Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 10 Binomipuut ja optioiden hinnoittelu

Transkriptio

1 Rahoitsriskit ja johdannaiset Matti Estola lento 1 Binomipt ja optioiden hinnoittel

2 1. Optiohintojen mallintaminen Esimerkki. Oletetaan, että osakkeen spot -krssi on $ ja spot -krssilla 3 kk:n kltta on vain kaksi mahdollista tlevaa arvoa: $ ja $18. Tällöin 3 kk:n matriteetin osto-optiolla, jossa kohde-ettena on ko. osake totetshinnalla $1, on kaksi mahdollista päätöshetken arvoa: $1 ja $. Määrätään tämän osto-option hinta sillä periaatteella, että arbitraasimahdollistta ei ole. Oletetaan, että mahdollisia sijoitskohteita ovat vain ko. optio ja sen kohde-ettena oleva osake. Modostetaan seraava portfolio: kpl osakkeita ja 1 asetett osto-optio. Ratkaistaan se :n arvo, jolla ko. portfolio on riskitön. Tällöin ko. portfolion tottoasteen tlee vastata riskitöntä korkoa, jotta arbitraasimahdollistta ei olisi.

3 Tilanne binomipna: S T = = 1 = 1 S = =? S T = 18 =

4 Tapas 1: Osakkeen tleva krssi on $ jolloin option arvo on $1. Koko portfolion arvo on tällöin $ - 1. Tapas : Osakkeen tleva krssi on $18 jolloin option arvo on $. Koko portfolion arvo on tällöin $18. Portfolio on riskitön, jos valitaan siten, että portfolion arvo on molemmissa tapaksissa sama. Tällöin - 1 = 18 => = ¼. Riskitön portfolio on siten: Osta ¼ osakkeita ja aseta 1 osto-optio. Merkitään osakkeen hintaa option totetspäivänä S T :llä. Ol. S T = => Portfolion arvo on tällöin: /4-1 = 4,5. Ol. S T = 18 => Portfolion arvo on tällöin: 18/4 = 4,5.

5 Kohde-ettena olevan osakkeen hinnasta holimatta portfoliolla on tällöin sama riskitön arvo option totetspäivänä. Oletetaan, että riskitön korko on,1 (1/v). Tällöin ko. portflion nykyarvo on: $4,5e,1(1/ v),5( v) $4,367. Merkitään osto-option hintaa $:llä ja S = $. Tällöin portfolion nykyarvo on: $ 1/4 $5. Asettamalla $ 5 - $ = $ 4,367 saamme ratkaista = $,633. Tämä on se option hinta, jolla arbitraasimahdollistta ei ole.

6 Yleistys: Merkitään osakkeen spot -hintaa S :lla, option hintaa :llä, option matriteettia T (v) ja osakkeen arvo option totetspäivänä voi olla S tod. näk. (tn) ½ ja S d tn ½, > 1 ja d < 1. Jos osakkeen arvo on S, tällöin option arvo on, ja jos osakkeen arvo on on S d, option arvo on d. Tilanne binomipna: S S S d d

7 Oletetaan portfolio, jossa on kpl osakkeita ja 1 myyty osto-optio. Tapaksessa 1 portfolion arvo on: Tapaksessa portfolion arvo on: S S d d Nämä ovat yhtä sret, eli portfolio on riskitön, kn: S S d d S ( d) d * S ( d. d) (1) Valitsemalla * kpl osakkeita portfolioon, portfolio on riskitön. Tällöin sen tottoaste on sama kin riskittömällä korolla, sillä mtoin olisi arbitraasimahdolliss.

8 * rt Portfolion nykyarvo on tällöin: ( S ) e. Koska portfolion kstannkset ovat alssa: * S, tällöin pätee: S * S * ( S ( S * * ) e ) e rt rt. () Sijoittamalla edelliseen * kaavasta (1), saadaan (tämä käydään tarkemmin lennoilla): e missä rt ( p p e rt (1 d d p) d. ), (3)

9 Esim: = 1,1; d =,9; r =,1 (1/v); T =,5 (v); = 1; d =. p e e,1,5,5,9 1,1,9,1 (,653 1,653,,3477 ),633. Option hinnoittelkaava (3) ei sisällä osakkeen alkperäistä hintaa eikä todennäköisyyksiä osakkeen hintamtoksille. Tätä jälkimmäistä ominaistta ktstaan hinnoittelmallin riskinetraalisdeksi. Sama hinnoittelmalli pätee vaikka tn osakkeen hinnan noslle olisi,9 ja lasklle,1, tai noslle, ja lasklle,8.

10 . Diskreettiaikainen Wiener prosessi Mttja z nodattaa 1 -lotteista Wiener -prosessia, jos: Tällöin 1) ) i) z ii) z t, z i, z j ovat N(,1), sillä E{[ z] t E{ z t t. z]] N(,1), riippmatt omia. ], E{[ z] E{ Wiener -prosessia nodattavan satnnaismttjan odotsarvo on siis ja varianssi on T ajanjakson T aikana; E on odotsarvooperaattori. t

11 3. Jatkva-aikainen Wiener -prosessi Satnnaismttja z nodattaa jatkva-aikaista Wiener -prosessia, jos mttjan z differentiaalille (mtokselle) dz pätee: dz dt, dz] dt ], var( dz) E{[ dz dz]] E{[ dz] dt E{ dt Yleistetty Wiener -prosessi Mttja nodattaa jatkva-aikaista yleistettyä Wiener prosessia, jos: d adt bdz, missä a on drift (virtas) -parametri ja b varianssi -parametri.

12 Diskreettiaikaisena yleistetty Wiener -prosessi on motoa: a t b z a t b t. Tällä prosessilla on seraavat ominaisdet: 1) ] a t, sillä z], ) E{[ ]] E{ b ( z) b t ] b t ] b t. t Nyt jos z =, niin a, Joten a on :n kasvnopes tilanteessa, että :n satnnaiskomponentin z mtos =. Wiener -prosessia ktstaan sein myös Random walk (satnnaisklk) -prosessiksi.