Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT

Transkriptio

1 Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä on sen karakteristika? Onko kyseessä kunta? b) Ratkaise kokonaisalueessa D yhtälö x 3 x = 0. Mitkä ovat ratkaisut, kun D = Z 2 tai D = Z 3? Yleistä sitten havaintosi mielivaltaiseen kokonaisalueeseen. Montako ratkaisua yhtälöllä on, kun kokonaisalueen D karakteristika on 2? Entä silloin, kun karakteristika on 3? Ratkaisu. a) Määritelmän mukaan kokonaisalue on vaihdannainen rengas, joka ei ole nollrengas ja jossa ei ole nollanjakajia. Jo monesti on todettu, että jäännösluokkien laskutoimitukset ovat vaihdannaisia, joten rengas R on vaihdannainen. Se ei myöskään selvästi ole nollarengas. Riittää siis osoittaa, että se ei sisällä nollanjakajia. Tämä nähdään helposti muodostamalla laskutaulu kertolaskun suhteen: [2] 10 [4] 10 [6] 10 [8] 10 [2] 10 [4] 10 [8] 10 [2] 10 [6] 10 [4] 10 [8] 10 [6] 10 [4] 10 [2] 10 [6] 10 [2] 10 [4] 10 [6] 10 [8] 10 [8] 10 [6] 10 [2] 10 [8] 10 [4] 10 Siten nähdään, että rengas R on kokonaisalue, jonka multiplikatiivinen neutraalialkio on [6] 10. Huomataan, että 2 [6] 10 = [12] 10 = [2] 10, 3 [6] 10 = [18] 10 = [8] 10, 4 [6] 10 = [24] 10 = [4] 10, 5 [6] 10 = [30] 10 = [0] 10, joten kokonaisalueen R karakteristika on 5. Koska R on äärellinen, niin lauseen nojalla se on myös kunta.. 1

2 b) Koska D on rengas, niin osittelulakien avulla saadaan x 3 x = 0 D x(x 2 1 D ) = 0 D x(x + 1 D )(x 1 D ) = 0 D Puolestaan koska D on kokonaisalue, se ei sisällä nollanjakajia, joten tulo on nolla vain jos jokin tulontekijöistä on nolla. Siten on voimassa x = 0 D tai x + 1 D = 0 D tai x 1 D = 0 D joten ratkaisuiksi saadaan additiivinen neutraalialkio 0 D, multiplikatiivinen neutraalialkio 1 D ja sen vasta-alkio 1 D. Kun D = Z 2, niin 1 D = 1 D = [1] 2, joten ratkaisut ovat tällöin [0] 2 ja [1] 2, eli kaikki kokonaisalueen alkiot toteuttavat yhtälön ja erillisiä ratkaisuja on kaksi kappaletta. Kun D = Z 3, niin 1 D = [2] 3, joten ratkaisut ovat tällöin [0] 3, [1] 3 ja [2] 3, eli kaikki kokonaisalueen alkiot toteuttavat yhtälön ja erillisiä ratkaisuja on kolme kappaletta. Kun kokonaisalueen D karakteristika on 2, niin jokainen alkio on oma vasta-alkionsa. Siten tällöin 1 D = 1 D, joten yhtälöllä on kaksi erillistä ratkaisua. Kun kokonaisalueen D karakteristika on 3, niin 1 D tällöin erillisiä ratkaisuja on kolme kappaletta. 1 D, joten 2. Osoita, että karteesinen tulo Z 3 Z 3 on rengas, kun laskutoimitukset määritellään pisteittäin. Rengas Z 3 on kokonaisalue ja vieläpä kunta. Onko Z 3 Z 3 kokonaisalue? Entä kunta? Ratkaisu. Käydään renkaan ehdot läpi yksi kerrallaan. (R1) Osoitetaan, että (Z 3 Z 3, +) on vaihdannainen ryhmä. Muistetaan, että harjoituksen 3 tehtävässä 3 osoitettiin, että jos G on ryhmä, niin pisteittäisellä laskutoimituksella määritelty karteesinen tulo G G on myös ryhmä. Siten Z 3 Z 3 on ryhmä. Vaihdannaisuus seuraa ryhmän Z 3 vaihdannaisuudesta, sillä nyt kaikilla a, b, c, d Z 3 on voimassa (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) = (c + a, d + b) = (c, d) + (a, b). 2

3 (R2) Osoitetaan, että tulojoukossa Z 3 Z 3 määritelty pisteittäinen kertolasku on liitännäinen. Tämä seuraa (tietenkin) renkaan Z 3 kertolaskun liitännäisyydestä. Olkoon siis a, b, c, d, f, g Z 3. Nyt on voimassa (a, b) ((c, d) (f, g)) = (a, b) (cf, dg) joten kertolasku on liitännäinen. = (a(cf), b(dg)) = ((ac)f, (bd)g) = (ac, bd) (f, g) = ((a, b) (c, d)) (f, g), (R3) Osoitetaan, että pisteittäin määritellylle kertolaskulle löytyy neturaalialkio. Tämä on luonnollisestikin alkio ([1] 3, [1] 3 ), sillä nyt kaikille a, b Z 3 on voimassa (a, b) ([1] 3, [1] 3 ) = (a [1] 3, b [1] 3 ) = (a, b) = ([1] 3 a, [1] 3 b) = ([1] 3, [1] 3 ) (a, b). (R4) Osoitetaan, että osittelilait ovat voimassa tulojoukossa Z 3 Z 3. Ne saadaan osoitettua tietenkin käyttäen tietoa, että ne ovat voimassa renkaassa Z 3. Olkoon siis a, b, c, d, g, f Z 3. Nyt pätee ja (a, b) ((c, d) + (f, g)) = (a, b) (c + f, d + g) = (a(c + f), b(d + g)) = (ac + af, bd + bg) = (ac, bd) + (af, bg) = (a, b) (c, d) + (a, b) (f, g) ((a, b) + (c, d)) (f, g) = (a + c, b + d) (f, g) = ((a + c)f, (b + d)g) = (af + cf, bg + dg) = (af, bg) + (cf, dg) = (a, b) (f, g) + (c, d) (f, g). 3

4 Siten Z 3 Z 3 on rengas. Se ei kuitenkaan ole kokonaisalue, sillä huomataan, että alkioille ([0] 3, [1] 3 ]) ja [1] 3, [0] 3 ) on voimassa ([0] 3, [1] 3 ) ([1] 3, [0] 3 ) = ([0] 3 [1] 3, [1] 3 [0] 3 ) = ([0] 3, [0] 3 ), joten rengas sisältää nollanjakajia. Koska se ei ole kokonaisalue, se ei voi myöskään olla kunta. 3. a) Oletetaan, että n Z ei ole alkuluku. Osoita, että Z n ei ole kokonaisalue. (Ota mallia vaikkapa renkaasta Z 6, joka ei ole kokonaisalue.) b) Olkoon p alkuluku. Osoita, että Z p on kokonaisalue. Siten Z n on kokonaisalue täsmälleen silloin, kun n on alkuluku. Ratkaisu. a) Koska luku n ei ole alkuluku, niin on olemassa sellaiset luvut a, b Z, joille 1 < a < n ja 1 < b < n ja lisäksi n = ab. Tämä seuraa esimerkiksi aritmetiikan peruslauseesta, joka on kurssimateriaalin lause Nyt on kuitenkin voimassa [a] n [b] n = [ab] n = [0] n, joten Z n sisältää nollanjakajia ja se ei siten voi olla kokonaisalue. b) Renkaassa Z n on voimassa [m] n = [0] n jos ja vain jos m = kn jollakin k Z jokaisella n N \ {0}. Olkoot siis a, b Z sellaiset, että [a] p [b] p = [0] p. Siten [ab] p = [0] p, joten on voimassa ab = kp jollakin k Z. Siten k = (ab)/p Z, joten luku p jakaa luvun ab. Lauseen nojalla nyt on voimassa p a tai p b, joten a = lp tai b = mp jollakin l, m Z. Siten [a] p = [0] p tai [b] p = [0] p, joten Z p on kokonaisalue. 4. Määritä kaikki ryhmän S 3 aliryhmät. Lagrangen lauseesta on apua. Ratkaisu. Muistetaan, että ryhmän S 3 kertaluku on S 3 = 3! = 6. Lagrangen lauseen nojalla jokaisen äärellisen ryhmän aliryhmän kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun, joten ryhmän S 3 aliryhmän kertaluku voi olla 4

5 1, 2, 3 tai 6. Triviaalit aliryhmät S 3 ja {(1)} ovat ainoat aliryhmät, joiden kertaluvut ovat 1 ja 6, joten riittää etsiä aliryhmät, joiden kertaluku on 2 tai 3 (tai osoittaa, että tällaisia ei ole olemassa). Koska 2 ja 3 ovat alkulukuja, niin lauseen nojalla jokainen ryhmän S 3 epätriviaali aliryhmä on syklinen. Siten ryhmällä S 3 on kuusi aliryhmää ja ne ovat H 1 = (1) = {(1)}, H 2 = (12) = {(1), (12)}, H 3 = (13) = {(1), (13)}, H 4 = (23) = {(1), (23)}, H 5 = (123) = (132) = {(1), (123), (132)}, H 6 = S Olkoon G ryhmä ja H sen aliryhmä. a) Oletetaan, että x, y G. Osoita, että x(hy) = (xh)y. b) Oletetaan, että x G ja h H. Osoita, että xhh = xh. Ratkaisu. a) Osoitetaan sisältyvyydet kumpaankin suuntaan. Olkoon a x(hy). Tällöin siis a = xy jollakin y Hy. Puolestaan y = hy jollakin h H, joten a = x(hy). Koska G on ryhmä, niin liitännäisyyden nojalla on voimassa a = x(hy) = (xh)y. Koska xh xh, niin a = (xh)y (xh)y. Olkoon a (xh)y. Tällöin a = x y jollakin x xh. Puolestaan x = xh jollakin h H, joten a = (xh)y. Liitännäisyyden nojalla a = (xh)y = x(hy). Siten koska hy Hy, niin a = x(hy) x(hy). b) Osoitetaan sisältyvyydet kumpaankin suuntaan. Olkoon a xhh. Tällöin a = xhh jollakin h H. Koska hh H, niin a = x(hh ) xh. Olkoon nyt a xh. Tällöin a = xh jollakin h H. Toisaalta a = xhh 1 h ja puolestaan h 1 h H, joten a xhh. 5

6 6. Tarkastellaan ryhmän Z 9 aliryhmää N = [3] 9. Kirjoita tekijäryhmän Z 9 /N yhteenlaskutaulu. Järjestä ryhmän Z 9 yhteenlaskutaulussa alkiot sivuluokkien mukaan. Miten taulussa näkyy tekijäryhmä Z 9 /N? Ratkaisu. Koska N = {[0] 9, [3] 9, [6] 9 }, niin Lagrangen lauseen nojalla aliryhmän N suhteen ryhmällä Z 9 on Z 9 N = 9 3 = 3 sivuluokkaa. Nämä sivuluokat ovat N, [1] 9 + N ja [2] 9 + N ja niiden yhteenlaskutaulu on + N [1] 9 + N [2] 9 + N N N [1] 9 + N [2] 9 + N [1] 9 + N [1] 9 + N [2] 9 + N N [2] 9 + N [2] 9 + N N [1] 9 + N. Sivuluokkien suhteen järjesteltynä ryhmän Z 9 yhteenlaskutaulu on + [0] 9 [3] 9 [6] 9 [1] 9 [4] 9 [7] 9 [2] 9 [5] 9 [8] 9 [0] 9 [0] 9 [3] 9 [6] 9 [1] 9 [4] 9 [7] 9 [2] 9 [5] 9 [8] 9 [3] 9 [3] 9 [6] 9 [0] 9 [4] 9 [7] 9 [1] 9 [5] 9 [8] 9 [2] 9 [6] 9 [6] 9 [0] 9 [3] 9 [7] 9 [1] 9 [4] 9 [8] 9 [2] 9 [5] 9 [1] 9 [1] 9 [4] 9 [7] 9 [2] 9 [5] 9 [8] 9 [3] 9 [6] 9 [0] 9 [4] 9 [4] 9 [7] 9 [1] 9 [5] 9 [8] 9 [2] 9 [6] 9 [0] 9 [3] 9 [7] 9 [7] 9 [1] 9 [4] 9 [8] 9 [2] 9 [5] 9 [0] 9 [3] 9 [6] 9 [2] 9 [2] 9 [5] 9 [8] 9 [3] 9 [6] 9 [0] 9 [4] 9 [7] 9 [1] 9 [5] 9 [5] 9 [8] 9 [2] 9 [6] 9 [0] 9 [3] 9 [7] 9 [1] 9 [4] 9 [8] 9 [8] 9 [2] 9 [5] 9 [0] 9 [3] 9 [6] 9 [1] 9 [4] 9 [7] 9 Sivuluokat näkyvät rajatuissa alueissa ja jokainen alue vastaa alkiota sivuluokkien yhteenlaskutaulussa.. 6