Erotusrajaksi on määritelty maksimin puoliarvoleveys:

Transkriptio

1 69 Erotusrajaksi on määritety maksimin puoiarvoeveys: ' Tarvittava juovien väinen etäisyys on siis 4 ( D d) min = d c =. (.4.5) F Tätä vaihe-eroa vastaava aaonpituusero saadaan seuraavasti: p d = D, missä D= nt f cos q' d d 4 =- p D Þ ( D ) min = ( D d) min = d pd pd F On siis ( D ) min = D p F Kaikki tämä tapahtuu transmissiomaksimin äheisyydessä, jossa p d = D» m p Þ =. D m Lopputuoksena saadaan ( D ) min =. (.4.6) mp F Tässä siis ( D ) min on pienin Fabry-Perot-interferometriä erotettavissa oeva aaonpituusero.

2 70 Spektroskopioissa määriteään yeisesti erotuskyky R (resoving power) kaavaa R =, ( D ) min joka Fabry-Perot-interferometrin tapauksessa saa muodon æp ö R= m ç F è ø, (.4.7) missä p F (.4.8) on ns. Finesse (huom. eri kuin finesse-kerroin) Mitä suurempi erotuskyky R sitä pienempiä aaonpituuseroja erotetaan. Miten erotuskyä voidaan kasvattaa? R kasvaa, kun: - F kasvaa, ts. r kasvaa (hopeapinnoitukset) - kertauku m kasvaa Kertauku m on suurin interferenssikuvion keskipisteessä. Tämä tarkoittaa sitä, että detektori kannattaa asettaa keskee interferenssikuviota rengasprofiiia mitattaessa. Keskeä kuviota ( q ' = 0) transmissiomaksimin ( d = m p ) kertauku saadaan kun asketaan: p p d = nf t m p D= = Þ n t f = m Þ nt m= f. Siis mitä suurempi on evyjen väimatka t sitä suurempi on m ja vastaavasti R.

3 7 Esimerkki: Ohessa eräää Fabry-Perot-interferometriä mitattu rengasprofiii vaihe-eron d (round-trip phase difference) funktiona. Arvioi kuvan perusteea finesse-kerroin F ja siitä edeeen peiien heijastuskerroin r. Ratkaisu: Finesse-kerroin F saadaan esimerkiksi rengasprofiiin kontrastista yhtäön (.4.3) avua. Kontrastia varten uetaan kuvaajasta transmissiominimie T min = 0.05, joten Tmax -Tmin V = = =, josta F 9 T max + T min / = F / V - = Finesse-kerroin saadaan myös yhtäön (.4.4) avua puoiarvoeveydestä d = d/» 0.46= / F. Tästä F = 8.9» 9. c Heijastuskerroin asketaan määritemästä (.4.) 4r F = Þ F( r ) -(F + 4) r + F = 0 (-r ) Þ r = ( + / F) ± (/ F) F + = ja 0.80 r».

4 7 Esimerkki: Fabry-Perot-interferometrin evyjen heijastuskerroin on r = 0,990. Laitteea tutkitaan vedyn H α viivaa ( = 656,3 nm), jossa on kaksi komponenttia aaonpituuseroa 0,036 nm. a) Laske tarvittava erotuskyky, kun komponentit hautaan erottaa toisistaan. b) Laske se evyjen väimatka, joka tuottaa tarvittavan erotuskyvyn. Ratkaisu: a) erotuskyky 656,3 nm R = = = 4857,4» ( D) min 0,036 nm b) evyjen väimatka: ratkaistaan ensin kertauku m erotuskyvyn (.4.7) ausekkeesta, jossa finesse-kerroin F voidaan askea heijastuskertoimen r avua määritemää (.4.) käyttäen. Lopuksi sitten peiien väimatka saadaan ausekkeesta m= nt f /. Siis 4r F = = (-r ) æp ö æ ö R R= ç m F Þm= ç = 308,768» 309 è ø èp ø F m 309 0,6563 μm t = =» 0 μm n,00 f Kommentti: Hyviä Fabry-Perot-interferometreiä R on uokkaa kymmeniä 7 mijoonia (esim. 0 ).

5 73 DIFFRAKTIO Optisea aueea vaon aaonpituus on hyvin yhyt (: 0-5 cm). Vaoa voidaan hyvin kuvata geometrisen optiikan approksimaatioa ( 0), jossa siis vaoenergia etenee säteinä tai aatorintamina. Homogeenisessa ja isotrooppisessa väiaineessa säteet etenevät suoraviivaisesti ja esimerkiksi vaon tiee asetettu esine muodostaa terävän varjon. Diffraktioa tarkoitetaan vaon kuun poikkeamista geometrisen optiikan ennustamata reititä. Diffraktio on siis seurausta vaon aatouonteesta. Sitä esiintyy erityisesti tianteissa, joissa vao kukee ähetä esineiden reunoja tai suuri joukko säteitä kohtaa toisensa. Pisteähde varjostin terävä reuna geometrinen varjo Viereisen kuvan kokeessa diffraktio imenee vaon taipumisena geometrisen varjon aueee. Varjon reuna ei oe enää terävä ja varjossa nähdään kirkkaita ja tummia juovia. Diffraktion tutkimisessa on tapana erottaa kaksi eri tapausta: Fraunhoferin diffraktio ja Fresnein diffraktio. Fraunhoferin diffraktiossa vaoähde ja varjostin ovat kaukana diffraktion aiheuttamasta esineestä (reunasta, aukosta...), jooin aatorintamia voidaan käsiteä tasoaatoina. Puhutaan myös kaukaisen kentän diffraktiosta. Fresnein diffraktiossa aatorintamien kaareutuminen on otettava huomioon ja puhutaankin ähikentän diffraktiosta.

6 74. FRAUNHOFERIN DIFFRAKTIO KAPEASSA RAOSSA Lasketaan Fraunhoferin diffraktiokuvio, jonka aiheuttaa yksi suorakumion muotoinen kapea rako (pituus >> eveys). Vaonähde on kaukana, joten rakoon tuevat aatorintamat ovat tasoaatoja. Käytännössä tianne saavutetaan asettamaa vaoähde positiivisen inssin pottopisteeseen (kuva). Raon eveys on b. Huygensin periaatteen mukaan aatorintaman saavuttaessa raon tason, jokainen raon piste toimii paoaatorintaman keskuksena. Näiden uusien aatojen resutantti pisteessä P asketaan superpositioperiaatteen mukaisesti. Pisteessä P yhteenaskettavat aaot eivät oe samassa vaiheessa, koska niiden väie syntyy (optinen) matkaero D. Lasku etenee näin: Jaetaan rako ds : n suuruisiin akioihin ja asketaan kunkin akion tuottama aato pisteeseen P. Lopuksi asketaan kokonaisvaikutus integroimaa yi raon. Rakoeementistä ds ähtevä paoaato pisteessä P on

7 de P 75 æde ö = ç e è r ø 0 i( kr-wt), (..) missä de 0 on ampitudi (yksikköetäisyydeä) ja r optinen matka rakoeementistä ds pisteeseen P (ks. kuva). Paoaaosta: i( kr-w t) Yeisesti paoaaossa "aato-osa" (esim. e ) on kuten tasoaaossa, mutta ampitudi ei oe vakio vaan pienenee kääntäen verrannoisena etäisyyteen. Pisteen P etäisyys raon keskipisteestä on r 0, joten kuvan mukaisesti r = r0 +D= r0 + ssinq. Kun tämä sijoitetaan (..):een, tuee de P æ de ö = ç e r è 0 +Dø 0 i[ k( r +D-w ) t] 0 æde0 ö e i[ k( r +D-w ) t] ç r. è 0 ø» 0 Approksimaatio voidaan tehdä, koska D = r0. On huomattava, että vastaavaa approksimaatiota ei saa tehdä vaiheessa. Hyvin pienetkin vaiheen muutokset (ae aaonpituuden) saavat aikaan suuria muutoksia opputuoksessa. Rakoeementistä ds ähtevän säteiyn ampitudi riippuu tietysti akion suuruudesta (eveydestä ds), ts.

8 de 76 = E ds, 0 L missä E L on raon ampitudi eveysyksikköä kohti. Fraunhoferin diffraktion tapauksessa rakoa vaaistaan tasaisesti, joten E L on vakio yi koko raon. Rakoeementin aiheuttamaksi aaoksi pisteessä P tuee siis æ ELds ö i( kr0 + kssin q-wt ) dep = ç e r è 0 ø ja koko raon tuottama aato saadaan integroimaa raon eveyden yi + b/ æel ö ikssin q i( kr0 -wt) EP =ç e ds e r ò. (..) è 0 -b/ ø Lasketaan: + b/ ò -b / e ikssinq ds ik sinq ik sinq + b / iks sinq ik( b/ )sin q -ik( b/ )sinq = é ëe ù û = ( e -e ) -b / = bsin[ kb ( / )sin q] sin[ kb ( / )sin q] ksinq = = b kb ( / )sinq sinc( b ), missä on käytetty merkintää sin sin kb p b = q = b q. (..3) Kokonaisaato pisteessä P on siis E P E bsin b r b L i( kr0 -wt) = e, jonka ampitudi (merkitään sitä E : ä) on Irradianssiksi tuee I E R 0 0 R = EL bsin b r b. e 0 c 0 L sin E e c æ E b ö b R r0 b = = ç è ø,

9 josta edeeen 77 I I b = 0sinc, (..4) missä vakiotekijät on koottu kertoimeksi I 0. Kapean raon Fraunhoferin diffraktiokuvio on siis sinc-funktion neiö. Kuvassa diffraktiokuvio (katkoviiva) on piirretty b : n funktiona. Kuvion keskeä on päämaksimi, siä sincb, kun b 0 (siis kuma q 0) ja I = I0. Kuvion muut ääriarvot öydetään esimerkiksi askemaa d æsin b ö æsin b öæbcosb -sin b ö 0 db ç b = ç = b ç b è ø è øè ø Minimit öydetään ensimmäisestä tekijästä (tai suoraan..4:stä) sin b : n noakohdista (kunhan b ¹ 0). Minimeie pätee siis b = sin kb q = mp, missä m =±, ±, K Sivumaksimien paikat saadaan jäkimmäisestä tekijästä bcos b - sin b = 0 Þ tan b = b. b Tämän transkendenttiyhtäön ratkaisut ovat äheä minimien puoiväejä, ts arvoja b = ( m + ) p. Seuraavassa tauukossa on esitetty tarkat ratkaisut ja ym. approksimaatioa asketut:

10 78 b = (tark):.43p,.46p, 3.47p,... b = (appr):.50p,.50p, 3.50p,... Mieivataisen tarkkoja ratkaisuja on heppo askea tavaisea askimea (opettee). Tauukosta havaitaan, että approksimaatio on sitä tarkempi mitä kaukaisemmasta sivumaksimista on kysymys. Ensimmäisen sivumaksimin ja päämaksimin irradianssien suhde yhtäön (..4) perusteea on: I I b=.43p b= 0 sin (.43 p) /(.43 p) = = 0,047. Ensimmäisen sivumaksimin irradinssi on siis vain noin 4.7% päämaksimin irradinssista. Kuvissa aa on esitetty diffraktiokuvion muodostuminen varjostimee, jonka etäisyys raosta on L (? b ja? y ):

11 79 Varjostimea kohdassa y: q = y/ L p p y b = kbsinq» bq = b L I æsin b ö = I0ç è Aa vieä mitä todeinen kuvio näyttää: b ø Esimerkki: Fraunhoferin kapean raon diffraktiokokeessa raon eveys on 5. Laske a) päämaksimin kumaeveys, ts. raon keskipisteestä katsottuna kuma-aukeama päämaksimin viereisiin. minimeihin, b) päämaksimin puoiarvoeveys (FWHM = Fu Width at Haf Maximum). Ratkaisu: a) ensimmäiset minimit b =± p (ks.sivu 77). On siis sin (5 ) 5 kb p b p q» q q pq p = = =± Þ q =± /5 =± 0,0 rad Päämaksimin kumaeveys on siten D q = 0,40rad

12 b) Puoiarvokohdassa (ks. kuva) 80 I I æsinb ö / = 0ç 0 b = / I è ø sinb/ Þ = b/ Þsinb/ - b/ = 0. Ratkaistaan numeerisesti iteroimaa askimea:. arvaus kuvasta b/ = p / =,57 / sin / / (5 ) / 5 / kb p b p b = q» q q pq = = Þ b/,39 q = / 0,0885 5p = 5p = rad ja oputa siis puoiarvoeveys on q /» 0,8rad Puoiarvoeveys (0,8 rad) on siis hieman vähemmän kuin puoet koko eveydestä (0,40/ = 0,0 rad)

13 8. FRAUNHOFERIN DIFFRAKTIO PYÖREÄSSÄ AUKOSSA Pyöreän aukon taipumisimiöt (diffraktio) ovat tärkeitä, koska inssit, peiit ja aukot optisessa systeemissä ovat tavaisesti pyöreitä. Matemaattinen tarkasteu on kuitenkin suhteeisen vaativa ja johtaa Bessein funktioihin. Lähtötianne vastaa nyt kapean raon -uotteista integraaia (..) (katso myös kuvaa sivua 74). Irradianssin kannata kiinnostava osa aaossa (..) on sen ampitudi + b/ EL ikssinq ER = e ds r ò. 0 -b / Vastaava ampitudi-integraai pyöreän aukon tapauksessa on - uotteinen integraai E A isk sinq ER e da r0 A = òò, missä integraai asketaan yi -uotteisen aukon A. Tarkasteupisteen P etäisyys aukon keskipisteestä on r 0 ja E A on aukon ampitudi pinta-aayksikköä kohti. Integraain askemiseksi on vaittava sopiva pinta-aaeementti da. Okoon aukon säde R, ja vaitaan pinta-akioksi viereisen kuvan mukainen suorakaiteen muotoinen ohut (paksuus ds) kaistae: da = xds, missä x= R - s, joten da = R - s ds. Tää vainnaa integraai paautuu -uotteiseksi, muuttujana s: R EA isk sinq ER = e R -s ds r ò. 0 -R

14 Kun vieä järjesteään 8 E R A æ ö isk sinq ER = R ç e R s ds r0 R ò - è -R ø saadaan sukujen sisään fysiikassa usein esiintyvä standardimuotoinen integraai, joka johtaa ns. Bessein funktioihin. Sukuosa on R pj sin ( g) isk q e R s ds R ò - =, missä g = krsinq, g -R missä J( g ) on ns. ensimmäisen ajin Bessein funktio kertauvua yksi. Kyseinen funktio voidaan esittää esimerkiksi sarjamuodossa 3 5 ( g / ) ( g / ) ( g / ) J ( g ) = - + -L, 3 josta nähdään mm. että J ( g)/ g /, kun g 0. Ampitudiksi pisteessä P saadaan siis josta irradianssie I E R é J( g) ù = I0 ê ú EAR p J( g) =, r g 0 ë g û, missä g = kdsinq, (..) kun aukon säteen R sijasta käytetään hakaisijaa D= R. Tässä I 0 sisätää taas kaikki vakiot ja se edustaa irradianssia kuvion keskeä, ts. kun g 0 ei q 0. Tuosta on mieenkiintoista (hyödyistä) verrata kapean raon vastaavaan tuokseen (..4) I I = 0 ê ú ésin b ù ë b û, missä b = kbsinq.

15 83 Pyöreän aukon tapauksessa kapean raon sini-funktio korvautuu Bessein funktioa J ja raon eveys b aukon hakaisijaa D. Diffraktiokuvioiden samankataisuutta isää vieä se, että Bessein funktio on hyvin sinin katainen: Tauukossa aa on esitetty Bessein funktion J( g ) ensimmäiset noakohdat sekä vertaiun vuoksi vastaavat noakohdat sinifunktioe sin b : J ( g ) = 0 sinb = 0 g =0, b = 0 g =,p = 3,83 b =,00p g =.3p = 7,06 b =,00p g =3,4p =0,73 b = 3,00p g =4,4p =3,34 b = 4,00p Erona voidaan todeta, että Bessein funktio vaimenee hitaasti g :n kasvaessa, mutta sini-funktio ei. Pyöreän aukon diffraktiokuvio on ympyräsymmetrinen ja se koostuu kirkkaasta keskimaksimista, jota ympäröi tummat ja nopeasti vaimenevat kirkkaat ympyräjuovat.

16 84 Diffraktiokuvion kaavan (..) johti ensimmäisenä G. B. Airy (80-89) ja kuvion kirkas keskimaksimi on hänen mukaan nimetty Airyn evyksi (Airy disk). Keskimaksimia ympäröivää ensimmäistä minimiä vastaa funktion J( g ) ensimmäinen noakohta ( g ¹ 0). Ensimmäisee tummae renkaae pätee siis g = kdsin. q = p. Ensimmäiseen minimiin osoittavae suuntakumae tuee siten tai (. p). sinq = =, ( p / )D D Dsinq =.. (..) Tätä kannattaa taas verrata kapean raon vastaavaan tuokseen. Kapeassa raossa ensimmäisee minimie on voimassa bsinq =. Esimerkki: Bessein funktiota J( x ) voidaan suuria argumentin x arvoia approksimoida muodoa sin x-cos x J( x) =. px a) Arvioi miten hyvin approksimaatio antaa Bessein funktion J( g ) viisi ensimmäistä noakohtaa (ks. tarkat arvot edeisen sivun tauukosta) b) Laske suuntakuma q diffraktiokuvion. minimiin ja 4. minimiin tarkasti ja a-kohdan approksimaatiota käyttäen. Arvioi approksimaation virhettä. Käytä askussa aaonpituutta 500 nm ja aukon hakaisijaa 0,5 mm.

17 85 Ratkaisu: a) Lasketaan approksimaation noakohdat: sing - cosg J( g) = = 0 pg Þ sing = cosg Þ tang =, josta g = p /4+ mp, missä m on kok. uku. m p /4+ mp tarkka 0 p / 4» 0,785 g =0 ei hyvä 5 p / 4» 3,97 g =3,83 kohtaainen 9 p / 4» 7,069 g =7,06 näyttää paranevan 3 3 p / 4» 0,0 g =0, p / 4» 3,35 g =3,34 Sevästi approksimaatio on sitä parempi mitä suurempi g on. b) Kun Bessein funktion noakohtaa vastaava g tunnetaan, niin vastaava suuntakuma q voidaan ratkaista yhtäöstä sin sin sin kd D g g = q = q Þ q = p D Tässä tehtävässä / D = 500nm / 0,5mm = 0,00 Bessein funktion ensimmäinen noakohta ( g = 0) osoittaa diffraktiokuvion päämaksimiin, joten ensimmäinen tumma rengas saadaan approksimaation g = p /4+ mp arvoa m =.. minimi tarkka approx. virhe: 3,83 sinq = = 0,000 Þ q = 0,0699 p D 5 sinq = = 0,0050 Þ q = 0,076 4 D 0,076-0,0699 =,4% 0,0699

18 86 4. minimi 3,34 tarkka sinq = = 0,0044Þ q = 0,430 p D 7 approx. sinq = = 0,00450 Þ q = 0,435 4 D 0,435-0,430 virhe: = 0,% 0,430 Tässäkin virhe pienenee, kun siirrytään kauemmaksi kesketä. Erotuskyky Viereisessä kuvassa kaksi esinepistettä S ja S kuvataan inssiä varjostimee. Linssi on pyöreä aukko, joten esinepisteiden kuvat ovat pyöreän aukon diffraktiokuvioita. Kun esinepisteitä tuodaan ähemmäksi toisiaan, tianne varjostimea voisivat oa seuraavan sivun kuvien mukainen:

19 87 Kuvassa (b) kuvapisteet erotetaan vieä toisistaan heposti, mutta kuvassa (c) oaan jo erotuskyvyn rajoia. Rayeighin kriteeri: Kaksi kohdetta ovat juuri erotettavissa, jos toisen diffraktiokuvion maksimi on toisen. minimin kohdaa. Seuraavan kuvan perusteea erotusrajae saadaan: josta koska Dsin[( D q) ] =., min. ( D q) min =, (..3) D ( D q) on pieni. Tässä D on inssin hakaisija. min

20 88 Jos inssi on mikroskoopin objektiivi, erotusraja määräytyy periaatteessa samaa tavaa, vaikkakin aatojen tasomaisuudesta on uovuttava. Tianne on mekein seuraava: Mikroskooppia käytettäessä tutkittava kohde on "hieman" kauempana kuin objektiivin pottoväi, jooin mikroskoopin sisäe syntyy todeinen suurennettu kuva, jota sitten katsotaan okuaaria. Kuvassa yä esinepisteet on sijoitettu objektiiviin pottoväin päähän, mikä on hyvä approksoimaatio. Pisteiden A ja B minimietäisyys x min saadaan askemaa. xmin = f( D q) min = f. D Suhde D/ f on inssin ns. numeerinen apertuuri, jonka arvo hyvää mikroskoopin objektiivia on tyypiisesti noin,. Siten hyvää xmin

21 89 Esimerkki: Vaoisassa simän pupiin hakaisija on noin mm. Kuinka kaukaa mm:n etäisyydeä toisistaan oevat kohteet voidaan vieä erottaa eriisinä? Käytä näkyvän vaon edustajana aaonpituutta 500 nm. Ratkaisu: -9., m ( D q ) min = =» 33,6 0-3 D 0 m -5 rad Erotetaan etäisyydetä -3 mm 0 m x = =» 5 3 metriä - ( D q ) 33,6 0 min