ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008
|
|
- Ari-Pekka Ranta
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 1. Olkoon herra K.:n hyötyfunktio u(x) = ln x. (a) Onko herra K. riskinkaihtaja, riskinrakastaja vai riskineutraali? (b) Herra K.:lla on euroa, ja hän harkitsee sijoittavansa rahansa jompaan kumpaan seuraavista arpajaisista (luvut ovat voittoja/tappioita): eli kuvallisesti L 1 = L(1, 100), L 2 = L ( 0,1, L(0,5, 400 ; 0,5, 600) ; 0,9, 5 ), L , ,1 0,5 600 L 2 0,9 5 Kumman arpajaisista L 1 vai L 2 herra K. valitsee? Ratkaisuehdotus: (a) Herra K. on riskinkaihtaja. Tämä seuraa harjoitustehtävän 3 kohdasta (a), sillä funktio ln x on konkaavi. Tyydymme tässä perustelemaan herra K.:n riskinkaihtoa esimerkillä. Tarkastellaan arpajaisia L = L(0,5, 1 ; 0,5, 0). Herra K.:n varmuusvastine (yksikkönä hyöty) näille arpajaisille on CE(L) = E ( u(l) ) = E ( ln L ) = ln 1 0,5 + ln 0 0,5 =. 1
2 Toisaalta riskineutraalin päätöksentekijän varmuusvastine (ykikkönä palkkio) arpajaisille L on CE(L) = E(L) = 1 0, ,5 = 0,5. Tämän luvun 0,5 yksikkö on palkkioissa. Herra K.:n varmuusvastineen yksikkö on hyöty. Jotta näitä voitaisiin verrata, täytyy yksiköt muuttaa samoiksi. Muutamme hyödyn palkkioiksi: u 1 ( ) = 0. Siisä herra K.:n varmuusvastine on palkkioina 0. Ja siten herra K.:n riskipreemio on 0,5 palkkiota arpajaisille L. Näemme, että herra K. on riskinkaihtaja ainakin mitä arpajaisiin L = L(0,5, 1 ; 0,5, 0) tulee. Huomattavaa kuitenkin on, että periaatteessa herra K. voisi olla riskinrakastaja joidenkin muiden arpajaisten suhteen. Harjoitustehtävästä 3(a) seuraa kuitenkin, että näin ei voi olla. (b) Herra K.:n varmuusvastine arpajaisille L on CE(L) = E(ln L) (yksikkönä hyöty). Siten CE(L 1 ) = ln( ) = ln = 7,5496, CE(L 2 ) = ln( ) 0,1 0,5 + ln( ) 0,1 0,5 + ln( ) 0,9 = 7,5742. Näemme, että herra K. valitsee arpajaiset L Vastaa edellisen tehtävän kysymyksiin (a) ja (b), kun herra K.:n hyötyfunktio on logaritmisen hyötyfunktion sijasta (a) u(x) = x 2, (b) u(x) = 2x + 1. Ratkaisuehdotus: (a) Harjoitustehtävän 3(b) nojalla herra K. on riskinrakastaja, sillä funktio x 2 on konveksi. Tarkastelemme sitten arpajaisia L 1 ja L 2. Herra K.:n varmuusvastineet (yksikköinä hyödyt) ovat CE(L 1 ) = ( ) 2 = , CE(L 2 ) = ( ) 2 0,1 0,5 + ( ) 2 0,1 0,5 + ( ) 2 0,9 =
3 Näemme, että herra K. valitsee arpajaiset L 2. (b) Funktio 2x + 1 on sekä konkaavi että konveksi. Siten, harjoitustehtävän 3(c) nojalla, herra K. on riskineutraali. Nyt arpajaisille L 1 ja L 2 pätee CE(L 1 ) = 2 ( ) + 1 = 3.801, CE(L 2 ) = ( 2 ( ) + 1 ) 0,1 0,5 + ( 2 ( ) + 1 ) 0,1 0,5 + ( 2 ( ) + 1 ) 0,9 = Herra K. valitsee arpajaiset L Osoita että päätöksentekijä on (a) riskinkaihtaja, jos hänen hyötyfunktionsa on konkaavi, (b) riskinrakastaja, jos hänen hyöytyfunktionsa on konveksi, (c) riskineutraali jos ja vain jos hänen hyötyfunktio on sekä konveksi että konkaavi. Ratkaisuehdotus: Harjoituksen väitteet seuraavat Jensenin epäyhtälöstä (1) E ( u(l) ) u ( E(L) ), kun u on konveksi, joka on esitelty luennoilla. Nimittäin epäyhtälön (1) vasen puoli on varmuusvastine CE(L) yksikköinä hyödyt 1 ja epäyhtälön oikea puoli on odotettu arvo EV(L) yksikköinä hyödyt. Siten riskipreemio (yksikkönä hyöty) on RP(L) = E ( u(l) ) u ( E(L) ). (a) Tämä seuraa Jensenin epäyhtälöstä, sillä u(x) on konkaavi jos ja vain jos u(x) on konveksi. (b) Tämä on Jensenin epäyhtälö. (c) Tämä seuraa yhdistämällä kohdat (a) ja (b). Itse asiassa funktio u(x) on sekä konveksi että konkaavi jos ja vain jos se on affiini: u(x) = ax + b. 1 Jos suureen x yksikkö on hyöty, niin vastaava palkkio on u 1 (x). Jos taas suureen x yksikkö on palkkio, niin vastaava hyöty on u(x). 3
4 4. Oiva Opiskelijan on päätettävä osallistuako kurssille Operaatioanalyysi vai Johdatus tilastotieteeseen. Oiva arvioi, että jos hän osallistuu kurssille Operaatioanalyysi, niin todennäköisyydellä 10% hän saa arvosanan 5, todennäköisyydellä 40% arvosanan 4 ja todennäköisyydellä 50% arvosanan 3. Samoin Oiva arvelee, että osallistuu kurssille Johdatus tilastotieteeseen, niin todennäköisyydet arvosanoille ovat: 70% arvosanalle 4, 25% arvosanalle 3 ja 5% arvosanalle 2. Oiva on indifferentti arpajaisten L(1, 3) ja L(0,25, 5 ; 0,75, 2) suhteen, sekä arpajaisten L(1, 4) ja L(0,70, 5 ; 0,30, 2) suhteen. Jos Oiva Opiskelija haluaa optimoida arvosanasta saadun keskimääräisen (eli odotetun) hyödyn, niin kumman kursseista Operaatioanalyysi vai Tilastotieteen johdantokurssi hän valitsee? Ratkaisuehdotus: Huomaamme aluksi, että Oiva Opiskelija tarkastelee vain arvosanoja 5, 4, 3 ja 2. Hän siis ei pidä mahdollisena arvosanoja 1 tai hylätty. Rakennamme sitten Oivan hyötyfunktion. Ääriarvoissa asetamme u(5) = 1 ja u(2) = 0. Indifferessistä L(1, 3) L(0,25, 5 ; 0,75, 2) päättelemme, että u(3) = 0,25. Samoin indifferenssistä L(1, 4) L(0,7, 5 ; 0,3, 2) päättelemme, että u(4) = 0,7. Nyt hyötyfunktio on tiedossamme. Voimme siis laskea odotetut hyödyt arpajaisille L OR ja L IS : E ( u ( L OR )) = u(5) 0,1 + u(4) 0,4 + u(3) 0,5 = 1 0,1 + 0,7 0,4 + 0,25 0,5 = 0,505, E ( u ( L IS )) = u(4) 0,7 + u(3) 0,25 + u(2) 0,05 = 0,7 0,7 + 0,25 0, ,05 = 0,5525. Oiva Opiskelija valitsee siis kurssin Tilastotieteen johdantokurssi. 5. Sjoittaja R.:llä on euroa löysää rahaa. Hän aikoo sijoittaa ne vuodeksi joko valtion obligaatioiin tai kultaan (mutta ei molempiin). Jos sijoittaja R. sijoittaa euroa valtion obligaatioihin saa hän varmasti vuoden kuluttua euroa. Jos hän taas sijoittaa kultaan saa hän vuoden kuluttua 400 euroa todennäköisyydellä 0,75 ja euroa todennäköisyydellä 0,25. Sijoittaja R.:n hyötyfunktio on u(x) = x. Sijoittaja R. haluaa optimoida odotetun (eli keskimääräisen) hyödyn. Tuleeko hänen sijoittaa valtion obligaatioihin vai kultaan? 4
5 Huomautus: Tämän tehtävän ratkaiseminen pitäisi onnistua jo edellisen viikon harjoitusten tiedoilla. Ratkaisuehdotus: Laskemme odotetut hyödyt obligaatiolle L bond ja kullalle L gold : E ( u(l bond ) ) = = 36, E ( u(l gold ) ) = 400 0, ,25 = 40. Siispä sijoittaja R. sijoittaa kultaan. 5
ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 5 (Koetentti)
ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 200 Harjoitus 5 (Koetentti) Ratkaisuehdotuksia. Öljy-Yhtiö Oy on tehnyt herra K.:n maapalasta ostotarjouksen 200kC. Herra K. voi joko myydä maapalan
LisätiedotORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2016 Harjoitusten 4 ja 5 ratkaisuehdotuksia
ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2016 Harjoitusten 4 ja 5 ratkaisuehdotuksia 4 Harjoitukset Harjoitustehtävä 4.1 Tarkastelemme esimerkin 4.1.3 leipuri Pullaa. Kuinka monta pullaa tulee
LisätiedotORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008
ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Näissä harjoituksissa viljellään paljon sanaa paradoksi. Sana tulee ymmärtää laajassa mielessä. Suppeassa mielessähän
LisätiedotORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008
ORMS22 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 28 Harjoitus 7 Ratkaisuehdotuksia. Liukuhihnafirma Oy tuottaa jipposensoreita liukuhihnalla. Liukuhihnalla on kuitenkin ylikapasiteettia. Siten Liukuhihnafirma
LisätiedotORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008. Tehtävissä 1, 2, ja 3 tarkastelemme seuraavaa tilannetta:
RMS22 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 28 Harjoitus 8 Ratkaisuehdotuksia Tehtävissä 1, 2, ja 3 tarkastelemme seuraavaa tilannetta: Pankki harkitsee myöntääkö 5. euron lainan asiakkaalle 12%
LisätiedotORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 3
ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia 1. (a) Päätöspuu on matala, jos mitään sattumasolmua ei välittömästi seuraa sattumasolmu eikä mitään päätössolmua
LisätiedotORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008. päätöspuiden avulla tarkastellaan vasta seuraavissa harjoituksissa.
ORMS00 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 008 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Nämä harjoitukset liittyvät päätöspuiden rakentamiseen: varsinaista päätöksentekoa päätöspuiden avulla tarkastellaan
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
LisätiedotORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus Mitkä todennäköisyystulkinnat sopivat seuraaviin väitteisiin?
ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 200 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia. Mitkä todennäköisyystulkinnat sopivat seuraaviin väitteisiin? (a) Todennäköisyys että kolikonheitossa saadaan lopulta
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 12
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta
LisätiedotArvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)
Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Hyöty (engl. utility) = arvo, jonka koemme riskitilanteessa eli, kun teemme päätöksiä epävarmuuden (todennäköisyyksien) vallitessa. Vrt.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan
LisätiedotRatkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävä 1 on klassikko. 1. Tässä tehtävässä tapahtumat A ja B eivät välttämättä
Lisätiedotk S P[ X µ kσ] 1 k 2.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 28 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
LisätiedotORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 4
ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 1. Omppukone Oy valmistaa liukuhihnalla muistipiirejä kymmenen piirin sarjoissa. Omppukone arvioi, että keskimäärin
LisätiedotORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008
ORMS00 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 008 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia 1. Penan Grilli ja Jaskan Grilli ovat kilpailijoita. Molempien täytyy päättää samanaikaisesti ja toisistaan tietämättä
LisätiedotTehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Lokaalit ääriarvot Yhden muuttujan funktion f (x) lokaali maksimi on piste x 0, jossa f (x) on suurempi kuin muualle pisteen x 0 ympäristössä, eli kun f (x 0 )
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 2, malliratkaisut
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus, malliratkaisut 1.-5.9.009 1. Muodosta joukot A B, A B ja A\B sekä laske niiden alkioiden lukumäärät (mikäli kyseessä on äärellinen
Lisätiedotb) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa.
2.9. Epävarmuus ja odotetun hyödyn teoria Testi. Kumman valitset a) 10 euroa varmasti. b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa. Odotettu arvo 0,5* 15 + 0,5*5
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikoe
Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen
LisätiedotHarjoitus 7: vastausvihjeet
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen
Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin
LisätiedotSEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA
SEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA Matti Estola 8. joulukuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Ratkaistaan sukupuolten välinen taistelu sekastrategioiden avulla 5 Teksti on suomennettu kirjasta: Gibbons: A Primer
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotLuento 9. June 2, Luento 9
June 2, 2016 Otetaan lähtökohdaksi, että sopimuksilla ei voida kattaa kaikkia kontingensseja/maailmantiloja. Yksi kiinnostava tapaus on sellainen, että jotkut kontingenssit ovat havaittavissa sopimusosapuolille,
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotEpäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista
6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Lisätiedot= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0.
HARJOITUS 1, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE11 2017. 1. Ratkaise (a.) 2x 2 16x 40 = 0 (b.) 4x 2 2x+2 = 0 (c.) x 2 (1 x 2 )(1+x 2 ) = 0 (d.) lnx a = b. (a.) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: x = ( 16)± (
Lisätiedotrm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.
9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 10
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen
LisätiedotX k+1 X k X k+1 X k 1 1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Stokastiset differentiaaliyhtälöt Ratkaisuehdotelma Harjoitukseen 4 1. Oletetaan, että X n toteuttaa toisen kertaluvun differenssiyhtälön X k+2 2X k+1 + 2X k = ξ k,
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 10. Kurssikerta Petrus Mikkola 22.11.2016 Tämän kerran asiat Globaali ääriarvo Konveksisuus Käännepiste L Hôpitalin sääntö Newtonin menetelmä Derivaatta ja monotonisuus
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Olkoon X satunnaismuuttuja, ja olkoot a R \ {0}, b R ja Y = ax + b. (a) Olkoon X diskreetti ja f sen pistetodennäköisyysfunktio.
Lisätiedotill 'l' L r- i-ir il_i_ lr-+ 1r l
ir a I - --+,.---+-,- i-ir il_i_ lr-+ 1r l rl ill 'l' L r- T- 'l rl *r- I s. ;l -' --S"[nJ+&L rlr D Ur-r^^;lA_e^ 3. Piirrä indi erenssikäyrät korille ( ; x 2 ); kun on tavallinen hyödyke, ja x 2 on tavallinen
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
Lisätiedotsin x cos x cos x = sin x arvoilla x ] π
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 0, ratkaisuista. Todenna, että = + tan x. Mutta selvitäppä millä reaaliarvoilla se oikeasti pitää paikkansa! Ratkaisu. Yhtälön molemmat puolet ovat määriteltyjä
LisätiedotDerivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2
MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain
LisätiedotAloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.
Luku 1 Johdatteleva esimerkki Herra K. tarjoaa osto-option Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.
LisätiedotRatkaisu: (b) A = x 0 (R(x 0 ) x 1 ( Q(x 1 ) (S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 )))).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Palataan Partakylään. Olkoon P partatietokanta ja M tästä saatu malli kuten Harjoitusten 1
LisätiedotLuento 5: Peliteoria
Luento 5: Peliteoria Portfolion optimointi Sijoittajan tehtävä Nashin tasapaino Vangin ongelma Nashin neuvotteluratkaisu 1 Portfolion optimointi Varallisuus A sijoitetaan n:ään sijoituskohteeseen (osake,
LisätiedotHN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet
kevät 219 / orms.1 Talousmatematiikan perusteet 1. Laske integraalit a 6x 2 + 4x + dx, b 5. harjoitus, viikko 6 x + 1x 1dx, c xx 2 1 2 dx a termi kerrallaan kaavalla ax n dx a n+1 xn+1 +C. 6x 2 + 4x +
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset. I.1. Todista Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset I.1. Todista Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö kun x, y R. x y x y, Ratkaisu: Tiedetään, että x + ty 2
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilij oille I
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x
Lisätiedot(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista: (a) {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 },
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 1. Etsi lauseen (p 0 (p 1 p 0 )) p 1 kanssa loogisesti ekvivalentti lause joka on (a) disjunktiivisessa
Lisätiedot2. Minkä joukon määrittelee kaava P 0 (x 0 ) P 1 (x 0 ) mallissa M = ({0, 1, 2, 3}, P M 0, P M 1 ), kun P M 0 = {0, 1} ja P M 1 = {1, 2}?
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan II, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 1. Mitkä muuttujat esiintyvät vapaina kaavassa x 2 ( x 0 R 0 (x 1, x 2 ) ( x 3 R 0 (x 3, x 0
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotTehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.
Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
Lisätiedot1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää
Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotus 1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää D 8 = { id,
LisätiedotKKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n.
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.139 Optimointioppi Kimmo Berg 7. harjoitus - ratkaisut 1. Oletetaan aluksi, että epäyhtälöt eivät ole aktiivisia p i > 0. Tässä tapauksess KKTehdot
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
Lisätiedot= ( 1) 2 u tt (x, t) = u tt (x, t)
Harjoitukset 6, syksy 017 1. Osoita, ettei ajan suunnalla ole merkitystä aaltoyhtälössä: Jos u on ratkaisu, niin U(x, t) = u(x, t) on myös ratkaisu (toisin kuin lämpöyhtälön tapauksessa). Todistus. Funktion
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä
LisätiedotInduktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotMoraalinen uhkapeli: perusmalli ja optimaalinen sopimus
Moraalinen uhkapeli: perusmalli a optimaalinen sopimus Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Mauno Taaamaa 18.02.2008 Esityksen rakenne Johdanto moraalisen uhkapelin käsite) Yksinkertaistettu tapaus a sen
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 4. Kurssikerta Petrus Mikkola 4.10.2016 Tämän kerran asiat Funktion raja-arvo Raja-arvon määritelmä Toispuolinen raja-arvo Laskutekniikoita Rationaalifunktion esityksen
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
Lisätiedot4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 45 4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit Lähestymme nyt jo kovaa vauhtia hetkeä, jolloin voimme aloittaa stokastisen integroinnin. Ennen sitä käymme vielä läpi yhtä
Lisätiedot3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia 31 l Hospitalin sääntö 1 Määritä 2 5 4 2 + 2 7 12 + 11, e 1 2, (c) tan sin 2 Määritä 2012 3 704 + 2 6 30 13 10 + 7, 3 2017
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
LisätiedotTehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla
Lisätiedot3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
Lisätiedot1. Vastaa seuraavaan tehtävään. Tehtävään liittyvä kuva on seuraavalla sivulla
A31C00100 Mikrotaloustiede Kevät 2017 HARJOITUKSET 3 1. Vastaa seuraavaan tehtävään. Tehtävään liittyvä kuva on seuraavalla sivulla (i) Alla olevan kuvan kuluttaja A) on riskinkaihtaja B) on riskineutraali
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotE A [u] = 0.5 20 % + 0.5 8 % = 14 %, E B [u] = u = 15 %.
von Neumann & Morgenstern -hyötyteoria Esimerkki: Hallituksella on kaksi mahdollista talouspolitiikkaa, A ja B. Politiikka A tuottaa 20 %:n työttömyysasteen todennäköisyydellä 1/2 ja 8 %:n työttömyysasteen
LisätiedotHarjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
LisätiedotM 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon
Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen
LisätiedotI I K UL U UT U T T A T JANTE T O E R O I R A
II KULUTTAJANTEORIA.. Budjettirajoite * Ihmisten kaikkea toimintaa rajoittavat erilaiset rajoitteet. * Mikrotalouden kurssilla tärkein rajoite on raha. * Kuluttaja maksimoi hyötyään, mutta ei kykene toteuttamaan
LisätiedotReaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista
säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,
Lisätiedotf(x 1, x 2 ) = x x 1 k 1 k 2 k 1, k 2 x 2 1, 0 1 f(1, 1)h 1 = h = h 2 1, 1 12 f(1, 1)h 1 h 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 7 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset 6.. Olkoon f : G R, G = {(x, x ) R x > }, f(x, x ) = x x. Etsi differentiaalit d k f(, ), k =,,. Ratkaisu:
LisätiedotKaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.
Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
Lisätiedot