massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

Transkriptio

1 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä. massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y Selvitettävänä on tuoreen luumun massa, eli b. Sokerin massa voidaan ilmoittaa kahdella tavalla. 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 Jotta taulukon alemmalta riviltä voisi ratkaista kuivatun luumun veden massan x, täytyy ensin selvittää muun aineen massa y. Muodostetaan ylemmältä riviltä yhtälö. Ratkaistaan x alemmalta riviltä. = 0,73 + 0,08 + = 0,73 0,08 = 0,19 sij. = 3,5 = 0,665 = + 0,28 + 0,665 = 0,28 0,665 = 0,055 Vastaus: Massa ennen kuivatusta oli 3,5a ja kuivatun vesipitoisuus on 5,5 %. A2. a) Yhtälön määrittelyehto on 5 Tehdään sijoitukset, jolloin yhtälö saadaan muotoon 0. = 6 Merk. =, joten =, 0 (1) 5 = = = 0 2 = 0 tai 3 = 0 = 2 tai = 3.

2 Määritetään ratkaisut yhtälön (1) mukaisesti. Vastaus: = 4 tai = 9 b) Käytetään muistikaavaa jolloin yhtälö saadaan muotoon = 1, = 2 = 4 = 3, = 3 = 9 sin 2x = 2cos sin 2 = 2 sin cos, 2 sin cos = 2 cos 2 sin cos 2 cos = 0 cos (2 sin 2) = 0 2sinx 2 = 0 tai cos = 0 2 sin = 2 tai = 2 + sin = 2 2 sin = 1 2 = tai = = tai = Vastaus: = + tai = + 2 tai = + 2 c) Epäyhtälö on määritelty, kun Epäyhtälön määrittelyehto on siis > 2. log 2 log 1 < log 2 2 > 0 ja 1 > 0 > 2 ja > 1.

3 Käytetään epäyhtälön vasempaan puoleen logaritmikaavaa Täten yhtälö saadaan muotoon log log = log log 2 < log 2. 1 Logaritmifunktio on aidosti kasvava, joten epäyhtälö saadaan muotoon Muodostetaan epäyhtälön merkkikaavio. 2 1 < < < < < 0 Määrittelyehdosta seuraa, että epäyhtälön ratkaisu on > 2. A3. Selvitetään käyrien leikkauspisteet. Sijoitetaan (2) yhtälöön (1). = + 6 (1) = (2) = = = = = 0 tai 1 = 0 = 2 tai = 1

4 Leikkauspisteet ovat = 2, = = 2, piste = 2,2 = 1, = = 5, piste = 1,5. Selvitetään käyrien (paraabelien) huiput, jotta voidaan hahmotella rajattu alue koordinaatistoon. (1) Paraabelin = + 6 huippu on y-akselilla pisteessä (0,6). (2) Paraabelin = huippu on derivaatan nollakohdassa. Lasketaan huippupiste. = = = 0 = 3 4 = 3 4, = = 9 8, piste 3 4, 9 8 Hahmotellaan alue koordinaatistoon.

5 Kun paraabelin = + 6 pisteiden A ja B välinen osa pyörähtää suoran = 2 ympäri, syntyy pyörähdyskappale, jonka tilavuus on. Toisaalta paraabelin = pyörähtäessä syntyy pienempi pyörähdyskappale, jonka tilavuus on. Kysytyn pyörähdyskappaleen tilavuus on näiden erotus, eli Lasketaan tilavuudet ja. = 2 = = + 8 =. (3) = = / = = = = = Lasketaan kysytty tilavuus yhtälöstä (3). = / = = = Vastaus: Pyörähdyskappaleen tilavuus on = 5 5

6 A4. a) Testityökalun ohjelmoinnin onnistuminen vaatii, että Seppo on toimistolla ainakin yhtenä päivänä. = S toimistolla ainakin yksi päivä = 1 S ei toimistolla minään päinänä = 1 S ei ke ja S ei to ja S ei pe = 1 S ei ke S ei to S ei pe = 1 1 0,92 1 0,84 1 0,73 = 0, ,7 % Vastaus: Testityökalun ohjelmoiminen onnistuu 99,7 % todennäköisyydellä. b) Tehdään taulukko tapahtumista, jotka johtavat siihen, että käytettävyystesti onnistuu. ke to pe 1 työkalu valmis testi tehdään 2 työkalu valmis testiä ei tehdä testi tehdään 3 työkalu ei valmis työkalu valmis testi tehdään Lasketaan todennäköisyydet. Vaihtoehdossa 1. Sepon täytyy olla toimistolla keskiviikkona, jolloin työkalu saadaan tehtyä. Lisäksi torstaina Sepon täytyy olla toimistolla tai vaihtoehtoisesti Seppo on poissa ja Paavo on paikalla, jotta testi voidaan tehdä. 1 = S ke ja S to tai S ei to ja P to = S ke S to tai S ei to ja P to = S ke S to + S ei to P to = 0,92 0, ,84 0,13 = 0,79193 Vaihtoehdossa 2. Sepon täytyy olla toimistolla keskiviikkona, jolloin työkalu saadaan tehtyä. Seppo ja Paavo ovat molemmat poissa torstaina, joten silloin testiä ei voida tehdä. Perjantaina Sepon täytyy olla toimistolla tai vaihtoehtoisesti Seppo on poissa ja Paavo on paikalla, jotta testi saadaan tehtyä. 2 = S ke ja S ei to ja P ei to ja S pe tai S ei pe ja P pe = S ke S ei to P ei to S pe + S ei pe P pe = 0,92 1 0,84 1 0,13 0, ,73 0,93 = 0,12564 Vaihtoehdossa 3. Seppo on poissa toimistolta keskiviikkona, joten silloin ei voida tehdä työkalua. Koska työkalu tehdään torstaina, on Sepon oltava paikalla. Perjantaina Sepon täytyy olla toimistolla tai vaihtoehtoisesti Seppo on poissa ja Paavo on paikalla, jotta testi saadaan tehtyä. 3 = S ei ke ja S to ja S pe tai S ei pe ja P pe = S ei ke S to S pe + S ei pe P pe = 1 0,92 0,84 0, ,73 0,93 = 0,06592

7 Tapahtumat 1, 2 ja 3 ovat toisensa poissulkevia. Kysytty todennäköisyys on siten = = 0, , ,06592 = 0, ,3 %. Vastaus: Käytettävyystesti saadaan tehtyä 98,3 % todennäköisyydellä. A5. Piirretään kuva altaasta ja särmiöstä sekä ylhäältä, että sivusta katsottuna. Sivukuva on piirretty niin, että sitä katsotaan silmän suunnasta. Ratkaistaan pienemmän ympyrän säde r pohjaneliön sivun a avulla. Pythagoraan lauseesta saadaan + = = 2. (1) Sivukuvasta saadaan yhteys r:n ja särmiön korkeuden h välille. a) Muodostetaan särmiön tilavuuden lauseke. = h + sij. 1 ja = 2 4 = h + 2. (2) = h (3) Yhtälöstä (3) huomataan, että yhtälö (2) kannattaa muokata muotoon, jossa on ratkaistu ja sijoittaa se tilavuuden lausekkeeseen. 4 = h = 2h + 8. (4)

8 Sijoitetaan (4) yhtälöön (3). missä 0 h 2. h = 2h + 8 h = 2h + 8h, Etsitään tilavuuden suurin arvo derivaatan avulla. Ratkaistaan derivaatan nollakohdat. h = 6h + 8 h = 0 6h + 8 = 0 h = ± 8 6 h = ± 2 3 h = 1,1547 h 1,15 (m) Negatiivinen arvo hylätään, sillä korkeus on ei-negatiivinen. Lasketaan Tilavuuden arvot välin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdassa. 0 = = = = 6,1584 SUURIN ARVO = 0 Lasketaan vielä särmiön pohjaneliön pituus yhtälöstä (4). = 2h + 8 = ± = 4 3 = 2,3094 2,31 (m) Vastaus: Särmiön mitat ovat 2,31 m 2,31 m 1,15 m. b) Muodostetaan särmiön kokonaispinta-alan lauseke. = 4h (5) Lausekkeessa on termi ah, joten siihen jää väkisin termi, jossa on neliöjuuri, kun yhtälöstä (2) ratkaistaan joku suure a tai h. Yhtälö menee kuitenkin derivoinnin kannalta helpompaan muotoon, kun ratkaistaan a yhtälöstä (2). (Tämän voi todeta muodostamalla lausekkeet molemmilla tavoilla.) = 8 2h (6)

9 Sijoitetaan (6) yhtälöön (5). missä 0 h 2. () = 48 2h h = 48h 2h Huomataan, että A on positiivinen koko määrittelyjoukossaan. Näin ollen sen suurimman arvon määrittämiseksi voidaan tutkia funktiota Etsitään f:n suurin arvon kohta derivaatan avulla. = 4 = 8h 2h. = 16h 8h = 0 16h 8h = h h = 0 2 h = 0 tai h = 0 h = 2 h = ± 2 h = 1,4142 h 1,41 (m) Lasketaan pinta-alan arvot derivaatan nollakohdissa ja välin päätepisteissä. 0 = = 0 2 = 8 2 = 11,3137 SUURIN ARVO 2 = 0 Lasketaan h:n arvoa vastaava a:n arvo yhtälöstä (6). = = 2 Vastaus: Särmiön mitat ovat 2,00 m 2,00 m 1,41 m.

10 A6. a) Tutkitaan mitä pisteen paikalle tapahtuu eri taitoksilla. Merkitään sitä varten nauhan pöytää vasten olevaa pituutta tunnuksella ja pisteen A etäisyyttä origosta tunnuksella, missä i saa arvot 0, 1, 2, 3, Alkutilanne: Piste A on nauhan päässä. Nyt pisteen A etäisyys origosta on saman kuin nauhan pituus. Äskeisillä merkinnöillä alkutilanteessa on = ja =. 1. taitos Nauha taitetaan siten, että taitettu osa on puolet taittamattomasta. Näin ollen pöytää vasten olevan osan pituus on = ja =. Huomataan jatkoa silmällä pitäen, että nauha on taitettu edellisellä kerralla, eli 1:llä kerralla kohdasta, joka on pöytää vasten olevan osan pituus taittokerran alussa. Piste A siirtyy, mikäli. Tämän voi todeta alla olevasta kuvasta. 2. taitos, = = =. Pöytää vasten olevan osan pituudet ovat muodostuvat selvästi geometrisen jonon jäsenistä. Näin ollen voidaan yleistää, että = 2 3, = 1 3 < 4 9 =, Joten piste A ei siirry. Tämä on ensimmäinen kerta kun piste A ei siirry. Näin ollen etäisyys origosta pysyy samana, eli = = taitos, = =, = = > =, Joten piste A siirtyy. Johdetaan tässä vaiheessa rekursiokaava pisteen A etäisyydelle origosta sellaisen taitoksen jälkeen, jossa piste siirtyy.

11 Piste liikkuu siirtyessään aina origoa kohti etäisyyden Δ. Puolet tästä siirtymästä on erotus, eli Siten paikka voidaan laskea 1 2 Δ = 2 Δ = 2. = Δ = 2 = 2. Kun muutetaan indeksejä, saadaan rekursiokaava muotoon = 2 sij. = 2 3 = Vastaus: Rekursiokaava on = 2. b) Pisteen A etäisyys origosta on 3. taitoksen jälkeen = = Jatketaan siirtymien laskemista saadulla rekursiokaavalla kunnes löytyy seuraava taitos, jolla piste A ei siirry. 4. taitos, = =, = = > =, joten piste A siirtyy. Tällöin = 2 =. 5. taitos, = =, = = > =, joten piste A siirtyy. Tällöin = 2 =. 6. taitos, = =, = = > =, joten piste A siirtyy. Tällöin = 2 =. 7. taitos, = =, = = < =, joten piste A ei siirry. Vastaus: Piste A on siirtymättä toisen kerran 7. taitoksella.