1 Cli ordin algebra. Cli ordin algebron tai geometristen algebrojen tarkoitus on määritellä geometrinen tulo vektoriavaruudessa esim avaruudessa R n :

Transkriptio

1 1 Cli ordin algebra Cli ordin algebron tai geometristen algebrojen tarkoitus on määritellä geometrinen tulo vektoriavaruudessa esim avaruudessa R n : Joukossa R voidaan määritellä summa ja tulo. Myöskin joukossa R 2 voidaan kuten tiedetään määritellä kompleksilukujen tulo (a; b) (c; d) = (ac bd; ad + bd) 2 Entä joukossa R 3 :Hamilton yritti tätä pitkään kunnes lokakuussa 1843 keksi

2 And here there dawned on me the notion that we must admit, in some sense, a fourth dimension of space for the purpose of calculating with triples... An electric circuit seemed to close, and a spark ashed forth. Jokainen kvaterni voidaan esittää muodossa q = t + xi + yj + zk; Kertolasku saadaan kaavasta i 2 = j 2 = k 2 = ijk = 1: Gauss kehitti kvaternioita jo 1819, mutta ei julkaissut.

3 2 Cli ordista Syntyi Englannissa Oli fyysikko Maxwellin oppilas, Maxwell tutki elektromagnetismia Kehitti algebroitaan, jotta Maxwellin teorialle saataisiin vankka matemaattinen pohja. 23-vuotiaana Fellow of Trinity. 26-vuotiaana sovelletun matematiikan ja mekaniikan professoriksi London Collegeen. 29-vuotiaana kuninkaallisen tiedeseuran jäseneksi. Kuoli tuberkuloosiin 1879.

4 Tutkimus geometrisista algebroista Cli ordin algebroista julkaistiin Hänen pääidea oli määritellä Grassmannin (Hermann Grassmann saksalainen lukion opettaja ) algebrassa uusi geometrinen tulo. Kvaternit ja kompleksiluvut ovat yksinkertaisia geometrisia algebroja. /PictDisplay/Cli ord.html David Hestenesin materiaalia verkosta

5 3 Kertausta Määritelmä 1 Puoliryhmä on pari (A; +), missä A on joukko ja + laskutoimitus + : A A! A siten, että (u; v)! u + v ja seuraava liitännäisyysominaisuus pätee: a + (b + c) = (a + b) + c: Monoidi on puoliryhmä, jossa on neutraalialkio 0 siten, että a + 0 = 0 + a = a 8a 2 A: Ryhmä on monoidi (A; +), jossa jokaisella x 2 A on vasta-alkio ( x) siten, että x + ( x) = ( x) + x = 0:

6 Ryhmä (A; +) on Abelin ryhmä, jos pätee vaihdannaisuusominaisuus x + y = y + x 8x; y 2 A: Esimerkki puoliryhmästä: N = f1; 2; 3; : : :g, monoidista: N 0 = f0; 1; 2; : : :g, ryhmästä: Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g. Huomautus. Tavallisesti ryhmissä laskutoimituksen merkkinä on, mutta tässä yhteydessä on hyvä merkitä ryhmän laskutoimitusta merkillä +.

7 Määritelmä 2 (Assosiatiivinen) rengas on kolmikko (R; +; ), missä R on joukko ja +; ovat laskutoimituksia eli kuvauksia R R! R siten, että (u; v)! u + v ja (u; v)! uv, jotka toteuttavat ominaisuudet 1. (R; +) on Abelin ryhmä, 2. a (bc) = (ab) c; (kertolaskun assosiatiivisuus) 3. (a + b) c = ac + bc ja a (b + c) = ab + ac: (distributiivisuuslait) Jos ab = ba 8a; b, niin rengas R on kommutatiivinen. Jos renkaassa (R; +; ) on alkio 1 R siten, että 1 R a = a1 R = a 8a 2 R, niin alkiota 1 R sanotaan renkaan R yksikköalkioksi. Renkaan R vasen (vastaavasti oikea) ideaali on additiivinen osajoukko K R siten, että kr 2 K (vastaavasti rk 2 K) kaikille k 2 K ja r 2 R.

8 Määritelmä 3 Yksiköllisen renkaan (R; +; ) alkiota a sanotaan kääntyväksi, jos on olemassa alkio a 1 siten, että aa 1 = a 1 a = 1 R : Alkiota a 1 sanotaan käänteisalkioksi. Esimerkki. Alkiot x 2 Q n f0g ovat kääntyviä. Määritelmä 4 Yksiköllinen rengas (R; +; ) on jakorengas, jos jokainen alkio a 2 R n f0g on kääntyvä. Kunta on kommutatiivinen jakorengas. Esimerkki. (Q; +; ) on kunta.

9 Määritelmä 5 Olkoon R rengas. Abelin ryhmä (A; +) on (vasen) R -moduli, jos on määritelty kuvaus RA! R (merkitään (r; a)! ra) siten, että kaikilla r; s 2 R jaa; b 2 A pätevät 1. r (a + b) = ra + rb; 2. (r + s) a = ra + sa; 3. (rs) a = r (sa) : Jos renkaassa R on yksikkö 1 R siten, että 4. 1 R a = a 8a 2 A; niin A on yksiköllinen R-moduli. Jos R on jakorengas, niin yksiköllistä R-modulia sanotaan (vasemmaksi) vektoriavaruudeksi.

10 Määritelmä 6 Olkoon K yksiköllinen, kommutatiivinen rengas. Rengasta (A; +; ) sanotaan (assosiatiiviseksi) K-algebraksi, jos pätevät 1. (A; +) on yksiköllinen K-moduli, 2. k (ab) = (ka) b = a (kb) kaikilla k 2 K ja a; b 2 A: Jos K-algebra A on jakorengas, niin K-algebraa A sanotaan jakoalgebraksi. 4 Cli ordin algebra Olkoon V äärellisdimensioinen F-vektoriavaruus, jossa on määritelty neliömuoto ja sen avulla "sisätulo" eli skalaaritulo u v. Tarkemmin sanotttuna

11 Määritelmä 7 Kuvaus Q : V muoto, jos! F on kvadraattinen 1. Q (v) = 2 Q (v) kaikilla 2 F ja v 2 V, 2. kuvaus B : V V! F siten, että 8v; w 2 V B (v; w) = 1 2 (Q (v) + Q (w) Q (v w)) ; (1) on bilineaarinen, toisin sanoen pätevät ja B (s + t; v) = B (s; v) + B (t; v) B (u; s + t) = B (u; s) + B (u; t) : F-vektoriavaruutta V, jossa on olemassa kvadraattinen kuvaus Q : V V! F, sanotaan kvadraattiseksi avaruudeksi.kuvausta Bmerkitään B (v; w) = v w

12 Cli ordin algebra on algebra, jonka vektoriavaruus V generoi algebrana V (eli jokainen alkio on muotoa P v 1 v 2 :::v k ja jossa on ominaisuus jokaiselle v 2 V : v 2 = v v Vektoriavaruuden V alkioita sanotaan Cli ordin algebran vektoreiksi,jos. v 2 = kvk 2 : Lemma 8 Olkoon Cl vektoriavaruuden V Cli ordin algebra. Tällöin uv + vu u v = 2 jokaiselle vektorille u 2 V ja v 2 V : Erityisesti u v = 0 jos ja vai jos uv = vu:

13 Lemma 9 Olkoon Cl vektoriavaruuden V Cli ordin algebra, jossa jokaiselle v 2 V on voimassa v v = kvk 0. Tällöin uv ei ole vektori. Lemma 10 Olkoon Cl vektoriavaruuden V Cli ordin algebra, jossa jokaiselle v 2 V on voimassa v v = kvk 0. Tällöin uv vu = 0 jos ja vain jos u = v jollekin a 2 R: Annetaan esimerkkejä Esimerkki 11 Olkoon V = R 2 ja tarkastellaan tavallista skalaarituloa (x; y) (u; v) = xu + yv: Merkitään vektoriavaruuden V generoimaa Cli ordin algebraa Cl 2 : Jos fe 1 ; e 2 g on avaruuden V ortonormaali kanta eli ke 1 k 2 = ke 2 k 2 = 1 ja e 1?e 2. Tällöin e 1 e 2 = e 2 e 1

14 sillä e 1 e 2 = 0; ja (xe 1 + ye 2 ) 2 = (xe 1 + ye 2 ) (xe 1 + ye 2 ) = x 2 + y 2 = kxe 1 + ye 2 k 2 : Lisäksi e 1 e 2 ei ole vektori. Tämä on esimerkki niin sanotusta bivektorista. Cl 2 Bivektoria voidaan havainnollistaa seuraavasti. Määritelmä 12 Olkoon V vektoriavaruus, jonka ortonormaali kanta on fe 1 ; ::::; e n g (ke i k = 1 ja e i?e j ). Vektoriavaruuden V generoima (vapaa) algebra on Cliffordin algebra (geometrinen algebra) Cl n;0 ; jos e i e j + e j e i = 0 jokaiselle i 6= j (e i ; e i ) = 1 jokaiselle i = 1; :::; n: Määritelmä 13 Olkoon V vektoriavaruus, jossa on määritelty (ei-degeneroitunut) neliömuoto ja jolla on kanta on fe 1 ; ::::; e n g, joka toteuttaa ehdot (e i ; e i ) = 1, kun i = 1; :::; p (e i ; e i ) = 1, kun i = p + 1; :::; p + q:

15 Vektoriavaruuden V generoima (vapaa) algebra on Cliffordin algebra (geometrinen algebra) Cl p;q ; jos jokaiselle i 6= j: e i e j + e j e i = 0 e 2 i = (e i ; e i ) The vector space dimension of the Cli ord algebra C`p;q is 2 p+q and every element a 2 C`n may be represented as a = X =f 1 ;:::; k gf1;:::;ng a e ; e = e 1 :::e k ; 1 1 < 2 < ::: < k n; where a 2 R or C and e ; = e 0 = 1: C`3;1 is the Minkowski space.

16 Määritelmä 14 Olkoon C`p Cli ordin algebra. Vektoreiden u; v 2 C`p ulkotulo u ^ v määreitellään u ^ v = uv 2 vu Tärkeä kaava jokaiselle vektorille u ja v: uv = u v + u ^ v The universal Cli ord algebra, denoted by C`p;q ; is the associative algebra generated by the elements e 1 ; :::; e n ; satisfying the relation e i e j + e j e i = 2 ij (2) e 2 i = 1, if i = 1; :::; p e 2 i = 1, if i = p + 1; :::; p + q: where i; j = 1; :::; n and ij is the usual Kronecker delta.

17 The vector space dimension of the Cli ord algebra C`p;q is 2 p+q and every element a 2 C`n may be represented as a = X =f 1 ;:::; k gf1;:::;ng a e ; e = e 1 :::e k ; 1 1 < 2 < ::: < k n; where a 2 R or C and e ; = e 0 = 1: C`3;1 is the Minkowski space.