Paikkatiedon käsittely 12. Yhteenveto
|
|
- Tapani Melasniemi
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon käsittely 12. Yhteenveto Antti Leino Tietojenkäsittelytieteen laitos
2 Kurssin sisältö Tiedonhallinnan ja data-analyysin erityiskysymyksiä, kun käsiteltävä aineisto sisältää paikkaan liittyvää tietoa Paikkatiedon käsittely relaatiotietokannassa Relaatiomallin ja SQL-kielen laajennokset Paikkatiedon indeksointi tietokannassa Assosiaatio- ja yhteisesiintymäsääntöjen etsintä Suuren mittakaavan ilmiöt
3 Mitä paikkatieto on? Kaksi komponenttia Sijaintitieto Ominaisuustieto Erilaiset asteikot Erilaisia työkaluja Paikkatietojärjestelmä Paikkatietokanta
4 Paikkatiedon esittäminen Tilapohjainen esitys Ominaisuustieto liitetty suoraan (rasteri)avaruuden pisteisiin Maantieteellisesti jatkuva ominaisuustieto Erityisesti paikkatietojärjestelmien rasteritasoissa Oliopohjainen esitys Itsenäisiä olioita, joilla muoto, sijainti ja ominaisuuksia Operaatiot kohdistuvat olioihin Tietokantahenkinen lähestymistapa
5 Olioiden väliset suhteet Suuntasuhteet likimääräisiä laskennallisesti helppoja Etäisyyssuhteet tarkka etäisyys työläs laskea indeksirakenteet
6 Olioiden väliset suhteet Topologiset suhteet Määriteltävissä monikulmioiden reunan ( A, B) ja sisustan (A,B ) leikkausten avulla Erilliset Sivuavat Samat disjoint (A, B) touches (A, B) equals (A, B) Peittää Sisältää Leikkaavat contains (A, B) overlaps (A, B) within (B, A)
7 Tietokantasuunnittelun abstraktiotasot Käsitetaso Tietokannan käyttäjän näkökulma Tietokannan sisältö Rakennetaso Tietokannan ohjelmoijan näkökulma Tietokannan muoto Tallennustaso TKHJ:n ohjelmoijan näkökulma Tietokannan tehokas tallennus massamuistiin
8 Relaatiomalli Tieto esitetään relaatioina / tauluina sarakkeet / attribuutit rivit / monikot Relaatioalgebra yhdiste R S erotus R S ristitulo R S projektio π A1,...,A n (R) valinta σ ehto (R) leikkaus R S liitos R ehto S
9 Paikkatieto relaatiotietokannassa Paikkatieto-oliot Funktiot niiden käsittelyyn
10 Paikkafunktioita Perusasioita ulottuvuus / minimisuorakulmio / reuna tyhjä? / yksinkertainen? Topologiset suhteet Etäisyys Geometriset operaatiot leikkaus / yhdiste / erotus / symmetrinen erotus puskuri / konveksi verho Luokkakohtaiset ominaisuudet pisteen x- ja y-koordinaatti viivan pisteet, pituus alueen pinta-ala, keskipiste, reunat
11 SQL Kieli relaatiotietokannan tietosisällön määrittelyyn tietojen päivitykseen tietojen hakuun käyttäjien ja käyttöoikeuksien määrittelyyn Paikkatiedon käsittely suoraviivaista perus-sql:n lisäksi joukko funktioita, kuten edellä
12 Diskreettiä geometriaa: maailma Koko tarkasteltavan geometrian kuvaus äärellisresoluutioisen hilan avulla Laskennallisesti näppärä Suojaa laskentatarkkuuden rajallisuudelta Tietokantoihin vasta tulossa
13 Paikkatieto maailmassa Tietotyyppien toteuttaminen maailma-approksimaatiolla: tarvitaan 1. Hila ja sen geometriset primitiivit piste, jana 2. Hilaan määritelty maailma vaatimuksia: janojen päätepisteet maailman pisteitä, ei janojen sisäpisteitä, janat koskettavat korkeintaan päätepisteissään 3. Maailmaperusteiset rakenteet 2-ulotteiset kohteet: syklit, tahkot 1-ulotteiset: lohkot 4. Paikkatietotyypit määritellään pisteiden, lohkojen ja tahkojen avulla
14 Janan kuori Ongelma: sovitettava yhteen hilan äärellinen resoluutio ja janojen leikkauspisteet janan lähellä / janalla olevat pisteet Janan kuori: janalla sekä sitä lähinnä (ylä- tai alapuolella) olevat hilapisteet Aito kuori: kuori päätepisteet
15 Janan uudelleenpiirtäminen Jana voidaan piirtää uudelleen murtoviivaksi, mutta vain kuorensa sisällä Janojen leikkauspisteeksi valitaan lähin hilapiste janat piirretään uudelleen tämän kautta kulkeviksi murtoviivoiksi Janan kuoressa oleva maailman piste on janalla jana muutetaan tämän kautta kulkevaksi murtoviivaksi
16 Paikkatiedon indeksointi Päämäärä: tietokantahaun nopeuttaminen Tavanomaisen tietokannan ratkaisu: B-puu B-puun edellytyksenä täysin järjestetty arvoalue: on olemassa relaatio Paikkatiedolla näin ei ole
17 Paikkatiedon indeksointi Kaksi vaihtoehtoa Laaditaan paikkatiedolle 1-ulotteinen järjestys, joka voidaan indeksoida B-puuhun Tilan täyttävä käyrä: jatkuva käyrä, joka täyttää koko avaruuden Yleistetään B-puu sellaisen aineiston indeksointiin, joka ei ole täysin järjestetty R-puu, GiST-puu Tämä tyypillinen ratkaisu
18 Tilan täyttävät käyrät Hilbertin käyrä Z-käyrä Säilyttää etäisyyden melko hyvin Muunnos 2-ulotteisiin koordinaatteihin vaikea Muunnos 1- ja 2-ulotteisten koordinaattien välillä helppo Peräkkäiset käyrän pisteet voivat olla kaukana
19 R-puu
20 R-puu Tavoite: minimoitava todennäköisyys, että hakutilanteessa pitäisi tutkia molemmat alipuut Siksi minimoitava toisaalta solmujen suorakulmioiden yhteenlaskettu ala ja toisaalta niiden leikkauksen ala Tämän optimointi tärkeää solmujen halkaisussa Lisäysjärjestys vaikuttaa
21 R*-puu Erilainen halkaisualgoritmi Pakotettu uudelleenlisäys: ennen halkaisua poistetaan solmusta keskipisteestä kauimpana oleva 1 3 kohteista lisätään ne uudelleen puuhun Molemmat muutokset parantavat lopputuloksena saatavaa puuta Käytännössä vaikutus ei ole dramaattisen suuri, jos puuhun tehdään jatkuvasti muutoksia
22 GiST-puu Yleiskäyttöinen hakupuu: mm. B-puun toiminnallisuus R-puun toiminnallisuus Puun alemmalla tasolla ei tarvitse toistaa ylempänä olevia ehtoja Riittää, että ehto erottaa samasta solmusta haarautuvat alipuut toisistaan
23 Kyselyt indeksin avulla Indeksissä sijaintitiedon approksimaatio Indeksin osumista yleensä tarkistettava, täyttävätkö tarkan hakuehdon Topologiset kyselyt Etsitään indeksistä leikkaavat suorakulmiot Mahdollisesti käytettävä puskuria Suuntakyselyt Haetaan puusta solmut, joissa osumia voi olla Käydään läpi niiden alkiot Näissä askelissa voi olla hiukan eri ehdot
24 Naapuruuskyselyt Tehtävä: etsi kohteen k lähintä naapuria Hyödyllisiä mittoja: mindist(p, R): lyhin etäisyys pisteestä p suorakulmioon R minmaxdist(p, R): etäisyys, joka vähintään on p:stä kaukaisimpaan R:n sisältämän kohteen pisteeseen Näiden avulla mahdollista karsia tarkasteltavien alipuiden joukkoa
25 Paikkaliitokset Liitosoperaatio, jossa ehto liittyy sijaintitietoon Tyypillisesti leikkausehto R Rsijainti S sijainti S Ongelma: geometrisen leikkauksen epätyhjyys on vaikeampi testata kuin atomisten arvojen yhtäsuuruus Kaksiosainen operaatio Suodatus minimisuorakulmion perusteella Lopullinen valinta todellisen sijaintitiedon perusteella
26 Paikkatiedon louhinta Tiedon louhintaa Mielenkiintoisen uuden tiedon etsintää suurista tietoaineistoista Paikkatietoa Mukana sijaintitieto Nämä yhdessä Yhteisesiintymä- ja assosiaatiosääntöjä Autokorrelaatiota Suuren mittakaavan ilmiöitä
27 Erilaisia aineistoja Erilaisia tekniikoita erilaisille aineistoille Pisteaineistot Yksittäiset kohteet tarkastelumittakaavassa pieniä Kohteiden sijaintisuhteet kiinnostavia Jatkuvat aineistot Ilmiö jatkuva-arvoinen paikan suhteen Havainnot pistemäisiä Alueittaiset aineistot Ominaisuustieto joko liittyy suoraan alueeseen tai on luokiteltu alueellisesti
28 Spatiaalinen riippuvuus Lähekkäisten paikkojen havainnot yleensä samanlaisempia kuin kaukaisten paikkojen Tämmöinen spatiaalinen riippuvuus oikeastaan approksimaatio jostain ihan muusta Paljon taustamuuttujia, joita ei tunneta Monet näistä spatiaalisesti jatkuvia
29 Jako kahtia Ensimmäisen kertaluvun vaikutus: suuren mittakaavan ilmiöt Toisen kertaluvun vaikutus: läheisten paikkojen väliset riippuvuudet Näiden välinen raja on tutkijan päässä Eronteko analyysin jäsentämistä varten Rajan paikka riippuu tutkimuksen tavoitteista ja tarkastelumittakaavasta
30 R Tilasto-ohjelmisto Open Source Käytettävissä TKTL:n Linux-ympäristössä Kohtuullisen kattava valikoima kirjastopaketteja paikkatiedon tilastolliseen analyysiin Muitakin vaihtoehtoja silti tietysti on
31 Pistekohteet pienessä mittakaavassa Vertailukohta: Poisson-prosessi Vakiointensiteetti, tapahtumat riippumattomia Malli sille, miten käy jos ei spatiaalista korrelaatiota Kaksi peruslähestymistapaa Tarkastellaan kunkin kohteen etäisyyttä lähimpään naapuriinsa Tarkastellaan, mitä tapahtuu rajaetäisyyttä lähempänä kutakin pistettä
32 Lähimmän naapurin etäisyys F(h): tn, että etäisyys satunnaisesta paikasta lähimpään kuvion pisteeseen h G(h): tn, että etäisyys satunnaisesta kuvion pisteestä lähimpään naapuriin h Jos tapahtumat toisistaan riippumattomia, F(h) G(h)
33 K-funktio λk(h) = odotusarvo niiden pisteiden lukumäärälle, jotka ovat h-säteisen ympyrän sisällä satunnaisesti valitusta pisteestä Ryvästyminen etäisyydellä h: K(h) > πh 2
34 Naapurustoon osuvat pisteet Joukon B pisteiden frekvenssi säteellä r joukon A pisteestä koko alueella Assosiaatiosääntö A r B
35 Aluekohteet pienessä mittakaavassa Autokorrelaatio Moranin I-mitta Gearyn C-mitta Läheisyysmatriisi A B C D E F A B C D E F
36 Aluekohteiden yhteisesiintymät Transaktiopohjaisesta tiedon louhinnasta tuttuja menetelmiä Ilmiön frekvenssin sijasta sen esiintymisalueen pinta-ala suhteessa koko alueeseen Säännöllinen aluejako mahdollista tulkita suoraan transaktioiksi Yhteisesiintymäsääntöjä {A,B} esiintyy n % alueesta Assosiaatiosääntöjä A B varmuudella m %
37 Pistekohteet suuressa mittakaavassa Intensiteetti: pisteiden tiheyden raja-arvo paikan naapurustossa, jonka pinta-ala 0 Pisteiden lukumäärä tasakokoisissa ruuduissa Ydinestimaatti
38 Aluekohteet suuressa mittakaavassa Liukuva keskiarvo Esitetään kukin alue naapureidensa keskiarvona Ydinestimointi Muunnetaan alueaineisto pistekuvioksi Median Polish Muodoltaan säännöllisille alueille
39 Laajan muuttujajoukon yleiskuva Satoja / tuhansia teemakarttoja? Ei kiitos
40 Dimensioiden karsiminen Pääkomponenttianalyysi Ei-negatiivinen matriisin faktorointi Ryvästys
41 Kiitos
Paikkatiedon käsittely 6. Kyselyn käsittely
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon käsittely 6. Kyselyn käsittely Antti Leino antti.leino@cs.helsinki.fi 1.2.2007 Tietojenkäsittelytieteen laitos Kysely indeksin
LisätiedotPaikkatiedon käsittely 10. Aluekohteiden yhteisesiintymät
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon käsittely 10. Aluekohteiden yhteisesiintymät Antti Leino antti.leino@cs.helsinki.fi 15.2.2007 Tietojenkäsittelytieteen laitos
LisätiedotPaikkatiedon käsittely 4. Diskreettiä geometriaa
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon käsittely 4. Diskreettiä geometriaa Antti Leino antti.leino@cs.helsinki.fi 25.1.2007 Tietojenkäsittelytieteen laitos Laskentatarkkuuden
LisätiedotPaikkatiedon käsittely 2. Relaatiomallin paikkatietolaajennokset
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon käsittely 2. Relaatiomallin paikkatietolaajennokset Antti Leino antti.leino@cs.helsinki.fi 18.1.2007 Tietojenkäsittelytieteen
LisätiedotPaikkatiedon käsittely 11. Suuren mittakaavan
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon käsittely 11. Suuren mittakaavan ilmiöt Antti Leino antti.leino@cs.helsinki.fi 19.2.2007 Tietojenkäsittelytieteen laitos
LisätiedotPaikkatiedon käsittely
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon käsittely Antti Leino antti.leino@cs.helsinki.fi 15.1. 22.2.2007 Tietojenkäsittelytieteen laitos Yleiskuvaus Kurssilla käsitellään
LisätiedotPaikkatiedon hallinta ja analyysi
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon hallinta ja analyysi Antti Leino Marko Salmenkivi 15.3.29.4.2005
LisätiedotPaikkatiedon hallinta ja analyysi 2. Diskreettiä geometriaa
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon hallinta ja analyysi 2. Diskreettiä geometriaa Antti Leino 17. maaliskuuta 2005 Tietojenkäsittelytieteen
LisätiedotPaikkatiedon hallinta ja analyysi 5. Kyselyn käsittely
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon hallinta ja analyysi 5. Kyselyn käsittely Antti Leino 7. huhtikuuta 2005 Tietojenkäsittelytieteen
LisätiedotPaikkatiedon käsittely 5. Paikkatiedon indeksointi
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon käsittely 5. Paikkatiedon indeksointi Antti Leino antti.leino@cs.helsinki.fi 29.1.2007 Tietojenkäsittelytieteen laitos Mistä
LisätiedotPaikkatiedon hallinta ja analyysi 4. Paikkatiedon indeksointi
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon hallinta ja analyysi 4. Paikkatiedon indeksointi Antti Leino 29. maaliskuuta 2005 Tietojenkäsittelytieteen
LisätiedotPaikkatiedon hallinta ja analyysi 3. Paikkatietomallit ja kyselyt
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon hallinta ja analyysi 3. Paikkatietomallit ja kyselyt Antti Leino 21. maaliskuuta 2005 Tietojenkäsittelytieteen
LisätiedotPaikkatiedon hallinta ja analyysi 4. Paikkatiedon indeksointi (jatkoa)
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon hallinta ja analyysi 4. Paikkatiedon indeksointi (jatkoa) Antti Leino 4. huhtikuuta 2005 Tietojenkäsittelytieteen
LisätiedotRelaatiotietokantojen perusteista. Harri Laine Helsingin yliopisto
Harri Laine Helsingin yliopisto Suosion syy? Yksinkertaisuus vähän käsitteitä helppo hahmottaa Selkeä matemaattinen perusta ei tulkintaongelmia kuten esim. UML:ssä teoria käytäntö kaavio: R(A 1 :D 1, A
LisätiedotPaikkatiedon käsittely 8. Spatiaalinen riippuvuus
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon käsittely 8. Spatiaalinen riippuvuus Antti Leino antti.leino@cs.helsinki.fi 8.2.2007 Tietojenkäsittelytieteen laitos Mistä
LisätiedotDatatähti 2019 loppu
Datatähti 2019 loppu task type time limit memory limit A Summa standard 1.00 s 512 MB B Bittijono standard 1.00 s 512 MB C Auringonlasku standard 1.00 s 512 MB D Binääripuu standard 1.00 s 512 MB E Funktio
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 6 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 6 Ke 29.3.2017 Timo Männikkö Luento 6 B-puun operaatiot B-puun muunnelmia Nelipuu Trie-rakenteet Standarditrie Pakattu trie Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 6 Ke 29.3.2017 2/31 B-puu
LisätiedotMitä murteita Suomessa onkaan?
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Mitä murteita Suomessa onkaan? Antti Leino antti.leino@cs.helsinki.fi 9. syyskuuta 2006 Tietojenkäsittelytieteen laitos Kotimaisten kielten
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 6 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 6 To 28.3.2019 Timo Männikkö Luento 6 B-puun operaatiot Nelipuu Trie-rakenteet Standarditrie Pakattu trie Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 6 To 28.3.2019 2/30 B-puu 40 60 80 130 90 100
Lisätiedot58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 6, ratkaisuja (Antti Laaksonen)
58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 6, ratkaisuja (Antti Laaksonen) 1. Avaimet 1, 2, 3 ja 4 mahtuvat samaan lehtisolmuun. Tässä tapauksessa puussa on vain yksi solmu, joka on samaan aikaan juurisolmu
LisätiedotENY-C2005 Geoinformation in Environmental Modelling Suomenkielistä terminologiaa liittyen luentoihin 3 ja 6-8
ENY-C2005 Geoinformation in Environmental Modelling 2016 Suomenkielistä terminologiaa liittyen luentoihin 3 ja 6-8 L-3 Mallinnus: käsitteistä tietomalleihin Geoinformaatio, paikkatieto: Sijainti + ominaisuudet
LisätiedotGEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita
GEOMETRI M3 Geometrian perusobjekteja ja suureita Piste ja suora: Piste, suora ja taso ovat geometrian peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Voidaan ajatella, että kaikki geometriset kuviot koostuvat pisteistä.
LisätiedotKyselyt: Lähtökohtana joukko lukuja Laskukaava kertoo miten luvuista lasketaan tulos soveltamalla laskentaoperaatioita
Relaatioalgebra Relaatiomalliin liittyy malli tietokannan käsittelystä Tietokannasta pitää pystyä hakemaan tietoa ja toisaalta tietokantaa on ylläpidettävä Tietokannan käsittelyn malli relaatioalgebra
Lisätiedot! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.
9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotD B. Tietokannan hallinta kertaus
TKHJ:n pääkomponentit metadata TKHJ:ssä Tiedostojen käsittely puskurien rooli tiedostokäsittelyssä levymuistin rakenne ja käsittely mistä tekijöistä hakuaika muodostuu jonotus jos useita samanaikaisia
LisätiedotPN-puu. Helsinki Seminaari: Tietokannat nyt HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
PN-puu Erno Härkönen Helsinki 24.10.2006 Seminaari: Tietokannat nyt HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto
LisätiedotHelsingin yliopisto/tktl Kyselykielet, s 2006 Optimointi Harri Laine 1. Kyselyn optimointi. Kyselyn optimointi
Miksi optimoidaan Relaatiotietokannan kyselyt esitetään käytännössä SQLkielellä. Kieli määrittää halutun tuloksen, ei sitä miten tulos muodostetaan (deklaratiivinen kyselykieli) Tietokannan käsittelyoperaatiot
LisätiedotProjektinhallintaa paikkatiedon avulla
Projektinhallintaa paikkatiedon avulla Tampereen Teknillinen Yliopisto / Porin laitos Teemu Kumpumäki teemu.kumpumaki@tut.fi 25.6.2015 1 Paikkatieto ja projektinhallinta Paikkatiedon käyttäminen projektinhallinnassa
LisätiedotRelaatioalgebra. Kyselyt:
Relaatioalgebra Relaatiomalliin liittyy malli tietokannan käsittelystä Tietokannasta pitää pystyä hakemaan tietoa ja toisaalta tietokantaa on ylläpidettävä Tietokannan käsittelyn malli relaatioalgebra
Lisätiedot10. Esitys ja kuvaus
10. Esitys ja kuvaus Kun kuva on ensin segmentoitu alueisiin edellisen luvun menetelmin, segmentoidut pikselit kootaan esittämään ja kuvaamaan kohteita muodossa, joka sopii hyvin jatkokäsittelyä varten.
LisätiedotTehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2
Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella
LisätiedotLuku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä
Luku 7 Verkkoalgoritmit Verkot soveltuvat monenlaisten ohjelmointiongelmien mallintamiseen. Tyypillinen esimerkki verkosta on tieverkosto, jonka rakenne muistuttaa luonnostaan verkkoa. Joskus taas verkko
LisätiedotYmpyrän yhtälö
Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas JAKAUMAN MUOTO Vinous, skew (g 1, γ 1 ) Kertoo jakauman symmetrisyydestä Vertailuarvona on nolla, joka vastaa symmetristä jakaumaa (mm. normaalijakauma)
LisätiedotTietokannan hallinta. Kevät 2004 Jan Lindström R&G Chapter 1
Tietokannan hallinta Kevät 2004 Jan Lindström R&G Chapter 1 Tietokannan hallinta 1. Johdanto (käsitteitä) 2. Tietokannan talletusrakenteet 3. Tietokannan hakemistorakenteet 4. Kyselyiden käsittely ja optimointi
LisätiedotMonikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio
Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.
LisätiedotRelaatioalgebra. Relaatioalgebra. Relaatioalgebra. Relaatioalgebra - erotus (set difference) Kyselyt:
Relaatiomalliin liittyy malli tietokannan käsittelystä Tietokannasta pitää pystyä hakemaan tietoa ja toisaalta tietokantaa on ylläpidettävä Tietokannan käsittelyn malli relaatioalgebra määrittelee operaatiot,
LisätiedotTIEDONHALLINTA - SYKSY Luento 10. Hannu Markkanen /10/12 Helsinki Metropolia University of Applied Sciences
TIEDONHALLINTA - SYKSY 2011 Kurssikoodi: Saapumisryhmä: Luento 10 TU00AA48-2002 TU10S1E Hannu Markkanen 14.-15.11.2011 9/10/12 Helsinki Metropolia University of Applied Sciences 1 SQL: Monen taulun kyselyt
Lisätiedotverkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
LisätiedotTietorakenteet, laskuharjoitus 7, ratkaisuja
Tietorakenteet, laskuharjoitus, ratkaisuja. Seuraava kuvasarja näyttää B + -puun muutokset lisäysten jälkeen. Avaimet ja 5 mahtuvat lehtisolmuihin, joten niiden lisäys ei muuta puun rakennetta. Avain 9
LisätiedotTampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)
Lisätiedot= = = 1 3.
9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala
LisätiedotValitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.
Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotRelevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa Linkkikeskukset ja auktoriteetit (hubs and authorities) -algoritmi
Kurssin loppuosa Diskreettejä menetelmiä laajojen 0-1 datajoukkojen analyysiin Kattavat joukot ja niiden etsintä tasoittaisella algoritmilla Relevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 2 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 2 To 14.3.2019 Timo Männikkö Luento 2 Tietorakenteet Lineaarinen lista, binääripuu Prioriteettijono Kekorakenne Keko-operaatiot Keon toteutus taulukolla Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos K:n lähimmän naapurin menetelmä (K-Nearest neighbours) Tarkastellaan aluksi pientä (n = 9) kurjenmiekka-aineistoa, joka on seuraava:
LisätiedotOpettajana Mika Sorsa, mika.sorsa@koudata.fi, HAMK:n ammatillisen opettajakoulutuksen opetusharjoittelija
Opettajana Mika Sorsa, mika.sorsa@koudata.fi, HAMK:n ammatillisen opettajakoulutuksen opetusharjoittelija Opintojaksolla: keskitytään relaatiotietokantojen teoriaan ja toimintaan SQL-kieli kyselykielenä
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotMäärätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio
Määrätty integraali Markus Helén Pinta-ala Monikulmio on tasokuvio, jota rajoittaa suljettu, itseään leikkaamaton murtoviiva. Monikulmio voidaan aina jakaa kolmioiksi. Alueen pinta-ala on näiden kolmioiden
LisätiedotOhjelmistojen mallintamisen ja tietokantojen perusteiden yhteys
Ohjelmistojen mallintamisen ja tietokantojen perusteiden yhteys Tällä kurssilla on tutustuttu ohjelmistojen mallintamiseen oliomenetelmiä ja UML:ää käyttäen Samaan aikaan järjestetyllä kurssilla on käsitelty
LisätiedotTasokuvioita. Monikulmio: Umpinainen eli suljettu, itseään leikkaamaton murtoviivan rajaama tason osa on monikulmio. B
Tasokuvioita GOMTRI M3 Murtoviiva: Sanotaan, että kaksi janaa on liitetty toisiinsa, jos niiden toinen päätypiste on sama. Peräkkäin toisiinsa liitettyjen janojen muodostamaa viivaa kutsutaan murtoviivaksi,
LisätiedotT-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011
T-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011 Vastaa kolmeen tehtävistä 1-4 ja tehtävään 5. 1. Selitä lyhyesti mitä seuraavat termit tarkoittavat tai minkä ongelman algoritmi ratkaisee
LisätiedotMATEMATIIKKA JA TAIDE I
1 MATEMATIIKKA JA TAIDE I Tehtävät sopivat peruskoulun alaluokille. Ne on koostettu Matematiikkalehti Solmun Matematiikkadiplomeista I VI. Sivunumerot viittaavat näiden diplomitehtävien sivuihin. Aihepiirejä:
LisätiedotJokaisella tiedostolla on otsake (header), joka sisältää tiedostoon liittyvää hallintatietoa
Tietojen tallennusrakenteet Jokaisella tiedostolla on otsake (header), joka sisältää tiedostoon liittyvää hallintatietoa tiedot tiedostoon kuuluvista lohkoista esim. taulukkona, joka voi muodostua ketjutetuista
LisätiedotInjektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.
Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.
LisätiedotLuento 6: Tulostusprimitiivien toteutus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 6: Tulostusprimitiivien toteutus Lauri Savioja 11/07 Primitiivien toteutus / 1 ntialiasointi Fill-algoritmit Point-in-polygon Sisältö Primitiivien toteutus
LisätiedotI Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien
I Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien Koko geometrian voidaan ajatella koostuvan pisteistä. a) Matemaattinen piste on sellainen, millä EI OLE LAINKAAN ULOTTUVUUKSIA. Oppilaita voi johdatella pisteen
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 8 Ke 1.2.2017 Timo Männikkö Luento 8 Järjestetty binääripuu Solmujen läpikäynti Binääripuun korkeus Binääripuun tasapainottaminen Graafit ja verkot Verkon lyhimmät polut Fordin ja Fulkersonin
LisätiedotLuento 2: Tulostusprimitiivit
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento : Tulostusprimitiivit Lauri Savioja 11/06 D primitiivit / 1 Sisältö Mallintamisen alkeita Perusprimitiivit (GKS) attribuutteineen Näyttömuisti D primitiivit
LisätiedotYhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi
Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei
LisätiedotMAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5
LisätiedotCSE-A1200 Tietokannat
CSE-A1200 Tietokannat 23.2.2016 CSE-A1200 Tietokannat 23.2.2016 1 / 36 Oppimistavoitteet: tämän luennon jälkeen Tunnet SQL:n perusteet ja osaat tehdä yksinkertaisia SQL-kyselyitä, esimerkiksi hakea relaatiosta
LisätiedotTIETOKANNAT JOHDANTO
TIETOKANNAT JOHDANTO JOUNI HUOTARI & ARI HOVI 2000-2011 Tieto TAUSTAA Yritykselle tiedot ovat tärkeä resurssi päätöksenteon tukena (JIT) varastointi ja käyttö vaativat investointeja vrt. energia (lähde,
Lisätiedot1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
Lisätiedot1. Lineaarinen optimointi
0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on
LisätiedotLieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa
Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen
LisätiedotHelsingin yliopisto, Tietojenkäsittelytieteen laitos Tietokantojen perusteet, , H.Laine
Helsingin yliopisto, Tietojenkäsittelytieteen laitos Tietokantojen perusteet, 3.5.2007, H.Laine Kirjoita kuhunkin erilliseen vastauspaperiin kurssin nimi, oma nimesi, syntymäaikasi ja nimikirjoituksesi
LisätiedotHelsingin yliopisto/ tktl DO Tietokantojen perusteet, s 2000 Relaatioalgebra 14.9.2000. Harri Laine 1. Relaatioalgebra
DO NOT PRINT THIS DOCUMENT operaatiot, joilla relaatioista voidaan muodostaa uusia relaatioita joukko opin perusoperaatiot yhdiste, erotus, ristitulo, leikkaus erityisiä relaatioalgebran operaatioita projektio,
LisätiedotMATEMATIIKKA JA TAIDE II
1 MATEMATIIKKA JA TAIDE II Aihepiirejä: Hienomotoriikkaa harjoittavia kaksi- ja kolmiulotteisia väritys-, piirtämis- ja askartelutehtäviä, myös sellaisia, joissa kuvio jatkuu loputtomasti, ja sellaisia,
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
Lisätiedot8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä
1 8 Joukoista Joukko on alkoidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukkooppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä tehdä
LisätiedotTietokantojen suunnittelu, relaatiokantojen perusteita
Tietokantojen suunnittelu, relaatiokantojen perusteita A277, Tietokannat Teemu Saarelainen teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Leon Atkinson: core MySQL Ari Hovi: SQL-opas TTY:n tietokantojen perusteet-kurssin
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotKenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)
Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta
Lisätiedotx 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)
MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon
LisätiedotPaikkatietojärjestelmät
Paikkatietojärjestelmät Engl. GIS, Geographical Information Systems. Paikkatieto on tietoa, johon liittyy maantieteellinen sijainti (koordinaatit). Paikkatieto esitetään taulukkona jossa on kunkin sijainnin
LisätiedotYmpyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora
Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen
LisätiedotMatematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
Lisätiedotyleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
Lisätiedotv 1 v 2 v 3 v 4 d lapsisolmua d 1 avainta lapsen v i alipuun avaimet k i 1 ja k i k 0 =, k d = Sisäsolmuissa vähint. yksi avain vähint.
Yleiset hakupuut 4 Monitiehakupuu: Binäärihakupuu 0 1 3 5 6 7 8 v k 1 k k 3 v v 3 v 4 k 1 k 3 k 1 k k k 3 d lapsisolmua d 1 avainta Yleinen hakupuu? Tietorakenteet, syksy 007 1 Esimerkki monitiehakupuusta
Lisätiedot(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 7 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 7 Ti 31.1.2017 Timo Männikkö Luento 7 Järjestetty binääripuu Binääripuiden termejä Binääripuiden operaatiot Solmun haku, lisäys, poisto Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 7 Ti 31.1.2017
LisätiedotFoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia. Pertti Palo. 30.
FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia Pertti Palo 30. marraskuuta 2012 Saatteeksi Näiden vastausten ei ole tarkoitus olla malleja vaan esimerkkejä.
LisätiedotLaudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
Lisätiedot0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 7 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 7 Ti 4.4.2017 Timo Männikkö Luento 7 Joukot Joukko-operaatioita Joukkojen esitystapoja Alkiovieraat osajoukot Toteutus puurakenteena Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 7 Ti 4.4.2017 2/26
LisätiedotHilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen
Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen
LisätiedotHELIA 1 (17) Outi Virkki Tiedonhallinta
HELIA 1 (17) Luento 4.1 Looginen suunnittelu... 2 Relaatiomalli... 3 Peruskäsitteet... 4 Relaatio... 6 Relaatiokaava (Relation schema)... 6 Attribuutti ja arvojoukko... 7 Monikko... 8 Avaimet... 10 Avain
Lisätiedotmassa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5
A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.
Lisätiedot5 Rationaalifunktion kulku
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja
LisätiedotDihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013
Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
Lisätiedot