c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2."

Tiina Laine
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 MAA4. Koe Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! Ratkaise. a) x 5 b) 5 xy x 4y 6 c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=- ja x=. a) Suora kulkee pisteen (6, 8) kautta ja on yhdensuuntainen suoran x 5y = kanssa. Muodosta suoran yhtälö. b) Määritä a)-kohdassa muodostuneen suoran etäisyys pisteestä (,6) a) Selvitä, onko piste (4,9) ympyrällä x y 4y 60 0, vai sen ulkopuolella tai sisäpuolella. b) Mikä on sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen (5,5) kautta ja on kohtisuorassa suoraa xy5 0 vastaan? 4 Tontti on kolmion mallinen. Jos ajatellaan, että kartan keskustaan piirretään koordinaatisto, jonka origo on kartan keskipisteessä, niin tontti-kolmion kärkipisteet ovat kartalla kohdissa A(-00,-50), B(50,-00) ja C(00,00). (koordinaatistossa yksikkö = m luonnossa) a) Mikä on pisteestä C janaa AB vasten piirretyn korkeusjanan yhtälö? b) Mikä on tämän korkeusjanan korkeus? c) Mikä on koko tontin pinta-ala? 5 Määritä ympyrälle x y 5 pisteestä (0,0) piirrettyjen tangenttien yhtälöt 6 a) Selvitä, sijaitsevatko pisteet ( 7, 7), (7, 0) ja (7, 70) samalla suoralla. b) Mikä on pisteen (4, ) lyhin etäisyys ympyrästä x + y 4 x + 6 y + = 0? 7 Määritä paraabelin yhtälö, kun paraabeli kulkee pisteiden 80 (, ),(,8) ja (, ) kautta. 9 8 Paraabelin muotoisen oviaukon suurin leveys on m ja suurin korkeus on m. Aukon läpi suunnitellaan työnnettäväksi rullien päällä oleva suorakulmaisen särmiön muotoinen laatikko. Mahtuuko laatikko ovesta, kun rullien säde on 5 cm ja laatikon mitat ovat 4 cm x 4 cm x 00 cm? Ota tämä lappu mukaan kokeesta poistuessasi, ja kirjaa vaikka vastauksesi tähän ylös. Oikeat ratkaisut voit tarkistaa tänään n. klo :00 osoitteesta:

a) Suora kulkee pisteen (6, 8) kautta ja on yhdensuuntainen suoran x 5y = kanssa. Muodosta suoran yhtälö.

2 Ratkaisut:. a) x 5. 5 x 5 tai -x 5 x. 5 x y x4y6 b) lasketaan alekkain yhteen. => x 4y 6 x 4y 6 8y, y. Sijoitetaan jompaankumpaan yht. => x 0 c) koska huippu on y-akselilla, paraabelin yhtälö on muotoa y ax c ja vakiotermi c on käytännössä huipun korkeus, eli c=5. Nyt tiedetään, että paraabeli kulkee esim. pisteen (x,y)=(,0) kautta. Joten: 6 0 a 6 0 4a 6 4a 6 a 4 y x 6. a) Muutetaan suoran yhtälö normaaliin muotoon, jotta nähdään kulmakerroin: x 5y y x k (yhdensuuntaisilla suorilla on samat kulmakertoimet!) Pisteen (6,8) kautta kulkevan suoran yhtälö on: 8 y 8 ( x 6) y 8 x y x d b)suoran yhtälö muotoon x5y 0. Etäisyys d on ( 5) 4. a) Ratkaisu: x y 4y 60 0 x y 4y 4 64 ( x 0) ( y ) 8. Ympyrän keskipiste on (0, ) ja säde 8. Pisteen (4, 9) etäisyys keskipisteestä on Tästä käy ilmi, että piste sijaitsee ympyrän ulkopuolella. Vastaus: ympyrän ulkopuolella (4 0) (9 ) b) Ratkaisu: Suora x y 5 0 y x k. Nyt, k k on alkuperäistä suoraa vasten kohtisuorassa olevan suoran normaalin kulmak. Nyt y 5 ( x 5) y x 0 on normaalin yhtälö.

Joten: 6 0 a 6 0 4a 6 4a 6 a 4 y x 6. a) Muutetaan suoran yhtälö normaaliin muotoon, jotta nähdään kulmakerroin: x 5y y x k (yhdensuuntaisilla suorilla on samat kulmakertoimet!

3 y 50 ( 00) a) Janan AB suuntaisen suoran yhtälö: kulmakerroin = x Kulkee esim. pisteen (-00,-50) kautta, joten: y ( 50) ( x ( 00)) y 50 x 00 y x 50 Nyt tämän suhteen kohtisuorassa olevan suoran kulmakertoimen pitää toteuttaa yhtälö kk, joten ( ) k k ja kulkee pisteen c (00,00) kautta: y00 ( x 00) y x y x 600 b) Pitää laskea a) kohdan kohtisuorien suorien, eli korkeusjanan ja janan AB leikkauspiste: x 50 x 600 x 750 9x 800 0x 050 x 05 Jos x=05, y x => leikkauspiste: (05, -85) Korkeusjanan pituus, eli kahden pisteen (00,00) ja (05,-85) välinen etäisyys: korkeus (00 05) (00 ( 85) c) Ajatellaan jana AB kolmion kantana ja korkeusjana sen korkeutena. Korkeusjanan pituus laskettiin äsken. Nyt vain lasketaan AB:n pituus: AB ( 00 50) ( 50 ( 00)) ( 450) Pinta-ala: 5. Mallikuva: m 4,6 ha Ajatellaan vaikkapa oikeanpuolista tangenttia suorana, joka kulkee pisteen (0,0) kautta ja jolla on jokin kulmakerroin k. Muodostetaan väkisin suoran yhtälö: ( y 0) k( x 0) y 0 kx 0k Tämän suoran ja ympyrän leikkauspiste saadaan yhtälöparista: y kx 0k 0

kautta: y00 ( x 00) y x 900 00 y x 600 b) Pitää laskea a) kohdan kohtisuorien suorien, eli korkeusjanan ja janan AB leikkauspiste: x 50 x 600 x 750 9x 800 0x 050 x 05 Jos x=05, y x600 75 600 85 =>

4 y kx 0k 0 sijoitetaan y! y x 5 ( kx 0k 0) x 5 k x 0k x 0kx 0k x 00k 00k 0kx 00k 00 x 5 0 ( k ) x ( 0k 0 k) x (00k 00k 95) 0 Muodostuu toisen asteen yhtälö, jolla pitäisi olla vain yksi ratkaisu k:lle, koska yhdellä suoralla ei voi olla kahta eri kulmakerrointa! Toisen asteen yhtälöllä on yksi ratkaisu jos ja vain jos ratkaisukaavassa neliöjuuren sisusta, eli determinantti=0: ( 0k 0 k) 4( k )(00 k 00k 95) k 800k 400k 400k 800k k 800k 80k 0 80k 800k 80 0 Ratkaistaan tästä k, niin saamme molempien tangenttien kulmakertoimet: 80k 800k 80 0 : 0 9k 40k ( 9) ( 9) k Koska sievennyksestä ei tule mitään nättiä, otetaan tästä likiarvot, eli kulmakertoimet ovat: k=,4 ja k=0,7 Tangenttien yhtälöt: y0, 4( x0) ja y,4 x4 y0 0,7( x0) y0,7x 6. a) tutkitaan ovatko pisteiden (-7,-7) ja (7,0) sekä (7,0) ja (7,70) väleille viritetyillä suorilla samat kulmakertoimet. Tarvitsee vain laskea noiden suorien kulmakertoimet: y y k x x y y k xx Pisteiden väliset suorat ovat yhdensuuntaiset, eli kaikkien kolmen pisteen täytyy olla samalla suoralla. b) Mikä on pisteen (4, ) lyhin etäisyys ympyrästä x + y 4 x + 6 y + = 0? Ratkaisu Merkitään ympyrän säde r ja pisteen (4, ) etäisyys ympyrän keskipisteestä d Muunnetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon (x ) + (y + ) = 0 Keskipiste on (, ) ja r = 0 Jos piste on ympyrän ulkopuolella, on sen lyhin etäisyys ympyrästä d r d r = Vastaus: 0 ( 4 ) ( ) 0 = 40 0 = 0 0 = 0

5 7. Muodostuu yhtälöryhmä a, b, c, joten a b 4c 6 4a b c 8 4a 6b 9c y x x Ratkaistaan a,b ja c 8 Muodostetaan paraabelin yhtälö. Sijoitetaan parabelin huippu y-akselille, jolloin se leikkaa y-akselin korkeudella => paraabelin yhtälön vakiotermi c=. Nollakohdat tulevat x- akselille symmetrisesti nollan molemmille puolille pisteisiin (-,0) ja (,0). Koska paraabeli on symmetrinen y-akselin suhteen, sen yhtälö on muotoa y ax c ax. Ratkaistaan tästä a, esim. pisteen (,0) avulla. Koska paraabeli kulkee pisteen (,0) kautta, tällöin: 0 a 0 a a. Tällöin paraabelin yhtälö on y x. Kokeillaan työntää laatikkoa ensin lyhin sivu 4 cm =,4 m lattiaa kohti. Tällätään laatikko tismalleen keskeltä oviaukkoa läpi. Tällöin laatikon kulmat menevät x-akselin kohdista -0,6 ja +0,6. Lasketaan oviaukon korkeus kohdassa x=0,6 paraabelin yhtälöstä: y (0,6), m Laatikon pystysivu on tässä vaihtoehdossa,4 m korkea, ja siinä on 0cm=0,m korkeat rullat alla, joten laatikon pystysivu olisi,4m korkeudella, eli ei tule mahtumaan! Kokeillaan kääntää laatikko toisinpäin, eli,4 m sivu lattiaa vasten: Tällöin laatikon kulmat menevät x-akselin kohdista 0,57 ja -0,57. Lasketaan oviaukon korkeus kohdassa x=0,57 paraabelin yhtälöstä: y (0,57),5 m Laatikon pystysivu on tässä vaihtoehdossa,4 m korkea, ja siinä on edelleen 0, m korkeat rullat alla, joten laatikon pystysivu olisi,4 m korkeudella. Eli näin päin laatikko mahtuu!

Nollakohdat tulevat x- akselille symmetrisesti nollan molemmille puolille pisteisiin (-,0) ja (,0). Koska paraabeli on symmetrinen y-akselin suhteen, sen yhtälö on muotoa y ax c ax.

Samankaltaiset tiedostot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse