Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Transkriptio

1 Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja koskevissa tarkasteluissa edellinen yhtälö johtaa negatiivisten lukujen määrittelyyn, jälkimmäinen johtaa rationaalilukujen määrittelyyn. Vastaavia yhtälöitä esiintyy myös matriiseilla. Jos A on neliömatriisi, jonka determinantti on nollasta eroava, voidaan yhtälön AX = B ratkaisu esittää muodossa X = A -1 B. Yhtälön 5 + x = 2 ratkaisu perustuu eräisiin laskusääntöihin, jotka yleistettynä muodostavat ryhmän määritelmän: 5 + x = (5 + x) = (lisätään alkio 5) ( 5 + 5) + x = (liitäntä- eli assosiatiivisuusominaisuus a + (b + c) = (a + b) + c ) 0 + x = 5 +2 (laskettu 5 + 5) x = (luvun 0 ominaisuus) x = 3 (lasketaan ) Ratkaisussa käytettiin seuraavia kokonaislukujen ominaisuuksia: Jokaisella kokonaisluvulla a on vastaluku a, jolle a + a = 0. Kokonaislukujen joukossa on neutraalialkio 0, jolle 0 + a = a + 0 = a kaikilla a Z. Lisäksi yhteenlasku on assosiatiivinen, eli a + (b + c) = (a + b) + c. Yhteenlaskussa ei laskujen suoritusjärjestyksellä ole siis väliä. Yllä mainituja ominaisuuksia on monilla matemaattisilla objekteilla, mm. matriiseilla. Niitä sanotaan ryhmäominaisuuksiksi. 1.2 Ryhmän määritelmä ja esimerkkejä ryhmistä. Määritelmä 1. (Ryhmä, Group) Olkoon G ei-tyhjä joukko ja * tässä joukossa määritelty binäärioperaatio. Pari < G, * > on ryhmä, jos seuraavat ominaisuudet ovat voimassa: 1) a*b G aina kun a ja b G (G on suljettu operaation * suhteen) 2) (a*b)*c = a*(b*c) kaikilla a,b,c G (assosiatiivisuus) 3) on olemassa neutraalialkio e, jolle e*a = a*e = a kaikilla a G 4) kaikilla a G on olemassa käänteisalkio a -1, jolle a -1 *a = a*a -1 = e Huomautus. Jatkossa binäärioperaatiota ei ole aina kaikissa yhteyksissä tarpeen tarkalleen yksilöidä. Niissä tapauksissa, joissa binäärioperaatio voidaan ymmärtää asiayhteyden perusteella, voidaan myös pelkkää joukkoa G nimittää ryhmäksi. Esimerkki 1. <Z, +> on ryhmä, koska siinä on neutraalialkio 0 ja jokaisella luvulla on vastaluku a. Sen sijaan <Z, *> ei ole ryhmä, koska esimerkiksi luvulla 2 ei ole käänteisalkiota kertolaskun suhteen (luku 1/2 ei kuulu kokonaislukuihin). Esimerkki 2. {0} on ryhmä kertolaskun suhteen, koska luku 1 on neutraalialkio ja kuuluu rationaalilukuihin. Lisäksi jokaisella rationaaliluvulla a b ( 0) on käänteisluku b a, jolle b a * a b = 1.

2 Salakirjoitus 2 Määritelmä 2. (Abelin ryhmä) Ryhmää <G, *> sanotaan Abelin ryhmäksi, jos a*b = b*a kaikilla a, b G (kommutatiivisuus). Esimerkki 3. <Z, +> on Abelin ryhmä, koska a + b = b + a kaikille kokonaisluvuille a ja b. Esimerkki 4. Ei-singulaaristen 2x2 neliömatriisien joukko ei ole Abelin ryhmä, koska yleensä AB BA (tulo ei ole kommutatiivinen) A = ; B = ; tulo1 = A.B // MatrixForm tulo2 = B.A // MatrixForm Esimerkki 5. Joukko Z 5 = {[0], [1], [2], [3], [4]} on ryhmä kun laskutoimituksena on yhteenlasku modulo 5. Seuraavasta yhteenlaskutaulusta nähdään kaikkien alkioiden vasta-alkiot. Taulukko on symmetrinen diagonaalin suhteen, joten ryhmä on Abelin ryhmä. taulukko = Table[Mod[x + y, 5], {x, 0, 4}, {y, 0, 4}] // MatrixForm Esimerkki 6. Joukko Z 7 {0} eli {[1], [2], [3], [4], [5], [6]} on Abelin ryhmä kertolaskun (mod 7) suhteen. Kertotaulu: taulukko = Table[Mod[x y, 7], {x, 1, 6}, {y, 1, 6}] // MatrixForm Mitkä ovat alkioiden [4] ja [5] käänteisalkiot tässä ryhmässä?

3 Salakirjoitus 3 2. Ryhmien perusominaisuudet Lause 1. Olkoon <G, *> ryhmä sekä a, b ja c joukon G alkioita. Seuraavat implikaatiot ovat voimassa: 1) jos a*b = a*c, niin b = c, 2) jos b*a = c*a, niin b = c. Todistus. Olkoon a*b = a*c. Koska a G, alkiolla a on olemassa käänteisalkio a -1, jolle a -1 *a = e. Nyt a -1 *(a*b) = a -1 *(a*c), josta assosiatiivisuuden perusteella (a -1 *a)*b = (a -1 *a)*c ja edelleen e*b = e*c, josta saadaan väite b = c. Vastaavasti osoitetaan lauseen toinen osa. Lause 2. Olkoon <G, *> ryhmä. Tällöin yhtälöillä a*x = b ja y*a = b on yksikäsitteiset ratkaisut x, y G. Todistus. Olkoon a*x = b. Tällöin a -1 *(a*x) = (a -1 *a)*x = e*x = x. Siis x = a -1 *(a*x) = a -1 b. Ratkaisu on siten x = a -1 b. Osoitetaan vielä ratkaisun yksikäsitteisyys. Olkoon x ja x' ratkaisuja, ts. a*x = b ja a*x' = b. Tällöin a*x = a*x' ja Lauseen 1 nojalla x = x'. Vastaavasti osoitetaan, että (yksikäsitteisesti) y = b*a -1. Lause 3. Ryhmän <G, *> neutraalialkio e on yksikäsitteinen. Alkion a käänteisalkio a -1 on yksikäsitteinen. Todistus jätetään harjoitustehtäväksi. Seuraus 1. Olkoot a ja b ryhmän <G, *> alkioita. Tällöin (a*b) -1 = b -1 * a -1. Todistus. (b -1 *a -1 )*(a*b) = b -1 *(a -1 *(a*b)) = b -1 *((a -1 *a)*b) = b -1 *(e*b) = b -1 *b = e. Vastaavalla tavalla osoitetaan, että (a*b)*(b -1 *a -1 ) = e. Harjoitus. Abelin ryhmässä <G, *> on 3 alkiota: neutraalialkio e, sekä a ja b. Kirjoita ryhmän kertotaulu. 3. Aliryhmät Määritelmä 3. (Ryhmän kertaluku) Äärellisen ryhmän G alkioiden lukumäärää sanotaan ryhmän G kertaluvuksi ja merkitään G tai #G. (Yleisemmin joukon S alkioiden lukumäärää sanotaan sen kertaluvuksi ja merkitään S. Myös termejä kardinaaliluku ja mahtavuus käytetään.) Määritelmä 4. (Aliryhmä) Olkoon ryhmän <G, *> osajoukko H suljettu operaation * suhteen (ts. a,b H a*b H) ja olkoon H (tarkemmin sanottuna <H, *>) itsessään ryhmä operaation * suhteen. Tällöin joukkoa H sanotaan ryhmän G aliryhmäksi ja merkitään H G. Määritelmä 5. (Aito ja triviaali aliryhmä) Jos H on ryhmän G aliryhmä ja H G, sanotaan että H on ryhmän G aito aliryhmä. Ryhmä {e} on ryhmän G triviaali aliryhmä. Esimerkki 1. Joukko H = {..., 4, 2, 0, 2, 4,... } on kokonaislukujen joukon aliryhmä, kun laskutoimituksena on yhteenlasku. Perustelu. Ryhmäaksiomit toteutuvat, koska joukossa H on neutraalialkio 0 ja jokaisella luvulla on vasta-alkio

4 Salakirjoitus 4 Ryhmäaksiomit joukossa ja jokaisella joukossa H. Lisäksi H on suljettu yhteenlaskun suhteen, koska parillisten lukujen summakin on parillinen. Lause 4. Ryhmän G osajoukko H on ryhmän aliryhmä jos ja vain jos 1) H on suljettu ryhmän G ryhmäoperaation suhteen, 2) neutraalialkio e kuuluu joukkoon H, 3) jokaisella joukon H alkiolla a on käänteisalkio a -1 joukossa H. Todistus. Kohta "vain jos, ts. ": Oletetaan, että H on ryhmän G aliryhmä. Tällöin ominaisuuksien 1 3 täytyy toteutua aliryhmän määritelmästä. Kohta "jos, ts. ": Oletetaan, että ominaisuudet 1 3 ovat voimassa. Tällöin riittää osoittaa, että joukossa H ovat voimassa ryhmäaksiomit. Ehdot 2 3 takaavat neutraalialkion ja käänteisalkion olemassaolon. Assosiatiivisuusominaisuus seuraa siitä, että joukon H alkiot ovat samalla joukon G alkioita, joilla assosiatiivisuus on voimassa, koska G on ryhmä. 4. Sykliset ryhmät ja ryhmän generaattori Määritelmä 6. (Alkion potenssi) Olkoon G ryhmä ja a sen alkio sekä m Z +. Tällöin määritellään a m = a*a*a* *a (m tekijää) a 0 = e (neutraalialkio) a -m = a -1 m = a -1 *a -1 *a -1 * * a -1 (m tekijää) Huomautus. Jatkossa lasketaan ilman välivaiheita siten, että seuraavat yhtäsuurudet ajatellaan tunnetuiksi: a m *a n = a m+n (a m ) n = a mn a n *a -n = a -n *a n = e. Totea, että nämä sinällään varsin ilmeiset tulokset ovat voimassa aina kun m, n Z. Sykliset ryhmät Lause 5. Olkoon G ryhmä ja a sen alkio. Tällöin H = {a n n Z } on ryhmän G aliryhmä ja samalla pienin ryhmän G aliryhmä, joka sisältää alkion a. Todistus. Osoitetaan, että Lauseen 4 ominaisuudet 1 3 ovat voimassa. 1) Jos x ja y kuuluvat joukkoon H, niin niiden muoto on: x = a n ja y = a m. Tällöin x*y = a n *a m = a n+m joten tulo x*y H. 2) a 0 = e, joten neutraalialkio e H. 3) Jos x H, niin x = a n. Tällöin alkio a -n H ja a n *a -n = a -n *a n = e, joten a -n on alkion x käänteisalkio. Osoitetaan vielä, että H on pienin ryhmän G aliryhmä, joka sisältää alkion a. Tätä varten olkoon K ryhmän G aliryhmä, joka sisältää alkion a. Sulkeutuvuusominaisuuden perusteella myös a -1 K, ja a*a, a*a*a,..., eli yleisesti alkion a positiivisen eksponentin omaavat potenssit a n K. Vastaavasti alkion a -1 potenssit a -m kuuluvat joukkoon K. Koska K on ryhmä, myös neutraalialkio e = a 0 K. Siis K sisältää kaikki potenssit a n, missä n Z. Siten H K. Näin ollen H on pienin ryhmän G aliryhmä, joka sisältää alkion a.

5 Salakirjoitus 5 Määritelmä 7. (Syklinen aliryhmä <a>) Ryhmää H = { a n n Z } sanotaan alkion a generoimaksi ryhmän G sykliseksi aliryhmäksi ja merkitään <a>. Ryhmän generaattori Määritelmä 8. (Ryhmän generaattori g) Jos alkion a G generoima syklinen aliryhmä on itse G, ts. jos < a > = G, niin alkiota a sanotaan ryhmän G generaattoriksi. Ryhmää G sanotaan sykliseksi, jos on olemassa alkio a G, joka generoi ryhmän G. Esimerkki 1. Alkio [3] generoi ryhmän Z 7 = {[1], [2], [3], [4], [5], [6]}, kun operaationa on kertolasku modulo 7 (huom. tässä ja alla merkintä Z m tarkoittaa alkion [0] puuttumisen takia eri joukkoa, kuin päätekstin Kappaleessa 3). Tuloksen, että alkio [3] generoi ryhmän Z 7, voi todeta oikeaksi laskemalla käsin, tai käyttämällä Mathematicakomentoa PowerMod[3,n,7]. Tässä laskennallisesti helpossa tapauksessa voisi myös käyttää yksinkertaista kutsua Mod[3 n,7]. Table[PowerMod[3, n, 7], {n, 1, 6}] {3, 2, 6, 4, 5, 1} Esimerkki 2. Alkio [2] sen sijaan ei ole ryhmän Z 7 generaattori, vaan generoi sen aliryhmän {[1], [2], [4]}. Table[PowerMod[2, n, 7], {n, 1, 6}] {2, 4, 1, 2, 4, 1} Tehtävä. Olkoon G = Z 13 ={[1], [2],..., [12]}, missä ryhmäoperaationa on kertolasku modulo 13. Etsi ryhmän G generaattorit. Nimityksiä. Olkoon a ryhmän G alkio. Jos syklinen aliryhmä <a> on äärellinen, niin alkion a kertaluvuksi sanotaan sen määrittämän syklisen aliryhmän kertalukua <a>. Muutoin sanotaan, että alkion a kertaluku on ääretön. Alkion a kertaluvusta käytetään merkintää ord(a). 5. Syklisten ryhmien ominaisuuksia Lause 6. Jokainen syklinen ryhmä on Abelin ryhmä. Todistus. Kuten Kappaleen 1 Määritelmä 2 esitti, ryhmä G on Abelin ryhmä, jos a*b = b*a kaikilla a, b G. Olkoon nyt G syklinen ryhmä ja a sen generaattori. Jos x ja y G, on olemassa n, m Z siten, että x = a m ja y = a n. Tällöin x*y = a m *a n = a m+n = a n *a m = y*x. Lause 7. Syklisen ryhmän aliryhmä on syklinen. Todistus. Olkoon G syklinen ryhmä, a sen generaattori ja olkoon H ryhmän G aliryhmä. Jos H = {e}, niin H = <e> on syklinen. Muutoin a n H eräällä n Z. Olkoon m pienin positiivinen kokonaisluku, jolle a m H. Osoitamme, että g = a m generoi aliryhmän H, eli että <g> = H. Osoitetaan siis, että

6 Salakirjoitus 6 jolle g generoi aliryhmän g jokainen b H on alkion g potenssi. Koska b H, ja H on ryhmän G aliryhmä, on b = a n jollekin n Z. Jakoalgoritmin mukaan n = qm + r joillekin kokonaisluvuille q ja r, missä 0 r < m. Siten a n = a qm + r = (a m ) q *a r. Tästä seuraa, että a r = (a m ) -q *a n, joka kuuluu joukkoon H, koska (a m ) -q ja a n ovat aliryhmän H alkioita. Koska 0 r < m ja m oli pienin positiivinen kokonaisluku, jolle a m H, täytyy olla r = 0. Siten b = a n = a qm + r = (a m ) q = g q, joten g = a m generoi aliryhmän H. Näin ollen H on syklinen. Seuraus 2. Kokonaislukujen joukon sykliset aliryhmät yhteenlaskun suhteen ovat ryhmät nz = {na a Z }. Esimerkki 1. Ryhmä 3Z = {..., 6, 3, 0, 3, 6,...} on kokonaislukujen joukon syklinen aliryhmä yhteenlaskun suhteen. Syklisten ryhmien rakenne Olkoon G syklinen ryhmä ja a sen generaattori. Tarkastellaan tilanteita, jossa kertaluku G (tai #G) on 1) ääretön ja 2) äärellinen: 1) Jos G on ääretön, kaikki generaattorin a potenssit ovat keskenään erisuuria. Vastaoletus: On olemassa erisuuret h ja k (h > k) siten, että a h = a k. Tällöin kertomalla alkiolla a -k saadaan a h-k = e. Olkoon m pienin positiivinen luku, jolle a m = e. Osoitetaan, että ryhmällä G on tällöin vain m erisuurta alkiota e, a, a 2,..., a m-1. Olkoon a n G. Tällöin jakoalgoritmin nojalla n = qm + r, missä 0 r < m, ja a n = a qm+r = (a m ) q *a r = e q *a r = a r. Siis a n on jokin alkioista e, a,..., a m-1 ja G on äärellinen. Vastaoletus on väärä ja siten kaikki alkion a potenssit ovat erisuuria. 2) Jos G on äärellinen, kaikki generaattorin a potenssit eivät voi olla erisuuria, vaan on olemassa h ja k (h > k), joille a h = a k, josta a h-k = e. Olkoon m pienin positiivinen kokonaisluku, jolle a m = e (m on olemassa, koska edellä a h-k = e, h > k). Tällöin ryhmä G koostuu alkioista e, a, a 2,..., a m-1 ja m on sen kertaluku. Lause 8. Joukko Z n = {[0], [1], [2],..., [n 1]} laskutoimituksena yhteenlasku modulo n, on syklinen ryhmä. Perustelu. Esimerkiksi alkio [1] on ryhmän generaattori, sillä jokainen joukon alkio voidaan esittää muodossa k [1] = [1] + [1] + + [1] (k termiä), missä k on kokonaisluku väliltä [0, n 1]. Neutraalialkio on [0], koska [0] + x = x + [0] = x kaikilla x Z n. Alkion x käänteisalkio on [n] x, sillä x + ([n] x) = ([n] x) + x = [n] = [0] modulo n. Huomautus. Olemme lainanneet merkintätavan kertolaskuoperaation yhdeydessä käytetystä tavasta. Aina kun operaatio * on yhteenlasku (+), niin a n ; n > 0; tulkitaan monikertana na = a + a + a + + a (n termiä), a 0 = e ja a -n ; n > 0; tulkitaan monikertana n(-a) = (-a) + (-a) + (-a) + + (-a) (n termiä). Äärellisten syklisten ryhmien aliryhmistä Lause 9. Olkoon G äärellinen syklinen ryhmä, jonka kertaluku on n ja olkoon a sen generaattori. Olkoon b = a s. Tällöin b generoi ryhmän G syklisen aliryhmän H, jossa on n/d alkiota, missä d = syt(n, s). Todistus. Se, että b generoi syklisen aliryhmän H, on osoitettu Lauseessa 7. Osoitetaan, että aliryhmässä H on n/d alkiota. Seuraten Lauseen 7 todistusta, aliryhmässä H on m alkiota, missä m on pienin positiivinen luku, jolle b m = e. Nyt b = a s ja b m = a sm = e, joten n ms. Mikä on pienin positiivinen kokonaisluku m, jolle n ms? Olkoon d = syt(n, s). Tällöin d voidaan esittää lineaarikombinaationa muodossa d = un + vs, missä u,v Z. Koska d on tekijänä sekä luvuissa n ja s, niin 1 = u (n/d) + v (s/d), missä sekä n/d ja s/d ovat kokonaislukuja. Tällöin n/d ja s/d ovat suhteellisia alkulukuja. Olkoon m pienin sellainen luku, että m s = m s / d n n/d kokonaisluku. Nyt n/d on tekijänä osamäärässä ms/d ja tästä seuraa, että n/d on luvun m tekijä. Pienin tällainen luku m = n/d. Siten aliryhmän H kertaluku on n/d. on

7 Salakirjoitus 7 Seuraus 3. Jos a on äärellisen syklisen ryhmän G generaattori ja G = n, niin kaikki muut generaattorit ovat muotoa a r, missä syt(r, n) = Sivuluokat ja Lagrangen teoreema Sivuluokat Määritelmä 9. (Sivuluokka) Olkoon H ryhmän G aliryhmä. Joukon G osajoukkoa ah = {a*h h H }, missä a G, sanotaan alkion a generoimaksi ryhmän H vasemmaksi sivuluokaksi. Vastaavasti joukkoa Ha = {h*a h H }, a G, sanotaan alkion a generoimaksi ryhmän H oikeaksi sivuluokaksi. Jos H on ryhmän G aliryhmä, jokainen ryhmän G alkio kuuluu johonkin ryhmän H sivuluokkaan. (Jos x on mielivaltainen ryhmän G alkio, niin x = x*h -1 * h, missä h H on mielivaltainen. Tällöin x kuuluu ryhmän H sivuluokkaan ah, missä a = x *h -1.) Lause 10. Ryhmän G aliryhmän H jokaisella sivuluokalla on yhtä monta alkiota. Todistus. Olkoon G ryhmä ja H sen aliryhmä. Olkoon g ryhmän G alkio. Määritellään kuvaus f: H gh siten, että f(x) = g*x kaikilla x H. Osoitetaan, että f on bijektio. Olkoot g*x ja g*y kaksi sivuluokan gh alkiota ja g*x = g*y. Koska G on ryhmä, kertomalla alkion g käänteisalkiolla saadaan x = y. Kuvaus f on siis bijektio ja siten kaikilla aliryhmän H vasemmanpuolisilla sivuluokilla on sama määrä alkioita. Samoin todistetaan väite oikeanpuolisille sivuluokille. Näin ollen aliryhmän H sivuluokat muodostavat ryhmän G osituksen (partition), ts. näiden sivuluokkien unioni on G ja jokaisen sivuluokkaparin leikkausjoukko on tyhjä joukko. Lause 11. (Lagrangen teoreema) Äärellisen ryhmän G aliryhmän H kertaluku on ryhmän G kertaluvun tekijä. Todistus. Olkoon n ryhmän G kertaluku ja m aliryhmän H kertaluku. Lauseen 10 mukaan jokaisessa aliryhmän H sivuluokassa on täsmälleen m alkiota. Olkoon r ryhmän H sivuluokkien lukumäärä, kun luokat on muodostettu ryhmän G vasemmista sivuluokista. Tällöin Lauseen 10 todistuksen perusteella n = rm, joten m on todellakin kertaluvun n tekijä. Seuraus 4. Jokainen ryhmä, jonka kertaluku on alkuluku, on syklinen. Todistus. Olkoon G ryhmä ja alkuluku p sen kertaluku. Olkoon a e ryhmän G alkio ja <a> sen virittämä syklinen aliryhmä. Tällöin aliryhmässä <a> on ainakin alkiot e ja a. Lauseen 10 nojalla syklisen aliryhmän <a> kertaluku m on tekijänä ryhmän G kertaluvussa p, mutta koska p on alkuluku, m = p ja <a> on G, joten ryhmä G on syklinen. Lause 12. Äärellisen ryhmän jokaisen alkion kertaluku on tekijänä ryhmän kertaluvussa. Todistus. Olkoon G äärellinen ryhmä, jonka kertaluku on n ja olkoon a ryhmän G alkio. Tällöin alkion a kertaluku (siis ord(a)) on määritelmän mukaan sen generoiman syklisen aliryhmän <a> kertaluku ja <a> on ryhmän G aliryhmä. Lauseen 11 nojalla alkion a kertaluku on tekijänä ryhmän G kertaluvussa. Onko Lause 12 voimassa myös toiseen suuntaan? Voidaan osoittaa, että jos G on Abelin ryhmä, sen kertaluvun jokaista tekijää k kohden löytyy ryhmän G alkio, jonka kertaluku on k.

8 Salakirjoitus 8 7. Renkaat ja kunnat Useimmat lukijat tuntevat rationaali-, reaali ja kompleksilukujoukkojen yhteen- ja kertolaskua koskevat ominaisuudet, ts. niiden algebralliset rakenteet. Näistä joukoista, yhdessä niissä määriteltyjen laskutoimitusten kanssa, käytetään nimitystä kunta. Diskreetissä matematiikassa, erityisesti kryptologiassa ja koodausteoriassa, äärellisten kuntien teoria on keskeinen. Esittelemme seuraavassa lyhyesti tarvittavat käsitteet. Kunnan määritelmä pohjautuu ryhmän käsitteeseen, jota käsittelimme edellä. Ennen kuin esitämme kunnan määritelmän, on kuitenkin käytännöllistä ensin määritellä rakenne nimeltä rengas. Esimerkiksi kokonaislukujen joukko Z muodostaa renkaan, mutta ei muodosta kuntaa, koska nollasta eroavilla alkioilla ei yleensä ole kertolaskun käänteisalkiota. Käytämme alla kahdesta binäärioperaatiosta tarkoituksella merkintöjä + ja, koska niitä käytetään tutujen joukkojen Z, Z m,, ja C yhteydessä. Kuitenkin merkintöjen tarkoitus on olla voimassa yleisesti mitä erilaisempien joukkojen ja niissä määriteltyjen operaatioiden yhteydessä. Vaikka yleinen abstrakti rakenne on yhteinen, nämä operaatiot voivat ensi näkemältä poiketa paljonkin siitä, mikä tähän saakka on ollut tuttua yhten- ja vähennyslaskuoperaattoreiden yhteydestä. Näihin (abstraktin algebran) rakenteisiin voi perehtyä lisää lukemalla esimerkiksi kirjoja Nicholson [8] ja van Tilborg [11]. Rengas Määritelmä 10. (Rengas, Ring) Kolmikko (R, +, ) on rengas, jos 1) < R, + > on kommutatiivinen (vaihdannainen) ryhmä (siis Abelin ryhmä). Tässä yksikköalkiosta (ts. neutraalialkiosta) käytetään merkintää 0. 2) Operaatio on assosiatiivinen (liitännäinen). 3) Distributiivisuus (osittelu) on voimassa, ts. kaikille r, s, t R on voimassa r (s + t) = r s + r t ja (r + s) t = r t + s t. Ryhmän < R, + > alkion a käänteisalkiota sanotaan vasta-alkioksi ja siitä käytetään merkintää -a, samoin kirjoitamme 2 a yhteenlaskun a + a asemasta, ja 3 a tarkoittaa a + a + a, jne. Myös a b on lyhennysmerkintä, joka tarkoittaa samaa kuin a + (-b). Huomattakoon myös, että 0 todellakin käyttäytyy kuten nolla-alkio, koska kaikilla r R on voimassa 0 r = (r + (-r)) r = r 2 - r 2 = 0 ja vastaavasti r 0 = 0. Olkoon (R, +, ) rengas ja S joukon R osajoukko siten, että (S, +, ) on itsekin rengas. Tällöin rengasta (S, +, ) sanotaan renkaan (R, +, ) alirenkaaksi. Esimerkiksi (6 Z, +, ) on renkaan (2 Z, +, ) alirengas, ja tämä puolestaan on renkaan (Z, +, ) alirengas. Olettakaamme, että operaatio on kommutatiivinen (vaihdannainen) joukossa R\{0}. Tällöin sanomme, että rengas (R, +, ) on kommutatiivinen. Esimerkkeinä kommutatiivisista renkaista ovat (, +, ), (, +, ), (Z, +, ), ja myös (m Z, +, ), kun m 0. Tarkastellaan rengasta (R, +, ). Käytetään merkintää R * niistä joukon R alkioista, joilla on käänteisalkio kertolaskun suhteen. Tapauksessa, jossa R {0} ja R * = R\{0}, ts. kun jokaisella nollasta eroavalla joukon R alkiolla on käänteisalkio kertolaskun suhteen, sanotaan että rengas (R, +, ) on jakorengas (divison ring, skew field). Kommutatiivisesta jakorenkaasta käytetään nimitystä kunta. Alla muotoilemme kunnan määritelmän vielä toisellakin tavalla. Ennen sen esittämistä mainitaan vielä, että Wedderburn'in lauseen mukaan jokainen äärellinen jakorengas on kunta (ks. Nicholson [8]). Tämä näyttäisi viittaavan siihen, että epäkommutatiiviset jakokunnat olisivat harvinaisia. Kuitenkin esimerkki sellaisesta, nimittäin kvaternionit, on tunnettu jo vuodesta 1843.

9 Salakirjoitus 9 Kunta Määritelmä 11. (Kunta, Field) Kolmikko (F, +, ) on kunta, jos 1) < F, + > on kommutatiivinen ryhmä (siis Abelin ryhmä). Yksikköalkiosta (ts. neutraalialkiosta) käytetään merkintää 0. 2) < F \ {0}, > on kommutatiivinen ryhmä (siis Abelin ryhmä). Kertolaskun yksikköalkiosta käytetään merkintää e. 3) Distributiivisuus (osittelu) on voimassa kuten renkaan tapauksessa yllä. Päinvastoin kuin joissakin renkaissa, kunnassa ei voi olla niin sanottuja nollan tekijöitä (zero-divisors), ts. alkioita a 0 ja b 0, joiden tulo a b = 0. Todellakin, oletetaan, että olisi voimassa a b = 0 ja a 0. Tällöin, b = e b = a -1 a b =a -1 (a b) = a -1 0 = 0, joten jokainen kunnan F alkio olisi nolla. Jos kunnan (F, +, ) alirenkaalla (K, +, ) on kunnan rakenne, kutsumme sitä kunnan (F, +, ) alikunnaksi. Esimerkkejä kunnista ovat muun muassa rationaaliluvut (, +, ), reaaliluvut (, +, ) ja kompleksiluvut (C, +, ). Näistä jokainen on aina seuraavan lukujoukon alikunta. Sanomme, että äärellisen ryhmän < G, * >, renkaan (R, +, ), tai kunnan (F, +, ) kertaluku on n, jos G, vastaavasti R ja F, ovat äärellisiä joukkoja, joiden alkioiden määrä (kardinaaliluku) on n. Äärellisten kuntien tapauksessa on tapana merkitä kertalukua luvulla q. Osoittautuu, että kertalukua q olevia äärellisiä kuntia on olemassa vain, jos q on jonkin alkuluvun potenssi, ts. q = p n jollekin alkuluvulle p ja kokonaisluvulle n 1. Lisäksi nämä äärelliset kunnat ovat itse asiassa yksikäsitteiset (isomorfiset) jokaista kiinnitettyä alkuluvun potenssia q kohti. Tämän vuoksi kertalukua q olevista äärellisistä kunnista käytetään yleisesti merkintää q tai GF(q) (missä GF tarkoittaa Galoisin kuntaa (Galois Field) ranskalaisen Galoisin mukaan). Esimerkiksi lähteissä Nicholson [8] ja van Tilborg [11] esitetään tärkeitä algebran tuloksia runsaasti lisää. Ne tulokset ovat usein hyvin merkittäviä myös salakirjoitusten kannalta, esimerkkinä elliptisiä käyriä koskevat sovellutukset. Kirjan van Tilborg [11] mukana tulevalla CD-levyllä koko kirja [11] on toteutettu hypertekstimuodossa Mathematica-ympäristössä, jossa algoritmitmeja voidaan lisäksi heti kokeilla muutetuilla lähtöarvoilla. Muidenkin ympäristöjen ohjelmoitsijat voivat löytää tuon toteutuksen algoritmeista kiinnostavia ja hyödyllisiä rakenteita sekä yksityiskohtia.