797 E. matematiikka. Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

Transkriptio

1 797 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

2 24 Ongelmanratkaisu yhtälön avulla Yhtälön avulla voidaan ratkaista erilaisia ongelmia. Kun kysyttyä asiaa merkitään tuntemattomalla, voidaan tiedossa olevista asioista muodostaa usein kaksi keskenään yhtä suurta lauseketta. Muodostetun yhtälön avulla voidaan sen jälkeen ratkaista kysytty asia. Ongelmanratkaisuohjeita: 1. Perehdy ongelmaan huolellisesti. Piirrä tarvittaessa mallikuva. 2. Merkitse kysyttyä asiaa tuntemattomalla. 3. Muodosta tiedossa olevista asioista yhtälö. 4. Ratkaise yhtälö. 5. Tarkista ongelman ratkaisu. 6. Vastaa annettuun kysymykseen ja kirjoita vastaus sanallisessa muodossa. Muista yksiköt. EsimErkki 1 Kun lukuun lisätään 5, saadaan tulokseksi 17. Mikä luku on kyseessä? Ratkaisu Merkitään kysyttyä lukua tuntemattomalla. Tehtävänannon perusteella lukujen ja 5 summa on 17, joten yhtälöksi saadaan + 5 = = 17 = 17-5 = 12 Tarkistus: = 17 Vastaus: Kysytty luku on Jokaisella salibandyjoukkeen 17 pelaajasta on oma pallo. Jos varastosta löytyy 5 palloa, hukassa on

3 EsimErkki 2 Matti-eno on kolme kertaa niin vanha kuin Vili. Heidän yhteenlaskettu ikänsä on 64 vuotta. Laske Matin ja Vilin iät. Ratkaisu Merkitään Vilin ikää tuntemattomalla. Tällöin Matin ikä on 3. Tehtävänannon perusteella heidän ikiensä summa on 64 vuotta, joten yhtälöksi saadaan + 3 = = 64 4 = 64 : 4 4 = = 16 Luku kolminkertaisena on 3. Vilin ikä on 16 vuotta ja Matin ikä 3 16 vuotta = 48 vuotta. Tarkistus: = 64 Vastaus: Vilin ikä on 16 vuotta ja Matin ikä 48 vuotta. HarjoitustEHtävät 1. Muodosta ja ratkaise yhtälö. a) Kun lukuun lisätään kaksi, saadaan tulokseksi viisi. Yhtälö on + 2 = = = 5-2 = 3 b) Kun luvusta vähennetään yhdeksän, saadaan tulokseksi 17. Yhtälö on. 2. Muodosta ja ratkaise yhtälö. a) Kun luku kerrotaan kuudella, saadaan tulokseksi 30. Yhtälö on. b) Kun lukuun lisätään seitsemän, saadaan tulokseksi kolme. Yhtälö on. 181

4 3. Muodosta mallista yhtälö ja ratkaise se. a) Yhtälö on. b) Yhtälö on. 5. Muodosta ja ratkaise yhtälö. a) Lukujen 3 ja tulo on 21. Yhtälö on. b) Lukujen ja 4 osamäärä on -6. Yhtälö on. 6. Lauralla ja Marialla on bändien fanipinssejä yhteensä 18. Lauralla on + 2 pinssiä eli 2 pinssiä enemmän kuin Marialla. Kuinka monta pinssiä kummallakin on? + ( + 2) = Muodosta ja ratkaise yhtälö. a) Lukujen ja 5 summa on 16. Yhtälö on. b) Lukujen ja 7 erotus on 14. Yhtälö on. Vastaus: 7. Mernalla ja Midiyalla on yhteensä 27 euroa. Mernalla on 5 euroa vähemmän kuin Midiyalla. Kuinka paljon rahaa kummallakin on? + ( - 5) = 27 Vastaus: 182

5 kotitehtävät 8. Muodosta ja ratkaise yhtälö. a) Kun lukuun lisätään 9, saadaan summaksi Mikä luku on kyseessä? Kun luvusta vähennetään 35, saadaan tulokseksi = = 16-9 = 7 b) Kun luvusta vähennetään 13, saadaan erotukseksi 43. Yhtälö on. Vastaus: 11. Muodosta ja ratkaise yhtälö. Veetin koulu matka on 1,7 km lyhyempi kuin Ilmarin. Mikä on Veetin koulumatkan pituus, kun heidän koulumatkansa on yhteensä 7,1 km? 9. Mikä luku on kyseessä? Kun lukuun lisätään 7, saadaan tulokseksi 20. Vastaus: 12. Antin äiti Kirsi on 28 vuotta vanhempi kuin Antti. Heidän yhteenlaskettu ikänsä on 54 vuotta. Kuinka vanhoja Antti ja Kirsi ovat? P U L M A Lentokone lähtee Helsingistä klo 7.00 paikkaan X, jossa kello on tällöin Lentokone palaa takaisin Helsinkiin klo Paluumatka kestää 30 minuuttia kauemmin kuin menomatka, ja kone viipyy perillä 2 tuntia. Mihin aikaan (paikallista aikaa) lentokone lähtee paikasta X paluumatkalle Helsinkiin? Vastaus: 183

6 25 Yhtälön käyttöä Käytännön ongelmasta muodostettava yhtälö ja sen ratkaisu riippuvat siitä, mikä valitaan tuntemattomaksi. Kirjainlausekkeet on syytä merkitä selkeästi esimerkiksi taulukkoon. Ongelman ratkaisu on tuntemattoman valinnasta riippumatta kuitenkin sama. EsimErkki 1 Johannes pyöräilee mummolaan. Hän palaa eri reittiä takaisin, ja paluumatka on 9 km pidempi kuin menomatka. Yhteensä matkan pituus on 35 km. Kuinka pitkä on paluumatka? Ratkaisu, tapa 1 Menomatkan pituus kilometreinä on ja paluumatkan pituus + 9. Edestakaisesta matkasta saadaan yhtälö + ( + 9) = = = 35 2 = = 26 = 13 :2 Menomatka (km) Paluumatka (km) + 9 Saatu yhtälön ratkaisu on menomatkan pituus. Paluumatkan pituus on 13 km + 9 km = 22 km. Vastaus: Paluumatkan pituus on 22 km. Ratkaisu, tapa 2 Paluumatkan pituus kilometreinä on ja menomatkan pituus - 9. Näistä saadaan yhtälö + ( 9) = = = 35 2 = = 44 :2 = 22 Menomatka (km) 9 Vastaus: Paluumatkan pituus on 22 km. Paluumatka (km) 184

7 HarjoitustEHtävät 1. Riikan kahvi maksoi 1,50 euroa enemmän kuin Saran. Kahvit maksoivat yhteensä 7,50 euroa. Kuinka paljon Riikan kahvi maksoi? Saran kahvi ( ) Riikan kahvi ( ) + 1,50 + ( + 1,50) = 7, ,50 = 7,50 3. Aino, Jenni ja Linda jakavat 35 euroa siten, että Aino saa 5 euroa enemmän kuin Jenni ja Linda 3 euroa vähemmän kuin Jenni. Kuinka paljon Aino, Linda ja Jenni saavat? Linda ( ) Jenni ( ) Aino ( ) ( + 3) + ( ) = 35 = Saran kahvi ( ) Riikan kahvi ( ) + 1,50 + 1,50 = Vastaus:. 2. Kalle on kolme kertaa niin vanha kuin Ville. Poikien ikäero on 10 vuotta. Kuinka vanhoja pojat ovat? Ville Kalle = 10 Vastaus:. Linda ( ) Jenni ( ) Aino ( ) = = Vastaus:. 185

8 4. Millalla, Marilla ja Artulla on rahaa yhteensä 72 euroa. Millalla on kolme kertaa ja Marilla kaksi kertaa niin paljon kuin Artulla. Kuinka paljon Millalla, Marilla ja Artulla on rahaa? Arttu ( ) Mari ( ) Milla ( ) Niilo sai uuden polkupyörän ja pyöräilykypärän, jotka maksoivat yhteensä 520 euroa. Pyörä oli 380 euroa kalliimpi kuin kypärä. Kuinka paljon Niilon pyörä maksoi? Kypärä ( ) Pyörä ( ) Arttu ( ) Mari ( ) Milla ( ) = 3 = Vastaus:. Kypärä ( ) Pyörä ( ) = Vastaus:. kotitehtävät 6. Emilia ja Aarni saavat kotitöiden tekemisestä yhteensä 12 euroa. Emilia saa kaksi euroa enemmän kuin Aarni. Kuinka monta euroa Emilia saa? 7. Kati ja Anna vaelsivat kahden päivän aikana 27 km. Ensimmäisenä päivänä he vaelsivat 7 km pidemmän matkan kuin toisena päivänä. Kuinka pitkän matkan he vaelsivat ensimmäisenä päivänä? P U L M A 8. Julia osti kaupasta cd:n ja dvd:n. Ostokset maksoivat yhteensä 36 euroa. Kuinka paljon levyt maksoivat, kun cd oli 6 euroa halvempi kuin dvd? Kahden luvun summa on 50 ja erotus 18. Mitkä luvut ovat kyseessä? 186

9 Ekstra Kuvion sivujen laskeminen yhtälön avulla EsimErkki 2 Määritä kolmion sivujen pituudet, kun kolmion piiri on 28 m. Ratkaisu Sivujen pituuksien summa on 28, joten saadaan seuraava yhtälö: 2 + ( 2) + ( + 3) = = = 28 3 = = 27 :3 3 = = Sivujen pituudet ovat 9 m, 9 m - 2 m = 7 m ja 9 m + 3 m = 12 m. Tarkistus: 9 m + 7 m + 12 m = 28 m Vastaus: Sivujen pituudet ovat 9 m, 7 m ja 12 m. 9. Määritä kolmion sivujen pituudet, kun kolmion piiri on 30 cm. 11. Kolmion ja suorakulmion piirit ovat yhtä suuret. Määritä kummankin kuvion sivujen pituudet. + 3, , Suorakulmion piiri on 40 cm. Laske sivujen pituudet. a) y + 4 y b) Pienemmän suorakulmion piiri on 14 cm pienempi kuin suuremman. Laske suorakulmioiden sivujen pituudet

10 26 Kertaus 15 Yhtäsuuruuksia 1. Kuinka monta punaista neliötä on laitet tava toisen vaa an oikealle puolelle, jotta vaaka olisi tasapainossa? Kirjoita vastaus ympyrään. 18 Yhtälön ratkaiseminen laskemalla 5. Ratkaise yhtälö. a) + 10 = b) - 14 = Päättele :llä merkityn punnuksen massa, kun vaaka on tasapainossa. kg kg kg kg 16 Yhtälö 3. Mitä yhtälöä vaakamalli esittää? Termien vähentäminen ja lisääminen 6. Ratkaise yhtälö. a) = 6-5 b) = = + 17 Yhtälön ratkaisun etsiminen 4. Päättele yhtälön ratkaisu. a) 4-5 = b) = 9 3 c) 3-6 =

11 20 Termien siirtäminen 7. Ratkaise yhtälö. a) - 5 = 16 b) = c) = Yhtälön ratkaiseminen jakamalla 8. Ratkaise yhtälö. a) 9 = 18 : 9 b) -5 = 10 : (-5) 22 Yhtälön ratkaiseminen kertomalla 9. Ratkaise yhtälö. a) = 4 3 b) = Erilaisia yhtälöitä 10. Ratkaise yhtälö. 4 ( + 5) = Ongelmanratkaisu yhtälön avulla 11. Muodosta yhtälö ja ratkaise sen avulla, mikä luku on kyseessä. Kun luku kerrotaan luvulla 5 ja siihen lisätään 3, saadaan Yhtälön käyttöä 12. Niko kulutti musiikkiostoksiinsa yhteensä 75 euroa. Hän käytti metallimusiikkiin 31 euroa enemmän kuin poppiin. Kuinka paljon hän käytti rahaa metallimusiikkiin? Kokoavia tehtäviä 13. Ratkaise yhtälö. a) 5-1 = 19 b) 4-8 = c) = 3-6 d) = Ratkaise yhtälö. a) 6-6 = 7-6 b) = c) 2-24 = -10 d) = Mikä on kyseinen luku? a) Kun luku kerrotaan luvulla 5 ja tuloon lisätään luku 8, saadaan summaksi 43. b) Kun luku kerrotaan luvulla 2 ja tulosta vähennetään luku 15, saadaan luku viisinkertaisena. 189