha Eetu on? 709. Kahvi ja pulla maksavat 8E-luokan pitämässä kahviossa yhteensä. Pulla maksaa kaksi kertaa niin paljon kuin kahvi. Kuinka paljon pulla maksaa? 710. Niilo osti uuden kilpapyörän ja pyöräilykypärän, jotka maksoivat yhteensä Pyörä oli 1050 kalliimpi kuin kypärä. Kuinka paljon pyörä maksoi? 711. Elmon ostaman pingismailan ja pallotuubin hinta oli yhteensä 68. Pallotuubin hinta oli seitsemäsosa mailan hinnasta. Minkä hintaisia maila ja pallotuubi olivat? 712. Aikuisten elokuvalippu on kalliimpi kuin lastenlippu. Jimi meni isänsä kanssa elokuviin. Liput maksoivat yhteensä 18. Mikä oli lastenlipun hinta? 71. Poptähti Justus Piiparin konsertin lippua myytiin hetkessä loppuun. Istumapaikkoja oli enemmän kuin seisomapaikkoja. Kuinka monta istumapaikkaa areenalla oli? 714. Salibandyjoukkue Kynäilijät teki kolme maalia enemmän kuin vastustaja Tykkimiehet. Pelissä verkko heilui yhteensä 15 kertaa. Mikä oli pelin lopputulos? 715. Virvoitusjuomapullo ja sen sisältö maksavat. Sisältö maksaa 2 enemmän kuin pullo. Kuinka paljon pelkkä pullo maksaa? 24
25 716. Vili, Roope ja Kassu olivat ongella. He saivat yhteensä 128 ahventa. Vili sai kaksi kertaa niin paljon kaloja kuin Roope, joka sai 8 kalaa vähemmän kuin Kassu. Kuinka monta kalaa kukin sai? 717. Siskokset Janna, Hanna ja Sanni saivat palkkaa lumitöistä tekemänsä työmäärän mukaisesti yhteensä 27. Sanni sai yhden euron enemmän kuin Hanna, ja Janna sai kaksi kertaa niin paljon kuin Sanni. Kuinka paljon kukin sai? 718. Kun paidan hinta joulun jälkeen kolminkertaistui, oli hinnankorotus 40. Mikä oli paidan alkuperäinen hinta jouluna? 719. Jalkapallojoukkue FC Parsaloona pelasi kauden aikana ottelua. Voittoja kertyi 18 enemmän kuin tappioita. Tasapelejä joukkue pelasi 9. Kuinka monta ottelua FC Parsaloona voitti? 720. Kolmen peräkkäisen kokonaisluvun summa on 171. Mikä on suurin luvuista? 721. Kolmen peräkkäisen parillisen luvun summa on 168. Mitkä luvut ovat kyseessä? 722. Ada on 6 vuoden kuluttua kaksi kertaa niin vanha kuin 11 vuotta sitten. Kuinka vanha Ada on tällä hetkellä? 72. Neela on vuoden kuluttua kaksi kertaa niin vanha kuin vuosi sitten. Minkä ikäinen Neela on nyt? 724. Auton vuokraus maksoi 19 vuorokaudelta ja lisäksi 0,20 ajokilometriltä. Laske ajetun matkan pituus, kun kahden vuorokauden matkasta jouduttiin maksamaan Maanviljelijällä on kanoja ja lampaita yhteensä 490 kappaletta. Montako kanaa ja montako lammasta maanviljelijällä on, kun jalkoja eläimillä on yhteensä 1140? 25
26 726. Tasakylkisen kolmion huippukulma on kolme kertaa niin suuri kuin kantakulma. Laske kolmion kulmat Jalkapallokenttä on suorakulmion muotoinen. Kentän piiri on 46 m. Laske kentän pituus ja leveys, kun kentän pituus on 7 m pidempi kuin leveys Nealla ja Jatalla on kesätyö hevostallilla. Nean tuntipalkka on 2 suurempi kuin Jatan. Kun kumpikin on työskennellyt 7 tuntia, he ovat ansainneet yhteensä 154. Laske tyttöjen tuntipalkat Parkkipaikan autoissa ja mopoissa on yhteensä 540 rengasta. Mopoja on neljäsosa autojen määrästä. Laske mopojen määrä. 70. Grillibileisiin varataan jokaiselle vieraalle yksi maissi, kaksi kanapihviä ja kolme makkaraa. Kuinka monta vierasta juhliin on tulossa, kun maisseja, kanapihvejä ja makkaroita on yhteensä 180 kpl? 71. Kaksinumeroisen luvun ensimmäinen numero on 5. Kun luvun numeroiden paikkaa vaihdetaan, saadaan luku, joka on 27 suurempi kuin alkuperäinen luku. Mikä on alkuperäinen luku? 26
27 Vastaukset 701. a) 110 b) a) 0,5 b) a) + 5 = 16, = 11 b) - 7 = 14, = a) = 21, =7 b) 4 = -6, = Emma 11 ja Siiri Manu 140 ja Veeti ottelua vuotta maila 59,50 ja pallotuubi 8, , istumapaikkaa 714. Kynäilijät voitti , Vili 60 ahventa, Roope 0 ahventa ja Kassu 8 ahventa Janna 14, Hanna 6 ja Sanni ottelua , 56 ja v. 72. v km kanaa ja 80 lammasta 726. huippukulma 108 o ja kantakulmat 6 o 727. pituus 105 m ja leveys 68 m 728. Nea 12 /h ja Jatta 10 /h mopoa vierasta Takaisin tehtäviin 27
28 Toisen asteen yhtälö Katso apua: urly.fi/nil 801. Ratkaise yhtälö. a) 2 = 25 b) 2 = 9 c) 2 = Ratkaise yhtälö. a) 2 = 4 b) 2 = 81 c) 2 = Ratkaise yhtälö. a) 2 = 100 b) 2 = 1 c) 2 = Ratkaise yhtälö. a) 2 = -6 b) 2 = 7 c) 2 = 0, Ratkaise yhtälö. a) 2 = 12 b) 2 = 0,04 c) 2 = Ratkaise yhtälö. a) 2-49 = 0 b) 2-1 = 0 c) 2 - = Ratkaise yhtälö. a) 4 2 = 16 b) 2 2 = 18 c) = 28
29 808. Luvun neliö on 64. Mikä luku on kyseessä? 809. Mikä on neliön sivun pituus, jos neljän samanlaisen neliön pinta-ala on yhteensä 16 m 2? 810. Ratkaise yhtälö. a) 2-48 = 0 b) = 0 c) 2-27 = Ratkaise yhtälö. a) = 0 b) = 8 2 c) = Ratkaise yhtälö. a) 2( 2-1) = 0 b) 2( 2 + 4) = 24 c) 5(1-2 ) + = Millä vakion a arvoilla yhtälöllä on ratkaisu? a) 2 = a b) 2 = a Muotoa a 2 + b + c = 0 olevan toisen asteen yhtälön yleinen ratkaisu on 2 b ± b 4ac = 2a. Ratkaise yhtälöt. a) = 0 b) = 0 c) =
30 Vastaukset 801. a) = ± 5 b) = ± c) = ± a) = ± 2 b) = ± 9 c) = ± a) = ± 10 b) = ± 1 c) = ± a) ei ratkaisua b) = ± 7 c) = ± 0, a) = ± 12 b) = ± 0,2 1 c) = ± 806. a) = ± 7 b) = ± 1 c) = ± a) = ± 2 b) = ± c) ei ratkaisua m 810. a) = ± 4 b) = ± 2 c) = ± 811. a) = ± 10 b) = ± 5 c) = ± a) = ± 4 b) = ± 4 c) ei ratkaisua 81. a) a 0 b) a voi olla mikä tahansa reaaliluku 814. a) = 1 tai = -2 b) = c) ei ratkaisua Takaisin tehtäviin 0
31 Epäyhtälö Katso apua: urly.fi/nim 901. Onko epäyhtälö tosi vai epätosi? a) 2 < 5 b) - > -1 c) Kirjoita kaikki kokonaisluvut, jotka toteuttavat molemmat epäyhtälöt. a) > 4 ja < 8 b) 12 ja 15 c) > 7 ja < Kirjoita kaikki kokonaisluvut, jotka toteuttavat molemmat epäyhtälöt. a) > -4 ja < -1 b) -15 ja -12 c) > -2 ja Ratkaise epäyhtälö. a) + > 9 b) c) - 5 < Ratkaise epäyhtälö. a) 5 15 b) 4 < - 6 c) Ratkaise epäyhtälö. a) b) 2 - > c) 9-2 <
32 907. Ratkaise epäyhtälö. a) + 1 < + 7 b) 5 > c) < Ratkaise epäyhtälö. a) + (2-4) > 8 b) 4( - 1) < Ratkaise epäyhtälö. a) 2(5 + 1) ( + 2) b) - < - (10 + ) 910. Millä muuttujan arvoilla lauseke saa positiivisia arvoja? 1 a) b) - 4 c) d) Millä muuttujan arvoilla lauseke saa negatiivisia arvoja? a) -5 b) 7 c) + 9 d) Ratkaise päättelemällä. a) 2 < 1 b) 2-4 > 0 c) < Ratkaise epäyhtälö ( + 4 ) < 5 ( - 4 ). (YO k95) 2
33 Vastaukset 901. a) tosi b) epätosi c) epätosi 902. a) 5, 6 ja 7 b) 12, 1, 14 ja 15 c) ei ole 90. a) - ja -2 b) ei ole c) -1, 0 ja a) > 6 b) - c) < a) b) < -2 c) a) -2 b) < -4 c) < a) < b) > 0 c) < a) > 4 7 b) < 909. a) 4 b) > 910 a) > 0 b) > 4 c) < d) < a) > 0 b) < 0 c) < d) < 0, a) -1 < < 1 b) -2 < < 2 c) -4 < < < Takaisin tehtäviin
34 Testaa taitosi 2 Tee testi: urly.fi/nin 4
15 Yhtäsuuruuksia 1. Päättele x:llä merkityn punnuksen massa. a) x 4 kg. x 3 kg
1 15 Yhtäsuuruuksia Päättele :llä merkityn punnuksen massa. a) 1 kg 1 kg 1 kg 1 kg 1 kg 1 kg b) 1 kg 5 kg 5 kg 4 kg 3 kg Kuinka monta ympyrää jälkimmäisen vaa an oikealle puolelle on laitettava, jotta
Lisätiedot797 E. matematiikka. Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola
797 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava 24 Ongelmanratkaisu yhtälön avulla Yhtälön
LisätiedotKahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.
10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein
Lisätiedotmatematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola
9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus
Lisätiedot1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ
1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ 1. Käyttäen tietoa a = a a laske: a) 8 b) ) c) 0, d) ) 1 e) 1) f) +,) g) 7 h) ) i). Laske näiden lukujen neliöt: 17 9 1,6 1. Laske: ) a) ) b). Laske a, kun 5) 1 ) 11 11 81. j)
LisätiedotMerkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + =
Mikä X? Esimerkki: Merkitse yhtä puuta kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3 + 2 = 5 + = 5 + = 1. Merkitse yhtä päärynää kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi? Mikä tulee vastaukseksi?
LisätiedotVastaukset. 8.7 Polynomilaskennan kertausta. 1. 2k + 3p + 3k + 4p = 5k + 7p. 2. x + x + x = 3x 1 x = x x x = x 2 x x x = x 3
Vastaukset 8.7 Polynomilaskennan kertausta 1. k + 3p + 3k + 4p = 5k + 7p. x + x + x = 3x 1 x = x x x = x x x x = x 3 3. a) 4x + (+6x) = 4x + 6x = 10x b) 4x + ( 6x) = 4x 6x = x c) 4x (+6x) = 4x 6x = x d)
Lisätiedot7.lk matematiikka. Yhtälöt
7.lk matematiikka Yhtälöt Janne Koponen Hatanpään koulu Kevät 2017 Yhtälöt 1. Yhtälön määritelmä ja merkintäkäytänteitä Yhtälössä on kaksi lauseketta, jotka on merkitty yhtä suuriksi. Tähän merkitsemiseen
Lisätiedot1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
LisätiedotTestaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo
Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
Lisätiedot1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
Lisätiedot3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
LisätiedotB. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
Lisätiedotjoissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.
ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ô ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Kauppias on ostanut
LisätiedotKenguru 2011 Cadet (8. ja 9. luokka)
sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos et halua
Lisätiedotc) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a,
Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. 1. Lukion A ja lukion B oppilasmäärien suhde oli a/b vuoden 2017 lopussa. Vuoden 2017 aikana
LisätiedotHelsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan
LisätiedotPolynomi ja yhtälö Sievennä. a) 4a + 3a b) 11x x c) 9x + 6 3x. Ratkaisu a) 7a b) 12x c) 6x + 6
Polynomi ja yhtälö 103. Sievennä. a) 4a + 3a b) 11x x c) 9x + 6 3x a) 7a b) 12x c) 6x + 6 104. Ratkaise yhtälöt. a) 2x + 3 = 9 b) 8x + 2 = 5x + 17 a) 2x + 3 = 9 3 2x = 6 : 2 x = 3 b) 8x + 2 = 5x + 17 2
Lisätiedot1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?
Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2
LisätiedotHelsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä
LisätiedotApua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio
Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)
LisätiedotTee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!
MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan
LisätiedotPythagoraan polku 16.4.2011
Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,
LisätiedotTurun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut
(1) Laske 20 12 11 21. Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut a) 31 b) 0 c) 9 d) 31 Ratkaisu. Suoralla laskulla 20 12 11 21 = 240 231 = 9. (2) Kahden peräkkäisen
Lisätiedot6. MURTOLUVUT MURTOLUVUN MUUTTAMINEN YHTEENLASKU JA VÄHENNYSLASKU KERTOLASKU JAKOLASKU
6. MURTOLUVUT MURTOLUVUN MUUTTAMINEN YHTEENLASKU JA VÄHENNYSLASKU KERTOLASKU JAKOLASKU Murtoluku Sekaluku Osoittaja Nimittäjä Kokonaisosa Murto-osa Murtoluvun muuttaminen Jos murtoluvun osoittaja on suurempi
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotKoontitehtäviä luvuista 1 9
11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:
Lisätiedot7.lk matematiikka. Yhtälöt. Janne Koponen Hatanpään koulu Kevät 2018 (versio 3.1)
7.lk matematiikka Yhtälöt Janne Koponen Hatanpään koulu Kevät 2018 (versio 3.1) 1. Yhtälön määritelmä ja merkintäkäytänteitä Yhtälössä on kaksi lauseketta, jotka on merkitty yhtä suuriksi. Tähän merkitsemiseen
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
LisätiedotLuvuilla laskeminen. 1. Laske. a) 2 5 b) 6 11 c) 4 + ( 4) d) 1 ( 7) Ratkaisu. a) 2 5 = 7 b) 6 11 = 5 c) 4 + ( 4) = 4 4 = 0 d) 1 ( 7) = = 6
Luvuilla laskeminen. Laske. 6 4 + ( 4) d) ( 7) = 7 6 = 4 + ( 4) = 4 4 = 0 d) ( 7) = + 7 = 6. Laske. ( 9) 7 ( 8) 8 : ( ) d) 4 : 6 ( 9) = 7 7 ( 8) = 6 8 : ( ) = 9 d) 4 : 6 = 7. Muunna 8 sekaluvuksi 6 sekaluvuksi
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:
LisätiedotLue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.
MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille.
LisätiedotMAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT
MAA MAA - POLYNOMIFUNKTIOT 1 On annettu muuttujan x polynomi P(x) = x + x + Mitkä ovat sen termien kertoimet, luettele kaikki neljä (?) Mitä astelukua polynomi on? Mikä on polynomin arvo, kun x = 0 Entä
LisätiedotKORJAUSMATIIKKA 3, TEHTÄVÄT
1 SISÄLTÖ KORJAUSMATIIKKA, TEHTÄVÄT 1) Potenssi 2) Juuri ) Polynomit ) Ensimmäisen asteen yleinen yhtälön ratkaisu 5) Yhtälöt ongelmaratkaisuissa ja toisen asteen yhtälön ratkaisukaava TEHTÄVÄT: Käythän
LisätiedotTurun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22.1.2014 Ratkaisuita
Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22.1.2014 Ratkaisuita 1. Laske 3 21 12 3. a) 27 b) 28 c) 29 d) 30 e) 31 Ratkaisu. 3 21 12 3 = 63 36 = 27. 2. Peräkylän matematiikkakerholla on kaksi tapaa
LisätiedotKenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)
Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta
LisätiedotVastaukset. 1. kaksi. 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x e) 5. a) x y = 2x
Vastaukset. kaksi. y - - x - - 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x 0 0 3 3 e) 5. a) b) x y = x 0 0 3 6 98 6. a) b) x y = x + 0 3 5 6 7 7. a) b) x y = x - 3 0-3 - 3 3 8. 99 a) y = b) y = -
LisätiedotPERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA
PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA 4..005 OSA 1 Laskuaika 30 min Pistemäärä 0 pistettä 1. Mikä on lukujonon seuraava jäsen? Minkä säännön mukaan lukujono muodostuu? 1 4 5 1 1 1
Lisätiedot4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
LisätiedotVastaukset. 1. a) 5 b) 4 c) 3 d) a) x + 3 = 8 b) x - 2 = -6 c) 1 - x = 4 d) 10 - x = a) 4 b) 3 c) 15 d) a) 2x. c) 5 3.
Vastaukset. a) 5 b) 4 c) d) -. a) x + = 8 b) x - = -6 c) - x = 4 d) 0 - x =. a) 4 b) c) 5 d) 8 4. a) x 8 b) 5x 5 x c) 5 x d) 6 5. a) kyllä b) ei c) kyllä d) ei 6. a) x x x b) x x x 0 0 0 x c) x x x x 00
LisätiedotTehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus
Kenguru Ecolier, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos
LisätiedotTehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus
Kenguru Benjamin, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi,
LisätiedotLuku 5 Kertaus. Tehtävä 1 Kerratkaa oppimanne asiat yhdessä keskustellen.
Luku Kertaus Tehtävä 1 Kerratkaa oppimanne asiat yhdessä keskustellen. - Samanmuotoiset termit - Lausekkeen ja yhtälön ero - Yhtälön totuusarvon tutkiminen - Yhtälön ratkaisun etsiminen - Yhtälön ratkaisun
Lisätiedot! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.
9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun
LisätiedotAlgebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.
Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotKenguru 2019 Cadet ratkaisut (8. ja 9. luokka)
Sivu 0 / 16 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse vastaus tehtävän numeron alle. Oikeasta vastauksesta saa 3, 4 tai 5 pistettä. Jokaisessa tehtävässä
LisätiedotKenguru Ecolier, ratkaisut (1 / 5) 4. - 5. luokka
3 pisteen tehtävät Kenguru Ecolier, ratkaisut (1 / 5) 1. Missä kenguru on? (A) Ympyrässä ja kolmiossa, mutta ei neliössä. (B) Ympyrässä ja neliössä, mutta ei kolmiossa. (C) Kolmiossa ja neliössä, mutta
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
LisätiedotKenguru 2012 Ecolier sivu 1 / 7 (4. ja 5. luokka) yhteistyössä Pakilan ala-asteen kanssa
Kenguru 2012 Ecolier sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta
LisätiedotOSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO
OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka
LisätiedotYmpyrän yhtälö
Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotKenguru 2011 Cadet RATKAISUT (8. ja 9. luokka)
sivu / 2 IKET VSTUSVIHTEHDT N LLEVIIVTTU. 3 pistettä. Minkä laskun tulos on suurin? () 20 (B) 20 (C) 20 (D) + 20 (E) : 20 20 20, 20, 20 20 20 202 ( suurin ) ja : 20 0,0005 2. Hamsteri Fridolin suuntaa
LisätiedotInsinöörimatematiikka A
Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,
LisätiedotLAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN
LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua
LisätiedotTehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun
Lisätiedot( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty
Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja
Lisätiedot4. Oheisessa 4x4 ruudukossa jokainen merkki tarkoittaa jotakin lukua. Mikä lukua salmiakki vastaa?
Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 30.1.2015 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.
LisätiedotLAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015
PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske
LisätiedotVastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa
Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi
LisätiedotMATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017
MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017 SISÄLTÖ 1. Matemaattisten ongelmien ratkaisu laskukaavoilla 2. Tekijäyhtälöt 3. Laskukaavojen yhdistäminen 4. Yhtälöiden
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen asteen yhtälöt
Ensimmäisen ja toisen t nimittäjien poistaminen sieventäminen ensimmäisen identtinen yhtälö yhtälö verranto toisen asteen yhtälö korkeamman ristiin kertominen suhde täydellinen toisen ratkaisukaava vaillinainen
LisätiedotKaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.
Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 1.2.2013 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.
LisätiedotKenguru Benjamin, ratkaisut (1 / 6) luokka
Kenguru Benjamin, ratkaisut (1 / 6) 3 pisteen tehtävät 1. Kuinka monta kokonaislukua on lukujen 19,03 ja,009 välissä? (A) 14 (B) 15 (C) 16 (D) 17 (E) enemmän kuin 17 Luvut 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
LisätiedotHelsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Laske 6 5 4 5 4 3 + 4 3 2 3 2 1. a) 88 b) 66 c) 78 d) 76 Ratkaisu. Suoralla laskulla: 6 5 4 5 4 3 + 4 3 2 3 2 1
LisätiedotKenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)
Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta
Lisätiedot1 Kertausta geometriasta
1 Kertausta geometriasta 1.1 Monikulmiota 1. a) Kolmion kulmien summa on 180. Koska tiedetään kaksi kulmaa, kulma x voidaan laskea. 180 x 35 80 x 180 35 80 x 65 b) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat
LisätiedotLuku 4 Yhtälönratkaisun harjoittelua
Luku 4 Yhtälönratkaisun harjoittelua 4.1. Yhtälönratkaisu tehtäviä Tehtävä 4.1.1 Ratkaise yhtälöistä tuntematon muuttuja käyttäen oppimiasi muunnoksia. Valitse sarja. Sarja 1) 6 5 37 = 0 Kun eräs luku
LisätiedotMAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x
MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
Lisätiedot2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt
. Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri
LisätiedotLukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN
alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä
LisätiedotOulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut
Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Kolmen peräkkäisen kokonaisluvun summa on 42. Luvuista keskimmäinen on a) 13 b) 14 c) 15 d) 16. Ratkaisu. Jos luvut
LisätiedotHelsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13
Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3
LisätiedotMAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
Lisätiedot{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +
9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
LisätiedotMetallitanko, jonka pituus on 480 cm, jaetaan kahteen osaan. Toinen osista on 60 cm pitempi kuin toinen. Mitkä ovat osien pituudet?
1 Metallitanko, jonka pituus on 480 cm, jaetaan kahteen osaan. Toinen osista on 60 cm pitempi kuin toinen. Mitkä ovat osien pituudet? Tapa 1 Merkitään toista osaa x:llä, toista y:llä ja piirretään asiaa
LisätiedotKenguru 2019 Student lukio
sivu 0 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Koodi (ope täyttää): Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta
LisätiedotKenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)
Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta
Lisätiedotx 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua
Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
LisätiedotCadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT
Cadets 2004 - Sivu 1 3 pistettä 1/ Laske 2004 4 200 A 400800 B 400000 C 1204 1200 E 2804 2004 4 200= 2004 800= 1204 2/ Tasasivuista kolmiota AC kierretään vastapäivään pisteen A ympäri. Kuinka monta astetta
LisätiedotKolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia
Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
Lisätiedot