Aksiaalisesti liikkuvien materiaalien epästabiilisuusilmiöistä ja mallien sovellus paperin tuotantoon

Transkriptio

1 Aksiaalisesti liikkuvien materiaalien epästabiilisuusilmiöistä ja mallien sovellus paperin tuotantoon J. Jeronen Jyväskylän yliopisto Laskennallisten tieteiden seminaari 29, Sulatis/TTY (Tampere, )

2 Sisältö 1 Paperiradan mallintaminen Mitä mallit ovat? 2 Tästä esitelmästä Fysikaalinen malli Elastinen tehtävä Aeroelastinen tehtävä 3 Elastinen tapaus Aeroelastinen tapaus

3 Motivaatio Paperiradan mallintaminen Mitä mallit ovat? Vapaat vedot (open draw) paperikoneissa Välejä, joissa paperi kulkee ilman mekaanista tukea Kuva: Periaatekuva paperiradasta vapaassa vedossa.

4 Fysikaalinen malli Paperiradan mallintaminen Mitä mallit ovat? Yksinkertainen malli Ohut, elastinen laatta Isotrooppinen: ominaisuudet eivät riipu tarkastelusuunnasta Täysin elastinen: ei pysyviä muodonmuutoksia Tarkempia malleja Ortotrooppinen elastinen laatta Kuiturakenteen vuoksi paperin elastiset ominaisuudet riippuvat tarkastelusuunnasta Viskoelastisuus Paperilla on myös viskooseja ominaisuuksia; creep- ja relaksaatioilmiöt Lisää aiheesta: review-artikkeli [1]

5 Elastiikka 1/2 Paperiradan mallintaminen Mitä mallit ovat? Elastiikka Jopa lineaarielastiikka on geometrisesti epälineaarista Voidaanko epälineaarisuus arvioida pois? Ratkaisu on... Pienten siirtymien teoria Pieni pystysuuntainen (transverse) siirtymä Pienet kulmat laatan ja koordinaattiakselien välillä Yksi lineaarinen osittaisdifferentiaaliyhtälö riittää Mitä järkeä tässä on? Miksi rajoittua lineaariseen teoriaan?

6 Mikä on kissa? 1/2 Paperiradan mallintaminen Mitä mallit ovat? Miten mallinnetaan? Neljä tassua, kynnet, kaksi korvaa ja yksi häntä? Lukematon määrä havaintoja etologiasta ja biologiasta? Ainoa täydellinen kuvaus kissasta on kissa itse. [2]

7 Paperiradan mallintaminen Mitä mallit ovat? Mikä on kissa? 2/2 Mallintaminen Yksinkertaistaa halutulla tavalla Matemaattinen malli sisältää kompromissin analysoitavuuden ja tarkkuuden välillä J. Jeronen Aksiaalisesti liikkuvien materiaalien epästabiilisuusilmiöistä

8 Elastiikka 2/2 Paperiradan mallintaminen Mitä mallit ovat? Pienten siirtymien teoria Pieni pystysuuntainen (transverse) siirtymä Pienet kulmat laatan ja koordinaattiakselien välillä Yksi lineaarinen osittaisdifferentiaaliyhtälö riittää Tämä yksinkertaistettu malli on Analysoitavissa Löydetään perustavanlaatuisia selityksiä ilmiöille Ymmärrettävissä Teorian osien vaikutukset toisiinsa tunnetaan yksityiskohtaisesti ja voidaan kuvata yksinkertaisesti Riittävän tarkka tietyissä tapauksissa Epästabiilisuusanalyysi

9 Ryhmämme tutkimukset Tästä esitelmästä Fysikaalinen malli Elastinen tehtävä Aeroelastinen tehtävä N. Banichuk, J. Jeronen, P. Neittaanmäki, T. Tuovinen: On the Instability of an Axially Moving Elastic Plate. [3] International Journal of Solids and Structures 47 (21), pp DOI: 1.116/j.ijsolstr On the Instability of an Axially Moving Orthotropic Plate (työnimi). Käsikirjoitus, viimeisteltävänä Statical Instability Analysis for Travelling Membranes and Plates Interacting with Axially Moving Ideal Fluid. [4] Journal of Fluids and Structures, hyväksytty (marraskuu 29) Dynamical Behaviour of an Axially Moving Plate Undergoing Small Cylindrical Deformation Submerged in Axially Flowing Ideal Fluid (työnimi). Käsikirjoitus, viimeisteltävänä

10 Fysikaalinen malli Tästä esitelmästä Fysikaalinen malli Elastinen tehtävä Aeroelastinen tehtävä Lineaarinen malli (3D) Pienten siirtymien teoria ohuille elastisille laatoille Klassista mekaniikkaa Perustuu lineaarisiin osittaisdifferentiaaliyhtälöihin m 2 w t 2 + mv 2 w x t + mv 2 2 w x 2 2 w =T xx x 2 + 2T 2 w xy x y + T 2 w yy y 2 4 w D 1 x 4 2D 4 w 3 x 2 y 2 D 4 w 2 y 4 + q f

11 Fysikaalinen tilanne (3D) Tästä esitelmästä Fysikaalinen malli Elastinen tehtävä Aeroelastinen tehtävä Kuva: Vapaan vedon malli (3D).

12 Ilmiöt (3D) Tästä esitelmästä Fysikaalinen malli Elastinen tehtävä Aeroelastinen tehtävä Tutkittu fysikaalinen prosessi Ohuen, aksiaalisesti liikkuvan laatan elastiset siirtymät (deformations) tyhjiössä Elastinen tehtävä Tutkittu fysikaalinen systeemi on luonteeltaan epästabiili. Lineaarinen teoria toimii alimpaan (kriittiseen) epästabiilisuuteen asti [5]. Epästabiilisuus on staattista tyyppiä [3].

13 Fysikaalinen tilanne (2D) Tästä esitelmästä Fysikaalinen malli Elastinen tehtävä Aeroelastinen tehtävä Kuva: Vapaan vedon malli (2D). Kaksiulotteisella mallilla voidaan tutkia sylinterimäisiä siirtymiä (cylindrical deformations)

14 Ilmiöt (2D) 1/3 Tästä esitelmästä Fysikaalinen malli Elastinen tehtävä Aeroelastinen tehtävä Tutkittu fysikaalinen prosessi Ohuen, aksiaalisesti liikkuvan laatan elastiset, sylinterimäiset siirtymät huomioiden ympäröivän ilman vaikutuksen Tyypillisesti tutkitut tapaukset Liikkuva materiaali paikallaan pysyvän ilman ympäröimänä Paikallaan pysyvä rakenne, johon kohdistuu virtaus Tutkimuksessa [4] yhdistimme nämä kaksi tapausta.

15 Ilmiöt (2D) 2/3 Tästä esitelmästä Fysikaalinen malli Elastinen tehtävä Aeroelastinen tehtävä Aeroelastinen tehtävä Värähtelyt kytkettyinä ympäröivän ilman vaikutukseen Sisältää elastisen tehtävän Väliaineen olemassaolo muuttaa ominaistaajuuksia huomattavasti [6], [7, 8]. Systeemin epästabiilisuus on edelleen staattista tyyppiä, mutta... Käyttämällä dynaamista analyysia saadaan myös ominaistaajuudet.

16 Ilmiöt (2D) 3/3 Tästä esitelmästä Fysikaalinen malli Elastinen tehtävä Aeroelastinen tehtävä Aeroelastinen tehtävä Liittyy läheisesti tehtäviin, jotka käsittelevät virtauksia putkien sisällä sekä paikallaan pysyviin rakenteisiin kohdistuvia virtauksia [9]. stationäärisistä rakenteista eivät välttämättä sovellu sellaisinaan [1], [11]. Havaitsimme [4], että oletus sylinterimäisestä deformaatiosta sopii vain kapeille liikkuville laatoille; vrt. leveät paikallaan pysyvät laatat [12] Viskositeetin huomiotta jättäminen voi vaikuttaa huomattavasti kriittisiin nopeuksiin, mutta ominaistaajuuksille saadaan oikea käytös [11].

17 Numeerisia tuloksia 1/8 Elastinen tapaus Aeroelastinen tapaus L/2b = 1, ν =.3 L/2b = 1, ν = w(x,y).6.4 w(x,y) y.5 x y.5 x L/2b =.1, ν =.3 L/2b =.1, ν = w(x,y).6.4 w(x,y) y.5 x y.5 x Kuva: Isotrooppisten laattojen lommahdusmoodeja.

18 Numeerisia tuloksia 2/8 Elastinen tapaus Aeroelastinen tapaus Lommahdusmoodin lokalisaatioaste isotrooppisille laatoille laatan pituus-leveyssuhteen L/2b ja Poissonin osamäärän ν funktiona. Lokalisoituneissa moodeissa siirtymät esiintyvät enimmäkseen vapaiden reunojen läheisyydessä. Kuvassa väri esittää suhteellista lokalisaatioastetta.

19 Numeerisia tuloksia 3/8 Elastinen tapaus Aeroelastinen tapaus l/2b =.1, E1/E2 = 1, ν12 =.8, ν21 =.2 1 Displacement at x = l/2; ν12 =.8, ν21 =.2.9 w(x,y) w(l/2, y).8.7 E1/E2 = 1 E1/E2 = 1 E1/E2 = y x y Kuva: Kuivan paperin lommahdusmoodi.

20 Numeerisia tuloksia 4/8 Elastinen tapaus Aeroelastinen tapaus Êcrit Taipumisvoimien vakauttavan ν 12 Êcrit ˆν efektin takaava parametrialue ortotrooppisille laatoille. Mikäli parametrikolmikko Ê, ˆν ja ν 12 osoittavat pistettä kuvan pinnalla tai sen alapuolella, taipumisvoimien vaikutus on systeemiä vakauttava riippumatta laatan siirtymästä w. Parametrit ν Ê E 2 /E 1 ˆν ν 12 ν 21. ja ˆν

21 Analyyttinen tulos Elastinen tapaus Aeroelastinen tapaus Aerodynaaminen paine-ero q f siirtymän w funktionaalina ( 1 q f (x,t) = ρ f τ t + 1 l (v V ) x N (ξ,x) )... ( l w τ t + (v V ) w x ) dξ (1) missä N (ξ,x) 1 π ln 1 + Λ 1 Λ, (2) [ ] (1 x)(1 + ξ ) 1/2 Λ(ξ,x). (3) (1 ξ )(1 + x)

22 Numeerisia tuloksia 5/8 Elastinen tapaus Aeroelastinen tapaus Dimensioton kriittinen nopeus ideaalikalvolle (D = ) dimensiottoman tiheyden γ lρ f m ja dimensiottoman fluidin nopeuden θ v V div mem vac funktiona, missä V div mem vac T /m.

23 Numeerisia tuloksia 6/8 Elastinen tapaus Aeroelastinen tapaus div V / div V mem vac β = β = 1 β = θ Fluidin nopeuden vaikutus laatan kriittiseen nopeuteen. Parametrina dimensioton taipumisjäykkyys β D l 2 T. Kaikissa kuvan tapauksissa dimensioton tiheys γ lρ f m =

24 Numeerisia tuloksia 7/8 Elastinen tapaus Aeroelastinen tapaus Lommahdusmoodi parametrien arvoilla β D l 2 T =.1, w(x) x γ lρ f m = , ja v θ V div = mem vac Katkoviiva: tyhjiötapaus vertailun vuoksi.

25 Numeerisia tuloksia 8/8 Elastinen tapaus Aeroelastinen tapaus Nondimensional first natural frequency (n = 56, v = m/s) Alin dimensioton ominaistaajuus ideaalikalvolle dimensiottoman nopeuden min( Im(s) ) / f vac V / V div mem vac λ funktiona, missä V V div mem vac V div mem vac T /m. Katkoviiva: tyhjiötapaus. Yhtenäinen viiva: paikallaan pysyvään ideaalifluidiin upotettuna.

26 Paperiradan epästabiilisuusilmiöitä voidaan mallintaa yksinkertaisella lineaarisella teorialla. Yksinkertaiset mallit sopivat perusteelliseen analyysiin. auttavat ymmärtämään fysikaalisten ilmiöiden luonnetta perustavanlaatuisella tasolla. Tuloksista voidaan vetää luotettavia johtopäätöksiä käytettyjen mallien rajoissa.

27 Kiitos huomiostanne!

28 Lähteet I M. Alava and K. Niskanen. The physics of paper. Reports on Progress in Physics, 69(3): , 26. I. Ekeland. Paras mahdollisista maailmoista: Matematiikka ja kohtalo. Art House, 24. Isbn Sivut N. Banichuk, J. Jeronen, P. Neittaanmäki, and T. Tuovinen. On the instability of an axially moving elastic plate. International Journal of Solids and Structures, 47:91 99, 21. doi:1.116/j.ijsolstr

29 Lähteet II N. Banichuk, J. Jeronen, P. Neittaanmäki, and T. Tuovinen. Statical instability analysis for travelling membranes and plates interacting with axially moving ideal fluid. Journal of Fluids and Structures, 21. Accepted in November 29, to appear. M. P. Païdoussis. Some unresolved issues in fluid-structure interactions. Journal of Fluids and Structures, 2(6):871 89, 25. A. Pramila. Sheet flutter and the interaction between sheet and air. TAPPI-Journal, 69(7):7 74, 1986.

30 Lähteet III A. Kulachenko, P. Gradin, and H. Koivurova. Modelling the dynamical behaviour of a paper web. part i. Computers & Structures, 85: , 27. A. Kulachenko, P. Gradin, and H. Koivurova. Modelling the dynamical behaviour of a paper web. part ii. Computers & Structures, 85: , 27. M. P. Païdoussis. The canonical problem of the fluid-conveying pipe and radiation of the knowledge gained to other dynamics problems across applied mechanics. Journal of Sound and Vibration, 31: , 28. Y. B. Chang and P. M. Moretti. Flow-induced vibration of free edges of thin films. Journal of Fluids and Structures, 16(7):989 18, 22.

31 Lähteet IV T. Frondelius, H. Koivurova, and A. Pramila. Interaction of an axially moving band and surrounding fluid by boundary layer theory. Journal of Fluids and Structures, 22(8): , 26. S. P. Timoshenko and S. Woinowsky-Krieger. Theory of plates and shells. New York : Tokyo : McGraw-Hill, 2nd edition, 1959.