Assosiaatiosäännöt ja niiden etsintä datasta
|
|
- Inkeri Lehtonen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Assosiaatiosäännöt ja niiden etsintä datasta Wilhelmiina Hämäläinen 6. helmikuuta Mitä on tiedon louhinta? Tiedonlouhinnan (Data mining) tavoitteena on löytää kiinnostavia hahmoja datasta. hahmo=osittaismalli (kuvaa vain osan datasta) vs. (globaali) malli=kuvaa koko dataa esim. Useimmat opiskelijat, jotka ovat hyviä Tietorakenteissa, ovat hyviä myös Laskennateoriassa. Ei kerro mitään opiskelijoista, jotka huonoja Tietorakenteissa. Juuret tilastotieteessä (erit. Exploratory data analysis) ja koneoppimisessa (Machine learning). Menetelmiä algoritmiikasta ja tietokannoista. Nykyisin alan asiantuntijat puhuvat mieluummin tietämyksen muodostuksesta (Knowledge discovery, KDD), joka on laajempi prosessi: 1. Understanding domain 2. Preprocessing data 3. Discovering patterns 4. Postprocessing results 5. Application (3. askel = varsinainen data mining) 1
2 Data mining vs. Machine learning Klassisia eroja: Data mining Machine learning Oletus: Data ensisijaista, ei sisällä Data on allaolevan mallin välttämättä mitään tuottamaa rakennetta Tavoite: Löytää kaikki kiinnostavat Oppia yksi malli, jolla voidaan hahmot, jotka kuvaavat dataa ennustaa tulevaisuuden tapahtumia Mallit: Yksinkertaisia malleja tai Melko monimutkaisia, globaaleja paikallisia hahmoja malleja Korostus: Koko KDD prosessi Vain oppimisaskel Datan alkuperä: Usein jonkun toisen projektin Valittu kyseistä tehtävää sivutuotteena varten (opetusjoukko) Datan määrä: Valtavan suuria, jopa miljoonia Vain satoja tai tuhansia rivejä. rivejä Nykyisin raja hämärtynyt! Käyttävät samoja mallinnusparadigmoja, mutta eri tavoite: DM: datan kuvaus, uuden informaation löytyminen ML: globaalin mallin oppiminen ennustustarkoituksiin Ennemmin kannattaisi puhua deskriptiivisestä ja prediktiivisestä mallinnuksesta! 2
3 2 Notaatiot A Attribuutin eli muuttujan nimi Dom(A) Attribuutin arvoalue. Esim. Dom(A 1 ) = {0, 1}. A i = a i Attribuutin arvo R = {A 1,..., A k } Relaatioskeema kertoo attribuuttien nimet. Näihin liittyvät arvoalueet Dom(A 1 ),..., Dom(A k ). t = [t(a 1 ), t(a 2 ),..., t(a k )] Monikko eli rivi, joka kiinnittää attribuuttien arvot. t(a i ) = a i Attribuutin A i arvo monikossa t. r = {t 1,..., t n } Relaatio, joukko rivejä skeeman R mukaan. r Dom(A 1 )... Dom(A k ). r = n Relaation koko, sen rivien lukumäärä. m(a i = a i ) Rivien lukumäärä, joilla A i = a i. Ts. (A i = a i ):n absoluuttinen frekvenssi. P (A i = a i ) = m(a i=a i ) (A n i = a i ):n suhteellinen frekvenssi relaatiossa, sen estimoitu todennäköisyys. Huom! Assosiaatiosäännöissä tarkastelemme usein attribuuttijoukkoa X R, X = {A i1, A i2,...a il }, l k. A i1 = a i1,..., A il = a vastaa loogista konjunktiolauseketta, jossa kukin A ij = a ij on propositio (pilkku vastaa konjunktiota ). Nyt m(a i1 = a i1,..., A il = a il ) = {t r t(a i1 ) = a i1... t(a il ) = a il }. Huom.2: Jos kaikki attribuutit ovat binaarisia ts. Dom(A i ) = {0, 1} i = 1,..., k, voimme käyttää loogisia merkintöjä A (A = 1) ja A (A = 0). 3 Assosiaatiosäännöt Muotoa Asiakkaat, jotka ostavat olutta ja makkaraa, ostavat yleensä myös sinappia olevia osittaisriippuvuuksia. Alkujaan [AIS93], hyvä esitys [Toi96] Määritelmä 1 (Assosiaatiosääntö) Olkoon R joukko kategorisia muuttujia ja r R:n mukainen relaatio. Olkoon X = {X 1,..., X l } R ja Y R, Y / X. Merkitään arvokombinaatiota (X 1 = x 1 ),..., (X l = x l ), x i Dom(X i ), X = x:llä. Tällöin säännön (X = x) (Y = y) kondenssi on cf(x = x Y = y) = P (X = x, Y = y) P (X = x) 3 = P (Y = y X = x)
4 ja sen frekvenssi on fr(x = x Y = y) = P (X = x, Y = y). Annettuna raja-arvot min cf, min fr [0, 1], sääntö (X = x) (Y = y) on assosiaatiosääntö r:ssä, jos (i) cf(x = x Y = y) min cf, ja (ii) fr(x = x Y = y) min fr. Ehto (i) edellyttää, että sääntö on tarpeeksi vahva ja ehto (ii), että se on tarpeeksi yleinen. Huom! Kun kaikki attribuutit ovat binäärisiä eikä olla kiinnostuneita attribuuttien negaatioita, merkitään sääntöä (X 1 = 1, X 2 = 1,..., X l = 1) Y = 1 usein lyhyesti X 1 X 2... X l Y. Esimerkki 1 Olkoon TKTL:n kurssisuoritustietokannassa 1000 opiskelijaa. Löydämme assosiaatiosäännön 90% opiskelijoista, jotka ovat suorittaneet Tiedonlouhinta-kurssin, on suorittanut myös Opetusteknologia-kurssin. Säännön kondenssi on siis Jos vain 10 oppilasta 1000:sta on suorittanut Tiedonlouhinta-kurssin, on 9 suorittanut Opetusteknologia-kurssin ja sääntö hyvin harvinainen (frekvenssillä 9/1000 = 0.009). Jos sen sijaan 600 oppilasta on suorittanut Tiedonlouhintakurssin, on 540 oppilasta suorittanut myös Opetusteknologia-kurssin, mikä on jo merkittävä havainto (frekvenssillä 540/1000 = 0.54). Täytyy siis huomioida sekä säännön yleisyys (frekvenssi) että voimakkuus (kondenssi)! Huom.2! Tietokantojen yhteydessä puhutaan usein funktionaalisista riippuvuuksista, joita merkitään samaan tapaan X Y. Funktionaalinen riippuvuus merkitsee kuitenkin eri asiaa: X Y on funktionaalinen riippuvuus relaatiossa r jos ja vain jos t 1 [Y ] = t 2 [Y ] kaikilla t 1, t 2 r, joilla t 1 [X] = t 2 [X]. Riippuvuus pätee kaikkien X:n ja Y :n arvojen välillä. Riippuvuutta vastaa siis joukko assosiaatiosääntöjä! (Jos X = 1, Y = 1 ja X ja Y binäärisiä, niin kaksi sääntöä: X = 0 Y = y 1 ja X = 1 Y = y 2, missä y 1, y 2 {0, 1}.) Kunkin säännön kondenssi on aina cf = 1, mutta frekvenssistä ei olla kiinnostuneita. 4
5 4 Sovelluksia 4.1 Ostoskoridatan analyysi Assosiaatiosääntöjen tunnetuin sovellus on asiakkaiden ostotottumusten analysointi ostoskoridatasta. Tulosten perusteella kauppias voi esim. päättää, miten tuotteet kannattaa sijoitella kaupassa. Ostoskoridatan attribuutit A 1,..., A k ovat tuotenimiä. Koska tuotteita on valtavasti, voi k olla useita tuhansia. Kukin A i on binaarinen: tuote joko esiintyy ostoskorissa tai ei esiinny. Relaation rivit vastaavat ostoskoreja (kokoelma tuotteita, jotka on maksettu kassalla). Data on hyvin harvaa! Usein alle 5% ostoskorin attribuuteista on 1-arvoisia. Tavallisesti tutkitaan vain korissa esiintyviä tuotteita, ei niistä puuttuvia (joita on valtavasti!) Samaan tapaan voi analysoida esim. opintosuoritusrekisteristä kurssien välisisä osittaisriippuvuuksia ( suositukset, missä järjestyksessä suorittaa kursseja) tai etsiä tekstistä yhdessä esiintyviä sanoja (kukin lause vastaa riviä ja sana attribuuttia). Huom! Omissa kokeiluissasi voit käyttää esim. weka-ohjelmaa [Wek]. 4.2 Assosiaatiosäännöt luokittelun apuna Luokittelusääntö on assosiaatiosääntö X = x C = c, missä C on luokkamuuttuja. Esimerkki 2 Mushroom-datajoukossa [NHBM98] jokainen sieni on luokiteltu joko syötäväksi (edible) tai myrkylliseksi (poisonous). Muut attribuutit kuvaavat mm. sienen hatun muotoa, pintaa ja väriä, varren muotoa, renkaiden lukumäärää jne. Joukosta löytyvät mm. seuraavat luokittelusäännöt: Odor=none,Gill-size=broad,Stalk-shape=tapering Edible f r = 0.31, cf = 1.00 Odor=none,Gill-size=broad,Stalk-surface-above-ring=smooth Edible f r = 0.33, cf =
6 Bruises=false,Population=several Poisonous f r = 0.31, cf = 0.92 Luokittelussa käytettävä päätöspuu (decision tree on vanhempi keksintö (ks. esim. [Mit97][52-80], [HMS02][ ]), mutta voidaan kuvata joukkona assosiaatiosääntöjä. Esimerkki 3 Ohjelmointi1-kurssin harjoitustehtävät on jaettu kolmeen ryhmään: A=Ohjelmoinnin perusrakenteet B=Silmukat ja taulukot C=Appletit Kussakin ryhmässä opiskelija on saanut joko vähän (little) tai paljon (lot) pisteitä. Näiden perusteella on pyritty ennustamaan kurssin lopputulokset F R1 {0, 1} ts. läpäiseekö opiskelija kurssin. B lot little FR1=1 little A lot FR1=0 little C lot FR1=0 FR1=1 Rule Freq. Conf. B = lot F R1 = 1 73/125= B = little A = little F R1 = 0 12/125= B = little A = lot C = little F R1 = 0 18/125= B = little A = lot C = lot F R1 = 1 2/125= Huom! Päätöspuu on globaali malli! Ei voida aettaa minimifrekvenssiä, sillä katettava kaikki mahdolliset tapaukset. 6
7 Päätöspuun oppimiseen omat algoritmit (esim. C4.5 [Qui93]). Varoitus: Päätöspuut tuottavat epäluotettavia tuloksia, ellei mallia ole opittu tarpeeksi suuresta datajoukosta (useita tuhansia rivejä, riippuen attribuuttien lkm:stä ja arvoalueiden koosta). Monia päätöspuun hyvyysmittoja sovellettu assosiaatiosääntöjen kiinnostavuuden arviointiin. Huom! Assosiaatiosääntöjä voi käyttää apuna myös Bayes-verkon rakenteen määrittelyssä tai niiden avulla voi suorittaa suoraan luokittelua (huomioiden myös frekvenssit) [LHM98]. 4.3 Kokonaistodennäköisyysjakauman johtaminen Säännöllisistä joukoista voi johtaa datan kokonaistodennäköisyysjakauman. Idea [PMS00]: 1. säännölliset joukot muodostavat joukon eheysehtoja 2. käydään läpi kaikki yhteensopivat kokonaistodennäköisyysjakaumat ja valitaan se, jolla maksimientropia Raskas algoritmi! Toimii vain, kun attribuuttien lukumäärä suhteellisen pieni. 5 Assosiaatiosääntöjen etsintä Tavallisesti assosiaatiosäännöt etsitään kahdessa vaiheessa 1 : 1. Etsitään kaikki säännölliset joukot (frequent sets) X = x, X R, joilla fr(x = x) min fr. 2. Käydään läpi kaikki säännölliset joukot X = x ja testataan kaikilla (X i = x i ) ( X i X, x i Dom(X i )), onko cf((x 1 = x 1 ),..., (X i 1 = x i 1 ), (X i+1 = x i+1 ),..., (X l = x l ) (X i = x i )) min cf. 1Muistutus: attribuuttien arvokombinaatiota X 1 = x 1,..., X l = x l merkittiin X = x:lla 7
8 5.1 Apriori-algoritmi Säännölliset joukot voidaan löytää klassisella Apriori-algoritmilla (ks. tarkemmin esim. [Toi96]). kehitetty alkujaan ostoskoridatalle oletus: binääridataa, eikä attribuuttien negaatioista olla kiinnostuneita. tehokas kun hyvin harvaa dataa, mutta ei toimi tiheällä datalla Idea: etsitään ensin säännölliset yhden attribuutin joukot, sitten näiden pohjalta kaikki säännölliset kahden attribuutin joukot, jne. Haussa hyödynnetään frekvenssin monotonisuutta! Jos joukko X on frekventti, myös kaikki Y X ovat frekventtejä. Jos jokin Y X ei ole frekventti, ei X voi olla frekventti. A B C D AB AC AD BC CD BD ABC ABD ACD BCD ABCD 5.2 Laskennallinen vaativuus Laskenta on hyvin raskasta, jos tutkimme myös negaatiot tai jos attribuutit ovat moniarvoisia! 8
9 Jos kaikilla attribuuteilla X i R, i = 1,..., k, on v arvoa, niin pahimmillaan voi olla (1 + v) k frekventtiä arvokombinaatiota (frekventtiä joukkoa). Jos v = 2 ja emme ole kiinnostuneita negaatioista, on säännöllisiä joukkoja maksimissaan 2 k = 2 8 = 256. Esimerkkejä säännöllisten joukkojen maksimilukumääristä: k v Rajoitus S-joukkojen lkm 8 2 Ei negaatioita 2 8 = = = Ei negaatioita = > Assosiaatiosääntöjen muodostus säännöllisistä joukoista paljon kevyempää: Säännöllisestä joukosta X, X = l voi muodostaa maksimissaan l erilaista assosiaatiosääntöä. 5.3 Laajennokset Apriorista erilaisia variaatioita, jotka esim. hyödyntävät erilaisia tietorakenteita välitulosten tehokkaaseen talletukseen. Käytännössä ei isoja eroja! Apriori-algoritmi soveltuu sellaisenaan myös negaatioita sisältävien joukkojen sekä moniarvoisista attribuuteista koostuvien joukkojen etsintään. Rajoitus: laskennallinen raskaus! Numeerinen data on ensin diskretoitava jollain tavalla ks. esim. [RS01, SA96] Disjunktioita sisältävät säännöt esim. Henkilö, joka ostaa olutta tai siideriä, ostaa yleensä myös tupakkaa tai Lääke A aiheuttaa tavallisesti pahoinvointia tai huimausta kiinnostavia mutta vaikeita etsiä! (ks. esim. [NCJK01]) Ongelma: frekvenssin monotonisuusominaisuus ei päde disjunktioille! Joukko A B on aina frekventti, jos A tai B on frekventti. Ei-frekventin joukon lisäys saattaa kuitenkin kasvattaa kondenssia ja tuottaa kiinnostavia sääntöjä. 9
10 Esim. Laske sääntöjen A C, B C ja (A B) C frekvenssit ja kondenssit annetusta relaatiosta! Rivien lukumäärä on n = 100. X m(x) A, B, C 10 A, B, C 0 A, B, C 10 A, B, C 0 A, B, C 10 A, B, C 20 A, B, C 40 A, B, C 10 6 Kiinnostavien sääntöjen valinta Apriorin ongelma: kaikilla säännöllisillä joukoilla sama minimifrekvenssi riippumatta attribuuttien lukumäärästä. Jos min fr liian pieni, löytyy valtavasti triviaaleja sääntöjä. Jos min fr suuri, ei löydetä spesifejä sääntöjä, vaikka olisivat tilastollisesti merkittäviä. Kuinka valita kiinnostavat tai tilastollisesti merkittävät säännöt?? Kiinnostavuus on subjektiivinen ominaisuus! Useita heuristisia mittoja kiinnostavien sääntöjen valitsemiseen. Mitat perustuvat yleensä säännön frekvenssiin ja kondenssiin (valitsevat assosiaatiosäännöt, joilla suuri frekvenssi ja poikkeuksellisen suuri/pieni kondenssi). (ks. esim. [RBA99]) Tilastollisten merkittävyystestien ongelma: DM:ssa testataan systemaattisesti kaikki mahdolliset säännöt. Jos merkittävyystaso esim ja testataan 1000 sääntöä, niin löydetään keskimäärin 10 virheellisesti merkittävää sääntöä. 6.1 Informaatioteoreettiset mitat Mutual information (ks. esim. [DHS00][632]) I(X, Y ) mittaa, kuinka paljon informaatiota muuttujat X ja Y jakavat. Jos X ja Y ovat riippumattomia, ei X sisällä lainkaan informaatiota Y :stä ja päinvastoin, ja I(X, Y ) = 0. 10
11 Jos X ja Y ovat identtiset, ne jakavat kaiken informaation. Määritelmä 2 (Mutual information) Olkoon R joukko attribuutteja ja X R ja Y R kategorisia muuttujia. X:n ja Y :n mutual information on I(X, Y ) = Σ x Σ y P (X = x, Y = y) log P (X = x, Y = y) P (X = x)p (Y = y). Huom! Saman voi ilmaista ekvivalentisti entropian avulla: missä H(Z) on Z:n entropia: H(Z) = z Dom(Z) I(X, Y ) = H(X) + H(Y ) H(X, Y ), P (Z = z) log P (Z = z) = z Dom(Z) P (Z = z) log Jos X ja Y jakavat kaiken informaation, on I(X, Y ) = H(X) = H(Y ). 1 P (Z = z). Säännön X Y J-mitta [SG92] on sääntöjen X Y and X Y informaatiosisältöjen summa. (Muistutus: P ( Y X) = 1 P (Y X)) [ P (Y X) J(X Y ) = P (X) P (Y X) log + P ( Y ) log P (Y ) = fr(x Y ) log cf(x Y ) fr(y ) + fr(x Y ) log ] P ( Y X) = P ( Y ) cf(x Y ) fr( Y ) Huomioi sekä säännön että sen komplementtisäännön frekvenssin että kondenssin! Alkujaan luokittelusäännöille toimiiko yhtä hyvin assosiaatiosäännöillä? 6.2 χ 2 -mitta Assosiaatiosäännöt voidaan pistää kiinnostavuusjärjestykseen niiden χ 2 -arvojen perusteella [BMS97]. Säännön X Y χ 2 -arvo on χ 2 = 1 1 (m(x = i, Y = j) m(x = i)m(y = j)/n) 2 i=0 j=0 m(x = i)m(y = j)/n 11
12 Rajoitus: frekvenssien oletusarvojen tulee olla riittävän suuria, jotta esioletukset täyttyisivät. Esim. ostoskoridata liian harvaa! Ongelma: Mittaa X:n ja Y :n välistä riippuvuutta, mutta assosiaatiosäännöt ovat osittaisriippuvuuksia. Ei välttämättä havaita kiinnostavaa sääntöä, jos pätee vain tiettyjen arvojen välillä? Ehdotus: huomioidaan vain sääntöä vastaava termi Viitteet (m(x,y ) m(x)m(y )/n)2 m(x)m(y )/n. [AIS93] R. Agrawal, T. Imielinski, and A.N. Swami. Mining association rules between sets of items in large databases. In P. Buneman and S. Jajodia, editors, Proceedings of the 1993 ACM SIGMOD International Conference on Management of Data, pages , Washington, D.C., [BMS97] S. Brin, R. Motwani, and C. Silverstein. Beyond market baskets: Generalizing association rules to correlations. In J. Peckham, editor, Proceedings ACM SIGMOD International Conference on Management of Data, pages ACM Press, [DHS00] R.O. Duda, P.E. Hart, and D.G. Stork. Pattern Classication. Wiley-Interscience Publication, New Yor, 2nd edition, [HMS02] D. Hand, H. Mannila, and P. Smyth. Principles of Data Mining. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, USA, [LHM98] B. Liu, W. Hsu, and Y. Ma. Integrating classication and association rule mining. In Proceedings of Fourth International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining (KDD- 98), pages AAAI Press, [Mit97] T.M. Mitchell. Machine Learning. McGraw-Hill Companies, New York, NY, USA, [NCJK01] A.A. Nanavati, K.P. Chitrapura, S. Joshi, and R. Krishnapuram. Mining generalised disjunctive association rules. In Proceedings of the tenth International Conference on Information and Knowledge Management (CIKM'01), pages , New York, NY, USA, ACM Press. [NHBM98] D.J. Newman, S. Hettich, C.L. Blake, and C.J. Merz. UCI repository of machine learning databases, uci.edu/~mlearn/mlrepository.html. 12
13 [PMS00] [Qui93] [RBA99] [RS01] [SA96] [SG92] [Toi96] [Wek] D. Pavlov, H. Mannila, and P. Smyth. Probabilistic models for query approximation with large sparse binary data sets. In Proceedings of the 16th Conference on Uncertainty in Articial Intelligence (UAI'00), pages , San Francisco, CA, USA, Morgan Kaufmann Publishers Inc. J.R. Quinlan. C4.5: programs for machine learning. Morgan Kaufmann, Jr. R.J. Bayardo and R. Agrawal. Mining the most interesting rules. In Proceedings of the fth ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining (KDD'99), pages , New York, NY, USA, ACM Press. R. Rastogi and K. Shim. Mining optimized support rules for numeric attributes. Information Systems, 26(6):425444, R. Srikant and R. Agrawal. Mining quantitative association rules in large relational tables. In H.V. Jagadish and I.S. Mumick, editors, Proceedings of the 1996 ACM SIGMOD International Conference on Management of Data, pages 112, Montreal, Quebec, Canada, P. Smyth and R.M. Goodman. An information theoretic approach to rule induction from databases. IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering, 4(4):301316, H. Toivonen. Discovery of Frequent Patterns in Large Data Collections. PhD thesis, Department of Computer Science, University of Helsinki, Weka3. Data mining software in java. ac.nz/ml/weka/. Retrieved
arvostelija Assosiaatiosäännöt sekvensseissä Jarmo Hakala Vantaa 20.10.2005 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
hyväksymispäivä arvosana arvostelija Assosiaatiosäännöt sekvensseissä Jarmo Hakala Vantaa 20.10.2005 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Tiivistelmä Assosiaatiosäännöt sekvensseissä on
LisätiedotEsimerkkejä vaativuusluokista
Esimerkkejä vaativuusluokista Seuraaville kalvoille on poimittu joitain esimerkkejä havainnollistamaan algoritmien aikavaativuusluokkia. Esimerkit on valittu melko mielivaltaisesti laitoksella tehtävään
LisätiedotTietokannan eheysrajoitteet ja niiden määrittäminen SQL-kielellä
hyväksymispäivä arvosana arvostelija Tietokannan eheysrajoitteet ja niiden määrittäminen SQL-kielellä Tuomas Husu Helsinki 20.2.2010 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Sisältö i 1 Johdanto
LisätiedotTiedonlouhinta (kl 2013) Kurssin kuvaus. Esitiedot. Kurssin arvostelu
Tiedonlouhinta (kl 2013) Kurssin kuvaus 00 11 00 11 00 11 01 01 01 01 11000 111 11000 111 00 11 joko kandidaatti- tai maisteritason valinnainen kurssi Toteutus pääasiassa ongelmalähtöisesti (tiedonlouhintaprosessin
Lisätiedot2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1
2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta
LisätiedotKirjoita jokaiseen erilliseen vastauspaperiin kurssin nimi, tenttipäivä, oma nimesi (selkeästi), opiskelijanumerosi ja nimikirjoituksesi
Helsingin yliopisto, Tietojenkäsittelytieteen laitos Tietokantojen perusteet, kurssikoe 29.2.2012 (vastauksia) Liitteenä on tiivistelmä SQL-syntaksista Kirjoita jokaiseen erilliseen vastauspaperiin kurssin
Lisätiedot(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
LisätiedotMatematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
LisätiedotPaikkatieto ja assosiaatiosäännöt
Paikkatieto ja assosiaatiosäännöt voisiko assosiaatiosääntöjä soveltaa myös paikkatietoon? kömpelö tapa: jaetaan maantieteellinen alue ruutuihin, tehdään attribuuttien arvoista ruudussa rivi ja etsitään
LisätiedotPaikkatieto ja assosiaatiosäännöt. Referenssipiirre. Spatiaaliset assosiaatiosäännöt
Paikkatieto ja assosiaatiosäännöt Spatiaaliset assosiaatiosäännöt voisiko assosiaatiosääntöjä soveltaa myös paikkatietoon? kömpelö tapa: jaetaan maantieteellinen alue ruutuihin, tehdään attribuuttien arvoista
LisätiedotMatriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.
Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k
LisätiedotKielitieteellisten aineistojen käsittely
Kielitieteellisten aineistojen käsittely 1 Johdanto...1 2 Aineistojen kommentointi, metadatan tyypit...1 3 Aineistojen käsittely...2 3.1 Rakenteisten kieliaineistojen kyselykielet...2 3.2 Tiedonlouhinta
Lisätiedot9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia
9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä
LisätiedotTehostettu kisällioppiminen tietojenkäsittelytieteen ja matematiikan opetuksessa yliopistossa Thomas Vikberg
Tehostettu kisällioppiminen tietojenkäsittelytieteen ja matematiikan opetuksessa yliopistossa Thomas Vikberg Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tietojenkäsittelytieteen laitos Kisällioppiminen = oppipoikamestari
LisätiedotSalausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.
Lisätiedotnäkökulma lähekkäisten vedenkokoumien nimeämiseen
näkökulma lähekkäisten vedenkokoumien nimeämiseen http://www.cs.helsinki.fi/u/leino/jutut/ktp-03/ leino@cs.helsinki.fi aleino@kotus.fi 13. toukokuuta 2003 Sivu 0 / 6 Maanmittauslaitoksen paikannimirekisteri
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A
LisätiedotRatkaisu: Yksi tapa nähdä, että kaavat A (B C) ja (A B) (A C) ovat loogisesti ekvivalentit, on tehdä totuustaulu lauseelle
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoot A, B ja C propositiolauseita. Näytä, että A (B C) (A B) (A C). Ratkaisu: Yksi tapa
LisätiedotHilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen
Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen
LisätiedotE. Oja ja H. Mannila Datasta Tietoon: Luku 2
2. DATASTA TIETOON: MITÄ DATAA; MITÄ TIETOA? 2.1. Data-analyysin ongelma Tulevien vuosien valtava haaste on digitaalisessa muodossa talletetun datan kasvava määrä Arvioita: Yhdysvaltojen kongressin kirjasto
LisätiedotT Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen
T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide
LisätiedotT Luonnollisten kielten tilastollinen käsittely
T-61.281 Luonnollisten kielten tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti 11.2.2003, 16:15-18:00 Kollokaatiot, Versio 1.1 1. Lasketaan ensin tulokset sanaparille valkoinen, talo käsin: Frekvenssimenetelmä:
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
LisätiedotVasen johto S AB ab ab esittää jäsennyspuun kasvattamista vasemmalta alkaen:
Vasen johto S AB ab ab esittää jäsennyspuun kasvattamista vasemmalta alkaen: S A S B Samaan jäsennyspuuhun päästään myös johdolla S AB Ab ab: S A S B Yhteen jäsennyspuuhun liittyy aina tasan yksi vasen
LisätiedotOrtogonaalinen ja ortonormaali kanta
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä
LisätiedotReaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2018-2019 7. Kombinatoriikka 7.1 Johdanto Kombinatoriikka tutkii seuraavan kaltaisia kysymyksiä: Kuinka monella tavalla jokin toiminto voidaan suorittaa? Kuinka monta tietynlaista
Lisätiedot-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei
Lisätiedotmonitavoitteisissa päätöspuissa (Valmiin työn esittely) Mio Parmi Ohjaaja: Prof. Kai Virtanen Valvoja: Prof.
Epätäydellisen preferenssiinformaation hyödyntäminen monitavoitteisissa päätöspuissa (Valmiin työn esittely) Mio Parmi 15.1.2018 Ohjaaja: Prof. Kai Virtanen Valvoja: Prof. Kai Virtanen Tausta Päätöspuu
LisätiedotRyhmäfaktorianalyysi neurotiedesovelluksissa (Valmiin työn esittely) Sami Remes Ohjaaja: TkT Arto Klami Valvoja: Prof.
Ryhmäfaktorianalyysi neurotiedesovelluksissa (Valmiin työn esittely) Sami Remes 11.06.2012 Ohjaaja: TkT Arto Klami Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla
LisätiedotRelevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa Linkkikeskukset ja auktoriteetit (hubs and authorities) -algoritmi
Kurssin loppuosa Diskreettejä menetelmiä laajojen 0-1 datajoukkojen analyysiin Kattavat joukot ja niiden etsintä tasoittaisella algoritmilla Relevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
LisätiedotT Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti , 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1
T-61.281 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti 10.2.2004, 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1 1. Lasketaan ensin tulokset sanaparille valkoinen, talo käsin: Frekvenssimenetelmä:
LisätiedotTAPAUS-VERROKKITUTKIMUS
TAPAUS-VERROKKI TUTKIMUKSEN TYYPIT JA TULOSTEN ANALYYSI Simo Näyhä Jari Jokelainen Kansanterveystieteen ja yleislääketieteen laitoksen jatkokoulutusmeeting.3.4.2007 TAPAUS-VERROKKITUTKIMUS Idea Tutkimusryhmät
LisätiedotJohnson, A Theoretician's Guide to the Experimental Analysis of Algorithms.
Kokeellinen algoritmiikka (3 ov) syventäviä opintoja edeltävät opinnot: ainakin Tietorakenteet hyödyllisiä opintoja: ASA, Algoritmiohjelmointi suoritus harjoitustyöllä (ei tenttiä) Kirjallisuutta: Johnson,
LisätiedotAssosiaatiosääntöjen louhinnan tehostaminen
hyväksymispäivä arvosana arvostelija Assosiaatiosääntöjen louhinnan tehostaminen Tuomas Tanner Helsinki 27.03.2008 Tiedon louhinnan seminaari, kevät 2008 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
LisätiedotBM20A0700, Matematiikka KoTiB2
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 1. Etsi lauseen (p 0 (p 1 p 0 )) p 1 kanssa loogisesti ekvivalentti lause joka on (a) disjunktiivisessa
LisätiedotMatriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä
Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotTEEMU ROOS (KALVOT MUOKATTU PATRIK HOYERIN LUENTOMATERIAALISTA)
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS (KALVOT MUOKATTU PATRIK HOYERIN LUENTOMATERIAALISTA) KONEOPPIMISEN LAJIT OHJATTU OPPIMINEN: - ESIMERKIT OVAT PAREJA (X, Y), TAVOITTEENA ON OPPIA ENNUSTAMAAN Y ANNETTUNA X.
LisätiedotTutorial on Assignment 3 in Data Mining 2008 Association Rule Mining. Gyozo Gidofalvi Uppsala Database Laboratory
Tutorial on Assignment 3 in Data Mining 2008 Association Rule Mining Gyozo Gidofalvi Uppsala Database Laboratory Announcements Monday the 15 th of December, has been added as a possible date for examination
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 2: Relaatiot 4.2 Relaatiot Relaatioilla mallinnetaan joukkojen alkioiden välisiä suhteita Joukkojen S ja T välinen binaarirelaatio
LisätiedotLAUSELOGIIKKA (1) Sanalliset ilmaisut ovat usein epätarkkoja. On ilmaisuja, joista voidaan sanoa, että ne ovat tosia tai epätosia, mutta eivät molempia. Ilmaisuja, joihin voidaan liittää totuusarvoja (tosi,
LisätiedotTiedonlouhinta ja sen mahdollisuudet
Tiedonlouhinta ja sen mahdollisuudet Henry Joutsijoki Sisältö Johdanto Tiedonlouhinta Koneoppiminen ja tiedonlouhinta Tiedonlouhinnan tulevaisuus Alustusta Nyky-yhteiskunnassamme käsitteet tehokkuus, nopeus,
LisätiedotTiedonlouhinta rakenteisista dokumenteista (seminaarityö)
Tiedonlouhinta rakenteisista dokumenteista (seminaarityö) Miika Nurminen (minurmin@jyu.fi) Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos Kalvot ja seminaarityö verkossa: http://users.jyu.fi/~minurmin/gradusem/
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotYhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella
LisätiedotJarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori
Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
LisätiedotRatkaisu: Käytetään induktiota propositiolauseen A rakenteen suhteen. Alkuaskel. A = p i jollain i N. Koska v(p i ) = 1 kaikilla i N, saadaan
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoon totuusjakauma v sellainen että v(p i ) = 1 kaikilla i N ja A propositiolause, jossa
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5
Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista: (a) {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 },
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 5 Mikko Salo 5.9.2017 The natural development of this work soon led the geometers in their studies to embrace imaginary as well as real values of the variable.... It came
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 9. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Transponointi Matriisitulo
Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Transponointi Matriisitulo Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotLoogiset konnektiivit
Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi
LisätiedotTiedon louhinnan teoria (ja käytäntö) OUGF kevätseminaari 2004 Hannu Toivonen
Tiedon louhinnan teoria (ja käytäntö) OUGF kevätseminaari 2004 Hannu Toivonen hannu.toivonen@cs.helsinki.fi 1 2 A 1 4 8 2 2 1 2 6 2 A 2 4 3 7 3 2 8 4 2 A 4 5 2 4 5 5 2 6 4 A 7 2 3 7 5 4 5 2 2 A 5 2 4 6
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Roosa Niemi Riippuvuuslogiikkaa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Syyskuu 2011 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö ROOSA NIEMI: Riippuvuuslogiikkaa
LisätiedotOpetuksen ja opiskelun tehokas ja laadukas havainnointi verkkooppimisympäristössä
Opetuksen ja opiskelun tehokas ja laadukas havainnointi verkkooppimisympäristössä Jukka Paukkeri (projektitutkija) Tampereen Teknillinen Yliopisto Matematiikan laitos Intelligent Information Systems Laboratory
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotMatriisit. Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i = 1,..., k ja j = 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =
1 / 21 Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i 1,..., k ja j 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A... a k1 a k2 a kn sanotaan k n matriisiksi. Usein merkitään A [a ij ]. Lukuja
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotKäyttäjäkeskeisen suunnittelun periaatteet ja prosessit
Käyttäjäkeskeisen suunnittelun periaatteet ja prosessit Kurssilla: Johdatus käyttäjäkeskeiseen tuotekehitykseen 23.1.2008 Johanna Viitanen johanna.viitanen@soberit.hut.fi Luennon aiheet Tuotekehityksen
Lisätiedot1. Logiikan ja joukko-opin alkeet
1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista
LisätiedotT kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut
T-79.5101 kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut 1. Jokaiselle toteutuvalle lauselogiikan lauseelle voidaan etsiä malli taulumenetelmällä merkitsemällä lause taulun juureen
LisätiedotSuurin yhteinen tekijä (s.y.t.) ja pienin yhteinen monikerta (p.y.m.)
Suurin yhteinen tekijä (s.y.t.) ja pienin yhteinen monikerta (p.y.m.) LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Määritelmä, yhteinen tekijä ja suurin yhteinen tekijä: Annettujen lukujen a ja b yhteinen tekijä
LisätiedotEllipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio
Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä
LisätiedotNimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...
2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen
LisätiedotAvainsanojen poimiminen Eeva Ahonen
Avainsanojen poimiminen 5.10.2004 Eeva Ahonen Sisältö Avainsanat Menetelmät C4.5 päätöspuut GenEx algoritmi Bayes malli Testit Tulokset Avainsanat Tiivistä tietoa dokumentin sisällöstä ihmislukijalle hakukoneelle
LisätiedotTietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari Korhonen
Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari 1 1. JOHDANTO 1.1 Määritelmiä 1.2 Tietorakenteen ja algoritmin valinta 1.3 Algoritmit ja tiedon määrä 1.4 Tietorakenteet ja toiminnot 1.5 Esimerkki:
LisätiedotMatematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
Lisätiedot7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa. Lohkominen (Blocking)
7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa Lohkominen (Blocking) Lohkotekijät muodostuvat faktoreista, joiden suhteen ei voida tehdä (täydellistä) satunnaistamista. Esimerkiksi faktorikokeessa raaka-aine-erät
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
LisätiedotLukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotTyyppiluokat II konstruktoriluokat, funktionaaliset riippuvuudet. TIES341 Funktio-ohjelmointi 2 Kevät 2006
Tyyppiluokat II konstruktoriluokat, funktionaaliset riippuvuudet TIES341 Funktio-ohjelmointi 2 Kevät 2006 Alkuperäislähteitä Philip Wadler & Stephen Blott: How to make ad-hoc polymorphism less ad-hoc,
LisätiedotLukumäärän laskeminen 1/7 Sisältö ESITIEDOT:
Lukumäärän laskeminen 1/7 Sisältö Samapituisten merkkijonojen lukumäärä I Olkoon tehtävänä muodostaa annetuista merkeistä (olioista, alkioista) a 1,a 2,a 3,..., a n jonoja, joissa on p kappaletta merkkejä.
LisätiedotMAT Algebra 1(s)
8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen
LisätiedotLaskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 8, ratkaisuja
582206 Laskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 8, ratkaisuja 1. Tarkastellaan yhteydetöntä kielioppia S SAB ε A aa a B bb ε Esitä merkkijonolle aa kaksi erilaista jäsennyspuuta ja kummallekin siitä vastaava
LisätiedotTehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6)
Tehtävä 1 Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 }, {p 1, p 2, p 3 }, { p 2, p 3 }, {p 3 }}, b. {{ p 0, p 2 }, {p 0, p 1 }, {{ p 1, p 2 }, { p 2 }}, c. {{p
LisätiedotT Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )
T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka 2.1-3.5) 21 24.9.2004 1. Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation
LisätiedotEkvivalenssirelaatio. Määritelmä 2 Joukon A binäärinen relaatio R on ekvivalenssirelaatio, mikäli. Jos R on ekvivalenssirelaatio ja a A, niin joukkoa
Määritelmä 1 Olkoot x ja y joukon A alkioita. Jos R on jokin ominaisuus/ehto, joka määritellään yksikäsitteisesti joukon A kaikkien alkioiden välille siten, että se joko toteutuu tai ei toteudu alkioiden
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
Lisätiedotpitkittäisaineistoissa
Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon
Lisätiedot1.1. Määritelmiä ja nimityksiä
1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x
Lisätiedotf(n) = Ω(g(n)) jos ja vain jos g(n) = O(f(n))
Määritelmä: on O(g(n)), jos on olemassa vakioarvot n 0 > 0 ja c > 0 siten, että c g(n) kun n > n 0 O eli iso-o tai ordo ilmaisee asymptoottisen ylärajan resurssivaatimusten kasvun suuruusluokalle Samankaltaisia
Lisätiedotpitkittäisaineistoissa
Puuttuvan tiedon ongelma p. 1/18 Puuttuvan tiedon ongelma pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto mtl.uta.fi/tilasto/sekamallit/puupitkit.pdf
LisätiedotTietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1
Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 2 Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Ari Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1. JOHDANTO 1.1 Määritelmiä
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 6. Ryöppyvirheitä korjaavat koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 34 6.1 Peruskäsitteitä Aiemmin on implisiittisesti
LisätiedotEtsintä verkosta (Searching from the Web) T Datasta tietoon Heikki Mannila, Jouni Seppänen
Etsintä verkosta (Searching from the Web) T-61.2010 Datasta tietoon Heikki Mannila, Jouni Seppänen 12.12.2007 Webin lyhyt historia http://info.cern.ch/proposal.html http://browser.arachne.cz/screen/
LisätiedotHELIA 1 (17) Outi Virkki Tiedonhallinta 4.11.2000
HELIA 1 (17) Luento 4.5 Normalisointi... 2 Tavoitteet... 2 Attribuuttien väliset riippuvuudet... 4 Funktionaalinen / moniarvoinen riippuvuus... 4 Transitiivinen / suora riippuvuus... 6 Täydellinen / osittainen
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KURSSIN SISÄLTÖ Johdanto Mittaaminen ja aineiston hankinta Mitta-asteikot Otanta Aineiston esittäminen ja data-analyysi Havaintomatriisi Yksiulotteisen
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotEvolutiivisesti stabiilin strategian oppiminen
Evolutiivisesti stabiilin strategian oppiminen Janne Laitonen 8.10.2008 Maynard Smith: s. 54-60 Johdanto Käytös voi usein olla opittua perityn sijasta Tyypillistä käytöksen muuttuminen ja riippuvuus aikaisemmista
Lisätiedot1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit
1 Logiikkaa Tieteessä ja jokapäiväisessä elämässä joudutaan tekemään päätelmiä. Logiikassa tutkimuskohteena on juuri päättelyt. Sen sijaan päätelmien sisältöön ei niinkäään kiinnitetä huomiota. Päätelmät
Lisätiedot