Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu ja MAOL taulukkokirjaa

Transkriptio

1 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II. kurssikoe Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu ja MAOL taulukkokirjaa 1. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on f X,Y (x, y) c (3 + x y) 1 < x < 1, < y < x } a) Laske vakion c arvo. (p) b) Laske ehdollinen odotusarvo E( Y X x ), kun < x < 1. (4p) Ratkaisuehdotus: Huomautus! Alla oleva ehdotus on hyvin seikkaperäinen kuvaus jokaisesta askeleesta. En luonnollisestikaan esitä, että tämä olisi mallivastaus vaan ainoastaan vastaus, jossa jokainen kohta on kirjoitettu näkyviin. Kohdassa a) vakion c arvo selviää yhtälöstä f X,Y (x, y)dxdy 1. Tämä yhtälö seuraa siis siitä, että funktio f X,Y on yhteistiheysfunktio. Fubinin lauseen avulla voimme laskea vasemman puolen tasointegraalin f X,Y (x, y)dxdy 1 dx dy c (3 + x y) missä käytimme apuna sitä, että indikaattorifunktiosta tiedämme suoraan, että < y < x, joten on helpompi integroida ensin muuttujan y suhteen ja sitten integroida x yli välin (, 1). Nyt sisempi integraali on c (3 + x y)dy c (3 + x y)dy c(f 1 (x ) F 1 ()) kun F 1 on funktion (3 + x y) (eräs) antiderivaatta muuttujan y suhteen, eli F 1 (y) (3 + x y)dy 3y + 1 x y (+vakio) Sijoittamalla tähän t, havaitsemme F 1 () ja sijoittamalla t x päädymme F 1 (x ) 3x + 1 x (x ) 3x + 1 x x 4 3x + 1 x6.

2 Siispä Olemme siten jo päätelleet, että f X,Y (x, y)dxdy c (3 + x y)dy c(f 1 (x ) F 1 ()) c (3x + 1 x6 ). 1 dx dy c (3 + x y) c 1 (3x + 1 x6 )dx c (F (1) F ()) Vastaavasti voimme laskea antiderivaatan F funktiolle 3x + 1 x6, mikä on F (x) x x7 ja siispä F () ja F (1) Kaiken kaikkiaan olemme päätelleet, että 1 f X,Y (x, y)dxdy c (F (1) F ()) c joten kysytty vakio c Kohdassa b) kysyttiin ehdollista odotusarvoa E( Y X x ) ehdolla satunnaismuuttujan arvo. Luentojen määritelmän mukaan tämä on E( Y X x ) y f Y X (y x)dy Edelleen ehdollinen tiheysfunktio on luentojen määritelmän mukaan silloin kun f X (x) > yhtä kuin f Y X (y x) f X,Y (x, y) 1 f X (x) > } f X (x) joten integraalin laskemiseksi tarvitsemme satunnaismuuttujan X reunajakauman f X. Tämä on luentojen määritelmän nojalla f X (x) f X,Y (x, y)dy c 1 < x < 1 } (3 + x y)dy. Olemme jo kohdassa a) laskeneet tämän määrätyn integraalin ( F 1 (x )), joten havaitsemme, että f X (x) f X,Y (x, y)dy c 1 < x < 1 }(3x + 1 x6 ) Voimme nyt laskea ehdollisen tiheysfunktion f Y X. Kun < x < 1, niin f X (x) >, joten f Y X (y x) c(3 + x y) c(3x + 1 x6 ) 1 < x < 1, < y < x } 3 + x y 3x < y < x } x6 Kun taas x tai x 1, niin f X (x), joten määrittelemme f Y X (y x) Toisaalta, tehtävänannossa pyydettiin käsittelemään vain tapaus < x < 1, joten tällä ei ole juurikaan merkitystä.

3 Kun < x < 1, niin tiedämme siis että ja siten E( Y X x ) f Y X (y x) y(3 + x y) 3x + 1 dy 1 x6 3x + 1 x6 3 + x y 3x + 1 x6 1 < y < x } kun F 3 on funktion (3y + x y ) antiderivaatta muuttujan y suhteen, eli F 3 (y) 3 y x y 3 Tästä näemme, että F 3 () ja F 3 (x ) 3 x x x 6 3 x x8. Siispä olemme laskeneet, että kun < x < 1, niin E( Y X x ) F 3(x ) F 3 () 3x + 1 x6 (3y + x y )dy F 3(x ) F 3 () 3x + 1 x6, 3 x x8 3 3x + 1 x x6 x x + x 6 x x 4. Olkoon X ja Y satunnaismuuttujia, joiden yhteistiheysfunktio on Määritellään satunnaismuuttujat f X,Y (x, y) x 8y 1 < x <, y > 1 4 x } U X, V 1 X 4Y Laske satunnaismuuttujien U ja V yhteistiheysfunktio (4p) ja vastaa lyhyesti perustellen seuraaviin kysymyksiin (vihje: ainakin toinen vastauksista on kyllä): a) Noudattaako (U, V ) tasajakaumaa jossakin tasoalueessa? b) Ovatko U ja V riippumattomia? Ratkaisuehdotus: Huomautus! Alla oleva ehdotus on hyvin seikkaperäinen kuvaus jokaisesta askeleesta. En luonnollisestikaan esitä, että tämä olisi mallivastaus vaan ainoastaan vastaus, jossa jokainen (tarvittava) kohta on kirjoitettu näkyviin. Koska on täysin vaihtoehtoisia tapoja lähestyä tehtävää, niin kaikkia mahdollisuuksia ei ehdotus myöskään kata. Edelleen, suosittelen katsomaan kertaustehtävissä ollutta tehtävää, jonka ratkaisussa käytin suoraviivaisempaa muistisääntöä. Tämä suoraviivaisempi tapa on aivan riittävä. Luentojen perusteella meillä on kaksi erityyppistä tapaa lähestyä muunnoksen yhteistiheysfunktiota: kertymäfunktiotekniikka ja diffeomorfismin käyttö. Sovellamme tässä jälkimmäistä. Diffeomorfismin käytön voi myös jakaa eksplisiittiseen ja implisiittiseen tapaan. Edellisessä kirjoitamme näkyviin muunnokset (U, V ) g(x, Y ) ja h(u, V ) (X, Y ) ja jälkimmäisessä ajattelemme, että (u, v) on tarvittaessa (x, y):n funktio ja (x, y) on tarvittaessa (u, v):n funktio. Käytämme seuraavassa eksplisiittistä tapaa, mutta implisiittinen tapa on suoraviivaisempi ja ehkä helpommin lähestyttävä. 3

4 Tehtävänannon mukaan (U, V ) g(x, Y ), kun g on kahden muuttujan vektoriarvoinen funktio ( ) ( ) ( ) x x g1 (x, y) g(x, y) g y g (x, y) 1 x 4y Näytämme aluksi, että g : A B on diffeomorfismi, kun A on tehtävänannon joukko A < x <, y > 1 4 x }. Voimme suoraan sanoa, että g 1 on jatkuvasti derivoituva koko tasossa R eli g 1 on jatkuvasti derivoituva määrittelyjoukossamme A. Vastaavasti voimme suoraan sanoa, että g on jatkuvasti derivoituva, kunhan y, joten g ja siten myös g (g 1, g ) on jatkuvasti derivoituva koko määrittelyjoukossamme A. Seuraavaksi tarkastamme että g : A B on bijektio. Tätä varten etsimme sen mahdollisen käänteisfunktion h: B A. Löydämme funktion h ratkaisemalla yhtälön ( ( ( ( x u u x g h y) v) v) y) Jos yhtälöllä on yksikäsitteinen ratkaisu, niin g on bijektio A g(a) h 1 (A). Nyt ( ) ( x u x g y v) u x u 1 x 4y v 1 4 x y 1 1 v x u x u 1 4 (u) y 1 1 v yu 1 1 v x u y u (1 v) 1 eli löysimme käänteisfunktion ehdokkaan ( ) ( ) u h1 (u, v) h v h (u, v) ( u u (1 v) 1 ja koska ratkaisu oli yksikäsitteinen on g bijektio A h 1 (A). Määräämme joukon B h 1 (A) selvittämällä, milloin h(u, v) A. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että < u < < u < 1 < u < 1 u (1 v) 1 > 1 4 h 1(u, v) u (1 v) 1 > u (1 v) 1 > 1 Nyt ehdosta (1 v) 1 > 1 seuraa, että 1 v >, sillä muuten (1 v) 1 <. Siispä v < 1. Kun v < 1, niin ehdosta (1 v) 1 > 1 seuraa, että 1 v < 1 eli v >. Olemme siis päätelleet, että h(u, v) A on yhtäpitävää sen kanssa, että u, v (, 1). Siispä joukko B (, 1) (, 1) ja g : A B on siis bijektio. Koska suoraan havaitsemme, että kuvaus h 1 on jatkuvasti derivoituva koko tasossa ja h on jatkuvasti derivoituva, kunhan v 1, joten h on jatkuvasti derivoituva joukossa B. Siispä g : A B on myös diffeomorfismi. Luentojen (esimerkiksi muistisäännön) perusteella voimme nyt todeta, että f U,V (u, v) (u, v) f X,Y (x, y) (x, y) ) 4

5 eli toisin sanoen, f U,V (u, v) f X,Y (x, y) (x, y) (u, v) f X,Y (h 1 (u, v), h (u, v)) J h (u, v) missä J h on käänteisfunktion h jacobiaani, joka voidaan nyt laskea: ( ) ( ) u h det 1 (u, v) v h 1 (u, v) det u (u) v (u) u h (u, v) v h (u, v) u (u (1 v) 1 ) v (u (1 v) 1 ) ( ) det u (u (1 v) 1 ) u (1 v) Siispä olemme jo päätelleet, että u (1 v) u(u (1 v) 1 ) u (1 v) u f U,V (u, v) f X,Y (h 1 (u, v), h (u, v)) (1 v) Enää tarvitsee sijoittaa h 1 ja h satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktion: joten kaiken kaikkiaan, f X,Y (h 1 (u, v), h (u, v)) (h 1(u, v)) 1 h(u, v) A } 8(h (u, v)) (u) 8(u (1 v) 1 ) 1 (u, v) h 1 (A) } 4u 8(u 4 (1 v) 1 (u, v) B } ) (1 v) u 1 (u, v) B } (1 v) u f U,V (u, v) u 1 (u, v) B } 1 (u, v) B } (1 v) Nyt kysymyksiin a) ja b) voidaan vastata. Koska yhteistiheysfunktio f U,V on vakio 1 alueessa B, niin määritelmän mukaan (U, V ) on tasajakautuneita joukossa B (, 1) (, 1). Siispä vastaus kysymykseen a) on kyllä. Myös kysymyksen b) vastaus on kyllä. Tämän huomaa helpoiten siten, että f U,V (u, v) 1 < u, v < 1 } 1 < u < 1 }1 < v < 1 } eli f U,V (u, v) voidaan esittää tulona k 1 (u)k (v), joten luentojen nojalla tiedämme, että f U,V (u, v) f U (u)f V (v). Siispä U ja V ovat riippumattomia. Vaikka U ja V riippuvatkin satunnaismuuttujasta X, niin tämä ei vielä tee U:sta ja V :stä riippuvia toisistaan. 5

6 3. Olkoon X, Y ja W satunnaismuuttujia, joiden jakauman kuvaa hierarkinen malli X Y N(, Y ) Y W + 1, Z Bin(3, 1 ) a) Kerro mallin avulla, mikä on ehdollinen tiheysfunktio f X Y ja kerro mallin avulla, mikä on ehdollinen odotusarvo E(X Y ). (p) b) Laske EX. (p) c) Laske var X. (p) Ratkaisuehdotus: Huomautus! Alla oleva ehdotus on hyvin seikkaperäinen kuvaus jokaisesta askeleesta. En luonnollisestikaan esitä, että tämä olisi mallivastaus vaan ainoastaan vastaus, jossa jokainen kohta on kirjoitettu näkyviin. Esimerkiksi kohdassa a) tehtäväannossa sanottiin, että riittää kertoa, mikä on ehdollinen odotusarvo ja ehdollinen tiheysfunktio, kun ehdollinen jakauma on annettu suoraan. Kohdassa a) riittää lukea suoraan kysytyt tiedot. Tehtävänannon mukaan jokaisella y R on X (Y y) N(, y ), sillä tehtävänanto on sopimuksen mukaan lyhennys tästä. Jos kiinnitämme y:n ja merkitsemme Z N(, y ), niin satunnaismuuttujalla Z on siten sama jakauma kuin X:llä, ehdolla että Y y. Toisin sanoen, f X Y f Z sekä E(X Y y) EZ. Nyt luentojen nojalla tiedämme, että normaalijakautuneen satunnaismuuttujan Z odotusarvo on ja varianssi y sekä tiheysfunktio 1 f X Y (x y) f Z (x) 1 πy e x y kaikilla y, joilla f Y (y) >. Edelleen tiedämme, että E(X Y y) EZ m(y) Koska luentojen mukaan E(X Y ) m(y ), kun m(y) E(X Y y), niin olemme siis päätelleet että E(X Y ) m(y ) Kohdassa b) haluamme laskea satunnaismuuttujan X odotusarvon. Käytämme tässä apuna luentojen iteroidun odotusarvon kaavaa, jonka mukaan EX EE(X Y ) Koska a)-kohdassa luimme mallista, että E(X Y ), niin saamme sijoittamalla EX EE(X Y ) E. Kohdassa c) haluamme laskea satunnaismuuttujan X varianssin. Käytämme tässä apuna luentojen kaavaa varianssille, jonka mukaan se on ehdollisen varianssin odotusarvon ja ehdollisen odotusarvon varianssin summa eli var X E var(x Y ) + var E(X Y ) 6

7 Koska a)-kohdan mukaan E(X Y ), niin var E(X Y ) var. Toistamalla a)- kohdan päätelmät, voimme todeta, että var(x Y y) var Z, kun Z N(, y ). Siispä var(x Y y) y, joten luentojen määritelmän mukaan var(x Y ) Y. Olemme siten johtaneet, että var X E var(x Y ) + var E(X Y ) EY + EY Satunnaismuuttujan Y toisen momentin laskemiseen on monta tapaa. Voimme esimerkiksi käyttää identiteettiä EY var Y + (EY ) var(w + 1) + ( EW + 1 ) var W + (EW + 1) tai mallin antamaa identiteettiä joka johtaa samaan, sillä EY E(W + 1) EW + EW + 1 EW + EW + 1 var W + (EW ) + EW + 1 var W + (EW + 1) Koska W Bin(3, 1 ), niin tiedämme luentojen perusteella, että EW sekä var W 3 1 (1 1 ) 3 4. Siispä var X EY var W + (EW + 1) (1 + 3 ) ( 5 ) Olkoon X (X 1, X ) ja Y (Y 1, Y, Y 3 ) riippumattomia standardinormaalijakautuneita satunnaisvektoreita ja olkoon Z (X 1 Y + 3, 3Y 1 X, X 1 + Y 3 ) (Z 1, Z, Z 3 ). a) Määrää satunnaisvektorin Z jakauma. (4 p) b) Selitä miksi satunnaismuuttujat Z 1 ja exp(z 3) ovat riippumattomia. ( p) Ratkaisuehdotus: Huomautus! Alla oleva ehdotus on hyvin seikkaperäinen kuvaus jokaisesta askeleesta. En luonnollisestikaan esitä, että tämä olisi mallivastaus vaan ainoastaan vastaus, jossa jokainen kohta on kirjoitettu näkyviin. Kohdassa a) haluamme selvittää satunnaisvektorin Z jakauman. Huomaamme, että Z saadaan satunnaisvektoreista X ja Y affiinina muunnoksena, sillä Z 1 X 1 Y + 3 X 1 Y 3 Z 3Y 1 X X + 3Y 1 + Z 3 X 1 + Y 3 X 1 Y 3 1 ( ) 1 Y 1 1 X1 + 3 Y X + b AX + BY + b 1 Y 3 kun A 1 1, B 1 3 ja b 3 1 7

8 Koska X Y, niin satunnaisvektori (X, Y ) noudattaa luentojen mukaan myös multinormaalijakaumaa. Siispä Z AX + BY + b ( A B ) ( ) X + b, Y eli Z on affiini muunnos multinormaalista satunnaisvektorista (X, Y ) eli Z noudattaa multinormaalijakaumaa. Luentojen mukaan jakauman täydelliseksi kuvaamiseksi tämän jälkee riittää siis kertoa odotusarvovektori EZ sekä kovarianssimatriisi Cov Z. Koska EX (, ) ja EY (,, ), niin AEX + BEY (,, ) joten 3 EZ E(AX + BY + b) AEX + BEY + b b Kovarianssimatriisin Cov Z laskemiseen käytämme luentojen tietoa Cov(AZ) A Cov ZA sekä sitä, että riippumattomien satunnaisvektorien summan kovarianssimatriisi on niiden kovarianssimatriisien summa. Koska X Y, niin tiedämme, että AX BY. Edelleen vakiovektori b (AX + BY ), joten Cov Z Cov(AX + BY + b) Cov(AX) + Cov(BY ) + Cov(b) A Cov XA + B Cov Y B + (,, ) AI A + BI 3 Y B AA + BB Satunnaisvektorien X ja Y kovarianssimatriisit tiesimme tehtävänannon mukaan olevan yksikkömatriisi I ja yksikkömatriisi I 3 vastaavasti. Olemme siis määränneet kovarianssimatriisin Cov Z lähes täysin, sillä tiedämme matriisit A ja B sekä niiden transpoosit. Siispä Cov Z AA + BB 1 ( ) Olemme näin päätelleet, että Z on multinormaalijakautunut satunnaisvektori, jonka odotusarvovektori on b ja kovarianssimatriisi kuten yllä. Kohdassa b) voimme nyt suoraan lukea kovarianssimatriisista, että cov(z 1, Z ) eli satunnaismuuttujat Z 1 ja Z ovat korreloimattomia. Koska kohdan a) nojalla (Z 1, Z ) on multinormaalijakautunut, niin luentojen mukaan Z 1 Z. Siispä niiden muunnokset ovat myös riippumattomia, eli erityisesti Z1 ja exp(z 3) ovat riippumattomia. Toinen tapa päätellä tämä on suoraan huomaamalla, että Z 1 f 1 (X 1, Y ) ja Z f (Y 1, X ) ja päättelemällä tehtävänannon perusteella, että (X 1, Y ) (Y 1, X ), voidaan myös päätellä että kysytyt muunnokset Z 1 f 1 (X 1, Y ) ja exp(z 3) exp(f (Y 1, X ) 3) ovat riippumattomia. 8