Matemaattisten tieteiden kandiohjelma / MTL Todennäköisyyslaskenta IIb Kurssikoe (kesto 2h 30 min)
|
|
- Marja Ida Kinnunen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Matemaattisten tieteiden kandiohjelma / MTL Todennäköisyyslaskenta IIb Kurssikoe 8..7 (kesto h 3 min) Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu. Ei taulukkokirjaa. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on f X,Y (x, y) = c x (4 3y) { < x <, < y < x } a) Laske vakion c arvo. b) Laske ehdollinen tiheys f Y X. c) Laske ehdollinen odotusarvo E( Y e X X = x ), kun < x <.. Olkoon X Exp() ja Y U(, ) satunnaismuuttujia, jotka ovat riippumattomia. Määritellään satunnaismuuttujat U = X Y, V = X + Laske satunnaismuuttujien U ja V yhteistiheysfunktio f U,V. Laske myös satunnaismuuttujan U reunajakauman tiheysfunktio f U. 3. Olkoon X ja Y satunnaismuuttujia, joiden jakauman kuvaa hierarkinen malli { X (Y = y) U(y, 3y) Y Exp() a) Kerro mallin avulla, mikä on ehdollinen varianssi var(x Y ) ja kerro mallin avulla, mikä on ehdollinen odotusarvo E(X Y ). (p) b) Laske EX. (p) c) Laske var X. (p) 4. Olkoon X = (X, X ) ja Y = (Y, Y ) riippumattomia multinormaalijakautuneita satunnaisvektoreita, joille EX = (, ) ja EY = (, ) ja 3 Cov X =, ja Cov Y =. 3 Olkoon Z = (X Y +, 3Y X, X +Y ) = (Z, Z, Z 3 ) ja W = (Z, Z 3 ). Määrää satunnaisvektorin Z jakauma sekä satunnaisvektorin W jakauma.
2 HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 7 Kurssikoe 8..7 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on a) Laske vakion c arvo. f X,Y (x, y) = c x (4 3y) { < x <, < y < x } b) Laske ehdollinen tiheys f Y X. c) Laske ehdollinen odotusarvo E( Y e X X = x ), kun < x <. Ratkaisu: Huomautus! Alla oleva ehdotus on hyvin seikkaperäinen kuvaus jokaisesta askeleesta. En luonnollisestikaan esitä, että tämä olisi mallivastaus vaan ainoastaan vastaus, jossa jokainen kohta on kirjoitettu näkyviin. a) Kohdassa a) vakion c arvo selviää yhtälöstä f X,Y (x, y)dxdy =. Tämä yhtälö seuraa siis siitä, että funktio f X,Y on yhteistiheysfunktio (se on myös positiivinen annetussa joukossa, vaikka y < jos y > ). Fubinin lauseen avulla voimme laskea vasemman puolen tasointegraalin x/ f X,Y (x, y)dxdy = dx dx c x (4 3y) missä käytimme apuna sitä, että indikaattorifunktiosta tiedämme suoraan, että < y < x/, joten on helpompi integroida ensin muuttujan y suhteen ja sitten integroida y yli välin (, ). Nyt sisempi integraali on x/ Siispä x/ c x (4 3y)dy = c x (4 3y)dy = c x = c (x x4 ) f X,Y (x, y)dxdy = c x/ / dx(x x4 ) = c 4y 3 y = c x (x 3 8 x ) / ( x x5 ) = c( 3 3 ) = 5 c( 3) = 4 7c 5 5 Kaiken kaikkiaan olemme päätelleet, että = joten kysytty vakio on c = 5 8. f X,Y (x, y)dxdy = 8c 5 = 8c 5 Toisaalta, jos kurkkaamme b)-kohtaa, niin huomaamme että tämä lasku antaa samalla reunatiheysfunktion f X
3 b) Kohdassa b)-kysyttiin satunnaismuuttujan Y ehdollista tiheysfunktiota ehdolla X = x. Tätä varten laskemme ensin reunatiheysfunktion f X. Tiedämme, että tämä saadaan integroimalla y pois, eli f X (x) = f X,Y (x, y) dy On oleellista, että tämän integroinnin jälkeen mitään viittausta muuttujaan y ei ole (eli jos vastauksessa y oli jäljellä, on varsinaisilta ratkaisupoluilta astuttu jossain vaiheessa harhaan). Integroinnin helpottamiseksi viskotaan kaikki pelkästään muuttujasta x riippuvat termit pihalle, joten aloitetaan: x/ f X (x) = { < x < } c x (4 3y)dy = { < x < }x (x 3 8 x ) c missä käytimme hyväksi, että laskimme tämän integraalin jo a)-kohdassa. Nyt määritelmän mukaan f Y X (y x) = f X,Y (x, y) f X (x) kun f X (x) > ja nolla muuten. Huomaamme, että f X (x) > tarkalleen silloin, kun < x <, joten oletetaan, että < x <. Tällä oletuksella f X,Y (x, y) f X (x) = { < y < x } cx (4 3y) x (x 3 8 x ) = { < y < x } 4 3y x 3 8 x. Siispä { < y < x f Y X (y x) = } 4 3y x 3 kun < x < 8 x muuten c) Kohdassa c) käytämme määritelmää ehdolliselle odotusarvolle. Koska Y on jatkuva, niin E( Y e X X = x ) = ye x f Y X (y x)dy Viskotaan vakiot taas pihalle ja käytetään b)-kohdan tietoa ehdollisesta tiheydestä, joten kun < x < on E( Y e X X = x ) = e x x/ = = e x x 3 8 x y 4 3y e x 3 dy = x 8 x/ / y y 3 x x 3 8 x e x x 3 ( x 8 x ) ( x) = ex x(4 x) 6 3x x/ y(4 3y)dy. Olkoon X Exp() ja Y U(, ) satunnaismuuttujia, jotka ovat riippumattomia. Määritellään satunnaismuuttujat U = X Y, V = X + Laske satunnaismuuttujien U ja V yhteistiheysfunktio f U,V. Laske myös satunnaismuuttujan U reunajakauman tiheysfunktio f U.
4 Ratkaisu: Huomautus! Alla oleva ehdotus on hyvin seikkaperäinen kuvaus jokaisesta askeleesta. En luonnollisestikaan esitä, että tämä olisi mallivastaus vaan ainoastaan vastaus, jossa jokainen (tarvittava) kohta on kirjoitettu näkyviin. Koska on täysin vaihtoehtoisia tapoja lähestyä tehtävää, niin kaikkia mahdollisuuksia ei ehdotus myöskään kata. Edelleen, suosittelen katsomaan kertaustehtävissä ollutta tehtävää, jonka ratkaisussa käytin suoraviivaisempaa muistisääntöä. Tämä suoraviivaisempi tapa on aivan riittävä. Tehtävänannon perusteella voimme suoraan selvittää satunnaisvektorin (X, Y ) jakauman, sillä reunajakaumat ovat f X (x) = { x > }e x, f Y (y) = { < y < } ja X Y, joten yhteistiheysfunktio saadaan kertolaskusäännöllä f X,Y (x, y) = e x { x >, < y < } Luentojen perusteella meillä on (ainakin) kaksi tapaa lähestyä tätä kysymystä. Voimme huomata, että kyseessä on affiini muunnos ja käyttää tietojamme affiineista muunnoksista surutta apuna. Toinen on käyttää muuttujanvaihtokaavaa ja diffeomorfismeja joko eksplisiittisesti tai implisiittisesti. Seuraavassa käytämme eksplisiittistä tapaa, missä kirjoitamme näkyviin muunnokset (U, V ) = g(x, Y ) ja h(u, V ) = (X, Y ). Tehtävänannon mukaan (U, V ) = g(x, Y ), kun g on kahden muuttujan vektoriarvoinen funktio g (x, y) x y g(x, y) = = g (x, y) x + Tästä huomaamme itse asiassa, että kyseessä on affiini kuvaus ja voisimme hyvin kirjoittaa Käänteisfunktion h saa siis ratkaisemalla yhtälöparista u = x y v = x + muuttujat x ja y Ratkaistaan tämä ratkaisemalla yhtälöpari u = x y v = x + y = x u x = (v ) Eli toisin sanoen, käänteisfunktio h on affiini kuvaus, h(u, v) = h (u, v) (v ) = h (u, v) (v u) x = (v ) y = (v u) Voimme siis todeta, että kuvaus g on bijektio tasolta R itselleen, eli g : R R on bijektio. Siten myös käänteiskuvaus h: R R on bijektio. Edelleen luentojen pohjalta voimme sanoa, että se tässä tapauksessa affiinisena kuvauksena diffeomorfismi, mutta voimme tarkistaa sen myös varmistamalla, että g ja h ovat jatkuvasti derivoituvia eli että derivaattamatriisien komponentit ovat jatkuvia.
5 Kuvauksen h derivaattamatriisi on ( u h (u, v) ) v h (u, v) u h (u, v) v h (u, v) = ( ) ja vastaavasti voisimme laskea kuvauksen g derivaattamatriisin, joka on vakiomatriisi. Vakiofunktiot ovat jatkuvia, joten kuvausten g ja h diffeomorfisuus koko tasossa on selvitetty. Luentojen perusteella voimme nyt todeta, että (U, v) on jatkuvasti jakautunut ja sen tiheysfunktio (koko tasossa) on siten f U,V (u, v) = J h (u, v) f X,Y (h (u, v), h (u, v)), missä J h (u, v) on kuvauksen h Jacobin determinantti eli derivaattamatrisiin determinantti u h J h (u, v) = det (u, v) v h (u, v) = det u h (u, v) v h (u, v) = ( ) ( ( )) = Koska f X,Y tunnetaan jo ja tiedämme lausekkeet funktioille h ja h, saamme eksplisiittisen esityksen yhteistiheysfunktiolle f U,V (u, v) = e h (u,v) { h (u, v) >, < h (u, v) < } = 4 e (v ) { (v ) >, < (v u) < } Tästä havaitsemme jo, että satunnaisvektorin (U, V ) kantaja, eli se joukko, missä tiheysfunktio on nollasta eroava on B = { (u, v) R ; v >, < v u < 5 } sillä se saa vakioarvon jossain joukossa B ja jos se ylipäätään on yhteistiheysfunktio, on tämän joukon B pinta-alan silloin oltava äärellinen ja nollasta eriävä. Tämä on seurausta muuttujanvaihtokaavasta. Jotta paremmin näkisimme, millainen joukko B on, niin kirjoitamme siinä esiintyvät 4 epäyhtälöä toisessa muodossa v > v > + u v < 5 + u Nämä kuvaavat puolitasoja, joiden leikkaus on joukko B. Havaitsemme, että kyseessä on ääretön suunnikas.
6 Voimme siten olla varmoja, että satunnaismuuttujan U reunatiheysfunktio on nolla, kun u <. Kun < u <, niin kuvasta näemme, että < v < 5 + u. Siispä f U (u) = = f U,V (u, v)dv = / 4+u 5+u e v dv = ( e (+u) ) 4+u 4 e (v ) dv = e v dv Kun u, niin kuvasta näemme, että + u < v < 5 + u. Siispä f U (u) = = e u f U,V (u, v)dv = / 4 5+u +u e v dv = e u ( e ) 4 4 e (v ) dv = e v u dv Kaiken kaikkiaan, satunnaismuuttujan U reunatiheysfunktio on paloittain määritelty ( e (+u) ), kun < u < f U (u) = e u ( e ), kun u muuten. Seuraavassa kuva esittää satunnaismuuttujan U reunatiheysfunktiota.
7 3. Olkoon X ja Y satunnaismuuttujia, joiden jakauman kuvaa hierarkinen malli X (Y = y) U(y, 3y) Y Exp() a) Kerro mallin avulla, mikä on ehdollinen varianssi var(x Y ) ja kerro mallin avulla, mikä on ehdollinen odotusarvo E(X Y ). (p) b) Laske EX. (p) c) Laske var X. (p) Ratkaisu: Ratkaisuehdotus: Huomautus! Alla oleva ehdotus on hyvin seikkaperäinen kuvaus jokaisesta askeleesta. En luonnollisestikaan esitä, että tämä olisi mallivastaus vaan ainoastaan vastaus, jossa jokainen kohta on kirjoitettu näkyviin. Esimerkiksi kohdassa a) tehtäväannossa sanottiin, että riittää kertoa, mikä on ehdollinen odotusarvo ja myöhemmin c)-kohdassa ehdollinen tiheysfunktio, kun ehdollinen jakauma on annettu suoraan. a) Kohdassa a) riittää lukea suoraan kysytyt tiedot. Tehtävänannon mukaan jokaisella y R joilla f Y (y) >, on X (Y = y) U(y, 3y). Jos kiinnitämme y:n ja merkitsemme Z U(y, 3y), niin satunnaismuuttujalla Z on siten sama jakauma kuin satunnaismuuttujalla X on ehdolla että Y = y. Tiedämme siis luentojen ja toivottavasti luntin tai muun vastaavan nojalla, että var Z = (3y y) = 3 y ja EZ = (3y + y) = y. Tämän perusteella tiedämme, että satunnaismuuttujan X ehdollinen varianssi ehdolla Y = y on v(y) = var(x Y = y) = y 3 ja satunnaismuuttujan X ehdollinen odotusarvo ehdolla Y = y on m(y) = E(X Y = y) = y Luentojen määritelmän mukaan satunnaismuuttujan X ehdollinen varianssi ja odotusarvo ehdolla satunnaismuuttuja Y ovat siten satunnaismuuttujat v(y )
8 ja m(y ) vastaavasti, jotka siis saadaan muunnoksena satunnaismuuttujasta Y. Kysytyt ehdollinen varianssi ja ehdollinen odotusarvo on mallin mukaan siten var(x Y ) = 3 Y ja E(X Y ) = Y Luonnollisesti lyhempikin vastaus riittäisi :) b) Voimme laskea kysytyn odotusarvon iteroidun odotusarvon avulla. Luentojen mukaan EX = EE(X Y ), joten voimme a)-kohdan avulla laskea tämän sillä nyt EX = EE(X Y ) = E(Y ) = EY. Edellisessä sijoitimme vain a)-kohdan ehdollisen odotusarvon iteroidun odotusarvon kaavaan :) Satunnaismuuttujan Y jakauma on annettu, joten sen odotusarvo tiedetään (tai voidaan laskea), ja siten saamme EX :n laskettua. EX = EY = = sillä eksponenttijakautuneen satunnaismuuttujan Y Exp() odotusarvo on. c) Tämän laskemiseen voimmekin käyttää varianssille laskukaavaa ehdollisen varianssin ja ehdollisen odotusarvon avulla eli Kohdan a) nojalla saammekin var X = E var(x Y ) + var E(X Y ) var X = E 3 Y + var(y ) = 3 EY + 4 var Y. Nyt eksponenttijakautuneen satunnaismuuttujan Y Exp() varianssi on ( ) joten sen toinen momentti EY = var Y +(EY ) = + =. Nyt tiedämmekin 4 4 kaikki tarvittavat palikat, joten var X = = 6 + = Olkoon X = (X, X ) ja Y = (Y, Y ) riippumattomia multinormaalijakautuneita satunnaisvektoreita, joille EX = (, ) ja EY = (, ) ja Cov X = 3, ja Cov Y = 3. Olkoon Z = (X Y +, 3Y X, X + Y ) = (Z, Z, Z 3 ) ja W = (Z, Z 3 ). Määrää satunnaisvektorin Z jakauma sekä satunnaisvektorin W jakauma. Ratkaisu: Ratkaisuehdotus: Huomautus! Alla oleva ehdotus on hyvin seikkaperäinen kuvaus jokaisesta askeleesta. En luonnollisestikaan esitä, että tämä olisi mallivastaus vaan ainoastaan vastaus, jossa jokainen kohta on kirjoitettu näkyviin. Huomaamme, että Z saadaan satunnaisvektoreista X ja Y affiinina muunnoksena, sillä
9 kun Z X Y + X Y Z = 3Y X = X + 3Y + Z 3 X + Y X Y X Y = b = AX + BY + b X Y A = B = 3 ja b = Tämä huomio tarkoittaa, että satunnaisvektori Z noudattaa multinormaalijakaumaa, kunhan satunnaisvektori (X, Y) noudattaa multinormaalijakaumaa. Tehtävänannon mukaan sekä X että Y ovat multinormaalijakautuneita. Koska ne ovat myös riippumattomia, niin luentojen mukaan niiden yhteisjakauma on myös multinormaalijakauma. Luentojen mukaan tiedämme myös, että ilman riippumattomuusoletusta tätä emme pystyisi päättelemään (ainakaan annetuilla tiedoilla) :). Kaikenkaikkiaan voimme siis todeta, että Z on affiini muunnos multinormaalijakautuneesta satunnaisvektorista (X, Y), joten se on multinormaalijakautunut. Luentojen mukaan sen jakauman täydelliseksi kuvaamiseksi tarvitaan enää tietää satunnaisvektorin Z odotusarvovektori EZ sekä kovarianssimatriisi Cov Z. Koska EX = (, ) ja EY = (, ), niin AEX + BEY = + 3 = 3 joten EZ = E(AX + BY + b) = 3 + = 3 Kovarianssimatriisin Cov Z laskemiseen käytämme luentojen tietoa että lineaarinen muunnoksen kovarianssimatriisi on Cov(AZ) = A Cov ZA sekä sitä, että riippumattomien satunnaisvektorien summan kovarianssimatriisi on niiden kovarianssimatriisien summa. Koska X Y, niin tiedämme, että AX BY. Edelleen vakiovektori b (AX + BY), joten Cov Z = Cov(AX + BY + b) = Cov(AX) + Cov(BY) + Cov(b) = A Cov XA + B Cov YB Satunnaisvektorien X ja Y kovarianssimatriisit on tehtävänannon mukaan Cov X = 3, Cov Y = 3 Pienenä huomautuksena, satunnaisvektorin Y kovarianssimatriisin determinantti on nolla eli se ei ole säännöllinen matriisi. Siispä satunnaisvektorilla Y ei ole tiheysfunktiota, mutta meitähän se ei haittaa ollenkaan :) Olemme siis määränneet kovarianssimatriisin Cov Z lähes täysin, sillä tiedämme myös matriisit A ja B sekä
10 niiden transpoosit. Siispä jäljellä on muutama matriisikertolasku. Lasketaan ensin A Cov XA : 3 A Cov XA 3 = = = 3. 6 Lasketaan seuraavaksi B Cov YB : B Cov YB 3 = 3 = 4 6 = ( 3 ) Laskemalla saadut 3 3-matriisit yhteen saamme kovarianssimatriisin Cov Z laskettua: Cov Z = A Cov XA + B Cov YB = Olemme näin päätelleet, että Z on multinormaalijakautunut satunnaisvektori, jonka odotusarvovektori on b ja kovarianssimatriisi kuten yllä. Satunnaisvektorin W jakauman voimme nyt suoraan lukea edellisestä sillä luentojen mukaan kaikki reunajakaumat ovat multinormaalijakautuneita, sillä kaikki reunasatunnaisvektorit saadaan lineaarisina muunnoksina alkuperäisestä satunnaisvektorista. Siispä W on multinormaalijakautunut ja sen odotusarvovektori on EW = (, ) ja sen kovarianssimatriisi on Cov W =
Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu ja MAOL taulukkokirjaa
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II. kurssikoe 18.1.15 Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu ja MAOL taulukkokirjaa
LisätiedotSallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,
Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on
Lisätiedot0 3 y4 dy = 3 y. 15x 2 ydx = 15. f Y (y) = 5y 4 1{0 y 1}.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 18 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsar I 1. Satunnaismuuttujilla X Y on tkuva yhteiskauma yhteistiheysfunktiolla f
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
Lisätiedot1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden
Lisätiedot1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
LisätiedotYleistä tietoa kokeesta
Yleistä tietoa kokeesta Kurssikoe on ma 18.12. klo 12.00-14.30 (jossakin auditorioista). Huomaa tasatunti! Seuraava erilliskoe on ke 10.1.2018 klo 10-14, johon ilmoittaudutaan Oodissa (ilmoittautumisaika
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
Lisätiedot7 Kaksiulotteinen jakauma
7 Kaksiulotteinen jakauma Diskreetti kaksiulotteinen jakauma ks. luku 3. Uutta asiaa tässä kappaleessa: jatkuva kaksiulotteinen jakauma satunnaisvektorin muunnoksen odotusarvo odotusarvovektori ja kovarianssimatriisi
Lisätiedot0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
Lisätiedotk S P[ X µ kσ] 1 k 2.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 28 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
LisätiedotOdotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61
3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset
Lisätiedot9 Moniulotteinen jakauma
9 Moniulotteinen jakauma Moniulotteisella satunnaisvektorilla voi olla useampi kuin kaksi komponenttia. Sen jakaumaa kuvaillaan samaan tapaan kuin kaksiulotteisen satunnaisvektorin jakaumaa. Suurin osa
LisätiedotHarjoitus 4 Tehtävä 1
Harjoitus 4 Tehtävä 1 19:39» Hei olen jumissa 1a) tehtävässä. Yritin näyttää että kovarianssi on nolla siten että E(Z m(x))(m(x) h(x)) E(Z m(x))(e(m(x) h(x)) = 0. Laskuista tuli aika raskaita enkä heti
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
Lisätiedot8.1 Ehdolliset jakaumat
8 Ehdollinen jakauma Tämän kappaleen tärkeitä käsitteitä: Ehdollinen jakauma; ehdollinen ptnf/tf. Kertolaskusääntö eli ketjusääntö yhteisjakauman esittämiseksi. Ehdollinen odotusarvo ja ehdollinen varianssi.
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotTilastomatematiikka Kevät 2008
Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Olkoon X satunnaismuuttuja, ja olkoot a R \ {0}, b R ja Y = ax + b. (a) Olkoon X diskreetti ja f sen pistetodennäköisyysfunktio.
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen
Lisätiedot7 Kaksiulotteinen jakauma
7 Kaksiulotteinen jakauma Diskreetti kaksiulotteinen jakauma ks. luku 3. Uutta asiaa tässä kappaleessa: jatkuva kaksiulotteinen jakauma satunnaisvektorin muunnoksen odotusarvo odotusarvovektori ja kovarianssimatriisi
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta, syksy Petri Koistinen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto
Todennäköisyyslaskenta, syksy 2013 Petri Koistinen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto 14. lokakuuta 2013 2 Sisältö 1 Tapahtumat ja niiden todennäköisyydet 1 1.1 Todennäköisyyden
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja
LisätiedotEX1 EX 2 EX =
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var X,
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan
Lisätiedot10 Moniulotteinen normaalijakauma
10 Moniulotteinen normaalijakauma Tässä luvussa tarkastellaan normaalijakauman moniulotteista yleistystä eli moniulotteista (eli monimuuttujaista) normaalijakaumaa (engl. multivariate normal distribution).
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy 08 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät Ratkaisuehdotuksia
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 14..2017 Ratkaisuehdotuksia 1. Olkoon θ positiivinen parametri, ja asetetaan 2θ 1 y exp y 2 /θ), kun y > 0 fy; θ) = 0, muuten
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotKertausluento. Tilastollinen päättely II - 2. kurssikoe
Kertausluento Tilastollinen päättely II - 2. kurssikoe Yleistä tietoa TP II -2. kurssikokeesta 2. kurssikoe maanantaina 6.5.2019 klo 12.00-14.30 jossakin Exactumin auditoriossa Kurssikokeeseen ilmoittaudutaan
Lisätiedot8.1 Ehdolliset jakaumat
8 Ehdollinen jakauma Tämän kappaleen tärkeitä käsitteitä: Ehdollinen jakauma; ehdollinen ptnf/tf. Kertolaskusääntö eli ketjusääntö yhteisjakauman esittämiseksi. Ehdollinen odotusarvo ja ehdollinen varianssi.
LisätiedotP (X B) = f X (x)dx. xf X (x)dx. g(x)f X (x)dx.
Yhteenveto: Satunnaisvektorit ovat kuvauksia tn-avaruudelta seillaiselle avaruudelle, johon sisältyy satunnaisvektorin kaikki mahdolliset reaalisaatiot. Satunnaisvektorin realisaatio eli otos on jokin
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 2A
Tilastollinen päättely II, kevät 07 Harjoitus A Heikki Korpela 3. tammikuuta 07 Tehtävä. (Monisteen tehtävä.3 Olkoot Y,..., Y n Exp(λ. Kirjoita vastaava tilastollisen mallin lauseke (ytf. Muodosta sitten
LisätiedotJohdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012
Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki
LisätiedotPoisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja
4B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Tuntitehtävät 4B1 Eksponentiaalisten odotusaikojen toistuva odottaminen. Satunnaisluvun X sanotaan noudattavan Gamma-jakaumaa parametrein k ja λ,
LisätiedotYleistä tietoa kokeesta
Yleistä tietoa kokeesta Kurssikoe on pe 27.10. klo 12.00-14.30 (jossakin auditorioista). Huomaa tasatunti! Seuraava erilliskoe on ke 1.11 klo 16-20, johon ilmoittaudutaan Oodissa (ilmoittautumisaika erilliskokeeseen
LisätiedotLause 4.2. Lineearinen pienimmän keskineliövirheen estimaattoi on lineaarinen projektio.
Määritelmä 4.3. Estimaattoria X(Y ) nimitetään lineaariseksi projektioksi, jos X on lineaarinen kuvaus ja E[(X X(Y )) Y] 0 }{{} virhetermi Lause 4.2. Lineearinen pienimmän keskineliövirheen estimaattoi
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Stokastiset differentiaaliyhtälöt Ratkaisuehdotelma Harjoitukseen 5
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Stokastiset differentiaaliyhtälöt Ratkaisuehdotelma Harjoitukseen 5 1. Näytä, että X t := Bt 3 3tB t on martingaali Brownin liikkeen B historian suhteen. Ratkaisuehdotus:
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,
LisätiedotMoniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
LisätiedotKertausluento. Tilastollinen päättely II - 1. kurssikoe
Kertausluento Tilastollinen päättely II - 1. kurssikoe Yleistä tietoa TP II -1. kurssikokeesta 1. Kurssikoe on to 7.3 klo 12.00-14.30 (jossakin Exactumin auditorioista, salijako selvinnee tuolloin torstiana).
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikoe
Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen
Lisätiedot1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ
Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
LisätiedotLiittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
LisätiedotTODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa
LisätiedotTilavuus puolestaan voidaan esittää funktiona V : (0, ) (0, ) R,
Vektorianalyysi Harjoitus 9, Ratkaisuehdotuksia Anssi Mirka Tehtävä 1. ([Martio, 3.4:1]) Millä suoralla sylinterillä, jonka tilavuus on V > on pienin vaipan ja pohjan yhteenlaskettu pinta-ala? Ratkaisu
LisätiedotRatkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää
LisätiedotOminaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi
Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat
LisätiedotMoniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat Johdatus todennäköisyyslaskentaan todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat
LisätiedotKeskihajonta ja korrelaatio
Luku 4 Keskihajonta ja korrelaatio Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 19. syyskuuta 2017 4.1 Jakauman varianssi ja keskihajonta Edellisessä luvussa opittiin, että satunnaismuuttujan odotusarvo on X:n jakauman
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Lisätiedot(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
LisätiedotAnalyysi I (sivuaineopiskelijoille)
Analyysi I (sivuaineopiskelijoille) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2017 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 1 of 18 Kahden muuttujan funktioista
Lisätiedot10 Moniulotteinen normaalijakauma
10 Moniulotteinen normaalijakauma Tässä luvussa tarkastellaan normaalijakauman moniulotteista yleistystä eli moniulotteista (eli monimuuttujaista) normaalijakaumaa (engl. multivariate normal distribution).
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotTehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 5 Tasointegraalin laskeminen iemmin tutkimme ylä- ja alasummien antamia arvioita tasointegraalille f (x, ydxdy. Tässä siis funktio f (x, y integroidaan muuttujien x
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10 13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 2 x 2 3 2 3 x 1 4, (b) (x + 1)(x 2)
LisätiedotInjektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )
Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
Lisätiedot12. Differentiaaliyhtälöt
1. Differentiaaliyhtälöt 1.1 Johdanto Differentiaaliyhtälöitä voidaan käyttää monilla alueilla esimerkiksi tarkasteltaessa jonkin kohteen lämpötilan vaihtelua, eksponentiaalista kasvua, sähkölatauksen
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotOletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain
Lisätiedotf(x 1, x 2 ) = x x 1 k 1 k 2 k 1, k 2 x 2 1, 0 1 f(1, 1)h 1 = h = h 2 1, 1 12 f(1, 1)h 1 h 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 7 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset 6.. Olkoon f : G R, G = {(x, x ) R x > }, f(x, x ) = x x. Etsi differentiaalit d k f(, ), k =,,. Ratkaisu:
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai 30.11.015 1. (Opiskelutet. 0 s. 81.) Selvitä, miten lauseke sin(4x 3 + cos x ) muodostuu perusfunktioista (polynomeista, trigonometrisistä funktioista jne).
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilij oille I
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x
LisätiedotH5 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Lisätiedot