Magnetoituvat materiaalit

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Magnetoituvat materiaalit"

Transkriptio

1 Luku 8 Magnetoituvat materiaalit 8.1 Magnetoitumavirta Kappaleessa 7.8 esitetyn määritelmän perusteella virtasilmukan magneettimomentti voidaan esittää muodossa m = IS, (8.1) missä I on silmukassa kiertävä virta ja S pinta, jonka rajana virtasilmukka on. Pinnan ja siis myös magneettimomentin suunta määritellään siten, että katsottaessa tähän suuntaan virta kiertää oikeakätisesti (kuva 8.1 a). a) S m b) m I I v r -e Kuva 8.1: Magneettimomentti. Ydintä kiertävää elektronia voidaan klassillisesti mallintaa pienellä virtasilmukalla, joten elektronilla on rataliikkeeseen liittyvä magneettimomentti (kuva 8.1 b). Atomin kokonaismagneettimomentti on kaikkien elektronien rataliikkeestä aiheutuvien magneettimomenttien summa (tarkemmin sanottuna atomin magneettimomenttiin vaikuttavat myös elektronien ja ytimen sisäiset magneettimomentit). Koska atomissa on yleensä useita elektroneja, kaikkien näiden rataliikkeeseen liittyy magneettimomentti. Nämä magneettimomentit voivat tarkalleen kumota toisensa. Silloin atomilla ei ole pysyvää magneettimomenttia ja ainetta sanotaan diamagneettiseksi. Jos elektronien aiheuttamat magneettimomentit eivät kumoa toisiaan, atomilla on pysyvä magneettimomentti ja ainetta sanotaan paramagneettic Tuomo Nygrén,

2 98 LUKU 8. MAGNETOITUVAT MATERIAALIT seksi. Samantapainen tilanne havaittiin aineen dipolimomenteille; toisten aineiden molekyyleillä on pysyvä dipolimomentti, toisten aineiden molekyyleillä ei. Kun atomit on ulkoisessa magneettikentässä, paramagneettisen atomin magneettimomenttiin kohdistuu kappaleessa 7.8 esitetyn perusteella voiman momentti T = m. (8.2) Tämä pyrkii kääntämään magneettimomentin kentän suuntaiseksi. Lämpöliike häiritsee magneettimomentin suuntautumista, mutta tilanne on samanlainen kuin pysyvillä dipolimomenteilla; magneettimomentin keskimääräinen komponentti kentän suunnalla on kentän suuntainen eikä sille vastakkainen. Kun atomi on magneettikentässä, radallaan liikkuviin elektroneihin kohdistuva Lorentz-voima vaikuttaa niiden rataliikkeisiin siten, että atomeille syntyy magneettimomentti, jonka suunta on magneettikentän suunnalle vastakkainen. Tämä efekti toimii sekä para- että diamagneettisissa aineissa, mutta se on heikompi kuin paramagneettinen efekti. Näinollen paramagneettisissa aineissa magneettimomentti on kentän suuntainen, diamagneettisilla aineilla kentän suunnalle vastakkainen. Tässä suhteessa aineen magneettiset ominaisuudet poikkeavat polarisoituvuudesta. Sähkökentän vaikutuksesta syntyvät dipolimomentithan ovat kentän suuntaisia eivätkä sille vastakkaisia. Kuva 8.2 esittää kuution muotoista magnetoitunutta kappaletta, jossa atomien aiheuttamat magneettimomentit on esitetty virtasilmukoina. Näiden aiheuttamat magneettimomentit ovat samansuuntaisia. Jos virtasilmukoita on yhtä tiheässä ja kaikissa kulkee sama virta, vierekkäisten silmukoiden virrat kumoavat toisensa, jolloin kappaleen sisällä ei kulje virtaa. Pinnalla tilanne on toinen. Siellä jokaisen silmukan pinnalla oleva osa kuljettaa virtaa, eikä mikään muu virta kumoa sitä. Näinollen syntyy yllättävä tilanne: magnetoituneen kappaleen pinnalla kulkee sähkövirta, jota nimitetään magnetoitumavirraksi. Tosin magnetoitumavirtaa kuljettavat elektronit eivät vaella kappaleen ympäri vaan ainoastaan oman ytimensä ympäristössä, mutta silti yhteisvaikutus on, että virta kulkee. Tilanne on samanlainen kuin viestijuoksussa, jossa kukin juoksija kulkee vain tietyn matkan, mutta viestikapula vaeltaa kentän ympäri. L I M I M Kuva 8.2: Magnetoitumavirta.

3 8.1. MAGNETOITUMAVIRTA 99 Kun yksi magneettimomentti kuljettaa virran I M pinta-alan δs ympäri, on magneettimomentin suuruus δm = I M δs. (8.3) Yksittäisellä magneettimomentilla on jokin tilavuus. Oletetaan, että se on kuutio, jonka särmän pituus on a. Tällöin δs = a 2, joten J M = I M a = δm a 3. (8.4) Koska I M on se virta, joka kiertää magneettimomentin varaamaa tilavuutta alueella, jonka leveys on a, on J M magnetoitumavirran suuruus pituusyksikköä kohti. Tällaisesta suureesta käytetään nimitystä virtakate (pintavirran tiheys). Sen yksikkö on A/m. Kuvan 8.2 tapauksessa kuutiota kiertävän magnetoitumavirran suuruus saadaan kertomalla magnetoitumavirtakate kuution särmän pituudella, siis I M = J M L. Magnetoitumavektori määritellään samalla tavalla kuin polarisoituma. Jos yksittäisen atomin magneettimomentti on keskimäärin m ja atomien lukumäärätiheys on N, on magnetoituma M = Nm. (8.5) Magnetoituman yksikkö on [M] = [N] [m] = 1 m 3 Am2 = A m. (8.6) Koska yksittäisen magneettimomentin δm tilavuus on a 3, on myös voimassa M = δm/a 3, joten J M = M. Kun magnetoituma on pinnan suuntainen, kuten kuution sivuilla kuvassa 8.2, se on kohtisuorassa magnetoitumavirtaa ja pinnan normaalia vastaan. Tällöin yhtälö (8.4) voidaan esittää vektorimuodossa J M = M n, (8.7) missä n on ulospäin osoittava pinnan normaalivektori. Kuution päissä M ja n ovat yhdensuuntaisia, joten M n = 0. Koska näillä pinnoilla ei myöskään kulje magnetoitumavirtaa, yhtälö (8.7) on voimassa myös kuution päissä. Yhtälö (8.7) on analoginen kaavan σ P = P n kanssa. Magnetoituma ei välttämättä ole homogeeninen, kuten kuvassa 8.2 oletettiin. Elektroneihin vaikuttava Lorentz-voima on verrannollinen magneettivuon tiheyteen, ja sen vuoksi atomien keskimääräinen magneettimomentti riippuu magneettivuon tiheydestä. Näinollen aine magnetoituu epähomogeenisesti epähomogeenisessa kentässä. Aine voi myös magnetoitua eri paikoista eri tavoilla sen vuoksi, että aine itse on epähomogeenista. Epähomogeenisesti magnetoituneessa aineessa magnetoituma voi olla erilaista eri paikoissa pintaa ja sen vuoksi myöskään magnetoitumavirtakate ei välttämättä ole sama kaikkialla pinnalla. Tästä seuraa, että pinnalla kulkevan magnetoitumavirran täytyy kytkeytyä kappaleen sisäosiin. Näinollen myös kappaleen sisäosissa voi kulkea magnetoitumavirtaa.

4 100 LUKU 8. MAGNETOITUVAT MATERIAALIT R!" z R!r z R!z!r Kuva 8.3: Magnetoitumavirtatiheyden synty. Tarkastellaan epähomogeenisesti magnetoituneessa aineessa ohuen sylinterin muotoista tilavuutta, jonka säde on R ja paksuus δz. Jaetaan tämä kuvassa 8.3 esitetyllä tavalla sylinterikoordinaatiston avulla määriteltyihin tilavuuselementteihin δτ = rdrδϕδz. Elementin magneettimomentti on δm = Mδτ. Jokaista magneettimomenttia edustaa virtasilmukka. Kun elementti on R-säteisen ympyrän sisäpuolella, virta kulkee kumpaankin suuntaan ympyrän sisään jäävän tasopinnan S lävitse, joten tällaisen elementin aiheuttama kokonaisvirta pinnan S läpi on nollan suuruinen. Ympyrän reunalla tilanne on toinen. Jaetaan siellä olevan elementin magneettimomentti radiaaliseen, atsimutaaliseen ja z-akselin suuntaiseen komponenttiin. Kutakin näistä voidaan esittää virtasilmukalla. Näistä z-akselin suuntaiseen magneettimomenttiin liittyvä virtasilmukka on pinnan S tasossa, joten sen aiheuttama nettovirta pinnan läpi on nolla. Myös radiaaliseen komponenttiin liittyvä nettovirta on nolla, sillä se kulkee kumpankin suuntaan pinnan S lävitse. Sen sijaan atsimuuttikomponenttiin liittyvä virtasilmukka sulkee sisäänsä R-säteisen ympyrän, ja siksi tämä virta kulkee vain yhteen suuntaan pinnan S lävitse. Ympyrän reunalla olevan tilavuuselementin magneettimomentin atsimuttikomponentti voidaan esittää toisaalta magnetoituman atsimuuttikomponentin M ϕ avulla ja toisaalta elementtiin liityvän magnetoitumavirran δi M ja elementin poikkipinnan avulla. Siis δm ϕ = M ϕ δτ = M ϕ Rδϕδrδz = δi M δrδz. (8.8) Tästä ratkaistuna δi M = M ϕ Rδϕ, (8.9) joten R-säteisen ympyrän C lävitse kulkeva kokonaisvirta on I M = M ϕ Rdϕ. (8.10) C Toisaalta magnetoitumavektorin integraali käyrän C ympäri on M ds = M ϕ Rdϕ = I M. (8.11) C C

5 8.2. MAGNEETTIKENTTÄ MAGNETOITUVASSA AINEESSA 101 Stokesin lauseen avulla tämä saadaan muotoon M ds = I M. (8.12) S Tämä on voimassa kaikille ympyrän säteille R. Kun annetaan R:n lähetä nollaa, voidaan vektoria M pitää vakiona ympyrän alueella. Tällöin yhtälö (8.12) tarkoittaa sitä, että ympyrän läpi kulkeva kokonaismagnetoitumavirta on vektorin M vuo ympyrän sisään jäävän pinnan lävitse. Ilmeisesti siis epähomogeeninen magnetoituma aiheuttaa magnetoitumavirtatiheyden j M = M. (8.13) Tämä vastaa sähkökenttien teoriassa esiintyvää polarisaatiovaraustiheyden kaavaa ρ P = P. 8.2 Magneettikenttä magnetoituvassa aineessa Magnetoitumavirta aiheuttaa magneettivuon tiheyden laskemiseen samanlaisen ongelman kuin polarisaatiovaraus sähkökentän laskemiseen. Magnetoituma ja sen myötä myös magnetoitumavirta riippuu magneettivuon tiheydestä, mutta virta myös vaikuttaa magneettivuon tiheyteen. Jotta magneettivuon tiheys voitaisiin laskea, pitäisi magnetoitumavirta tuntea, mutta se taas edellyttäisi magneettivuon tiheyden tuntemista. Ratkaisu ongelmaan on samantapainen kuin sähkökentän laskemisessa. Ampèren laissa (7.11) esiintyvä virtatiheys sisältää kaikki varausten liikkeistä aiheutuvat virrat. Johtavassa aineessa on vapaasti liikkuvia varauksenkuljettajia, jotka synnyttävät virtoja sähkökentän vaikutuksesta. Näitä virtoja sanotaan vapaiksi virroiksi. Magnetoituneessa aineessa kulkee myös yhtälön (8.13) mukaisia magnetoitumavirtoja. Lisäksi ajasta riippuvassa tilanteessa ajasta riippuvat kentät liikuttavat polarisaatiovarauksia, ja tähän varausten liikkeeseen liittyy virta, jota sanotaan polarisaatiovirraksi. Kokonaisvirtatiheys voidaan siis esittää kolmen termin summana muodossa j = j f + j M + j P, (8.14) missä j f on vapaa virtatiheys ja j P polarisaatiovirtatiheys. Ajasta riipumattomassa tilanteessa polarisaatiovaraukset ovat paikoillaan ja silloin polarisaatiovirtatiheys on nolla. Kun kokonaisvirtatiheys esitetään vapaan virtatiheyden ja magnetoitumavirtatiheyden summana, Ampèren laki voidaan esittää muodossa = µ 0 j f + µ 0 M. (8.15) Jaetaan tämä yhtälö µ 0 :lla ja viedään magnetoitumavirtatermi vasemmalle puolelle. Tällöin ( ) M = j f. (8.16) µ 0

6 102 LUKU 8. MAGNETOITUVAT MATERIAALIT Kun määritellään magneettikentän voimakkuus H kaavalla saadaan Ampèren laki muotoon H = µ 0 M, (8.17) H = j f. (8.18) Tästä nähdään, että magneettikentän voimakkuus ei riipu ollenkaan magnetoitumavirrasta vaan ainoastaan vapaasta virrasta ja sähkövuon tiheydestä, joka puolestaan riippuu vain vapaista varauksista. Määritelmän (8.17) perusteella magneettikentän H yksikkö on [H] = [M] = A m. (8.19) Kun magneettikentän voimakkuus tunnetaan, voidaan magneettivuon tiheys laskea (paitsi ferromagneettisisa aineissa). Tutkimalla atomien elektroniverhojen käyttäytymistä magneettikentässä voidaan nimittäin osoittaa, että para- ja diamagneettisissa aineissa magnetoituma on verrannollinen magneettivuon tiheyteen. Historiallisista syistä tämä esitetään tavallisesti siten, että magnetoituma on verrannollinen magneettikenttään eli M = χ M H, (8.20) missä χ M on magneettinen suskeptiivisuus. Sijoittamalla tämä yhtälöön (8.17) ja ratkaisemalla sadaan missä = (1 + χ M )µ 0 H = µµ 0 H, (8.21) µ = 1 + χ M (8.22) on suhteellinen permeabiilisuus. Joskus määritellään magneettinen suskeptiivisuus χ kaavalla M = χ /µ 0. Tällöin µ = 1/(1 χ ). Magneettivuon tiheys saadaan siis selville ratkaisemalla ensin magneettikentän voimakkuus, joka riippuu vapaista virroista. Kun väliaineen magneettiset omainaisuudet tunnetaan, magneettivuon tiheys saadaan kaavasta (8.21). Menetelmä on samanlainen kuin sähkökentällä; ensin lasketaan sähkövuon tiheys, joka riippuu vain vapaista varauksista, ja sen jälkeen saadaan sähkökenttä, kun aineen polarisoituvuus tunnetaan. 8.3 Magneettikenttä rajapinnoilla Kuten kappaleessa 8.1 havaittiin, väliaine voi olla magnetoituva, mikä tarkoittaa sitä, että magneettikenttä, joka on alunperin vapaiden virtojen aiheuttamaa, synnyttää magnetoitumavirtoja, jotka muuttavat magneettikenttää. Magneettikentän

7 8.3. MAGNEETTIKENTTÄ RAJAPINNOILLA 103 a) b) z!s 1!S " 1 x H 2!l 2 " 2!S 2 µ 2 1 " 2 µ 1!S 2 µ 2 z 2!l1!S 1 " 1 H 1 µ 1 Kuva 8.4: Magneettikentän taittuminen kahden väliaineen välisellä rajapinnalla. muutos on erilainen eri aineissa, ja sen vuoksi kenttä käyttäytyy kahden aineen välisellä rajapinnalla samantapaisesti kuin sähkökenttä kahden eristeen välisellä rajapinnalla. Kuvassa 8.4 a on asetettu z akseli siten, että se leikkaa aineiden välisen rajapinnan kohtisuoraan tarkastelupisteessä. Valitaan suoran sylinterin muotoinen pinta siten, että sylinterin pohjat ovat kohtisuorassa z-akselia vastaan ja sylinteri leikkaa pinnan δs aineiden välisestä rajapinnasta. Tällöin sylinterin pohjat ovat δs 1 = δsu z ja δs 2 = δsu z. Koska magneettivuon tiheys on lähteetön, on magneettivuo sylinterin pinnan lävitse nolla. Jos annetaan δs 1 :n ja δs 2 :n lähestyä kummaltakin puolelta aineiden välistä rajapintaa, lähenee sylinterin vaipan pinta-ala nollaa, ja :n vuo koostuu pelkästään sylinterin pohjien läpi kulkevista voista. Siis josta 1 δs δs 2 = 1z δs + 2z δs = 0, (8.23) 1z = 2z. (8.24) Näinollen magneettivuon tiheyden normaalikomponentti on jatkuva kahden aineen välisellä rajapinnalla. Toinen magneettikentän käyttäytymistä koskeva ehto saadaan Ampèren laista. Ampèren lain integraalimuodon perusteella magneettikentän integraali pitkin suljettua tietä on nolla, mikäli tien lävitse ei kulje vapaata virtaa. Kuvassa 8.4 b on valittu integroimistieksi suorakaide, jontka sivut δl 1 ja δl 2 ovat aineiden välisen rajapinnan suuntaisia ja toiset kaksi sivua pintaa vastaan kohtisuoria. Kun annetaan δl 1 :n ja δl 2 :n lähestyä pintaa kummaltakin puolelta, muiden sivujen pituudet lähestyvät nollaa, joten myös niistä tuleva osuus magneettikentän viivaintegraaliin lähestyy nollaa. Ilmeisesti kuvan 9.4 b merkinnöillä δl 1 = δlu x ja δl 2 = δlu x. Näinollen H ds = H 1 δl 1 + H 2 δl 2 = H 1x δl + H 2x δl = 0, (8.25) C

8 104 LUKU 8. MAGNETOITUVAT MATERIAALIT josta H 1x = H 2x. (8.26) Siis magneettikentän tangentiaalikomponetti on jatkuva kahden aineen välisellä rajapinnalla. Tulokset (8.24) ja (8.26) tarkoitavat sitä, että magneettikentän kenttäviiva taittuu kahden aineen välisessä rajapinnassa. Ilmeisesti yhtälö (8.24) voidaan kirjoittaa muotoon 1 cos θ 1 = 2 cos θ 2. (8.27) Koska 1 = µ 1 µ 0 H 1 ja 2 = µ 2 µ 0 H 2, yhtälön (8.26) perusteella 1 µ 1 sin θ 1 = 2 µ 2 sin θ 2. (8.28) Jakamalla nämä puolittain saadaan kenttäviivan taittumista kuvaava yhtälö 8.4 Ferromagneettiset aineet tan θ 1 tan θ 2 = µ 1 µ 2. (8.29) Ferromagneettiset aineet (esimerkiksi rauta, koboltti ja nikkeli) käyttäytyvät muuten paramagneettisen aineen tavoin, mutta magnetoituminen on tavattoman paljon voimakkaampaa. Ferromagnetismi aiheutuu johteissa olevien johde-elektronien käyttäytymisestä (paramagnetismi aiheutuu atomien elektroniverhoista) ja sen selittäminen kuuluu kiinteän aineen fysiikan alaan. Ferromagneettiset aineet ovat epälineaarisia; ts. magneettivuon tiheyden ja magneettikentän välinen riippuvuus ei ole lineaarinen. Tästä huolimatta usein käytetään yhtälöä = µµ 0 H, jonka oletetaan a r b c 0 e H H k d Kuva 8.5: Hysteresisilmiö.

9 8.4. FERROMAGNEETTISET AINEET 105 olevan karkeasti voimassa joillakin :n ja H:n arvoalueilla. Tämän yhtälön mukainen suhteellinen permeabiilisuus voi ferromagneettisella aineella olla suuruusluokkaa 1000, kun se paramagneettisella aineella on vain hiukan yli yksi. Epälineaarisuuden lisäksi ferromagneettisella aineella on toinenkin ominaisuus: se muistaa osittain magneettisen menneisyytensä. Tämä tarkoittaa sitä, että :n ja H:n välinen relaatio riippuu siitä, missä magneettisessa tilassa aine on aiemmin ollut. Ilmiön nimi on hysteresis, ja se on esitetty kuvassa 8.5. Jos esimerkiksi ferromagneettista sauvaa magnetoidaan siten, että sen ympäri kiedotaan käämi, johon johdetaan sähkövirta, voidaan virtaa muuttamalla säädellä aineessa vaikuttavaa magneettikenttää. Mikäli aine on alunperin magnetoitumaton (M = 0), vastaa alkutilaa kuvan 8.5 H-koordinaatiston origo. Kun käämin virtaa kasvatetaan, kasvaa myös H ja sen myötä, mutta muutos on epälineaarinen. Koko ajan on voimassa yhtälö = µ 0 (H + M), mutta riippuvuus magnetoituman ja magneettikentän välillä ei ole lineaarinen. Lopulta päädytään pisteeseen a, missä magnetoituma saavuttaa maksimiarvonsa, jolloin sanotaan, että aine on saturoitunut. Jos magneettikenttää edelleen kasvatetaan, myös magneettivuon tiheys kasvaa mutta heikommin (muutosten välillä on riippuvuus δ = µ 0 δh). Jos H:n annetaan pienetä nollaan, pienenee myös, mutta ei pitkin samaa käyrää vaan pitkin käyrää a b. Pisteessä b siis H = 0, joten r = µ 0 M, eli aine on magnetoituneessa tilassa. Tässä tilassa vakuttavaa vuon tiheyttä r nimitetään remanenssiksi. Jotta saataisiin nollaksi, on H:n suntaa muutettava. Muuttamalla H:n arvoa saadaan H-arvopareja vastaavat pisteet kiertämään ympäri kuvan 8.5 mukaista silmukkaa, jota sanotaan hysteresiskäyräksi. Magneettikentän arvoa H k, jolla magneettivuon tiheys saadaan nollaksi, nimitetään koersitiivivoimaksi. Ferromagnetismi aiheutuu siitä, että tietyn lämpötilan (Curie-lämpötila, Curiepiste) alapuolella aine on jakautunut suuruusluokkaa m 3 oleviin alueisiin, joita nimitetään Weissin alueiksi. Kussakin Weissin alueessa johde-elektronien spinit ja siis myös magneettimomentit ovat samansuuntaisia. Suuntautuminen johtuu johde-elektronien ja sidottujen elektronien vuorovaikutuksesta ja syntyy vain tietyissä aineissa. Magnetoitumattomassa ferromagneettisessa aineessa alueiden kokonaismagneettimomentit ovat satunnaisesti suuntautuneita ja eri alueet ovat suunnilleen samankokoisia. Heikossa magneettikentässä pieni enemmistö alueista on kentän suuntaisia, mutta silti ferromagneettinen vaikutus voi olla varsin suuri. Kun magneettikenttää Kuva 8.6: Weissin alueiden laajeneminen magneettikentässä.

10 106 LUKU 8. MAGNETOITUVAT MATERIAALIT kasvatetaan, laajenevat ne alueet, joiden magneettiset momentit ovat kentän suuntaisia, ja muut pienenevät. Näin saadaan entistä voimakkaampi keskimääräinen magnetoituma. Kun kenttä kasvaa riittävän suureksi, kentän suuntaan magnetoituneet Weissin alueet laajenevat niin, että kaikki muut alueet katoavat. Tämän jälkeen magnetoituma ei voi enää kasvaa, jolloin saavutetaan saturaatio. Curiepisteen yläpuolella ferromagneettinen aine muuttuu paramagneettiseksi. On myös aineita, jotka ovat erittäin vähän magnetoituvia ja joita sen vuoksi kutsutaan antiferromagneettisiksi. Niissä on atomitasolla voimakas magneettinen vuorovaikutus, mutta vierekkäisten atomien magneettimomentit ovat vastakkaissuuntaiset. Tällainen rakenne vastustaa tehokkaasti ulkoisen magneettikentän magnetoivaa vaikutusta. Ferrimagneetit ovat epätäydellisiä antiferromagneetteja. Niilläkin on vastakkaissuuntaisia magneettimomentteja, jotka eivät kuitenkaan ole aivan samansuuruisia eivätkä siis täysin kumoa toisiaan Sauvanmuotoinen sähkömagneetti Kuva 8.7 esittää sauvanmuotoisen ferromagneettisen sydämen ympäri kiedottua käämiä, jonka kierrosluku pituusyksikköä kohti on N. Kun käämin läpi johdetaan sähkövirta I, käämi synnyttää magneettikentän, jonka vaikutuksesta sydän magnetoituu. Magneettikentän laskemiseksi käytetään samaa menetelmää, jota sovellettiin pitkään suoraan solenoidiin kappaleessa Erona, on, että käytetään magneettikentälle kirjoitettua Ampèren lakia (8.18). Kun tätä sovelletaan kuvassa 8.7 esitettyyn integrointitiehen, saadaan H s L = NLI, (8.30) mistä ratkaistuna sydämessä vaikuttava magneettikenttä on H s = NI. (8.31) Jos sydämen suhteellinen permeabiilisuus on µ, on sydämessä vaikuttava magneettivuon tiheys s = µµ 0 H s = µµ 0 NI. (8.32) H A L D C Kuva 8.7: Sauvanmuotoinen sähkömagneetti.

11 8.4. FERROMAGNEETTISET AINEET 107 a) b) I r r a b I L r a b H Kuva 8.8: Toroidin muotoinen magneetti. Koska magneettivuon tiheys on lähteetön, käyttäytyvät -kentän voimaviivat kuvassa 8.7 esitetyllä tavalla; ts. voimaviivat ovat suljettuja käyriä. Sydämen ulkopuolella on voimassa yhtälö i = µ 0 H i. Tästä seuraa, että sauvan päissä H-kenttä on voimakkaampi sydämen ulkopuolella kuin sydämen sisällä. H-kentän voimaviivat eivät siis ole jatkuvia (H-kenttä ei ole lähteetön) Toroidi Toroidin muotoinen magneetti koostuu kuvan 8.8 a mukaisesta ferromagneettisesta sydämestä, jonka ympäri on kiedottu käämi. Käämin kierrosten lukumäärä on N t ja sinä kulkee virta I. Oletetaan lisäksi, että toroidi on ohut eli a b b. Käämissä kulkeva virta on vapaata virtaa. Lisäksi tietysti sydämessä kulkee magnetoitumavirtaa, mutta sen tunteminen ei ole tarpeellista, kun käytetään apuna magneettikenttää H. Magneettikenttä on ilmeisesti sylinterisymmetrinen ja toroidaalinen, eli kentällä on ainoastaan sylinterikoordinaatiston atsimuuttikomponentti, mikä on jokaisella ympyrän kehällä vakio. Tämän vuoksi kenttä voidaan laskea Ampèren lain integraalimuodon avulla. Jos valitaan integrointitieksi kuvaan 8.8 a piirretty r -säteinen ympyrä, havaitaan, että sama virta kulkee yhtä monta kertaa kumpaankin suuntaan ympyrän sisään jäävän pinnan lävitse, joten H ds = 0 H = 0. (8.33) Jos taas valitaan integroimistieksi ympyrä, jonka säde on pienempi kuin b, ei virta kulje ollenkaan sen lävitse, joten tässäkin tapauksessa on voimassa yhtälö (8.33) ja magneettikentäksi saadaan nolla. Toroidin ulkopuolella ei siis ole ollenkaan magneettikenttää. Näin tosin olisi asian laita, vaikka käämi ei olisikaan symmetrinen. Aiemminhan nimittäin todettiin, että ferromagneettinen sydän pyrkii vangitsemaan kentän sisälleen. Jos valitaan integroimistieksi r-säteinen ympyrä ja b < r < a, kulkee virta I integroimistien lävitse samaan suuntaan N t kertaa. Tällöin Ampèren laki

12 108 LUKU 8. MAGNETOITUVAT MATERIAALIT on muotoa H ds = N t I H = N ti 2πr. (8.34) Ilmeisesti kenttä riippuu integrointitien säteestä, mutta ohuen toroidin tapauksessa voidaan säteenä käyttää esimerkiksi a:n ja b:n keskiarvoa. Magneettivuon tiheydeksi saadaan nyt = µµ 0N t I, (8.35) 2πr missä µ on ytimen suhteellinen permeabiilisuus. Kuvassa 8.8 b toroidiin on tehty ohut ilmarako, jonka leveys on L. Kun ilmarako on ohut, kenttä ei sen alueella pääse pullistumaan paljon ulkopuoliseen avaruuteen. Kenttäviivoja voidaan siis approksimoida ympyröillä, jotka ovat kohtisuorassa ilmaraon leikkauspintoja vastaan. Koska magneettivuon tiheyden normaalikomponentti on jatkuva rajapinnalla, täytyy siis magneettivuon tiheyden arvon olla sama ilmaraossa ja sydämessä. Tästä seuraa, että magneettikenttä saa ilmaraossa eri arvon kuin sydämessä. Ilmaraossa H i = /µ 0 ja sydämessä H s = /(µµ 0 ). Ampèren laki saa nyt muodon H ds = H i L + H s (2πr L) = N t I L (2πr L) + = N t I. (8.36) µ 0 µµ 0 Tästä ratkaistuna = µµ 0 N t I 2πr + (µ 1)L. (8.37) Koska ferromagneettisella aineella µ 1, on melko suurella tarkkuudella voimassa Magneettikentän arvoiksi saadaan ilmaraossa ja = H i = µ 0 = H s = µµ 0N t I 2πr + µl. (8.38) µµ 0 = µn ti 2πr + µl N t I 2πr + µl (8.39) (8.40) sydämessä. Näinollen ilmaraossa magneettikenttä on µ-kertainen sydämen magneettikenttään verrattuna. Jos toroidin sisällä ei olisi ollenkaan ferromagneettista sydäntä, olisi µ = 1 ja magneettivuon tiheys saisi arvon i = µ 0N t I 2πr. (8.41) Magneettivuon tiheyksien suhde on i = µ2πr 2πr + µl = µ 1 + µl/(2πr) µ. (8.42)

13 8.4. FERROMAGNEETTISET AINEET 109 = (H s ) µ 0 N t I/L kulmakerroin:!µ 0 (2"r -L)/L H s Kuva 8.9: Ilmaraolla varustetun toroidin magneettivuon tiheyden määrittämien. Tässä viimeinen approksimaatio on voimassa, mikäli ilmarako on niin ohut, että µl 2πr. Näin siis ferromagneettinen sydän voi kasvattaa magneettivuon tiheyden µ-kertaiseksi. Tämä on sähkömagneetin periaate; rautasydämen avulla saadaan saman magnetoivan virran tuottamana syntymään paljon voimakkaampia magneettikenttiä kuin ilman rautasydäntä. Tässä johdossa ei ole kiinnitetty huomiota ferromagneettisen aineen epälineaarisuuteen. Todellisuudessa ainoastaan ilmaraossa on magneettivuon tiheyden ja magneettikentän välillä lineaarinen riippuvuus ( = µ 0 H i ). Sydämessä riippuvuus on epälineaarinen ( = (H s )) ja se määräytyy kokeellisesta hysteresiskäyrästä. Näinollen Ampèren laki saa muodon H i L + H s (2πr L) = N t I. (8.43) Magneettivuon tiheyden normaalikomponentin jatkuvuusehdon vuoksi magneettivuon tiheys on saman suuruinen sydämessä ja ilmaraossa. Ilmaraossa on voimassa = µ 0 H i ja sen avulla yhtälöstä (9.42) saadaan ratkaistuksi = µ 0(2πr L) H s + µ 0N t I L L. (8.44) Tämä ei yksin riitä magneettivuon tiheyden määrittämiseen, sillä tuntemattomia on kaksi, ja H s. Käyttämällä lisäksi kokeellista hysteresiskäyrää = (H s ) (8.45) saadaan yhtälöpari, jonka avulla ja H s voidaan graafisesti määrittää. Tämä on esitetty kuvassa 8.9, missä hysteresiskäyrän kanssa samaan koordinaatistoon on piirretty suora, jonka kulmakerroin on µ 0 (2πr L)/L ja joka leikkaa -akselin kohdassa µ 0 N t I/L. Magneettivuon tiheys ja sydämessä vaikuttava magneettikenttä saadaan kuvaajien leikkauspisteestä, missä sekä yhtälö (8.44) että (8.45) toteutuvat Kestomagneetit Ferromagneettinen aine voidaan magnetoida esimerkiksi siten, että se asetetaan käämin sisälle, ja käämiin kytketään virta, joka sitten katkaistaan. Hysteresisilmiön vuoksi aine jää magneettiseksi, ja näin syntyy kestomagneetti. Remanenssin eli jäännösmagnetismin suuruus vaihtelee eri aineilla; meltoraudalla se on pieni,

14 110 LUKU 8. MAGNETOITUVAT MATERIAALIT H Kuva 8.10: - ja H-kenttien kenttäviivat kestomagneetissa. teräksellä suuri. Kestomagneetin magnetoituma M ei aiheudu ulkoisesta kentästä, vaan magnetoituma itse aiheuttaa magneettivuon tiheyden. Kenttien, H ja M välillä on tässäkin tapauksessa voimassa riippuvuus = µ 0 (H + M). (8.46) Tarkastellaan kuvan 8.10 esittämää sauvan muotoista kestomagneettia. Koska aina = 0, ovat -kentän voimaviivat jatkuvia, ne kulkevat sauvan lävitse ja sulkeutuvat sauvan ulkopuolella. Sauvan ulkopuolella H = /µ 0, joten H:n ja :n kenttäviivat ovat siellä samanmuotoiset ja samansuuntaiset. Koska kestomagneetissa ei ole vapaata virtaa, on jokaista magneetin läpi kulkevaa suljettua tietä pitkin voimassa H dl = 0. (8.47) Tämä voi toteutua vain, jos H:n suunnta on kestomagneetin sisällä :n suunnalle vastakkainen, eli H vaihtaa suuntaansa sauvan päissä. Näinollen H:n kenttäviivat ovat epäjatkuvia magneetin rajapinnalla. Näinhän oli myös sauvanmuotoisen sähkömagneetin tapauksessa, mutta toisin kuin kestomagneetissa, sähkömagneetissa - ja H-kentät ovat samansuuntaisia sydämen sisällä. Jos toroidin muotoiseen d:n mittaiseen kestomagneettiin on kuvan 8.11 a mukaisesti tehty ohut ilmarako, jonka paksuus on L, on :llä sen normaalikomponentin a) b) H = -L/(µ 0 d) L d H i H m H m H Kuva 8.11: a) Toroidin mutoinen kestomagneetti. b) Kestomagneetin magneettivuon tiheyden määrittäminen hysteresiskäyrän avulla.

15 8.4. FERROMAGNEETTISET AINEET 111 jatkuvuuden vuoksi sama arvo magneetissa ja ilmaraossa. Silloin H:n arvo ilmaraossa on Ampèren lain perusteella lisäksi missä H m on H:n arvo magneetissa. Tästä seuraa, että H i = µ 0. (8.48) H m d + H i L = 0, (8.49) H m = L d H i = L µ 0 d, (8.50) joten H i ja H m ovat vastakkaissuuntaiset. Tämä yhtälö ei yksin riitä määrittämään H- ja -kenttien arvoja, vaan ne riippuvat aineen magneettisesta tilasta. -kentän suurin mahdollinen arvo edellyttää, että tila sijaitsee päähysteresiskäyrällä. Tämä tila sijaitsee 2. tai 4. neljänneksessä, missä ja H m ovat vastakkaissuuntaisia. :n ja H m :n arvot saadaan kuvaajien leikkauspisteistä graafisesti, kun piirretään hysteresiskäyrä ja yhtälö (8.50) samaan koordinaatistoon. :n arvoa voidaan vaihdella säätelemällä suhdetta L/d. Käytännössä voimakkaimmat kentät, joita voidaan saada aikaan ferromageneettisilla aineilla, ovat suuruusluokkaa 1 T.

5 Magneettiset materiaalit

5 Magneettiset materiaalit 5 Magneettiset materiaalit 5.1 Magnetoituma Samoin kuin sähkökenttään asetettu eriste muuttaa sähkökenttää, muuttaa magneettikenttään asetettu aine magneettikenttää. Tämä aiheutuu atomien tai molekyylien

Lisätiedot

1.1 Magneettinen vuorovaikutus

1.1 Magneettinen vuorovaikutus 1.1 Magneettinen vuorovaikutus Magneettien välillä on niiden asennosta riippuen veto-, hylkimis- ja vääntövaikutuksia. Magneettinen vuorovaikutus on etävuorovaikutus Magneeti pohjoiseen kääntyvää päätä

Lisätiedot

Jakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen

Jakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen Jakso 8. Ampèren laki Esimerkki 8.: Johda pitkän suoran virtajohtimen (virta ) aiheuttaman magneettikentän lauseke johtimen ulkopuolella etäisyydellä r johtimesta. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia C 0

Lisätiedot

Magneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Magneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Magneettikentät Haarto & Karhunen Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän Magneettikenttä aiheuttaa voiman liikkuvaan

Lisätiedot

Fysiikka 7. Sähkömagnetismi

Fysiikka 7. Sähkömagnetismi Fysiikka 7 Sähkömagnetismi Magneetti Aineen magneettiset ominaisuudet ovat seurausta atomiydintä kiertävistä elektroneista (ytimen kiertäminen ja spin). Magneettinen vuorovaikutus Etävuorovaikutus Magneetilla

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina Jakso 1. iot-savartin laki, Ampèren laki, vektoripotentiaali Tässä jaksossa lasketaan erimuotoisten virtajohtimien aiheuttamien magneettikenttien suuruutta kahdella eri menetelmällä, iot-savartin lain

Lisätiedot

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä Physica 9 1. painos 1(6) : 19.1 a) Magneettivuo määritellään kaavalla Φ =, jossa on magneettikenttää vastaan kohtisuorassa olevan pinnan pinta-ala ja on magneettikentän magneettivuon tiheys, joka läpäisee

Lisätiedot

Magneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän

Magneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän 3. MAGNEETTIKENTTÄ Magneettikenttä Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän Havaittuja magneettisia perusilmiöitä: Riippumatta magneetin muodosta, sillä on aina

Lisätiedot

Magneettikenttä väliaineessa

Magneettikenttä väliaineessa Luku 6 Magneettikenttä väliaineessa Tässä luvussa käsitellään magneettikentän ominaisuuksia väliaineessa (RMC luku 9 osittain; CL luku 7 osittain; esitiedot KII luku 4). 6.1 Magnetoituma Edellä rajoituttiin

Lisätiedot

4. Gaussin laki. (15.4)

4. Gaussin laki. (15.4) Luku 15 Maxwellin yhtälöt 15.1 iirrosvirta Voidaan osoittaa, että vektorikenttä on yksikäsitteisesti määrätty, jos tunnetaan sen divergenssi, roottori ja reunaehdot. Tämän vuoksi sähkö- ja magneettikenttien

Lisätiedot

Luku 27. Tavoiteet Määrittää magneettikentän aiheuttama voima o varattuun hiukkaseen o virtajohtimeen o virtasilmukkaan

Luku 27. Tavoiteet Määrittää magneettikentän aiheuttama voima o varattuun hiukkaseen o virtajohtimeen o virtasilmukkaan Luku 27 Magnetismi Mikä aiheuttaa magneettikentän? Magneettivuon tiheys Virtajohtimeen ja varattuun hiukkaseen vaikuttava voima magneettikentässä Magneettinen dipoli Hallin ilmiö Luku 27 Tavoiteet Määrittää

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 6 Magneettikentän lähteet (YF 28) Liikkuvan

Lisätiedot

SATE2180 Kenttäteorian perusteet Induktanssi ja magneettipiirit Sähkötekniikka/MV

SATE2180 Kenttäteorian perusteet Induktanssi ja magneettipiirit Sähkötekniikka/MV SATE2180 Kenttäteorian perusteet nduktanssi ja magneettipiirit Sähkötekniikka/MV nduktanssin määrittäminen Virta kulkee johtimessa, jonka poikkipinta on S a J S a d S A H F S b Virta aiheuttaa magneettikentän

Lisätiedot

Luku Ohmin laki

Luku Ohmin laki Luku 9 Sähkövirrat Sähkövirta määriteltiin kappaleessa 7.2 ja huomattiin, että magneettikenttä syntyy sähkövirtojen vaikutuksesta. Tässä kappaleessa tarkastellaan muita sähkövirtaan liittyviä seikkoja

Lisätiedot

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN 766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN Laske nämä tehtävät, jos koet, että sinulla on aukkoja Soveltavan sähkömagnetiikan perusasioiden hallinnassa. Älä välitä tehtävien numeroinnista.

Lisätiedot

34.2 Ulkoisen magneettikentän vaikutus ferromagneettiseen aineeseen

34.2 Ulkoisen magneettikentän vaikutus ferromagneettiseen aineeseen 34 FERROMAGNETISMI 34.1 Johdanto Jaksollisen järjestelmän transitiometalleilla on täyden valenssielektronikuoren (s-kuori) alapuolella vajaa d-elektronikuori. Tästä seuraa, että transitiometalliatomeilla

Lisätiedot

Magneettikenttä väliaineessa

Magneettikenttä väliaineessa Luku 6 Magneettikenttä väliaineessa 6.1 Magnetoituma Edellä rajoituttiin magneettikentän määrittämiseen magneettisilta ominaisuuksiltaan tyhjönkaltaisessa väliaineessa. Aineen mikroskooppinen rakenne aiheuttaa

Lisätiedot

a) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella

a) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella Jakso 2. Gaussin laki simerkki 2.1: Positiivinen varaus Q on jakautunut tasaisesti R-säteiseen palloon. Laske sähkökenttä pallon a) ulkopuolella ja b) sisäpuolella etäisyydellä r pallon keskipisteestä.

Lisätiedot

tyhjönkaltaisessa väliaineessa. Aineen mikroskooppinen rakenne aiheuttaa todellisuudessa kullekin atomille ominaisen magneettisen dipolimomentin

tyhjönkaltaisessa väliaineessa. Aineen mikroskooppinen rakenne aiheuttaa todellisuudessa kullekin atomille ominaisen magneettisen dipolimomentin Luku 6 Magneettikenttä väliaineessa 6.1 Magnetoituma Edellä rajoituttiin magneettikentän määrittämiseen magneettisilta ominaisuuksiltaan tyhjönkaltaisessa väliaineessa. Aineen mikroskooppinen rakenne aiheuttaa

Lisätiedot

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 6 / versio 14. lokakuuta 2015 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset

Lisätiedot

Magneettikenttä väliaineessa

Magneettikenttä väliaineessa Luku 6 Magneettikenttä väliaineessa 6.1 Magnetoituma Edellä rajoituttiin magneettikentän määrittämiseen magneettisilta ominaisuuksiltaan tyhjönkaltaisessa väliaineessa. Aineen mikroskooppinen rakenne aiheuttaa

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy

Lisätiedot

tyhjiönkaltaisessa väliaineessa. Aineen mikroskooppinen rakenne aiheuttaa todellisuudessa kullekin atomille ominaisen magneettisen dipolimomentin

tyhjiönkaltaisessa väliaineessa. Aineen mikroskooppinen rakenne aiheuttaa todellisuudessa kullekin atomille ominaisen magneettisen dipolimomentin Luku 6 Magneettikenttä väliaineessa 6.1 Magnetoituma Edellä rajoituttiin magneettikentän määrittämiseen magneettisilta ominaisuuksiltaan tyhjiönkaltaisessa väliaineessa. Aineen mikroskooppinen rakenne

Lisätiedot

Potentiaali ja sähkökenttä: pistevaraus. kun asetetaan V( ) = 0

Potentiaali ja sähkökenttä: pistevaraus. kun asetetaan V( ) = 0 Potentiaali ja sähkökenttä: pistevaraus kun asetetaan V( ) = 0 Potentiaali ja sähkökenttä: tasaisesti varautut levyt Tiedämme edeltä: sähkökenttä E on vakio A B Huomaa yksiköt: Potentiaalin muutos pituusyksikköä

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi

Sähköstatiikka ja magnetismi Sähköstatiikka ja magnetismi Johdatus magnetismiin Antti Haarto 19.11.2012 Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén Luentoviikko 5 / versio 7. lokakuuta 2016 Luentoviikko 5 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset

Lisätiedot

FERROMAGNEETTISET MATERIAALIT

FERROMAGNEETTISET MATERIAALIT FERROMAGNEETTISET MATERIAALIT MAGNEETTITEKNOLOGIAKESKUS Harri Kankaanpää DIAMAGNETISMI Vesi, elohopea, kulta, vismutti,... Magneettinen suskeptibiliteetti negatiivinen: 10-9...10-4 (µ r 1) Heikentää/hylkii

Lisätiedot

Magneettikentät ja niiden määrittäminen

Magneettikentät ja niiden määrittäminen Magneettikentät ja niiden määrittäminen SSÄLTÖ: Magneettinen voima Varatun partikkelin liike sähkö- ja magneettikentässä Tasavirrat Magneettikentän voimavaikutus virtajohtimeen Magneettinen momentti iot-savartin

Lisätiedot

Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista?

Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? 1. Magneettista monopolia ei ole. 2. Sähkövirta aiheuttaa magneettikentän. 3. Magneettikenttä kohdistaa voiman johtimeen, jossa kulkee sähkövirta. Magnetismi Miten

Lisätiedot

a P en.pdf KOKEET;

a P  en.pdf KOKEET; Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä ratkaisuineen. Tentaattorina on ollut Hanna Pulkkinen. Huomaa, että tämän kurssin sisältö on hiukan eri kuin Soveltavassa sähkömagnetiikassa, joten

Lisätiedot

Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista?

Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? 1. Magneettista monopolia ei ole. 2. Sähkövirta aiheuttaa magneettikentän. 3. Magneettikenttä kohdistaa voiman johtimeen, jossa kulkee sähkövirta. Magnetismi Miten

Lisätiedot

TÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA

TÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA TÄSSÄ ON ESMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETSMOPN KEVÄÄN 2017 MATERAALSTA a) Määritetään magneettikentän voimakkuus ja suunta q P = +e = 1,6022 10 19 C, v P = (1500 m s ) i, F P = (2,25 10 16 N)j q E = e = 1,6022

Lisätiedot

766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka

766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka 1 76633A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 3 5-3 Kuorimalli Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 011 Kuva 7-13 esittää, miten parillis-parillisten ydinten ensimmäisen

Lisätiedot

Aiheena tänään. Virtasilmukka magneettikentässä Sähkömagneettinen induktio. Vaihtovirtageneraattorin toimintaperiaate Itseinduktio

Aiheena tänään. Virtasilmukka magneettikentässä Sähkömagneettinen induktio. Vaihtovirtageneraattorin toimintaperiaate Itseinduktio Sähkömagnetismi 2 Aiheena tänään Virtasilmukka magneettikentässä Sähkömagneettinen induktio Vaihtovirtageneraattorin toimintaperiaate Itseinduktio Käämiin vaikuttava momentti Magneettikentässä olevaan

Lisätiedot

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 7663A OVLTAVA ÄHKÖMAGNTIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 1. Lue tenttitehtävä huolellisesti. Tehtävä saattaa näyttää tutulta, mutta siinä saatetaan kysyä eri

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Jouko Esko n85748 Juho Jaakkola n86633. Dynaaminen Kenttäteoria GENERAATTORI.

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Jouko Esko n85748 Juho Jaakkola n86633. Dynaaminen Kenttäteoria GENERAATTORI. VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Jouko Esko n85748 Juho Jaakkola n86633 Dynaaminen Kenttäteoria GENERAATTORI Sivumäärä: 10 Jätetty tarkastettavaksi: 06.03.2008 Työn tarkastaja Maarit

Lisätiedot

Kuva 8.1 Suoran virrallisen johtimen magneettikenttä (A on tarkastelupiste). /1/

Kuva 8.1 Suoran virrallisen johtimen magneettikenttä (A on tarkastelupiste). /1/ 8 SÄHKÖMAGNETISMI 8.1 Yleistä Magneettisuus on eräs luonnon ilmiö, joka on tunnettu jo kauan, ja varmasti jokaisella on omia kokemuksia magneeteista ja magneettisuudesta. Uudempi havainto (1820, Christian

Lisätiedot

Eristeet. - q. Johdannoksi vähän sähköisestä dipolista. Eristeistä

Eristeet. - q. Johdannoksi vähän sähköisestä dipolista. Eristeistä risteet Johdannoksi vähän sähköisestä diolista Diolin muodostaa kaksi itseisarvoltaan yhtä suurta vastakkaismerkkistä varausta, jotka ovat lähellä toisiaan. +q - q a Jos diolin varauksien itseisarvo on

Lisätiedot

Elektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2018

Elektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2018 Elektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2018 Seuraavista 30 tehtävästä viisi tulee Elektrodynamiikka I:n loppukokeeseen 6.3.2018. Koska nämä tehtävät ovat kurssin koetehtäviä, vihjeitä niiden ratkaisemiseen

Lisätiedot

Potentiaali ja potentiaalienergia

Potentiaali ja potentiaalienergia Luku 2 Potentiaali ja potentiaalienergia 2.1 Sähköstaattinen potentiaali ja sähkökenttä Koska paikallaan olevan pistemäisen varauksen aiheuttamalla Coulombin sähkökentällä on vain radiaalikomponentti,

Lisätiedot

Yleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö.

Yleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö. Yleistä sähkömagnetismista IÄLTÖ: ähkömagnetismi käsitekarttana ähkömagnetismin kaavakokoelma ähkö- ja magneettikentistä Maxwellin yhtälöistä ÄHKÖMAGNETIMI KÄITEKARTTANA: Kapasitanssi Kondensaattori Varaus

Lisätiedot

Magneettinen induktio

Magneettinen induktio Luku 10 Magneettinen induktio 10.1 Faradayn laki Ajasta riippuvassa tilanteessa sähkö- ja magneettikenttä eivät ole toisistaan riippumattomia. Jos muuttuvaan magneettikenttään asetetaan johdinsilmukka,

Lisätiedot

Aineen magneettinen luonne mpötilan vaikutus magnetoitumaan

Aineen magneettinen luonne mpötilan vaikutus magnetoitumaan Aineen magneettinen luonne ja lämpl mpötilan vaikutus magnetoitumaan Jaana Knuuti-Lehtinen 3.4.2009 2.4.20092009 1 Johdanto Magnetoitumisilmiö Mistä johtuu? Mitä magnetoitumisessa tapahtuu? Magneettiset

Lisätiedot

Magneettikentät ja niiden määrittäminen

Magneettikentät ja niiden määrittäminen Magneettikentät ja niiden määrittäminen SSÄLTÖ: Magneettinen voima Varatun partikkelin liike sähkö- ja magneettikentässä Tasavirrat Magneettikentän voimavaikutus virtajohtimeen Magneettinen momentti iot-savartin

Lisätiedot

Tfy Fysiikka IIB Mallivastaukset

Tfy Fysiikka IIB Mallivastaukset Tfy-.14 Fysiikka B Mallivastaukset 14.5.8 Tehtävä 1 a) Lenin laki: Muuttuvassa magneettikentässä olevaan virtasilmukkaan inusoitunut sähkömotorinen voima on sellainen, että siihen liittyvän virran aiheuttama

Lisätiedot

Elektrodynamiikka, kevät 2008

Elektrodynamiikka, kevät 2008 Elektrodynamiikka, kevät 2008 Painovirheiden ja epätäsmällisyyksien korjauksia sekä pieniä lisäyksiä luentomonisteeseen Sivunumerot viittaavat vuoden 2007 luentomonisteeseen. Sivun 18 loppu: Vaikka esimerkissä

Lisätiedot

SATE2180 Kenttäteorian perusteet Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Sähkötekniikka/MV

SATE2180 Kenttäteorian perusteet Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Sähkötekniikka/MV SATE2180 Kenttäteorian perusteet Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Sähkötekniikka/MV Faradayn laki E B t Muuttuva magneettivuon tiheys B aiheuttaa ympärilleen sähkökentän E pyörteen. Sähkökentän

Lisätiedot

1 Johdanto Mikä tämä kurssi on Hieman taustaa Elektrodynamiikan perusrakenne Kirjallisuutta... 8

1 Johdanto Mikä tämä kurssi on Hieman taustaa Elektrodynamiikan perusrakenne Kirjallisuutta... 8 Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 6 1.4 Kirjallisuutta...........................

Lisätiedot

Elektrodynamiikka 2010 Luennot Elina Keihänen Magneettinen energia

Elektrodynamiikka 2010 Luennot Elina Keihänen Magneettinen energia Elektrodynamiikka 2010 Luennot 18.3.2010 Elina Keihänen Magneettinen energia Mainos Kesätyöpaikkoja tarjolla Planck-satelliittiprojektissa. Googlaa Planck kesätyöt Pääasiassa kolme vuotta tai kauemmin

Lisätiedot

2 Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki... 9

2 Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki... 9 Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 5 1.4 Pari sanaa laskennasta......................

Lisätiedot

1. Tasavirta. Virtapiirin komponenttien piirrosmerkit. Virtapiiriä havainnollistetaan kytkentäkaaviolla

1. Tasavirta. Virtapiirin komponenttien piirrosmerkit. Virtapiiriä havainnollistetaan kytkentäkaaviolla Fy3: Sähkö 1. Tasavirta Virtapiirin komponenttien piirrosmerkit Virtapiiriä havainnollistetaan kytkentäkaaviolla Sähkövirta I Sähkövirran suunta on valittu jännitelähteen plusnavasta miinusnapaan (elektronit

Lisätiedot

Ch2 Magnetism. Ydinmagnetismin perusominaisuuksia.

Ch2 Magnetism. Ydinmagnetismin perusominaisuuksia. Ch2 Magnetism Ydinmagnetismin perusominaisuuksia. Sähkömagneettinen kenttä NMR-spectroskopia perustuu ulkoisten SM-kenttien ja ytimen magneettisen momentin väliseen vuorovaikutukseen. Sähkökenttä E ja

Lisätiedot

ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA VIRTA- JOHDOISSA

ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA VIRTA- JOHDOISSA VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Jussi Sievänen, n86640 Tuomas Yli-Rahnasto, n85769 Markku Taikina-aho, n85766 SATE.2010 Dynaaminen Kenttäteoria ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA

Lisätiedot

33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ

33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ TYÖOHJE 14.7.2010 JMK, TSU 33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ Laitteisto: Kuva 1. Kytkentä solenoidin ja toroidin magneettikenttien mittausta varten. Käytä samaa digitaalista jännitemittaria molempien

Lisätiedot

(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi

(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot

Lisätiedot

SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO

SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO LiikeJla vaiku5aa siihen, miten kentät syntyvät ja miten hiukkaset kokevat kenben väli5ämät vuorovaikutukset ja miltä kentät näy5ävät. Vara5u hiukkanen kokee sähkömagneebsen

Lisätiedot

FYSP1082 / K4 HELMHOLTZIN KELAT

FYSP1082 / K4 HELMHOLTZIN KELAT FYSP1082 / K4 HELMHOLTZIN KELAT Johdanto Työssä mitataan ympyränmuotoisten johdinkelojen tuottamaa magneettikenttää kelojen läheisyydessä sekä sähkövirran että etäisyyden funktiona. Sähkömagnetismia ja

Lisätiedot

Kiinteiden materiaalien magneettiset ominaisuudet

Kiinteiden materiaalien magneettiset ominaisuudet Kiinteiden materiaalien magneettiset ominaisuudet Peruskäsite: Yhdisteessä elektronien orbtaaliliike ja spin vaikuttavat magneettisiin ominaisuuksiin (spinin vaikutus on merkittävämpi) Diamagnetismi Kaikki

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä

Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto.5.13 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä

Lisätiedot

Sähköiset ja magneettiset materiaalit

Sähköiset ja magneettiset materiaalit Luku 10 Sähköiset ja magneettiset materiaalit Aiemmat 9 lukua ovat esitelleet klassisen elektrodynamiikan peruskäsitteet ja teorian perusrakenteen. Alamme nyt perehtyä elektrodynamiikan käyttöön erilaisissa

Lisätiedot

Harjoitustehtäviä kokeeseen: Sähköoppi ja magnetismi

Harjoitustehtäviä kokeeseen: Sähköoppi ja magnetismi Harjoitustehtäviä kokeeseen: Sähköoppi ja magnetismi 3. Selitä: a. Suljettu virtapiiri Suljettu virtapiiri on sähkövirran reitti, jonka muodostavat johdot, paristot ja komponentit. Suljetussa virtapiirissä

Lisätiedot

Jakso 5. Johteet ja eristeet Johteista

Jakso 5. Johteet ja eristeet Johteista Jakso 5. Johteet ja eristeet Johteista Johteet ja eristeet käyttäytyvät sähkökentässä eri tavalla. Koska johteessa on vaaasti liikkuvia varauksia, ne siirtyvät joko sähkökentän suuntaan (ositiiviset varaukset)

Lisätiedot

Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla.

Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla. FYS 103 / K3 SNELLIN LAKI Työssä tutkitaan monokromaattisen valon taittumista ja todennetaan Snellin laki. Lisäksi määritetään kokonaisheijastuksen rajakulmia ja aineiden taitekertoimia. 1. Teoriaa Huygensin

Lisätiedot

Johdanto. 1 Teoriaa. 1.1 Sähkönjohtimen aiheuttama magneettikenttä

Johdanto. 1 Teoriaa. 1.1 Sähkönjohtimen aiheuttama magneettikenttä FYSP105 / K2 HELMHOLTZIN KELAT Johdanto Työssä mitataan ympyränmuotoisten johdinkelojen tuottamaa magneettikenttää kelojen läheisyydessä sekä sähkövirran että etäisyyden funtiona. Sähkömagnetismia ja työssä

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Mikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1

Mikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1 76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset

Lisätiedot

Sähkökentät ja niiden laskeminen I

Sähkökentät ja niiden laskeminen I ähkökentät ja niiden laskeminen I IÄLTÖ: 1.1. Gaussin lain integaalimuoto ähkökentän vuo uljetun pinnan sisään jäävän kokonaisvaauksen laskeminen Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä

Lisätiedot

8a. Kestomagneetti, magneettikenttä

8a. Kestomagneetti, magneettikenttä Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI 8. Kestomagneetti, magneettikenttä (molemmat mopit) Tarmo Partanen 8a. Kestomagneetti, magneettikenttä Tee aluksi testi eli ympyröi alla olevista kysymyksistä 1-8 oikeaksi arvaamasi

Lisätiedot

FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ

FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ Työssä perehdytään johteissa ja tässä tapauksessa erityisesti puolijohteissa esiintyvään Hallin ilmiöön, sekä määritetään sitä karakterisoivat Hallin vakio, varaustiheys

Lisätiedot

Luku 6. reunaehtoprobleemat. 6.1 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Reunaehdot. Kun sähkökentän lauseke E = φ sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan

Luku 6. reunaehtoprobleemat. 6.1 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Reunaehdot. Kun sähkökentän lauseke E = φ sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan Luku 6 Sähköstatiikan reunaehtoproleemat 6.1 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Kun sähkökentän lauseke E = φ sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan ( φ) = ρ ε 0, (6.1) josta 2 φ = ρ ε 0. (6.2) Tämä tulos on nimeltään

Lisätiedot

SATE2180 Kenttäteorian perusteet syksy / 5 Laskuharjoitus 5 / Laplacen yhtälö ja Ampèren laki

SATE2180 Kenttäteorian perusteet syksy / 5 Laskuharjoitus 5 / Laplacen yhtälö ja Ampèren laki STE80 Kenttäteorian perusteet syksy 08 / 5 Tehtävä. Karteesisessa koordinaatistossa potentiaalin nollareferenssitaso on y = 4,5 cm. Määritä johteelle (y = 0) potentiaali ja varaustiheys, kun E = 6,67 0

Lisätiedot

HALLIN ILMIÖ 1. TUTKITTAVAN ILMIÖN TEORIAA

HALLIN ILMIÖ 1. TUTKITTAVAN ILMIÖN TEORIAA 1 ALLIN ILMIÖ MOTIVOINTI allin ilmiötyössä tarkastellaan johteen varauksenkuljettajiin liittyviä suureita Työssä nähdään kuinka all-kiteeseen generoituu all-jännite allin ilmiön tutkimiseen soveltuvalla

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Luku Sähköinen polarisoituma

Luku Sähköinen polarisoituma Luku 3 Sähkökenttä väliaineessa Tässä luvussa tutustutaan sähkökenttään väliaineessa (RMC luku 4, CL luku 4; esitiedot KSII luku 2, osa 2.9). Väliaineiden sähköisiin ja magneettisiin ominaisuuksiin tutustutaan

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Magneettinen energia

Magneettinen energia Luku 11 Magneettinen energia 11.1 Kelojen varastoima energia Sähköstatiikan yhteydessä havaittiin, että kondensaattori kykenee varastoimaan sähköstaattista energiaa. astaavalla tavalla kela, jossa kulkee

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Nablaoperaatiot Gaussin ja Stokesin lauseet Nabla on ystävä

Lisätiedot

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan 3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden

Lisätiedot

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ MIKKO LAINE 2. kesäkuuta 2015 1. Johdanto Tässä työssä määritämme Maan magneettikentän komponentit, laskemme totaalikentän voimakkuuden ja monitoroimme magnetometrin

Lisätiedot

Coulombin laki ja sähkökenttä

Coulombin laki ja sähkökenttä Luku 1 Coulombin laki ja sähkökenttä 1.1 Sähkövaraus ja Coulombin voima Sähköisten ilmiöiden olemassaolo ilmenee niiden aiheuttamista mekaanisista vaikutuksista (osittain myös optisista vaikutuksista;

Lisätiedot

Fysiikka 1. Coulombin laki ja sähkökenttä. Antti Haarto

Fysiikka 1. Coulombin laki ja sähkökenttä. Antti Haarto ysiikka 1 Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto 7.1.1 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä voi syntyä

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

Magneettikenttä ja sähkökenttä

Magneettikenttä ja sähkökenttä Magneettikenttä ja sähkökenttä Gaussin laki sähkökentälle suljettu pinta Ampèren laki suljettu käyrä Coulombin laki Biot-Savartin laki Biot-Savartin laki: Onko virtajohdin entisensä? on aina kuvan tasoon

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio Sähkömagneettinen induktio Vuonna 1831 Michael Faraday huomasi jotakin, joka muuttaisi maailmaa: sähkömagneettisen induktion. ( Magneto-electricity ) M. Faraday (1791-1867) M.Faraday: Experimental researches

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2019 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT

VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT 1/32 2 VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT Kenttäilmiöt Sähkö- ja magneettikentät Vaikeasti havaittavissa ihmisen aistein!

Lisätiedot

Virrankuljettajat liikkuvat magneettikentässä ja sähkökentässä suoraan, kun F = F eli qv B = qe. Nyt levyn reunojen välinen jännite

Virrankuljettajat liikkuvat magneettikentässä ja sähkökentässä suoraan, kun F = F eli qv B = qe. Nyt levyn reunojen välinen jännite TYÖ 4. Magneettikenttämittauksia Johdanto: Hallin ilmiö Ilmiön havaitseminen Yhdysvaltalainen Edwin H. Hall (1855-1938) tutki mm. aineiden sähköjohtavuutta ja löysi menetelmän, jolla hän pystyi mittaamaan

Lisätiedot

SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017

SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 Viikko Aihe kirjan luku Viikko 1 Sähköken>ä, pistevaraukset 14 Viikko 2 Varausjakauman sähköken>ä 16 Viikko 2 Sähköinen poteniaalienergia ja poteniaali 17 Viikko 3 Sähköken>ä

Lisätiedot

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u. DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla

Lisätiedot