6.1 Sähkömagneettinen induktio
|
|
- Petri Karjalainen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 6 ähkömagneettinen induktio ja magneettinen energia Edellisissä luvuissa virrat ja kentät oletettiin ajasta riippumattomiksi. Tässä luvussa käsitellään tilanteita, joissa virrat ja kentät riippuvat ajasta, siis esimerkiksi B = B(r, t)jae = E(r, t). 6.1 ähkömagneettinen induktio Tarkastellaan ideaalista jännitelähdettä, jolla ei ole sisäistä vastusta. Tällöin napajännite on aina yhtä suuri kuin lähdejännite, vaikka jännitelähteestä otettaisiinkin virtaa. Jos pisteet A ja B ovat jännitelähteen navat, on sen lähdejännite V = φ(r A ) φ(r B )= B A E dl. (6.1) Jännitelähde joutuu tekemään työtä sähkövirran ylläpitämiseksi napoja yhdistävässä johteessa. Varauksen q siirtyessä navasta A napaan B jännitelähde tekee työn B B Vq= q E dl = F dl, missä F on varaukseen q kohdistuva voima. iis A V = 1 q B A A F dl. (6.) Koska staattinen sähkökenttä on konservatiivinen, sen viivaintegraali pitkin suljettua tietä häviää. Ajallisesti muuttuvassa tilanteessa syntyy indusoitu sähkökenttä, jonka kiertointegraali ei välttämättä häviä. Jos johtavan silmukan lävitse kulkeva magneettivuo muuttuu, havaitaan silmukassa sähkövirta. Tämä tarkoittaa sitä, että yksittäiseen varauksenkuljettajaan kohdistuvan voiman viivaintegraali silmukan ympäri poikkeaa nollasta. Analogisesti yhtälön (6.) kanssa määritellään silmukassa vaikuttava lähdejännite V = 1 F dl = E dl. (6.3) q 103
2 Magneettikentässä liikkuvaan johteeseen syntyvä lähdejännite Tarkastellaan metallisauvaa, joka liikkuu vakionopeudella v kohtisuoraan magneettikenttää B vastaan. Elektroneihin kohdistuvan Lorentz-voiman vaikutuksesta johdeelektroneja siirtyy sauvan toiseen päähän (a), jonne syntyy negatiivinen varaus, samalla kun toiseen päähän (b) jää positiivinen varaus. Tämän varausjakautuman synnyttämä sähkökenttä E kasvaa, kunnes sen aiheuttama voima kumoaa magneettisen voiman. iis ee =+ev B, joten syntyy sauvan suuntainen sähkökenttä E = v B. (6.4) v F = -evxb a auvan päiden välinen potentiaaliero on V ba = a b missä L on sauvan pituus. E dl = vbl, (6.5) b Kuva 6.1 B Esim.: Jos lentokone, jonka siipiväli on 50 m, lentää nopeudella 800 km/h paikassa, jossa maan magneettikentän pystysuora komponentti on 10 5 T, syntyy siivenkärkien välille potentiaaliero V = vbl = 0. V. Edellä esitetyssä tilanteessa syntyy vain potentiaaliero, mutta ei virtaa. Jos liikkuva sauva asetetaan kulkemaan pitkin johtavia toisesta päästään yhdistettyjä raiteita, tilanne muuttuu. Tässä tapauksessa elektronit kulkevat Lorentz-voiman vaikutuksesta b:stä a:han, mutta pääsevät palaamaan takaisin pisteeseen b paikallaan olevaa johdinta pitkin. Varaukseen q kohdistuvan voiman kiertointegraali tämän suljetun tien yli on siis F dl = qvbl, missä L on liikkuvan sauvan pituus. Tässä integraalissa siis F 0 vain liikkuvan sauvan alueella. Piirin siis syntyy lähdejännite 1 F dl = vbl (6.6) q v b I a B Kuva 6. ja se aiheutuu johteen liikkeestä magneettikentässä. Jos piirin resistanssi on R, kulkee siinä virta I = vbl (6.7) R L
3 6.1. ÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO 105 ja piirissä kuluu teho P = I R = (vbl) R. Tämä teho on peräisin sauvan liikuttamiseen tehdystä työstä. Jos sauvaa vedetään voimalla F ja nopeudella v, on teho F v, joten josta F v = (vbl) R, F = v(bl) R. auvan liikuttamiseksi vakionopeudella tarvitaan siis ulkoinen voima F. (Tässä on oletettu, että sauva liikkuu kitkattomasti.) Tarkastellaan seuraavaksi tilannetta, jossa liikkuva suorakulmion muotoinen johdinsilmukka saapuu nopeudella v alueeseen, jossa magneettikenttä B v. Kun sivu cd ei vielä ole magneettikentässä, eivät sen johde-elektronit koe Lorentz-voimaa, joten johdinsilmukkaan syntyy sivun ab liikkeestä aiheutuva lähdejännite vbl ja silmukassa kulkee virta I = vbl/r. Kun silmukka on kokonaisuudessaan magneettikentässä, lähdejännite ja virta ovat nollia, sillä sivuissa ab ja cd Lorenz-voimien vaikutukset kumoavat toisensa. ilmukan poistuessa magneettikentästä magneettinen voima vaikuttaa sivussa cd ja lähdejännite vbl syöttää virtaa päinvastaiseen suuntaan kuin alussa. I v B L b L 0 Kuva 6.3 a I c L d Kun silmukka on vain osittain magneettikentässä, I = vbl/r 0 ja silmukan läpi kulkeva magneettivuo muuttuu nopeudella I vbl/r dφ = BLdx = BLv. L/v L 0 /v (L+L 0 )v t Ilmeisesti BLv on silmukkaan syntynyt lähdejännite V, joten -vbl/r Kuva 6.4
4 106 dφ V = (6.8) On huomattava, että liikkuvan silmukan mukana kulkevan havaitsijan mielestä silmukka on levossa, ja magneettikenttä sekä sen vuo Φ ovat ajasta riippuvia. Koska tässä koordinaatistossa silmukan nopeus v on nolla, on myös qv B = 0, eikä elektronien liike silmukan ympäri voi aiheutua Lorenz-voimasta. Tässä koordinaatistossa täytyy siis olla sähkökenttä, joka aiheuttaa elektronien liikkeen. Tämä sähkökenttä liittyy magneettikentän muutokseen Faradayn laki Johdinsilmukan lävitse kulkeva magneettivuo voi muuttua joko silmukan liikken vuoksi tai magneettikentän aikavaihtelun vuoksi. Tällöin havaitaan aina, että silmukassa kulkee sähkövirta, joten silmukkaan myös syntyy indusoitu lähdejännite. Koska lähdejännite on V = E dl, silmukassa vaikuttaa indusoitu sähkökenttä E. Jos silmukan resistanssi on R, siinä kulkee virta I = V R = 1 E dl. (6.9) R Havaintojen perusteella induktiovirta on verrannollinen silmukan läpi kulkeneen magneettivuon aikaderivaattaan. Tällöin yhtälön (6.9) mukaan myös E dl dφ. (6.10) Induktiovirran ja indusoituneen lähdejännitteen suunnan määrittelee Lenzin laki: Induktiovirran suunta on sellainen, että sen aiheuttama magneettikenttä pyrkii vastustamaan magneettivuon muutosta. B δ I ulkoinen kenttä indusoitunut kenttä Kuva 6.6
5 6.1. ÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO 107 ilmukan läpi kulkeva magneettivuo on Φ= B d, missä on silmukan rajoittama pinta. Valitaan elementin d suunta siten, että vuo on positiivinen. Jos kenttää pienennetään, vuo :n läpi pienenee, ja dφ/ < 0. Tällöin Lenzin lain mukaan silmukkaan indusoituu virta I, ja sen aiheuttama magneetikenttä pyrkii vastustamaan kentän pienenemistä. Indusoidun sähkökentän viivaintegraali on siis positiivinen, jos kiertosuunta on oikeakätinen d:n suuntaan katsottaessa. Jotta indusoidun kentän aiheuttama magneettivuo olisi positiivinen, yhtälö (6.10) on kirjoitettava muotoon E dl dφ. (6.11) I-yksiköissä verrannollisuuskerroin on yksi, joten eli E dl = dφ E dl = d (6.1) B d. (6.13) Tässä on mikä tahansa pinta, jonka rajakäyränä on viivaintegraalin integroimistie. Yhtälö (6.13) on voimassa täysin yleisesti. e on kokeellinen tulos, joka tunnetan nimellä Faradayn laki. Faradayn laki kertoo, millaisen indusoidun sähkökentän magneettikentän muutos aiheuttaa. On huomattava, että laki on voimassa mille tahansa pinnalle ja sen rajakäyrälle; johdinsilmukan läsnäolo ei ole oleellista. Jos muuttuvaan magneettikenttään asetetaan johdinsilmukka, indusoitunut sähkökenttä saattaa johde-elektronit liikkeeseen ja syntyy induktiovirta. Magneettivuo silmukan läpi voi muuttua jos B muuttuu, silmukan koko tai muoto muuttuu tai silmukan asento avaruudessa muuttuu. Viimeksi mainittua tilannetta käytetään hyväksi vaihtojännitegeneraattoreissa vaihtojännitteen synnyttämiseen Esimerkkejä induktiosta ω = ω + ω ω = ω ω Kuva 5. Kuva 5.3
6 108 Esim. A: Tarkastellaan elektronia joka kiertää atomia kulmanopeudella ω 0 r- säteisellä ympyräradalla. Atomi asetetaan magneettikenttään, jonka vuon tiheyttä kasvatetaan nollasta arvoon B, jolloin elektronin radan läpi kulkee vuo Magneettikenttä kasvaessa indusoituu lähdejännite Φ f = Bπr. (6.14) E dl = dφ, joka vaikuttaa elektroniin siten, että sen tuottama magneettikenttä pyrkii vastustamaan ulkoisen magneettikentän kasvua. Kuvan 5. tapauksessa lähdejännite pyrkii siis kiihdyttämään elektronin liikettä ja sen kulmanopeus kasvaa ω 0 :sta arvoon ω f (kuvan 5.3 tapauksessa lähdejännite hidastaa elektronin liikettä). Hetkellä t, kun kulmanopeus on ω, elektroni kiertää ajassa osan /T = f = ω/π koko kierroksesta ja niinpä indusoitu sähkökenttä tekee siihen tänä aikana työn dw = ω π edφ = eω π dφ. Tämä työ kiihdyttää elektronin nopeutta ja lisää sen kineettistä energiaa määrällä ( ) ( ) 1 1 d m ev = d m er ω = m e r ωdω, jos oletetaan, että r pysyy likimäärin vakiona. Tästä saadaan yhtälö eω π dφ=m er ωdω dω dφ = josta integroimalla ja yhtälön (6.14) avulla ω f Φ f e dω = πm e r dφ ω f ω 0 = ω 0 0 eli sama muutos kuin aiemmin kappaleessa e πm e r, eφ f πm e r = eb = ω L, m e Esim. B: Betatronissa (ks. kuva 6.7) kiihdytetään elektroneja relativistisiin nopeuksiin vaihtuvalla magneettikentällä, jonka suuruus on sellainen, että elektronit pysyvät samalla radalla kiihtymisestään huolimatta. Indusoitu sähkökenttä on samansuuruinen kaikkialla elektronin radalla (säde r), joten yhtälöstä (6.1) saadaan E = 1 πr dφ. (6.15) ähkökentän suunta on elektronin nopeudelle vastakkainen ja siis kiihdyttää sitä. Elektronin radan säde sen liikkuessa nopeudella v magneettikentässä B on (ks. kpl 4.7.1) r = m ev eb = p eb, (4.58)
7 6.1. ÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO 109 josta B = p er, (6.16) missä p = m e v on elektronin liikemäärä. Tästä saadaan derivoimalla db = 1 dp er = 1 er ee = E r. Kun tähän sijoitetaan E:n lauseke yhtälöstä (6.15), saadaan edelleen r db = 1 dφ πr = 1 d B, Kuva 6.7 missä B =Φ/(πr ) on magneettivuon tiheyden keskiarvo elektronin radan sisällä. iis B = B/ on ehto, jonka magneettivuon tiheyden on toteutettava kiihdytyksen aikana, jotta eletroni pysyisi samalla radalla. Koska radan säde pyrkii kasvamaan kiihdytyksessä, tulee magneettikentän heiketä keskimääräisen radan ulkopuolella. Jos suurin saavutettava magneettivuon tiehys on B max, niin yhtälöstä (6.16) saadaan suurin mahdollinen liikemäärä p max = erb max. Betatronissa elektronit saavuttavat relativistisia nopeuksia, jolloin energia E r = c p + m ec 4 cp, eli E r,max = cerb max. Jos B max =0, 5 T ja r =0, 5 m, elektronien maksimienergia on noin 40 MeV ( m e c 0, 5 MeV) Faradayn lain differentiaalimuoto oveltamalla tokesin lausetta Faradayn lain (6.13) vasempaan puoleen saadaan E dl = E d = d B d. l Kun magneettivuon tiheys on paikan ja ajan funktio, eli B = B(r,t), kertoo B/ t kussakin pisteessä magneettivuon tiheyden muutosnopeuden. Magneettivuon muutosnopeus on B:n muutosnopeuden integraali :n yli, joten d B d = B t d,
8 110 jolloin B E d = t d. Tämäyhtälö pitää paikkansa kaikilla pinnoilla, joten integrandien täytyy olla yhtä suuret kaikissa pisteissä. On siis voimassa Faradayn lain differentiaalimuoto E = B t. (6.17) Ajasta riippumattomissa tilanteissa B/ t = 0, ja Faradayn laki palautuu muotoon E = 0, joka on voimassa staattisissa sähkökentissä. iksi yhtälössä (6.17) esiintyvä E voidaan tulkita kokonaisähkökentäksi, joka on indusoituneen kentän ja mahdollisen staattisen sähkökentän summa. Koska E 0 ajasta riippuvissa tilanteissa, sähkökenttää ei voida aina ilmaista pelkän skalaaripotentiaalin avulla, kuten staattisessa tilanteessa. en sijaan magneettivuon tiheys voidan aina ilmaista vektoripotentiaalin avulla muodossa B = A, sillä B = 0 on aina voimassa. Kun tätä sovelletaan yhtälöön (6.17), saadaan E = ( ) A t ( A) =, t eli ( E + A ) =0. t Tämän yhtälön eräs ratkaisu on E = A/ t, mutta siihen voidaan lisätä mikä tahansa funktio, jonka roottori = 0. Koska mielivaltaisen funktion φ(r, t) gradientin roottori on nolla, on yleinen ratkaisu muotoa E = A φ. (6.18) t Funktiosta φ käytetään nimitystä skalaaripotentiaali, ja ajasta riippumattomassa tapauksessa se palautuu sähköstaattiseksi potentiaaliksi. 6. Induktanssi 6..1 Itseinduktanssi Faradayn lakia voidaan soveltaa myös tilanteessa, jossa silmukan läpi kulkeva magneettivuo on silmukassa olevan virran aiheuttama. Jos virtaa muutetaan, vuo muuttuu ja silmukkaan indusoituu lähdejännite. Magneettivuon tiheys pitkän solenoidin sisällä on B = µ 0 NI, (4.36) missä N on kierrosten lukumäärä pituusyksikköä kohti ja I on solennoidissa kulkeva virta. Jos solenoidin poikkileikkaus on r-säteinen ympyrä, kulkee yhden kierroksen läpi magneettivuo µ 0 NI πr, ja kaikkien kierrosten läpi kulkeva kokonaisvuo on Φ=µ 0 NIπr Nl,
9 6.. INDUKTANI 111 missä l on solenoidin pituus. Jos virta muuttuu, syntyy Faradayn lain mukaan lähdejännite V = E dl = dφ = µ 0N πr l di, joka on verrannollinen virran muutosnopeuteen. Voidaan siis kirjoittaa missä V = L di, L = µ 0 N πr l (6.19) on solenoidin induktanssi (itseinduktanssi). Induktanssi on siis vain solenoidin ominaisuuksista, ts. geometriasta ja kierrosten lukumäärästä riippuva vakio. Induktanssin yksikkö on [L] = Vs A = H (henry). Induktanssi voidaan määritellä samalla tavalla mille tahansa virtapiirille. Jos piirissä kulkeva virta muuttuu, myös piirin lävitse kulkeva magneettivuo muuttuu, joten syntyy lähdejännite V = dφ = dφ di di = LdI. Induktanssi voidaan siis määritellä yleisesti kaavalla L = dφ di. (6.0) Jos magneettivuo on verrannollinen sähkövirtaan, on L = Φ I. (6.1) Tämä on voimassa silloin kun systeemissä ei ole ferromagneettisia (epälineaarisia) aineita Jos sen sijaan esimerkiski solenoidilla on rautasydän, on käytettävä kaavaa (6.0). 6.. Keskinäisinduktanssi Tarkastellaan kahta päällekkäin kiedottua solenoidia, joiden molempien pituus on l ja säde r. Ensiöpiirissä kulkeva virta I 1 aiheuttaa toisiopiirin jokaisen kierroksen läpi magneettivuon µ 0 N 1 I 1 πr, joten I 1 :n aiheuttama kokonaisvuo toisiopiirin läpi on I 1 toisio l I ensiö Φ = µ 0 N 1 N lπr I 1. Kuva 6.9
10 11 Jos I 1 muuttuu, toisiopiiriin indusoituu lähdejännite V = dφ joka voidaan kirjoittaa muotoon = µ 0 N 1 N lπr di 1, Tässä on käytetty merkintää V = M 1 di 1. (6.) M 1 = µ 0 N 1 N lπr. amoin toisiopiirissä kulkevan virran I muutos aiheuttaa ensiöpiiriin lähdejännitteen missä V 1 = M 1 di, (6.3) M 1 = µ 0 N 1 N lπr. Yhtälöissä (6.) ja (6.3) olevat kertoimet M 1 ja M 1 ovat siis samoja, joten voidaan merkitä M 1 = M 1 = M. Näin määritelty suure M on on kelojen välinen keskinäisinduktanssi. Myös tilanteissa, joissa Φ ei riipu lineaarisesti I 1 :stä (ferromagneettinen sydän), on voimassa V = dφ joten keskinäisinduktanssi on = dφ di 1 di 1 = M di 1, M = dφ di 1 = dφ 1 di. Koska kelojen itseinduktanssit ovat L 1 = µ 0 N1 lπr ja L = µ 0 N lπr, havaitaan, että M = L 1 L. (6.4) Tämä pitää paikkansa silloin, kun kummankin kelan läpi kulkee sama magneettivuo. Jos keloja ei ole käämitetty päällekkäin, kulkee vain osa toisen käämin aiheuttamasta vuosta toisen läpi, ja on voimassa M = k L 1 L, (6.5) missä kytkentäkerroin k on välillä 0 < k < 1. Esim.: Auton sytytyspuola. Pituus l =10cmjasäde r = 3 cm, N 1 = 400/10 cm 1 sekä N = 16000/10 cm 1. Jos primääripuolen virta I 1 = 3 A katkaistaan ajassa 10 4 s, on di 1 / A/s ja (6.):n mukaan V 6000 V.
11 6.3. MAGNEETTINEN ENERGIA Magneettinen energia Induktiokelan magneettinen energia Tarkastellaan kelaa, jonka induktanssi on L ja sisäinen resistanssi R. Hetkellä t = 0 kela kytketään jännitelähteeseen V (asento 1). Piirin lähdejännitteiden summan täytyy olla sama kuin jännitehäviö vastuksessa, eli V 1 L R josta V L di = IR, Ajassa T paristo tekee työn V = L di + IR. W P = T 0 T VI= L 0 I di T + R 0 I = 1 T LI T + R 0 I, missä I T = I(T ). Jälkimmäinen W P :n termeistä on vastuksessa lämmöksi muuttunut energia (lämpöhäviö). Termi LIT / on kelan magneettikenttään varastoitunut magneettinen energia. Tämä voidaan varmistaa osoittamalla, että kääntämällä kytkin asentoon syntyy oikosulkupiirissä virta, joka aiheuttaa R:ssä lämpöhäviön LIT /. Asennossa on voimassa yhtälö L di + RI =0 di I = R L ln I = R L t +lnk I = Ke Rt/L. Alkuehtona on, että hetkellä t = T virta I = I T.Tästä I T = Ke RT/L, eli K = I T e RT/L. aamme siis lopulta I = I T e R(t T )/L, eli virta häviää eksponentiaalisesti. Lämpöhäviö vastuksessa R on tällöin T RI = RI T T ( e R(t T )/L = RIT e RT/L L ) / e Rt/L = 1 R T LI T. iis pariston tekemä työ on varastoitunut kelaan magneettisena energiana, joka voidaan palauttaa kokonaan takaisin lämmöksi. Kela on siis laite, joka varastoi magneettista energiaa induktanssinsa avulla samaan tapaan kuin kondensaattori varastoi sähköstaattista energiaa kapasitanssinsa avulla.
12 Virtapiirisysteemin magneettinen kokonaisenergia Tarkastellaan systeemiä, joka koostuu n:stä ideaalisesta virtapiiristä. Kussakin piirissä on vain ideaalinen jännitelähde ja induktanssi, mutta ei resistanssia eikä kapasitanssia. Kukin virtapiiri aiheuttaa oman magneettikenttänsä, joka aiheuttaa magneettivuon sekä oman virtapiirinsä että muiden virtapiirien lävitse. Hetkellä t on i:nnen piirin virta I i (t) ja sen läpi kulkee magneettivuo Φ i (t). Hetkellä t indusoituu i:nteen piiriin lähdejännite dφ i / ja jännitelähde kuluttaa tehon P i = dq i dφ i = I dφ i i syöttäessään virtaa tämän jännitteen yli. Kaikkien jännitelähteiden ajassa δt tekemä työ on n dφ i δw P = I i δt. (6.6) i=1 Jos piirit pidetään avaruudessa paikoillaan, tämä työ muuttuu systeemin magneettiseksi energiaksi δw P = δu, sillä vastuksettomissa piireissä ei tapahdu lämpöhäviöitä. Tehtävänä onmäärittää magneettinen energia U hetkellä T, kun virrat ja vuot ovat kasvaneet nollista arvoihin I 0i ja Φ 0i. Tämä suoritetaan integroimalla yhtälö (6.6) välillä (0,T). Tulos ei riipu siitä, millä tavalla virrat kasvavat, joten voidaan olettaa lineaarinen riippuvuus I i = I 0i T t. Jos systeemissä ei ole ferromagneettisia materiaaleja väliaineina, ovat vuot verrannollisia virtoihin, ja Φ i = Φ 0i T t. Yhtälöstä (6.6) saadaan nyt integroimalla U = n T i=1 0 I i dφ i = n T i=1 0 I 0i T t Φ0i T = n i=1 I 0i Φ oi T T 0 t, eli U = 1 n I 0i Φ 0i. (6.7) i=1 Vuo Φ 0i voidaan ilmaista itse- ja keskinäisinduktanssien avulla seuraavasti Φ 0i = L i I 0i + M ij I 0j. j i Kun tämä sijoitetaan (6.7):ään, saadaan U = 1 n I 0i (L i I 0i + M ij I 0j )= 1 n L i I0i + 1 i=1 j i i=1 n M ij I 0i I 0j. i=1 j i
13 6.3. MAGNEETTINEN ENERGIA 115 Jos virtapiirejä on vain kaksi kappaletta U = 1 L 1I 1 + M 1 I 1 I + 1 L I, (6.8) sillä M 1 = M 1. Keskinäisinduktanssi M 1 voi olla joko positiivinen tai negatiivinen riippuen siitä, kasvattaako vai pienentääkö kelan 1 virta kelan vuota Magneettikentässä olevan kelan potentiaalienergia ja kelaan vaikuttava voima Koska kentässä B olevan magneettimomentin m potentiaalienergia on m B, on kaavan (4.5) mukaisesti kelan 1 (virta I 1 ) potentiaalienergia kelan aiheuttamassa kentässä B U P = I 1 B d. (6.9) 1 Jos kelojen välinen keskinäisinduktanssi on M 1, on kelan aiheuttama vuo kelan 1läpi B d = M 1 I. (6.30) 1 Jos d on valittu siten, että sen suuntaan katsottuna I 1 :n positiivinen kiertosuunta on oikeakätinen, antaa yhtälö (6.30) automaattisesti M 1 :n etumerkin. Yhdistämällä (6.9) ja (6.30) saadaan U P = I 1 I M 1. (6.31) Annetaan kelan 1 likkua siihen kohdistuvan magneettisen voiman vaikutuksesta, mutta pidetään virtoja vakioina. Magneettinen voima tekee mekaanisen työn, joka on yhtä suuri kuin kelan potentiaalienergian muutos. iis dw = F dr = du P = U P dr. (6.3) Näinollen F = U P. Koska virrat I 1 ja I pidetään vakioina, tekevät jännitelähteet indusoituneita jännitteitä dφ 1 / ja dφ / vastaan ajassa työn ( ) dφ 1 dw P = I 1 + I dφ = I 1 dφ 1 + I dφ. ysteemin magneettisen energian muutos on yhtälön (6.7) mukaan du = 1 (I 1dΦ 1 + I dφ )= 1 dw P. Paristojen tekemä työ dw P energian muutokseen, joten kuluu mekaaniseen työhön ja systeemin magneettisen dw P = dw + du.
14 116 ijoittamalla tämä edelliseen yhtälöön saadaan du = 1 dw P = 1 (dw + du) =1 dw + 1 du, josta yhtälön (6.3) avulla Koska F = U P,on du = dw = du P. F = U. (6.33) Tätä yhtälöä voidaan käyttää magneettikentässä oleviin kappaleisiin kohdistuvien voimien laskemisessa. Vertaamalla yhtälöitä (6.31) ja (6.8) nähdään, että U P = I 1 I M 1 on magneettisen energian lausekkeessa olevan vuorovaikutustermin M 1 I 1 I vastaluku. Koska kelojen liikuttaminen virtojen pysyessä vakioina muuttaa ainoastaan keskinäisinduktanssia, tämä on sopusoinnussa tuloksen du = du P kanssa Magneettinen kokonaisenergia B:n ja H:n avulla lausuttuna Tarkastellaan pitkää solenoidia, jonka magneettinen energia on yhtälön (6.8) mukaan U = 1 LI = 1 µ 0N πr li. (6.34) olenoidin sisällä B = µ 0 NI ja H = B/µ 0 = NI, joten (6.34) voidaan kirjoittaa muotoon U = 1 (µ 0NI) (NI) πr l = 1 BHτ, missä τ on solenoidin tilavuus. olenoidin ulkopuolella oleva heikko kenttä on tässä jätetty huomiotta. Voidaan siis kirjoittaa U = 1 BH dτ, missä tilavuusintegrointi suoritetaan koko avaruuden yli. Koska B ja H ovat samansuuntaisia ei-ferromagneettisissa aineissa, on voimassa U = 1 B H dτ, (6.35) mikä pätee yleisesti lineaarisessa väliaineessa vaikuttavalle kentälle. Näyttää siltä, että magneettinen energia voidaan ilmaista magneettisen energiatiheyden u = 1 B H avulla. Tämä tulos on analoginen sähkökentän energiatiheyden D E/ kanssa.
15 6.3. MAGNEETTINEN ENERGIA 117 Jos suhteellinen permeabiliteetti on kaikkialla 1, on magneettinen energiatiheys u = B µ 0. Esim.: uprajohtavissa magneeteissa on tyypillinen magneettivuon tiheyden arvo B 10 T, jolloin u J/m 3. uurimpia makroskooppisia sähkökenttiä (E 10 7 V/m) vastaava sähköinen energiatiheys on noin 450 J/m 3, eli paljon pienempi. Todistetaan yhtälö (6.35) nyt yleisesti. Tarkastellaan jälleen n:n ideaalisen virtapiirin muodostamaa systeemiä. Piirissä i kulkee virta I i ja sen läpi kulkeva kokonaismagneettivuo on Φ i = B d, i missä B on kaikkien systeemin virtojen aiheuttama magneettivuon tiheys. Koska B = A, on tokesin lauseen nojalla Φ i = A d = A dl, i missä l i on pinnan i rajakäyrä. ysteemin magneettinen kokonaisenergia on yhtälön (6.7) mukaan U = 1 n I i Φ i = 1 n I i A dl. (6.39) i=1 i=1 l i Virrat I i voidaan esittää myös vapaan virtatiheyden j f avulla, joka on nollasta poikkeava johtimissa ja häviää muualla. Koska I i = j f, missä on johtimen poikkipinta, ja j f ja dl ovat samansuuntaisia, voidaan I i dl korvata j f dτ:lla, jolloin U = 1 A j f dτ. (6.40) Koska Ampèren lain mukaan j f = H, on U = 1 A Hdτ. Käyttämällä vektori-identiteettiä (A H) =H ( A) A ( H), l i josta A ( H) =H ( A) (A H), saadaan divergenssilauseen avulla U = 1 H Adτ 1 (A H) dτ = 1 H Adτ 1 A H d,
16 118 missä on äärettömän kaukana oleva pinta, joka sulkee sisäänsä koko avaruuden. Koska kentät pienenevät r:n funktioina vähintään kuten 1/r, pienenee A vähintään kuten 1/r ja A H kuten 1/r 3. Jos on pallo, sen pinta-ala on kääntäen verrannnollinen säteen neliöön, joten pintaintegraali A H d pienenee vähintään kuten 1/r eli äärettömän suuri pallo antaa pintaintegraaliksi nollan. On siis voimassa U = 1 H Adτ = 1 H B dτ, eli tulos (6.35) on voimassa yleisesti, mikäli avaruudessa ei ole ferromagneettisia aineita. Likimääräisesti tätä voidaan käyttää myös ferromagneettisille aineille, jolloin epälineaarista riippuvuutta B = B(H) approksimoidaan suoralla Epälineaariset väliaineet ja hysteresis Myös ferromagneettisia aineita sisältävissä systeemeissä virtapiirin jännitelähde tekee ajassa työn dw P = I dφ. (6.36) Koska B ei ole verrannollinen H:hon, ei myöskään Φ ole verrannollinen I:hin, eikä voida kirjoittaa U = IΦ/, kuten yhtälössä (6.7) tehtiin. en sijaan aina on voimassa Φ= B d, josta dφ = B t d dw P = I B t d. Faradayn lain mukaan E = B/ t, joten tokesin lauseen avulla dw P = I E d = I E dl. Vapaan virtatiheyden j f = H avulla Idl j f dτ, joten Koska josta dw P = E j f dτ = E H dτ. (E H) =H E E H, E H = H E (E H),
17 6.3. MAGNEETTINEN ENERGIA 119 saadaan divergenssilauseen avulla dw P = = H Edτ + H Edτ + (E H) dτ (E H) d. Kun :n annetaan lähestyä äärettömyyttä, pintaintegraali lähestyy nollaa, ja Faradayn lain mukaan dw P = H Edτ = 0 H B t dτ. Kentän B muuttuessa määrällä db on jännitelähteen tekemä työ siis dw P = H B t dτ = H db dτ. (6.37) Jos kenttää kasvatetaan välillä 0 B 0, tekee jännitelähde työn B 0 W P = H db dτ. (6.38) Kun kenttä pienennetään takaisin nollaan, on työ kokonaistyö nolla, mikäli nollaan palataan HB-tasossa pitkin samaa tietä, sillä silloin B 0 0 H db = 0 B 0 H db. Jos sen sijaan palataan pitkin eri tietä, kuten yleensä tapahtuu, kun demagnetoinnissa liikutaan pitkin hysteresiskäyrää, työ ei ole nolla, ja osa energiasta muuttuu väliaineessa lämmöksi. Tätä energiaa nimitetään hysteresishäviöksi. Yhtälöstä (6.38) nähdään, että kierrettäessä hysteresiskäyrän ympäri tapahtuu hysteresishäviö, jonka suuruus aineen tilavuusyksikköä kohti on hysteresiskäyrän pinta-ala. Kun ferromagneettista ainetta käytetään esimerkiksi muuntajan sydämessä, vaihtovirran jokaisen periodin aikana syntyy hysteresishäviö, jonka suuruus on muuntajasydämen tilavuus kertaa hysteresiskäyrän pinta-ala. Tämä energia muuttuu lämmöksi muuntajan sydämessä. Hysteresishäviö on suurimmillaan, jos sydämen annetaan saturoitua. Normaalisti kentät pyritään rajoittamaan siten, ettei saturaatiota synny, vaan kuljetaan pitkin jotain pienempää hysteresiskäyrää. Tällöin hysteresishäviön aiheuttama kuumeneminen on pienempi. Hysteresishäviön lisäksi muuntajasydän kuumenee myös sydämeen indusoituvan sähkökentän vaikutuksesta. Koska sydän on johtava, indusoitu sähkökenttä synnyttää pyörrevirtoja, joiden kuluttama teho muuttuu lämmöksi. Pyörrevirtojen vaikutusta pyritään vähentämään rakentamalla ydin liuskoista, joiden väliin asetettu ohut eriste estää pyörrevirtojen kulkua.
Magneettinen energia
Luku 11 Magneettinen energia 11.1 Kelojen varastoima energia Sähköstatiikan yhteydessä havaittiin, että kondensaattori kykenee varastoimaan sähköstaattista energiaa. astaavalla tavalla kela, jossa kulkee
LisätiedotMagneettinen induktio
Luku 10 Magneettinen induktio 10.1 Faradayn laki Ajasta riippuvassa tilanteessa sähkö- ja magneettikenttä eivät ole toisistaan riippumattomia. Jos muuttuvaan magneettikenttään asetetaan johdinsilmukka,
LisätiedotAiheena tänään. Virtasilmukka magneettikentässä Sähkömagneettinen induktio. Vaihtovirtageneraattorin toimintaperiaate Itseinduktio
Sähkömagnetismi 2 Aiheena tänään Virtasilmukka magneettikentässä Sähkömagneettinen induktio Vaihtovirtageneraattorin toimintaperiaate Itseinduktio Käämiin vaikuttava momentti Magneettikentässä olevaan
Lisätiedot4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO
4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO Magneettivuo Magneettivuo Φ määritellään vastaavalla tavalla kuin sähkövuo Ψ Magneettivuo Φ on magneettivuon tiheyden B ja sen läpäisemän pinta-alan A pistetulo Φ= B A= BAcosθ
LisätiedotLuku Ohmin laki
Luku 9 Sähkövirrat Sähkövirta määriteltiin kappaleessa 7.2 ja huomattiin, että magneettikenttä syntyy sähkövirtojen vaikutuksesta. Tässä kappaleessa tarkastellaan muita sähkövirtaan liittyviä seikkoja
LisätiedotSATE2180 Kenttäteorian perusteet Induktanssi ja magneettipiirit Sähkötekniikka/MV
SATE2180 Kenttäteorian perusteet nduktanssi ja magneettipiirit Sähkötekniikka/MV nduktanssin määrittäminen Virta kulkee johtimessa, jonka poikkipinta on S a J S a d S A H F S b Virta aiheuttaa magneettikentän
LisätiedotElektrodynamiikka 2010 Luennot Elina Keihänen Magneettinen energia
Elektrodynamiikka 2010 Luennot 18.3.2010 Elina Keihänen Magneettinen energia Mainos Kesätyöpaikkoja tarjolla Planck-satelliittiprojektissa. Googlaa Planck kesätyöt Pääasiassa kolme vuotta tai kauemmin
Lisätiedota P en.pdf KOKEET;
Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä ratkaisuineen. Tentaattorina on ollut Hanna Pulkkinen. Huomaa, että tämän kurssin sisältö on hiukan eri kuin Soveltavassa sähkömagnetiikassa, joten
LisätiedotSähkömagneettinen induktio
Luku 7 Sähkömagneettinen induktio Oppimateriaali RMC luku 11 ja CL 8.1; esitiedot KSII luku 5. Toistaiseksi olemme tarkastelleet vain ajasta riippumattomia kenttiä. Ne voi mainiosti kuvitella kenttäviivojen
LisätiedotTehtävä 1. a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt = 1, A = 1, C s protonin varaus on 1, C
Tehtävä a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt =, 5 0 3 =, 5 0 3 C s protonin varaus on, 6 0 9 C Jaetaan koko virta yksittäisille varauksille:, 5 0 3 C s kpl = 9 05, 6 0 9 s b) di = Jd = J2πrdr,
LisätiedotSähkömagneettinen induktio
Sähkömagneettinen induktio Vuonna 1831 Michael Faraday huomasi jotakin, joka muuttaisi maailmaa: sähkömagneettisen induktion. ( Magneto-electricity ) M. Faraday (1791-1867) M.Faraday: Experimental researches
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio
Sähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio Antti Haarto.05.013 Magneettivuo Magneettivuo Φ on magneettivuon tiheyden B ja sen läpäisemän pinta-alavektorin A pistetulo Φ B A BAcosθ missä θ on
LisätiedotCoulombin laki. Sähkökentän E voimakkuus E = F q
Coulombin laki Kahden pistemäisen varatun hiukkasen välinen sähköinen voima F on suoraan verrannollinen varausten Q 1 ja Q 2 tuloon ja kääntäen verrannollinen etäisyyden r neliöön F = k Q 1Q 2 r 2, k =
Lisätiedot4. Gaussin laki. (15.4)
Luku 15 Maxwellin yhtälöt 15.1 iirrosvirta Voidaan osoittaa, että vektorikenttä on yksikäsitteisesti määrätty, jos tunnetaan sen divergenssi, roottori ja reunaehdot. Tämän vuoksi sähkö- ja magneettikenttien
LisätiedotSATE2180 Kenttäteorian perusteet Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Sähkötekniikka/MV
SATE2180 Kenttäteorian perusteet Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Sähkötekniikka/MV Faradayn laki E B t Muuttuva magneettivuon tiheys B aiheuttaa ympärilleen sähkökentän E pyörteen. Sähkökentän
LisätiedotMagneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi
Magneettikentät Haarto & Karhunen Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän Magneettikenttä aiheuttaa voiman liikkuvaan
LisätiedotKuva 8.1 Suoran virrallisen johtimen magneettikenttä (A on tarkastelupiste). /1/
8 SÄHKÖMAGNETISMI 8.1 Yleistä Magneettisuus on eräs luonnon ilmiö, joka on tunnettu jo kauan, ja varmasti jokaisella on omia kokemuksia magneeteista ja magneettisuudesta. Uudempi havainto (1820, Christian
LisätiedotYleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö.
Yleistä sähkömagnetismista IÄLTÖ: ähkömagnetismi käsitekarttana ähkömagnetismin kaavakokoelma ähkö- ja magneettikentistä Maxwellin yhtälöistä ÄHKÖMAGNETIMI KÄITEKARTTANA: Kapasitanssi Kondensaattori Varaus
LisätiedotSMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos
SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän
LisätiedotMagneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän
3. MAGNEETTIKENTTÄ Magneettikenttä Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän Havaittuja magneettisia perusilmiöitä: Riippumatta magneetin muodosta, sillä on aina
LisätiedotMuuntajan toiminnasta löytyy tietoja tämän työohjeen teoriaselostuksen lisäksi esimerkiksi viitteistä [1] - [4].
FYS 102 / K6. MUUNTAJA 1. Johdanto Muuntajassa on kaksi eristetystä sähköjohdosta kierrettyä kelaa yhdistetty rautasydämellä ensiöpiiriksi ja toisiopiiriksi. Muuntajan toiminta perustuu sähkömagneettiseen
LisätiedotSMG-1100: PIIRIANALYYSI I
SMG-00: PIIIANAYYSI I Passiiviset piirikomponentit vastus kondensaattori käämi Kirja: luku. (vastus), luku 6. (käämi), luku 6. (kondensaattori) uentomoniste: luvut 3., 3. ja 3.3 VASTUS ja ESISTANSSI (Ohm,
LisätiedotSähkömagneettinen induktio
Luku 7 Sähkömagneettinen induktio Toistaiseksi on tarkasteltu vain ajasta riippumattomia kenttiä. Ne voi mainiosti kuvitella kenttäviivojen avulla, joten emme ole törmänneet mihinkään, mikä puolustaisi
LisätiedotSMG-1100: PIIRIANALYYSI I
SMG-1100: PIIRIANALYYSI I Keskinäisinduktanssi induktiivisesti kytkeytyneet komponentit muuntajan toimintaperiaate T-sijaiskytkentä kytketyn piirin energia KESKINÄISINDUKTANSSI M Faraday: magneettikentän
LisätiedotMagneettikenttä ja sähkökenttä
Magneettikenttä ja sähkökenttä Gaussin laki sähkökentälle suljettu pinta Ampèren laki suljettu käyrä Coulombin laki Biot-Savartin laki Biot-Savartin laki: Onko virtajohdin entisensä? on aina kuvan tasoon
LisätiedotFaradayn laki ja sähkömagneettinen induktio
Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Haarto & Karhunen Magneettivuo Magneettivuo Φ määritellään magneettivuon tiheyden B ja sen läpäisemän pinta-alavektorin A pistetuloksi Φ B A BAcos Acosθ θ θ
LisätiedotKondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri)
Kondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri) Virta alkaa kulkea, kondensaattori varautua, vastustaa yhä enemmän virran kulkua I Kirchhoffin lait ovat hyvä idea 1. Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu: 2.
LisätiedotSähkövirran määrittelylausekkeesta
VRTAPRLASKUT kysyttyjä suureita ovat mm. virrat, potentiaalit, jännitteet, resistanssit, energian- ja tehonkulutus virtapiirin teho lasketaan Joulen laista: P = R 2 sovelletaan Kirchhoffin sääntöjä tuntemattomien
LisätiedotSMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos
SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 1 Maxwellin & Kirchhoffin laeista Piirimallin
LisätiedotSMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA
SMG-: SÄHKÖTEKNIIKKA Passiiviset piirikomponentit vastus kondensaattori käämi Tarkoitus on yrittää ymmärtää passiivisten piirikomponenttien toiminnan taustalle olevat luonnonilmiöt. isäksi johdetaan näiden
LisätiedotDEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET
DEE-0: SÄHKÖTEKNIIKAN PEUSTEET Passiiviset piirikomponentit vastus kondensaattori käämi Tarkoitus on yrittää ymmärtää passiivisten piirikomponenttien toiminnan taustalle olevat luonnonilmiöt. isäksi johdetaan
Lisätiedot14.1 Tasavirtapiirit ja Kirchhoffin lait R 1. I 1 I 3 liitos + - R 2. silmukka. Kuva 14.1: Liitoksen, haaran ja silmukan määrittely virtapiirissä.
Luku 14 Lineaaripiirit Lineaaripiireillä ymmärretään verkkoja, joiden jokaisessa haarassa jännite on verrannollinen virtaan, ts. Ohmin laki on voimassa. Lineaariset piirit voivat siis sisältää jännitelähteitä,
LisätiedotTarkastellaan yksinkertaista virtasilmukkaa, jossa kulkee virta I ja jonka V + E = IR (8.1)
Luku 8 Magneettinen energia Oppimateriaali RMC Luku 1 ja CL 7.3; esitiedot KSII luvut 4 ja 5. Luvussa 4 todettiin, että staattiseen sähkökenttään liittyy tietty energia. Näin on myös magneettikentän laita,
Lisätiedot1. Tasavirta. Virtapiirin komponenttien piirrosmerkit. Virtapiiriä havainnollistetaan kytkentäkaaviolla
Fy3: Sähkö 1. Tasavirta Virtapiirin komponenttien piirrosmerkit Virtapiiriä havainnollistetaan kytkentäkaaviolla Sähkövirta I Sähkövirran suunta on valittu jännitelähteen plusnavasta miinusnapaan (elektronit
LisätiedotJakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen
Jakso 8. Ampèren laki Esimerkki 8.: Johda pitkän suoran virtajohtimen (virta ) aiheuttaman magneettikentän lauseke johtimen ulkopuolella etäisyydellä r johtimesta. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia C 0
LisätiedotLuku 27. Tavoiteet Määrittää magneettikentän aiheuttama voima o varattuun hiukkaseen o virtajohtimeen o virtasilmukkaan
Luku 27 Magnetismi Mikä aiheuttaa magneettikentän? Magneettivuon tiheys Virtajohtimeen ja varattuun hiukkaseen vaikuttava voima magneettikentässä Magneettinen dipoli Hallin ilmiö Luku 27 Tavoiteet Määrittää
Lisätiedot766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN
766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN Laske nämä tehtävät, jos koet, että sinulla on aukkoja Soveltavan sähkömagnetiikan perusasioiden hallinnassa. Älä välitä tehtävien numeroinnista.
LisätiedotKuva 1: Vaihtovirtapiiri, jossa on sarjaan kytkettynä resistanssi, kapasitanssi ja induktanssi
31 VAIHTOVIRTAPIIRI 311 Lineaarisen vaihtovirtapiirin impedanssi ja vaihe-ero Tarkastellaan kuvan 1 mukaista vaihtovirtapiiriä, jossa on resistanssi R, kapasitanssi C ja induktanssi L sarjassa Jännitelähde
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 6 / versio 14. lokakuuta 2015 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset
LisätiedotRATKAISUT: 22. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi
Physica 9. painos (0) RATKAST. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi RATKAST:. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi. a) Vaihtovirran tehollinen arvo on yhtä suuri kuin sellaisen tasavirran arvo, joka tuottaa vastuksessa
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
LisätiedotDEE-11110 Sähkötekniikan perusteet
DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Passiiviset piirikomponentit Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet vastus käämi kondensaattori puolijohdekomponentit Tarkoitus on esitellä piiriteorian
LisätiedotPotentiaali ja sähkökenttä: pistevaraus. kun asetetaan V( ) = 0
Potentiaali ja sähkökenttä: pistevaraus kun asetetaan V( ) = 0 Potentiaali ja sähkökenttä: tasaisesti varautut levyt Tiedämme edeltä: sähkökenttä E on vakio A B Huomaa yksiköt: Potentiaalin muutos pituusyksikköä
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2017 Tämä luentomateriaali on pääosin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 6 Tavoitteet Sähkömagneettinen induktio Induktiokokeet
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi
Sähköstatiikka ja magnetismi Johdatus magnetismiin Antti Haarto 19.11.2012 Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän
LisätiedotKondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri)
Kondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri) Virta alkaa kulkea, kondensaattori varautua, vastustaa yhä enemmän virran kulkua I Kirchhoffin lait ovat hyvä idea 1. Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu: 2.
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén Luentoviikko 5 / versio 7. lokakuuta 2016 Luentoviikko 5 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset
LisätiedotElektrodynamiikka, kevät 2008
Elektrodynamiikka, kevät 2008 Painovirheiden ja epätäsmällisyyksien korjauksia sekä pieniä lisäyksiä luentomonisteeseen Sivunumerot viittaavat vuoden 2007 luentomonisteeseen. Sivun 18 loppu: Vaikka esimerkissä
LisätiedotMagnetismi Mitä tiedämme magnetismista?
Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? 1. Magneettista monopolia ei ole. 2. Sähkövirta aiheuttaa magneettikentän. 3. Magneettikenttä kohdistaa voiman johtimeen, jossa kulkee sähkövirta. Magnetismi Miten
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 6 Tavoitteet Sähkömagneettinen induktio Induktiokokeet Faradayn laki Lenzin laki Liikkeen tuottama smv Indusoituneet sähkökentät
LisätiedotAktiiviset piirikomponentit. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen
DEE-11000 Piirianalyysi Aktiiviset piirikomponentit 1 Aktiiviset piirikomponentit Sähköenergian lähteitä Jännitelähteet; jännite ei merkittävästi riipu lähteen antamasta virrasta (akut, paristot, valokennot)
LisätiedotNäytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina
Jakso 1. iot-savartin laki, Ampèren laki, vektoripotentiaali Tässä jaksossa lasketaan erimuotoisten virtajohtimien aiheuttamien magneettikenttien suuruutta kahdella eri menetelmällä, iot-savartin lain
LisätiedotPotentiaali ja potentiaalienergia
Luku 2 Potentiaali ja potentiaalienergia 2.1 Sähköstaattinen potentiaali ja sähkökenttä Koska paikallaan olevan pistemäisen varauksen aiheuttamalla Coulombin sähkökentällä on vain radiaalikomponentti,
LisätiedotMagnetismi Mitä tiedämme magnetismista?
Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? 1. Magneettista monopolia ei ole. 2. Sähkövirta aiheuttaa magneettikentän. 3. Magneettikenttä kohdistaa voiman johtimeen, jossa kulkee sähkövirta. Magnetismi Miten
LisätiedotKapasitiivinen ja induktiivinen kytkeytyminen
Kapasitiivinen ja induktiivinen kytkeytyminen EMC - Kaapelointi ja kytkeytyminen Kaapelointi merkittävä EMC-ominaisuuksien kannalta yleensä pituudeltaan suurin elektroniikan osa > toimii helposti antennina
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 7 / versio 28. lokakuuta 2015 Dynaamiset kentät (Ulaby, luku 6) Maxwellin yhtälöt Faradayn induktiolaki ja Lenzin laki Muuntaja Moottori ja
LisätiedotLuku 23. Esitiedot Työ, konservatiivinen voima ja mekaaninen potentiaalienergia Sähkökenttä
Luku 23 Tavoitteet: Määritellä potentiaalienergia potentiaali ja potentiaaliero ja selvittää, miten ne liittyvät toisiinsa Määrittää pistevarauksen potentiaali ja sen avulla mielivaltaisen varausjakauman
Lisätiedot1 Johdanto Mikä tämä kurssi on Hieman taustaa Elektrodynamiikan perusrakenne Kirjallisuutta... 8
Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 6 1.4 Kirjallisuutta...........................
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 13. lokakuuta 2016 Luentoviikko 7 Dynaamiset kentät (Ulaby, luku 6) Maxwellin yhtälöt Faradayn induktiolaki ja Lenzin laki Muuntaja Generaattori
LisätiedotLuku 5. Johteet. 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään E = 0 E = 0 E = 0
Luku 5 Johteet 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään Johteessa osa atomien elektroneista on ns. johde-elektroneja, jotka pääsevät vapaasti liikkumaan sähkökentän vaikutuksesta. Hyvässä johteessa (kuten
LisätiedotTarkastellaan yksinkertaista virtasilmukkaa, jossa kulkee virta I ja jonka vastus on R. Liitetään virtapiiriin jännitelähde V.
Luku 8 Magneettinen energia Luvussa 4 nähtiin, että staattiseen sähkökenttään liittyy tietty energia. Näin on myös magneettikentän laita, sillä Faradayn lain mukaan magneettikentän muuttaminen aiheuttaa
LisätiedotDEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit
DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit jännitelähde virtalähde Kirchhoffin virtalaki Kirchhoffin jännitelaki Käydään läpi Kirchhoffin
LisätiedotRATKAISUT: 21. Induktio
Physica 9 2. painos 1(6) ATKAISUT ATKAISUT: 21.1 a) Kun magneettienttä muuttuu johdinsilmuan sisällä, johdinsilmuaan indusoituu lähdejännite. Tätä ilmiötä utsutaan indutiosi. b) Lenzin lai: Indutioilmiön
LisätiedotSMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit
SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit jännitelähde virtalähde Kirchhoffin virtalaki Kirchhoffin jännitelaki Käydään läpi Kirchhoffin lait,
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotElektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2018
Elektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2018 Seuraavista 30 tehtävästä viisi tulee Elektrodynamiikka I:n loppukokeeseen 6.3.2018. Koska nämä tehtävät ovat kurssin koetehtäviä, vihjeitä niiden ratkaisemiseen
Lisätiedot34.2 Ulkoisen magneettikentän vaikutus ferromagneettiseen aineeseen
34 FERROMAGNETISMI 34.1 Johdanto Jaksollisen järjestelmän transitiometalleilla on täyden valenssielektronikuoren (s-kuori) alapuolella vajaa d-elektronikuori. Tästä seuraa, että transitiometalliatomeilla
Lisätiedoton myös magneettikentän laita, sillä Faradayn lain mukaan magneettikentän muuttaminen aiheuttaa muutosta vastustavan voiman ja siten magneettikentän
Luku 8 Magneettinen energia Luvussa 4 nähtiin, että staattiseen sähkökenttään liittyy tietty energia. Näin on myös magneettikentän laita, sillä Faradayn lain mukaan magneettikentän muuttaminen aiheuttaa
LisätiedotTarkastellaan yksinkertaista virtasilmukkaa, jossa kulkee virta I ja jonka V + E = IR (8.1)
Luku 8 Magneettinen energia Luvussa 4 nähtiin, että staattiseen sähkökenttään liittyy tietty energia. Näin on myös magneettikentän laita, sillä Faradayn lain mukaan magneettikentän muuttaminen aiheuttaa
Lisätiedot33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ
TYÖOHJE 14.7.2010 JMK, TSU 33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ Laitteisto: Kuva 1. Kytkentä solenoidin ja toroidin magneettikenttien mittausta varten. Käytä samaa digitaalista jännitemittaria molempien
LisätiedotSATE1120 Staattinen kenttäteoria kevät / 5 Laskuharjoitus 14: Indusoitunut sähkömotorinen voima ja kertausta magneettikentistä
ATE112 taattinen kenttäteoria kevät 217 1 / 5 Tehtävä 1. Alla esitetyn kuvan mukaisesti y-akselin suuntainen sauvajohdin yhdistää -akselin suuntaiset johteet (y = ja y =,5 m). a) Määritä indusoitunut jännite,
LisätiedotSATE1120 Staattinen kenttäteoria kevät / 6 Laskuharjoitus 13: Rajapintaehdot ja siirrosvirta
ATE11 taattinen kenttäteoria kevät 17 1 / 6 askuharjoitus 13: ajapintaehdot ja siirrosvirta Tehtävä 1. Alue 1 ( r1 = 5) on tason 3 + 6 + 4z = 1 origon puolella. Alueella r =. 1 Olkoon H1 3, e,5 e z (A/m).
LisätiedotFysiikka 7. Sähkömagnetismi
Fysiikka 7 Sähkömagnetismi Magneetti Aineen magneettiset ominaisuudet ovat seurausta atomiydintä kiertävistä elektroneista (ytimen kiertäminen ja spin). Magneettinen vuorovaikutus Etävuorovaikutus Magneetilla
LisätiedotFysiikka 7 muistiinpanot
Fysiikka 7 muistiinpanot 1 Magneettikenttä - Magneetilla navat eli kohtiot S ja N S N - Sovelluksia: kompassi (Maa kuin kestomagneetti) - Kuvataaan kenttäviivoilla kestomagneetit S N N S - tai vektorimerkeillä
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 7 Sähkömagneettinen induktio (YF 29) Induktiokokeet
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotLuento 2. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen
DEE-11000 Piirianalyysi Luento 2 1 Luento 1 - Recap Opintojakson rakenne ja tavoitteet Sähkötekniikan historiaa Sähköiset perussuureet Passiiviset piirikomponentit 2 Luento 2 - sisältö Passiiviset piirikomponentit
LisätiedotTietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan
3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden
LisätiedotDEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET
DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET Kurssin esittely Sähkömagneettiset ilmiöt varaus sähkökenttä magneettikenttä sähkömagneettinen induktio virta potentiaali ja jännite sähkömagneettinen energia teho Määritellään
LisätiedotRATKAISUT: 19. Magneettikenttä
Physica 9 1. painos 1(6) : 19.1 a) Magneettivuo määritellään kaavalla Φ =, jossa on magneettikenttää vastaan kohtisuorassa olevan pinnan pinta-ala ja on magneettikentän magneettivuon tiheys, joka läpäisee
LisätiedotSÄHKÖ KÄSITTEENÄ. Yleisnimitys suurelle joukolle ilmiöitä ja käsitteitä:
FY6 SÄHKÖ Tavoitteet Kurssin tavoitteena on, että opiskelija ymmärtää sähköön liittyviä peruskäsitteitä, tutustuu mittaustekniikkaan osaa tehdä sähköopin perusmittauksia sekä rakentaa ja tutkia yksinkertaisia
LisätiedotSähköstaattinen energia
Luku 4 Sähköstaattinen energia oiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä fysiikassa. Sähkö- ja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen,
LisätiedotDEE-11110 Sähkötekniikan perusteet
DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Peruskäsitteet Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet sähkövaraus teho ja energia potentiaali ja jännite sähkövirta Tarkoitus on määritellä sähkötekniikan
LisätiedotPassiiviset piirikomponentit. 1 DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen
DEE-11000 Piirianalyysi Passiiviset piirikomponentit 1 DEE-11000 Piirianalyysi Risto Mikkonen Passiiviset piirikomponentit - vastus Resistanssi on sähkövastuksen ominaisuus. Vastuksen yli vaikuttava jännite
LisätiedotSähkötekiikka muistiinpanot
Sähkötekiikka muistiinpanot Tuomas Nylund 6.9.2007 1 6.9.2007 1.1 Sähkövirta Symboleja ja vastaavaa: I = sähkövirta (tasavirta) Tasavirta = Virran arvo on vakio koko tarkasteltavan ajan [ I ] = A = Ampeeri
LisätiedotSÄHKÖTEKNIIKKA. NTUTAS13 Tasasähköpiirit Jussi Hurri kevät 2015
SÄHKÖTEKNIIKKA NTTAS13 Tasasähköpiirit Jussi Hurri kevät 2015 1. PERSKÄSITTEITÄ 1.1. VIRTAPIIRI Virtapiiri on johtimista ja komponenteista tehty reitti, jossa sähkövirta kulkee. 2 Virtapiirissä on vähintään
Lisätiedot2 Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki... 9
Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 5 1.4 Pari sanaa laskennasta......................
LisätiedotTfy Fysiikka IIB Mallivastaukset
Tfy-.14 Fysiikka B Mallivastaukset 14.5.8 Tehtävä 1 a) Lenin laki: Muuttuvassa magneettikentässä olevaan virtasilmukkaan inusoitunut sähkömotorinen voima on sellainen, että siihen liittyvän virran aiheuttama
LisätiedotHarjoitustehtäviä kokeeseen: Sähköoppi ja magnetismi
Harjoitustehtäviä kokeeseen: Sähköoppi ja magnetismi 3. Selitä: a. Suljettu virtapiiri Suljettu virtapiiri on sähkövirran reitti, jonka muodostavat johdot, paristot ja komponentit. Suljetussa virtapiirissä
Lisätiedot4 Tasavirrat ja magneettikentät
4 Tasavirrat ja magneettikentät Edellisissä luvuissa käsiteltiin paikallaan olevien sähkövarausten välisiä voimia. Jos varaus on liikkeessä, se voi kokea myös magneettisen voiman. Magneettinen voima johtuu
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotKuva 1. Ohmin lain kytkentäkaavio. DC; 0 6 V.
TYÖ 37. OHMIN LAKI Tehtävä Tutkitaan metallijohtimen päiden välille kytketyn jännitteen ja johtimessa kulkevan sähkövirran välistä riippuvuutta. Todennetaan kokeellisesti Ohmin laki. Välineet Tasajännitelähde
LisätiedotELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA VIRTA- JOHDOISSA
VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Jussi Sievänen, n86640 Tuomas Yli-Rahnasto, n85769 Markku Taikina-aho, n85766 SATE.2010 Dynaaminen Kenttäteoria ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA
LisätiedotTÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA
TÄSSÄ ON ESMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETSMOPN KEVÄÄN 2017 MATERAALSTA a) Määritetään magneettikentän voimakkuus ja suunta q P = +e = 1,6022 10 19 C, v P = (1500 m s ) i, F P = (2,25 10 16 N)j q E = e = 1,6022
LisätiedotSÄHKÖTEKNIIKKA. NBIELS13 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2015
SÄHKÖTEKNIIKKA NBIELS13 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2015 1. PERSKÄSITTEITÄ 1.1. VIRTAPIIRI Virtapiiri on johtimista ja komponenteista tehty reitti, jossa sähkövirta kulkee. 2 Virtapiirissä on vähintään
LisätiedotLuku 6. reunaehtoprobleemat. 6.1 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Reunaehdot. Kun sähkökentän lauseke E = φ sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan
Luku 6 Sähköstatiikan reunaehtoproleemat 6.1 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Kun sähkökentän lauseke E = φ sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan ( φ) = ρ ε 0, (6.1) josta 2 φ = ρ ε 0. (6.2) Tämä tulos on nimeltään
LisätiedotErään piirikomponentin napajännite on nolla, eikä sen läpi kulje virtaa ajanhetkellä 0 jännitteen ja virran arvot ovat. 500t.
DEE- Piirianalyysi Harjoitus / viikko 4 Erään piirikomponentin napajännite on nolla, eikä sen läpi kulje virtaa ajanhetkellä jännitteen ja virran arvot ovat t Kun t, v te t 5t 8 V, i te t 5t 5 A, a) Määritä
LisätiedotSähkötekniikka ja elektroniikka
Sähkötekniikka ja elektroniikka Kimmo Silvonen (X) Passiiviset peruskomponentit Luento Kondensaattori kapasitanssi C; yhtälö i =f(u) perustuu varauksen häviämättömyyden lakiin (virran määritelmä) Kela
LisätiedotKatso Opetus.tv:n video: Kirchhoffin 1. laki http://opetus.tv/fysiikka/fy6/kirchhoffin-lait/
4.1 Kirchhoffin lait Katso Opetus.tv:n video: Kirchhoffin 1. laki http://opetus.tv/fysiikka/fy6/kirchhoffin-lait/ Katso Kimmo Koivunoron video: Kirchhoffin 2. laki http://www.youtube.com/watch?v=2ik5os2enos
Lisätiedot