Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2

Transkriptio

1 Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella solmulla x on täsmälleen yksi sellainen joukon V(G)\A solmu, joka on solmun x naapuri. Olkoon relaatio kyseessä olevien solmuparien kaksioista määräytyvä joukon V(G) ekvivalenssirelaatio. Suoraan relaation valinnan mukaan relaation jokaisen ekvivalenssiluokan solmujen virittämä verkon G aliverkko on yhtenäinen. Relaation jokaista kahta eri ekvivalenssiluokkaa yhdistää jokin verkon G särmä. Näin ollen verkko G/ on täydellinen. Siten verkko K 5 on verkon G minori, jolloin Kuratowskin lauseen nojalla verkko G ei ole tasoverkko. Tehtävä 8 : 2 Perustellaan aluksi erästä sellaista aputulosta, jonka todistaminen on sivuutettu kurssikirjan esityksessä. Perustelussa jätetään kuitenkin yhä monia yksityiskohtia ilman täsmällistä käsittelyä. Lemma. Olkoon P jokin joukonr 2 murtoviiva sekä olkoon jollakin luvulla n N jono (D 0,..., D n ) avaruuden R 2 avoimia kuulia sellainen, että sen peräkkäiset jäsenet leikkaavat pareittain toisiaan. Oletetaan lisäksi, että jonon jokainen kuula leikkaa yhtä tai kahta murtoviivan P erisuuntaista yhdysjanaa ja että jos sen jokin kuula B sisältää kaksi tällaista janaa, niin näillä janoilla on yhteinen piste, joka on kuulan B alkio. Tällöin jokainen joukon D 0 \ P piste voidaan yhdistää johonkin joukon D n \ P pisteeseen murtoviivalla, joka sisältyy jonon (D 0,..., D n ) kuulien yhdisteeseen ja joka ei sisällä joukon P pisteitä. Todistus. Todistetaan väite induktiolla kokoelman sisältämien avoimien kuulien lukumäärän suhteen. Käsitellään ensin alkuaskel hieman yleisemmässä muodossa. Jos avaruudenr 2 avoin kuula B 1 leikkaa murtoviivaa P vain yhden suoran viivan osalta, niin mitkä tahansa aliavaruuden B 1 \ P samaan yhtenäiseen komponenttiin 1

2 kuuluvat kaksi pistettä voidaan konveksiuden perusteella yhdistää toisiinsa niiden välisellä yhdysjanalla. Olkoon toisaalta B 2 avoin kuula sekä olkoot S ja S sellaiset joukonr 2 suorat, että joukot S P ja S P ovat murtoviivan P jananpätkiä, joiden yhteinen piste on joukon B 2 alkio. Oletetaan, että joukko B 2 leikkaa murtoviivaa P vain joukkojen S P ja S P kohdalla. Olkoot nyt joukon B 2 \P pisteet y ja z aliavaruuden B 2 \P samassa yhtenäisessä komponentissa. Jos pisteet y ja z voidaan yhdistää toisiinsa joukon B 2 \ P yhdysjanalla, niin haluttu lopputulos on voimassa. Muussa tapauksessa suorien S ja S poistaminen osittaa tason R 2 neljään eri avoimeen yhtenäiseen joukkoon. Tällöin pisteet y ja z voidaan yhdistää kahdesta yhdysjanasta koostuvalla murtoviivalla, joka kulkee sellaisen joukonr 2 \(S S ) alueen kautta, joka sisältyy samaan yhtenäiseen avaruuden B 2 \ P komponenttiin solmujen y ja z kanssa mutta joka ei kuitenkaan sisällä kyseisiä pisteitä. Oletetaan seuraavaksi induktio-oletuksena luvun n N olevan sellainen, että jokaisella tasan n kappaletta avoimia kuulia sisältävällä ja väitteen vaatimukset toteuttavalla jonolla on haluttu lopputulos voimassa. Olkoon jono(d 0,..., D n+1 ) joukonr 2 avoimia kuulia sellainen, että se toteuttaa väitteen vaatimukset. Olkoon lisäksi y jokin joukon D 0 \P piste. Jono(D 0,..., D n ) toteuttaa induktio-oletuksen ehdot, joten on olemassa joukon D n \ P piste w siten, että pisteet y ja w voidaan yhdistää jollakin joukkoon ( ) D0 D n \ P sisältyvällä murtoviivalla. Valitaan pisteeksi z jokin joukon(d n D n+1 )\P alkio. Edellisen induktion alkuaskelta hieman yleistävän päättelyn perusteella pisteet w ja z voidaan yhdistää joukon D n+1 \ P murtoviivalla. Tällöin pisteet y ja z voidaan halutulla tavalla yhdistää murtoviivalla toisiinsa. Palataan takaisin varsinaisen tehtävän käsittelyyn. Tarkastellaan kurssikirjan todistuksen tavoin tehtävänannon kaikkia kohtia samalla kerralla. Olkoon S jokin joukko, joka saadaan murtoviivan e jostakin janasta poistamalla sen päätepisteet. Olkoon x 0 jokin joukon S piste. Tällöin joukko ( V(G) ) E(G) \ S 2

3 on suljettu, joten on olemassa joukon R 2 avoin kuula D x0 siten, väite x 0 D x0 on voimassa ja että joukko D x0 leikkaa tasoon piirrettyä verkkoa G vastaavia joukon R 2 pisteitä vain joukon S kohdalla. Avoimella joukolla D x0 \S on kaksi yhtenäistä komponenttia, jotka voidaan laajentaa verkon G tahkoiksi f 1 ja f 2 siten, että väite D x0 \(f 1 f 2 ) pätee. Tapaus f 1 = f 2 on mahdollinen. Piste x 0 on tahkojen f 1 ja f 2 reunalla. Toisaalta piste x 0 ei ole minkään muun tasoon piirretyn verkon G tahkon reunalla, sillä D x0 on avoin kuula, joka sisältää pisteen x 0 ja kohtaa joukon V(G) E(G) vain särmän e osajoukon S kohdalla. Näytetään aluksi, että särmä e sisältyy kokonaan tahkojen f 1 ja f 2 reunoihin. Olkoon y joukon e\{x 0 } piste, joka ei kuitenkaan ole murtoviivan e päätepiste. Olkoon P murtoviivaan e sisältyvä murtoviiva siten, että pisteet x 0 ja y ovat sen päätepisteitä. Olkoon D joukon R 2 kaikkien niiden avointen kuulien kokoelma, jotka eivät kohtaa joukon V(G) E(G) pisteitä särmän e ulkopuolella ja joiden keskipisteet ovat särmän e alkioita. Olkoon nytd kaikkien niiden kokoelmand jäsenten muodostama joukko, jotka toteuttavat edellisen aputuloksen vaatimukset murtoviivan P sisältämien janojen osalta. Vastaavasti kuin solmun x 0 ja avoimen kuulan D x0 tapauksessa havaitaan ehdon P D toteutuvan. Euklidisen avaruudenr 2 osajoukko P on kompakti, joten jokin kokoelmand äärellinen osajoukko peittää sen kokonaan. Tällaisen äärellisen osajoukon kuulat voidaan järjestää sellaiseksi jonoksi, että sen kaikki peräkkäiset jäsenet leikkaavat toisiaan. Pisteet x 0 ja y sisältyvät jonon joihinkin kuuliin, joten kyseisten kuulien jokainen piste voidaan yhdistää toisen kuulan johonkin pisteeseen. Jos pisteistä x 0 ja y ainakin toinen on verkon G jonkin tahkon reunalla, niin myös toinen piste on kyseisen tahkon reunalla. Tahkot ovat nimittäin murtoviivayhtenäisiä joukkoja. Särmän e päätepisteiden jokaisessa ympäristössä on jokin joukon e piste, joka ei ole särmän e päätepiste. Tällöin edellinen päättely osoittaa, että särmä e sisältyy kokonaan tahkojen f 1 ja f 2 reunoihin. Käsitellään nyt tapaus, jossa jollakin verkon G syklillä C väite e E(C) on voimassa. Tasoon piirretyn verkon G murtoviivat leikkaavat toisiaan ainoastaan yhteisissä päätepisteissään, joten joukko E(C) on tasonr 2 monikulmio. Tällöin Jordanin monikulmiolauseen nojalla joukollar 2 \ E(C) on tasan kaksi erillistä 3

4 yhtenäistä komponenttia, joista molempia avoin joukko D x0 leikkaa. Alueet f 1 ja f 2 sisältyvät joihinkin joukon R 2 \ E(C) yhtenäisiin komponentteihin, jolloin oletuksen D x0 \(f 1 f 2 ) nojalla väite f 1 f 2 = toteutuu. Piste x 0 on verkon G kahden eri tahkon reunalla. Siis myös särmä e on kahden eri tahkon reunalla. Oletetaan seuraavaksi, että särmä e ei sijaitse verkon G syklillä. Verkko G e on tällöin epäyhtenäinen, jolloin se voidaan esittää erillisten aliverkkojen H 1 ja H 2 yhdisteenä. Murtoviiva e yhdistää tason erillisiä osajoukkoja V(H 1 ) E(H 1 ) ja V(H 2 ) E(H 2 ) sekä leikkaa niitä vain päätepisteissään. Voidaan havaita, että joukko f 1 f 2 sisältyy verkon G e sellaiseen tahkoon, johon myös murtoviiva e päätepisteitään lukuun ottamatta sisältyy. Olkoon f kyseisen tahko. Tällöin kurssikirjan lemman perusteella joukko f \ e on verkon G tahko. Oletuksen f 1 f 2 f mukaan väittämät f 1 = f \ e sekä f 2 = f \ e ovat voimassa. Siten särmä e sisältyy täsmälleen yhden verkon G tahkon reunaan. Tehtävä 8 : 3 Todistetaan induktiolla luvun m N suhteen, että jokaisella äärellisellä tasoon piirretyllä ja m särmää sisältävällä metsällä on tasan yksi tahko. Olkoon ensin G jokin sellainen äärellinen tasoon piirretty verkko, jolla ei ole särmiä. Joukko V(G) sisältää vain äärellisen määrän joukon R 2 pisteitä, jolloin joukko R 2 \V(G) on avoin ja yhtenäinen. Oletuksen E(G)= nojalla joukko R 2 \ ( V(G) E(G) ) on myös avoin ja yhtenäinen. Verkolla G on siis täsmälleen yksi tahko. Oletetaan induktio-oletuksena luvun m N olevan sellainen, että jokaisella äärellisellä tasoon piirretyllä ja m särmää sisältävällä metsällä on tasan yksi tahko. Olkoon F jokin sellainen äärellinen tasoon piirretty metsä, jolla on m+1 särmää. Olkoon lisäksi e jokin metsän F särmä. Tällöin tasoon piirretty verkko F e on metsä, jolla on tasan m särmää. Nyt induktio-oletuksen nojalla tasoon piirretyllä verkolla F e on vain yksi tahko. JoukkoR 2 \ ( V(F e) E(F e) ) on toisin sanoen avoin ja yhtenäinen. Merkitään kirjaimella f kyseistä joukkoa. Tasoon piirretty metsä F e on epäyhtenäinen, sillä muutoin verkossa F olisi jokin särmän e sisältävä sykli. Olkoot H 1 ja H 2 sellaiset tasoon piirretyn metsän 4

5 F e aliverkot, että metsä F e saadaan näiden aliverkkojen yhdisteenä ja että särmän e päätepisteistä toinen on verkon H 1 solmu ja toinen verkon H 2 solmu. Joukot V(H 1 ) E(H 1 ) ja V(H 2 ) E(H 2 ) ovat joukonr 2 sellaisia erillisiä osajoukkoja, jotka koostuvat äärellisen monesta murtoviivasta ja vain äärellisen monesta murtoviivojen ulkopuolisesta pisteestä. Toisaalta särmä e yhdistää näitä joukkoja sekä leikkaa joukon V(F) E(F) pisteitä vain päätepisteissään. Siten särmä e sisältyy verkon F e tahkoon f päätepisteitään lukuun ottamatta, jolloin kurssikirjan lemman nojalla joukko f \ e on avaruuden (V(H1 R \( 2 ) E(H 1 ) ) ( V(H 1 ) E(H 1 ) ) ) e avoin ja yhtenäinen joukko. Joukko f \e on siis yhtenäinen avaruudessa f \e sekä toisaalta joukko f on avaruudenr 2 avoin joukko, joten joukko f \e on avaruuden R 2 alue. Näin ollen joukko R 2 \ ( V(F) E(F) ) on avoin ja yhtenäinen, jolloin tasoon piirretyllä metsällä F on täsmälleen yksi tahko. Induktioaskel on käsitelty ja haluttu väite seuraa induktioperiaatteesta. Tehtävä 8 : 4 Todistetaan ennen varsinaista väitettä kurssikirjan korollaaria vastaava tulos. Todistuksen jälkeen tehtävänannon väite voidaan yhtäpitävästi ilmaista niin, että jokaisen 2-yhtenäisen tasoon piirretyn verkon jokaisen tahkon reuna muodostuu jostakin verkon murtoviivojen yhdisteeseen sisältyvästä monikulmiosta. Lemma. Olkoon K tasoon piirretty verkko ja olkoon g sen tahko. Olkoon X R 2 tahkon f reuna. Tällöin on olemassa täsmälleen yksi verkon K tasoon piirretty aliverkko, jonka pisteiden ja murtoviivojen yhdisteen joukko X muodostaa. Todistus. OlkoonA kaikkein niiden joukon E(K) murtoviivojen kokoelma, jotka kohtaavat joukon X päätepisteidensä ulkopuolella. Tällöin tehtävän 2 perusteella jokaisella murtoviivalla e A on ehto e X voimassa. Toisaalta jokainen joukon A murtoviiva sisältää omat päätepisteensä, jotka lisäksi tasoon piirretyn verkon määritelmän mukaan ovat myös joukon V(K) alkioita. Siten pari ( V(K) X,A ) 5

6 on verkon K tasoon piirretty aliverkko, jolla ehto ( ) V(K) X A = X toteutuu. Perustellaan kyseisen verkon olevan pienin mahdollinen halutun ehdon toteuttava verkon K tasoon piirretty aliverkko. Kokoelman A jokainen murtoviiva kuuluu kaikkiin väitteen ehdon toteuttaviin aliverkkoihin, sillä tasoon piirretyn verkon K murtoviivat leikkaavat toisiaan vain päätepisteissään. Lisäksi joukon A murtoviivojen päätepisteet kuuluvat halutun ehdon toteuttavien aliverkkojen solmujoukkoihin. Toisaalta kokoelman A särmien päätepisteiden ohella joukon V(K) muut solmut eivät ole tahkon g reunan alkioita. Nimittäin joukon V(K) äärellisyyden perusteella jokainen joukon X piste kuuluu jonkin verkon K murtoviivan pistejoukkoon. Toisin sanoen verkon ( V(K) X,A ) aidot aliverkot eivät pidä sisällään joukon X jokaista pistettä. Jos jokin verkon K murtoviiva leikkaa joukkoa X enintään päätepisteidensä kohdalla, niin se sisältää jonkin pisteen, joka ei ole joukon X alkio. Joukon E(K) eri murtoviivat nimittäin yhdistävät tasonr 2 kahta eri pistettä, jolloin päätepisteet erityisesti eivät muodosta murtoviivaa kokonaan. Verkko ( V(K) X,A ) on ainoa halutun ehdon toteuttava verkko. Näytetään seuraavaksi, kuinka jokaisen 2-yhtenäisen tasoon piirretyn verkon jokaista tahkoa vastaa verkon jokin sykli, jonka solmut ja särmät muodostavat kyseessä olevan tahkon reunan. Tehdään vastaoletus, että 2-yhtenäinen verkko G on särmien lukumäärän suhteen pienintä mahdollista kokoa oleva tasoon piirretty verkko, jolla on tahko f siten, että minkään verkon G syklin pistejoukko tasossa R 2 ei ole tahkon f reuna. Tällöin verkko G ei ole sykli. Muussa tapauksessa joukko V(G) E(G) olisi nimittäin tasonr 2 monikulmio, jolloin Jordanin monikulmiolauseen nojalla tahko f olisi toinen kyseisen monikulmion rajaamista alueista. Näin ollen kurssikirjan lauseen perusteella on olemassa jokin verkon G tasoon piirretty 2-yhtenäinen aliverkko H sekä tasoon piirretty ja ainakin yhden särmän sisältävä polku P siten, että verkko G saadaan kyseisten aliverkkojen yhdisteenä ja että joukko ( V(P) ) ( E(P) V(H) ) E(H) 6

7 on polun P päätepisteiden joukko. Tahko f ei ole verkon H tahko. Verkoilla H ja P ei nimittäin ole yhteisiä särmiä, jolloin oletuksesta E(P) 1 seuraa lisäksi ehdon E(H) < E(G) olevan voimassa. Siten verkon H jokaisen tahkon reuna on jonkin verkon H syklin muodostama joukko. Toisaalta polku P ei kohtaa verkon H solmuja ja murtoviivoja päätepisteidensä ulkopuolella, joten on olemassa verkon H tahko f siten, että ehto ( V(P) ) ( E(P) \ V(H) ) E(H) f on voimassa. Nyt on olemassa verkon H tasoon piirretty sykli C niin, että joukko V(C) E(C) on tahkon f reuna. Verkon G tahko f ei ole verkon H tahko ja verkko H on verkon G aliverkko, joten jokin alueen f reunan pisteistä ei kuulu verkon H solmujen ja murtoviivojen yhdisteeseen. Siten alueen f reuna leikkaa polkua P päätepisteiden ulkopuolella, joten ehto f f toteutuu. Avoin ja murtoviivayhtenäinen joukko f kuitenkin sisältyy johonkin verkon H tahkoon, jolloin väittämä f f toteutuu. Verkon H eri tahkot eivät nimittäin leikkaa toisiaan. Lisäksi tällöin tahkon f reuna sisältyy alueen f reunan sekä polun P solmujen ja murtoviivojen yhdisteeseen. Kurssikirjan lemman perusteella joukko f sisältyy johonkin joukon ( R \( 2 V(C) ) ( E(C) V(C) ) ) E(C) avoimeen ja yhtenäiseen komponenttiin. Verkon G tahkon f reuna siis muodostuu sellaisesta monikulmiosta, joka on osajoukko verkon G solmujen ja murtoviivojen yhdisteelle. Tahkon f reuna virittää edellisen aputuloksen sovelluksena verkon G syklin, mikä on ristiriidassa vastaoletuksen kanssa. Haluttu väite siis pätee. Tehtävä 8 : 5 Oletetaan ensin, että äärellinen tasoon piirretty verkko G on kolmiointi. Näytetään verkon G olevan maksimaalinen tasoon piirretty verkko. Tehdään vastaoletus, että jotkin verkon G solmut x ja y ovat sellaisia, että niitä ei yhdistä mikään verkon G 7

8 särmä ja että ne kuitenkin voidaan yhdistää tasonr 2 murtoviivalla P siten, että se leikkaa joukkoa V(G) E(G) vain solmujen x ja y kohdalla. Tällöin joukko P\{x, y} sisältyy tasoon piirretyn verkon G johonkin tahkoon. Olkoon g kyseinen tahko ja olkoon R tehtävän 4 yhteydessä esitetyn aputuloksen mukainen verkon G tasoon piirretty aliverkko, joka muodostuu tahkon g reunalla olevista joukon V(G) alkioista ja niistä joukon E(G) murtoviivoista, joiden jokin muu piste kuin päätepiste on tahkon g reunalla. Murtoviiva P on yhtenäisen joukon kuvajoukko jatkuvan kuvauksen suhteen, jolloin reunanylityslauseen perusteella solmut x ja y sijaitsevat tahkon g reunalla. Nyt ehto {x, y} V(R) toteutuu, jolloin oletuksen R = K 3 nojalla solmuja x ja y yhdistää jokin verkon G särmä. Saadaan ristiriita murtoviivan P valinnan kanssa. Näin ollen verkko G on maksimaalinen tasoon piirretty verkko. Oletetaan seuraavaksi verkon G olevan jokin äärellinen maksimaalinen tasoon piirretty verkko. Olkoon f verkon G mielivaltainen tahko ja olkoon H tahkon f virittämä verkon G tasoon piirretty aliverkko tehtävän 4 aputuloksen mukaisesti. Olkoon lisäksi n joukon V(H) koko ja olkoon U joukon V(H) virittämä verkon G tasoon piirretty aliverkko. Näytetään tasoon piirretyn verkon U olevan täydellinen. Tehdään vastaoletus, että joukon V(U) joitakin solmuja x ja y ei yhdistä toisiinsa mikään joukon E(U) murtoviiva. Tahko f on avoin ja murtoviivayhtenäinen tason R 2 osajoukko, joten sen reunalla olevat pisteet x ja y voidaan yhdistää murtoviivalla, joka on tahkon f ulkopuolella vain päätepisteidensä kohdalla. Tällaisen murtoviivan lisäämisellä joukkoon E(G) saadaan tasoon piirretty verkko, joka on verkon G aito laajennos. Saatu ristiriita osoittaa väitteen U = K n olevan voimassa. Osoitetaan seuraavaksi, että verkossa H on vähintään yksi sykli. Oletetaan vastaoletuksena verkon H olevan syklitön. Tällöin tehtävän 3 perusteella tasoon piirretyllä metsällä H on vain yksi tahko, jolloin kyseinen tahko muodostaa joukon V(H) E(H) komplementin perusjoukon R 2 suhteen. Edelleen havaitaan, että väite V(H) E(H)= V(G) E(G) on voimassa. Nyt tehtävän 4 yhteydessä todistetun aputuloksen mukaan myös väitteet H = G ja U = G toteutuvat. Jos ehto n 3 on voimassa, niin täydellisessä verkossa U on vähintään yksi 8

9 sykli, jolloin tieto H = U johtaa ristiriitaan verkon H syklittömyyden kanssa. Jos toisaalta väite n 2 pätee, niin täydellinen verkko U sisältää korkeintaan kaksi eri solmua, mikä johtaa ristiriitaan tietojen U = G ja V(G) 3 kanssa. Näin ollen verkossa H on oltava ainakin yksi sykli, jolloin myös väittämä n 3 pätee. Näytetään seuraavaksi väitteen n 3 toteutuvan olettamalla vastaoletuksena ehdon n 4 pätevän. Tällöin täydellisellä verkolla U on tasoon piirretty sykli C siten, että se sisältää neljä solmua. Olkoon {v 1, v 2, v 3, v 4 } syklin C solmujoukon sellainen numerointi, että solmut v 1 ja v 3 eivät ole syklin C vierekkäisiä solmuja. Joukko f on avoin ja murtoviivayhtenäinen joukon ( R 2 \ V(G) ) E(G) osajoukko, joten tasoon piirretyn verkon G aliverkolla C on jokin tahko f C siten, että ehto f f C toteutuu. Toisaalta syklin C solmut ja murtoviivat muodostavat tason R 2 monikulmion, joten Jordanin monikulmiolauseen nojalla on olemassa verkon C tahko f C niin, että ehto f C f C on voimassa. Tiedon V(U)= V(H) perusteella verkon U kaikki solmut sijaitsevat tahkon f reunalla. Sykli C on toisaalta verkon U aliverkko, joten pisteet v 1 ja v 3 voidaan yhdistää murtoviivalla, joka sisältyy joukkoon f päätepisteitään lukuun ottamatta. Tällöin oletuksen f f C sekä kurssikirjan lemman perusteella solmuja v 2 ja v 4 yhdistävä joukon E(U) murtoviiva ei kulje tahkon f C kautta, joten solmujen v 2 ja v 4 välinen särmä on päätepisteitään lukuun ottamatta joukon f C osajoukko. Vastaavalla tavalla solmujen v 1 ja v 3 välinen verkkoon U kuuluva murtoviiva on päätepisteitään lukuun ottamatta joukon f C osajoukko. Näin ollen kurssikirjan lemman mukaan kahdella eri syklin C reunalta lähtevällä ja tahkon f C kautta kulkevalla murtoviivalla, joista yksi yhdistää solmut v 1 ja v 3 toisiinsa sekä toinen solmut v 2 ja v 4 toisiinsa, on ainakin yksi yhteinen piste. Saadaan siis ristiriita tasoon piirretyn verkon määritelmän kanssa. Ehto n 3 on voimassa, jolloin edelleen tiedon n 3 perusteella verkko H on kolmesta solmusta koostuva sykli. Toisaalta tahko f valittiin mielivaltaisesti, joten verkko G on osoitettu kolmioinniksi. 9

10 Tehtävä 8 : 6 Olkoon H jokin isomorfialuokkien edustajisto sellaisille täsmälleen kuusi solmua sisältäville verkoille, jotka eivät ole tasoverkkoja. Olkoon H 1 joukon H niiden verkkojen kokoelma, joilla on verkko K 3,3 minorina. Olkoon edelleenh 2 joukon H niiden verkkojen kokoelma, joiden jokin aliverkko on isomorfinen verkon K 5 kanssa. Viimeisenä valitaan joukkoonh 3 kokoelmanh sellaiset verkot, joilla on verkko K 5 minorina ja jotka eivät kuitenkaan ole joukonh 2 jäseniä. Näillä merkinnöillä väite H =H 1 H 2 H 3 on voimassa, sillä Kuratowskin lauseen nojalla jokaisella sellaisella äärellisellä verkolla, joka ei ole tasoverkko, on minorina verkoista K 5 ja K 3,3 ainakin toinen. Kyseinen yhdiste ei ole erillinen, mutta ehtoh 2 H 3 = kuitenkin toteutuu. Lasketaan ensin joukon H 1 koko. Havaitaan aluksi, että jokaisella kolme eri solmua sisältävällä syklillä on tasan neljä keskenään epäisomorfista aliverkkoa ja että kolmesta solmusta koostuvien syklien aliverkkojen isomorfisuus määräytyy suoraan särmien lukumäärän perusteella. Verkossa K 3,3 on kuusi solmua, joten jokainen kokoelman H 1 jäsen sisältää jonkin aliverkon, joka on isomorfinen verkon K 3,3 kanssa. Toisaalta verkon K 3,3 komplementtiverkko koostuu kahdesta erillisestä syklistä, joissa kummassakin on kolme eri solmua. Tällöin kokoelman H 1 jokaisen verkon komplementtiverkko sisältää kaksi erillistä kolmen solmun aliverkkoa, joiden välillä ei ole särmiä ja joista kumpikin on jonkin kolmesta solmusta koostuvan syklin aliverkko. Viidennen harjoituskerran tehtävän 5 ratkaisun yhteydessä esitetyn tuloksen mukaan jokaisen äärellisen verkon isomorfialuokka määräytyy suoraan verkon kutakin eri isomorfialuokkaa edustavien komponenttien lukumäärien perusteella. KokoelmanH 1 koko saadaan määritettyä laskemalla niiden tapojen määrä, joilla joukon H 1 verkkojen komplementtiverkkojen komponentit voidaan valita kolme solmua sisältävien syklien aliverkkojen isomorfialuokista. Saadaan tulos ( ) ( ) 4 4 H 1 = + = 4+6 = Näin monella tavalla voidaan nimittäin valita jokin enintään kaksi alkiota sisältävä osajoukko jostakin neljä alkiota sisältävästä joukosta. 10

11 Tarkastellaan nyt joukon H 2 kokoa. Jokaisella kokoelman H 2 jäsenellä G on aliverkko A siten, että verkot A ja K 5 ovat isomorfisia keskenään, jolloin havaitaan, että verkon G komplementtiverkossa G ei joukon V(A) virittämässä aliverkossa ole särmiä ja että yksiön V(G)\V(A) sisältämästä solmusta voi verkossa G olla särmä mihin tahansa joukon V(A) solmuun. Toisin sanoen joukon H 2 jokaisen verkon komplementtiverkossa ovat kaikki särmät samassa komponentissa siten, että korkeintaan yhdellä solmulla on enemmän kuin yksi naapuri. Näin ollen joukonh 2 \H 1 jokaisella verkolla on täsmälleen yksi solmu, jolla on ainakin kolme naapuria. Jos nimittäin jollakin verkolla G H 2 ehto (G) 2 on voimassa, niin verkon G komplementtiverkko voidaan jakaa kahteen erilliseen kolme solmua sisältävään aliverkkoon, joiden välillä ei ole särmiä. Verkko G olisi tällöin isomorfinen kokoelmanh 1 jonkin jäsenen kanssa. Täydellisessä verkossa K 5 on kymmenen särmää, joten joukon H 2 verkkojen komplementtiverkkojen kokoelmassa esiintyy joukon {0,..., 5} jokaista alkiota kohti jokin sellainen verkko, jolla on kyseistä lukua vastaava lukumäärä särmiä. Jokaista tällaista lukumäärää vastaa täsmälleen yksi kokoelmanh 1 verkko, joten joukossah 2 \H 1 on tasan kolme jäsentä. Lasketaan vielä joukonh 3 \H 1 alkioiden määrä. Olkoon R joukonh 3 jäsen. Verkko K 5 on verkon R minori mutta ei kuitenkaan aliverkko, jolloin verkon K 5 kanssa isomorfisen aliverkon muodostamisessa eräänä vaiheena on jonkin särmän kutistaminen. Olkoot verkon R solmut a ja b kyseisen särmän päätepisteet. Minorin määritelmän nojalla kaksiosta {a, b} on särmä joukon V(R)\{a, b} jokaiseen solmuun. Vastaavasti jokaisesta joukon V(R)\{a, b} solmusta x lähtee vähintään yksi särmä joukkoon {a, b} sekä tasan yksi särmä jokaiseen joukon V(R)\{a, b, x} solmuun. Solmut a ja b ovat siis verkon R ainoat solmut, joilla voi verkon R komplementtiverkossa R olla enemmän kuin yksi naapuri. Toisaalta saadaan myös havainto 2 E(R) = 21, joten verkossa R on vähintään yksitoista särmää. Verkossa R on näin ollen enintään neljä eri särmää. 11

12 Verkossa R solmujen a ja b välillä ei ole särmää. Niistä kummastakin lähtee ainakin yksi särmä, sillä muussa tapauksessa verkko K 5 olisi suoraan isomorfinen jonkin verkon R aliverkon kanssa. Verkko R voidaan siis esittää kahden sellaisen aliverkon yhdisteenä, joiden välillä ei ole särmiä ja joista kumpikaan ei sisällä kaksion{a, b} molempia solmuja. Jos ehto R H 3 \H 1 toteutuu, niin kaksion {a, b} toisella solmulla on kolme naapuria ja toisella vain yksi naapuri. Ehdon R H 3 \H 1 toteutuminen määrää verkon R rakenteen isomorfiaa vaille yksikäsitteisesti. Näin ollen joukossah 3 \H 1 on korkeintaan yksi alkio. Toisaalta sellainen verkko, joka saadaan laajentamalla verkon K 5 jokin särmä kahdeksi eri särmäksi ja niiden yhteiseksi päätepisteeksi, ei sisällä kumpaakaan verkoista K 5 ja K 3,3 aliverkkonaan, mutta sisältää kuitenkin verkon K 5 minorinaan. Siten ehto H 3 \H 1 =1 toteutuu. Kokoelmat H 2 ja H 3 ovat suoraan määritelmiensä perusteella erilliset. Siten kokoelman {H 1, H 2 \H 1, H 3 \H 1 } joukot ovat pareittain ja kolmittain erilliset. Joukossa H on näin ollen yhteensä neljätoista jäsentä. Toisin sanoen on olemassa tasan neljätoista keskenään epäisomorfista kuusi solmua sisältävää verkkoa, jotka eivät ole tasoverkkoja. 12