Lukion. Calculus. Polynomifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Transkriptio

1 Calculus Lukion MAA Polynomifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

2 Polynomifunktiot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti. Sievennä. a) a 6a ( b b ) ( b a) a 6a = a 6 ( b b ) ( b = b. Olkoon P( ) = ja Q( ) =. Laske. a) P ( ) Q ( ) c) P ( ) Q( ) a) P ( ) = ( ) = Q ( ) = ( ) = = c) P ( ) Q( ) = =. Sievennä. a) a( 5a ) ( b )( c) a) a( 5a ) = 0a a (b )( = (b )(b ) = 9b 6 c) ( c 6) = c c 6 ( c 6). Jaa tekijöihin. a) a 6a b 5 c) 6 9 a) a 6a = a( a ) b 5 = (b 5)(b 5) c) 6 9 = ( ) 5. Sievennä. 5 5 b b a) a a b ( b ) c) a 5a 5a a a) = = a a a a a b b b( b ) b b b = = b ( b ) ( b ) ( b ) b b a 5a ( a )( a ) 5a c) = = 5a 0a 5a a 5a ( a ) Lukion Calculus

3 Polynomifunktiot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut 6. Ratkaise vaillinainen toisen asteen yhtälö. a) ( ) = 0 = 0 c) ( ) = ( ) a) ( ) = 0 = 0 tai = = 0 ( ) = 0 = 0 tai = c) ( ) = ( ) ( )( ) = 0 = tai = 7. Ratkaise. a) = 0 ( ) = 0 a) = 0 = tai = ( ) = 0 ( )( ) = 0 = tai = 8. Millä vakion a arvolla yhtälöllä 6 a = 0 on tarkalleen yksi ratkaisu? Yhtälöllä 6 a = 0 on tarkalleen yksi ratkaisu silloin, kun D = 6 ( ) a = 0, josta a = Ratkaise yhtälö. a) ( )( ) = = 0 a) ( )( ) = 0 = 0 tai = tai = 5 5 = 0 ( 5) ( 5) = 0 ( 5)( ) = 0 = 5 0. Ratkaise epäyhtälö. a) ( )( )( ) > 0 a) Merkkikaavion mukaan < tai < <. - - tulo - Lukion Calculus

4 Polynomifunktiot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Kertauskoe. Sievennä lauseke. a) (a a a) ( a a ) ( a ) ( a)( a) a) (a a a) ( a a ) = a a a a a = a ( a) ( a)( a) = a a a = a 7. a) Sievennä lauseke, kun tiedetään, että luvut r ja s ovat toistensa käänteislukuja. r s Muodosta neliöt ( y ) ja ( y ) sekä laske niiden erotus. c) Sievennä lauseke. a) s r = = s r r s rs, koska käänteislukujen tulo rs =. ( y ) (y ) = y y (y y 9) ( )( ) c) = = ( ). Ratkaise yhtälö. = y y y y 9 = y y 5 a) = 0 8 = c) 5 0 = a) = 0 = 0 = ± 8 = 8 = 0 = tai = c) 5 = 0 ( 5 ) = 0 = 0 tai = tai = 7. a) Ratkaise epäyhtälö ( ) < 9. Millä :n arvoilla lauseke on määritelty? a) ( ) < 9 8 < 0 < < Lauseke kun. on määritelty, kun 0. Epäyhtälö toteutuu, Lukion Calculus

5 Polynomifunktiot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut 5. Autoilijan työmatkan kesto t riippuu liikennevirrasta m kaavan t = 0,0m 0,0m 8 mukaisesti, missä t on ajoaika minuutteina ja m liikenteen mittauspisteen minuutissa ohittavien autojen määrä. Kuinka suuri saa liikennevirta enintään olla, jotta autoilijan työmatka kestäisi enintään puoli tuntia? (yo-teht. K9/) Siitä vaatimuksesta, että työmatkan kesto on enintään puoli tuntia, saadaan epäyhtälö 0,0m 0,0m 8 0 eli m m Epäyhtälö toteutuu arvoilla m,. Liikennevirta m saa olla enintään autoa minuutissa. 6. a) Määritä vakio t siten, että yhtälöllä t t t = 0 on täsmälleen yksi juuri. Mikä on tämä juuri? Osoita, että yhtälöllä a ( a ) = 0 on reaalijuuria kaikilla vakion a arvoilla. a) Yhtälöllä t t t = 0 on täsmälleen yksi juuri silloin, kun D = t t( t ) = 0 eli t t = 0 t = 0 tai t =. Näistä vain jälkimmäinen käy. Sijoitetaan saatu t:n arvo alkuperäiseen yhtälöön, jolloin = 0 eli = 0. Yhtälön ratkaisuna =. Muodostetaan diskriminantti: D = ( a ) a( ) = a a 8a = a a = ( a ). Koska D = ( a ) 0, yhtälöllä on reaalijuuria kaikilla vakion a arvoilla. 7. Ratkaise. a) 6 8 = 0 > 5 5 a) 6 8 = 0 ( ) 6 8 = 0 = tai = = ± tai = ± > 5 5 ( ) 5( ) > 0 ( )( 5) > 0 Oheisen merkkikaavion mukaan ratkaisu on 5 < < tai > 5. *8. Ratkaise. a) = < - 5 tulo 5 5 Lukion Calculus

6 Polynomifunktiot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut 5 a) Määrittelyehdon mukaan 0 eli, ja neliöjuuren arvoon liittyvän ehdon mukaan 0. Yhdistettyinä ehdot antavat tuloksen. Korottamalla neliöön saadaan = 6 9 eli 7 5 = 0 =. Näistä 7 ± valitaan alkuehtojen nojalla =. Reaalisuus- ja neliöjuuriehdot yhdistettyinä edellyttävät, että 0. Neliöön korotus antaa tuloksen < > 0 < tai >. Ottamalla huomi- oon alussa asetettu ehto saadaan ratkaisuksi >. Kertauskoe b. Sievennä a) a( a) 6b 6 Kirjoita polynomina c) ( c ) d) ( d d )( d d ) Jaa tekijöihin e) e e f) f f a) a( a) = a 6a = 8a c) ( c ) = 9c c 6 d) e) e e = e( e ) = e( e)( e) f) b ( b ) = = 6b 6 6( b ) ( d d )( d d ) = d d f f = ( f ). Sievennä lauseke. a) (a ) ( a)( a) b b b a) (a ) ( a)( a) = 9a b (b )(b ) b = = b b (b ) b a 9 a = 0a a 5. Olkoon f ( ) = ja g( ) =. Laske a) f ( ). g ( ). c) Ratkaise yhtälö f ( ) = g( ). (yo-teht. K0/) a) f ( ) = ( ) ( ) = 8 = g ( ) = ( ) ( ) = = 8 8 c) = = 0 = tai = Lukion Calculus

7 6 Polynomifunktiot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut. Millä a:n arvoilla yhtälön a a = 0 juuret ovat reaaliset? Yhtälön a a = 0 juuret ovat reaaliset, kun D = ( a) a 0. Epäyhtälön a 8a 0 ratkaisuna a 0 tai a Ratkaise. a) 6 = 0 a) 6 = 0 ( ) ( ) = ( )( ) = 0 = tai = ± 0 - ( ) 0. Merkkikaaviosta tulo nähdään, että 0 tai Kultainen leikkaus tarkoittaa janan jakoa kahteen osaan niin, että koko janan pituuden suhde pitempään osaan on sama kuin pitemmän osan suhde lyhyempään. Laske millimetrin tarkkuudella yhden metrin mittaisen janan osat, kun jana on jaettu kultaisen leikkauksen mukaisesti. Janan pituus on (m), pidemmän osan pituus ja lyhyemmän. Silloin ± 5 =, josta = 0 ja =. Janan pituudeksi sopii vain 5 0,68. Alkuperäisen janan osien pituudet ovat 0,68 m ja 0,8 m. 7. Yhtälössä a a = 0 vakio a on positiivinen ja = on yksi juurista. Määritä muut juuret. Sijoitetaan = annettuun yhtälöön. ( ) a( ) a ( ) = 0 a a = 0 a =,5 tai a =. Näistä jälkimmäinen on positiivinen. Yhtälö on = 0. Jaetaan yhtälön vasen puoli tekijöihin ryhmittelemällä. ( ) ( ) = 0 ( )( ) = 0 = tai = ±. *8. Osoita, että epäyhtälö on voimassa kaikilla luvun ei-negatiivisilla arvoilla. Kun oletuksen ehto 0 on voimassa, epäyhtälöstä saadaan yhtäpitävä epäyhtälö neliöön korottamalla. Tällöin ( ) ( ) 0. Saatu tulos todistaa alkuperäisen väitteen paikkansa pitävyyden. Lukion Calculus