031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7
|
|
- Johanna Hukkanen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 0302P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7 Jukka Kemppainen Mathematics Division
2 Yhteisjakauma Edellä on tarkasteltu yksiulotteista satunnaismuuttujaa. Sovelluksissa joudutaan usein tarkastelemaan samanaikaisesti kahta tai useampaa samaan satunnaiskokeeseen liittyvää satunnaismuuttujaa. Tässä luvussa tarkastellaan kahden satunnaissuureen samanaikaista kuvailua. Luvussa esitetty tarkastelu voidaan luonnollisella tavalla yleistää n:n satunnaismuuttujan tapaukseen. Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 44
3 Yhteisjakauma Olkoon S satunnaiskokeen otosavaruus, P siihen liittyvä todennäköisyys ja X, Y : S R kokeeseen liittyviä satunnaismuuttujia. Kaksiulotteinen satunnaisvektori (X, Y) liittää kuhunkin alkeistapahtumaan e S lukuparin (X(e), Y(e)) (x,y)-tasossa R 2. Tapahtuman {X x} {Y y} todennäköisyys on täysin määrätty kahden muuttujan funktio F XY (x,y), joka vastaa yhden muuttujan jakauman kertymäfunktiota. Määr. 26 Kaikilla lukupareilla (x,y) R 2 määritelty funktio F XY (x,y) = P(X x ja Y y) on satunnaismuuttujien X ja Y satunnaismuuttujaparin (X, Y) kertymäfunktio. Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 44
4 Kertymäfunktio Kuten -ulotteisessa tapauksessa, kertymäfunktio F XY määrää täysin sm-parin (X,Y) jakauman. Tämä seuraa siitä, että jokaisen koordinaattiakselien suuntaisen puoliavoimen suorakulmion Q =]x,x 2 ] ]y,y 2 ], missä x < x 2 ja y < y 2, todennäköisyys voidaan laskea kertymäfunktion avulla. Nimittäin P((X,Y) Q) =F XY (x 2,y 2 ) F XY (x 2,y ) F XY (x,y 2 ) + F XY (x,y ). () Jukka Kemppainen Mathematics Division 4 / 44
5 Kuva y (x,y 2 ) (x 2,y 2 ) (x,y ) Q (x 2,y ) x Jukka Kemppainen Mathematics Division 5 / 44
6 Kuva Kuvassa suorakaiteen Q todennäköisyys saadaan vähentämällä (x 2,y 2 ) nurkkapisteenä olevan äärettömän suorakaiteen (todennäköisyydellä painotetusta) pinta-alasta nurkkapisteinä (x,y 2 ) ja (x 2,y ) olevien alueiden pinta-alat. Koska nurkkapisteenä (x,y ) olevan alueen pinta-ala tulee vähennetyksi kahteen kertaan, täytyy se vielä lisätä kertaalleen. Vertaa kaavaa () vastaavaan yksiulotteiseen tulokseen P(X ]x,x 2 ]) = F X (x 2 ) F X (x ). Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 44
7 Kertymäfunktion ominaisuuksia 0 F XY (x,y) kaikilla (x,y) R 2 ; Jos x x 2 ja y y 2, niin (monotonisuus) (a) F XY (x, y ) F XY (x 2, y ) F XY (x 2, y 2 ), (b) F XY (x, y ) F XY (x, y 2 ) F XY (x 2, y 2 ). lim x y F XY(x,y) = ja lim F XY (x,y) = 0, kun x tai y. lim x F XY (x,y) = F Y (y) ja lim y F XY (x,y) = F X (x). Yksityisten muuttujien jakaumat F X ja F Y ovat nimeltään yhteisjakauman F XY reunajakaumia. Jukka Kemppainen Mathematics Division 7 / 44
8 Pistetodennäköisyydet ja tiheysfunktio Jos X ja Y ovat diskreettejä satunnaismuuttujia, niin yhteisjakauman määrittelevät pistetodennäköisyydet p ij = P(X = x i ja Y = y j ) kaikilla i ja j, joilla (x i,y j ) S X S Y. Jos kertymäfunktio on kaksi kertaa paloittain derivoituva, niin funktiota f XY (x,y) = 2 F(x,y) x y sanotaan yhteisjakauman tiheysfunktioksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 8 / 44
9 Pistetn:n ja tf:n yhteys kertymäfunktioon Kuten -ulotteisessa tapauksessa, jakauman määrää kertymäfunktio, joka diskreetin sm:n tapauksessa voidaan kirjoittaa pistetodennäköisyyksien avulla muodossa F XY (x,y) = p ij. i,j:x i x ja y j y Jatkuvan sm:n tapauksessa kertymäfunktio voidaan lausua tiheysfunktion avulla integraalina F XY (x,y) = x y f XY (u,v)dudv. Jukka Kemppainen Mathematics Division 9 / 44
10 Tiheysfunktion ominaisuuksia Tiheysfunktiolla on seuraavat ominaisuudet f XY (x,y) 0 kaikilla x,y R; f XY(u,v)dudv = ; P(a < X b ja c < Y d) = b a d c f XY(u,v)dudv. Jukka Kemppainen Mathematics Division 0 / 44
11 Reunajakaumat, jatkuva sm. Koska lim y F XY (x,y) = P(X x ja < y < ) ja lim x F XY (x,y) = P( < X < ja Y y), voidaan reunajakaumien kertymäfunktiot kirjoittaa integraaleina F X (x) = F Y (y) = x y f XY (u,v)dudv, f XY (u,v)dudv. Derivoimalla saadaan reunatiheysfunktioiksi f X (x) = d dx F X(x) = f Y (y) = d dy F Y(y) = f XY (x,v)dv, f XY (u,y)du. (2) Jukka Kemppainen Mathematics Division / 44
12 Reunajakaumat, diskreetti sm. Vastaavasti diskreetin sm:n tapauksessa saamme reunajakaumiksi F X (x) = p ij, F Y (y) = i i:x i x j j:y j y ja reunajakaumien pistetodennäköisyyksiksi p ij p i = P(X = x i ) = j q j = P(Y = y j ) = i p ij, p ij. (3) Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 44
13 Esimerkki Tarkastellaan edellä esitettyjä käsitteitä esimerkin avulla. Tarkastellaan kahden nopan heittoa. Jos X on ensimmäisen nopan pisteluku ja Y on toisen nopan pisteluku, niin muuttujien X ja Y yhteisjakauma on helppo muodostaa, sillä kaikki pistelukujen (i,j) kombinaatiot ovat yhtä todennäköisiä: P(X = i jay = j) = x,y {,2,3,4,5,6}. Otetaan vähän monimutkaisempi tapaus, jossa Z = max{x,y}, ja tarkastellaan muuttujien X ja Z yhteisjakaumaa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 44
14 Esimerkki jatkuu... Palautetaan vielä mieliin luentoviikon 2 Esimerkistä 0 Z:n saamat arvot Z:n arvot Y/X josta saatiin Z:n jakaumaksi k P(Z = k) Jukka Kemppainen Mathematics Division 4 / 44
15 Esimerkki jatkuu... Nyt X:n arvo vaikuttaa Z:n saamaan arvoon. Jos esimerkiksi X =, niin Z voi saada kaikki arvot, 2,..., 6, jotka kaikki ovat yhtä todennäköisiä. Mutta jos X = 6, niin myös Z = 6 ja todennäköisyys on P(X = 6jaZ = 6) = 6, sillä Y voi olla mikä tahansa pisteluvuista {,2,3,4,5,6}. Vastaavasti, jos esimerkiksi X = 4, niin Z:lle on 3 vaihtoehtoa Z = 4,5,6, ja esimerkiksi tn:ksi P({X = 4} {Z = 4}) saadaan sillä Y voi olla,2,3 tai 4. P({X = 4} {Z = 4}) = 4, Jukka Kemppainen Mathematics Division 5 / 44
16 Esimerkki jatkuu... Kootaan X:n ja Z:n yhteisjakauma taulukoksi, mihin on merkitty myös reunajakaumien pistetn:t, jotka näyttävät olevan kuten pitääkin. Z\X q j p i Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 44
17 Reunajakauman simulointi Yleisessä tapauksessa reunajakauman määrääminen ei välttämättä ole yksinkertaista, sillä kaavoissa (2) ja (3) integroiminen ja summaaminen voi olla vaikeaa analyyttisesti. Silloin voisimme yrittää simuloida reunajakaumia. Edellisessä Esimerkissä lähdettiin reunajakaumista käsin ja määrättiin niiden avulla yhteisjakauma. Kääntäen voisimme lähteä tarkastelemaan esimerkiksi edellisen Esimerkin yhteisjakaumaa eli edellisen sivun taulukon todennäköisyyksien mukaan määräytyviä lukupareja ja yrittää sitten määrätä reunajakaumat. Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkinä edellisen Esimerkin reunajakauman Z, joka siis antaa pistelukujen maksimin kahden nopan heitossa, simuloimista. Jukka Kemppainen Mathematics Division 7 / 44
18 Esimerkin reunajakauman Z simulointi Heitetään kahta noppaa ensin kerran, sitten kahdesti, kolmesti... ja lopulta n = 000 kertaa ja tarkastellaan pistelukujen maksimin histogrammia. Kun heittojen lukumäärä kasvaa, alkavat lukumäärät mennä kohti teoreettisia arvoja. Teoreettisten ja simuloitujen arvojen välillä voi olla jonkin verran heittoa johtuen äärellisestä heittojen lukumäärästä. Kone suorittaa kaiken kaikkiaan N = heittoa, mihin itsessään menisi oikeita noppia heittäessä kohtuullisesti aikaa puhumattakaan tulosten kirjaamisesta. Tietokoneelta satunnaislukujen arpominen ja tulosten kirjaaminen sujuu sukkelaan. Katso oheinen video jukemppa/noppa_.webm mihin teoreettiset frekvenssit on merkitty punaisilla pisteillä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 8 / 44
19 Riippumattomuus Satunnaismuuttujien riippumattomuus on määritelty luentomonisteen luvussa 3 (Määritelmä 5, s.20) tapahtumien {X x} ja {Y y} riippumattomuutena, eli P({X x} {Y y}) = P(X x)p(y y) x,y R. Näin ollen muuttujien X ja Y riippumattomuus voidaan kirjoittaa nyt muodossa X ja Y ovat riippumattomia F XY (x,y) = F X (x)f Y (y). Riippumattomuudelle käytetään usein merkitää X Y. Jukka Kemppainen Mathematics Division 9 / 44
20 Riippumattomuus tiheysfunktion ja pistetodennäköisyyksien avulla Jos yhteisjakauma on jatkuva ja sillä on tiheysfunktio, niin X Y f XY (x,y) = f X (x)f Y (y) x,y R. (4) Jos taas yhteisjakauma on diskreetti, niin X Y p ij = p i q j, missä p ij = P({X = x i } {Y = y j }), p i = P(X = x i ) ja q j = P(Y = y j ). Edellä esitetyssä esimerkissä muuttujat riippuivat toisistaan, sillä esimerkiksi P(X = 2jaZ = ) = 0 6 = P(X = 2)P(Z = ), kuten jo intuitiivisesti pääteltiin esimerkissä (X vaikuttaa Z:aan). Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 44
21 Esimerkki Esim. 48 Määritellään funktio f : R 2 R asettamalla (i) f(x,y) = c, kun (x,y) A = {(x,y) R 2 0 < x,y <,x + y < }, ja f(x,y) = 0 muulloin. (ii) f(x,y) = ce x y, kun x,y > 0, ja f(x,y) = 0 muulloin. (a) Määrää vakio c R siten, että f on sm-parin (X, Y) tiheysfunktio. (b) Laske reunajakaumat ja niitä vastaavat reunatiheysfunktiot. (c) Laske todennäköisyys P(X < 2 ja Y < 4 ). (d) Ovatko X ja Y riippumattomia? Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 44
22 Muunnoksen Z = h(x, Y) odotusarvo Kuten tullaan näkemään, reunajakaumien tunnusluvut odotusarvo ja varianssi voidaan laskea myös suoraan yhteisjakaumasta sopivien muunnosten odotusarvoina. Välttämättä meillä ei siis tarvitse tietää reunajakaumia, jos meitä kiinnostaa ainoastaan niiden tunnusluvut. Olkoon h : R 2 R riittävän säännöllinen funktio, jolloin Z = h(x,y) on satunnaismuuttuja. Jos X ja Y ovat jatkuvia satunnaismuuttujia, joiden yhteisjakauman tiheysfunktio on f XY, niin muunnoksen Z = h(x, Y) odotusarvo määritellään -ulotteista tapausta vastaavasti kaavalla E(h(X,Y)) = h(x,y)f XY (x,y)dxdy edellyttäen, että integraali suppenee itseisesti. Jukka Kemppainen Mathematics Division 22 / 44
23 Reunajakaumien tunnusluvut Valitsemalla h(x,y) = x tai h(x,y) = y saadaan muuttujien X ja Y odotusarvot E(X) = µ X = E(Y) = µ Y = xf X (x)dx = yf Y (y)dy = xf XY (x,y)dxdy, yf XY (x,y)dxdy. Valitsemalla h(x,y) = (X µ X ) 2 saadaan X:n varianssiksi D 2 (X) = σx 2 = (x µ X ) 2 f X (x)dx = (x µ X ) 2 f XY (x,y)dxdy. Jukka Kemppainen Mathematics Division 23 / 44
24 Reunajakaumien tunnusluvut Valitsemalla h(x,y) = (y µ Y ) 2 saadaan Y :n varianssiksi D 2 (Y) = σy 2 = (y µ Y ) 2 f Y (y)dy = (y µ Y ) 2 f XY (x,y)dxdy. Diskreetti tapaus menee samalla tavalla, kun korvataan integraalit summilla. Yhteisjakauma on keskittynyt xy-tasoon odotusarvopisteen (µ X,µ Y ) ympäristöön. Jos yhteisjakaumasta tehdään satunnaisesti havaintoja (X,Y), niin X:n varianssi mittaa havaintojen vaihtelun laajuutta x-akselin, ja Y :n varianssi y-akselin suunnassa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 24 / 44
25 Satunnaismuuttujien välinen riippuvuus Palautetaan mieliin edelliseltä viikolta satunnaismuuttujien riippuvuuden eri asteet. Jos satunnaismuuttujat ovat riippumattomia, niin X:n ja Y :n reunajakaumat antavat kaiken tiedon satunnaisvektorin (X, Y) jakautumisesta, sillä kertymäfunktio määrää jakauman ja F XY (x,y) = F X (x)f Y (y). Riippumattomuuden toisena ääripäänä satunnaismuuttujien välisestä vuorovaikutuksesta on funktionaalinen riippuvuus, jolloin toisen satunnaismuuttujan arvo täysin määrää myös toisen arvon. Erityisen vahva funktionaalinen riippuvuus on lineaarinen riippuvuus, eli Y on muotoa Y = ax + b todennäköisyydellä yksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 25 / 44
26 Satunnaismuuttujien välinen riippuvuus Yleisessä tapauksessa riippuvuus on jotain edellisten ääripäiden välillä; toisen muuttujan arvon tunteminen vaikuttaa toisen jakautumiseen, mutta ei määrää sen arvoa yksikäsitteisesti. Tällaista riippuvuutta sanotaan stokastiseksi riippuvuudeksi. Esimerkiksi aiemmin käsitellyssä noppaesimerkissä muuttujien X ja Z välillä vallitsi stokastinen riippuvuus. Jukka Kemppainen Mathematics Division 26 / 44
27 Kovarianssi ja korrelaatiokerroin Kuten edellisessä kappaleessa, yritetään tiivistää informaatio muuttujien välisen riippuvuudesta yhteen ainoaan tunnuslukuun. Määr. 27 Olkoot X ja Y satunnaismuuttujia, joilla on varianssit. Muuttujien X ja Y kovarianssi Cov(X,Y) on Cov(X,Y) = E((X E(X))(Y E(Y))). Jos lisäksi X:n ja Y keskihajonnat σ X ja σ Y ovat positiivisia, niin X:n ja Y :n korrelaatiokerroin ρ(x,y) on ρ(x,y) = Cov(X,Y) σ X σ Y Jukka Kemppainen Mathematics Division 27 / 44
28 Kovarianssi ja korrelaatiokerroin Muuttujia X ja Y, joiden kovarianssi on nolla, sanotaan korreloimattomiksi. Käyttämällä odotusarvon ominaisuuksia (Lause 3 viikolta 3), voidaan kovarianssi kirjoittaa muodossa Cov(X,Y) = E(XY) E(X)E(Y). Korrelaatiokerroin voidaan tulkita standardisoitujen muuttujien X = X µ X σ X ja Y = Y µ Y σ Y väliseksi kovarianssiksi, sillä E(X ) = E(Y ) = 0 ja siten Lauseen 3 mukaan Cov(X,Y ) = E(X Y ) = E((X µ X)(Y µ Y )) σ X σ Y = ρ(x,y). Jukka Kemppainen Mathematics Division 28 / 44
29 Ominaisuuksia Edellisellä luentoviikolla esitetyt havainnot voidaan nyt muotoilla yleisiksi tuloksiksi. Jos X ja Y ovat riippumattomia, on Lauseen 3 mukaan E(XY) = E(X)E(Y) ja siten saadaan tulos Lause 23 Jos X ja Y ovat riippumattomia, niin Cov(X, Y) = 0. Huomautus 2 Käänteinen väite ei päde! Lause 24 Korrelaatiokertoimelle on voimassa:. ρ ; 2. ρ =, jos ja vain jos X ja Y ovat lineaarisesti riippuvia. Jukka Kemppainen Mathematics Division 29 / 44
30 Ominaisuuksia Korrelaatiokertoimen käytössä on syytä olla varovainen. Ainoat matemaattisesti oikeutetut johtopäätökset ovat:. Ehdosta ρ(x,y) 0 seuraa, että X ja Y eivät ole riippumattomia; 2. ρ(x, Y) =, jos ja vain jos X ja Y ovat lineaarisesti riippuvia. Korrelaatiokerroin siis mittaa X:n ja Y :n lineaarisen riippuvuuden astetta. Luentomonisteessa on Esimerkki 25, jossa on todettu, että Cov(X,Y) = 0, kun X N(0,) ja Y = X 2. Siis kovarianssi on nolla, vaikka muuttujat ovat funktionaalisesti riippuvia toisistaan. Jukka Kemppainen Mathematics Division 30 / 44
31 Esimerkki Esim. 49 Olkoot X ja Y satunnaismuuttujia, joiden yhteisjakauman tiheysfunktio on (vrt. Esimerkki 48) (i) f XY (x,y) = 2, kun (x,y) A = {(x,y) R 2 0 < x,y <,x + y < }, ja f(x,y) = 0 muulloin. (ii) f XY (x,y) = e x y, kun x,y > 0, ja f(x,y) = 0 muulloin. Laske sm:ien X ja Y kovarianssi ja korrelaatiokerroin. Ovatko X ja Y korreloimattomia? Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 44
32 Kovarianssimatriisi Kuten jo edellisessä kappaleessa nähtiin, ei yksittäisten muuttujien (reunajakaumien) varianssit anna välttämättä riittävää kuvaa arvojen jakaantumisesta. Etenkin, kun muuttujien välillä on korrelaatiota, on sirontakuvio vino, eli pääakseli ei ole koordinaattiakselien suuntainen. Esitetään hajonnalle mittari, joka ottaa huomioon muuttujien välisen kytkennän. Määr. 28 Olkoon X = (X, Y) 2-ulotteinen satunnaisvektori, jolla on olemassa odotusarvo E(X) = (E(X),E(Y)) = (µ X,µ Y ) merk. = µ. Matriisia ( ) σxx σ Σ = XY R 2 2, σ YX σ YY missä σ X X 2 = Cov(X,X 2 ), sanotaan X:n kovarianssimatriisiksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 32 / 44
33 Kovarianssimatriisi Huomautus 3 Välittömästi kovarianssin määritelmästä seuraa, että Σ voidaan kirjoittaa muodossa Σ = E((X µ) T (X µ)), missä odotusarvo otetaan termeittäin ja ( ) X T X =. Y Huomautus 4 Huomaa, että edellä X on 2-ulotteinen rivivektori ja X T on 2-ulotteinen sarakevektori, mikä saattaa poiketa tyypillisestä merkintätavasta. Merkitään sen vuoksi transpoosia symbolilla X, joka vastaa Matlabin notaatiota. Jukka Kemppainen Mathematics Division 33 / 44
34 Esimerkki Esim. 50 Olkoot X ja Y satunnaismuuttujia, joille σ X = 2, σ Y = 3 ja (i) ρ(x,y) = 0, (ii) ρ(x,y) = 3. (a) Määrää satunnaisvektorin (X, Y) kovarianssimatriisi. (b) Mitä voit sanoa muuttujien X ja Y välisestä riippuvuudesta? (c) Laske muuttujan 3X 2Y odotusarvo ja varianssi, kun E(X) = ja E(Y) = 0. Jukka Kemppainen Mathematics Division 34 / 44
35 2-ulotteinen normaalijakauma Määr. 29 Satunnaisvektori X = (X, Y) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa odotusarvolla µ ja kovarianssimatriisilla Σ, merkitään X N(µ,Σ), jos Σ on säännöllinen matriisi ja jos muuttujan X tiheysfunktio on f X (x) := f XY (x,y) = (2π) 2 Σ e 2 (x µ)σ (x µ), missä Σ = Var(X)Var(Y) Cov(X,Y) 2 on kovarianssimatriisin determinantti. Jukka Kemppainen Mathematics Division 35 / 44
36 2-ulotteinen normaalijakauma Huomautus 5 Huomaa, että määritelmä on yhteensopiva yksiulotteisen tapauksen kanssa, kun huomioidaan, että n-ulotteisessa tapauksessa skaalauskertoimen nimittäjä kirjoitetaan muodossa (2π) n Σ. Jukka Kemppainen Mathematics Division / 44
37 Näytteitä 2-ulotteisesta normaalijakaumasta Kuvaan on piirretty normaalijakauman X N(0, Σ) tasa-arvokäyriä ja 200 näytettä ( jakaumasta ) X, kun 0 kovarianssimatriisi on Σ = 0 Jukka Kemppainen Mathematics Division 37 / 44
38 Näytteitä 2-ulotteisesta normaalijakaumasta Kuvaan on piirretty normaalijakauman X N(0, Σ) tasa-arvokäyriä ja 200 näytettä ( jakaumasta ) X, kun 0.5 kovarianssimatriisi on Σ = 0.5 Jukka Kemppainen Mathematics Division 38 / 44
39 Näytteitä 2-ulotteisesta normaalijakaumasta Huomaa, että tasa-arvokäyrät olivat tapauksessa ( ) 0 Σ = 0 ympyröitä ja tapauksessa Σ = ( ) ellipsejä. Huomaa myös, että jälkimmäisessä tapauksessa muuttujien välillä on korrelaatiota, jolloin ellipsin pääakselit eivät ole koordinaattiakselien suuntaiset. Edelleen huomaa, että otantapisteet levittäytyvät odotusarvon µ = (0, 0) ympäristöön pääakselien suuntaisesti. Jukka Kemppainen Mathematics Division 39 / 44
40 Kaksiulotteisen normaalijakauman reunajakaumat Olkoon X = (X, Y) 2-ulotteista normaalijakaumaa N(0, Σ) noudattava satunnaisvektori. Tarkastellaan esimerkin avulla koordinaattimuuttujien X ja Y ominaisuuksia. Esim. 5 Olkoon X = (X,Y) kuten edellä. (a) Laske X:n tiheysfunktio, kun X ja Y ovat korreloimattomia. (b) Mikä on muuttujien X ja Y jakauma? (c) Tutki ovatko X ja Y riippumattomia käyttämällä tulosta (4). Jukka Kemppainen Mathematics Division 40 / 44
41 Kaksiulotteisen normaalijakauman reunajakaumat Koska Lauseen 23 mukaan riippumattomuudesta seuraa aina korreloimattomuus, niin Esimerkin 5 perusteella saamme Lause 25 Jos X = (X, Y) noudattaa 2-ulotteista normaalijakaumaa, niin X Y Cov(X,Y) = 0, missä merkinnällä X Y tarkoitetaan sm:ien X ja Y riippumattomuutta. Huomautus 6 Lauseessa 25 on oleellista, että X noudattaa 2-ulotteista normaalijakaumaa. Kuten Huomautuksessa 2 todettiin, yleisesti korreloimattomuudesta ei seuraa riippumattomuus. Jukka Kemppainen Mathematics Division 4 / 44
42 Kaksiulotteisen normaalijakauman reunajakaumat Esimerkissä 5 perusteltiin myös erityistapauksessa ρ(x,y) = 0 seuraava tulos, joka pätee myös yleisesti. Lause 26 Satunnaismuuttujan X N(µ, Σ) reunajakaumat ovat normaalisia: X N(µ X,σ 2 X ), Y N(µ Y,σ 2 Y ), missä σ 2 X = σ XX ja σ 2 Y = σ YY Määritelmän 28 merkinnöillä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 42 / 44
43 Lopetetaan kurssi seuraavaan psykiatri Hannu Lauerman kirjassaan Usko, toivo ja huijaus esittämään toteamukseen: Kriittinen ajattelu edellyttää hyviä yleistietoja, mutta myös kykyä ymmmärtää numeerisia käsittelytapoja ja niihin pohjautuvaa todennäköisyyslaskentaa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 43 / 44
44 TÄMÄ KURSSI PÄÄTTYY TÄHÄN! KIITOKSIA MIELENKIINNOSTA! Jukka Kemppainen Mathematics Division 44 / 44
Tilastomatematiikka Kevät 2008
Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotMoniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 3. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat
.9. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat MS-A Todennäköisslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Moniulotteiset satunnaismuuttujat sekä niiden jakaumat ja tunnusluvut; Moniulotteisia jakaumia Usein
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Heliövaara 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Heliövaara 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Heliövaara 2 Stunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotOlkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
LisätiedotOdotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61
3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on
Lisätiedot1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
LisätiedotMoniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat Johdatus todennäköisyyslaskentaan todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat
Lisätiedot1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X
LisätiedotJohdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012
Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;
LisätiedotSallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,
Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een
031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 31.03.2012 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Jukka Kemppainen Mathematics
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2 Jukka Kemppainen Mathematics Division Satunnaismuuttuja Useissa luonnon- tai teknistieteellisissä sovellutuksissa satunnaiskokeen lopputulos on numeerinen lukuarvo.
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen
Lisätiedot0 3 y4 dy = 3 y. 15x 2 ydx = 15. f Y (y) = 5y 4 1{0 y 1}.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 18 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsar I 1. Satunnaismuuttujilla X Y on tkuva yhteiskauma yhteistiheysfunktiolla f
LisätiedotKeskihajonta ja korrelaatio
Luku 4 Keskihajonta ja korrelaatio Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 19. syyskuuta 2017 4.1 Jakauman varianssi ja keskihajonta Edellisessä luvussa opittiin, että satunnaismuuttujan odotusarvo on X:n jakauman
Lisätiedot(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,
Lisätiedot10 Moniulotteinen normaalijakauma
10 Moniulotteinen normaalijakauma Tässä luvussa tarkastellaan normaalijakauman moniulotteista yleistystä eli moniulotteista (eli monimuuttujaista) normaalijakaumaa (engl. multivariate normal distribution).
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotTODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa
LisätiedotKäytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:
8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedot30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
LisätiedotOtosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko
ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen
LisätiedotP (X B) = f X (x)dx. xf X (x)dx. g(x)f X (x)dx.
Yhteenveto: Satunnaisvektorit ovat kuvauksia tn-avaruudelta seillaiselle avaruudelle, johon sisältyy satunnaisvektorin kaikki mahdolliset reaalisaatiot. Satunnaisvektorin realisaatio eli otos on jokin
LisätiedotEpäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista
6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida
LisätiedotSatunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja kuvaa kokeen tuloksen reaaliakselille Satunnaismuuttuja on siis funktio X(s) joka saa reaalisia arvoja Koe s
Satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja kuvaa kokeen tuloksen reaaliakselille Satunnaismuuttuja on siis funktio X(s) joka saa reaalisia arvoja Koe s kuuluu todennäköisyysavaruuteen S (s S) Esimerkkejä Kolikonheitossatodennäköisyysavaruus
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
Lisätiedot8.1 Ehdolliset jakaumat
8 Ehdollinen jakauma Tämän kappaleen tärkeitä käsitteitä: Ehdollinen jakauma; ehdollinen ptnf/tf. Kertolaskusääntö eli ketjusääntö yhteisjakauman esittämiseksi. Ehdollinen odotusarvo ja ehdollinen varianssi.
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
LisätiedotLuento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja
1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma
LisätiedotV ar(m n ) = V ar(x i ).
Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia
LisätiedotMatemaattisten tieteiden kandiohjelma / MTL Todennäköisyyslaskenta IIb Kurssikoe (kesto 2h 30 min)
Matemaattisten tieteiden kandiohjelma / MTL Todennäköisyyslaskenta IIb Kurssikoe 8..7 (kesto h 3 min) Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu. Ei
Lisätiedot2. Multinormaalijakauma
Multinormaalijakauma 15 2. Multinormaalijakauma 2.1 Alustavaa johdattelua Monimuuttujamenetelmissä multinormaalijakaumalla on ehkä vielä keskeisempi asema kuin normaalijakaumalla yhden muuttujan tilastollisissa
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
LisätiedotSatunnaismuuttujat ja jakaumat
Luku 2 Satunnaismuuttujat ja jakaumat Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 2. syyskuuta 207 2. Satunnaismuuttujan käsite Käytännön tilanteissa ei yleensä olla kiinnostuneita satunnaisilmiön kaikista yksityiskohdista,
LisätiedotJatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
LisätiedotSatunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt
Luku 3 Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 16. syyskuuta 2017 3.1 Odotusarvon käsite ja suurten lukujen laki Lukuarvoisen satunnaismuuttujan X odotusarvo määritellään
Lisätiedot3.1 Kaksiulotteinen satunnaisvektori ja sen jakauma
3 Yhteisjakauma Kappaleessa 2 tarkastelimme aina yhtä satunnaismuuttujaa kerrallaan. Tässä kappaleessa näemme, miten aikaisemmat käsitteet yleistyvät siihen tilanteeseen, jossa samalla perusjoukolla on
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan
LisätiedotSatunnaismuuttujien summa ja keskiarvo
Luku 5 Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 21. syyskuuta 2017 5.1 Satunnaismuuttujien summa Satunnaismuuttujien summa S n = X 1 + +X n ja keskiarvo n 1 S n ovat satunnaismuuttujia,
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
Lisätiedotk S P[ X µ kσ] 1 k 2.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 28 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
Lisätiedot3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä
LisätiedotYleistä tietoa kokeesta
Yleistä tietoa kokeesta Kurssikoe on ma 18.12. klo 12.00-14.30 (jossakin auditorioista). Huomaa tasatunti! Seuraava erilliskoe on ke 10.1.2018 klo 10-14, johon ilmoittaudutaan Oodissa (ilmoittautumisaika
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotJATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos)
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Jatkuvat jakaumat 1 JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) Määritelmä Ei-negatiivisen satunnaismuuttujan X 0, jonka tiheysfunktio on f(x), Laplace-muunnos
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
Lisätiedot0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 5 (vko 4/003) (Aihe: jatkuvia satunnaismuuttujia ja jakaumia, sekamalli, Laininen luvut 5.1 5.7, 6.1 6.3)
LisätiedotDiskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo, keskihajonta ja varianssi
TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA0 Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo, keskihajonta ja varianssi Kuten tilastojakaumia voitiin esittää tunnuslukujen (keskiarvo, moodi, mediaani, jne.) avulla, niin vastaavasti
LisätiedotPoisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja
4B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Tuntitehtävät 4B1 Eksponentiaalisten odotusaikojen toistuva odottaminen. Satunnaisluvun X sanotaan noudattavan Gamma-jakaumaa parametrein k ja λ,
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Johdatus regressioanalyysiin >> Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet
LisätiedotLause 4.2. Lineearinen pienimmän keskineliövirheen estimaattoi on lineaarinen projektio.
Määritelmä 4.3. Estimaattoria X(Y ) nimitetään lineaariseksi projektioksi, jos X on lineaarinen kuvaus ja E[(X X(Y )) Y] 0 }{{} virhetermi Lause 4.2. Lineearinen pienimmän keskineliövirheen estimaattoi
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Odotusarvojen erotuksen testi, hajonnat σ 1 σ 2 tuntemattomia Oletetaan jälleen, että X ja Y ovat normaalijakautuneita.
LisätiedotJohdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012
Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki
LisätiedotMiten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä palamisaikaa?
21.3.2019/1 MTTTP1, luento 21.3.2019 7 TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN PERUSTEITA Miten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä
Lisätiedot11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita
11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita Tässä luvussa esitellään sellaisia kuuluisia todennäköisyysteorian raja-arvolauseita, joita sovelletaan usein tilastollisessa päättelyssä. Näiden raja-arvolauseiden
LisätiedotSallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu ja MAOL taulukkokirjaa
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II. kurssikoe 18.1.15 Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu ja MAOL taulukkokirjaa
Lisätiedot6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
LisätiedotKopulafunktiot. Joonas Ollila 12. lokakuuta 2011
Kopulafunktiot Joonas Ollila 12. lokakuuta 2011 Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään. Kopula-sanan alkuperä Kopula tarkoittaa
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
Lisätiedot2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet
Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotFoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo
FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
Lisätiedot