2. Geometrinen algebra dimensioissa kaksi ja kolme

Transkriptio

1 . Geometrinen algebra dimensioissa kaksi ja kolme William Kingdon Cliord ( ) esitteli geometrisen algebransa luvulla. Cliord yhdisti sisä- ja ulkotulot yhdeksi tuloksi, geometriseksi tuloksi. Geometrinen tulo on assosiatiivinen, kuten Grassmannin ulkotulo. Lisäksi geometrinen tulo mahdollisti mahdollistaa geometrien algebran alkioiden käänteisalkioiden määrittelyn..1 Geometrinen tulo vektoreille Olkoot a ja b vektoreita. Kappaleessa 1. tutustuttiin kahteen tuloon vektoreilla. Symmetriseen sisätuloon, jota merkitään a b ja antisymmetriseen ulkotuloon, jota merkitäänn a b. Tutkiessaan kompleksilukujen, Cliord sai idean yleistää lukujen z = z + iy ja w = u + iv tulo zw = xu + vy + i(uy vx) korkeampiin dimensioihin. Cliordin idea oli korvata jälkimmäinen termi Grassmannin ulkotulolla. Tuloksena saatu tulo on määritelty kaikissa äärellisissä dimensioissa ja sitä merkitään ab ja kutsutaan geometriseksi tuloksi. Geometrinen tulo vektoreille a ja b on ab = a b + a b. Tulo itsessään näyttää hieman arveluttavalta, lasketaanhan siinä surutta yhteen skalaareita ja bivektoriksi kutsuttuja olioita. Miten tuloon siis pitäisi suhtautua? Vastauksena on; kuten reaali- ja imaginaarilukujen tuloon, jossa tulos ei ole liioin puhtaan reaalinen kuin puhtaan imaginaarinen, vaan jotain siltä väliltä. Jos siis tiedämme vektorien sisä- ja ulkotulot, voimme laskea geometrisen tulon lisäämällä nämä toisiinsa. Toisaalta voimme laskea myös sisä- ja ulkotulot geometrisen tulon avulla, kuten seuraava lause esittää. Lause 1 Olkoot a ja b vektoreita. Tällöin sisätulo saadaan laskettua kaavalla a b = 1 ( ab + ba ) ja ulkotulo kaavalla a b = 1 ( ab ba ). 1

2 Todistus: Olkoot a ja b vektoreita. Lasketaan kaksi tuloa: ja Lasketaan (1) ja () yhteen, niin Vähennetään () tulosta (1), eli ab = a b + a b (1) ba = b a + b a = a b a b. () ab + ba = a b a b = 1 ( ab + ba ). ab ba = a b a b = 1 ( ab ba ). Sisä- ja ulkotulo voidaan siis laskea geometrisen tulon avulla. Tästä seuraa, että geometrisen algebran aksiomaattisen määrittelyn perustaksi riittää geometrinen tulo. Esimerkki Olkoot a ja b vektoreita. Jos a ja b ovat saman suuntaiset, eli b = λa kun λ R, niin ab = a(λa) = a (λa) + a (λa) = a (λa) + λ a a }{{} =0 = a (λa) = a b. Tästä seuraa, että yhdensuuntaiset vektorit kommutoivat, eli a b ab = ba. Jos puolestaan a ja b ovat kohtisuorat, niin ab = }{{} a b +a b =0 = a b.

3 Tästä puolestaan seuraa, että kohtisuorat vektorit antikommutoivat, eli a b ab = ba. Ylemmästä esimerkistä seuraa, että normi voidaan samaistaa vektorin neliöön, eli a = aa = a a = a.. Geometrisen algebran pääpiirteet Cliord meni pidämmälle kuin laskemalla yhteen skalaareita ja bivektoreita. Hän määritteli matemaattisen struktuurin, missä kaikkia alkioita voitiin laskea yhteen ja kertoa keskenään assosiatiivisella kertolaskutoimituksella. Tätä hän kutsui Geometriseksi algebraksi ja sen alkioita multivektoreiksi. Geometrisen algebran alkiot muodostavat lineaarisen avaruuden. Tämän lineaariavaruuden kanta-alkioita eritellään toisistaan määrittelemällä kullekin alkiolle aste (grade). Aste määräytyy sen mukaan monenko vektorin tulona kyseinen alkio saadaan. Esimerkiksi skalaarien aste on 0, vektorien 1, bivektorien etc. Määritellään n.s. asteprojektori, merkitään r, siten, että se poimii mielivaltaisesta multivektorista A sen alkiot jotka ovat astetta r. Esimerkki 3 Olkoon a ja b vektoreita. Tällöin kun k ja a 0 = 0, a 1 = a, a k = 0, ab 0 = a b, ab 1 = 0, ab = a b. Esimerkki 4 Olkoon {e 1, e 1 } avaruuden R luonnollinen kanta. Tällöin vektorien {e 1, e 1 } generoiman geometrisen algebran vektoriavaruuden kanta on {1, e 1, e 1, e 1 e }. Luonnolliselle kannalle e 1 e = e 1 e e 1 e }{{} = e 1 e. =0 3

4 Yleensä ns. geometrisen algebran generoivia alkoita merkitään {1, e 1, e 1, e 1 e }. Olkoon nyt A = 1 + e 1 e ja B = 5e ja Siis AB = (1 + e 1 e )5e = 5e + 10(e 1 e )e = 5e + 10e 1 e = 5e + 10e 1 e }{{} =1 = 5e + 10e 1. AB 0 = 0, AB 1 = 10e 1 + 5e, AB = 0. Kuten edellä, voimme siis kertoa mielivaltaisia multivektoreita keskenään. Geometrinen tulo on assosiatiivinen, tämä riittää määritellä vektoreille, eli a(bc) = (ab)c := abc. Koska multivektorit voidaan kirjoittaa summana ja tulona vektoreita, periytyy assosiatiivisuus, eli jos A, B, C ovat multivektoreita, niin A(BC) = (AB)C = ABC. Vastaavasti vektorien distributiivisuudesta perityy distrivutiivisuus multivektoreille: A(B + C) = AB + AC. Assosiatiivisuus varmistaa sen, että voimme määrittää vektorien käänteisalkion. Jo Hamiltonhan aikoinaan tutkiskeli sitä, miten saataisiin jaettua vektoreilla. Lähestytään asiaa esimerkin avulla. Esimerkki 5 Olkoot a ja b 0 vektoreita ja ab = C, missä siis C on muotoa 4

5 skalaari+bivektori. Miten ratkaisisimme yhtälöstä a:n? Kokeillaan: ab = C (ab)b = Cb a(bb) = Cb ab = Cb a b = Cb a = C b b a = C b b. Ilmeisesti a 1 = a a olisi vektorin a käänteisalkio, tarkistetaan vielä. Lause 6 Olkoon a 0 vektori. Tällöin vektorin a käänteisalkio on Todistus: Olkoon a vektori. Siispä a 1 = a a. aa 1 = a a = a a = 1 ja a 1 a = a a = a a = 1. Esimerkki 7 Olkoon a ja b vektoreita. Tiedämme, että a b = a b cos(θ). 5

6 Saataisiinko ulkotulolle mitään samantapaista? Lähdetään laskemaan: (a b) = (a b)(a b) = (ab a b)( b a) = (ab a b)(a b ba) = (a b)ab (ab)(ba) (a b) + (a b)ba = ab a (a b) + (a b)(ab }{{ ba } ) a b = a b + (a b) = a b + a b cos (θ) = a b (cos (θ) 1) }{{} sin (θ) = a b sin (θ). Aika lailla saman näköistä kuin ristitulo dimensiossa 3. Onkohan näillä jotakin yhteys? Vastaus: On..3 Geometrinen algebra tasossa Palataan tutkimaan edellisen kappaleen esimerkin tason R geometrista algebraa, jonka generoi alkiot {1, e 1, e, e 1 e }. Kantavektorit toteuttavat e 1 = e = 1 ja e 1 e = 1. Generoivien alkioiden juokossa korkein aste on alkolla e 1 e. Korkeimman asteen omaavaa alkiota kutsutaan pseudoskalaariksi. Tasolla R määriteltyä geometrista algebraa merkitään G. Jokainen algebran G multivektori voidaan antaa generoivien alkioiden avulla. Eli, jos ja niin näiden summa on A = α 0 + α 1 e 1 + α e + α 3 e 1 e B = β 0 + β 1 e 1 + β e + β 3 e 1 e A + B = (α 0 + β 0 ) + (α 1 + β 1 )e 1 + (α + β )e + (α 3 + β 3 )e 1 e..3.1 Bivektori ja sen ominaisuudet Tutkitaan nyt algebran G bivektoria. Olemme jo osoittaneet, että e 1 e = e 1 e. Tutkitaan laskusääntöjä hieman lisää. Ensinnäkin ortonormaalit vektorit antikommutoivat, koska e 1 e = e 1 e = e e 1 = e e 1. Tämän ja assososiatiivisuuden avulla saadaan seuraavat laskusäännöt: 6

7 Lause 8 Olkoot e 1 ja e 1 algebran G generoivia vektoreita, tällöin (1) (e 1 e )e 1 = e, () (e 1 e )e = e 1, (3) e 1 (e 1 e ) = e, (4) e (e 1 e ) = e 1, (5) (e 1 e ) = 1. Todistus: Todistetaan (1): (e 1 e )e 1 = ( e e 1 )e 1 = e e 1 = e. Kohdat (), (3) ja (4) menee kuten (1). Todistetaan kohta (5) (e 1 e ) = e 1 e e 1 e = e e 1 e }{{} 1 e = e = 1. =1 Kohdasta (5) seuraa alkion e 1 e nimitys pseudoskalaari. Kohtia (1)-(4) voidaan ajatella ±90 rotaatioina..3. Multivektorien kertominen Edellä laskimme multivektorien ja A = α 0 + α 1 e 1 + α e + α 3 e 1 e B = β 0 + β 1 e 1 + β e + β 3 e 1 e summan. Annetaan seuraavaksi kaava tulolle, jonka voi todentaa (kamalahkolla) suoralla laskulla. Tulon on siis missä kertoimet ovat AB = µ 0 + µ 1 e 1 + µ e + µ 3 e 1 e µ 0 = α 0 β 0 + α 1 β 1 + α β α 3 β 3, µ 1 = α 0 β 1 + α 1 β 0 + α 3 β α β 3, µ = α 0 β + α β 0 + α 1 β 3 α 3 β 1, µ 3 = α 0 β 3 + α 3 β 0 + α 1 β α β 1. 7

8 Yllä olevaa esitystä tulolle tuskin kannattaa käyttää käsinkaskuissa. Kuitenkin on asioita joita tästä huomataan. Ensinnäkin tulo on aina hyvin määritelty ja algebra on suljettu tulon suhteen. Lisäksi tulo on aina laskettavissa ts. se on helposti implementoitavissa tietokonesovellusissa. Toinen tapa kytkeä geometriset algebrat softaan on lineaarialgebra. Matriisien laskentarutiinithan ovat usein saatavilla valmiina. Puhumme tällöin ns. geometristen algebrojen matriisiesityksistä. Esimerkiksi geometrisen algebran G vektoriavaruuden kannaksi voidaan valita kannan {1, e 1, e, e 1 e } sijasta kanta {I, E 1, E, E 1 E } missä I = ( ), E 1 = ( ), E = ( ) 1 0, E E = ( ) Nämä matriisit toteuttavat tarvittavat algebralliset ominaisuudet, eli E 1 = I, E = I, E 1 E = E E 1 ja (E 1 E ) = I. Mainitaan vielä yleisesti, että geometriset algebrat assosiatiivisina algebroina voidaan aina esittää matriisiesitysten avulla. Ongelmaksi matriisiesityksissä tulee geometrisen sisällön katoaminen aksioomien taakse. Olisi siis soveliasta puhua assosiatiivisista algebroista, joiden kanta-alkiot antikommutoivat ja neliö on ±1 nimellä Cliordin algebra. Tällöin ei kiinnitetä huomiota siihen, mitä kanta-alkiot ovat vaan ennemminkin siihen, mitä aksioomian ne totetuttavat. Geometrisia algebroja voi silloin ajatella niinä Cliordin algebroina joiden generoivat alkiot ovat geometriset vektorit (suuntajanojen ekvivalenssiluokat)..3.3 Kytkentä kompleksilukuihin On selvää, että geometrisella algebralla G ja kompleksiluvuilla on jokin yhteys. Onhan yksikköbivektorin neliö 1 ja operoitaessa tällä vektoriin saadaan tuloksena vektori joka on kiertynyt ±90. Merkitään I = e 1 e jolloin siis I = 1.Nyt skalaarin ja bivektorin summa voidaan samaistaa kompleksilukuun, eli Z = u + ve 1 e = u + Iv. Entäpä vektorit, astetta 1 olevat objektit? Kompleksilukuhan voidaan ajatella myös tason R vektorina. Olkoon vektori x = ue 1 + ve. Onko olemassa kuvausta x Z? Vastaus on yksinkertainen, kerrotaan yllä olevaa vasemmalta kantavektorilla e 1, e 1 x = u + ve 1 e = u + Iv = Z. 8

9 Alkion e 1 roolina on olla siis joko reaaliakselin suuntainen yksikkövektori tai operaattori joka kuvaa vektoreja kompleksiluvuiksi ja päin vastoin. Merkitään kompleksikonjugaattia vastaavaa operaattoria ja kutsutaan reversioksi. Nyt Z = u Iv Z = u e 1 e v = u + e e 1 v = xe 1. Olkoon lisäksi W kompleksiluku joka saadaan vektorista y siten, että W = e 1 y ja W = ye 1. Tällöin tulo W Z palautuu geometriseksi tuloksi W Z = ye 1 e 1 x = yx..3.4 Rotaatiot Tunnetustu kompleksilukua z voidaan kiertää kulma φ milloin saadaan kompleksiluku z, eli z = e iφ z missä i on tavallinen imaginaariyksikkö. Ajatellaan nyt kompleksilukuja geometrisessa algebrassa G muodossa Z = u + Iv. Määritellään eksponenttifunktio tuttuun tapaan sarjana e Iφ = (Iφ) n n=o n! = cos(φ) + I sin(φ). Vastaavasti voimme siis kiertää kompleksiluvun Z kompleksiluvuksi Z kaavalla Z = e Iφ Z. Lause 9 Olkoon Z kompleksiluku ja x vektori s.e x = e 1 Z. Tällöin x = e Iφ x = xe Iφ, missä x on saatu kiertämällä tason vektoria x kulman φ. Todistus: Siis x = e 1 Z = e 1 e Iφ Z = e 1 e Iφ e 1 x 9

10 ja e 1 e Iφ e 1 = e 1 (cos(φ) + I sin(φ))e 1 = cos(φ) + e 1 e 1 e e }{{} 1 sin(φ) = e 1 e = cos(φ) I sin(φ.) Koska I antikommutoi kaikkien vektorien kanssa, niin x = e Iφ x = xe Iφ, Kun siis vektoria x kierretään tasossa on sama operoimmeko vektoriin vasemmalta e Iφ :llä vai oikelta e Iφ :llä. Käytännön sovellusten kannalta on hyväksi todettu seuraava tapa. Järjestellään termejä, x = e Iφ x = e Iφ/ e Iφ/ x = e Iφ/ xe Iφ/. Merkitään R = e Iφ/ ja kutsutaan tätä roottoriksi. Toisaalta R = cos( φ ) I sin(φ ) ja R = cos( φ ) + I sin(φ ) = eiφ/. Rotaatiot on yleensä tapana antaa roottorin avulla muodossa x = RxR..4 Geometrinen algebra avaruudessa Geometrinen algebra avaruudessa R 3 on käytännöllinen työkalu esimerkiksi Euklidisen geometrian ja klassisen mekaniikan ongelmissa. Muodostetaan tässä esityksessä geometrinen algebra G 3 lisäämällä yksi lineaarisesti riippumaton kantavektori e 3 algebran G generoivian alkioiden joukkoon {e 1, e }. Saadaan joukko {e 1, e, e 3 } missä vektorit oletetaan ortonormaaleiksi. Tällöin kantavektorit generoivat kolme lineaarisesti riippumatonta kanta bivektoria {e 1 e, e e 3, e 3 e 1 }. 10

11 Lisäksi tulee uudenlainen elementti, kolmen kantavektorin tulo (e 1 e )e 3 = e 1 e e 3 mitä kutsutaan yksikkötrivektoriksi ja sen aste on 3. Trivektori on yksikkökuutio avaruudessa R 3 jonka särminä ovat vektorit e 1, e, e 3. Näin ollen geometrisen algebran G 3 vektoriavaruuden kanta on {1, e 1, e, e 3, e 1 e, e e 3, e 3 e 1, e 1 e e 3 } eli 1 skalaari, 3 vektoria, 3 bivektoria ja 1 trivektori. Trivektoria e 1 e e 3 kutsutaan nyt pseudoskalaariksi, koska sillä on korkein aste..4.1 Vektorin ja bivektorin tulo Kantavektorien antikommutatiivisuudesta seuraa (e 1 e ) = (e e 3 ) = (e 3 e 1 ) = 1. Jälleen vektorien geometrinen tulo laajennetaan kaikille geometrisen algebran G 3 olioille. Olkoon a vektori ja B bivektori. Bivektori B virittää jonkun tason avaruudessa R 3. Jaetaan vektori a tämän tason suuntaiseen, a, ja tasoa vastaan kohtisuoraan, a, osaan eli a = a + a. Nyt on olemassa a :n kanssa ortogonaalinen tason B vektori b siten, että B = a b = a b. Tutkitaan tulon ab = (a + a )B = a B + a B komponentteja. Eli on vektori ja a B = a (a b) = a b a B = a (a b) = a a b on kolmen ortogonaalisen vektorin tulona trivektori. Eli tulo ab on muotoa vektori+trivektori. Olkoon nyt bivektori B = b c, missä b, c vektoreita. Geometrisen tulo assosiatiivisuuden ja distributiivisuuden nojalla bivektorin B tulo vektorin a kanssa on ab = a(b c) = a 1 (bc cb) = 1 (abc acb). 11

12 Sovelletaan tähän identiteettiä Siis eli ab = a b ba. ab = (a b)c (a c)b 1 (bac cab) = (a b)c (a c)b + 1 (bc cb) a } {{} b c=b ab Ba = (a b)c (a c)b. Yhtälön oikea puoli on vektori, eli operaatio ab Ba on astetta alentava, joka siis sisätulon ominaisuus. Voidaan merkitä a B = 1 (ab Ba). Lisäksi a B = a b = (a b)a = B a. Lause 10 Olkoot a, b, c vektoreita. Tällöin ulkotulo on assosiatiivinen, eli Todistus: Kamalahko suora lasku, katso kirja. (a b) c = a (b c). Tulo a B on siis astetta nostava jolloin a B = a (b c) = (a b) c = 1 (ab ba) c = 1 (a(b c) (c b)a) = 1 (a(b c) + (b c)a) = 1 (ab + Ba). 1

13 Lopuksi yhteenveto. Geometrinen tulo vektorin ja bivektorin välillä voidaan antaa muodossa ab = a B + a B missä a B = 1 (ab Ba) ja a B = 1 (ab + Ba)..4. Bivektorialgebra Geometrisessa algebrassa G 3 on kolme lineaarisesti riippumatonta kantabivektoria, merkitään B 1 = e e 3, B = e 3 e 1 ja B 3 = e 1 e. Suorina laskuina voidaan osoittaa, että ja Lisäksi B 1 = B = B 3 = 1 B 1 B = B B 1, B 1 B 3 = B 3 B 1, B B 3 = B 3 B. B 1 B B 3 = 1. Yllä olevat ominaisuudet lähes totetuutavat kvaternionialgebran aksioomat,ainoastaan tulo ijk = 1. Siis, jos valitaan (esimerkiksi) saadaan kvaternionit. i = B 1, j = B, k = B Trivektori Geometrisessa algebrassa G 3 yksikkötrivektori on korkeimman asteen omaava alkio, eli myös pseudoskalaari, merkitään I = e 1 e e 3. Selvästi I = 1. Olkoot a, b, c lineaarisesti riippumattomia vektoreita. Tällöin a b c on trivektori, jota voi ajatella avaruuden R 3 suuntaissärmiönä särminä vektorit a, b, c. Nyt selvästi a b c = αi. 13

14 Edellä α on skalaari ja α on trivektorin a b c muodostaman suuntaissärmiön tilavuus. Tilavuus ei riipu miten ulkotulo lasketaan, kunhan vektorien suuntaa ei muuteta. Eli ulkotulo säilyttää arvonsa syklisissä permutoinneissa, a b c = c a b = b c a. Operoidaan trivektorilla kantavektoriin e 1 saadaan e 1 I = e 1 (e 1 e e 3 ) = e e 3. Tuloksena saadaan bivektori joka virittää tason jonka normaali on vektori e 1. Tästä seuraa myös muuta. Voidaan osoitaa, että trivektori I kommutoi kaikkien vektorien kanssa, eli ai = Ia. Tämä ominaisuus on kaikkien geometristen algebrojen G n pseudoskalaareilla, joilla n on pariton. Jos n on parillinen, kuten, pseudoskalaari antikommutoi kaikkien vektorien kanssa. Pseudoskalaarin I avulla voidaan kuhunkin kantavektoriin e 1, e, e 3 liittää ns. duaalibivektori. Muunnos on Ie 1 = e e 3, Ie = e 3 e 1, Ie 3 = e 1 e. Jos puolestaan operoidaan pseudoskalaarilla yksikköbivektoreihin, saadaan Ie 1 e = e 3, Ie e 3 = e 1, Ie 3 e 1 = e. Näiden avulla saadaan näppärä yhteys ristituloon, onhan Siis Jos siis a ja b ovat vektoreita, niin e 1 e = e 3, e e 3 = e 1, e 3 e 1 = e. Ie 1 e = I(e 1 e ) = e 1 e, Ie e 3 = I(e e 3 ) = e e 3, Ie 3 e 1 = I(e 3 e 1 ) = e 3 e 1. a b = I(a b). 14