miten investointiprojektille pitäisi arvioida pääoman kustannus (r U tai r WACC ),
|
|
- Saija Kivelä
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Perusosan viidennen luennon päätavoite on kuvata, miten investointiprojektille pitäisi arvioida pääoman kustannus (r U tai r WACC ), jolla projektin aikaansaamat vapaat rahavirrat diskontataan nykyarvoon, ja saadaan projektin nettonykyarvo (NPV). Yksilöt arvostavat eri asioita omalla tavallaan, mutta siitä huolimatta hyödykkeiden käypä hintataso ei ole satunnainen, koska harva haluaa maksaa ylihintaa ostoksistaan. Myös erilaisiin sijoituksiin liittyville riskeille löytyy käypä hintataso, joka kertoo kuinka suuri tuotto-odotus sijoitukselle pitäisi asettaa. Rahoitusta tarvitsevan näkökulmasta sijoittajan tuotto-odotus on pääoman kustannus. CAP-malli (Capital Asset Pricing Model, CAPM) on yleisesti käytetty väline riskin ja tuotto-odotuksen välisen yhteyden selvittämiseksi. Luennon alkupuolella kuvataan mallin keskeiset käsitteet ja mallin taustaa sen toiminnan ymmärtämiseksi. Tarkempi perustelu mallille löytyy oppikirjan luvusta 11 ja asiaan palataan myös jatko-osan luennoilla. CAP-malli perustuu pörssiyritysten osakkeiden arvostukseen osakemarkkinoilla. Markkina-arvoisen taseen kautta oman pääoman tuotto-odotuksesta päästään kuitenkin liiketoiminnan riskiä vastaavaan pääoman kustannukseen (r U). Sellaiset yritykset, jotka eivät ole pörssinoteerattuja, voivat käyttää pörssiyrityksiä vertailukohtana ja päätellä investointilaskelmassa tarvittavan pääoman kustannuksen. Tätä päättelyn prosessia selitetään luennon loppuosassa. Prosessia on havainnollistettu jo verkko-oppitunnilla. Huom! Opetusperiodiin III ajoittuva kuudes luento liittyy jo jatko-osan teemoihin. Kuudenteen luentoon ei liity enää MyCoursesin verkko-oppituntia tai harjoitustehtävää. 1
2 Valittuihin osakemarkkinoihin liittyvä CAP-malli voidaan määritellä kahden pisteen avulla. Toinen kuvaa riskitöntä sijoitusta (alaindeksi f) ja toinen markkinaportfoliota (alaindeksi Mkt). Mallin mukaan tuotto-odotus kasvaa lineaarisesti systemaattisen riskin (β) kasvaessa. Sijoittaja haluaa korvausta myös riskittömälle sijoitukselle. Toisin sanoen, vaikka β f=0 niin r f on pääasiallisesti nollaa suurempi. Riskittömän sijoituksen tuotto (r f) on korvaus viivästetystä kulutuksesta ja varojen ostovoiman heikentymisestä. Se vaihtelee rahoitusmarkkinoiden tilanteen mukaan. Viime vuosina riskittömän sijoituksen tuotto on ollut lähellä nollaa (Joissakin valtioiden joukkolainoissa tuotto-odotus on ollut jopa lievästi negatiivinen, mikä kuvaa finanssikriisin synnyttämää poikkeuksellista tilannetta). Markkinaportfolion omistaja haluaa viivästetyn kulutuksen ja varojen ostovoiman heikentymisen lisäksi korvausta kantamastaan riskistä. Toisin sanottuna markkinaportfolion pitää riskittömän tuoton lisäksi tuottaa markkinariskiä vastaava riskipreemio (r Mkt r f). Koska tarkalleen ottaen kyse on markkinaportfolion tuoton odotusarvosta, oppikirja käyttää merkintätapaa E[R Mkt] (expected value of market portfolio). Riskiä ei mallissa mitata suoraan osakkeen tuoton keskihajonnalla vaan osakkeen systemaattista riskiä kuvaavalla osakkeen β:lla. Se kuvaa osakkeen herkkyyttä osakemarkkinan vaihteluille. Betakerroin vaikuttaa suoraan markkinoiden riskipreemioon: jos osakkeen β=2, niin riskipreemio on kaksinkertainen markkinoiden preemioon verrattuna. CAP-malli ei ole täydellinen malli eikä se ennusta osakekurssien päivittäistä vaihtelua. Se on kuitenkin todettu käytännölliseksi välineeksi pääoman kustannuksen arvioinnissa. Arvion tarkkuus on järkevässä suhteessa arvioinnin työmäärään. On myös hyvä tietää, että CAP-mallia ei tarvitse määritellä jokaista investointiprojektia varten erikseen. 2
3 Toimivat pääomamarkkinat, kuten arvopaperimarkkinat, tarjoavat tietoa erilaisten investointien tuotto-odotuksen (pääoman vaihtoehtoiskustannuksen) määrittelyyn. Toimivilla markkinoilla käydään arvopapereilla säännöllistä vaihdantaa, jolloin useiden ostajien ja myyjien näkemykset kohtaavat tosiasiallisessa kaupankäynti-tilanteessa. Osakemarkkinoiden kaupankäyntihistoria sisältää informaatiota riskin ja tuotto-odotuksen välisestä yhteydestä. Tuotto-odotus on tilastohistoriasta laskettu odotusarvo (expected value), minkä vuoksi käytetään merkintää E[R]. Tässä yhteydessä merkintä E[..] ei viittaa omaan pääomaan. Keskihajonta (standard deviation) kuvaa historiallisen tuoton vaihtelua. Rahoituskontekstissa keskihajonnasta käytetään nimitystä volatitileetti (volatility). Periaatteessa riskittömän sijoituksen keskihajonta on nolla, mutta käytännössä markkinoilta on vaikeaa löytää täysin riskitöntä sijoitusta. Parhaan luottoluokituksen omaavien valtioiden joukkolainojen tuotto-odotusta käytettään yleensä arviona riskittömän sijoituksen tuotosta. Edellisellä luennolla todettiin, että keskihajonta on yksinkertaisin riskin mittari. Yllä olevasta kuvasta voi kuitenkin havaita, että yksittäisten osakkeiden tiedoista näyttäisi olevan kovin hankalaa johtaa selvä laskutoimituksissa hyödynnettävä yhteys: E[R] = f(keskihajonta). Jos keskihajonnan ja tuoton yhteyttä tarkastellaan osakeportfolioiden tasolla, niin yhteys näyttäisi selvemmältä. Portfolio tarkoittaa osakesalkkua eli sijoittajan omistamien eri yritysten osakkeiden kokonaisuutta. Markkinaportfolio sisältää kaikkia määritellyssä pörssissä noteerattuja osakkeita, niiden markkina-arvojen mukaisessa suhteessa. Kuvasta nähdään, että portfolion keskihajonta on pienempi kuin siihen kuuluvien yksittäisten osakkeiden. Tarkastellaan seuraavaksi, mistä tämä johtuu. 3
4 Oletetaan yritys, joka jakaa vuosittain saman määrän (Div) osinkoa osaketta kohti, jolloin osakkeen hinta p = Div / r. Osakkeen tuoton odotusarvo on μ [%] ja keskihajonta σ [%]. Oletetaan seuraavaksi, että markkinoilla on lukuisia samanlaisia yrityksiä, joiden tuotot eivät kuitenkaan ole millään tavalla yhteydessä toisiinsa. Sijoittaja muodostaa K:n yrityksen osakkeesta sijoitussalkun siten, että hän sijoittaa jokaisen yrityksen osakkeeseen saman rahasumman C eli ostaa C/p osaketta jokaisesta salkun yrityksestä. (Mikäli hän ostaa yhden kappaleen niin C=p) Kaiken kaikkiaan hän on siis ostanut osakkeita summalla KC. Todennäköisyyslaskennan keskeisen rajaarvolauseen perusteella sijoittaja odottaa portfolionsa arvon kasvavan summalla ΔV. [ ] = = Prosentuaalisesti portfolion tuotto-odotus on E[R P]= μ (= E[ΔV] / KC). Vastaavasti portfolion arvon nousuun liittyvä varianssi (Var) on [ ] = =. Keskihajonta on varianssin neliöjuuri, joten [ ] = Kun arvonmuutoksen keskihajonta suhteutetaan portfolion arvoon, saadaan portfolion tuottoprosenttiin liittyvä keskihajonta: [ ] = Kun salkussa olevien yritysten määrä (K) kasvaa, niin tuoton keskihajonta pienenee. Portfolio alkaa lähestyä riskitöntä sijoitusta, joten portfolion osinkovirta pitäisi diskontata alemmalla diskonttauskorolla kuin r (r f < r). Jos kukaan muu ei ymmärtäisi muodostaa portfolioita, niin sijoittaja voisi ostaa muilta osakkeita halvalla ja saada portfoliolleen riskiin suhteutettuna ylisuuria tuottoja. Tehokkailla markkinoilla tällainen ei ole mahdollista. Muutkin sijoittajat alkavat muodostaa portfolioita, ja he eivät silloin myy osakkeita alihintaan. Osakkeen hinta alkaa nousta todellista riskiä vastaavalle tasolle. 4
5 Edellinen esimerkki oli yksinkertaistus, joka havainnollisti, että osakesijoituksen riskiä ei pidä tarkastellaan irrallaan osakemarkkinoista. Todellisuudessa osakkeiden tuottojen vaihtelut eivät ole toisistaan riippumattomia, joten lukuisten yritysten osakkeista muodostetun portfolion keskihajonta ei ala lähestyä riskitön sijoitusta. Osakkeiden välinen korrelaatio vaikuttaa portfolion keskihajontaan. Osakesijoitus sisältää sekä yrityskohtaista riskiä että markkinariskiä. Markkinariski eli systemaattinen riski heijastuu jossain määrin (mutta ei täsmälleen samalla tavalla) kaikkiin osakkeisiin yhtäaikaisesti. Esim. finanssikriisi ( ) heijastui koko maailman osakkeisiin, vaikka vaikutus oli selvin pankkisektorilla ja etenkin kriisipankeissa. Myös taloudellisten nousukausien aikana useimpien osakkeiden arvo kasvaa. Yrityskohtaiseen riskiin eli epäsystemaattiseen (idiosynkraattiseen) riskiin vaikuttavia tekijöitä ovat esim. yrityksen huonontuneet talousnäkymät, jotka ovat seurausta huonosta strategisesta valinnasta tai tehottomasta tuotannosta tai vahingonkorvausmaksuista. Saman toimialan muut yritykset eivät kärsi samoista ongelmista. Luonnollisesti on myös poikkeuksellisen hyvin menestyviä yrityksiä. Yrityskohtainen riski on sijoittajan näkökulmasta tavallaan satunnainen. Omistamalla useita eri toimialojen yritysten osakkeita sijoittaja pienentää todennäköisyyttä, että yrityskohtaiset riskit heijastuvat hänen osakesalkkuunsa yhtäaikaisesti. Toisilla yrityksillä menee huonommin, mutta salkussa on myös yrityksiä, joilla menee samanaikaisesti paremmin. Hajauttamalla sijoittaja välttää suuria tappioita mutta vastapainoksi luopuu myös huipputuotoista (koska keskihajonta pienenee). Täydellisesti hajautetussa osakeportfoliossa tuoton vaihtelua aiheuttaa ainoastaan systemaattinen riski. Markkinaportfoliota pidetään approksimaationa täydellisesti hajautetusta portfoliosta. Kun sijoittaja voi vapaasti omilla toimillaan hajauttaa riskiä, niin hänen tuotto-odotuksensa liittyy vain systemaattiseen riskiin. 5
6 Keskihajonta mittaa kokonaisriskiä (epäsystemaattinen + systemaattinen). Systemaattisen riskin mittaamiseen käytetään tunnuslukua β, joka ottaa huomioon sijoituskohteen herkkyyden markkinaportfoliossa tapahtuville muutoksille. Yksinkertaistaen mittarin toimintaa voi kuvata seuraavasti: Osakkeen β=2. Jos markkinoiden tuotto muuttuu 1 %, niin osakkeen tuoton odotetaan muuttuvan keskimäärin 2 % ja samaan suuntaan kuin markkinoiden tuoton. Beta määritellään tilastollisten käsitteiden avulla. Osakkeen β:n saamiseksi on ensin valittava markkinaportfolio ja laskettava sen varianssi. Tämän jälkeen on laskettava osakkeen ja markkinaportfolion yhteisvaihtelua kuvaava kovarianssi (Cov). Osakkeen β on kovarianssin suhde markkinaportfolion varianssiin. Vaihtoehtoisesti β voidaan määritellä myös markkinaportfolion tuoton keskihajonnan = SD[R Mkt], osakkeen tuoton keskihajonnan = SD[R i] sekä markkinaportfolion ja osakkeen tuoton välisen korrelaation (Corr) avulla. Määritelmästä seuraa, että riskittömän sijoituksen beta, β f=0, koska riskittömän sijoituksen keskihajonta on nolla, ja markkinaportfolion beta, β Mkt=1, koska markkinaportfolion korrelaatio itsensä suhteen on 1. Määritelmästä seuraa myös, että portfolion beta β P voidaan laskea portfolion osakkeiden (i=1,,k) beta-kertoimien avulla. Painokerroin x i kertoo kunkin osakkeen osuuden portfolion arvosta. = 6
7 Kurssin tavoitteena ei ole opettaa beta-kertoimen estimointitekniikkaa, mutta kertoimen käytön kannalta on tarpeen tietää jotain tästäkin asiasta. Asiaa on kuvattu tarkemmin oppikirjan luvussa 12. Estimointia varten tarvittava data kerätään CAP-mallissa käytettävän pörssin kaupankäyntihistoriasta. Dataan sovitetaan regressiomalli, jossa osakkeen tuottopreemiota (R i r f) eli tuottoa yli riskittömän tuoton selitetään markkinoiden riskipreemion (R Mkt r f) ja estimoitavan β i:n avulla. Kuvaan piirretyn viivan kulmakerroin edustaa beta-kerrointa. Pistejoukkoon sovitettu suora ei automaattisesti kulje origon kautta. Tätä poikkeamaa kuvaa alfa (α). Yllä olevan kuvan datapisteet edustavat Ciscon osakkeen ja S&P 500 markkinaindeksin muutosta kuukausitasolla. Dataa on kerätty 15 vuoden ajanjaksolta. Regressiomallin laskemista varten on saatu riittävän suuri määrä dataa, jolloin mallin parametrien luottamusväli on siedettävä. Jos dataa kerättäisiin vuositason muutoksista, niin muutoksia tarvittaisiin useilta kymmeniltä vuosilta. Datapisteiden vertailukelpoisuus kuitenkin kärsisi, koska yritysten liiketoiminta ja siihen liittyvät riskit todennäköisesti muuttuvat näin pitkällä ajanjaksolla. Kuhunkin datapisteeseen heijastuu myös Ciscon yrityskohtainen riski, mutta määritettävä suora kuvaa systemaattista riskiä. Yrityskohtainen riski näkyy erityisen selvästi esim. marraskuun 2002 (Nov 2002) kurssikehityksessä: Ciscon arvonmuutos poikkesi huomattavasti markkinaindeksin muutoksesta. Pörssiyrityksille voi löytää myös valmiiksi laskettuja beta-kertomia. Tällöinkin olisi hyvä olla selvillä, millaista dataa on käytetty. 7
8 Tarkastellaan seuraavaksi CAP-mallin kiintopisteiden määrittelyä käytännössä. Ylemmässä kuvassa on OMX Helsinki markkinaindeksi kehitys 15 vuoden ajalta. Siitä havaitaan, että osakkeiden arvon kehityksessä on ollut suuria vaihteluita. Vain muutaman vuoden perusteella voi siis saada kovin harhaisen käsityksen markkinoiden tuotosta. Pienehköissä pörsseissä isot yritykset voivat dominoida markkinaportfoliota. Esimerkiksi 1990-luvulla Nokian vaikutus yleisindeksiin oli huomattava. Vinoutuman korjaamiseksi voidaan käyttää painorajoitettua indeksiä, jossa yksittäisen yrityksen painokertoimelle indeksissä on asetettu yläraja. Alemmassa kuvassa on painorajoitettu indeksi kymmenen vuoden ajalta. Jos sen perusteella laskettua vuosituottoa (9,9 %) käytetään markkinaportfolion tuottona (E[R Mkt]), on myös riskittömän tuoton (r f) arviossa käytettävä kymmenen vuoden valtion joukkolainan korkoa (3,6 %). Nämä kaksi arvoa määrittelevät numeerisen CAP-mallin. Erotuksena saadaan riskipreemio (6,3 %), joka esiintyy CAP-mallin kaavassa. Osakemarkkinoiden riskipreemion tasoa voidaan tutkia joko ex post tai ex ante. Mitattaessa markkinariskipreemiota ex post osakemarkkinoiden pitkäaikaista toteutunutta tuottoa verrataan riskittömän sijoituskohteen toteutuneeseen tuottoon. Ex ante tutkimukset markkinariskipreemiosta puolestaan mittaavat markkinaosapuolten odotuksia osakemarkkinoiden tuotosta yli riskittömän koron. Kuten nähdään asiantuntijatkin voivat päätyä hieman erilaisiin arvioihin käytetystä menetelmästä ja datasta riippuen. Oppikirjoissa esitetyt arviot markkinoiden riskipreemiosta ovat 3-6 %. 8
9 Toinen esimerkki CAP-mallin arvioinnista on Viestintävirastosta, jonka tehtäviin kuuluu arvioida säänneltyjen hyödykkeiden kustannusvastaavuutta. Kohtuullisen pääoman tuoton arviointi on osa tätä työtä. Tässäkin tapauksessa riskittömän tuoton arvioina on käytetty valtion 10 vuoden viitelainaa. Arvio on vuodelta 2016, ja siitä nähdään nykyinen korkotaso, joka on alhaisempi kuin esim. vuoden 2005 taso, joka mainittiin edellisen kalvon alempaan kuvaan liittyvässä tekstissä. Markkinariskipreemio on samaa suuruusluokkaa kuin edellä (n. 6 %). Yksi säännelty toimiala on kiinteä televerkkotoiminta. Alan yritysten oman pääoman betan on arvioitu olevan 0,7 0,9. Tämä toimiala ei ole siis yhtä herkkä markkinoiden vaihteluille kuin esimerkiksi televisio- ja radiolähetystoiminta, jolle Viestintäviraston vastaava arvio on 1,0 1,3. Kun pörssiyritysten oman pääoman beta eli β E lasketaan kaupankäyntihistoriasta, niin se ottaa huomioon yrityksen nettovelkaantumisasteen ja velan vipuvaikutuksen. Saman toimialan yritysten β E arvot ovat erilaisia, koska yritysten pääomarakenne on erilainen. Viestintävirasto on tarkastellut keskimääräistä oman pääoman tuottoa ja käyttänyt alalle tyypillistä nettovelkaantumisastetta (30 %). Tätä tietoa ei yleisesti ottaen tarvita CAP-mallin määrittelemiseksi Jokaisen yksittäisen arvioijan olipa hän yrittäjä, yrityksen talouspäällikkö tai opiskelija ei kannata tehdä omaa seikkaperäistä arviota CAP-mallin parametreista. Jos asiantuntijatkaan eivät päädy yksiselitteiseen tulkintaan, niin tuskinpa harrastelijakaan pystyy itse kovin luotettavaa mallia rakentamaan. Käytännöllinen ratkaisu on käyttää hyödyksi alan asiantuntijoiden tekemiä arvioita. 9
10 Vaikka CAP-malli määritellään osakemarkkinoiden avulla, niin selvitettyä tuotto-odotuksen ja systemaattisen riskin yhteyttä voidaan hyödyntää myös muiden arvopapereiden, esim. joukkolainojen, tuotto-odotuksen arvioinnissa. Rajoitteeksi saattaa muodostua se, että arvopaperilla käytävä kauppa on niin vähäistä, ettei β:a voi luotettavasti estimoida käytettävissä olevasta datasta. Lainanantaja pyrkii aina arvioimaan asiakkaan luottokelpoisuutta. Se vaatii aikaa ja asiantuntemusta, joten markkinoilla on erityisiä yrityksiä, jotka antavat luottoluokituksia yrityksille ja valtioille (esim. Standard & Poor s ja Moody s). Luottoluokitusta kuvataan tietyllä kirjainkoodilla (AAA, CC-C). Yllä olevassa taulukossa AAA tarkoittaa parasta luokitusta, joka käytännössä vastaa riskitöntä sijoitusta. BB ja sitä huonommat luokat liittyvät spekulatiivisiin lainoihin tai ns. roskalainoihin (junk bond). BB-luokan laina ei ole normaalioloissa kovin epävarma, mutta markkinatilanteen heikentyessä luottoriski (default rate) kasvaa selvästi (2.2 % 8.0 %) Alemmassa taulukossa on kuvattu luokituksen yhteyttä vieraan pääoman beta-kertoimeen. Luottoluokituksen lisäksi myös laina-ajan pituus vaikuttaa. Normaalisti pitkäaikaisten lainojen riski on suurempi kuin lyhytaikaisten. Vieraan pääoman beta-kerrointa (β D) voi käyttää CAP-mallissa samaan tapaan kuin oman pääoman beta-kerrointa. Laina-aika (maturity) on myös mahdollista ottaa huomioon. Sen pitäisi vastata investoinnin taloudellista vaikutusaikaa. Luottoluokituksen osoittaman β D:n ja CAP-mallin avulla saadaan siis selville, millä hinnalla (korolla) yritys saa markkinoilta lainaa. Taulukosta nähdään, että huonoimmassakin tapauksessa vieraan pääoman beta-kerroin on selvästi pienempi kuin markkinaportfolion. Vastaavasti vieraan pääoman kustannus (r D) on pienempi kuin oman pääoman kustannus (r E) riippumatta luottoluokituksen tasosta. 10
11 Palataan edellä todettuun porfolion betaan: = Tämä kaava on sovellettavissa myös markkina-arvoiseen taseeseen, koska yritystä voi tarkastella omasta ja vieraasta pääomasta muodostettuna portfoliona. Painokertoimet (x) viittaavat tällöin markkina-arvoisen taseen mukaiseen pääomarakenteeseen eli ne ovat samat kuin painotetun keskimääräisen pääoman kustannuksen kaavassa eli x E= ( ) ja xd= ( ). Omasta ja vieraasta pääomasta syntyvän portfolion betan (β P) on vastattava yrityksen liiketoimintaan liittyvää systemaattista riskiä (β U). = Kaava on tarpeen, koska markkinoilla käydään kauppaa yrityksen osakkeilla ja velkakirjoilla, mutta ei suoraan yrityksen liiketoiminnalla. Markkinadatasta voidaan selvittää omaan pääomaan liittyvä systemaattinen riski, mutta yrityksen liiketoiminnan systemaattista riskiä ei saada suoraan selville kuin siinä poikkeustapauksessa, että yritys on rahoitettu kokonaan omalla pääomalla. Tässä erikoistapauksessa D=0 mistä seuraa, että β U= β E. Kun yrityksen β U on arvioitu, voidaan saatu lukuarvo sijoittaa estimoituun CAP-malliin ja laskea pääoman keskimääräinen kustannus r U. Myös velan vipuvaikutus on esitettävissä systemaattisen riskin avulla. Velan suhteellisen osuuden kasvattaminen pääomarakenteessa, lisää omistajien systemaattista riskiä. = + ( ) 11
12 Havainnollistetaan seuraavaksi, miten tarpeelliset tiedot saadaan pörssiyrityksistä. Osakkeen datasta ei tarvitse lähteä laskemaan beta-kerrointa, jos löytyy valmiiksi laskettu arvo. Esimerkiksi Kauppalehden verkkosivujen kautta löytyy suomalaisten pörssiyritysten beta-kertoimia (β E). CAPmallin avulla voi arvioida vastaavan oman pääoman kustannuksen (r E). Toinen hyvä tietolähde on pörssiyrityksen vuosikertomus. Sieltä löytyy tietoa oman pääoman markkina-arvosta (E, Market Capitalization) sekä nettovelkojen arvosta (D). Myös vieraan pääoman kustannukseen liittyvää tietoa löytyy: yrityksen luottoluokitus ja toisinaan myös uusimpien lainojen korko (r D). Jos uusien lainojen korkoa ei ole tiedossa, niin kuten aiemmin kerrottiin, luottoluokitukseen liittyy β D-arvo, josta päästään CAP-mallia hyödyntäen r D-arvoon. Tarvittavat tiedot pörssiyrityksen liiketoiminnan riskiä vastaavan pääoman kustannuksen (r U) arvioimiseksi aiemmilla luennoilla esitetyllä kaavalla ovat olemassa. = Samaan lopputulokseen pääsee tietysti selvittämällä β U:n ja sijoittamalla sen arvon CAP-malliin. Vuosikertomuksessa on paljon dataa, joten tarpeellisten tietojen paikantamiseen täytyy varata aikaa. Lisäksi on osattava poimia oikea data. Esimerkiksi Stora Enson vuosikertomuksessa on valmiiksi laskettu D/E-arvo ja sille asetettu tavoitearvo. Oman pääoman arvo (E) on kuitenkin tasearvo eikä markkina-arvo. Valmiiksi laskettua tunnuslukua ei voi käyttää, mutta tarpeellinen tieto markkina-arvoisesta omasta ja vieraasta pääomasta on löydetty toisaalta. 12
13 Verkko-oppitunnilla on käytetty esimerkkinä Merrygoround Oy:tä Yrityksen osakkeilla ei käydä kauppaa pörssissä, joten mitään kaupankäyntihistoriaakaan ei ole. Miten yritys tällaisessa tilanteessa voi arvioida liiketoiminnan riskiä vastaavan pääoman kustannuksen? Merrygoround Oy yrittää löytää mahdollisimman samankaltaista liiketoimintaa harjoittavia pörssiyrityksiä eli verrokkeja. Pelkästään teemapuistoihin keskittynyttä pörssiyritystä ei välttämättä löydy, joten samankaltainen liiketoiminta tarkoittaisi esimerkiksi ihmisten vapaa-aikaan liittyviä palveluja. Samalla liiketoiminnan sektorilla ( toimialalla ) olevat yritykset kohtaavat samanlaisen liiketoiminnan riskin, joten voidaan olettaa, että toimialan yritysten r U on suunnilleen sama. Koska verrokit ovat pörssiyrityksiä saadaan kunkin verrokin r U laskettua. Vähimmällä työmäärällä selviäsi, jos onnekkaasti löytyisi kokonaan omalla pääomalla rahoitettu verrokki, koska silloin verrokin r E = r U. Muissa tapauksissa verrokin vieraan pääoman kustannuksesta on tehtävä arvio. Arviointivirheen minimoimiseksi on parasta etsiä verrokkeja, joilla on vähän velkaa tai erittäin hyvä luottoluokitus. Tällöin voidaan kohtuudella olettaa, että verrokin velat ovat riskittömiä, mistä seuraa, että β D = 0 ja r D = r f. Täydellistä verrokkia on turha odottaa löytävänsä. Prosessissa on syytä käyttää useita verrokkeja. Oman yritykseen tai investointiprojektiin sovellettava pääoman kustannus on harkinnan tulos. Sitä ei lasketa keskiarvona tai millään muullakaan yleisellä kaavalla suoraan yksittäisistä arvioista. Harkinnassa otetaan huomioon, miten paljon kunkin verrokin liiketoiminta muistuttaa oman yrityksen toimintaa. Toisella luennolla käsitellyn sisäisen korkokannan (IRR, internal rate of return) menetelmän avulla voi tarkastella pääoman kustannukseen liittyvän arviointivirheen merkitystä nettonykyarvoon. 13
14 Pääoman keskimääräisen kustannuksen arviointia voi onneksi lähestyä vielä suoraviivaisemmin: Rahoituksen ammattilaiset tekevät työkseen edellä kuvailtuja arvioita kaikista pörssiyrityksistä. Jos tällaisia arvioita on saatavilla, niitä voidaan käyttää yrityksen tai sen investointiprojektin r U:n määrittelyssä. Oppikirjasta löytyy kuva (12.4), josta näkyy eri toimialojen yritysten β U-kertoimien vaihteluväli. Jos yritys paikantaa kuviosta oman tai investointiprojektin toimialan, se saa heti käsityksen β U-kertoimen suuruusluokasta. Valitsemalla joku arvo vaihteluväliltä ja sijoittamalla se CAP-malliin saadaan kohtuullinen r U-arvio. Tätä voi käyttää myös oman, verrokkien kautta tehdyn arvion tarkistamiseen. Perushyödykkeitä tuottavilla toimialoilla, kuten aiemmin mainituilla kiinteillä televerkoilla tai energiayhtiöillä tai päivittäistavarakaupassa β U on alle 1. Toisaalta korkean teknologian toimialoilla tai vahvasti syklisillä (suhdannevaihteluille alttiilla) toimialoilla β U on yli 1. Taulukosta voi myös päätellä, että β U on korkeimmillaan noin 2. Tämä on hyvä muistaa, kun arvioi investointiprojektille käytettävää pääoman kustannusta. Huomaa, että velan vipuvaikutuksen vuoksi toimialojen oman pääoman beta-kertoimen (β E) vaihteluvälit olisivat huomattavasti suuremmat. = + ( ) Merrygoround Oy:n kaltainen pörssin ulkopuolinen yritys voi käyttää vipuvaikutuksen kaavaa, kun se haluaa selvittää omaa pääomarakennettaan vastaavan oman pääoman betan. Tällöin myös velan korko on yrityksen omien uusien lainojen korko. Verrokkien avulla selvitetään vain r U. Beta-kertoimet eivät ole ajan suhteen täysin vakioita. Toisin sanoen on parempi käyttää uusimpia tietoja. Lisäksi korkean teknologian toimialat muuttuvat vähitellen kypsemmiksi toimialoiksi, jolloin niiden beta-kertoimet laskevat. 14
15 Edellä ajateltiin tilannetta, jossa verrokkien ja yrityksen liiketoiminta sekä siihen sisältyvä riski on samanlainen. Jos yritys arvioi investointiprojekteja, jotka pysyvät sen nykyisellä liiketoimintasektorilla, niin yritykselle arvioitu pääoman keskimääräinen kustannus (r U) sopii käytettäväksi myös nettonykyarvon laskemisessa. Mikäli yritys suunnittelee investointia jollekin uudelle liiketoimintasektorille, niin se joutuu tekemään pääoman kustannuksen (r U) arvioinnin uudelleen, koska uuden liiketoimintasektorin systemaattinen riski (β U) ei ole sama kuin nykyisessä liiketoiminnassa. Arvioinnin prosessi etenee silti samalla tavalla kuin edellä kuvattiin. Verrokeiksi etsitään ja valitaan kuitenkin pörssiyrityksiä, jotka toimivat investointiprojektia vastaavalla liiketoimintasektorilla. Käytännössä arviointiprosessia mutkistaa se, että useat pörssiyritykset ovat monialayrityksiä. Osakkeen β E arvoon vaikuttavat silloin yrityksen eri toimialojen liiketoimintariskit. Toisin sanottuna, myös markkina-arvoisen taseen Assets-puoli on portfolio. Verrokkien kautta tehtävän pääoman kustannuksen arvioiminen on suhteellisen suoraviivainen prosessi, mutta verrokeista tarvittavan tiedon löytämiseen liittyy haasteita. Jos tiedon vertailukelpoisuus omaan yritykseen ei ole riittävän hyvä, joudutaan arvioinnissa käyttämään enemmän harkintaa. Arvioitu pääoman keskimääräinen kustannus (r U) ei ota huomioon arviota käyttävän yrityksen pääomarakennetta eikä investointiprojektin rahoitukseen liittyvää oletusta. Nämä seikat on luonnollisesti otettava huomioon laskettaessa investointiprojektin nettonykyarvoa tai yrityksen yritysarvoa. Asiaa on käsitelty jo edellisellä luennolla, mutta kerrataan vielä pääkohdat. 15
16 Varsin yleinen lähestymistapa on olettaa, että yritys pyrkii säilyttämään asettamansa tavoitteellisen pääomarakenteen (target leverage ratio). Diskonttauksessa käytetään silloin ns. after-tax WACC:a (r WACC), joka saadaan helposti arvioidusta pre-tax WACC:sta. = + Jos investointiprojekti rahoitetaan yrityksen tavoitteellisen pääomarakenteen mukaisella velan ja oman pääoman suhteella, niin r WACC:n arvoa käytetään investointiprojektin vapaiden rahavirtojen diskonttaamiseen. = + (1+ ) Korkojen verosuojan nykyarvon, PV(ITS) (present value of interest tax shield) laskeminen erikseen ei ole investoinnin kannattavuuden arvioimiseksi tarpeen. Jos sen suuruus halutaan selvittää, niin helpoin tapa on laskea investoinnin nettonykyarvo käyttäen myös diskonttauskorkokantana r U:ta. = + (1+ ) Korkojen verosuojan nykyarvo on näiden kahden arvon erotus: PV(ITS) = NPV NPV U. 16
17 Jos yritys ei pyri säilyttämään tavoitteellista pääomarakennetta, korkojen verosuojan nykyarvo joudutaan laskemaan erikseen, koska verosuojaan liittyvä riski on eri suuri kuin investoinnin vapaiden rahavirtojen riski. Jos investointiprojekti rahoitetaan kokonaan omalla pääomalla, niin investointi ei muuta yrityksen pääomarakennetta. Näin ollen vaikutusta korkojen verosuojaan ei ole, mistä seuraa tietysti PV(ITS) = 0. Investoinnin vapaat rahavirrat diskontataan käyttäen verrokkien avulla arvioitua, investointiprojektiin liittyvän liiketoiminnan systemaattista riskiä vastaavaa r U:a. Jos investointiprojektia varten otetaan laina, niin laina-aika, lyhennyssuunnitelma ja koron määräytyminen ovat etukäteen tiedossa. Jos oletetaan, että yritys kykenee hyödyntämään lisääntyneen korkojen verosuojan, niin vuosittainen vaikutus verosuojaan on laskettavissa lainan tiedoista. Kullekin vuodelle laskettu verosuoja voidaan diskontata lainan korkoa vastaavalla korkokannalla. Erikoistapaus on ns. pysyvä laina (jota käsiteltiin myös jo edellisellä luennolla.) Koska pysyvän lainan vaikutusaika on ääretön, niin tämä oletus sopii paremmin yritysarvon laskemiseen kuin yksittäisen, vaikutusajaltaan äärellisen investointiprojektin nettonykyarvon laskemiseen. Kokonaisuuden kannalta verosuojan nykyarvon merkitys investointiprojektin kannattavuuden arvioinnissa on vähäinen verrattuna kaiken perustana oleviin oletuksiin vapaisiin rahavirtoihin vaikuttavista tekijöistä (markkinoiden kehitys, markkinaosuus, hintataso, kustannustaso, kustannusrakenne, pääoman kiertonopeus, investointikustannus). Korkojen verosuojan käsittely täsmentää kuitenkin vapaan rahavirran laskentatavan logiikkaa ja WACC-menetelmään liittyviä hiljaisia oletuksia. 17
18 18
Viidennen luennon päätavoite on kuvat, miten investointiprojektille pitäisi arvioida pääoman kustannus, jolla projektin aikaansaamat vapaat
1 2 Viidennen luennon päätavoite on kuvat, miten investointiprojektille pitäisi arvioida pääoman kustannus, jolla projektin aikaansaamat vapaat rahavirrat diskontataan nykyarvoon, ja saadaan projektin
LisätiedotRiski ja velkaantuminen
Riski ja velkaantuminen TU-C1030 Laskelmat liiketoiminnan päätösten tukena Luento 28.1.2016 I vaiheen luentokokonaisuus INVESTOINNIN KANNATTAVUUS YRITYKSEN KANNATTAVUUS 1. Vapaa rahavirta (FCF) 2. Rahavirtojen
LisätiedotPääoman vaihtoehtoiskustannus
Pääoman vaihtoehtoiskustannus TU-C1030 Laskelmat liiketoiminnan päätösten tukena Luento 4.2.2016 I vaiheen luentokokonaisuus INVESTOINNIN KANNATTAVUUS 1. Vapaa rahavirta (FCF) 2. Rahavirtojen diskonttaamisen
Lisätiedotr = r f + r M r f (Todistus kirjassa sivulla 177 tai luennon 6 kalvoissa sivulla 6.) yhtälöön saadaan ns. CAPM:n hinnoittelun peruskaava Q P
Markkinaportfolio on koostuu kaikista markkinoilla olevista riskipitoisista sijoituskohteista siten, että sijoituskohteiden osuudet (so. painot) markkinaportfoliossa vastaavat kohteiden markkina-arvojen
LisätiedotOletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen
Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä
LisätiedotTU-C1030 Luento JK
Kahdella ensimmäisellä luennolla on käsitelty investointiprojektin kannattavuuden arviointia vapaan rahavirran ja siitä laskettavan nettonykyarvon avulla. Kolmannella luennolla laskutekniikoita sovellettiin
LisätiedotTodellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa
Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko.
LisätiedotTU-C1030 Luento JK
Luennolla 5 CAP-mallia (Capital Asset Pricing Model) käsiteltiin työkaluna, jota voidaan käyttää apuna arvioitaessa painotettua keskimääräistä pääoman kustannusta. Nyt on tarkoitus käsitellä tarkemmin
LisätiedotKahdella ensimmäisellä luennolla on käsitelty investointiprojektin kannattavuuden arviointia vapaan rahavirran ja siitä laskettavan nettonykyarvon
1 2 Kahdella ensimmäisellä luennolla on käsitelty investointiprojektin kannattavuuden arviointia vapaan rahavirran ja siitä laskettavan nettonykyarvon avulla. Kolmannella luennolla laskutekniikoita sovellettiin
LisätiedotKurssin oppimistavoitteita on kuvattu seuraavasti: 1. Laatia peruslaskelmia: Opiskelija osaa analyyttisesti arvioida tyypillisten yrityksen
1 2 Kurssin oppimistavoitteita on kuvattu seuraavasti: 1. Laatia peruslaskelmia: Opiskelija osaa analyyttisesti arvioida tyypillisten yrityksen ydintoimintaan liittyvien päätösten vaikutusta yrityksen
LisätiedotTuottoprosentin uudelleenmäärittely kaikille HMVmarkkinoille
Muistio 1 (6) Dnro: 19.12.2012 607/230/2012 Tuottoprosentin uudelleenmäärittely kaikille HMVmarkkinoille Tiivistelmä Viestintävirasto on päivittänyt kohtuullisen sitoutuneen pääoman tuoton määrittämiseen
LisätiedotSolvenssi II:n markkinaehtoinen vastuuvelka
Solvenssi II:n markkinaehtoinen vastuuvelka Mikä on riskitön korko ja pääoman tuottovaatimus Suomen Aktuaariyhdistys 13.10.2008 Pasi Laaksonen Yleistä Mikäli vastuuvelka on ei-suojattavissa (non-hedgeable)
LisätiedotAdvisory Corporate Finance. Markkinariskipreemio Suomen osakemarkkinoilla. Tutkimus Syyskuu 2009
Advisory Corporate Finance Markkinariskipreemio Suomen osakemarkkinoilla Tutkimus Syyskuu 2009 Sisällysluettelo Yhteenveto... 3 Yleistä... 3 Kyselytutkimuksen tulokset... 3 Markkinariskipreemio Suomen
LisätiedotMarkkinariskipreemio Suomen osakemarkkinoilla
Markkinariskipreemio Suomen osakemarkkinoilla Tutkimus Marraskuu 2005 *connectedthinking Sisällysluettelo Yhteenveto... 3 Yleistä... 3 Kyselytutkimuksen tulokset... 3 Markkinariskipreemio Suomen osakemarkkinoilla...
LisätiedotRahoitusinnovaatiot kuntien teknisellä sektorilla
Rahoitusinnovaatiot kuntien teknisellä sektorilla Oma ja vieras pääoma infrastruktuuri-investoinneissa 12.5.2010 Tampereen yliopisto Jari Kankaanpää 6/4/2010 Jari Kankaanpää 1 Mitä tiedetään investoinnin
Lisätiedotwww.pwc.fi Markkinariskipreemio osakemarkkinoilla
www.pwc.fi Markkinariskipreemio Suomen osakemarkkinoilla Tutkimus Lokakuu 2012 Sisältö Yhteenveto 3 Markkinariskipreemio Suomen osakemarkkinoilla 4 Pienten ja epälikvidien yhtiöiden lisäriskipreemio 6
LisätiedotKertaus. TU-C1030 Laskelmat liiketoiminnan päätösten tukena Luento Aalto-yliopisto Tuotantotalouden laitos
Kertaus TU-C1030 Laskelmat liiketoiminnan päätösten tukena Luento 17.3.2016 Rakenne ja ajoitus Luennot kalvot MyCoursessa Luentomoniste Harjoitustehtävät (10 p) Testit (10 p) MyCourses Laskutuvat III periodi
Lisätiedot, tuottoprosentti r = X 1 X 0
Ostat osakkeen hintaan ja myyt sen vuoden myöhemmin hintaan X 1. Kokonaistuotto on tällöin R = X 1, tuottoprosentti r = X 1 ja pätee R = 1 + r. Lyhyeksimyymisellä tarkoitetaan, että voit myydä osakkeen
LisätiedotLAUSUNTO OMAN PÄÄOMAN KUSTANNUKSEN KOHTUULLISESTA TASOSTA
LAUSUNTO OMAN PÄÄOMAN KUSTANNUKSEN KOHTUULLISESTA TASOSTA Professori Juha-Pekka Kallunki Oulun yliopisto Laskentatoimen ja rahoituksen laitos 15.1.2004 1 SISÄLLYSLUETTELO 1. TAUSTAA...2 2. PÄÄOMAN KUSTANNUSTEN
LisätiedotRahavirtojen diskonttaamisen periaate
Rahavirtojen diskonttaamisen periaate TU-C1030 Laskelmat liiketoiminnan päätösten tukena Luento 14.1.2016 I vaiheen luentokokonaisuus INVESTOINNIN KANNATTAVUUS YRITYKSEN KANNATTAVUUS 1. Vapaa rahavirta
LisätiedotMarkkinariskipreemio Suomen osakemarkkinoilla
Sisältö Yhteenveto s2 / Markkinariskipreemio Suomen osakemarkkinoilla s3 / Suomen osakemarkkinoiden kasvu ja uudet listautumiset s5 / Aikaisemmat tutkimustulokset s6 Markkinariskipreemio Suomen osakemarkkinoilla
LisätiedotInvestointilaskelma. TU-C1030 Laskelmat liiketoiminnan päätösten tukena Luento 7.1.2016. Aalto-yliopisto Tuotantotalouden laitos
Investointilaskelma TU-C1030 Laskelmat liiketoiminnan päätösten tukena Luento 7.1.2016 I vaiheen luentokokonaisuus INVESTOINNIN KANNATTAVUUS YRITYKSEN KANNATTAVUUS 1. Vapaa rahavirta (FCF) 2. Rahavirtojen
LisätiedotEsteet, hyppyprosessit ja dynaaminen ohjelmointi
Esteet, hyppyprosessit ja dynaaminen ohjelmointi Juha Martikainen 4.10.2000 Oppikirjan sivut 83-87 ja 93-98 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Esteet (määritelmät) Muistellaan menneitä: Ajelehtiva
Lisätiedot10 Liiketaloudellisia algoritmeja
218 Liiketaloudellisia algoritmeja 10 Liiketaloudellisia algoritmeja Tämä luku sisältää liiketaloudellisia laskelmia. Aiheita voi hyödyntää vaikkapa liiketalouden opetuksessa. 10.1 Investointien kannattavuuden
LisätiedotTuottoprosentin uudelleenmäärittely kaikille HMVmarkkinoille
Muistio 1 (8) Dnro: 12.12.2016 142/230/2016 Tuottoprosentin uudelleenmäärittely kaikille HMVmarkkinoille Johdanto Viestintävirasto on päivittänyt kohtuullisen sitoutuneen pääoman tuoton määrittämiseen
LisätiedotKONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT
KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT 7 12/2014 7 12/2013 1 12/2014 1 12/2013 Liikevaihto, 1000 EUR 9 751 6 466 20 427 13 644 Liikevoitto ( tappio), 1000 EUR 1 959 462 3 876 1 903 Liikevoitto, % liikevaihdosta
LisätiedotMenetelmä Markowitzin mallin parametrien estimointiin (valmiin työn esittely)
Menetelmä Markowitzin mallin parametrien estimointiin (valmiin työn esittely) Lauri Nyman 17.9.2015 Ohjaaja: Eeva Vilkkumaa Valvoja: Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla
Lisätiedot1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset
TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 7 RATKAISUEHDOTUKSET 16.3.2015 1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset regressiomallin oletukset pätevät (Key Concept
LisätiedotKANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset
KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE.6.016: Mallivastaukset Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti Pohjola, Taloustieteen oppikirja, 014] sivuihin. (1) (a) Julkisten menojen kerroin (suljetun
LisätiedotLASKENTATOIMEN JA RAHOITUKSEN LUENTOJEN TEHTÄVÄT
LASKENTATOIMEN JA RAHOITUKSEN LUENTOJEN TEHTÄVÄT 1. Yrityksen sidosryhmät 1. Mitä tarkoittaa yrityksen sidosryhmä? Luettele niin monta sidosryhmää kuin muistat. 2. Ketkä käyttävät ylintä päätösvaltaa osakeyhtiössä?
Lisätiedot- Kuinka erotan jyvät akanoista. Petri Kärkkäinen salkunhoitaja
- Kuinka erotan jyvät akanoista Petri Kärkkäinen salkunhoitaja eq Suomiliiga eq Suomiliiga on Suomeen sijoittava osakerahasto Rahasto sijoittaa varansa suomalaisiin ja Suomessa noteerattujen yhtiöiden
LisätiedotKONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT
KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT 7 12/2015 7 12/2014 1 12/2015 1 12/2014 Liikevaihto, 1000 EUR 10 223 9 751 27 442 20 427 Liikevoitto ( tappio), 1000 EUR 1 266 1 959 6 471 3 876 Liikevoitto, % liikevaihdosta
LisätiedotMIKKO JÄÄSKELÄINEN Yrityksen arvo. Tuotantotalous 1 /
MIKKO JÄÄSKELÄINEN Yrityksen arvo Tuotantotalous 1 / 28.2.2017 Luennot AIEMMAT þ MITÄ ON TUOTANTOTALOUS? þ YRITTÄJYYS þ TUOTTEET JA TUOTANTO þ YRITTÄJÄPANEELI þ YRITYKSEN PROSESSIT þ MYYNTI JA MARKKINOINTI
LisätiedotMat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008
Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
LisätiedotKAUPANKÄYNTIVARASTON POSITIORISKIN LASKEMINEN
00 N:o 22 LIITE KAUPANKÄYNTIVARASTON POSITIORISKIN LASKEMINEN. Positioriskin laskemisessa käytettävät määritelmät Tässä liitteessä tarkoitetaan: arvopaperin nettopositiolla samanlajisen arvopaperin pitkien
LisätiedotMat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352.
Yleistä: Laskarit tiistaisin klo 14-16 luokassa U352. Kysyttävää laskareista yms. jussi.kangaspunta@tkk. tai huone U230. Aluksi hieman teoriaa: Kassavirran x = (x 0, x 1,..., x n ) nykyarvo P x (r), kun
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotINVESTOINTIEN EDULLISUUSVERTAILU. Tero Tyni Erityisasiantuntija (kuntatalous)
INVESTOINTIEN EDULLISUUSVERTAILU Tero Tyni Erityisasiantuntija (kuntatalous) 25.5.2007 Mitä tietoja laskentaan tarvitaan Investoinnista aiheutuneet investointikustannukset Investoinnin pitoaika Investoinnin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 1 Korkolaskentaa Oletetaan, että korkoaste on r Jos esimerkiksi r = 0, 02, niin korko on 2 prosenttia Tätä korkoastetta käytettään diskonttaamaan tulevia tuloja ja
Lisätiedotb) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa.
2.9. Epävarmuus ja odotetun hyödyn teoria Testi. Kumman valitset a) 10 euroa varmasti. b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa. Odotettu arvo 0,5* 15 + 0,5*5
LisätiedotMTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.
LisätiedotInvestointilaskelman epävarmuustekijät
Investointilaskelman epävarmuustekijät TU-C1030 Laskelmat liiketoiminnan päätösten tukena Luento 11.2.2016 Suoraviivainen lähestymistapa o Laadi arvio investoinnin vaikutuksista vapaaseen rahavirtaan o
LisätiedotPIENSIJOITTAJAN JATKOKURSSI HENRI HUOVINEN
PIENSIJOITTAJAN JATKOKURSSI HENRI HUOVINEN henri.huovinen.1@gmail.com Pankkien ja pankkiiriliikkeiden varainhoidon tarkoituksena on tuoda asiakkaan sijoituspäätöksiin ja salkunhoitoon lisäarvoa. Täyden
LisätiedotKorko ja inflaatio. Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016
Korko ja inflaatio Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Sisältö Nimellis ja reaalikorot, Fisher yhtälö Lyhyt ja pitkä korko Rahapolitiikka ja korot Korko ja inflaatio Nimellinen korko i: 1 tänä vuonna
LisätiedotKoron käyttö ja merkitys metsän
Koron käyttö ja merkitys metsän käyvän arvon laskennassa Taksaattoriklubin kevätseminaari 9.4.2019 Henrik Nieminen Talous- ja rahoitusjohtaja Liikevaihto 113 milj. Tase 1,6 mrd 2 METSÄN KÄYVÄN ARVON MÄÄRITTÄMINEN
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
LisätiedotTuhatta euroa Q1 Q2 Q3 Q4 Q1 - Q4. Liikevaihto
1 (6) Asiakastieto Group Oyj, pörssitiedotteen liite 5.5.2015 klo 16.00 HISTORIALLISET TALOUDELLISET TIEDOT 1.1. - 31.12.2014 Tässä liitteessä esitetyt Asiakastieto Group Oyj:n ( Yhtiö ) historialliset
LisätiedotYrittäjän oppikoulu. Johdatusta yrityksen taloudellisen tilan ymmärtämiseen (osa 2) 23.10.2015. Niilo Rantala, Yläneen Tilikeskus Oy
Yrittäjän oppikoulu Johdatusta yrityksen taloudellisen tilan ymmärtämiseen (osa 2) 23.10.2015 Niilo Rantala, Yläneen Tilikeskus Oy Sisältö Mitä on yrityksen taloudellinen tila? Tunnuslukujen perusteet
LisätiedotOsakesijoittamisen alkeet. Henri Huovinen, analyytikko Osakesäästäjien Keskusliitto ry
Henri Huovinen, analyytikko Osakesäästäjien Keskusliitto ry Yleistä rahoitusmarkkinoista Rahoitusmarkkinoilla tarkoitetaan markkinoita, joilla rahoituksen tarvitsijat kohtaavat rahoituksen tarjoajat. Rahoitusmarkkinoilla
LisätiedotOsavuosikatsaus [tilintarkastamaton]
Osavuosikatsaus 1.1. 3.6.217 [tilintarkastamaton] OPR-Vakuus konserni Toisen vuosineljänneksen antolainaus kasvoi 38.9% edellisvuodesta ollen EUR 52.m (EUR 37.5m /2) Toisen vuosineljänneksen liiketoiminnan
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
LisätiedotSijoituspolitiikka. Lahden Seudun Ekonomit ry Hyväksytty vaalikokouksessa
Sijoituspolitiikka Lahden Seudun Ekonomit ry Hyväksytty vaalikokouksessa 8.11.2017 Sijoitustoiminnan perusperiaatteet 1/4 Lahden Seudun ekonomit ryn sijoitustoiminnan perusperiaatteet ovat yhdistyksen
LisätiedotKONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT
KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT 07-12/2016 7-12/2015 1-12/2016 1-12/2015 Liikevaihto, 1000 EUR 9 743 10 223 20 113 27 442 Käyttökate, 1000 EUR 1672 1563 2750 6935 Käyttökate, % liikevaihdosta 17,2 % 15,3
LisätiedotTULOSLASKELMAN RAKENNE
TULOSLASKELMAN RAKENNE Liiketoiminnan tuotot Toiminnan kulut Liikevoitto VÄHENNETÄÄN Liikevaihdon ansaintaan liittyvät kulut Rahoituserät Satunnaiset erät Tilinpäätösjärjestelyt Tilikauden voitto Verot
LisätiedotUnited Bankers Oyj Taulukot ja tunnusluvut Liite puolivuotiskatsaus
Liite puolivuotiskatsaus 1.1. 30.6.2017 KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT 1-6/2017 1-6/2016 1-12/2016 Liikevaihto, 1000 EUR 11 561 10 370 20 113 Käyttökate, 1000 EUR 2024 1078 2750 Käyttökate, % liikevaihdosta
LisätiedotNyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F
Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008 Binomihilan avulla voidaan laskea T vuoden ja tietyn kupongin sisältävän joukkovelkakirjan arvo eli hinta rekursiivisesti vaihtelevan
LisätiedotEstimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio
17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla
LisätiedotKANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 4.6.2015 MALLIVASTAUKSET
KANSANTALOUSTIETEEN ÄÄSYKOE 4.6.05 MALLIVASTAUKSET Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti ohjola, Taloustieteen oppikirja,. painos, 04] sivuihin. () (a) Bretton Woods -järjestelmä:
LisätiedotELITE VARAINHOITO OYJ LIITE TILINPÄÄTÖSTIEDOTTEESEEN 2015
KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT, 1000 EUR 7-12/2015 7-12/2014 1-12/2015 1-12/2014 Liikevaihto, tuhatta euroa 6 554 5 963 15 036 9 918 Liikevoitto, tuhatta euroa 69 614 1 172 485 Liikevoitto, % liikevaihdosta
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotMat Investointiteoria Laskuharjoitus 4/2008, Ratkaisut
Projektien valintapäätöksiä voidaan pyrkiä tekemään esimerkiksi hyöty-kustannus-suhteen (so. tuottojen nykyarvo per kustannusten nykyarvo) tai nettonykyarvon (so. tuottojen nykyarvo - kustannusten nykyarvo)
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen
LisätiedotAsuntosijoittamisen alueelliset tuotot
Asuntosijoittamisen alueelliset tuotot 2018-2022 20.6.2018 Lähestymistapa Laskelmat on tehty vuosittain vuodesta 2013 lähtien. Vuokratuotto lasketaan vanhoille kerrostaloasunnoille. Asuntosijoittamisen
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 1. Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen
Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Prosenttilaskentaa Korkolaskentaa Lukujonot: aritmeettinen ja geometrinen Luennon sisältö Prosenttilaskennan kertausta Korkolaskentaa Käsitteitä Koron lisäys kerran
LisätiedotSelvitetään korkokanta, jolla investoinnin nykyarvo on nolla eli tuottojen ja kustannusten nykyarvot ovat yhtä suuret (=investoinnin tuotto-%)
Sisäisen korkokannan menetelmä Selvitetään korkokanta, jolla investoinnin nykyarvo on nolla eli tuottojen ja kustannusten nykyarvot ovat yhtä suuret (=investoinnin tuotto-%) Sisäinen korkokanta määritellään
LisätiedotHarjoitust. Harjoitusten sisältö
Harjoitust yö Harjoitusten sisältö Investoinnin kannattavuus Vapaat rahavirrat ja tuottovaade Tilinpäätösanalyysi SWOT-analyysi Yrityksen tulevaisuus Investoinnin kannattavuus Tilinpäätösanalyysi
LisätiedotKirjanpito ja laskentatoimi A-osa
1. Arvon määritys a) Mitkä tekijät vaikuttavat osto- ja myyntioptioiden arvoon ja miten? b) Yrityksen osingon oletetaan olevan ensi vuonna 3 euroa per osake ja osinkojen uskotaan kasvavan 6 % vuosivauhtia.
LisätiedotTilinpäätöksen tunnuslukujen tulkinta
Tilinpäätöksen tunnuslukujen tulkinta TILINPÄÄTÖKSEN TUNNUSLUKUJA VOIDAAN LASKEA 1) tuloslaskelmapohjaisesti eli suoriteperusteisesti tai 2) rahoituslaskelmapohjaisesti eli maksuperusteisesti. MITTAAMISEN
Lisätiedot12. Korkojohdannaiset
2. Korkojohdannaiset. Lähtökohtia Korkojohdannaiset ovat arvopapereita, joiden tuotto riippuu korkojen kehityksestä. korot liittyvät lähes kaikkiin liiketoimiin korkojohdannaiset ovat tärkeitä. korkojohdannaisilla
LisätiedotJA n. Investointi kannattaa, jos annuiteetti < investoinnin synnyttämät vuotuiset nettotuotot (S t )
Annuiteettimenetelmä Investoinnin hankintahinnan ja jäännösarvon erotus jaetaan pitoaikaa vastaaville vuosille yhtä suuriksi pääomakustannuksiksi eli annuiteeteiksi, jotka sisältävät poistot ja käytettävän
LisätiedotMat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät
Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät Kotitehtäviä on yhteensä kahdeksan ja ne ratkeavat tavallisilla taulukkolaskentaohjelmistoilla. Jokaisesta kotitehtävistä saa maksimissaan 5 pistettä: 4p/oikea
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotMat-2.11 4 Investointiteoria. Tentti 6.9.2005. Mitd
.* Mat-2.11 4 Investointiteoria Tentti 6.9.2005 Ki{oita jokaiseen koepapcriin selveisti: o Mat-2.114 Investointiteoria o opintoki{'an numero sekii sukunimi ja viralliset etunimet tekstaten o koulutusohjelma
LisätiedotKONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT
KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT 1 6/2015 1 6/2014 1 12/2014 Liikevaihto, 1000 EUR 17 218 10 676 20 427 Liikevoitto ( tappio), 1000 EUR 5 205 1 916 3 876 Liikevoitto, % liikevaihdosta 30,2 % 17,9 % 19,0
LisätiedotOtoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden
1 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luento 30.9.2014 Olkoon satunnaisotos X 1, X 2,, X n normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ), tällöin ~ N(µ, σ 2 /n), kaava (6). Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma
LisätiedotELENIA PALVELUT OY Tilinpäätös
1.1.2018-31.12.2018 Sisällysluettelo Tuloslaskelma 1 Tase 2-3 Rahoituslaskelma 4 Tilinpäätöksen liitetiedot 5-8 Allekirjoitukset 9 1 Tuloslaskelma Liitetieto 1.1.-31.12.2018 1.1.-31.12.2017 (EUR) Liikevaihto
LisätiedotRahoitustarkastuksen standardi 4.3i Operatiivisen riskin vakavaraisuusvaatimus LIITE 2
Rahoitustarkastuksen standardi 4.3i Operatiivisen riskin vakavaraisuusvaatimus LIITE 2 Perus- ja standardimenetelmän sekä vaihtoehtoisen standardimenetelmän mukaisen vakavaraisuusvaatimuksen laskentaesimerkit
LisätiedotStandardi 5.1 Liite I. Säännöllinen tiedonantovelvollisuus. Tunnusluvut
Standardi 5.1 Liite I Säännöllinen tiedonantovelvollisuus Tunnusluvut dnro 1/120/2008 2 (2) SISÄLLYSLUETTELO 1 Taloudelliset tunnusluvut 4 1.1 Tunnuslukujen osatekijöiden määritelmät 4 1.1.1 Liikevoitto
LisätiedotKONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT
Liite puolivuosikatsaus 1.1. 30.6.2018 KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT 1-6/2018 1-6/2017 1-12/2017 Liikevaihto, 1000 EUR 17 962 11 561 25 038 Käyttökate, 1000 EUR 4 358 2 024 5 230 Käyttökate, % liikevaihdosta
LisätiedotKONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT
KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT 1 6/2016 1 6/2015 1 12/2015 Liikevaihto, 1000 EUR 10 370 17 218 27 442 Liikevoitto ( tappio), 1000 EUR 647 5 205 6 471 Liikevoitto, % liikevaihdosta 6,2 % 30,2 % 23,6 %
LisätiedotReaalioptioden käsitteen esittely yksinkertaisen esimerkin avulla
Reaalioptioden käsitteen esittely yksinkertaisen esimerkin avulla Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Esitelmän sisältö Investointien peruuttamattomuuden vaikutus investointipäätökseen Investointimahdollisuuksien
LisätiedotKONSERNIN TUNNUSLUVUT
KONSERNIN TUNNUSLUVUT 2011 2010 2009 Liikevaihto milj. euroa 524,8 487,9 407,3 Liikevoitto " 34,4 32,6 15,6 (% liikevaihdosta) % 6,6 6,7 3,8 Rahoitusnetto milj. euroa -4,9-3,1-6,6 (% liikevaihdosta) %
LisätiedotValtion velanhallinnasta
Valtiokonttori 1 (6) Valtion velanhallinnasta Aika klo 10.00 Paikka Eduskunta, Verojaosto 1 Yleistä Valtiokonttori vastaa valtion velanhallintaan liittyvistä käytännön toimista. Valtiovarainministeriö
LisätiedotKansainvälinen rahatalous Matti Estola. Termiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa
Kansainvälinen rahatalous Matti Estola ermiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa 1. Valuuttariskien suojauskeinot Rahoitusalan yritykset tekevät asiakkailleen valuuttojen välisiä termiinisopimuksia
LisätiedotLisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo?
MTTTP5, kevät 2016 15.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen 1. Valitaan 25 alkion satunnaisotos jakaumasta N(µ, 25). Olkoon H 0 : µ = 12. Hylätään H 0, jos otoskeskiarvo
LisätiedotNykyarvo ja investoinnit, L7
Nykyarvo ja investoinnit, L7 netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k n k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... 0 1 2 3 4 5 6... n j netto
LisätiedotTilinpäätöstiedote
Q4 1.1.2016 31.12.2016 Tilinpäätöstiedote Avainluvut 10-12/2016 10-12/2015 Muutos% 1-12/2016 1-12/2015 Muutos% Liikevaihto, MEUR 238,1 231,7 2,8 % 775,8 755,3 2,7 % Vertailukelpoisten myymälöiden liikevaihdon
LisätiedotWiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia
Wiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia { z(t k+1 ) = z(t k ) + ɛ(t k ) t t k+1 = t k + t, k = 0,..., N, missä ɛ(t i ), ɛ(t j ), i j ovat toisistaan riippumattomia siten, että
Lisätiedot25.9.2008 klo 9-15. 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen.
SHV-tutkinto Vakavaraisuus 25.9.28 klo 9-15 1(5) 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen. (1p) 2. Henkivakuutusyhtiö Huolekas harjoittaa vapaaehtoista henkivakuutustoimintaa
LisätiedotLIITE PRIVANET GROUP OYJ:N TILINPÄÄTÖSTIEDOTTEESEEN 2017
LIITE PRIVANET GROUP OYJ:N TILINPÄÄTÖSTIEDOTTEESEEN 2017 KONSERNIN KESKEISET AVAINLUVUT (tilintarkastetut) Privanet Group -konserni 1-12/2017 1-12/2016 Muutos 7-12/2017 7-12/2016 Muutos 12kk 12kk 6 kk
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
LisätiedotKertausluento & kurssisuorituksen arvioinnista
1 Kertausluento & kurssisuorituksen arvioinnista TU-C1030 Laskelmat liiketoiminnan päätösten tukena Luento 23.3.2017 Luennot Luentomateriaali MyCourses ssa Rakenne ja ajoitus Pakollinen osuus arvosanat
LisätiedotVaasan Ekonomien hallituksen ehdotus yhdistyksen syyskokoukselle selvitystyön aloittamiseksi oman mökin tai lomaasunnon 26.11.2010
» Vaasan Ekonomien hallituksen ehdotus yhdistyksen syyskokoukselle selvitystyön aloittamiseksi oman mökin tai lomaasunnon hankkimiseksi 26.11.2010 Lähtökohdat selvitystyölle 1/3 2 Hallitus esittää yhdistyksen
LisätiedotInvestointien suunnittelu ja rahoitus. Kalevi Aaltonen Aalto-yliopisto Tuotantotekniikka
Tehdasprojekti (Kon-15.4197) Investointien suunnittelu ja rahoitus Kalevi Aaltonen Aalto-yliopisto Tuotantotekniikka Tehdasprojekti (Kon-15.4197) KURSSIN LUENNOT 11.09.2015 Johdanto (Kalevi Aaltonen) 18.09.2015
LisätiedotKANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 5.6.2014 MALLIVASTAUKSET
KANSANTALOUSTIETEEN ÄÄSYKOE 5.6.2014 MALLIVASTAUKSET Jokaisen tehtävän perässä on pistemäärä sekä sivunumero (Matti ohjola, Taloustieteen oppikirja, 2012) josta vastaus löytyy. (1) (a) Suppea raha sisältää
LisätiedotT Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti , 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1
T-61.281 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti 10.2.2004, 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1 1. Lasketaan ensin tulokset sanaparille valkoinen, talo käsin: Frekvenssimenetelmä:
LisätiedotTALOUDELLISTA KEHITYSTÄ KUVAAVAT TUNNUSLUVUT
1 / 9 Taaleritehdas Oyj Liite tulostiedotteeseen, taloudellista kehitystä kuvaavat tunnusluvut 31.12.2013. TALOUDELLISTA KEHITYSTÄ KUVAAVAT TUNNUSLUVUT Taaleritehdas-konserni 1.7.-31.12.2013 1.7.-31.12.2012
LisätiedotHanken Svenska handelshögskolan / Hanken School of Economics www.hanken.fi
Sijoittajan sanastoa Pörssisäätiön sijoituskoulu VERO 2014 Prof. Minna Martikainen Hanken School of Economics, Finland Sijoitusmaailman termistö ja logiikka, omat toimet ja näin luen. SIJOITUSMAAILMAN
Lisätiedot