Excursio Cliordin analyysiin. 13. helmikuuta 2006

Transkriptio

1 Excursio Cliordin analyysiin 13. helmikuuta

2 Sisältö 1 Cliordin algebra 3 2 Monogeeniset funktiot 5 3 Cauchyn integraalikaava monogeenisille funktioille 9 2

3 1 Cliordin algebra Tutustutaan tässä kappaleessa Cliordin algebraan Cl 0,2. Cliordin algebra Cl 0,2 voidaan samaistaa kvaternionialgebraan [1]. Yleisiä Cliordin algebroit a käsitellään lähteessä [2]. Olkoon {e 1, e 2 } vektoriavaruuden R 2 ortonormaali kanta, siis e 1 = e 2 = 1 ja e 1 e 2. (1) Määritellään tulo kantavektoreiden välille asettamalla e i e j + e j e i = 2δ ij, (2) missä δ ij on tavallinen roneckerin delta -symboli. Relaatiosta seuraa kantavektorien välille ominaisuudet e 2 1 = e 2 2 = 1 ja e 1 e 2 = e 2 e 1. (3) Jälkimmäistä ominaisuutta sanotaan antikommutatiivisuudeksi. aytetään kantavektorien e 1 ja e 2 tulosta lyhennysmerkintää e 12 := e 1 e 2 (4) ja kutsutaan näin saatua alkiota yksikköbivektoriksi. Yksikköbivektori e 12 on lineaarisesti riippumaton kantavektoreista e 1 ja e 2. Cliordin algebrassa Cl 0,2 skalaareiksi sanomme alkioita, joiden neliö on positiivinen, esimerkiksi reaaliluvut. Cliordin algebra Cl 0,2 on vektoriavaruus, jonka kanta koostuu neljästä elementistä 1 skalaari, e 1, e 2 vektorit, bivektori. Cliordin algebran Cl 0,2 mielivaltainen alkio on muotoa e 12 x = x 0 + x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 12 e 12 (5) eli skalaarin x 0, vektorin x 1 e 1 + x 2 e 2 ja bivektorin x 12 e 12 lineaarikombinaatio. Skalaarit ajatellaan reaalilukujen joukkona R, vektorit vektoriavaruuden R 2 alkioina ja bivektorit bivektorien joukon, jota merkitään 2 R 2, alkioina. Cliordin algebra Cl 0,2 muodostuu edellisten joukkojen suorana summana Cl 0,2 = R R 2 2 R 2. (6) 3

4 Seurauksena ominaisuuksista (3) kantaelementtien 1, e 1, e 2 ja e 12 välille voidaan kirjoittaa kertolaskutaulu e 1 e 2 e 12 e 1 1 e 12 e 2 e 2 e 12 1 e 1 e 12 e 2 e 1 1 (7) Cliordin algebran Cl 0,2 alkioiden a ja b tulo ab määritellään edellä mainitun taulukon avulla käyttämällä hyväksi kantaelementtien tulon antikommutatiivisuutta, distributiivisuutta ja assosiatiivisuutta. Tutkitaan seuraavaksi vektorien tulon laskusääntöjä. Lause 1.1 Olkoot a, b ja c Cliordin algebran Cl 0,2 alkioita. Tällöin (1) a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca (distributiivisuus), (2) (ab)c = a(bc) (assosiatiivisuus). olmiulotteinen avaruus koostuu pisteistä (x 0, x 1, x 2 ). Yleistettäessä funktioteoriaa kolmiulotteiseen avaruuteen tulee laskennallisesti mielekkääksi kuvata edellä mainittu piste Cliordin algebran Cl 0,2 alkiona Tällaista alkiota kutsutaan paravektoriksi. x = x 0 + x 1 e 1 + x 2 e 2. (8) 4

5 2 Monogeeniset funktiot Monogeeniset funktiot ovat eräs funktioluokka Cliordin algebra -arvoisten funktioiden joukossa. Monogeeniset funktiot ovat luonnollinen askel siirryttäessä korkeampaan dimensioon kompleksisesta funktioteoriasta. Tähän palataan esimerkin muodossa jäljempänä. oska Cliordin algebra ei ole kommutatiivinen, on monogeenisia funktioita kahta laatua, sekä oikealta että vasemmalta monogeenisia. Monogeeniset funktiot määritellään Dirac-Fueterin- tai lyhyesti Diracin-operaattoreiden avulla. appale on koottu lähteistä [3] ja [4]. Määritelmä 2.1 (Diracin operaattorit) Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko ja funktio f : Ω Cl 0,2. Oletetaan, että funktiolla f on jatkuvat ensimmäiset osittaisderivaatat. Vasen Diracin operaattori määritellään asettamalla D l f = f f f + e 1 + e 2 (9) ja oikea Diracin operaattori määritellään asettamalla D r f = f + f e 1 + f e 2. (10) Määritellään monogeeniset funktiot Diracin operaattorien avulla. Määritelmä 2.2 (Monogeeninen funktio) Olkoon avaruuden R 3 avoin joukko. Olkoon f : Ω Cl 0,2 jatkuvasti derivoituva funktio. Funktio f on vasemmalta monogeeninen, jos ja f on oikealta monogeeninen, jos D l f = 0 (11) D r f = 0. (12) Diracin operaattorien liitto-operaattorit määritellään asettamalla ja D l f = f e 1 f e 2 f (13) D r f = f f e 1 f e 2. (14) Jatkossa, kun puhutaan Diracin operaattorista, tarkoitataan vasenta Diracin operaattoria. Lisäksi merkitään lyhyesti D := D l. Vastaavasti monogeenisella funktiolla tarkoitetaan vasemmalta monogeenista funktiota, ellei toisin 5

6 mainita. Laplacen operaattori määritellään asettamalla = (15) 2 Diracin operaattorien avulla voidaan esittää korkeampiasteisia operaattoreita. Yksinkertaisin operaattori, joka voidaan hajottaa Diracin operaattorin avulla on Laplacen operaattori. attavampi esitys löytyy lähteestä [5]. Lemma 2.3 Olkoon D Diracin operaattori ja D sen liitto-operaattori. Tällöin Laplacen operaattori saadaan Todistus. Lähdetään sieventämään, saadaan = DD = DD. (16) ( )( ) DD = e 1 e 2 + e 1 + e 2 = =. Vastaavasti saadaan = DD. Laplacen operaattorin avulla määritellään harmoniset funktiot. Määritelmä 2.4 (Harmoninen funktio) Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko. Olkoon funktio f : Ω Cl 0,2 kahdesti jatkuvasti derivoituva. Jos sanotaan funktiota f harmoniseksi. f = 0, (17) Harmonisten ja monogeenisten funktioiden välillä on seuraava tärkeä yhteys. Lause 2.5 Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko. Olkoon funktio H : Ω C harmoninen. Tällöin funktio on monogeeninen. f = DH (18) 6

7 Todistus. Olkoon H : Ω C harmoninen funktio, eli H = 0. Olkoon f = DH. un operoidaan funktiota f vasemmalta Diracin operaattorilla D, saadaan Df = DDH = H = 0. Seuraavaksi pienennetään tutkittavaa funktiojoukkoa siirtymällä paravektoriarvoisiin funktioihin f : Ω R 3. Monogeenisille paravektoriarvoisille funktioille saadaan seuraava mielenkiintoinen tulos: monogeeniset paravektoriarvoiset funktiot toteuttavat niin sanotun M. Rieszin systeemin, mikä on Cauchy-Riemannin systeemin yleistys. Lause 2.6 (M. Rieszin systeemi) ([4]) Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko. Olkoon f : Ω R 3. Funktio f = f 0 + f 1 e 1 + f 2 e 2 on monogeeninen, jos ja vain jos se toteuttaa M. Rieszin systeemin { f0 f 1 f 2 f 1 = f 2, = 0, f 0 = f 1, f 0 = f 2. (19) Todistus. Olkoon f : Ω R 3 funktio. Esitetään f muodossa f = f 0 + f 1 e 1 + f 2 e 2. Suorana laskuna saadaan ( ) Df = + e 1 + e 2 (f 0 + f 1 e 1 + f 2 e 2 ) jos ja vain jos = f 0 + f 1 e 1 + f 2 e 2 + e 1 f 0 f 1 f 2 f 0 f 1 + e 12 + e 2 e 12 f 2 ( f0 = f 1 f ) ( 2 f1 + e 1 + f ) 0 ( f2 + e 2 + f ) ( 0 f2 + e 12 f ) 1 =0, { f0 f 1 f 2 f 1 = f 2, = 0, f 0 = f 1, 7 f 0 = f 2.

8 Yhtäpitävyys pätee edellä, koska Cliordin algebran Cl 0,2 kanta-alkiot ovat lineaarisesti riippumattomat. Esimerkki 2.7 (Cauchy-Riemannin systeemi) Olkoon f : Ω C monogeeninen funktio. Funktio on tällöin muotoa f = f 0 +f 1 e 1. Tällöin M. Rieszin systeemi redusoituu muotoon { f0 = f 1, f 0 = f 1, joka on Cauchy-Riemannin systeemi. ompleksifunktioiden teoriassa Cauchy- Riemannin systeemin toteuttavia funktioita kutsutaan analyyttisiksi. Seuraavassa esimerkissä osoitetaan, että potenssifunktiot x m eivät ole monogeenisia. Monogeenisia funktioita ei näin ollen voida ajatella kompleksianalyysin analyyttisten funktioiden yleistyksenä. Esimerkki 2.8 Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko ja f : Ω Cl 0,2 funktio f(x) = x. Tällöin Df = 1 + e e 2 2 = 1. Potenssifunktiot x m eivät ole monogeenisia. 8

9 3 Cauchyn integraalikaava monogeenisille funktioille Todistetaan Cauchyn kaava monogeenisille funktioille. Todistusta varten tarvitaan joitakin aputuloksia, joita käsitellään aluksi. Teoria seuraa varsin tarkasti lähdettä [4]. Lemma 3.1 ([4]) Olkoon Ω avaruuden R 3 avoin osajoukko. Olkoot f : Ω R 3 ja g : Ω R 3 jatkuvasti derivoituvia funktioita. Tällöin gd l f + D r gf = (gf) + (ge 1 f) + missä D l ja D r ovat vasen ja oikea Diracin operaattori. (ge 2 f), (20) Todistus. Olkoot f : Ω R 3 ja g : Ω R 3 jatkuvasti derivoituvia funktioita. un sovelletaan tulon derivointisääntöä, saadaan ( f f f ) ( g gd l f + D r gf =g + e 1 + e g e 1 + g ) e 2 f =g f f f + ge 1 + ge 2 + g f + g e 1 f + g e 2 f ( g = f + g f ) ( g f ) ( g f ) + e 1 f + ge 1 + e 2 f + ge 2 Funktiota = (gf) + (ge 1 f) + f(x) = x 1 x (ge 2 f). (21) kutsutaan Cauchyn ytimeksi. Cauchyn ydintä tarvitaan integraalikaavan todistamiseen. Cauchyn ydin on singulaarinen origossa, mikä on ainoa piste, joka tuottaa hankaluuksia jatkon kannalta. Olkoon joukko avaruuden R 3 avoin osajoukko. Joukko on kompakti, jos se on suljettu ja rajoitettu. Joukon reunaa merkitään symbolilla ja joukon sulkeumaa. Joukon yksikköulkonormaalia merkitään ν = ν 0 + ν 1 e 1 + ν 2 e 2. 9

10 Lemma 3.2 (Gaussin lause) ([6]) Olkoon avaruuden R 3 avoin osajoukko. Olkoon kompakti ja reuna paloittain sileä. Olkoon f : R 3 joukossa jatkuvasti derivoituva funktio. Tällöin f dx = f ν dσ, (22) missä ν on joukon yksikköulkonormaali. Yksityiskohtainen todistus lähetteessä [6]. Lemma 3.3 ([4]) Olkoon avaruuden R 3 avoin osajoukkoa. Olkoon kompakti ja reuna paloittain sileä. Olkoot f : R 3 ja g : R 3 jatkuvasti derivoituvia funktioita. Tällöin ( gdl f + D r gf ) dx = gνf dσ, (23) missä ν on joukon yksikköulkonormaali. Todistus. Olkoot f : R 3 ja g : R 3 jatkuvasti derivoituvia funktioita. irjoitetaan funktiot muodossa f = 2 f j e j ja g = j=0 2 g i e i. i=0 Todistetaan väite ensin komponettifunktioille. un sovelletaan Lemmaa 3.1, saadaan ( ) ( gi D l f j + D r g i f j dx = (g i f j ) + (g i e 1 f j ) + ) (g i e 2 f j ) dx. un sovelletaan Gaussin lausetta komponenteittain, saadaan ( ) gi D l f j + D r g i f j dx = g i f j ν 0 dσ + g i f j ν 1 e 1 dσ + = g i (ν 0 + ν 1 e 1 + ν 2 e 2 )f j dσ = g i νf j dσ. g i f j ν 2 e 2 dσ Väite on tosi komponenttifunktioille. un kerrotaan vasemmalta yksikkövektorilla e i ja summataan indeksien i yli, saadaan 2 i=0 ( ) 2 gi e i D l f j + D r g i e i f j dx = 10 i=0 g i e i νf j dσ

11 eli ( ) gdl f j + D r gf j dx = gνf j dσ. un kerrotaan oikealta yksikkövektorilla e j ja summataan indeksien j yli, saadaan 2 ( ) 2 gdl f j e j + D r gf j e j dx = gνf j e j dσ j=0 j=0 eli ( gdl f + D r gf ) dx = gνf dσ. Lause 3.4 (Cauchyn kaava monogeenisille funktioille) ([4]) Olkoon avaruuden R 3 avoin osajoukko. Olkoon kompakti ja reuna paloittain sileä. Olkoon f : R 3 monogeeninen funktio. Tällöin f(y) = 1 4π ν(x)f(x) dσ(x), (24) missä ν = ν 0 + ν 1 e 1 + ν 2 e 2 on joukon yksikköulkonormaali. Todistus. Todistus täydentää lähteessä [4] olevaa todistusta. Olkoon f : R 3 monogeeninen funktio. Olkoon g(x, y) = (x y) 1 Cauchyn ydin. Cauchyn ydin on oikealta monogeeninen. Funktion f jatkuvuudesta seuraa, että jos ɛ > 0, niin f(x) f(y) < ɛ, kun x B(y, δ). Integraali saadaan muotoon ν(x)f(x) dσ(x) = + ν(x)f(x) dσ(x) B(y,δ) = (\B(y,δ)) ν(x)f(x) dσ(x) B(y,δ) ν(x)f(x) dσ(x) + ν(x)f(x) dσ(x) B(y,δ) ν(x)f(x) dσ(x). 11

12 Funktio f on vasemmalta ja funktio (x y) 1 oikealta monogeeninen alueessa x y \B(y, δ). un käytetään yllä olevan yhtälön oikean puolen ensimmäiseen integraaliin Lemmaa 3.3, saadaan = =0. (\B(y,δ)) \B(y,δ) Pallon yksikköulkonormaali on ν(x)f(x) dσ(x) D l f }{{} =0 ν(x) = x y. + D r } {{ } =0 f dx oska 1 4π 1 = 4π 1 = 4πδ 2 1 = 4πδ 2 1 4πδ 2 ν(x)f(x) dσ(x) f(y) x y f(x) dσ(x) f(y) }{{}}{{} =δ =δ f(x) dσ(x) f(y) f(x) f(y) dσ(x) B(x,δ) B(x,δ) B(x,δ) B(x,δ) < 1 4πδ 2 4πδ2 ɛ =ɛ, f(x) f(y) dσ(x) niin väite on tosi. 12

13 Viitteet [1] Tony Sudbery, Introduction to quaternions, in Cliord algebras and potential theory, Sirkka-Liisa Eriksson, Ed. Department of mathematics, June 2002, Report Series 7, pp , University of Joensuu. [2] Pertti Lounesto, Cliord Algebras and Spinors, Lecture note series 286. Cambridge University Press, 2 edition, [3] Sirkka-Liisa Eriksson, Hyperholomorphic functions in R 3, in Cliord algebras and potential theory, Sirkka-Liisa Eriksson, Ed. Department of mathematic, June 2002, Report Series 7, pp , University of Joensuu. [4] Heinz Leutwiler, Introduction to generalized function theory, in Clifford algebras and potential theory, Sirkka-Liisa Eriksson, Ed. Department of mathematics, June 2002, Report Series 7, pp , University of Joensuu. [5] John Gilbert and Margareth Murray, Cliord Algebras and Dirac Operators in Harmonic Analysis, Cambridge University Press, february [6] Armo Pohjavirta and eijo Ruohonen, Laaja vektorianalyysi, Opintomoniste, TTY,