Parinmuodostuksesta tietojenkäsittelytieteen silmin. Petteri Kaski Tietojenkäsittelytieteen laitos Aalto-yliopisto

Transkriptio

1 Parinmuodostuksesta tietojenkäsittelytieteen silmin Petteri Kaski Tietojenkäsittelytieteen laitos Aalto-yliopisto Suomalainen Tiedeakatemia Nuorten Akatemiaklubi

2 Sisältö Mitä tietojenkäsittelytieteessä (ja erityisesti algoritmiikassa) tutkitaan? Parinmuodostuksesta vakaat pariutukset (Gale & Shapley 1962) eräs esimerkki omasta työstä: lähes vakaat pariutukset paikallisen laskennan mallissa

3 Tietojenkäsittelytiede Mitä tehtäviä voidaan automatisoida?... ja miten tämä tehdään tehokkaasti?

4 Käytäntö Systemaattinen ratkaisumenetelmä (=algoritmi) 75 x Matemaattinen malli & laskentatehtävä m m 75 x 253 =?

5 Algoritmi: Systemaattinen ratkaisumenetelmä kaikille mahdollisille syötteille 5 x 9 =? 75 x 253 =? 981 x 584 =? x =? x

6 Kokonaislukujen kertolasku Peruskoulualgoritmi Ainekset: Allekkain yhteenlasku (algoritmi itsessään) Kertotaulu (opetellaan ulkoa) Ohjeet kuinka soveltaa edellisiä kokonaislukujen kertomiseksi (opetellaan ulkoa)

7 Tietojenkäsittelytiede Mitä tehtäviä voidaan automatisoida?... ja miten tämä tehdään tehokkaasti? Mitä tarkoitamme tehokkuudella?

8 Tehokkuus Kuinka paljon laskentaresursseja kuluu annetun tehtävän ratkaisuun (käytettäessä määrättyä algoritmia)? Resursseja Aika (kauanko ratkaisussa kestää?) Tila (paljonko muistia tarvitaan?) Energia (kuinka suuri sähkölasku?) Tiedonsiirto (montako bittiä siirretään?)... (montako lähetys/vastaanotto -kierrosta tarvitaan?)

9 Peruskoulu - kertolaskualgoritmin syöte koostuu n-numeroisista karkea analyysi Paljonko aikaa tarvitaan? (n funktiona) luvuista (tässä n=14) { }} { x

10 Paljonko aikaa tarvitaan? (n funktiona) ~ aika on karkeasti verrannollinen tarvittavaan ruutupaperipintaalaan ~ karkeasti n² ruutua syöte koostuu n-numeroisista luvuista (tässä n=14) { }} { x

11 Tietojenkäsittelytiede Mitä tehtäviä voidaan automatisoida?... ja miten tämä tehdään tehokkaasti? Voidaanko tehtävä ratkaista tehokkaammin?

12 Sisältö Mitä tietojenkäsittelytieteessä (ja erityisesti algoritmiikassa) tutkitaan? Parinmuodostuksesta vakaat pariutukset (Gale & Shapley 1962) esimerkki omasta työstä: lähes vakaat pariutukset paikallisen laskennan mallissa

13 Parinmuodostuksesta Käytännössä on usein tarvetta muodostaa pareja Esimerkkejä: Parisuhteet Työpaikat ja työntekijät Koulutuspaikat ja opiskelijat Ostajat ja myyjät...

14 Käytäntö Systemaattinen ratkaisumenetelmä (=algoritmi) Matemaattinen malli & laskentatehtävä

15 Työpaikat ja työntekijät Työntekijät hakevat työpaikkoja omien mieltymystensä mukaan (työn mielekkyys, palkka,...) Työnantajat täyttävät työpaikkoja omien mieltymystensä mukaan (hakijan pätevyys, koulutustausta,...) Tavoitteena on muodostaa vakaa joukko työsuhteita

16 Työpaikat ja työntekijät x a työpaikka y z b c työntekijä mahdollinen pari

17 Mieluisuusverkko x: a>b>c x a a: x>y>z y: c>b>a y b b: x>z>y z: b>c>a z c c: z>x>y Oletetaan, että a) kukin työntekijä on järjestänyt mahdolliset työpaikkansa b) kukin työpaikka on järjestänyt mahdolliset työntekijänsä mieluisuuden mukaan

18 Pariutus x: a>b>c x a a: x>y>z y: c>b>a y b b: x>z>y z: b>c>a z c c: z>x>y Pariutus on joukko erillisiä (mahdollisia) pareja

19 Rikkuriparit x: a>b>c x a a: x>y>z y: c>b>a y b b: x>z>y z: b>c>a z c c: z>x>y Mahdollinen pari on rikkuripari jos sen osapuolet ovat a) ilman paria, tai b) pitävät rikkuriparistaan nykyistä pariaan enemmän

20 Vakaa pariutus x: a>b>c x a a: x>y>z y: c>b>a y b b: x>z>y z: b>c>a z c c: z>x>y Pariutus on vakaa jos mikään mahdollinen pari ei ole rikkuripari

21 Laskentatehtävä: Etsi vakaa pariutus (tai totea ettei sellaista ole) x: a>b>c x a a: x>y>z y: c>b>a y b b: x>z>y z: b>c>a z c c: z>x>y

22 Käytäntö Systemaattinen ratkaisumenetelmä (=algoritmi) Matemaattinen malli & laskentatehtävä

23 Kosinta-algoritmi (Gale & Shapley 1962) A) Jokainen työntekijä 1) ei tee mitään jos hän on ehdolla työpaikkaan, tai 2) hakee mieluisinta paikkaa, josta häntä ei ole vielä hylätty (jos tällaisia löytyy) B) Jokainen työpaikka 1) ei tee mitään jos uusia hakemuksia ei saavu, tai 2) hylkää kaikki paitsi mieluisimman hakijan (mahdollinen ehdokas aiemmalta kierrokselta lasketaan hakijaksi), ja ilmoittaa mieluisimmalle hakijalle, että hän on ehdolla paikkaan Toistetaan A & B kunnes hylkäyksiä ei tule, jolloin ehdollisista työsuhteista tulee lopullisia

24 A) Työntekijät hakevat mieluisinta paikkaa x: a>b>c x a a: x>y>z y: c>b>a y b b: x>z>y z: b>c>a z c c: z>x>y

25 B) Työpaikat valitsevat mieluisimman hakijan x: a>b>c x EHDOLLA a a: x>y>z y: c>b>a y HYLKÄYS b: x>z>y b z: b>c>a z EHDOLLA c c: z>x>y

26 A) Työntekijät hakevat mieluisinta paikkaa x: a>b>c x EHDOLLA a a: x>y>z y: c>b>a y b b: x>z>y EHDOLLA z: b>c>a z c c: z>x>y

27 B) Työpaikat valitsevat mieluisimman hakijan x: a>b>c x EHDOLLA a a: x>y>z EHDOLLA y: c>b>a y b b: x>z>y z: b>c>a z HYLKÄYS c c: z>x>y

28 A) Työntekijät hakevat mieluisinta paikkaa x: a>b>c x EHDOLLA a a: x>y>z EHDOLLA y: c>b>a y b b: x>z>y z: b>c>a z c c: z>x>y

29 B) Työpaikat valitsevat mieluisimman hakijan x: a>b>c x EHDOLLA a a: x>y>z EHDOLLA y: c>b>a y b b: x>z>y z: b>c>a z HYLKÄYS c c: z>x>y

30 A) Työntekijät hakevat mieluisinta paikkaa x: a>b>c x EHDOLLA a a: x>y>z EHDOLLA y: c>b>a y b b: x>z>y z: b>c>a z c c: z>x>y

31 B) Työpaikat valitsevat mieluisimman hakijan x: a>b>c x EHDOLLA a a: x>y>z EHDOLLA y: c>b>a y b b: x>z>y EHDOLLA z: b>c>a z c c: z>x>y

32 Ei hylkäyksiä lopullinen pariutus x: a>b>c x a a: x>y>z y: c>b>a y b b: x>z>y z: b>c>a z c c: z>x>y

33 Algoritmi: Systemaattinen ratkaisumenetelmä kaikille mahdollisille syötteille

34 Havaintoja (1/2) Olkoon työpaikkoja ja työnhakijoita molempia n kappaletta Olkoon kullakin työpaikalla ja työntekijällä enintään d mahdollista paria Väite. Tällöin kosinta-algoritmi pysähtyy enintään n x d kierroksessa Perustelu: Jokaisella kierroksella ennen pysähtymistä hylätään ainakin yksi hakija Hylkäyksen saatuaan työntekijä ei enää hae kyseistä paikkaa

35 Havaintoja (2/2) Väite. Kosinta-algoritmi tuottaa vakaan pariutuksen Perustelu: Olk. XA mielivaltainen mahdollinen pari X A Jos A jää ilman paria, X on hylännyt A:n hakemuksen (mieluisamman ehdokkaan hyväksi), joten XA ei voi olla rikkuripari Olkoon siis A:n pari Y Jos A:Y>X, tällöin XA ei ole rikkuripari (A ei tahdo rikkoa) Y X A Olkoon siis A:X>Y, jolloin X on hylännyt A:n hakemuksen, ja siten XA ei voi olla rikkuripari

36 Yhteenveto (Gale & Shapley) Esitetyssä mallissa on siis aina olemassa ainakin yksi vakaa pariutus... joista yhden kosinta-algoritmi löytää enintään n x d kierroksessa n ~ työpaikkojen/työntekijöiden määrä d ~ yläraja kunkin työpaikan/työntekijän mahdollisille pareille

37 Käytäntö Systemaattinen ratkaisumenetelmä (=algoritmi) x a y b z c Matemaattinen malli & laskentatehtävä

38 Käytäntö Systemaattinen ratkaisumenetelmä (=algoritmi) x a y b z c Matemaattinen malli & laskentatehtävä

39 Käytännössä n voi olla hyvinkin suuri... parinmuodostukseen ei käytetä n x d kierrosta... eikä kurinalaisesti käytetä kosinta-algoritmia... rikkureita löytyy... mieltymykset muuttuvat...

40 Kysymys Entäpä jos käytämme jotakin muuta menettelyä onko ylipäätään mahdollista löytää vakaa pariutus merkittävästi alle n kierroksessa?... jos oletamme, että jokainen solmu (=työpaikka/ työntekijä) tuntee alussa vain omat mieltymyksensä ja mahdolliset parinsa (=solmun naapurit)... ja että kukin solmu joka kierroksella 1. vastaanottaa viestin jokaiselta naapuriltaan 2. suorittaa itsenäistä laskentaa 3. lähettää viestin jokaiselle naapurilleen

41 Havainto: Vakaat pariutukset ovat herkkiä pienille muutoksille mieltymyksissä

42 Viestintärajoitteiden vuoksi T kierroksessa voimme nähdä vain 2T mahdollisen parin päähän... näin ollen oikea laita ei näe vasenta laitaa kuin vasta likimain n kierroksen kuluttua A: B:

43 Havainto Rikkuriparit ovat siis (oletetussa mallissa) väistämättömiä ellemme käytä pariutuksen etsimiseen likimain n kierrosta Käytännössä rikkuripareja ei isoissakaan verkoissa kuitenkaan vaikuta olevan kovin paljon pystyisimmekö selittämään havaintoa (mallimme pohjalta)?

44 Kysymys Entäpä jos suoritamme kosinta-algoritmia vain T kierrosta, missä T on huomattavasti pienempi kuin n x d?... tällöin emme yleisesti ottaen löydä vakaata pariutusta... mutta kuinka nopeasti rikkuriparien lkm suhteessa ehdolla olevien parien lkm pienenee kun T kasvaa?... erityisesti, saadaanko tämä suhdeluku mielivaltaisen pieneksi riippumatta verkon solmujen määrästä? (ts. riippumatta n arvosta)

45 Väite. Tarkastellaan kaksijakoista mieltymysverkkoa, jossa on ainakin yksi mahdollinen pari. Tällöin kosinta-algoritmin kierroksen T =5, 6,... lopussa pätee R E 2d2 T 4, missä R on rikkuriparien lukumäärä, E on ehdolla olevien parien lukumäärä, ja d on yläraja kunkin solmun naapurien lukumäärälle.

46 Sisältö Mitä tietojenkäsittelytieteessä (ja erityisesti algoritmiikassa) tutkitaan? Parinmuodostuksesta vakaat pariutukset (Gale & Shapley 1962) eräs esimerkki omasta työstä: lähes vakaat pariutukset paikallisen laskennan mallissa

47 Kiitokset Patrik Floréen, Valentin Polishchuk, Jukka Suomela Suomen Akatemia, projektit , , (ALGODAN) Helsinki Graduate School in Computer Science & Engineering (Hecse) Nokian Säätiö Algorithms & Complexity Group / U. Glasgow