Johdatusta moniskaalamallinnukseen
|
|
- Elina Hyttinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Johdatusta moniskaalamallinnukseen Mallittamisen jatkokurssi - jatkuvat mallit/t. Tiihonen, JY Johdanto Monet mallitettavat ilmiöt ovat sellaisia, että niiden täydellinen kuvaaminen edellyttää käytännössä eri mittakaavoissa esiintyvien asioiden yhtäaikaista mallintamista. Tämä on yleensä laskennallisesti erittäin kallista ja epätarkoituksenmukaista. Näin ollen tarvitaan tekniikoita, joilla eri mittakaavoissa tapahtuvat osailmiöt ja erityisesti niiden yhteisvaikutukset voidaan ottaa huomioon. Mallissa esiintyvät mittakaavat voivat olla suoraan mallin datasta johtuvia (esimerkiksi mallitettavan systeemin dimensiot voivat olla epäsuhtaisia) tai mallin kertoimissa esiintyy useita mittakaavoja (mikrorakenteet jne). Mittakaavat voivat liittyä myös eri ilmiöiden suhteelliseen merkittävyyteen, jolloin eri mittakaavat ja niiden esiintyminen ovat vaikeammin tunnistettavissa itse mallista. Yleensä mallista kuitenkin on löydettävissä pieni (tai suuri) parametri, joka käytännössä määrää mallin ilmiöiden mittakaavat. Mikäli mallin asymptoottinen analyysi (pienen parametrin suhteen) johtaa laadullisesti erilaiseen malliin, on syytä varautua useamman mittakaavan esiintymiseen. (Mallin laadullinen erilaisuus kun osaltaan kertoo juuri sen, ettei koko ilmiömaailmaa voida kuvata vain rajamallin ja sen edustaman mittakaavan avulla). Selkein esimerkki tästä on singulaarisesti häiritty tehtävä. Ts malli, jossa pieni parametri määrää mallin asteluvun ja siten mallille asetettavien reunaehtojen määrän. Esimerkkinä tästä tulemme tarkastelemaan jatkossa tehtävää u + u x ɛu xx =, u() = α, u(1) = β Jos tähän tehtävään sovelletaan suoraviivaisesti asymptoottista häiriöteoriaa ja sijoitetaan yhtälöön kehitelmä u = u + ɛu , päädytään rajatehtäviin = u + u,x + ɛ(u 1 + u 1,x u,xx ) +... Rajatehtävä on alempaa kertalukua ja ratkaisun u yleinen muoto on u = Ce x. Tämä voi toteuttaa korkeintaan toisen reunaehdoista (ellei sattumalta β = αe 1 ). Rajatermi ei siis sellaisenaan ole järkevä häirityn tehtävän ratkaisun approksimaatioksi. Korjaustermit eivät voi parantaa tilannetta, joten kehitelmä ei anna käyttökelpoista tietoa häiritystä tehtävästä.
2 Useampaa mittakaavaa edellyttäviä laadullisia eroja esiintyy myös säännöllisissä häiriötehtävissä. Tarkastellaan vaimennetulle värähtelijälle kirjoitettua mallia, u + ɛu x + u xx =, u() = α, u x () = β. Tälle voidaan johtaa asymptoottisen analyysin avulla järkevä rajayhtälö, joka toteuttaa alkuehdot (vaimenematon värähtely). Korjaustermit on myös helppo kirjoittaa. Niiden ratkaisut eivät kuitenkaan pysyisi rajoitettuina koko tarkasteluvälillä vaan pyrkisivät kasvamaan rajatta. Perussyynä tähän on rajamallin ja alkuperäisen mallin laadullinen ero. Jos nimittäin tarkastelemme värähtelijän kokonaisenergiaa, E = 1 2 (u2 + u 2 x), voimme havaita, että rajamallille E x = (u + u x x)u x = mutta alkuperäiselle mallille E x = ɛu 2 x. Energia siis vähenee aina kun u x on nollasta poikkeava. Väheneminen tapahtuu aikaskaalassa 1/ɛ. Siispä pienilläkin ɛ:in arvoilla rajatehtävän ja häirityn tehtävän ratkaisujen välinen ero kasvaa suureksi riittävän kaukana lähtöpisteestä. Mittakaava voi luonnollisesti esiintyä suoraan tehtävän mittasuhteissa. Jos rajoitamme tarkastelun yksiulotteisiin esimerkkeihin, systeemin ulkoisten dimensioiden (pituus, leveys, paksuus) suhteilla ei ole merkitystä. Sen sijaan voimme tarkastella esimerkiksi laminaattirakennetta paksuussuunnassa. Oletetaan, että tarkasteltava systeemi on tasainen levy, joka koostuu useista ohuista tasapaksuista kerroksista, ja että meitä kiinnostaa vain paksuussuuntainen käyttäytyminen, esimerkiksi lämmön johtuminen laminaatin läpi. Stationäärisessä tapauksessa lämpötasapainoyhtälö on (formaalisti) (k(x)t x ) x = f missä lämmönjohtavuuskerroin k vaihtelee lyhyessä (yksittäisen laminointikerroksen paksuuden määräämässä) mittakaavassa. Jos laminaatilla on säännöllinen toistuva rakenne, tämä voidaan kuvata kirjoittamalla k = k(x/ɛ), missä ɛ kuvaa laminointikerroksen paksuutta ja k on periodinen funktio. Mikäli rakenne vaihtelee paksuussuunnassa, voidaan kirjoittaa k = k(x, x/ɛ), missä nyt k on toisen argumentin suhteen periodinen kaikilla x. Kummassakin tapauksessa yhtälössä on pieni parametri, jonka suhteen voidaan hakea asymptoottista kehitelmää. Monen skaalan kehitelmät Monen skaalan menetelmässä (method of multiple scales) huomioidaan useamman tarkastelumittakaavan ongelma jo kehitelmää muodostettaessa. Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että aluksi oletetaan, että systeemissä tapahtuu jotain mittakaavoissa..., x/ɛ, x, ɛx,.... Tämän jälkeen merkitään kutakin
3 pituusskaalaa omalla symbolillaan valitsemalla X j = xɛ j, missä j käy läpi kaikki kokonaisluvut (tässä tapauksessa - muitakin ɛ:in potensseja voidaan tarvita tapauksesta riippuen). Itse asymptoottinen kehitelmä kirjoitetaan kuten ennenkin, u = u + ɛu 1 + ɛ 2 u 2 + mutta nyt kehitelmien termien oletetaan riippuvan x:n sijasta kaikista X j :stä (jotka oletetaan jatkossa riippumattomiksi muuttujiksi). Ts. u k = u k (..., X 1, X, X 1,...) Kun tämä kehitelmä sijoitetaan alkuperäiseen yhtälöön, on alkuperäiset x- derivaatat kirjoitettava X j derivaattojen avulla. Tällöin siis u x =... ɛ 1 u, 1 + u, + ɛu, Tarkastellaan menetelmää edellä esitetylle singulaarisesti häiritylle tehtävälle u + u x ɛu xx =, u() = α, u(1) = β Merkitään z = x 'pitkää' skaalaa. Koska tarkasteluväli on rajoitettu 'ylipitkää' ɛx skaalaa ei esiinny. Sen sijaan lyhyt ξ = x/ɛ skaala tarvitaan. Kirjoitetaan u j = u j (z, ξ). Nyt Sijoitetaan kehitelmä yhtälöön. d dx = d dz + 1 d ɛ dξ d 2 = d2 dx 2 dz + 2 d 2 2 ɛ dzdξ + 1 d 2 ɛ 2 dξ 2 = 1 ɛ ( u,ξξ + u,ξ ) + ( u 1,ξξ + u 1,ξ 2u,ξz + u,z + u ) +... u on muotoa u = A + Be ξ, missä A = A(z), B = B(z). Nyt on määrättävä A ja B. Monen skaalan menetelmän yhteydessä vapaiden kertoimien määrääminen (muiden skaalojen funktiona) tehdään yleensä siten, että korkeamman asteen korjaustermeille saadaan halutut ominaisuudet. Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että korjaustermien tulee pysyä rajoitettuina lyhimmissä skaaloissa (joissa tarkasteluväli on käytännössä ääretön
4 vaikka alkuperäinen tehtävä olisi määritelty äärellisellä välillä). Siispä kirjoitetaan tehtävä korjaustermille u 1. u 1,ξξ + u 1,ξ = 2u,ξz u,z u = (B z B)e ξ (A z + A) u 1 pysyy rajoitettuna 1/ɛ pituisella välillä (vain) jos yhtälö on homogeeninen. Joten on siis oltava A z + A =, B z B = Tästä seuraa edelleen, että A = ae z, B = be z. Näin ollen kehitelmän rajatermiksi saadaan (yleisessä muodossa) u (z, ξ) = ae z + be z+ξ = ae x + be x+x/ɛ Ehdosta u() = α, a = α b. Vastaavasti b (β αe 1 )e 1 1/ɛ Ratkaisu toteuttaa (likimain) reunaehdot ja käyttäytyy laadullisesti oikein. Ratkaisun käyttäytymisestä voidaan tehdä havainto, että lähes koko alueessa ratkaisu käyttäytyy kuin yhden skaalan rajatehtävän ratkaisu, jolle reunaehto on kiinnitetty pisteessä. Lähellä pistettä 1 tapahtuu jotain lyhyessä skaalassa. Tämä on tyyppillistä singulaarisille häiriötehtäville, rajatehtävä toimii hyvin lähes koko alueessa lukuunottamatta ohutta ns. rajakerrosta, jossa tarvitaan skaalattu tehtävä selittämään nopeat muutokset, joita 'ylimääräinen' reunaehto pakottaa ratkaisuun. Sovitetut kehitelmät Edellä käytettiin useampaa pituusskaalaa, jotta ratkaisun erilainen käyttäytyminen tarkasteluvälin eri osissa saatiin huomioitua. Käytännössä kussakin osa-alueessa vain yksi skaala kerrallaan on relevantti. Näin ollen on luonnollista kysyä, voidaanko tarkastelua yksinkertaistaa rajoittamalla tarkastelu vuoronperään eri alueisiin ja yhdistämällä näin saadut tulokset. Tämä kysymys johtaa ns. sovitettujen kehitelmien (matched asymptotics) tekniikkaan. Menetelmä on varsin tehokas ja suosittu. Sen periaate on varsin yksinkertainen. Valitaan käytettävät pituusskaalat, kehitetään yhtälö kussakin skaalassa erikseen, identioidaan ne osa-alueet, missä mikin skaala on voimassa ja sovitetaan kehitelmät yhteen. Käytännössä kaksi vaihetta voi vaatia kokeilua: oikeiden skaalojen löytäminen ja oikeiden osa-alueiden erottaminen. Oikeat vastaukset voi löytää arvaamalla tai kokeilemalla systemaattisesti kaikkia vaihtoehtoja, esimerkiksi parametrisoimalla skaalat. Väärät vaihtoehdot johtavat ristiriitoihin sovitettaessa kehitelmiä yhteen.
5 Palataan edellä esitettyyn esimerkkiin, jossa edellisen nojalla tiedämme esiintyvän kaksi skaalaa, x ja x/ɛ, niin että lyhyt skaala esiintyy pisteen 1 ympäristössä. Tarkastelemme aluksi pidempää skaalaa z = x. Jos kehitämme ratkaisun muodossa u = u (z) + ɛu 1 (z) +..., saamme helposti, että u toteuttaa u,z + u = ja lisäksi tulisi toteuttaa reunaehdot. Koska yleinen ratkaisu voi toteuttaa vain yhden reunaehdon, meidän on valittava kummanko päätepisteen ulkopuolella haluamme kehitelmämme olevan voimassa. Näin saamme kaksi mahdollista kandidaattia pitkän skaalan kehitelmiksi: u o = αe z tai u o = βe 1 z. Kutsumme näitä ulommiksi kehitelmiksi (outer expansion, mistä yläindeksi o), koska niiden on tarkoitus olla voimassa rajakerroksen ulkopuolella. Missä on rajakerros, ja mitä siellä tapahtuu. Valitsemme (edellisen analyysin tai fysikaalisen intuition tms pohjalta), että rajakerrosta etsitään pisteen 1 ympäristöstä. Tällöin ulkokehitelmäksi valitaan siis u o = αe z. Lyhyt skaala on vielä määräämättä. Periaatteessa voisimme valita yleisen lyhyen skaalan muotoa ξ = 1 x, missä ν on toistaiseksi vapaa parametri. Lopullinen arvo ν:lle kiinnitettäisiin niin, että saatu kehitelmä on yhteensopiva ɛ ν ulkokehitelmän kanssa. Oikaisemme kuitenkin nyt ja valitsemme ν = 1, eli ξ = (1 x)/ɛ. Sijoittamalla tämä alkuperäiseen yhtälöön yhdessä ratkaisulle tehtävän kehitelmän kanssa, saamme lyhyen skaalan rajatehtävälle muodon u i,ξξ u i,ξ = Tässä u i in ns. sisäkehitelmä (inner expansion). Sen tulee toteuttaa reunaehto pisteessä x = 1 (eli ξ = ), mikä rajaa yleistä ratkaisua muotoon u i = β b(1 e ξ ). Tässä b on toistaiseksi vapaa parametri. Nyt meillä on siis (yhtä vapaata parametria vaille) kaksi kehitelmää eri alueissa, jotka yhdessä toteuttavat yhtälön ja reunaehdot. Kuvaavatko nämä yhdessä ratkaisua ja miten vapaa parametri pitäisi valita. Tässä vaiheessa alkaa kehitelmien yhteensovittaminen (mathcing), josta menetelmä on saanut nimensä. Ns. sovitusperiaate (matching principle) sanoo, että kaksi kehitelmää sopii yhteen jos (u i ) o = (u o ) i Ts. jos sisempi kehitelmä kirjoitettuna ulomman skaalan funktiona ja ulompi kehitelmä sisemmän skaalan funktiona yhtyvät kun pieni parametri viedään rajalle.
6 Mitä tämä tarkoittaa käytännössä. Kirjoitamme aluksi ulkokehitelmän sisäskaalan funktiona u o = αe z = αe 1+ɛξ Vastaavasti sisäkehitelmä on u i = β b(1 e ξ ) = β b(1 e (1 x)/ɛ ) Molemmilla termeillä on raja, kun ɛ lähestyy nollaa. Rajat yhtyvät, jos b = β αe 1. Koska b voitiin valita vapaasti, kehitelmät voidaan liimata yhteen. Mikäli skaalat tai rajakerrosten paikat olisi valittu toisin tämä ei olisi onnistunut vaan käytännössä jompi kumpi em. kehitelmistä olisi räjähtänyt toisessa skaalassa tai tarvittavaa vapaata parametria ei olisi löytynyt. Nyt meillä on täysin kiinnitetty kaksi kehitelmää, joista toinen on voimassa lähes koko alueessa, toinen päätepisteen ympäristössä. Yleensä haluaisimme ratkaisulle esityksen, joka on voimassa koko alueessa ilman valistunutta arvausta oikeasta määrittelyalueesta. Tämä onnistuu määrittelemällä ns. yhdistetty kehitelmä u c = u o + u i (u o ) i Kokoamalla tulokset saamme u c = αe x + β (β αe 1 )(1 e (x 1)/ɛ ) αe 1 = αe x + (β αe 1 )e (x 1)/ɛ mikä on hyvä approksimaatio ratkaisulle koko alueessa. Esimerkki - vaimeneva värähtely Tarkastellaan yksinkertaista vaimennettua värähtelijää mu tt + µu t + ku = missä m on massa, µ vaimennuskerroin ja k jousivakio. Merkitään (vaimentamattoman tapauksen ominaistaajuutta) ω = k/m sekä skaalataan aika ω:lla ja merkitään ɛ = µ/(2 km). Tällöin yhtälö sievenee muotoon u tt + 2ɛu t + u = Vaimeneminen on siis pientä, jos µ on pieni massaan ja jousivakioon nähden. Tehtävä normeerattiin niin, että värähtelyn aikaskaala on O(1). Koska vaimennustermin kerroin on ɛ, vaimeneminen voi tapahtua vasta skaalassa O(1/ɛ). Tarvitsemme siis ainakin kaksi aikaskaalaa. Asetetaan z = t, z 1 = ɛt, z 2 = ɛ 2 t
7 Merkitään derivaattaa z i :n suhteen (),i :llä. Tällöin aikaderivaatat voidaan kirjoittaa muodossa u t = u, + ɛu,1 + ɛ 2 u, u tt = u, + 2ɛu,1 + ɛ 2 (2u,2 + u,11 ) +... Etsitään kehitelmää u = u + ɛu 1 + ɛ 2 u Sijoittamalla derivaattojen lausekkeet yhtälöön ja merkitsemällä kunkin ɛ:n potenssin kertoimet nolliksi saamme u, + u = u 1, + u 1 = 2u,1 2u, u 2, + u 2 = 2u,2 u,11 2u 1,1 2u 1, 2u,1 Yleinen ratkaisu u :lle on muotoa u = Ae iz + Āe iz missä kerroin A = A(z 1, z 2 ) kompleksinen. A on valittava siten, että korjaustermi u 1 pysyy rajoitettuna. Nyt u 1 toteuttaa yhtälön u 1, + u 1 = 2i(A,1 + A)e iz + (...) Ratkaisu kasvaa rajatta ellei päde A,1 + A =, josta saamme kiinnitettyä A:n osittain: A = B(z 2 )e z1. Tällöin voidaan valita u 1 = (homogeenisen yhtälön ratkaisuna). Vastaavasti u 2 on rajoitettu kaikilla z jos 2iB,2 e z 1 Be z 1 = Tämä toteutuu, jos B = Ce iz 2/2. Yhdistämällä edelliset lausekkeet saadaan u = Ce z 1+i(z z 2 /2) + (...) Tai, palaamalla alkuperäiseen muuttujaan ja kirjoittamalla konjugoidut eksponenttifunktiot trigonometrisina funktioina u = ae ɛt cos(b + t tɛ 2 /2) Tässä a on alkuperäinen amplitudi ja b vastaavasti alkuperäinen vaihesiirto. Helposti havaitaan, ettei saatua approksimaatiota voi järkevästi kirjoittaa yksinkertaisen rajayhtälön (jossa ɛ = ) ratkaisun ja korjaustermien avulla. Useamman skaalan kehitelmällä saadaan tässä tapauksessa ei triviaali approksimaatio.
8 Homogenisaatio Homogenisaatiolla tarkoitetaan tekniikoita, joilla pienen mittakaavan ilmiöitä keskiarvoistetaan pidemmän mittakaavan efektiivisiksi malleiksi. Mikrorakenteiden asymptoottinen analyysi on tässä hyvä keino päästä alkuun. Tarkastellaan alussa kuvattua lämmönjohtumista laminaattikerroksen läpi. Kirjoitetaan yksiulotteinen lämmönjohtumisyhtälö (täydellisyyden vuoksi ajasta riippuvassa muodossa) cu t (ku x ) x = f missä c on lämpökapasiteetti, k lämmönjohtumiskerroin ja f mahdollinen lämmönlähde. Lämpötilaa merkitään u:lla. Kertoimet oletetaan periodisiksi lyhyessä mittakaavassa, mutta sallitaan niiden vaihtelu pidemmässä, makroskooppisessa mittakaavassa. Ts. esimerkiksi k = k(x, x/ɛ), missä k(x, y) on y:n suhteen 1-periodinen funktio kaikille x. Periodisen rakenteen voi olettaa aiheuttavan lämpötilaan uktuaatioita mikroskaalassa. Tämän takia lämpötilalle etsitään kehitelmää muodossa u = u (x, x ɛ ) + ɛu1 (x, x ɛ ), +ɛ2 u 2 (x, x ɛ ) +... Merkitään jatkossa lyhyttä skaalaa y:llä, y = x. Tällöin derivaatta muuttujan x suhteen kirjoitetaan u x = u x + 1u ɛ y. Aikaderivaattaan useamman ɛ paikkaskaalan käytöllä ei ole vaikutusta. (Toinen kysymys on, vaikuttaako mikrorakenne myös aikariippuvuuteen - tässä vaiheessa oletamme yksinkertaisuuden vuoksi, että näin ei tapahdu. Ts. emme esittele useampaa aikaskaalaa.) Otettaessa kaksi skaalaa ja asymptoottinen kehitelmä käyttöön lämmönjohtavuustermi saa muodon (k(x, y)u x ) x = 1 ɛ 2 (k(x, y)u y) y 1 ɛ (k(x, y)u y) x (k(x, y)u x) y (k(x, y)u 1 y) y (k(x, y)u x) x (k(x, y)u 1 y) x (k(x, y)u 1 x) y (k(x, y)u 2 y) y Tarkastellaan aluksi termiä 1. Kaikkilla x u :n tulee olla y:n suhteen ɛ 2 periodinen ja toisen y-derivaatan tulee hävitä. Näin ollen u on vakio y:n suhteen (eli pelkästään x:n funktio). Seuraavaksi termistä 1 jää jäljelle ehto ɛ (k(x, y)u 1 y) y = k(x, y) y u x.
9 Ensimmäiseksi tulee tarkistaa, onko ehto toteutettavissa. Toisin sanoen, onko tehtävällä olemassa aina periodinen ratkaisu. Yleisesti pätee, että periodinen ratkaisu u 1 on olemassa jos ja vain jos yhtälön oikea puoli on nollakeskiarvoinen, eli k(x, y) y =. Näin on, koska k oli periodinen y:n suhteen. Ratkaisu on vain vakiota vaille yksikäsitteinen. Merkitään jatkossa v 1 tehtävän (k(x, y)v 1 y) y = k(x, y) y ratkaisua annetulle x ehdolla v1 (x, y) =. Tällöin u 1 on muotoa u 1 (x, y) = v 1 (x, y)u x(x) + ũ 1 (x). Tämän jälkeen voidaan tarkastella termiä ɛ. Eli (k(x, y)u 2 y) y = cu t + f + (k(x, y)u x) x + (k(x, y)u 1 y) x + (k(x, y)u 1 x) y. Tällä on periodinen ratkaisu, jos oikea puoli on nollakeskiarvoinen. Nyt periodisuuden nojalla ja (k(x, y)u 1 y) x = (k(x, y)u 1 x) y = Periodinen ratkaisu u 2 :lle on siis olemassa, jos (k(x, y)v 1 yu x) x. cu t ((k(x, y) + k(x, y)v 1 y)u x) x = Toisin sanoen, jos u ratkaisee yhtälön missä c = c, f = f ja k = c u t (k u x) x = f k(x, y) + k(x, y)v 1 y. Huomataan, että asymptoottisen rajatehtävän kertoimet (ns efektiiviset tai homogenisoidut kertoimet) riippuvat lyhyen mittakaavan vaihtelusta eri f
10 tavoin eri termeille. Sekä aikaderivaatan että oikean puolen termi saadaan suoraviivaisella keskiarvoistamisella, toisen kertaluvun termi sen sijaan on monimutkaisempi ja kuvastaa sitä, että mikrorakenne vaikuttaa ei-triviaalilla tavalla makroskooppiseen ilmiöön. Edellä oleva tekniikka yleistyy useampiulotteisiinkin tapauksiin. Rajoitutaan kuitenkin edelleen yksiulotteiseen tapaukseen ja analysoidaan homogenisoitua kerrointa tarkemmin. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että k = k(y). Tällöin yhtälö v 1 :lle on (k(y)v 1 y) y = k(y) y. Integroimalla saamme k(y)vy 1 = k(y) + C, missä C on integrointivakio. Oletetaan, että k(y) on aidosti positiivinen kaikilla y, jolloin voimme jakaa ja saamme vy 1 = 1 C/k(y). Sijoitetaan tämä k :n lausekkeeseen k = k(y) + k(y)v 1 y = k(y) k(y) C = C. Toisaalta v 1 oletettiin periodiseksi, eli v1 y = 1 C 1/k(y) =. Siispä, k = C = 1/ 1/k(y). Tässä tapauksessa efektiivinen lämmönjohtavuus oli siis periodisen lämmönjohtavuuden harmoninen keskiarvo. Esimerkki - Diuusioapproksimaatio Tarkastellaan lopuksi vähän vaativampaa esimerkkiä, jossa asymptoottinen rajatehtävä on aivan eri tyyppinen kuin alkuperäinen malli. Säteilyn siirtoa puoliläpäisevässä väliaineessa (esimerkiksi neutronien tai fotonien vuo) mallitetaan ns. siirtoyhtälöillä. Tarkastellaan nyt yksikertaisinta mahdollista ei triviaalia tapausta, eli säteilyn siirtoa yksiulotteisessa tapauksessa ilman sirontaa. Ts. käytännössä sitä, miten säteily etenee homogeenisen levyn läpi. Tällöin paikka voidaan kuvata yhdellä koordinaatilla ja säteilyn suunnasta tarvitsee tietää vain sen poikkeama suhteessa levyn normaaliin (mikä voidaan esittää yhdellä parametrilla). Merkitään u = u(x, µ) säteilyn intensiteetti pisteessä x suuntaan µ [ 1, 1]. Intensiteetille (suuntaan µ) voidaan kirjoittaa dierentiaaliyhtälö µu x + κu = κh x, µ Tässä κ on emissio/absorptiokerroin, h materiaalin itsesäteily (esim. σt 4, Stefan-Boltzmann lämpösäteily). Yhtälö sanoo siis, että säteilyn intensiteetti
11 vähenee absorption ja lisääntyy itsesäteilyn verran kulkiessaan pisteen x ohi. Mikäli materiaalissa esiintyisi sirontaa, intensiteetti voisi muuttua myös sen vaikutuksesta, kun säteiden suunta vaihtuisi. Kappaleen reunalla pätee tyypillisesti (x = ) u µ> = q + R(u µ< ) Ts. kappaleeseen kohdistuu ulkoinen säteily + lähtevän säteilyn takaisin heijastuma. Ns. optisesti tiheälle aineelle κ = 1/ɛ, jolloin yhtälö saadaan muotoon µu x + u/ɛ = h/ɛ Havaitaan, että pieni parametri liittyy korkeimpaan derivaattaan, joten kyseessä on epäsäännöllinen häiriötehtävä. Haetaan tälle 'ulkoratkaisua' muodossa u = u + ɛu Sijoittamalla yhtälöön saamme ensimmäisille termeille u = h u 1 = µu,x Yleensä mallituksen kannalta kiinnostava suure on nettosäteily (säteilyn ja absorption erotus) (esimerkiksi, jos olemme kiinnostuneet mallin energiatasapainosta) κ(h u) = µu x Kehitelmälle µ µ µ µu,x = µh x = µ µu 1,x = µ 2 u,xx Sillä itsesäteily h oletetaan isotrooppiseksi (ts. intensiteetti on sama kaikkiin suuntiin). Sijoittamalla vielä u = h voimme todeta, että nettosäteilyn intensiteetti on muotoa cɛh xx. Analyysi voidaan yleistää 3D tapaukseen. Tämän tyyppinen ns. diuusio tai Rosseland approksimaatio on hyvin suosittu työkalu, kun mallitetaan lämmönsiirtoa esimerkiksi kuumassa lasissa. Approksimaatio johtaa (lämpötasapainon osalta) lämpöyhtälön tyyppiseen malliin sen sijaan, että tarvitsisi ratkaista tarkkaan säteilyn siirto siirtoyhtälön avulla kaikkiin suuntiin. Alkuperäisellä tehtävällä olisi korkeampi dimensio - 3D:ssä kolme avaruuskoordinaattia ja kaksi kulmamuuttujaa - säteilykenttä kuvataan siis funktiona viisiulotteisessa avaruudessa. µ µ
12 Koska edellä johdimme vain ulkotehtävän, ongelmaksi jäävät reunaehdot. Reunojen vaikutus rajoittuu pituusskaalaan O(ɛ). Rajakerrosyhtälöiden avulla voidaan johtaa reunaehdot diuusioyhtälölle (h:n suhteen), mutta tämä ei enää ole peruskurssin asiaa. Avainsanoja ja lisätietoja Edellä esitettyjä periaatteita ja ajatuksia sovelletaan runsaasti ja niistä on löydettävissä paitsi oppikirjoja, jopa omia tieteellisiä julkaisusarjojaan. Erilaisista tietokannoista voi etsiä mm. avainsanoilla perturbation theory, singular perturbation, asymptotic analysis. Asymptoottista analyysiä käytetään myös toisin päin. Eli alkuperäinen rajatehtävä muutetaankin pienen parametrin avulla häirityksi tehtäväksi, jolla on jossain mielessä paremmat ominaisuudet. Tällöin puhutaan usein regularisoinnista eli säännöllistämisestä. Eri sovellusaloilla asymptoottisella analyysillä ja sen avulla johdetuilla raja tehtävillä on omia nimityksiään. Esimerkiksi, jos pieni parametri on systeemin mikrorakenteen pituusskaala (esim. monesta kerroksesta muodostetun laminaatin mallittamisessa) puhutaan homogenisoinnista. Pienen parametrin ollessa yksi systeemin dimensioista (esim. paksuus), puhutaan kalvotai lmiteorioista (membrane, thin layer) tai kiinteille aineille laatoista, palkeista jne. Oma lukunsa ovat sitten rajakerrosteoriat, joita liitetään varsinkin virtausdynamiikkaan kun viskositeetti on pieni suhteessa liikemäärään.
Johdatusta moniskaalamallinnukseen. malleissa on usein pieniä/suuria parametreja. rajaprosessi voi johtaa laadullisesti erilaiseen rajayhtälöön
Johdatusta moniskaalamallinnukseen malleissa on usein pieniä/suuria parametreja rajaprosessi voi johtaa laadullisesti erilaiseen rajayhtälöön ratkaisussa useampi pituusskaala epäsäännölliset häiriöt monen
LisätiedotHäiriöteoriaa ja herkkyysanalyysiä. malleissa on usein pieniä/suuria parametreja. miten yksinkertaistetaan mallia kun parametri menee rajalle
Häiriöteoriaa ja herkkyysanalyysiä malleissa on usein pieniä/suuria parametreja miten yksinkertaistetaan mallia kun parametri menee rajalle jatkuvuus ja rajayhtälöt säännölliset ja epäsäännölliset häiriöt
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotVEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4
VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää
Lisätiedot4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
Lisätiedot12. Differentiaaliyhtälöt
1. Differentiaaliyhtälöt 1.1 Johdanto Differentiaaliyhtälöitä voidaan käyttää monilla alueilla esimerkiksi tarkasteltaessa jonkin kohteen lämpötilan vaihtelua, eksponentiaalista kasvua, sähkölatauksen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdoituksia Rami Luisto Sivuja: 5
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 9 3.11.009 alkavalle viikolle Ratkaisuedoituksia Rami Luisto Sivuja: 5 Näissä arjoituksissa saa käyttää kaikkia koulusta tuttuja koulusta tuttujen
Lisätiedot10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen
LisätiedotLuento 14: Periodinen liike, osa 2. Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi F t F r
Luento 14: Periodinen liike, osa 2 Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi θ F µ F t F r m g 1 / 20 Luennon sisältö Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi 2 / 20 Vaimennettu värähtely
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedotk=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu
LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja
LisätiedotKolmannen ja neljännen asteen yhtälöistä
Solmu /019 7 Kolmannen neljännen asteen yhtälöistä Esa V. Vesalainen Matematik och statistik, Åbo Akademi Tämän pienen artikkelin tarkoituksena on satuilla hieman algebrallisista yhtälöistä. Erityisesti
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
Lisätiedot1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt
Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Lisätiedot4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
Lisätiedot[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }.
Mat-2.48 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 3. Johdetaan lineaarisen aikainvariantin seurantatehtävän yleinen ratkaisu neliöllisellä kustannuksella. Systeemi: x k+
LisätiedotTehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla.
Tehtävä.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. x = (a + b cos(θ)) cos(ψ) y = (a + b cos(θ)) sin(ψ) = b sin(θ), a > b, θ π, ψ π Figure. Toruksen hajoituskuva Oletetaan,
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
Lisätiedot1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 27 materiaali 4 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause. Johdanto Jo opiskeltu antaa nyt valmiu tutkia taloudellisia malleja Kiinnostava malli voi olla
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
LisätiedotPakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi
Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi? Kertaus: energian
LisätiedotLyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTEILYTURVAKESKUS STRÅLSÄKERHETSCENTRALEN RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY
Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTELYTUVAKESKUS STÅLSÄKEHETSCENTALEN ADATON AND NUCLEA SAFETY AUTHOTY Ei enää tarkastella neutronien kulkua, vaan työn alla on simppeli tuntemattoman differentiaaliyhtälöryhmä
LisätiedotLuoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13
4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt
Lisätiedot3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotInjektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )
Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
Lisätiedoty 2 h 2), (a) Näytä, että virtauksessa olevan fluidialkion tilavuus ei muutu.
Tehtävä 1 Tarkastellaan paineen ajamaa Poisseuille-virtausta kahden yhdensuuntaisen levyn välissä Levyjen välinen etäisyys on 2h Nopeusjakauma raossa on tällöin u(y) = 1 dp ( y 2 h 2), missä y = 0 on raon
LisätiedotNormaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa
Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Supremum ja inmum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen Kuitenkaan päätepisteet eli luvut ja
Lisätiedot2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla
2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
LisätiedotMatematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Lisätiedot(b) Tunnista a-kohdassa saadusta riippuvuudesta virtausmekaniikassa yleisesti käytössä olevat dimensiottomat parametrit.
Tehtävä 1 Oletetaan, että ruiskutussuuttimen nestepisaroiden halkaisija d riippuu suuttimen halkaisijasta D, suihkun nopeudesta V sekä nesteen tiheydestä ρ, viskositeetista µ ja pintajännityksestä σ. (a)
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotVapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)
Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,
LisätiedotOsa 11. Differen-aaliyhtälöt
Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
Lisätiedot2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio
x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä
LisätiedotTampere University of Technology
Tampere University of Technology EDE- Introduction to Finite Element Method. Exercise 3 Autumn 3.. Solve the deflection curve v(x) exactly for the beam shown y,v q v = q z, xxxx x E I z Integroidaan yhtälö
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 25.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Tämän päivän luento Aiemmin ollaan johdettu palkin voimatasapainoyhtälöt differentiaaligeometrisella tavalla
Lisätiedot3.2.2 Tikhonovin regularisaatio
3 Tikhonovin regularisaatio Olkoon x 0 R n tuntematon, M R m n teoriamatriisi ja y Mx + ε R m (316 annettu data Häiriöherkässä ongelmassa pienimmän neliösumman miniminormiratkaisu x M + y Q N (M x + M
LisätiedotEsimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö
Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi
Lisätiedot2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
Lisätiedot6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun
Lisätiedota) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1.10.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
LisätiedotMat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
LisätiedotKompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava
Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että
Lisätiedot1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 5, ratkaisut syyslukukausi 204). Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta E n n + ) ω, n 0,, 2,... 2 a) Oskillaattorin partitiofunktio
LisätiedotMatematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to
Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotPotenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi.
Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 4: Taylorin sarja, residymenetelmä A.Rasila J.v.Pfaler 26. syyskuuta 2007 Kompleksista sarjoista Jono, suppeneminen, summasarja Potenssisarja, suppenemissäde ja analyyttiset
LisätiedotZ 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2
766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 6: Faasimuutokset Maanantai 5.12. Kurssin aiheet 1. Lämpötila ja lämpö 2. Työ ja termodynamiikan 1. pääsääntö 3. Lämpövoimakoneet
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,
LisätiedotEsimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).
6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
Lisätiedot