AVARUUSGEOMETRIA. Suorat ja tasot avaruudessa

Transkriptio

1 VRUUSGEOMERI varuusgeometria tarkasteee kuvioita, joiden kaikki osat eivät oe samassa tasossa. Sana avaruus tarkoittaa yeisesti n-uotteista, n 3, avaruutta. (Lukiossa ähes aina n = 3.) Suorat ja tasot avaruudessa GEOMERI M3 Määritemä, taso: aso on pinta, joka sisätää täysin jokaisen suoran, jonka kanssa siä on kaksi yhteistä pistettä. asoa merkitään yeensä isoa -kirjaimea. Jokainen seuraavista ehdoista määrää avaruuden tason yksikäsitteisesti kirjan kuvat: - kome tason pistettä, jotka eivät oe samaa suoraa, - kaksi yhdensuuntaista suoraa, - kaksi toisiaan eikkaavaa suoraa ja - suora ja suoran ukopuoinen piste. 5-Kurssia otetaan vieä vektorit mukaan tason määritemään. C 1. Kome tason pistettä, jotka eivät oe samaa suoraa. B 2. Kaksi yhdensuuntaista suoraa. m m 3. Kaksi toisiaan eikkaavaa suoraa. 4. Suora ja suoran ukopuoinen piste. 1

2 Huomaa ristikkäisten ja yhdensuuntaisten suorien ero: m 1 2 Ristikkäiset suorat eri tasoa. Yhdensuun. suorat samaa tasoa. ksiooma, yhdensuuntaisuus- ei paraeeiaksiooma: Suoran ukopuoea oevan pisteen kautta voidaan piirtää yksi ja vain yksi suoran kanssa yhdensuuntainen suora r. Suora ja taso voivat sijaita avaruudessa seuraavasti: - ne eikkaavat toisensa yksi yhteinen piste, - suora on tasossa äärettömän monta pistettä tai - ne ovat yhdensuuntaiset ei yhteisiä pisteitä. r r Kaksi tasoa 1 ja 2 voivat sijaita avaruudessa seuraavasti: - ne eikkaavat toisensa syntyy eikkaussuora, - ne ovat yhdensuuntaiset ei yhteisiä pisteitä. - ne yhtyvät, ei ovat samat 1 2 ämä on sevää 3-uotteisessa avaruudessa, entäs esim. 7-uotteisessa? Sioin pitää uottaa määritemään ja edetä sen mukaan. 2

3 Suorien väinen kuma avaruudessa Kahden, samassa tasossa oevan, avaruussuoran eikkauspisteeseen P muodostuneista kumista pienintä sanotaan suorien väiseksi kumaksi, joe pätee 0 < 90. Se voi siis oa suorakuma, mutta ei noakuma. z Yhdensuuntaisten ja yhtyvien 1 2 avaruussuorien väinen kuma on 0. y Jos kaksi suoraa eivät oe samassa tasossa, niiden väinen kuma on yhtä suuri kuin niiden kanssa yhdensuuntaisten ja toisiaan eikkaavien suorien väinen kuma. Ei mitä? z 1 Projisoidaan suora 1 tasoe. y 2 Lasketaan projektiosuoran 1 ja suoran 2 väinen kuma. 2 z 1 y

4 ason normaai ja projisointi Määritemä, normaai: asoa eikkaava suora n, on tason normaai, jos se on kohtisuorassa jokaista tason suoraa vastaan, ei 1 n, 2 n joten n. Määritemä, pisteen projektio tasossa: Pisteen P projektiopiste P tasossa on pisteen P kautta kukevan normaain n ja tason eikkauspiste. Projektiopiste P on siis tason piste. P P n n 2 1 Kuvion projektio tasossa saadaan projisoimaa kuvion jokainen piste tasoon, esim. jana sivu 66. Vertaa taskuampua tehtävä varjokuvio. Kumatarkasteua: suoran ja tason väinen kuma sekä tasojen väinen kuma Suoran ja tason väinen kuma on suoran ja sen tasoa oevan projektiosuoran väinen kuma. Kumaa sanotaan myös suoran katevuuskumaksi tason suhteen. Kahden tason väinen kuma on tasojen eikkaussuorae piirrettyjen normaaien, n 1 ja n 2, väinen kuma. 1 Jos tasot yhdensuuntaiset = 0. Jos = 90, niin sanotaan, että tasot ovat toistensa normaaitasoja. n 1 n 2 2 4

5 1 n 1 n 2 n 1 n n 1 n 2 Esimerkki Suorakumaisen särmiön korkeus on puoet avaruusävistäjän pituudesta. Laske ävistäjän ja pohjan väinen kuma. Ratkaisu B Merkitään korkeutta a:a ävistäjä 2a ja kumaa :a kuva. B 2a MUISIKOLMIO! a = 30 C a C 2a Etäisyyksiä Kahden pisteen ja B väinen etäisyys on yhin väimatka pisteestä toiseen (Eukidisen metriikan suhteen). Esimerkiksi tasossa pisteiden väisen janan B pituus. Kaarevia pinnoia (esim. paopinta) etäisyyttä ei voi määrittää suoraviivaisesti. Paopinnaa kahden pisteen ja B väinen etäisyys on kaaren eikä janan pituus. oisaata suorat paopinnaa ovat ns. isoympyröitä (ei päiväntasaajan kataisia). B B Pisteen P etäisyys suorasta ja vastaavasti tasosta on pisteen P ja sen projektiopisteen P väinen etäisyys. P n P 1 P n P 2 5

6 Monitahokas KPPLEE Määritemä, monitahokas: Monitahokas on kappae, jota rajaavat pinnat ovat tason osia. GEOMERI M3 Nimityksiä: tahko = sivu, kärki, särmä = reuna, avaruusävistäjä katso myös kirjan sivu 141. ahkojen ukumäärän perusteea monitahokkaita kutsutaan nei-, viisi-, kuusi- jne. tahokkaiksi. Erityisnimet: tetraedri (neitahokas), pentaedri (viisitahokas) ja heksaedri (kuusitahokas). Määritemä, kupera ja kovera monitahokas: Monitahokasta sanotaan kuperaksi, kun sen mitkä tahansa kaksi sisäpistettä voidaan yhdistää kokonaan monitahokkaan sisään jäävää janaa, kts. kuva. Monitahokas, joka ei oe kupera on kovera. Q P Q P Kupera monitahokas Kovera monitahokas Määritemä (jatkuu): Monitahokas on säännöinen, jos sen kaikki tahkot ovat yhtenevät ja jokaisessa monitahokkaan kärjessä kohtaa sama määrä tahkoja. Säännöisiä kuperia monitahokkaita on vain 5 kp niitä sanotaan Patonin monitahokkaiksi kirjan s. 147 kuvat. 6

7 etraedri Kuutio Oktaedri Dodekaedri Ikosaedri Äkää hämmästykö, näihin iittyy kaikenaista ihmeeisyyksiä netti PIIRO: Piirtämisessä käytetään usein kavajeeriperspektiiviä: Syvyys piirretään 45 kumassa ja pituudet puoitetaan. Piiossa oevat ääriviivat (esim. särmät) piirretään katkoviivaa. a a a 45 Kuvassa kuutio, jonka särmän pituus on a. KPPLEIDEN YHDENMUOOISUUS Periaate sama kuin tasossa: Kappaeet ovat yhdenmuotoiset, jos niissä vastinkumat ovat yhtä suuret ja vastinjanat verrannoiset. Huomioita: 1) Kuten kaikki ympyrät, niin kaikki paot ja kuuat ovat keskenään yhdenmuotoiset. Mittakaava on säteiden suhde, R 1 R 2 = k. R 1 R 2 2) Suorat särmiöt, suorat ympyräieriöt ja suorat ympyräkartiot ovat yhdenmuotoiset, jos niiden pohjat ovat yhdenmuotoiset ja korkeuksien suhde on sama kuin vastinjanojen suhde pohjissa. h 1 r 1 h 1 h 2 = r 1 r 2 h 2 r 2 7

8 H 1 H 2 h 1 h 2 R 1 R 2 a 1 b 1 a 2 b 2 H 1 H 2 = R 1 R 2 a 1 a 2 = b 1 b 2 = h 1 h 2 Esimerkki Paot ovat yhdenmuotoiset mittakaavassa k. Mikä on paojen tiavuuksien suhde? iavuudet: rk V 1 = 4 3 πr3, V 2 = 4 π rk 3 3 r V 2 V 1 = 4 3 πr3 k 3 = k 4 3, ei tiavuuksien suhde on mittakaavan 3 πr3 kuutio. uos pätee yeisesti! Lause, yhdenmuotoisten kappaeiden tiavuuksien suhde: Yhdenmuotoisten kappaeiden tiavuuksien suhde on mittakaavan kuutio V V = k3, missä k on mittakaava. Lisäksi avaruudessa tasokuvioie pätee: Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-aojen suhde on (edeeen) mittakaavan neiö k 2. Esimerkki Kartio jaetaan pohjan suuntaisea tasoa kahteen osaan siten, että osien tiavuudet ovat yhtä suuret. Missä suhteessa taso jakaa kartion korkeuden? Merkitään: h=korkeus ja =korkeus (pienempi). Yhdenmuotoisuus antaa (k = /h): h 3 = h 3 = h3 = 2 = h 3 2 aso jakaa kartion korkeuden huipusta ukien suhteessa ( oppu harjoitustehtävä). h 8