Paikkatieto ja assosiaatiosäännöt. Referenssipiirre. Spatiaaliset assosiaatiosäännöt
|
|
- Kai Hakala
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Paikkatieto ja assosiaatiosäännöt Spatiaaliset assosiaatiosäännöt voisiko assosiaatiosääntöjä soveltaa myös paikkatietoon? kömpelö tapa: jaetaan maantieteellinen alue ruutuihin, tehdään attribuuttien arvoista ruudussa rivi ja etsitään assosiaatiosääntöjä kuten transaktioiden tapauksessa ruudun koko ja rajat vaikuttavat attribuuttien arvoihin ensimmäinen spatiaalisen assosiaatiosäännön määritelmä (Koperski ja Han 1995): P 1, P 2,..., P m Q 1, Q 2,..., Q n (c%), missä ainakin yksi predikaateista P 1, P 2,..., P m, Q 1, Q 2,..., Q n on spatiaalinen spatiaalinen predikaatti? etäisyyteen liittyviä: esim. A ja B lähellä toisiaan topologisia: A ja B vierekkäin, A ja B leikkaavat, A sijaitsee alueella B jne. maantieteelliseen sijaintiin liittyviä: A sijaitsee pohjoisempana kuin B Spatiaaliset assosiaatiosäännöt Referenssipiirre keskeinen ongelma: transaktioille ei ole luontevaa vastinetta paikkatiedon yhteydessä transaktio-tietokannassa rivit erillisiä esim. yhden ostoskorin ostokset esiintyvät vain yhdellä rivillä paikkatieto: sijainti jatkuva-arvoinen muuttuja käsitettä rivi ei ole rivien luominen usein keinotekoista (eikä se ole yksiselitteistä) luoduilla riveillä jotka vastaavat maantieteellisesti lähellä toisiaan olevia paikkoja/alueita voi olla joko suorastaan yhteisiä muuttujien arvoja tai ainakin korreloituneita käyttäjä valitsee 1. referenssipiirteen (reference feature) 2. relevantit piirteet esimerkki: referenssipiirre suuri kaupunki is_a(x, city) relevantit piirteet: sijainti Brittiläisessä Kolumbiassa, veden äärellä ja lähellä Yhdysvaltoja is_a(x, city) AND within(x, BritishColumbia) AND adjacent_to(x, water) close_to(x, U SA)(92%)
2 Spatiaaliset assosiaatiosäännöt merkitään E({X Q(X)}):llä niiden spatiaalisten objektien X lukumäärää, jotka täyttävät ehdon Q(X) sp. assosiaatiosäännön tuki (support): E({X P 1 (X),..., P m (X)}) luotettavuus: E({X P 1 (X),..., P m (X), Q 1 (X),..., Q n (X)}) E({X P 1 (X),..., P m (X)}) paikkaliitos g_close_to: generalized close_to = karkean resoluution läheisyys karkea taso hyödyntää R-puu-rakennetta ja minimisuorakulmiointia piirteet joiden tuki jää alle kynnysarvon poistetaan muille täsmällisen sijaintitiedon analyysi assosiaatiosäännöt haetaan Apriori-algoritmilla Laskenta Esimerkki Sp. assosiaatiosäännöt (2) discover spatial association rules inside British_Columbia from road R, water W, mines M, boundary B in relevance to town T where g_close_to(t.geo,x.geo) and X in {R,W,M,B} and T.type = large and R.type in {R,W,M,B} and W.type in {sea, ocean,large_lake,large_river} and B.admin_region_1 in B.C. and B.admin_region_2 in U.S.A. edellä kuvatut spatiaaliset assosiaatiosäännöt tarvitsevat erilaisia käsitehierarkioita esim. suurkaupungit, isot kaupungit, keskisuuret kaupungit, pikkukaupungit, kylät... topologisten relaatioiden hierarkian (esim. mitä tarkoittavat IN, INSIDE, ADJACENT_TO jne.) referenssipiirteen joka määrittää rivien muodostuksen Apriori-algoritmia varten
3 Kollokaatiosäännöt Kollokaatiot Kurssin loppuosa perustuu artikkeleihin S. Shekhar, Y. Huang: Discovering spatial co-location patterns: a summary of results. Proceedings of 7th International Symposium on Advances in Spatial and Temporal Databases (SSTD 2001), Redondo Beach, CA, USA, X. Zhang, N. Mamoulis, D. Cheung, Y. Shou: Fast mining of spatial collocations. Proceedings of the 10th ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining (KDD 04), Seattle, August 2004 Y. Huang, H. Xiong, S. Shekhar: Mining confident co-location rules without a support threshold. Proceedings of the 2003 ACM symposium on Applied computing, Melbourne, Florida. seuraavassa esitellään malli, joka yrittää ratkaista paikkatiedon jatkuvuuden ja relaatiomallisten rivien välisen konfliktin toisella tavalla spatiaalisten objektien naapuruus objekteihin liittyy attribuutteja (piirteitä) objektien joukot, jotka ovat toistensa naapureita määrittävät rivin ei tarvita välttämättä referenssipiirrettä piirteiden binäärisyys Käytännön ohjeita Spatiaalinen objekti pelkkiä luentokalvoja lukemalla on mahdotonta selvitä tenttiin tulevasta kysymyksestä (tai kysymyksistä), vaan on omatoimisesti perehdyttävä edellä mainituista artikkeleista kahteen ensimmäiseen ei tarkoita, että asia olisi vaikea; päinvastoin, asia on suhteellisen yksinkertainen luentojen tarkoitus on antaa pohja artikkeleiden ymmärtämiselle artikkeleista oleellisin on Zhang et al entiteetti jolla on paikkaulottuvuus (koordinaattipiste, polygoni, viiva) spatiaalisten objektien naapurusto (neighbourhood) yleensä etukäteen määritelty usein euklidinen etäisyys määrittää: Neighbours(o 1, o 2 ) distance(o 1, o 2 ) < ɛ voi toki olla muutenkin määritelty: topologiset suhteet (varsinkin alueaineisto), etäisyys maantietä pitkin jne. 0
4 Piirre Kollokaatiohahmo ominaisuus, joka liittyy spatiaaliseen objektiin esim. koordinaattipisteeseen (x, y) liittyvä paikannimi Ukonsaari (binääriarvoinen piirre: koordinaattipisteeseen joko liittyy nimi Ukonsaari tai ei) objektiin voi liittyä useita piirteitä (esim. nimien osat piirteinä: ukko, saari) esim. alueeseen liittyvä tieto lintulajista: binäärinen tai pesimävarmuusindeksi (0... 3) alueeseen liittyvä tieto vesipinta-alasta (reaalilukuarvoinen) referenssipiirteeseen perustuvan kollokaatiohahmon P = (f R, F rel ) muodostaa referenssipiirre f R ja joukko relevantteja spatiaalisia piirteitä F rel = {f 1,..., f k } merkitään F(o i ):llä objektin o i piirteiden joukkoa. P :n esiintymän muodostaa joukko spatiaalisia objekteja o 1,..., o n 1. joiden joukossa on vähintään yksi objekti o R jolle {f R } F(o R ) 2. o R on jokaisen objektin o 1,..., o n naapuri 3. F rel n i=1 F(o i) Binääriset piirteet Hahmon verkkoesitys seuraavassa tarkastellaan vain binäärisiä piirteitä (kuten tavallisten ass. sääntöjen yhteydessä vain binääriarvoisia attribuutteja) muuntyyppiset piirteet voidaan periaatteessa muuntaa joukoksi binäärisiä piirteitä kollokaatiohahmo on binääristen piirteiden joukko naapuruussuhdeverkko tähtirakenne esimerkkinä kuvan vasemman puolimmaisin verkko (ja alimmainen) referenssipiirre A b,c a b e e b a a,c c,d b,d
5 Symmetrinen hahmo Mielenkiintoisuuden mittoja symmetrisessä kollokaatiohahmossa (clique pattern) Q = {f 1,..., f k } ei ole referenssipiirrettä sen esiintymän muodostaa objektien joukko {o 1,..., o n }, 1. jotka ovat kaikki keskenään naapurustosuhteessa eli kaikille pareille (i, j), 1 i n, 1 j n, Neighbours(o i, o j ) 2. Q n i=1 F(o i) mittoja kollokaatiohahmojen (esiintymien) mielenkiintoisuudelle havaitussa aineistossa hahmon tuki (support) kattavuus hahmon hallitsevuus (prevalence tai participation index) hahmon maksimaalinen hallitsevuus (maximal participation index, myös confidence) Symmetrinen hahmo (2) Eksklusiivisuus verkkorakenne täydellinen: kaaret kaikkien solmujen välillä oikeanpuoleinen kuva (ja alimmainen) spatiaalisen piirteen f i eksklusiivisuus (participation ratio) P :n suhteen kuvaa piirteen taipumusta esiintyä hahmossa P b,c a b e e b a a,c c,d b,d pr(f i, P ) = E({f i f i P )} E(f i ) E(f i ) : f i :n esiintymien lukumäärä ehdollinen todennäköisyys: ehdolla että havaitaan f i :n esiintymä, havaitaan myös muut hahmoon P kuuluvat piirteet f i :n naapurustossa
6 Hallitsevuus Kollokaatiosääntö, esimerkki jos havaitaan joku hahmon P piirteistä, kuinka varmasti havaitaan muutkin? tätä hahmon implikatiivista voimaa kuvaa kollokaatiohahmon P hallitsevuus (prevalence): hallitseva hahmo sitoo piirteiden esiintymät eikä niitä juuri esiinny muualla prev(p ) = min{pr(f i, P ), f i P } P :n hallitsevuus pieni ainakin yksi P :n piirteistä esiintyy usein hahmon P esiintymien ulkopuolella hallitsevasta hahmosta voidaan generoida luotettavia kollokaatiosääntöjä A, B ukko vs. akka (1385/693) C, D, musta vs. valkoinen (5233/2213) sääntöjen luotettavuudet eri naapuruusehdoille (ɛ): ɛ (km) A B B A C D D C Kollokaatiosääntö Kollokaatiosääntöjen etsiminen kuvaa kuinka usein piirteet esiintyvät lähietäisyydellä suhteessa toisiin piirteisiin X ja Y piirteiden joukkoja D naapurustorelaatio säännön tuki: X D Y, (θ) E(X Y) kaikkien objektien lkm säännön luotettavuus θ: ehdollinen tn sille, että ehdolla X :n esiintymä, havaitaan myös X Y:n esiintymä naapurustossa X Y ja X kollokaatiohahmoja kynnysarvot säännön tuelle ja luotettavuudelle min_support, min_conf etsi kollokaatiosäännöt, jotka toistuvia (tuki min_support) ja luotettavia (luotettavuus min_conf) luotettavien sääntöjen etsimisessä voidaan hyödyntää hahmojen hallitsevuutta
7 Monotonisuus Riviesiintymä P hallitseva prev(p ) min_prev hallitsevuus monotoninen kollokaatiohahmon laajentamisen suhteen: olkoot P ja Q kollokaatiohahmoja ja P Q Q hallitseva P hallitseva objektien joukko L on hahmon P (rivi)esiintymä jos 1. kaikki P :n piirteet esiintyvät L:ssä ja 2. L on minimaalinen, ts. (a) L ei sisällä sellaisia objekteja, joissa ei esiinny mitään P :n piirrettä ja (b) kaikille L L, on olemassa f P siten että f ei ole minkään L :n alkion piirre... Esimerkki asetetaan min_prev = min_conf etsitään hallitsevat hahmot monotonisuus Apriori-tyyppinen algoritmi sovellettavissa generoidaan luotettavat kollokaatiosäännöt näistä A B C D
8 Esimerkki Heikko monotonisuus esimerkissä hahmon {A, B} (rivi)esiintymät merkitty huomaa ero transaktioihin: 1 objekti mukana kahdessa esiintymässä riviesiintymien muodostamisen jälkeen voidaan edellä mainittujen tunnuslukujen (eksklusiivisuus, hallitsevuus) arvot laskea artikkeli Shekhar and Huang 2001 esittää apriori-tyyppisen algoritmin tähän maksimaalinen hallitsevuus ei ole monotoninen heikompi versio monotonisuudesta: olkoon P kollokaatiohahmo, jossa k piirrettä on olemassa enintään yksi k 1:n piirteen kollokaatiohahmo P s.e. P P ja conf(p ) < conf(p ) Hahmon maksimaalinen hallitsevuus Algoritmeista artikkeli Huang et al harvinaiset piirteet saattavat olla mielenkiintoisia, jos ne implikoivat miltei poikkeuksetta joitakin yleisempiä piirteitä suuri arvo implikoi, että ainakin yksi P :n piirteistä on sellainen, ettei se juuri esiinny P :n esiintymien ulkopuolella conf(p ) = max{pr(f 1, P ), f i P } nimitetään myös hahmon luotettavuudeksi merkitys: annettuna kynnysarvo kollokaatiosäännön luotettavuudelle, luotettavasta hahmosta voidaan generoida ainakin yksi luotettava sääntö k > 1 piirrettä sisältävät mielenkiintoiset hahmot: etsi ensin k 1 piirrettä sisältävät mielenkiintoiset hahmot (apriori) tämä ei ole välttämätöntä: voidaan hyödyntää paikkatietoa tehokkaammin (Zhang et al. 2004) usean taulun paikkaliitos n datajoukkoa R 1, R 2,..., R n R i sisältää piirteen i esiintymät R i voi olla eksplisiittinen spatiaalinen relaatio paikkatietokannassa tai ominaisuus jota ei eksplisiittisenä (muodostettava paikkatietoa käyttävänä tietokantaoperaationa)
9 ... Algoritmi (versio 1) SELECT R_a.id, R_b.id, R_c.id,R_d.id FROM R_a,R_b,R_c,R_d WHERE R_a.location close_to R_b.location AND R_a.location close_to R_c.location AND R_a.location close_to R_d.location 1. forall o i (oletetaan että o i :n piirre on f i ) 2. L(o i ) := 3. forall f j 4. if on olemassa objekti o j, joka on piirteen f j esiintymä s.e. distance(o i, o j ) ɛ 5. then L(o i ) := L(o i ) f j 6. forall I L(o i ) 7. count(f i I) := count(f i I) + 1 etäisyyden evaluoinnin kannalta järkevää on ensin järjestää objektit x-koordinaatin mukaan Algoritmi (versio 1) Versio 2 etsi kollokaatiohahmot referenssipiirteellä (tähtiverkko) käy läpi kaikki objektit (o i ) etsi maksimaaliset hahmot (L(o i )), joiden esiintymässä o i on referenssipiirteenä oletetaan, että jokaiseen objektiin liittyy vain yksi piirre naapurustoehto euklidinen etäisyys ɛ symmetriset kollokaatiohahmot: etsitään o i :n naapurit o j kuten edellä, mutta on tarkistettava myös objektien o j etäisyydet toisistaan
10 Esimerkki Hajautus c 1 a b 1 1 d 1 b 2 jos paljon objekteja, ei liitosoperaatiota voi ehkä tehdä yhdellä kertaa laajenna objekteja ɛ-säteiseksi ympyräksi sijoita objekti siihen ruutuun, jossa se sijaitsee hilaruudun sivu > 2ɛ kopio niihin ruutuihin, joita ympyrä leikkaa käsitellään em. algoritmeissa jokainen hilaruutu erikseen objekti huomioidaan keskipisteenä vain siinä ruudussa, jossa se sijaitsee Esimerkki Hajautus, esim. esimerkissä algoritmi on käsittelemässä objektia a 1 löytää kuvan näyttämät naapurit a 1 :lle jotta voidaan päätellä symmetriset kollokaatiohahmot, joiden esiintymissä a 1 mukana, on selvitettävä naapuriobjektien keskinäiset naapurussuhteet nekin näytetty kuvassa {a 1, b 1, c 1 } ja {a 1, b 2, d 1 } täydelliset verkot joissa a 1 mukana esimerkissä A B, A C, A D, A BC, A BD ovat säännöt, joiden laskureita kasvatetaan yhdellä (ja vain yhdellä!)
Paikkatieto ja assosiaatiosäännöt
Paikkatieto ja assosiaatiosäännöt voisiko assosiaatiosääntöjä soveltaa myös paikkatietoon? kömpelö tapa: jaetaan maantieteellinen alue ruutuihin, tehdään attribuuttien arvoista ruudussa rivi ja etsitään
LisätiedotPaikkatiedon käsittely 10. Aluekohteiden yhteisesiintymät
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon käsittely 10. Aluekohteiden yhteisesiintymät Antti Leino antti.leino@cs.helsinki.fi 15.2.2007 Tietojenkäsittelytieteen laitos
LisätiedotSpatiaalisten assosiaatiosääntöjen louhinta
Spatiaalisten assosiaatiosääntöjen louhinta Saija Lemmelä Helsinki 8.4.23 Spatiaalisen tiedon louhinta -seminaari HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos SISÄLLYS. JOHDANTO 3 2. SPATIAALISET
LisätiedotKurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.
LisätiedotEsimerkkejä vaativuusluokista
Esimerkkejä vaativuusluokista Seuraaville kalvoille on poimittu joitain esimerkkejä havainnollistamaan algoritmien aikavaativuusluokkia. Esimerkit on valittu melko mielivaltaisesti laitoksella tehtävään
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 13 Ti 2.5.2017 Timo Männikkö Luento 13 Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Laskennallinen vaativuus Päätösongelmat Epädeterministinen algoritmi Vaativuusluokat NP-täydellisyys
LisätiedotDatatähti 2019 loppu
Datatähti 2019 loppu task type time limit memory limit A Summa standard 1.00 s 512 MB B Bittijono standard 1.00 s 512 MB C Auringonlasku standard 1.00 s 512 MB D Binääripuu standard 1.00 s 512 MB E Funktio
LisätiedotRelaatiomalli ja -tietokanta
Relaatiomalli ja -tietokanta > Edgar. F. (Ted) Codd, IBM, 1969 < A Relational Model of Data for Large Shared Data Banks Communications of the ACM, Vol. 13, No. 6, June 1970, pp. 377-387. > 70-luvun lopulla
LisätiedotDepartment of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology. Roolit Verkostoissa: HITS. Idea.
Roolit Tommi Perälä Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology 25.3.2011 J. Kleinberg kehitti -algoritmin (Hypertext Induced Topic Search) hakukoneen osaksi. n taustalla
LisätiedotÄärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 4 ratkaisut Tehtävä 1. Määritä suurin aste k, johon saakka kuvan verkot G ja G ovat osittaisesti isomorfisia: Ratkaisu 1. Huomataan aluksi, että G =4 G : Ehrenfeucht-Fraïssé
Lisätiedotarvostelija Assosiaatiosäännöt sekvensseissä Jarmo Hakala Vantaa 20.10.2005 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
hyväksymispäivä arvosana arvostelija Assosiaatiosäännöt sekvensseissä Jarmo Hakala Vantaa 20.10.2005 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Tiivistelmä Assosiaatiosäännöt sekvensseissä on
LisätiedotRelaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,
Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos
LisätiedotJoukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,
Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, (s) symmetrinen, jos xry yrx, (as) antisymmetrinen, jos xry yrx x =
LisätiedotRelevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa Linkkikeskukset ja auktoriteetit (hubs and authorities) -algoritmi
Kurssin loppuosa Diskreettejä menetelmiä laajojen 0-1 datajoukkojen analyysiin Kattavat joukot ja niiden etsintä tasoittaisella algoritmilla Relevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa
Lisätiedotverkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
LisätiedotToispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
LisätiedotTIEDONHALLINTA - SYKSY Luento 10. Hannu Markkanen /10/12 Helsinki Metropolia University of Applied Sciences
TIEDONHALLINTA - SYKSY 2011 Kurssikoodi: Saapumisryhmä: Luento 10 TU00AA48-2002 TU10S1E Hannu Markkanen 14.-15.11.2011 9/10/12 Helsinki Metropolia University of Applied Sciences 1 SQL: Monen taulun kyselyt
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 10 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 10 Ke 14.2.2018 Timo Männikkö Luento 10 Algoritminen ongelmanratkaisu Suunnittelumenetelmät Raaka voima Järjestäminen eli lajittelu Kuplalajittelu Lisäyslajittelu Valintalajittelu Permutaatiot
Lisätiedotj n j a b a c a d b c c d m j b a c a d a c b d c c j
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos S-38.115 Liikenneteorian perusteet, Kevät 2008 Demonstraatiot Luento 12 29.2.2008 D12/1 Tarkastellaan verkkoa, jossa on solmua ja linkkiä.
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
Lisätiedot(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotPaikkatiedon hallinta ja analyysi
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon hallinta ja analyysi Antti Leino Marko Salmenkivi 15.3.29.4.2005
LisätiedotMatriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.
Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
LisätiedotPaikkatiedon käsittely 12. Yhteenveto
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon käsittely 12. Yhteenveto Antti Leino antti.leino@cs.helsinki.fi 22.2.2007 Tietojenkäsittelytieteen laitos Kurssin sisältö
LisätiedotAssosiaatiosäännöt ja niiden etsintä datasta
Assosiaatiosäännöt ja niiden etsintä datasta Wilhelmiina Hämäläinen 6. helmikuuta 2007 1 Mitä on tiedon louhinta? Tiedonlouhinnan (Data mining) tavoitteena on löytää kiinnostavia hahmoja datasta. hahmo=osittaismalli
LisätiedotMatematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotApprobatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
Lisätiedotkeskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a
LisätiedotRatkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).
Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)
Lisätiedotnäkökulma lähekkäisten vedenkokoumien nimeämiseen
näkökulma lähekkäisten vedenkokoumien nimeämiseen http://www.cs.helsinki.fi/u/leino/jutut/ktp-03/ leino@cs.helsinki.fi aleino@kotus.fi 13. toukokuuta 2003 Sivu 0 / 6 Maanmittauslaitoksen paikannimirekisteri
LisätiedotJohdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 62 Luku 2 Yhtenäisyys 2.1 Polku 2.2 Lyhin painotettu polku 2.3 Yhtenäinen graafi 2.4 Komponentti 2.5 Aste
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 9. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Transponointi Matriisitulo
Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Transponointi Matriisitulo Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotMatemaatiikan tukikurssi
Matemaatiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Funktiot Funktion määritelmä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotNäytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.
Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}
LisätiedotOrtogonaalinen ja ortonormaali kanta
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 1
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 2 ratkaisu
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2017-2018, Harjoitus 2 ratkaisu Harjoituksen aiheena on algoritmien oikeellisuus. Tehtävä 2.1 Kahvipurkkiongelma. Kahvipurkissa P on valkoisia ja mustia kahvipapuja,
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 4 Funktion raja-arvo 4. Määritelmä. Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: f) A < ε aina, kun 0 < a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 4 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 4 To 21.3.2019 Timo Männikkö Luento 4 Hajautus Yhteentörmäysten käsittely Avoin osoitteenmuodostus Hajautusfunktiot Puurakenteet Solmujen läpikäynti Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 4
LisätiedotEkvivalenssirelaatio. Määritelmä 2 Joukon A binäärinen relaatio R on ekvivalenssirelaatio, mikäli. Jos R on ekvivalenssirelaatio ja a A, niin joukkoa
Määritelmä 1 Olkoot x ja y joukon A alkioita. Jos R on jokin ominaisuus/ehto, joka määritellään yksikäsitteisesti joukon A kaikkien alkioiden välille siten, että se joko toteutuu tai ei toteudu alkioiden
Lisätiedot8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä
1 8 Joukoista Joukko on alkoidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukkooppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä tehdä
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 4 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 4 Ke 22.3.2017 Timo Männikkö Luento 4 Hajautus Yhteentörmäysten käsittely Avoin osoitteenmuodostus Hajautusfunktiot Puurakenteet Solmujen läpikäynti Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 4
LisätiedotParinmuodostuksesta tietojenkäsittelytieteen silmin. Petteri Kaski Tietojenkäsittelytieteen laitos Aalto-yliopisto
Parinmuodostuksesta tietojenkäsittelytieteen silmin Petteri Kaski Tietojenkäsittelytieteen laitos Aalto-yliopisto Suomalainen Tiedeakatemia Nuorten Akatemiaklubi 18.10.2010 Sisältö Mitä tietojenkäsittelytieteessä
LisätiedotHilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen
Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen
Lisätiedot1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa:
Tietorakenteet, laskuharjoitus 10, ratkaisuja 1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa: SamaLuku(T ) 2 for i = 1 to T.length 1 3 if T [i] == T [i + 1] 4 return True 5 return
LisätiedotAhvenlammen lähellä on yleensä Haukilampi
Ahvenlammen lähellä on yleensä Haukilampi näkökulma lähekkäisten vedenkokoumien nimeämiseen http://www.cs.helsinki.fi/u/leino/jutut/ktp-03/ Antti Leino leino@cs.helsinki.fi aleino@kotus.fi 13. toukokuuta
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
Lisätiedot9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia
9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä
LisätiedotAlgebralliset tietotyypit ym. TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005
Algebralliset tietotyypit ym. TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005 Tällä luennolla Algebralliset tietotyypit Hahmonsovitus (pattern matching) Primitiivirekursio Esimerkkinä binäärinen hakupuu Muistattehan...
LisätiedotAlgebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut
Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b
LisätiedotTehtävän V.1 ratkaisuehdotus Tietorakenteet, syksy 2003
Tehtävän V.1 ratkaisuehdotus Tietorakenteet, syksy 2003 Matti Nykänen 5. joulukuuta 2003 1 Satelliitit Muunnetaan luennoilla luonnosteltua toteutusta seuraavaksi: Korvataan puusolmun p kentät p. key ja
LisätiedotTietokantajärjestelmät spatiaalisen tiedon louhinnassa
Tietokantajärjestelmät spatiaalisen tiedon louhinnassa Mikko Valjento Helsinki 18. huhtikuuta 2003 Esitelmä, Spatiaalisen tiedon louhinnan seminaari HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
LisätiedotTarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.
Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen
LisätiedotTehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2
Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella
LisätiedotLaskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 8, ratkaisuja
582206 Laskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 8, ratkaisuja 1. Tarkastellaan yhteydetöntä kielioppia S SAB ε A aa a B bb ε Esitä merkkijonolle aa kaksi erilaista jäsennyspuuta ja kummallekin siitä vastaava
Lisätiedotv 8 v 9 v 5 C v 3 v 4
Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi
Lisätiedotf(n) = Ω(g(n)) jos ja vain jos g(n) = O(f(n))
Määritelmä: on O(g(n)), jos on olemassa vakioarvot n 0 > 0 ja c > 0 siten, että c g(n) kun n > n 0 O eli iso-o tai ordo ilmaisee asymptoottisen ylärajan resurssivaatimusten kasvun suuruusluokalle Samankaltaisia
LisätiedotTietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1
Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 2 Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Ari Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1. JOHDANTO 1.1 Määritelmiä
LisätiedotVasen johto S AB ab ab esittää jäsennyspuun kasvattamista vasemmalta alkaen:
Vasen johto S AB ab ab esittää jäsennyspuun kasvattamista vasemmalta alkaen: S A S B Samaan jäsennyspuuhun päästään myös johdolla S AB Ab ab: S A S B Yhteen jäsennyspuuhun liittyy aina tasan yksi vasen
LisätiedotT Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti , 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1
T-61.281 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti 10.2.2004, 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1 1. Lasketaan ensin tulokset sanaparille valkoinen, talo käsin: Frekvenssimenetelmä:
LisätiedotLuonnollisen päättelyn luotettavuus
Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä
LisätiedotKysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla?
7.7. Tasograafit Graafi voidaan piirtää mielivaltaisen monella tavalla. Graafin ominaisuudet voivat näkyä selkeästi jossain piirtämistavoissa, mutta ei toisessa. Eräs tärkeä graafiryhmä, pintagraafit,
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 9 Ti 7.2.2017 Timo Männikkö Luento 9 Graafit ja verkot Kaaritaulukko, bittimatriisi, pituusmatriisi Verkon lyhimmät polut Floydin menetelmä Lähtevien ja tulevien kaarien listat Forward
LisätiedotBM20A0700, Matematiikka KoTiB2
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin
LisätiedotGraafin 3-värittyvyyden tutkinta T Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005
Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T-79.165 Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005 Mikko Malinen, 36474R 29. maaliskuuta, 2005 Tiivistelmä Artikkelissa käydään läpi teoriaa, jonka avulla
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 6 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 6 To 28.3.2019 Timo Männikkö Luento 6 B-puun operaatiot Nelipuu Trie-rakenteet Standarditrie Pakattu trie Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 6 To 28.3.2019 2/30 B-puu 40 60 80 130 90 100
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 5. luento.2.27 Lineaarialgebraa - Miksi? Neuroverkon parametreihin liittyvät kaavat annetaan monesti
Lisätiedot4.3 Kehäkulma. Keskuskulma
4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta kurssin alkuosasta
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2017-2018 Kertausta kurssin alkuosasta II Perustietorakenteet Pino, jono ja listat tunnettava Osattava soveltaa rakenteita algoritmeissa Osattava päätellä operaatioiden
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotTietorakenteet, laskuharjoitus 7, ratkaisuja
Tietorakenteet, laskuharjoitus, ratkaisuja. Seuraava kuvasarja näyttää B + -puun muutokset lisäysten jälkeen. Avaimet ja 5 mahtuvat lehtisolmuihin, joten niiden lisäys ei muuta puun rakennetta. Avain 9
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja
LisätiedotGraafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria
Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:
LisätiedotMATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009
EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 6 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 6 Ke 29.3.2017 Timo Männikkö Luento 6 B-puun operaatiot B-puun muunnelmia Nelipuu Trie-rakenteet Standarditrie Pakattu trie Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 6 Ke 29.3.2017 2/31 B-puu
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 2 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 2 To 14.3.2019 Timo Männikkö Luento 2 Tietorakenteet Lineaarinen lista, binääripuu Prioriteettijono Kekorakenne Keko-operaatiot Keon toteutus taulukolla Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
LisätiedotValitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I.
Vaihto-ominaisuudella on seuraava intuition kannalta keskeinen seuraus: Olkoot A I ja B I samankokoisia riippumattomia joukkoja: A = B = m jollain m > 0. Olkoon vielä n = m A B, jolloin A B = B A = n.
LisätiedotReaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
LisätiedotT Luonnollisten kielten tilastollinen käsittely
T-61.281 Luonnollisten kielten tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti 11.2.2003, 16:15-18:00 Kollokaatiot, Versio 1.1 1. Lasketaan ensin tulokset sanaparille valkoinen, talo käsin: Frekvenssimenetelmä:
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 11 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 11 Ti 14.2.2017 Timo Männikkö Luento 11 Algoritminen ongelmanratkaisu Osittaminen Lomituslajittelu Lomituslajittelun vaativuus Rekursioyhtälöt Pikalajittelu Algoritmit 1 Kevät 2017
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 13 Ti 30.4.2019 Timo Männikkö Luento 13 Simuloitu jäähdytys Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Ositus ja rekursio Rekursion toteutus Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 13 Ti 30.4.2019
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 12 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 12 Ti 19.2.2019 Timo Männikkö Luento 12 Osittamisen tasapainoisuus Pikalajittelun vaativuus Lajittelumenetelmien vaativuus Laskentalajittelu Lokerolajittelu Kantalukulajittelu Algoritmit
LisätiedotVerkon värittämistä hajautetuilla algoritmeilla
Verkon värittämistä hajautetuilla algoritmeilla 5 12 30 19 72 34 Jukka Suomela 15 77 18 4 9. tammikuuta 2012 19 2 68 Verkko 2 Verkko solmu 3 Verkko solmu kaari 4 Hajautettu järjestelmä solmu (tietokone)
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
Lisätiedot1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI
1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI 1 1.1 Funktion optimointiin perustuvat klusterointialgoritmit Klusteroinnin onnistumista mittaavan funktion J optimointiin perustuvissa klusterointialgoritmeissä
LisätiedotHarjoitus 6 ( )
Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,
LisätiedotKönigsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )
Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,
Lisätiedot