Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0
|
|
- Sari Turunen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus yli kunnan k. Lisäksi edellytetään, että renkaan A kertolasku on k-lineaarinen kummankin tekijän suhteen. Esimerkiksi kunnan k laajennuskunnat sekä polynomirenkaat k[x], k[x, y] ovat k-algebroja. Määritelmä 1. Sanotaan, että k-algebra A on porrastettu algebra (engl. graded algebra), jos se voidaan esittää aliavaruuksiensa A n, n N, suorana summana A = siten, että kaikille luonnollisille luvuille n, m on voimassa A n A m A n+m. Esimerkiksi polynomirengas A = k[x, y] saa porrastetun algebran rakenteen, kun valitaan aliavaruudeksi A n monomien x n i y i, i = 0, 1,..., n, virittämä aliavaruus. Määritelmä 2. Jos A on porrastettu algebra, sanomme aliavaruuden A n alkioita (astetta n oleviksi) homogeenisiksi alkioiksi ja aliavaruutta A n itseään kutsumme A:n n-homogeeniseksi osaksi. Algeran A alkion a = a 0 +a 1 + +a m, a i A i, komponentteja a i kutsumme alkion a homogeenisiksi osiksi (tai komponenteiksi). Sanomme algebran A ihannetta I homogeeniseksi, jos sen jokaisen alkion homogeeniset osat ovat nekin ihanteen I alkioita tai ekvivalentisti missä I n = I A n. n=0 A n I = I n, Harjoitustehtävä 1. Osoita, että porrastetun algebran A ykkösalkio 1 = 1 A on homogeeninen astetta nolla. Jos A on porrastettu algebra ja m on luonnollinen luku, niin joukko on homogeeninen ihanne. n=0 A m = Lemma 3. Porrastetun algebran ihanne I on homogeeninen, jos ja vain jos on olemassa joukko homogeenisia alkioita, jotka generoivat I:n ihanteena. n=m A n 1
2 Todistus.Harjoitustehtävä. Lause 4. Jos A on porrastettu algebra ja I sen homogeeninen ihanne, niin tekijäalgebralla A = A/I on porrastetun algebran rakenne, missä A n muodostuu homogeenisen osan A n alkioiden sivuluokista modulo I. Todistus. Ainoa ei-triviaali seikka on todistaa, että aliavaruuksien A n summa on suora. Tämäkin seuraa suoraan ihanteen I homogeenisuudesta. Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia yli skalaarikunnan k. Jos niillä on vastaavat kannat B V = {x i i I} ja B W = {y j j J}, niin näiden tensoritulolla V k W (toistaiseksi ei sekaannuksen vaaraa ole, ja käytämme lyhyempää merkintää V W ) tarkoitetaan k-vektoriavaruutta, jolla on kantana joukko {x i y j i I, j J}. Jos x = i a ix i V ja y = j b jy j W ovat mielivaltaisia vektoreita, niin niiden tensoritulo x y määritellään avaruuden V W alkioksi a i b j x i y j. i I,j J Huomaa, että kaikissa esiintyvissä summissa on äärellinen määrä nollasta eroavia alkioita. Nähdään heti, että kuvaus (x, y) x y on bilineaarinen. Tensoritulo on funktoriaalinen, mikä voitaisiin ilmaista täsmällisemmin kategoriateorian kielellä. Tässä se tarkoittaa sitä, että jos f : V V ja g : W W ovat k-lineaarisia kuvauksia, niin on olemassa yksikäsitteinen säännön x y f(x) g(y) kaikilla x V, y W toteuttava lineaarikuvaus f g : V W V W. Lisäksi tämä kuvausten tensoritulo kunnioittaa kuvausten yhdistämistä, eli jos lisäksi f : V V ja g ; W W ovat nekin k-lineaarisia kuvauksia, niin on voimassa (f g ) (f g) = (f f) (g g). Kowalski käyttää tätä pykälässä todetessaan, että sääntö g (v w) = (g v) (g w) tekee avaruudesta V W ryhmän esityksen, jos V ja W sitä olivat. Siellä esitykseen ρ 1 kuuluvat kuvaukset ρ 1 (g), g G, ottavat f:n (ja f :n) roolin, ja toiseen esitykseen kuuluvat kuvaukset ρ 2 (g) ovat meillä kuvauksen g roolissa. Huomautus 5. Jos yllä kaikki esiintyvät avaruudet ovat äärellisulotteisia ja lineaarikuvauksia f ja g esittävät valittujen kantojen suhteen matriisit A ja B, niin kuvausta f g esittää (kanta-alkioiden tensoritulojen suhteen muodostetun kannan suhteen) matriisien A ja B Kronecker-tulo, josta usein käytetään merkintää A B. Tässä on oltava tarkkana sillä tensoritulon kannalla on 2 vaihtoehtoista luonnollista järjestystä! Huomautus 6. Koska kahden vektoriavaruuden tensoritulo on sekin vektoriavaruus, voidaan muodostaa myös kolmen vektoriavaruuden U, V, W tensoritulot (U V ) W ja U (V W ). Vertailemalla kantoja näemme, että on olemassa ehdon u (v w) (u v) w 2
3 kaikille vektoreille u U, v V, w W toteuttava vektoriavaruuksien välinen isomorsmi näiden kahden tensoritulon välillä. Samaistamme yleensä nämä avaruudet, ja käytämme merkintää U V W. Tensoritulo on tässä mielessä siis assosiatiivinen. Assosiatiivisuuden todistaminen yleisemmälle tensoritulolle sen universaalisuusominaisuutta käyttäen on hivenen epätriviaalia, sillä ei ole aivan selvää, että kyseinen kuvaus on aina hyvin määritelty. Meidän tapauksessamme voimme määritellä kuvauksen ensin kanta-alkioille, ja suoraviivaisella laskulla tarkistaa, että mainittu ehto on voimassa kaikille vektoreille u, v, w. Määritellään vektoriavaruuden V tensoripotenssit V n, n N, asettamalla V 0 = k ja sitten rekursiivisesti V (k+1) = V V k aina, kun k N. Siis V n = V V V V, missä oikealla puolella on n-kertainen tensoritulo. Määritelmä 7. Olkoon V vektoriavaruus yli kunnan k. Sen tensorialgebra T (V ) on porrastettu algebra T (V ) = V n. Algebran T (V ) kertolasku saadaan liimaamalla yhteen sääntöjen (v 1 v 2 v m ) (u 1 u 2 u n ) = v 1 v 2 v m u 1 u 2 u n yksikäsitteisesti määräämät bilineaarikuvaukset V m V n V (m+n). Tässä m, n N ja v 1, v 2,..., v m, u 1, u 2,..., u n V ovat mielivaltaisia. Harjoitustehtävänä voit tarkistaa, että T (V ) todella on porrastettu algebra. Yleensä samaistamme avaruuden V tensorialgebra 1-homogeenisen osan V 1 = V kanssa. Käytämme tarvittaessa tästä identioivasta upotuskuvauksesta merkintää i V Lause 8. (Tensorialgebran universaalisuusominaisuus) Jos A on jokin k-algebra, ja f : V A jokin k-lineaarinen kuvaus, niin tällöin on olemassa yksikäsitteinen sellainen k-algebrojen välinen homomorsmi f : T (V ) A, että kaikille vektoreille v V. n=0 f(i V (v)) = f(v) Todistus. Selvästi f on pakko määritellä säännöllä f(v 1 v 2 v n ) = f(v 1 )f(v 2 )f(v 3 ) f(v n ) kaikille luonnollisille luvuille n ja vektoreille v 1, v 2,..., v n. Tässä yhtälön oikealla puolella esiintyy tietenkin algebran A kertolasku. Suoraviivainen harjoitustehtävä osoittaa, että tästä säännöstä k-lineaarisesti laajentamalla muodostettu kuvaus on k-algebrojen välinen homomorsmi. Seuraus 9. Jos f : V V on jokin k-lineaarikuvaus, niin on olemassa yksikäsitteinen k-algebrojen välinen morsmi T (f) : T (V ) T (V ), joka toteuttaa ehdon T (f)(v 1 v 2 v n ) = f(v 1 ) f(v 2 ) f(v n ) 3
4 kaikille n N, v 1, v 2,..., v n V. Jos lisäksi f : V V on jokin lineaarikuvaus, niin on voimassa T (f f) = T (f ) T (f). Todistus. Ensimmäinen väite seuraa sovelletamalla edellistä Lausetta lineaarikuvaukseen i V f : V T (V ). Jälkimmäinen väite jätetään harjoitustehtäväksi. Huomautus 10. Kategoriateorian kieltä tuntevat tunnistavat kahden edellisen lauseen osoittavan, että tensorialgebran muodostaminen on k-algebrojen kategoriasta k-avaruuksien kategoriaan menevän ns. unohtavan funktorin liittofunktori. Tässä mielessä tensorialgebrat ovat "vapaita k-algebroja". Universaalisuusominaisuushan on samantapainen kuin vapailla ryhmillä (tai vapailla abelin ryhmillä, tai vektoriavaruuksilla). Tensorialgebra on usein hieman liian iso (vapauden seurauksena, vrt. vapaat ryhmät). Sillä on useita tekijäalgebroja, jotka saadaan asettamalla haluttuja vaatimuksia kahden vektorin tulolle. Tavoitteena on yleensä tällöin jokin universaaliominaisuus, ja siihen pääsemiseksi on luontevaa jakaa tensorialgebra sopivalla ihanteella. Tässä yhteydessä tutustumme näistä kahteen: symmetriseen algebraan, jossa edellytämme avaruuden V vektorien tulolta kommutatiivisuutta sekä ns. ulkoalgebraan (engl. exterior algebra), jossa edellytämme antikommutatiivisuutta. Lisäksi voidaan mainita ns. Cliordin algebrat, jotka saadaan vaatimalla että vektorien kertolasku vastaa annettua symmetristä bilineaarimuotoa (, ); V V k. Nämä jonkin verran ulkoalgebraa muistuttavat ötökät kiinnostavat kait vain Roopea, ja eroavat muista sikäli, että silloin jaettava ihanne ei ole homogeeninen, joten sivuutamme ne tässä yhteydessä. Olkoon siis V jälleen jokin vektoriavaruus yli kunnan k. Olkoon I tensorialgebran T (V ) kaikkien muotoa x y y x, x, y V, olevien alkioiden generoima (2-puoleinen) ihanne. Koska ihanteen I generaattorit ovat 2- homogeenisia, niin tekijäalgebra Sym(V ) = T (V )/I on sekin porrastettu algebra, ja voidaan esittää homogeenisten osiensa Sym n (V ) suorana summana. Symmetrisessä algebrassa on kaikille vektoreille x, y V voimassa x y + I = y x + I. Koska (tensorialgebran tapaan) V generoi algebran Sym(V ), seuraa tästä, että Sym(V ) on kommutatiivinen k-algebra. Voidaan todistaa (ks. esim. Jacobson, BA I-II), ettei ihanteen I jakaminen muita relaatioita tuotakaan. Symmetrisen algebran tapauksessa käytämme vektorien kertolaskusta tavallista kertolaskun merkintää tensoritulon asemesta, ja merkitsemme siis esimerkiksi xy:llä sivuluokkien x + I ja y + I tuloa. Harjoitustehtävä 2. Muotoile ja todista Tensorialgebran universaalisuusominaisuutta vastaava Symmetrisen algebran universaalisuusominaisuus. 4
5 Erityisesti, jos dim k V < ja {x 1, x 2,..., x n } on avaruuden V kanta, niin näemme, että tässä tapauksessa symmetrinen algebra on isomornen Sym(V ) k[x 1, x 2,..., x n ] n:n muuttujien polynomien algebran kanssa. Tämä motivoi osaltaan homogeenisuuden käsitteeseen liittyvät puhetavat. Ulkoalgebra saadaan jakamalla tensorialgebra T (V ) homogeenisella alkioiden x x, x V generoimalla (2-puoleisella) ihanteella J. Jos x, y V ovat mielivaltaisia, niin alkio (x + y) (x + y) x x y y = x y + y x J. Näin ollen tekijäalgebrassa (V ) = T (V )/J on voimassa kaikille vektoreille x, y V. (x + J)(y + J) = (y + J)(x + J) Esimerkki 11. Selvitetään ulkoalgebran (V ) rakenne vektoriavaruutena, kun V on 2- ulotteinen avaruus, jonka kannan muodostavat vektorit x ja y. Ratkaisu. Selvästi (? tai ks. Jacobson) T (V ) n J = {0}, kun n < 2, joten (V ) 0 = k 1 ja (V ) 1 V. Avaruudella T (V ) 2 on kanta x x, x y, y x, y y, joten T (V ) 2 J on 3-ulotteinen avaruus, kantana x x, y y, x y + y x. Näin ollen dim (V ) 1 = 1, ja sillä on kantana x y + J = y x + J. Kahdeksanulotteiselle avaruudelle T (V ) 3, kantana x x x, x x y, x y x,y x x,x y y,y x y, y y x,y y y, sen sijaan käy projektiossa T (V ) (V ) huonosti. Kaikki kanta-alkiot ovat nimittäin ihanteessa J. Tämä on ilmeistä niiden kanta-alkioiden kohdalla, joissa sama kanta-alkio esiintyy kahdesti peräkkäin. Mutta muista päästään tähän soveltamalla kerran antikommutatiivisuutta. Esimerkiksi (x y x) + J = (x + J)(y x + J) = (x + J)( x y + J) = (x x y) + J = ((x x) + J)(y + J) = (0 + J)(y + J) = 0 + J. Näin ollen T (V ) 3 J. Koska kaikille n > 3 on voimassa V n = V 3 V (n 3), niin V n J aina, kun n 3. Saamme siis vastaukseksi, että (V ) = k 1 k x k y k (x y), missä lopussa otimme käyttöön usein esiintyvän merkinnän x y = (x + J)(y + J) vektorien x, y V sivuluokkien tulolle ulkoalgebrassa. Esimerkin tulos yleistyy seuraavasti. 5
6 Lause 12. Oletetaan, että dim V = n, ja että {x 1, x 2,..., x n } on avaruuden V eräs kanta. Tällöin ulkoalgebran r-homogeenisella osalla on kanta {x i1 x i2 x ir 1 i 1 < i 2 < < i r n}. Siis dim k (V ) r = ( n r). Erityisesti (V ) n on 1-ulotteinen avaruus ja (V ) r = 0, jos r > n. Todistus. Ks. Jacobson. Jos f : V V on k-lineaarinen kuvaus, niin yllä konstruoitu algebrahomomorsmi T (f) : T (V ) T (V ) on sellainen, että T (f)(i) I ja T (f)(j) J. Näin ollen T (f) indusoi myös algebrahomomorsmit Sym(f) : Sym(V ) Sym(V ) ja (f) : (V ) (V ). Kaikki nämä kuvaukset ovat myös funktoriaalisia ja lisäksi ne kunnioittavat myös algebrojen porrastusta. Näin ollen (vrt. Kowalski 2.2.5) sekä symmetrisen algebran että ulkoalgebran homogeenisille osille saadaan luonnollinen rakenne ryhmän G esityksenä, kun sellainen on annettu avaruudelle V. Esimerkki 13. Olkoon V 2-ulotteinen avaruus, jolla on kanta {x, y}. Olkoon f : V V lineaarikuvaus, jonka matriisi kyseisen kannan suhteen on ( ) a b M =. c d Osoitetaan, että tällöin (f)(x y) = (det M) (x y). Ratkaisu. Nyt (f)(x) = f(x) = ax + cy ja (f)(y) = f(y) = bx + dy. Koska (f) on homomorsmi ulkoalgebralta sille itselleen saamme (f)(x y) = (f)(x) (f)(y) = (ax + cy) (bx + dy) = abx x + adx y + cby x + cdy y = 0 + adx y + cb( x y) + 0 = (ad bc)x y. Tämä lasku yleistyy kaikille äärellisulotteisille avaruuksille. Lause 14. Jos V on äärellisulotteinen vektoriavaruus, kanta {x 1, x 2,..., x n }, ja f : V V on lineaarikuvaus, niin (f)(x1 x 2 x n ) = det(f) (x 1 x 2 x n ). Todistus. Ks. Jacobson. Seuraus 15. Jos V on äärellisulotteinen vektoriavaruus, kanta {x 1, x 2,..., x n }, ja f, g : V V ovat lineaarikuvauksia, niin det(f g) = det(f) det(g). 6
7 Todistus. Väite seuraa edellisestä Lauseesta sekä ulkoalgebrakonstruktion funktorialisuudesta: (f g) = (f) (g). Harjoitustehtävä 3. Oletetaan, että vektorit x 1, x 2, x 3, x 4 V ovat lineaarisesti riippuvia. Osoita, että tällöin x 1 x 2 + x 3 x 4 = u v, missä u, v V on valittu sopivasti (valinta ei ole yksikäsitteinen). Harjoitustehtävä 4. Oletetaan, että V on äärellisulotteinen vektoriavaruus, ja että x 1, x 2,..., x r ovat sen vektoreita. Osoita, että x 1 x 2 x 3 x r = 0 silloin ja vain silloin, kun kyseinen joukko vektoreita on lineaarisesti riippuva. Harjoitustehtävä 5. Oletetaan, että dim V = 3, k = R. Olkoot i, j, k tavallinen ortonormaali kanta. Määritellään bijektiivinen lineaarikuvaus : (V ) 2 V asettamalla (i j) = k,(j k) = i,(k i) = j. Olkoot x, y V mielivaltaisia. Tarkista laskemalla, että ( x y) on eräs tuttu vektori. Harjoitustehtävä 6. Olkoon V vektoriavaruus, ja x 1,x 2,...,x n sen kanta. Olkoot y 1, y 2,..., y r ja y 1, y 2,..., y r saman aliavaruuden U V kantoja. Osoita, että tällöin on olemassa nollasta eroava alkio α k, jolle y 1 y 2 y r = αy 1 y 2 y r. Näin ollen aliavaruutta U vastaa vakiokerrointa vaille yksikäsitteinen avaruuden (V ) r piste P (U). Kuten mm. Metsänkylä tekee, voidaan tensorialgebran 2-homogeenisen osan suhteen toimia toisin symmetriseen algebraan ja ulkoalgebraan siirryttäessä. Kunhan oletetaan, että char k 2. Jos avaruudella V on kanta {x i i I}, niin sääntö S : x i x j x j x i, i, j I, määrittelee yksikäsitteisen lineaarikuvauksen S : V V V V. Selvästi S on itsensä käänteiskuvaus, eli S S = id V V. Jos lisäksi avaruudessa V on määritelty ryhmän G esitys, niin S on intertwiner-kuvaus. Avaruus V V jakautuu kuvauksen S ominaisarvoihin ±1 kuuluvien osien suoraksi summaksi, sillä jos z V V, niin kehitelmässä z = z + S(z) 2 + z S(z), 2 selvästi ensimmäinen termi kuuluu ominaisarvoon 1 ja jälkimmäinen ominaisarvoon 1. Nämä ominaisavaruudet S + ja S ovat intertwiner-ominaisuuden seurauksena nekin aliesityksiä, ja siis V V = S + S myös esityksinä. 7
8 Lause 16. Projektioille p 1 : T (V ) 2 Sym(V ) 2 ja p 2 : T (V ) 2 (V ) 2 on voimassa: ker p 1 = S, Im p 1 = Sym(V ) 2 ja ker p 2 = S +, Im p 2 = (V ) 2. Todistus. Harjoitustehtävä. Voimme siis samaistaa esityksen V toisen symmetrisen potenssin Sym(V ) 2 ja toisen ulkotulopotenssin (V ) 2 avaruuden V V symmetrisen osan (= S + ) ja antisymmetrisen osan (= S ) kanssa. Huomautus 17. Samanlaista hajotelmaa symmetrisen ja antisymmetrisen osan summaksi EI ole olemassa korkeammille tensoritulopotensseille V n. Tämä johtuu siitä, että useamman komponentin tensoritulolle on olemassa monimutkaisempia symmetrioita. Itse asiassa tällaiset symmetriat karakterisoidaan täysin symmetrisen ryhmän S n esitysteorian avulla! Kun n > 2 näitä on muitakin kuin symmetrisyys ja antisymmetrisyys. Harjoitustehtävä 7. Oletetaan, että f, g GL(V ), n = dim V. Osoita, että tällöin kuvausten tensoritulojen erotukselle t = f g g f : V V V V on voimassa t(s + ) S ja t(s ) = S +. Osoita, että dim ker t n. 8
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotTeema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32
1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
Lisätiedot1 Kannat ja kannanvaihto
1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:
Lisätiedotja jäännösluokkien joukkoa
3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi
LisätiedotLineaarikuvaukset. 12. joulukuuta F (A r ) = F (A r ) r .(3) F (s) = s. (4) Skalaareille kannattaa määritellä lisäksi seuraavat tulot:
Lineaarikuvaukset 12. joulukuuta 2005 1 Yleistys multivektoreille Olkoon F lineaarikuvaus vektoriavaruudessa. Yleistetään F luonnollisella tavalla terille F (a 1 a n ) = F (a 1 ) F (a n ), (1) sekä terien
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotJarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori
Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................
Lisätiedotg : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.
ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2
Lisätiedot3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h
HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)
Lisätiedot1 Tensoriavaruuksista..
1 Tensoriavaruuksista.. Käydään läpi kirjan (1) sivut 126-133. 19.02.2007 Palautetaaieleen viime kerran tärkeä määritelmä: (kirja, Määr. 5.12). Määritelmä 1.1 Olkoon T vektoriavaruus ja Φ : V 1 V 2 V m
Lisätiedotsitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n
Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos
LisätiedotLiittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
LisätiedotÄärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause
Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.
Lisätiedotrenkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x
8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
LisätiedotAlgebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut
Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
Lisätiedot1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa
MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
LisätiedotMitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.
Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin
LisätiedotKantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3. Lineaariset koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 22 3.1 Lineaarisen koodin määrittely Olkoon F äärellinen kunta.
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
Lisätiedot(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään
Monisteen Esimerkki 2.6.8 Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään I c = {px R pc = 0}. Osoitetaan, että I c on renkaan R ihanne. Ratkaisu: Vakiofunktio 0 R I c joten I c.
LisätiedotLineaariset Lien ryhmät / Ratkaisut 6 D 381 klo
JYVÄSKYLÄN YLIOPISO MAEMAIIKAN JA ILASOIEEEN LAIOS Lineaariset Lien ryhmät 27.2.2012 / t 6 D 381 klo. 16-18. 1. Matriisiryhmällä U(n) on epätriviaali normaali aliryhmä SU(n), joka on homomorfismin det
LisätiedotEnsi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66
Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3.5 Reedin-Mullerin koodit Olkoon tässä kappaleessa F = F2 = Z2 ja n = 2 m. Määritellään avaruuteen F n kertolasku koordinaateittain:
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotAlgebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia
Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,
Lisätiedotjonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä
4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedotominaisvektorit. Nyt 2 3 6
Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)
LisätiedotLineaarialgebra (muut ko)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
Lisätiedot4. LINEAARIKUVAUKSET
86 4 LINEAARIKUVAUKSET 41 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoot V ja V vektoriavaruuksia Tarkastellaan kuvausta L : V V Tällöin jokaiseen vektoriin v V liittyy tietty, L:n ja v:n yksikäsitteisesti määräämä
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
Lisätiedot2.8. Kannanvaihto R n :ssä
28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus
LisätiedotEsimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.
Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4
LisätiedotKäänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
LisätiedotAlkeismuunnokset matriisille, sivu 57
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
Lisätiedotk=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotYleiset lineaarimuunnokset
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
LisätiedotMAT Algebra 1(s)
8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden
Lisätiedot9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia
9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
LisätiedotGROUPS AND THEIR REPRESENTATIONS - FIFTH PILE. Olemme jo (harjoituksissa!) löytäneet Lien ryhmälle SL 2 (R) seuraavat redusoitumattomat esitykset:
GROUPS AND THEIR REPRESENTATIONS - FIFTH PILE KAREN E. SMITH 32. Ryhmän SL 2 (R) esitykset Example 32.1. Palautamme mieleen, että { x y SL 2 (R) = A = det A = xw yz = 1} ja z w { a b sl 2 (R) = A = Tr
LisätiedotTehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotLiite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet
Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
LisätiedotDemorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot
Lisätiedot