Seuraava jonon jäsen on saatu edellisestä lisäämällä siihen luku 70 tai kyseessä on luvun 70 kertotaulu.

Transkriptio

1 0 Joot j summt Lukujoo 4. ) 40, 440, 40, 460. Seurv joo jäse o 0 suurempi. b) 6,, 64, 8. Seurv joo jäse o kksikertie edellisee verrttu. 4. ), 4,, Seurv joo jäse o stu edellisestä lisäämällä siihe luku 0. b) 80, 0, 40, Seurv joo jäse o stu edellisestä lisäämällä siihe luku 70 ti kyseessä o luvu 70 kertotulu. 44. ) 6,, 64, 8, Joo jäseet sd edellisestä kertomll luvull. b) 990, 98, 979, 97, Joo muodostuu ii, että edellisestä joo jäseestä väheetää esi, sitte,, 4, je. 4. ) + b) + 0 c) Vstus: ), b) 0, c)

2 4, ,7 + 8 Vstus: 6, 4,, 4,4,, , Vstus:,6, 6, 6 4, , , ) 4 b) c) 49. ) b) b : 0 Vstus: ). jäse, b) 0. jäse. 0. ) 0 : 7

3 Kosk vstus o positiivie kokoisluku, luku 0 o joo jäse. + b) : ( 9) 9 9 Kosk vstus ei ole positiivie kokoisluku, luku 0 ei ole joo jäse. Vstus: ) kyllä, b) ei.. ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) 4 Lukujoo jäseet ovt kokoislukuj, joist prittomt ovt egtiivisi j prilliset ovt positiivisi. Luku 700 o prillie positiivie kokoisluku. Se kuuluu lukujooo, jok o määritelty sääöllä ( ). Vstus:,,, 4 j. Luku 700 kuuluu jooo.. ) 0 b) 0 0. ) ( ) + b) + ( ) + 4. ) 4, 44, 4, Joo lk luvust 4 j seurv jäse o i kymmetä pieempi kui edellie. b), 6, 49, 64, Joo koostuu positiiviste kokoislukuje eliöistä. Ti joo lk luvust yksi j seurv jäse sd lisäämällä suureevi prittomi lukuj lke luvust.

4 , + 4, 4 + 9, , 6 + 9, + 9 6, ,. ) 0, 0, 80, Joo o muodostuut ii, että siiä vihtelee luvu 0 kertotulu luvut egtiivise j positiivise. b),, 4, 6, Joo lk luvust 6 j seurv jäse sd i jkmll edellie khdell. 6. 0, , , , Vstus: 0,,,,, 4,, 4, 4, b ( ) b b ( ) 4 b ( ) 4 0 ( ) b ( ) b ( ) Vstus: b, b 4, b, b 6, b, b ) : 7

5 4 b) , b j c 0 ( ) ± ± ( ) ± 6 ti. 4 ( 0) Vi positiivie rvo kelp, kosk o järjestysluku. Vstus: Luku 8 o joo )., b) 6. jäse. 9. ) : 0, Luku 0 ei kuulu jooo, kosk, ei ole positiivie kokoisluku. 00 b) ( + ) ( + ) : Luku 0 kuuluu jooo. Vstus: ) ei, b) kyllä 60. ) 7 b) 4 c) ( ) 6. ) 0 b) + 0 9

6 + ( ) 6. + ( ) ( ) + ( ) 4 4+ ( ) ( ) Luku 4 ei kuulu jooo, kosk sääö muk muodostetuss jooss joo jäseet pieeevät koko j. Suuri joo jäseistä o. Vstus:, 6, 4, 4. Luku 4 ei ole joo jäse. 6. ) ( ) b) 0 ( ) 0 Aritmeettie lukujoo 64. ) b) b b + ( ) ( 9) 9 6. ) d 7 4 ti d 4 b) 0, j 6 Vstus: ), b) 0, j 6.

7 6 66. Seurv lukujoo jäse sd lisäämällä edellisee kuusi. Kymmee esimmäistä jäsetä ovt, 9,,, 7,, 9, 4, j 7. Vstus:, 9,,, 7,, 9, 4, j ) 90, d b) 90 + ( ) ( 6) c) (6 ) ( 6) 90 + ( 6) 0 Vstus: ) 90 j d 6, b) 90 + ( ) ( 6), c) 0 68.,, d,,, 0, + 9,,9 4, + 44,,9 Vstus: ),9, b),9 69. ) Luettelemll:,,, 4, 7, 0, 6 Lskemll: d 7 + (7 ) ( ) 6 b) 0 + (0 ) ( ) 6 c), d + ( ) ( ) + 8 Vstus: ) 6, b) 6, c) Lääkäri määräsi leikkuksest toipuvlle potillle kutoutukseksi suvkävelylekkejä. Esimmäiseä päivää potils käveli 0 m. Tämä jälkee hä käveli jok päivä 0 m eemmä kui edelliseä päivää. ) Viiko kuluttu eli 8. päivää potils käveli (8 ) 0 00 (m) b) Kuukude kuluttu eli. päivää potils käveli 0 + ( ) 0 60 (m)

8 7 c) Kävelyleki pituus :teä kutoutuspäivää o 0 + ( ) Vstus: ) 00 m, b) 60 m, c) Aritmeettise lukujoo esimmäie jäse o 8 j kolms jäse 4. Joo peräkkäiste jäsete erotus o 8 + ( ) d d 4 d 7 : d 8, Vstus: d 8, 7. Aritmeettise lukujoo esimmäie jäse o 6 j kymmees 97. ) 6 + (0 ) d d 97 9d 8 : 9 d 9 b) 6 + ( ) c) Vstus: ) 9, b) 9 + 7, c) Ploku pitkissä tikkiss esimmäie skelm o cm: korkeudell mpist. Khdestoist skelm o 6 cm: korkeudell. Tikkide skelmt muodostvt ritmeettise srj, jok esimmäie jäse o j khdestoist jäse 6. Askelmie korkeusero vst khde peräkkäise jäsee välistä erotust, jok void lske yleise jäsee kv vull. + ( ) d 6 + d 6 d 0 : d 0 0. skelm o korkeudell 0 + (0 ) 0 0 (cm) 0 cm,0 m. Vstus: Askelmie korkeusero o 0 cm j 0. skelm o,0 m korkeudell.

9 8 74. Kuppis rket äyteikku somisteeksi kolmiot persikkpurkeist. Purkkikerroste jtell muodostv ritmeettise srj. Kolmiot rkeet ii, että ylemmässä kerroksess o i kksi purkki vähemmä kui lemmss, toisi soe peräkkäiste jäsete erotus o d. Ylimmässä kerroksess o yksi purkki. ) Alimmss kerroksess o purkki eli. Lsket kerroste määrä yleise jäsee kv vull: + ( ) ( ) + 6 : ( ) 8 b) Alimmss kerroksess o purkki eli. Lsket kerroste määrä yleise jäsee kv vull: 6 + ( ) ( ) : ( ) Vstus: ) 8, b) kerrost 7. Aritmeettie lukujoo lk 9, 6, 6, 9, d Joo yleie jäse o 9 + ( ) ) : 7 6 Kosk o positiivie kokoisluku, luku 44 kuuluu jooo. b) : 7 0,8 Kosk ei ole positiivie kokoisluku, luku 4 ei kuulu jooo. Vstus: ) Kuuluu, b) ei kuulu. 76. Aritmeettise joo lku o, 4, 7,..., d 4

10 9 Joo yleie jäse o + ( ) :, Joo jäseistä o pieempiä kui Vstus: 77. Aritmeettisess lukujooss 40 j Kirjoitet joo kolms j seitsemäs jäse yleise jäsee kv vull. : + d 40 7 : + 6d 90 Muodostet yhtälöpri j rtkist siitä j d. + d 40 ( ) + 6d 90 d d 90 4d 60 d + ( ) : ( ) 00 Vstus: Yhdeksällä jolliset luvut muodostvt ritmeettise lukujoo, jok yleie jäse o 9. Tutkit kuik moes joo jäse o luku 000 j luku : 9, Esimmäie luku 000 suurempi 9:llä jollie luku o joo. jäse : 9, Viimeie luku 000 pieempi 9:llä jollie luku o joo. jäse. Lukuje 000 j 000 välissä o luvull 9 jollist luku.

11 0 Vstus: 79. Aritmeettisess lukujooss x, x + j x. ) Aritmeettisess lukujooss khde peräkkäise joo jäsee erotus o sm. x x x (x + ) x + (x ) x x + x + x 0, b, c ( ) ± x ( ) 4 ( ) ± 6 ± x ti x b) x + (x ) x + x + c) Joo yleise jäsee lusekkeelle o kksi vihtoehto riippue x: rvost. x x ( ) + ( ) ( ) + + Vstus: ) x ti x, b) d, c) + ti Aritmeettise lukujoo, 0, 8, khdeks esimäistä termiä ovt, 0, 8, 6, 4,, 0,,

12 8. Aritmeettise joo lku o, 4, 7, Kymmees jäse void etsiä luettelemll:, 4, 7, 0,, 6, 9,,, 8, 40. jäse o d 4 ( ) 40 + (40 ) ( ) 8 Vstus: ) 8, b) 8 8. Aritmeettie lukujoo lk luvuill 0, 7, 4, ) (4 ) 7 97 b) 0 + ( ) Vstus: ) 4 97, b) ) Lukujoo lku o 6, 9,, Lsket khde peräkkäise jäsee erotuksi Kosk erotukset ovt smt, joo voi oll ritmeettie. b) Lukujoo lku o 0, 86, 4,. Lsket khde peräkkäise jäsee erotuksi. 86 ( 0) 66 4 ( 86) 68 Kosk erotukset eivät ole smt, joo ei voi oll ritmeettie. Vstus: ) voi oll, b) ei voi oll. 84. Auditorio esimmäisellä pekkirivillä o istuit. Kymmeeellä rivillä o 79 istuit. Pekkirivit muodostvt ritmeettise srj, jok esimmäie jäse o j 0. jäse o Istuite määrä ksvmie riveittäi sd lskettu yleise jäsee kv vull: + (0 )d d 79 9d 4 : 9 d 6 Viideellä pekkirivillä o istuimi. + ( ) 6 49

13 Vstus: 6. istuimell, 49 istuit 8. Aritmeettise joo lku o 0, 79, 8, ) 0 d ( ) ( 4) b) : ( 4) Luku o joo jäse. Vstus: ) 6 4, b) O 86. Sisu setä rket it tsisesti viettävää riteesee. Aid yläreu o vksuor. Se pituus o 00 m j tolppi o viide metri välei. ) Tolp välejä o Tolppi trvit yksi eemmä eli 4. b) Esimmäie tolpp o, m j viides,4 m. Kosk rie viettää tsisesti, tolppie pituudet muodostvt ritmeettise joo.,,4, + ( ) d,4, + 4d,4 4d 0, : 4 d 0,0 Toie tolpp o 0,0 m cm pitempi kui esimmäie. c) 4, + (4 ) 0,0, (m) Vstus: ) 4, b) cm, c), m 87. Aritmeettise lukujoo lku o 00, 6,, d

14 00 + ( ) : 6 7, Viimeie luku 000 pieempi joo jäse o joo 7. jäse. Vstus: Aritmeettise lukujoo esimmäie termi o 4 j kuudes (6 ) d 4 d 484 : d 96,8 4 + ( ) 96, ,8 96,8 8,8 + 96,8 ) 8,8 + 96, ,8 064,8 : 96,8 Luku 76 kuuluu jooo. b) 8,8 + 96, ,8 9,8 : 96,8 9,997 Luku 97 ei kuulu jooo. Vstus: ) Kyllä, b) ei. 89. Aritmeettisess lukujooss 78 j d d 78 9d 4 : 9 d 78 + ( ) 78 + d 7 + d 7 + d 000 d 67 : d,4

15 4 Joo jäseistä o lle 000. Vstus: 90. Aritmeettise lukujoo toie termi o 0 j viides,4. + d + 4d + d 0 + 4d,4 ( ) d 0 + 4d,4 d 6,6 d, : 0 (,),, + 4 (,),4 Vstus:,4 9. Seitsemällä jolliset positiiviset luvut muodostvt ritmeettise joo 7. Piei eliumeroie luku o : 7 4,8 Piei jooo kuuluv eliumeroie luku o joo 4. jäse. Suuri eliumeroie luku o : 7 48,4 Suuri seitsemällä jollie eliumeroie luku o joo 48. jäse. Neliumeroisi seitsemällä jollisi lukuj o Vstus: Aritmeettise lukujoo lku o x, x +, x + x,

16 Aritmeettisess lukujooss khde peräkkäise jäsee erotus o vkio. x + x ( x + ) x + x x + x x x + x x, b, c 6 ( ) ± x ( ) 0 x ( 6) ± 49 ± x ti x, 4 4 Joo voi muodostu khdell tvll: x d x + x d ti x, d x + x d, + (,) 0,7 (,),, + ( 0,7),, + ( 0,7) 0,7 4 0,7 + ( 0,7) ( 0,7) 0,7 Vstus: 4,, 6, 4 7, 8 ti,,,, 0,7, 4 0, 0,7

17 6 Aritmeettie summ ) S b) S Vstus: ) 66, b) Aritmeettise joo lku o 0, 00, 0, ) 0, d b) (7 ) c) S Vstus: ) 0, 0, b) 00, c) Aritmeettise joo lku o 7,,, 7, d (40 ) 8 9 S Vstus: Aritmeettise joo lku o,;,;,9;...,, d, (,) 7,6 0, + (0 ) 7,6 8, S, + 8, 0 0 Vstus: 7 7

18 7 97. ) S b) b 4, 8, 6. b 4, 8,6 4, b 00 4, 00 8,6 44,4 S 4, + 44, Vstus: ) 8 700, b) Pii j Pyry trvitsevt kolme vuode kuluttu tphtuv lommtk vrte 00. He suuittelevt säästäväsä jok kuukusi eemmä kui edelliseä kuukute. Esimmäise kuukude tlletus o 0. Kuvt säästämistä ritmeettisell srjll, joss 0 j d. Srj yleie jäse o 0 + ( ) Säästöik o kolme vuott eli Kolme vuode kuluttu säästössä o 0 + S Suuitelm muk kolmess vuodess säästetää Vstus: O 99. Sisu setä remotoi ullkolle lisää til. Uude huoee päätyseiä o tskylkise kolmio muotoie. Päätyseiä leveys o 6 m j korkeus hrj kohdlt,8 m. Päätyseiä peloid 0 cm leveillä ludoill. 6,8

19 8 Lutkerrokset muodostvt ritmeettise srj. Jet päätyseiä hrj kohdlt khdeksi yhteeväksi kolmioksi. Lutoj puole seiä peloimisee trvit 0 kpplett. 0, Viimeise lud pituus o,8 m. Khde vierekkäise lud pituude ero o,8 0,09... (m). 0 Pyöristetää tulos ylöspäi millimetri trkkuutee 0,09 m 9, mm 94 mm. Esimmäise lud pituus o 94 mm 0,094 m. 0,094 +,8 Lut trvit yhteesä 0 86,8 87 (m). Vstus: 87 m ) (6i ) i (6 ) + (6 ) + (6 ) + (6 4 ) + (6 ) + (6 6 ) + (6 7 ) + (6 8 ) Yhteelskettvt muodostvt ritmeettise joo. Esimmäie yhteelskettv o j viimeie 4. Yhteelskettvi o yhteesä khdeks b) (i + ) i Yhteelskettvt muodostvt ritmeettise joo. Esimmäie yhteelskettv o + j viimeie 0 +. Yhteelskettvi o yhteesä Vstus: ) 76, b) ( ) ± 69 7 ti 7

20 9 Negtiivie rvo ei kelp, kosk o järjestysluku. Vstus: 7 0. Leikkiketällä lpset rketvt ämpäreistä torej ii, että seurvss kerroksess o i yksi ämpäri vähemmä kui lpuolell. Ylimmässä kerroksess o yksi ämpäri. Ämpäreide lukumäärä kerroksitti muodost ritmeettise lukujoo,,,,, j. ) + ( + ) , b, c 0 ± 4 ( 0) ± ,8... ti 7,8... Negtiivie rtkisu ei käy. Ämpäreitä riittää kuutee kerroksee. Kuudess kerroksess o ämpäreitä yhteesä Yli jää 4 ämpäriä. b) + 60 ( + ) , b, c 0 ± 4 ( 0) ± ,46... ti,46... Negtiivie rtkisu ei käy. Ämpäreitä riittää 0 kerroksee.

21 40 Kymmeessä kerroksess o ämpäreitä yhteesä Yli jää 60 ämpäriä. Vstus: ) 6 kerrost, 4 jää yli, b) 0 kerrost, jää yli (4 + 4) , b 4, c ± ( 0 000) 4 4 ± ,... ti 7,... Negtiivie vstus ei käy esimmäise joo jäsee summ ei vielä ylitä luku 0 000, Vstus: Aritmeettise lukujoo kuudeskymmees jäse o 489 j kuudekymmee esimmäise jäsee summ ( + 489) : 0 Vstus: :ll jolliset positiiviset kokoisluvut ovt muoto 8. Kokeilemll void etsiä suuri j piei kolmeumeroie 8:ll jollie luku.

22 4 Piei iistä o Suuri iistä o Yhteelskettvie lukumäärä o S 6 76 Vstus: ) (0 yhteelskettv) + 9 S 0 00 b) (00 yhteelskettv) S Vstus: ) 00, b) ) S b) b,, 60 b,, b, 0, 48, S , Vstus: ) 60, b) ) Aritmeettie lukujoo o 90, 6, 0,... 90, d (8 ) 96 4

23 4 S b) Aritmeettie lukujoo o 4, 9, 4, 4 d 9 ( 4) (96 ) ( ) 489 S 4 + ( 489) Vstus: ) 068, b) Opiskelij tekee esimmäisellä viikoll khdeks tehtävää j lisää määrää kolmell tehtävällä viikoitti. Kikki ik o kymmee viikko. Tehtävie määrä viikoitti muodost ritmeettise lukujoo. 8 d (0 ) S Tällä tvll tehtäviä tulee tehdyksi. Aik ei siis riitä. Vstus: Ei riitä 0. Kutoiluohjelmss lisätää kävelylekkie pituutt kohtuullisesti päivittäi. Esimmäise päivä lekki o 00 m, toise päivä 00 m j seurv päivä lekki i 00 m pitempi kui edellise päivä lekki. Jok viides päivä o lepopäivä. 4 Kuukudess o 0 4 kutoilupäivää. 00 d (4 ) S (m) 600 m km Vstus: km

24 4. Ait rkeet tsisesti viettävää riteesee site, että id yläreu o vksuorss. Aid pituus o 0 m j tolppi o m: välei. Pisi tolpp o,4 m j seurvt tolpt ovt i cm lyhyempiä kui edellie. 0 Tolppi o yhteesä +. Esimmäie tolpp o,4 m j viimeie,4 + ( ) ( 0,0),4 (m).,4 +,4 96,9 (m) Vstus: 96,9 m. ) Piei eliumeroie luoollie luku o 000 j suuri Neliumeroisi luoollisi lukuj o b) Luoolliset luvut muodostvt ritmeettise lukujoo Vstus: ) 9 000, b) (9 + ) 00 (6+ ) , b 6, c 000 6± 6 4 ( 000) 6± ,7... ti,06... Negtiivie rtkisu ei käy. 6 6 Ku lsket esimmäistä joo jäsetä yhtee, summ ylittää 00. Vstus:

25 44 4. Puisto-ossto työtekijät tekevät puistoo kolmiomuotoist kiveystä, joss pyöreät kivet ovt suoriss riveissä. Khde peräkkäise rivi kivie lukumäärä ero o kksi. Esimmäisessä rivissä o yksi kivi. + ( ) + ) Käytettävissä o 00 kiveä ± 00 0 ti 00 Negtiivie vstus ei käy. Rivejä o 0, jolloi kiviä kuluu ts 00. b) Käytettävissä o 00 kiveä ± ,... ti 00 7,... Negtiivie vstus ei käy 7 rivissä o kiviä yhteesä Yli jää kiveä. Vstus: ) 0 riviä, yhtää ei jää yli b) 7 riviä, jää yli. Aritmeettise lukujoo lku o 00, 0, 0, 00, d 00 + ( )

26 (9 + ) , b 9, c ± 9 9 ± ,06... ti 4, Negtiivie vstus ei käy. Lukujoo esimmäise jäsee summ ei ylitä luku O lskettv 6 luku yhtee, jott summ ylittäisi Vstus: 6 6. Aritmeettise lukujoo lku o, 4, 6, 8, S S ,64..., ,6 6, % Lukujoo 999 esimmäise termi summ o 6, % suurempi kui 888 esimmäise termi summ. Vstus: 6, %

27 46 Geometrie lukujoo 7. ) b) Joo o geometrie lukujoo. b 0, 0,0 0,00 4 0, , , 8. Geometrise joo esimmäie jäse o 800 j peräkkäiste jäsete suhde o q 0,. Joo viisi esimmäistä jäsetä ovt ( 0,) ( 0,) ( 0,) ( 0,),. Vstus: 800, 900, 40, ;, 9. Geometrie lukujoo lk, 6, 8, 6 ) q b) Vstus: ) q, b) 4, 6 j Geometrie lukujoo lk 00, 90, 8, 90 ) 00, 90, q 0, 9 00

28 47 b) 00 0,9 c) ,9 8 6,677 6,7 Vstus: ) 00, 90, 0,9, b) 00 0,9, c) 6,7. Geometrise joo lku o 7; 7,07; 7,407; ) 7 7,07 q,0 7 7 (,0) b) 0 7 (,0) 0,98,40 Vstus: ) 7 (,0), b),40. Geometrise joo lku o 400, 8 880, 46 66, 400 j q, , 7 400, , ,88 Vstus: 400, j ,88. Hill tvoittee oli kerätä jok päivä 0 % eemmä sieiä kui edelliseä päivää oli keräyt. Esimmäiseä päivää hä keräsi 00 grmm sieiä. Sieestyskusi kesti kksi viikko. q 00 % + 0 % 0 %, 4 00, 4 8 9, (g) Vstus: 9 kg 4. Geometrise joo j 4 0,. 4 q 4 q 0, : 0, q q 0,00 q q 0, 0,00

29 48 Vstus: 0,. Geometrie joo esimmäie jäse o 4 j kuudes jäse 6 0,7. Toise j kymmeee jäsee lskemiseksi trvit joo peräkkäiste jäsete suhde q. 6 q 6 4 q 0,7 : 4 0,7 q 4 q 0,0 q 0,0 q 0, ) 4 0, b) 0 4 0, 0 0, ,047 Vstus: ), b) 0, Vuo 990 mljko hit oli 0 $. Kymmee vuode kuluttu sm mljkko mksoi 90 $. Vlmistj osti mljko hit yhtä moell prosetill vuositti. ) Mljko hit vuositti muodost geometrise joo. Vuosi 990: 0 Vuosi 000: 90 0 q 90 : q 0 90 q ± 0 Negtiivie juuri ei käy 0 q, Vuotuie hi korotus o 4,7 %. b) Vuo 99 mljko hit o , ,996 ($) Vstus: ) 4,7 %, b) $ 7. Geometrise joo lku o, 768,...

30 q,,, 9 68 :, 9 68 ( 0 lg, ) 0 lg lg, ( ) 0 lg968 lg, ( ) lg 968 lg 968 lg, Vstus: 0 lg 968 lg, : lg, Geometrise joo lku o 6 000, 8 000, 4 000, q , , , 0 :6 000 Joo. jäse o pieempi kui 0. Vstus:. 0, 0,0006 ( 0 lg0, ) 0 lg0, lg0, ( ) 0 lg0,0006 lg0, ( ) lg0,0006 : lg0, lg0,0006 lg0, lg0,0006 lg0, +,64...

31 0 9. Helmii viikoittie mkeisos o 00 g, mutt hä päättää vähetää mkeiste syötiää % viikoss. Viikoittie mkeisos muodost geometrise joo, joss 00 j q 0, ,9 0 : 00 0,9 0, ( 0 lg0,9 ) 0 lg0, lg0, 0 lg0,9 ( ) 0 lg0,9 ( ) : lg0,9 lg0,9 + 4, lg0,9 Helmii mkeisos o lle 0 g viikoss 4 viiko kuluttu, kosk viiko jälkee mkeismäärä vst lukujoo. jäsetä viiko jälkee mkeismäärä vst lukujoo. jäsetä 4 viiko jälkee mkeismäärä vst lukujoo 46. jäsetä Vstus: 4 viiko kuluttu 0. Lukujooss 000 j ) Lukujoo o ritmeettie. + ( ) d (8 ) d 000 ( ) 7 + 4d d : b) Lukujoo o geometrie. q q q

32 8 7 q 7 q q q q 000q q q q q q Vstus: ) 400, b) 0.. ) geometrie lukujoo 000, 800, 640, 000, 800, 640, ; 409,6; 7,7; 6,; b) ritmeettie lukujoo 0, 90, 0,

33 0, 90, 0, 70, 0, 0, 90. ) Geometrise lukujoo lku o,; 7;;,, Suhde q. Seurvt jäseet sd edellisestä kertomll luvull. 67,; 0,; 607,; b) Geometrise lukujoo lku o 0 000, , Suhde q 0,7 000, 0 0; 7 97,. ) 0, j 0, q 0,, 0, 0,, 7, b) b j b 7. q 7 0 7,7 b0 0, ,00 Vstus: ) q, 0 7, 7, b) q, b0 0, Lukujoo lk luvuill j 4. Tehtävä void rtkist luettelemll joo jäseiä. ) Lukujoo o ritmeettie.

34 , 4, 6, 48, 60, 7, 84, 96, 08, 0, 6 j 0 0 b) Lukujoo o geometrie., 4, 48, 69, 9, 84, 768, 6, 07, 6 44, 48 j Vstus: ) 6, 0, b) 48, ) 6, 4, 0, Lukujoo ei voi oll geometrie, kosk peräkkäiste jäsete suhde ei ole sm j 6 4 b), 6,, Lukujoo voi oll geometrie, kosk peräkkäiste jäsete suhde o sm. 6 0, j 0, 6 Vstus: ) Ei voi, b) kyllä voi 6. Ympäristötiteilij o tehyt vlopylväistä tideteokse. Pylväide välimtkt j pituudet muodostvt molemmt geometrise joo. ) Esimmäiste pylväide välimtkt ovt,00 m,,00 m, 4,0 m,,00,00 q,,00,00, b) Esimmäiste pylväide välimtkt ovt,00 m,,0 m,,4 m,,00,0 q,,00,00, Vstus: ),00,, b),00, 7. ) 0 00, 8 60, 6 8, 0 00

35 4 860 q 0, , ,8 b), 4, 6, 4 q 4 ( 4) ( 4) 876, , Vstus: ) ,8, 876,7, b) ( 4), ) 40 j q q q q 8 : 40 b) j 486 q q q q ± : ± 0, Vstus: ) q, b) q 0, ti q 0, 9. Vuo 000 Kerttu si viikkorh,0. Viide vuode kuluttu hä si 4,00. Äiti korotti viikkorh yhtä moell prosetill vuositti. ) Vuode 000 viikkorh o lukujoo esimmäie jäse. Viide vuode kuluttu o vuosi 006 j viikkorh määrä o joo kuudes jäse 6.

36 6,0 q q q 6 4,00 q 4, 4, :,0,67...,7 % 00 %,7 % Vuotuie korotus o,7 %. b) Vuode 008 viikkorh suuruus o joo yhdeksäs jäse 9.,0,7 9 7,0 7,0 ( ) kymmee seti trkkuudell Vstus: ),7 %, b) 7, ),,, q lg 4 ( 0 ) lg 4 ( ) 0 0 lg 4( ) lg lg 66 lg 66 lg 66 lg 4 6 :lg4 lg lg 4 Luku 6 o joo jäse. b) 0,; 0,; 0,; q 0, 0,

37 , 6 lg ( 0 ) 0 lg ( ) 0 lg ( ) lg lg 048 lg 048 lg 048 lg :0, :lg lg lg Luku 6 o joo. jäse. Vstus: ) kyllä, b) kyllä. 4. Geometrise joo lku o 900, 00, 00, q lg lg lg ( ) 0 lg 0,00 :lg lg 0,00 lg lg 0,00 + 6,66... lg ( ),8 : 900 0,00 0 lg 0,00 lg 0,00 Kuusi joo jäseistä o suurempi kui,8. Vstus: 6

38 7 4. Geometrise joo lku o 9; 0,9 9; 0,9 9; ) 9 0,9 6,9640 6,96 b) 9 0,9 9 0,464 0,46 c) 9 0,9 0,9 : 9 0,9 0,9 9 (0 0 ) lg 0,9 lg 0,9 ( ) 0 0 0,9 lg 9 0,9 lg 9 0,9 lg 0,9 ( ) lg 9 0,9 lg 9 lg 0,9 : lg 0,9 0,9 lg ,8... lg 0,9 Joo jäseistä 44 o suurempi kui 0,9. Vstus:) 6,96, b) 0,46, c) Beroulli tlletti vuode 699 luss Bseli pkkii 8 Sveitsi frgi. Pkki mksoi tlletukselle peräti 0,8 proseti vuotuist korko, jok liitettii pääom i vuode lopuss. 8 q,008 Tlletus kksikertistui ,008 (0 0,008 lg,008 ) lg, lg lg lg,008 lg lg lg,008 :8 :lg,008 86,989...

39 8 Tlletus elikertistui ,008 (0 0,008 lg,008 ) lg, lg 4 lg 4 lg,008 lg lg 4 lg,008 :8 :lg,008 7, Rhmäärä vuo 699 vst lukujoo esimmäistä jäsetä j vuode 00 rhmäärä vst lukujoo 0. jäsetä. 8, , ,44 Vstus: kksikertistui 786, elikertistui 87 j rvo vuode 00 luss 64,44 frgi. 44. ) ritmeettie lukujoo, joss j d,, 9, 7,,,, b) geometrie lukujoo, joss 0 j q, 0 0 (,) 6, 0 (,) 78, 4 0 (,) 4 97,66 0 (,),070

40 9 6 0 (,) 6, (,) 7 90, (,) 8 8, Lukujoo kolms jäse o, j kymmees jäse ) Lukujoo o ritmeettie., + d, d d, + 9d 448 ( ) d, + 9d 448 7d 444, d 6, + 6,,, b) Lukujoo o geometrie., + ( ) 6,, + 6, 6, 6, 87, q, q 9 448

41 60 q,, q 9 q q, q q 9 q, q q q q , 8 q , 0,87 0,87 Vstus: ) 6, 87, b) 0,87 Geometrie summ 9 ( 4 ) 46. S Vstus: Geometrie lukujoo o 4, 6, 9, 4 j q 6 4, 0 4(, ) S 0 694, ,, Vstus: 6 94,

42 6 48. ) j q ( ) S b) j q S ( ( ) ( ) ) 860 Vstus: ) , b) , 6 j q 6 S ( ( ) ( ) ) 0 0 Vstus: j q 9 ( ) S 9 0 Vstus: Yhdeksä kierrokse jälkee oli hlttu 0 ystävää.. ), q j ( ( ) ) S, ,98 b) 6,9, q 6,94 6,9 j 4 6,9 S 6,9 ( 6,9 6,9 ) 4 4, ,09 0 Vstus: ),98, b),09 0

43 6. 00 (s), q,0 j (,0 ) S40 740, ( s),0 740 s mi 40 s 6 mi Vstus: h 6 mi. Lsket yhteelskettvie lukumäärä., q 6 ( lg 6 ) q ( ) lg 6 0 ( )lg 6 lg S lg lg lg lg 6 : lg lg 6 ( Vstus: ) ) 0, q j 0 S 0 ( 0 0 ) 00 b),9, q 0,7 j 8 8,9 ( 0,7 ) S 8, ,044 0,7 Vstus: ) 0 0, b),044. S , q 4 j 9

44 6 9 ( 4 ) ( 4 ) 6667 ( ) 9 ( 4 ) : ( 4 ) Vstus: , S (s), q 0,9 400 ( 0,9 ) 480 0,9 ( 0,9 ) 480 0,0 ( 0,9 ) 4 4 0,9 0,0 : ( 0,9 ) 06, Esimmäie kierros o juostv 06 sekuiss. Vstus: mi 46 s 7. q 0, 0, (,0 ) 0 000,0 00 (,0 ) ( 0,0) 0,0 00 (,0 ) , ,0 700 : 00,0, lg,0 ( ) lg, lg,0 lg, 0 lg,0 lg, : lg,0 lg,,67... lg,0 Vstus: 6 jäsetä

45 64 8. ) 0, q 0,9 0 ( 0,9 ) 000 0,9 0 ( 0,9 ) 000 0, 0, 0 ( 0,9 ) , ,9 0 : 0 0,9 0, lg 0,9 ( ) b) 90, q 0,9 lg 0, lg 0,9 lg 0, 0 lg 0,9 lg 0, : lg 0,9 lg0,,7... lg0,9 90 ( 0,9 ) 000 0,9 90 ( 0,9 ) 000 0, 0, 90 ( 0,9 ) , ,9 0 : ,9 90 Yhtälö ei toteudu millää : rvoll, kosk positiivise luvu potessi ei voi oll egtiivie. Vstus: ) 6 kuukude kuluttu, b) rhoj ei sd kokoo kosk j q 0,9 8 4( 0,9 ) S 8 89, ,7 0,9 Vstus: 89,7 60. ) 9, q j 9( ) S b) 9, q j

46 6 9( ( ) ) S ( ) Vstus: ) 9 000, b) j q, 7 (, ) ) S 7 8, , b) S (, ), , ,0 0 Vstus: ) 9, b), S , q 6 j 8 8 ( ( 6) ) 4900 ( 6) 8 ( ( 6) ) ( ( 6) ) 0070 Vstus: ( 6) 8 : ( ( 6) ) 6. q,, (, ) 000, 0 (, ) 000 ( 0,) 0, 0 (, ) , 600 0, 60 : 0, 6 lg, ( ) lg lg, lg 6 0 lg, lg 6 : lg, lg6,4... lg,

47 66 Vstus: jäsetä 64. 0,8 40 4, q 0,8 j 0 0 4( 0,8 ) S 0 8, ,8 Vstus: 80 tuti 6. Pudottmise jälkee pllo tekee yhdeksä pomppu, joide korkeus pieeee i 0 %. 0,8 8, q 0,8 j 9 9 8( 0,8 ) S 9 4,6... 4,6 0,8 Pudotus metri korkeudest muk lukie pllo kulkee 9,6 metri mtk. Vstus: 9,6 m , q,0 j (,0 ) S 708,66...,0 0 Vstus: ,, q,0, (,0 ) 87,0, (,0 ) 87 ( 0,0) 0,0, (,0 ) 4,,,,0 4,,,0,6 :,,6,0, lg,0 ( 0 ) 0,6 lg,,6 lg 0 lg,0, 0,6 lg,0 lg : lg,0,

48 67,6 lg, 0,... lg,0 Nykyise louhitmäärä ( ) lisäksi mlmivrt riittävät 9 vuodeksi. Vstus: 9 vuodeksi 68. 0,, q S 0,( ) 0,( 0, 0, , , : 0, ( 0 lg ) lg lg lg lg lg : lg lg ,8... lg ) 0,( ) 0, Summ ylittää miljoo, ku yhteelskettvi o 4. Vstus: 4 0, 69. ). kuutio: m. kuutio: 0, m 0, m. kuutio: 0, m 0, m. kuutio: 0, - m 0, - m b), q 0, j 0 0 ( 0, ) S 0, ,998 0,

49 68 c) 4 S ( 0, ), ,999 0, ( 0, ),999...,000 0, ( 0, ), ,000 0, 4 ( 0, ), ,000 0, Pio korkeus äyttää lähestyvä metriä. Rekursiivie lukujoo ( ) + ( ) b b + 0 b + 0 b 4,4 + 0,4 b 7. ) d , ku. b) d , ku.

50 ) , ku. b) -, ku. 7. ) 000 0, b) 80 0, c) 70 0, , , 7, 0, , ,76 0, , ,608 0, , ,864 0, ,89 9 7,89 0, , ,6696 0, ,067 0 Vstus: ) 80, b) 70, c) ) 000, , ,4 60,4, , ,04768, ,76 6 4,76, , (m ) b) 9 000, , , ,66, , ,7, , ,807, , (m ) c) Puusto määrä ksv -kohdss, ku ts puusto määrä pieeee b-kohdss. Vstus: ) 6 70 m, b) 6 70 m, c) puusto määrä ksv , , , ,07 0, , ,46 0, , ,4480 0, , ,7469 0, , ,78 0, , ,694 0, , ,079 0, , ,6687 0, ,09 4 8,09 0, , ,0679 0, ,8684

51 ,8684 0, , , , ,6908 Vesi o vähetyyt 00 litrll 4 vuorokude kuluttu. Vstus: 4 vuorokutt ( 97) 80. b 6 b b b b 7 8. ), ku. b) - + 9, ku

52 ,7487, , , ), ku. b), ku. 84. ( ) 4 ( ) 4 4 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) , , , ,8, ,0464 4,0464, ,76 96,76, , ,0 ( ) Vstus: 0 60, , , , 40 8,9 4 8,9, 40 99,7 99,7, , ,69, 40 0, ,498, 40 64, ,67968, , ,0776, 40 87,4678

53 7 0 87,4678, 40 0,487 Vstus: ) 40, b) 0 vuode kuluttu 87. ) 7, 7, 0,6 + 7,,7,4 (mg),7 0,6 + 7,,47, (mg) 4,47 0,6 + 7, 7,6047 7,6 (mg) c) b) 7, 0,6 + 7,, ku. Kertustehtäviä 88. ) Luvut pieeevät i kymmeellä. 90, 80, 70 b) 0 ( ) c) ) 4 q 4 b) 4 ( ) 4 0 c) 0 ( ) 9, , 0

54 7 4 4 Vstus: ), b) ( ), c) 40,0 90. ) b) b ( ) ( + ) 6 b ( ) ( + ) 6 b ( ) ( + ) 40 b 4 ( ) 4 (4 + ) 96 b ( ) ( + ) 4 b 6 ( ) 6 (6 + ) ( + ) ( + ) Luku kuuluu jooo j o joo 9. jäse. Vstus: kuuluu 9. d ( ) ( 00) ( 000) S 00 Vstus: q 4, S 0 ( 4 ) 4 0 Vstus: d, 0,,,

55 74 ), + ( )0, 7, + 0, 0, 7 0, 6 :0, b) S, + 7 Vstus: ). viikoll, b) tuti 9. ) 60, : 60 lg,04 ( 0 ) 0,04 ( ) lg, lg( ) lg( ) ( ) lg,04 lg( ) lg,04 lg,04 lg( ) lg,04 lg( ) + lg,04 : lg, lg( ) + lg, ,9... lg,04 Hyppääjä ylittää khdeks metriä 6 vuode kuluttu. b) 60 q : 60 q q ± 4 Negtiivie juuri ei käy. 60 q,080...,0,0 0,0, % Prukse pitäisi oll vuositti, %. Vstus: ) 6 vuode kuluttu, b), % 7 ( 6) 96. d, 6

56 7 6 + ( ), 0 6 +,, 0, 7, :, Luku oll o lukujoo. jäse, jote egtiivisi jäseiä jooss o 4. Vstus: , q 0, ( 0,9 ) S 4 908, ,9 Vstus: kävijää 98. d ++ ( ) : 000 ± 000 ±,67... Negtiivie rvo ei kelp, kosk o järjestysluku. Summ ylittää tuht, ku yhteelskettvi o kpplett. Vstus: 99. q,, (,, (, 0, ) 0000 ) 0000 (, ) 000, 000, 00, 00 : ( 0,)

57 76 lg, ( 0 ) 0 lg, 0 0 lg00 lg00 lg, lg00 Vstus: 8 : lg, lg00 7,89... lg, *00. 6 (( ) + ) 6 6 (( 6) + ( )) 4 6, 4 6 (( 6,) + ( 6)) 7 Hrjoituskokeet Koe. ) x + y 8 x y 4 x x 6 : 6 + y 8 y b) x-kselill y-koorditti o oll. 0 x x : ( ) x Leikkuspiste o (, 0) c) Peräkkäiste jäsete erotus o jäse o 0 + ( )d ) Sijoitet x j y 6 epäyhtälöö 7x + y <.

58 ( 6) < 4 < <, epätosi Pistee (, 6) koorditit eivät toteut epäyhtälöä. b) Luseke s suurimm rvos jossi luee kärkipisteistä. Pisteide koorditit void luke kuvst, kosk tehtävässä ei ole ettu rjsuorie yhtälöitä. Kärkipisteet ovt (0, 0), (0, ), (, ) j (,; 0). Sijoitet koorditit lusekkeesee. (0, 0) (0, ) (, ) (,; 0), ,. Suuri rvo o 0. c) 8,4 ( + ) + 8,4 + 6,,6 8, :,6 7 Luku,4 o joo jäse.. y x 4x + y x 6x x 6x x 4x + x x 8 0, b, c 8 ( ) ± ( ) 4 (8) x ± 6 ± 6 x x 4 ti x y ti y ( ) 4 ( ) + Leikkuspisteet ovt (4, ) j (, ) ) q 4 ( 4) ( 4) 4 4

59 78 b) S ( ( 4) ) ( 4) Merkitää koje määrää x:llä j sikoje y:llä. Jlkoje määrä perusteell sd yhtälö x + 4y 8. x + y 4 ( ) x + 4y 8 x y 8 x + 4y 8 y 6 y 8 x x 4 8 Koj o j sikoj Säilyketölkkie määrä riveittäi muodost ritmeettise lukujoo., d, + ( ) + 8 ) S b) S + 40 ( + ) ± 4 ( 900) ± ,0... ti 0,0... egtiivie rtkisu ei käy. + 9 S Rkeelmss o 9 kerrost j tölkkejä jää yli kpplett.

60 79 7. x y 0 y x + y y 4 Piirretää suort sm koorditistoo. K pituus sd suorie j x-kseli leikkuspistee erotuksest. Kolmio korkeus sd suorie leikkuspistee y-koorditist. y 0 y x 4 y 0 y x y x 4 y x x 4 0 x 0 x : x 6 x 0 x

61 80 x 4 x x x x 9 : 9 x y A 9 9,8 (h) 8. q 6 0 q,768 : 0 6 q 0,768 q 0, 768 0,8 S 0 ( 0,8 ) 0,8 0 ( 0,8 ) 49,99 0,8 0 ( 0,8 ) 49,9 0, 0, 0 ( 0,8 ) 9,998 : 0 0,8 0,9998 0,8 0,000 : ( ) 0,8 0,000 lg 0,8 ( 0 ) lg 0,000 0 lg 0,8 0 lg 0,000 0 lg0,8 lg0,000 : lg0,8 lg0,000 8,6... lg0,8 Joost o lskettv 9 esimmäistä jäsetä yhtee, jott summ ylittäisi 49,99-9. Merkitää pst määrää stoi grmmoi x:llä j juhelih y:llä. Kosk o kyse mssst, sd ehdot x 0 y 0 Eergi määrästä sd ehto 0x + 00y 700. Proteiii määrästä sd ehto x + 0y 4. Etsitää pieitä rvo lusekkeelle x + y.

62 8 Piirretää koorditistoo ehtoje mukie tsolue. 0x + 00y y 0x : 00 y,6x +, Piirretää suort. x + 0y 4 0y x + 4 : 0 y 0,6x +, Epäyhtälöt x 0 j y 0 rjvt luee ei-egtiivisii x: j y: rvoihi. Kosk kksi muut ehto kuvvt vähimmäismääriä, lue rjutuu khde muu suor yläpuolelle. Vrmistet tämä testipistee (, ) vull. 0x + 00y , tosi x + 0y , tosi Luseke x + y s pieimmä rvos lueess jossi se kärkipisteistä. Lsket kärkipisteide koorditit. Piste C sd suor y,6x +, yhtälöstä. C (0;,) Piste B sd suorie leikkuspisteestä rtkisemll yhtälöpri. y,6 x +, y 0,6x +,,6x +, 0,6x +, x, : ( ) x, y,6, +,,

63 8 B (,;,) Pistee A y-koorditti o oll. x-koorditti sd yhtälöstä 0,6x +, 0 0,6x, : ( 0,6) x,7 C (,7; 0) Lsket ruok-okse x + y määrä kärkipisteissä. A: 0 +,, B:, +,,7 C:,7 + 0,7 Piei määrä stoi grmmoi o,7. Tällöi oksess o g pst j 0 g juhelih. Koe. ) b) x + y 0 x y 6 x 6 : x c) + + y 0 y 4

64 ) d ( ) ( 4) b) Suorie leikkuspiste sd rtkisemll yhtälöpri y x y x + 9. y x x + 9 x 0 : x Leikkuspiste o (, 4) c) Tp 4x 7x x 0 Selvitetää, millä x: rvoill fuktio f(x) x rvot ovt egtiivisi ti oll. Nollkoht: x 0 x : ( ) x Ldit merkkikvio. Fuktio f(x) kuvj o lskev suor. f(x) + x f(x) + Fuktio rvot ovt egtiivisi ti oll, ku x.

65 84 Tp 4x 7x x : ( ) Ku jet egtiivisell luvull, epäyhtälömerki suut vihtuu.. x.. x + y 6 y x + x + (x + ) 6 x + x 4 0, b j c 4 ± 4 ( 4) x ± ± x + x ti x 4 x + y 6 y x 4 ( 4) + y 6 y 8 Leikkuspisteet ovt (, ) j ( 4, 8) 4. ) Geometrise lukujoo yleise jäsee kv muk 4 6 q 4 6 q 48 : 6 q 8 q 8 b) Merkitää ikuiste lippuje määrää x:llä j lste y:llä.

66 8 x + y 6 ( ) 0x + y 469 x y 6 0x + y 469 8x 6 x 9 :8 9 + y 6 y 7 Aikuiste lippuj myytii 9 j lste 7 kpplett. 6. Rjsuort: x y 0 y x + 9 Piirretää suort. x y 0 y x + : ( ) y x Vrmistet testipistee (, ) vull, että lue o kuv tummeettu suorie rjm elikulmio. Pistee koorditit toteuttvt epäyhtälöt x j y 0. y x , tosi x y 0 0 0, tosi

67 86 Alue o siis kuv merkitty elikulmio. Kosk epäyhtälöissä o yhtäsuuruudet muk, elikulmio reut kuuluvt muk lueesee. 7. Luvut ovt muoto. Luvut muodostvt ritmeettise lukujoo. Piei kolmiumeroie prillie kokoisluku o 00 j suuri 998. Luku 00 o joo 0. jäse j 998 joo 499. jäse. Prillisi kolmiumeroisi positiivisi kokoislukuj o S Merkitää koeide A määrää x:llä j B määrää y:llä. Optimoitv luseke o x + y. Rjoitteet: A-koeide määrä x 0 B-koeide määrä y 0 Hit yhteesä 00 x y y,x + 40 ATK-tukihekilö ik x + y 8 y 0,x + 9 Rjsuort: x 0 y 0 00x + 000y y 00x : 000 y,x + 40 Piirretää suort. x + y 8 y x + 8 : y 0,x + 9

68 87 Epäyhtälöt x 0 j y 0 rjvt luee ei-egtiivisii x: j y: rvoihi. Vrmistet testipistee (0, 0) vull, että lue rjutuu khde muu suor lpuolelle. 00 x y , tosi x + y , tosi Suuri rvo optimoitvlle lusekkeelle sd jossi luee kärkipisteistä. Piste A (0, 0) Pistee B koorditit (0, 9) void päätellä suor y 0,x + 9 yhtälöstä. Pistee C koorditit sd rtkisemll yhtälöpri 0,x + 9,x ,7x : ( 0,7) x 0 y 0,x + 9. y, x + 40 y 0, C (0, 4) Piste D o suor y,x + 40 j x-kseli leikkuspiste.,x ,x 40 : (,) x D,0 Lsket lusekkee x + y rvo kärkipisteissä. A: B: C: D: + 0 Suuri rvo o 4, jok sd pisteessä (0, 4). Eite koeit sd, ku mlli A hkit 0 j B 4 kpplett. 9. Kokoissiot esimmäise trjoukse muk ovt Merkitää jälkimmäise trjoukse mukist esimmäistä plkk :llä. Vuode kokoissiot void lske geometrise summ, joss q,0.

69 88 S (,0,0 ) (,0 ) 6400 (,0),0 (,0 ) 96 : (,0 ) 04,8 Alkuplk o oltv vähitää 04,6.