1. Summa ja tulo Määritelmä. Olkoon M moduli ja A perhe modulin M osajoukkoja. Tällöin summa. x supt((xi A ) A A )äärellinen, i I(x i A i ) }.

Transkriptio

1 ÁÁÁ ÃÓÒ ØÖÙØÓØ 1. Summa ja tulo 1.1. Määritelmä. Olkoon M moduli ja A perhe modulin M osajoukkoja. Tällöin summa A A Akoostuuvektoreista A A x A,missäjokaisellaA Apäteex A Ajavektoreiden summa on äärellisluonteinen. Lyhyesti siis: A= { x supt((xa A ) A A )äärellinen, A A(x A A) }. A A A A Vastaavastiindeksöidylleperheelle(A i ) voidaanmääritelläsumma A i = { x supt((xi A ) A A )äärellinen, (x i A i ) }. Erikoistapaustästäonäärellinenjono(A 0,...,A n 1 ),jollemerkitään n 1 A i =A 0 + +A n 1. i= Lause. OlkoonMmodulijaAperhesenalimoduleja. Tällöin A A Aonmyös M:n alimoduli Määritelmä. OlkoonMmodulijaAperhesenalimoduleja. Summa A A Aon suora,josjokaisellax A A Aonyksikäsitteinenesitysx= A A x A,missäsummaon äärellisluonteinenjajokaisellaa Apäteex A A.Tällöinmerkitään A AA= A A VastaavastimerkitäänA 0 + +A n 1 =A 0 A n 1,mikäliao.summaonsuora Lause. (Suoruuskriteeri) Modulin M alimoduliperhe L on suora täsmälleen silloin, kunjokaisellal 0 Lpätee L L 0 ={ 0}. L L{L 0 } ErityisestijosL 1 jal 2 ovatalimoduleita,niinl 1 +L 2,josjavainjosL 1 L 2 ={ 0}. 1.5.Lause. OlkoonWvektoriavaruussekäUjaV senaliavaruuksia,joilleu V =W. Tällöindim(W)=dim(U)+dim(V). 9 A.

2 1.6.Määritelmä.OlkoonMmodulijaLsenalimoduli.M:nalimoduliaL kutsutaanl:n (algebralliseksi)komplementiksim:ssä,josm=l L Lause. Vektoriavaruuden V jokaisella aliavaruudella U on komplementti. 1.8.Lemma. OlkootUjaV vektoriavaruudenwaliavaruuksia.olkoonu 1 aliavaruuden U V komplementtiu:ssajav 1 aliavaruudenu V komplementtiv:ssä.tällöin U+V =U 1 U V V Lause. Olkoot U ja V vektoriavaruuden W äärellisulotteisia aliavaruuksia. Tällöin dim(u+v)=dim(u)+dim(v) dim(u V) Määritelmä.OlkootM i,,r-moduleja.näidenkarteesinentuloonperusjoukkojen karteesinen tulo i ={x:i M M i (x(i) M i )} varustettunapisteittäiselläsummallajaskalaarikerronnalla,ts.x+y:i M i, jacx:i M i, (x+y)(i)=x(i)+y(i) (cx)(i)=cx(i), kunx,y M i,c R. NäinmuodostuvarakenneonR-moduli. Erikoistapauksena tästäonr-modulim 0 M n 1,kunM 0,...,M n 1 ovatr-moduleita Lause. OlkootM i,i I,R-moduleita. Olkoonp j :M j M i kanoninen upotus, ts. { v, kuni=j p j (v)(i)= 0, muuten, kunv M j ja.tällöin: a) Summa Im(p i)= p i[m i ]. b) Im(p i)={x M i supt(x)onäärellinen}. ErityisestijosIonäärellinen, niin Im(p i)= M i Lause. Olkoon A: U V vektoriavaruuksien välinen lineaarikuvaus. Olkoon Z Ker(A):nkomplementtiU:ssa.TällöinA Z:Z =Im(A) Seuraus. Kun A: U V on vektoriavaruuksien välinen lineaarikuvaus, niin dim(u)=dim(ker(a))+rg(a). 10

3 2. Tekijäavaruudet 2.1. Määritelmä. Olkoon M R-moduli. Ekvivalenssirelaatio on modulin M kongruenssi, jos seuraavat ehdot ovat voimassa: 1) Josx x jay y,niinx+y x +y. 2) Josx x jac R,niincx cx Lause. Olkoon M R-moduli. Tällöin M:n kongruenssit ja aliavaruudet ovat yksi yhteen-vastaavuudessa seuraavalla tavalla: 1) Kun onmodulinmkongruenssi,niinnollavektorinekvivalenssiluokkal=[ 0] on M:nalimodulijakaikillax,y Mpätee x y x y L. 2) KunLonM:nalimoduli,niinkaikillex,y Mpätevänehdon x y x y L määräämäm:nrelaatio onkongruenssijal=[ 0] Määritelmä. Olkoon M R-moduli ja sen kongruenssi. Varustetaan kongruenssia vastaavaositusm/ ={[x] x M}yhteenlaskulla,joille [x] +[y] =[x+y] ja skalaarikerronnalla c[x] =[cx], kunx,y Mjac R.Koska onkongruenssi,yhteenlaskuonm/ :nhyvinmääritelty laskutoimitus ja skalaarikerronta hyvinmääritelty kuvaus R (M/ ) M/sim. Näin muodostuvaa R-modulia kutsutaan tekijämoduliksi ja merkitään yleensä M/L = M/, missäl=[ 0]. Tekijämoduli on tietenkin erityisempi asia kuin tekijäryhmä, joten tässäkin tapauksessa alkion x M ekvivalenssiluokka on sivuluokka eli [x] =x+l={x}+l={x+v v L} Lause. Olkoon W vektoriavaruus, U sen aliavaruus ja V U:n komplementti W:ssä. TällöinW/U =V.ItseasiassaV onu:tavastaavankongruenssiedustajisto,ts.jokaisella x W(x+L) V onyksiö Seuraus. (Homomorfialause vektoriavaruuksille) Olkoon A: V W vektoriavaruuksien välinen lineaarikuvaus. Tällöin on olemassa sellainen lineaarikuvaus Ã: A Ker(A) W, 11

4 ettäa=ã p,missäponkanoninenkuvausa A/Ker(A),ts.p(x)=x+Ker(A),kun x V. V W A p à V/Ker(A) 2.6. Lause. (Homomorfialause moduleille) Olkoon A: M N modulien välinen lineaarikuvaus. TällöinonolemassasellainenlineaarikuvausÃ:AKer(A) N,ettäA=à p, missäponkanoninenkuvausa A/Ker(A),ts.p(x)=x+Ker(A),kunx M. M N A p à M/ Ker(A) 2.7. Lause. Olkoon V vektoriavaruus ja U sen aliavaruus. Tällöin dim(v)=dim(v/u)+dim(u). 3. Operaattoriavaruudet Edelläontarkasteltumodulienkarteesisiatuloja,ts.josM i,,ovatr-moduleita, niin M ivoidaanluonnollisellatavallavarustaanr-modulinrakenteella. Erikoistapaus tästäonkarteesinenpotenssi,jolloinlähtöavaruusonyksijasaman. Siiserityisesti I N onr-moduli,kunnonr-moduli. Edelleentämänerikoistapaussaadaan,kunI=Mon myösr-moduli:kunmjanovatr-moduleita,niin N MonluonnollisellatavallaR-moduli. Merkitään L(M,N)={A:M N Alineaarikuvaus} M N. JosM=N,merkitäänlyhyemminL(M)=L(M,M). 3.1.Lause. OlkootMjaNvaihdannaisenrenkaan(R,+, )moduleita.tällöinl(m,n) on M N:nalimoduli Lause. Kun M on moduli, missä kerroinrengas on vaihdannainen, niin(l(m), +, ) on rengas. 12

5 3.3. Määritelmä. a) Renkaan(R, +, ) alkiota a R kutsutaan kääntyväksi, jos sillä on käänteisalkio. Rakennetta(R, )kutsutaanr:nkertolaskuryhmäksi.renkaanalkioa Ronnilpotentti,josa n =0jollakinn Z +. b) Puoliryhmän(S, )alkiotaa Skutsutaanidempotentiksi, josa 2 =a. Jospuoliryhmässä (S, ) on ykkösalkio eli se on monoidi, niin involuutioita ovat ne alkiot a S,joillea 2 =1,muttaa Määritelmä. Kun M on vaihdannaisen renkaan moduli, niin(l(m), ):n kääntyvien alkioiden joukkoa merkitään GL(M):llä. Tällöin(GL(M), ) kutsutaan M:n lineaariseksi ryhmäksi Lause. (GL(M), ) on todella ryhmä. 3.6.Määritelmä.OlkoonMmoduli.LineaarikuvausP:M Monprojektio,josP P= P. 3.7.Lause. OlkoonP L(M)projektio.TällöinM=Im(P) Ker(P),jakuny Im(P) jaz Ker(P),niinP(y+z)=y Määritelmä. Projektion P: M M sanotaan olevan projektio N:lle suuntaan L, jos N=Im(P)jaL=Ker(P) Seuraus. Modulin M alimodulilla N on komplementti, jos ja vain jos on olemassa projektiop:m MmodulilleN Määritelmä. Olkoon M R-moduli, missä kerroinrengas(r, +, ) on vaihdannainen. TällöinR-moduliaL(M,R)kutsutaanM:nduaaliksijamerkitäänM :llä. 13