Insinöörimatematiikan opiskelijoiden menestyksen ja opiskeluorientaatioiden analysointi erotteluanalyysillä ja GUHA-tiedonlouhintamenetelmällä
|
|
- Kauko Tamminen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknis-luonnontieteellinen osasto Miika Huikkola Insinöörimatematiikan opiskelijoiden menestyksen ja opiskeluorientaatioiden analysointi erotteluanalyysillä ja GUHA-tiedonlouhintamenetelmällä Diplomityö Aihe hyväksytty osastoneuvoston kokouksessa Tarkastajat: Professori Seppo Pohjolainen Professori Esko Turunen Erikoistutkija Kirsi Silius
2 Alkusanat Olen tehnyt tämän diplomityön Tampereen teknillisen yliopiston Matematiikan laitoksella. Työni aihe yhdisti kiinnostavalla tavalla kaksi sydäntäni lähellä olevaa asiaa - matematiikan ja opetuksen. Työni hyvästä ohjauksesta tahdon kiittää professori Seppo Pohjolaista, professori Esko Turusta ja erikoistutkija Kirsi Siliusta. Lisäksi tahtoisin kiittää Matematiikan laitoksen opetushenkilökuntaa erinomaisesta opetuksesta näiden neljän opiskeluvuoden aikana. Kiitos myös muulle Matematiikan laitoksen ja Hypermedialaboratorion henkilökunnalle loistavasta työilmapiiristä. Lisäksi tahdon kiittää vanhempiani opintojeni tukemisesta ja Marikalle lämmin kiitos itseni tukemisesta ja kieliasun huollosta. Kiitos kuuluu myös kaikille opiskelukavereille - teidän ansiostanne opiskelu oli myös hauskaa. Tuomakselle toivotan onnea opintojensa alkutaipaleelle. Kiitos myös teille kaikille muille, jotka olette olleet mukana elämäni eri käänteissä - tämä on niistä yksi. Tampereella 6. syyskuuta 2005 Miika Huikkola Kissanmaankatu 22 B Tampere ii
3 Tiivistelmä TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknis-luonnontieteellinen osasto Matematiikan laitos Huikkola, Miika: Insinöörimatematiikan opiskelijoiden menestyksen ja opiskeluorientaatioiden analysointi erotteluanalyysillä ja GUHA-tiedonlouhintamenetelmällä Diplomityö, 87 sivua, lisäksi 26 sivua liitteitä Tarkastajat: Professori Seppo Pohjolainen, professori Esko Turunen ja erikoistutkija Kirsi Silius Rahoitus: Matematiikan laitos Syyskuu 2005 Teknillisellä alalla matematiikka luo pohjan sekä opiskelulle, että usealle ammattiaineelle. Suomessa diplomi-insinöörikoulutukseen otetaan suhteellisen suuria määriä opiskelijoita ja joidenkin lähtötaso matematiikan taidoissa sekä opiskelutottumuksissa ei ole yliopistokoulutuksen edellyttämällä tasolla. Jotta opetusta voidaan kehittää vastaamaan näitä haasteita, tarvitaan tietoa opiskelijoiden suuntautumisesta opiskeluun - opiskeluorientaatioista. Tämä tutkimus on osa Matematiikan laitoksen ja Hypermedialaboratorion matematiikan opetuksen kehittäminen -tutkimusta. Lähtökohtana tutkimukselle on 860:lle Insinöörimatematiikka 1 kurssin syksyllä 2004 aloittaneelle opiskelijalle teetetty kysely. Tämän kyselyn sekä opiskelijoiden kurssimenestyksen perusteella on tässä tutkimuksessa tarkoitus kartoittaa opiskelijoiden kurssimenestykseen yhteydessä olevia opiskeluorientaatioita. Kyselystä ja opiskelijoiden kurssisuoritukseen liittyvistä tiedoista muodostettuun aineistoon sovellettiin GUHA-tiedonlouhintamenetelmää ja erotteluanalyysiä. Erotteluanalyysin päätuloksena saatiin lopulta kolme menestystä erottelevaa orientaatiota - yrittävä merkityssuuntautuminen, omistautumaiii
4 0. Tiivistelmä ton pintasuuntautuminen ja välineellinen orientaatio. GUHA-menetelmällä saadut tulokset toivat esille epävarmuuden ja kritiikittömän suhtautumisen yhteyden heikkoon kurssimenestykseen. Sen sijaan itsevarmuus ja motivaatio ovat yhteydessä hyvään kurssimenestykseen. Tuloksien käyttö opetuksen kehittämiseen painottuvat opiskelijan oman aktiivisuuden, itsetunnon ja motivaation nostamiseen. Vaikka nämä seikat ovat opiskelijasta itsestään lähtöisiä, on opettajan niihin mahdollista myös yliopistotasolla vaikuttaa. Opiskelijoiden aktivointi sekä itsevarmuuden terve tukeminen on mahdollista tekemällä opetuksesta henkilökohtaisempaa ja ohjatumpaa niille, jotka sitä tarvitsevat ja haluavat. iv
5 Abstract TAMPERE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Department of science and engineering Institute of mathematics Huikkola, Miika: Students performance and learning orientations. Application of discriminant analysis and GUHA data mining method Master of Science thesis, 87 pages and 26 pages in appendices Examiners: Professor Seppo Pohjolainen, professor Esko Turunen and senior researcher Kirsi Silius Funding: Institute of mathematics September 2005 In the branch of engineering mathematics creates a basis for studying and a number of vocational subjects. A relatively high amount of students are selected into M.Sc. training programmes and some of them do not have high enough level in mathematical skills and ways of studying. To improve teaching to face with these challenges, some information is needed about learning orientations. This research is a part of research concerning improvement in mathematics teaching which is being researched in Institute of mathematics and Hypermedia laboratory. Starting point for a study is a questionnaire which was answered by 860 students. These students had started Engineering mathematics 1 course in the autumn By the answers of this questionnaire and the information of each students performance concernig the course, this study aims at finding out learnig orientations which are interrelated with course performance. The data was formed out of questionnaire results and information related to course performance. Discriminant analysis and GUHA data minig method were applied to data. As a main result of discriminant analysis three different v
6 0. Abstract learning orientations were found. These orientations were willing meaning directed orientation, uninterested surface orientation and instrumental orientation. The results obtained by GUHA method showed the connection of insecurity and non-critical attitude with low course performance. Furthermore self-confidence and motivation had connection with higher course performance. Using the results to improve mathematics teaching is directed at supporting students activity, self-esteem and motivation. Even though these concepts are very personal, teacher can have an influence - even at university. Activating and supporting self-confidence is possible by customizing more personal and more guided teaching for students who need it and want it. vi
7 Sisältö i Alkusanat Tiivistelmä Abstract ii iii v Merkinnät 1 1 Johdanto 4 2 Lineaarialgebraa ja tilastomatematiikkaa Lineaarialgebra Vektorit ja matriisit Lohkomatriisit Tilastomatematiikkaa Tilastollisia peruskäsitteitä Estimaateista Jakaumia Tilastollinen testaus Erotteluanalyysissä käytettäviä matriiseja vii
8 Sisältö 3 Erotteluanalyysi Menetelmän pääpiirteet Erotteluanalyysin teoriaa Erotteluanalyysin käsitteitä Erotteluanalyysin toiminta Askeltava erotteluanalyysi Erotteluanalyysin testisuureet Wilksin lambda Wilksin lambda ryhmien keskiarvojen eron testisuureena Wilksin Lambda erottelufunktioiden merkitsevyyden testisuureena Boxin M-testisuure GUHA-tiedonlouhinta Yleistä tiedonlouhinnasta GUHA-menetelmän teoriaa Esimerkki GUHA-menetelmästä GUHA-menetelmä käytännössä Opiskeluorientaatiot Käsitteitä Aikaisempia tutkimuksia Aineiston kuvaus ja tutkimuksen lähtökohdat Aineiston kuvaus Tutkimuskysymys ja hypoteesi viii
9 Sisältö 8 GUHA-menetelmän soveltaminen aineistoon Samankaltaisten muuttujien etsiminen Huonoon ja hyvään opiskelumenestykseen vaikuttavia tekijöitä 61 9 Erotteluanalyysin soveltaminen aineistoon Askeltava erotteluanalyysi Kuvaileva erotteluanalyysi aineistolle Ennustava erotteluanalyysi Luotettavuuden arviointi GUHA-menetelmän luotettavuus Erotteluanalyysin luotettavuus Tulosten analysointi Johtopäätökset Erotteluanalyysin ja GUHA-menetelmän päätulokset Didaktiset muutokset ja rakenteellinen kehittäminen Tutkimuksen jatkaminen Yhteenveto 84 Liite 1 88 Liite 2 97 Liite Liite Liite ix
10 Merkinnät DA GUHA LISp-Miner MDA SPSS TTY Erotteluanalyysi (Discriminant analysis) Tiedonlouhintamenetelmä General Unary Hypotheses Automation Tiedonlouhintasovellus Laboratory of Intelligent Systems Prague Monen ryhmän erotteluanalyysi (yli kaksi ryhmää) Tilasto-ohjelmisto, valmistaja SPSS inc. Tampereen teknillinen yliopisto 1
11 Sisältö 0 Nollavektori 1 Ykkösvektori [1, 1,..., 1] T Jokaisella-kvanttori a, b, c, d Nelikenttään liittyvät luvut (GUHA) A B Joukkojen A ja B karteesinen tulo A T Matriisin A transpoosi A 1 Matriisin A inverssi AC Matriisien A ja C matriisitulo Likimain yhtäsuuri kuin << Selvästi pienempi kuin := Määritellään siten että B Ryhmien välisen systemaattisen vaihtelun momenttimatriisi C Kompleksilukujen joukko d : A B Kuvaus d joukolta A joukolle B det(a), A Matriisin A determinantti E(x) Satunnaismuuttujan x odotusarvo Olemassaolo-kvanttori Sisältyminen f(x) Satunnaismuuttujan x tiheysfunktio FALSE Totuusarvo EPÄTOSI f(x) Funktion f gradientti g Ryhmien lukumäärä (erotteluanalyysi) H 0 Nollahypoteesi H 1 Nollahypoteesin negaatio I Yksikkömatriisi λ Ominaisarvo λ i i:nneksi suurin ominaisarvo L n Havaintopredikaattikieli ln(x) Luonnollinen logaritmi luvusta x \ Joukko-opillinen vähennys N Luonnollisten lukujen joukko {0, 1, 2,...} n Otosvektoreiden lukumäärä (erotteluanalyysi) n r Ryhmän R r alkioiden lukumäärä (erotteluanalyysi) ν(h) Väitteen H totuusarvo Tyhjä joukko Ω Otosavaruus φ, ψ Kaavoja (GUHA) p Satunnaismuuttujan dimensio (erotteluanalyysi) p(a) Tapahtuman A todennäköisyys 2
12 Sisältö R R n R 1,..., R g σ 2 S S S i Σ f(x)dx T TRUE W i W x x x i Reaalilukujen joukko Reaalinen n-ulotteinen vektoriavaruus Ryhmiä Varianssi Tapahtumien joukko Otoskovarianssimatriisi Ryhmän R i otoskovarianssimatriisi Summa Kovarianssimatriisi Funktion f(x) Riemann-integraali Kokonaisvaihtelun momenttimatriisi Totuusarvo TOSI Yhdiste Leikkaus Ryhmän R i sisäisen vaihtelun momenttimatriisi Yhdistetyn sisäisen vaihtelun momenttimatriisi Satunnaismuuttuja Otoskeskiarvo Ryhmän R i otoskeskiarvo 3
13 Luku 1 Johdanto Tutkimuksen lähtökohtana on Tampereen teknillisen yliopiston matematiikan laitoksen syksyllä 2004 teettämä kysely opintojakson insinöörimatematiikka 1 opiskelijoille. Opiskelijat olivat pääsääntöisesti opintonsa aloittaneita ensimmäisen vuosikurssin opiskelijoita. Kysely tehtiin silmälläpitäen opiskelijoiden opiskeluorientaatioiden kartoitusta. Insinöörimatematiikka 1:n opiskelijat muodostavat hyvän tutkimuskohteen, sillä kyseisen opintojakson suorittaa valtaosa kaikista TTY:n opiskelijoista. TTY:n matematiikan laitos on aiemmin tehnyt opiskeluorientaatioden kartoitusta perusmatematiikan opiskelijoille. Perusmatematiikka on lyhyen matematiikan lukiossa suorittaneille TTY:n opiskelijoille suunnattu opintojakso. Tästä on tehnyt diplomityönsä Minna Honkiniemi, saaden tuloksena kuusi eri opiskeluorientaatioryhmää. Lisäksi Pekka Männistö on tehnyt klusterianalyysiä soveltaen kartoituksen tietotekniikan koulutusohjelman vuonna 2003 insinöörimatematiikka 1 opintojakson aloittaneiden opiskelijoiden opiskeluorientaatioista. Tutkimukseeni liittyy myös Heli Raassinan diplomityö, joka koskee tiettyjä insinöörimatematiikan opiskelijoita, jotka on teetetyn lähtötasotestin perusteella valittu harjoittelemaan matematiikan perustaitoja. Tämän tutkimuksen tavoitteena on tutkia kahta menetelmää ja niitä mahdollisesti yhdessä käyttäen saada kohderyhmä luokiteltua opiskeluorientaatioryhmiin, sekä löytää opiskelumenestykseen vaikuttavia tekijöitä. Tulevan tutkimuksen kannalta yksi tehtävä on myös poimia kysymysjoukosta niitä kysymyksiä, jotka ovat tietyssä mielessä parhaita sisällyttää myös tulevaan opiskelijoille teetettävään kyselyyn. Viimeinen vaihe tässä tutkimuksessa koostuu datan analysoinnin johtopäätöksistä ja pohdiskelusta, kuinka orientaatioryhmiin jakoa ja mahdollisesti muuta tutkimuksessa ilmenevää tietoa voidaan 4
14 1. Johdanto hyödyntää TTY:n opetuksen kehittämisessä. Tämän työn luvuissa 2-5 esitellään tutkimuksessa käytettyjen tilastollisten menetelmien taustalla oleva matemaattinen teoria, luvussa 6 esitellään ja määritellään kasvatustieteen käsitteitä, joita tässä työssä tarvitaan. Luvussassa 7 kuvataan käytetty aineisto ja selvitetään tutkimuksen lähtökohdat. Luvut 8 ja 9 keskittyvät esiteltyjen kahden menetelmän soveltamiseen luvussa 7 esiteltyyn aineistoon. Luvussa 10 pohditaan tutkimuksen luotettavuutta ja luvut 11, 12 ja 13 kokoavat tutkimustulokset vaiheittain yhteen. 5
15 Luku 2 Lineaarialgebraa ja tilastomatematiikkaa 2.1 Lineaarialgebra Tämän osion tarkoituksena on määritellä tässä esityksessä käytetyt merkinnät sekä toimia viitteenä myöhemmin tulevalle erotteluanalyysin teorialle Vektorit ja matriisit Vektorin merkintänä käytetään tavallisesti lihavoitua pientä kirjainta esimerkiksi n-vektori a R n ja matriisin merkintänä isoa kirjainta esimerkiksi n p-matriisi A R n p tai p p-matriisi Σ R p p. Matriisi voidaan ajatella taulukkona, jonka komponentit ovat reaalilukuja. Kirjoitetaan matriisi A R n p taulukkomuodossa: a 11 a a 1p a 21 a a 2p A =..... a n1 a n2... a np Reaalilukua a ij kutsutaan matriisin A ij:nneksi alkioksi. 6
16 2. Lineaarialgebraa ja tilastomatematiikkaa Vektorilla tarkoitetaan niin sanottua pystyvektoria, jonka voidaan ajatella olevan matriisin yksi sarake. Esimerkiksi vektoriavaruuden R n vektori a 1 a 2 a =. a n on pystyvektori, jonka i:s komponentti on reaaliluku a i, i = 1, 2,..., n. Vektori a on n 1-matriisi. Transpoosi Matriisin A R m n transpoosia merkitään A T ja se määritellään siten, että jos a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =...., a m1 a m2... a mn niin a 11 a a m1 A T a 12 a a m2 =..... a 1n a 2n... a mn Symmetrisyys Määritelmä Matriisi A on symmetrinen jos A T = A. Matriisitulo Olkoon A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n.... a m1 a m2... a mn 7
17 2. Lineaarialgebraa ja tilastomatematiikkaa ja B = b 11 b b 1p b 21 b b 2p.... b n1 b n2... b np. Matriisien A R m n ja B R p m välinen matriisitulo määritellään siten, että tulomatriisin C = AB ij:s alkio c ij saadaan kaavasta c ij = n a ik b kj. k=1 Matriisin definiittisyys Määritelmä Symmetrinen matriisi A on positiivisesti definiitti, jos kaikilla nollavektorista eroavilla vektoreilla x R n on voimassa x T Ax > 0. Määritelmä Symmetrinen matriisi A on positiivisesti semidefiniitti, jos kaikilla nollavektorista eroavilla vektoreilla x R n on voimassa x T Ax 0. Matriisin determinantti Neliömatriisin A R n n determinanttia merkitään A tai det(a), det : R n n R. Kokoa 1 1 olevan matriisin determinantti on matriisin ainoa alkio a 11. Ennen determinantin määritelmää, otetaan käyttöön käsitteet alimatriisi ja kofaktori. Määritelmä Olkoon A n n matriisi ja olkoon M ij matriisi, joka saadaan, kun matriisista A poistetaan i:s rivi ja j:s pystyrivi. Tällöin M ij on matriisin A ij:s alimatriisi. Määritelmä Olkoon M ij matriisin A i, j:s alimatriisi. Matriisin ij:s kofaktori A ij on tällöin A ij = ( 1) i+j M ij. 8
18 2. Lineaarialgebraa ja tilastomatematiikkaa Määritelmä Matriisin A R n n determinantti määritellään seuraavasti: n A = det(a) = a 1k A 1k, missä a ij on matriisin A ij:s alkio ja A ij on matriisin A ij:s kofaktori. [7] Matriisitulon determinantilla on voimassa: AB = A B kaikille n n-matriiseille A ja B. k=1 Matriisin inverssi Neliömatriisin A R n n inverssiä merkitään A 1. Inverssi on olemassa jos ja vain jos det(a) 0. Tällöin pätee aina A 1 A = I = AA 1. Vektoria, jonka kaikki alkiot (n kpl) ovat ykkösiä, merkitään lihavoidulla ykkösellä 1 R n : 1 1 = Vastaavasti vektoria, jonka kaikki alkiot ovat nollia, merkitään 0 0 =
19 2. Lineaarialgebraa ja tilastomatematiikkaa Lohkomatriisit Matriisi voidaan muodostaa myös lohkomatriisina eli kirjoittamalla matriisimuotoon alkioiksi muita matriiseja. Esimerkiksi matriisi L = voidaan kirjoittaa muodossa a 11 a 12 a 1n a n1 a n2 a nn 1 b 11 b 12 b 1n b n1 b n2 b nn L = 1 1 T 1 A 1 B, missä 1 R n. Olkoon neliömatriisi L R n n esitetty seuraavasti lohkomatriisina: [ A B L = C D missä A R q q, B R q p, C R p q ja D R p p. Lisäksi luonnollisille luvuille p, q ja n pätee n = p + q. Mikäli A 1 on olemassa, niin tällöin matriisin L determinantti voidaan esittää seuraavasti: ], L = A D CA 1 B (2.1) Todistus: Esitetään matriisi ensin kolmen matriisin matriisitulona [ ] [ ] [ ] [ A B A 0 I 0 I A L = = 1 B C D 0 I C D CA 1 B 0 I Koska lohkokolmiomatriisin determinantti on sen diagonaalimatriisien determinanttien tulo [1], saadaan matriisitulon determinantin tulosäännön mukaan L = A D CA 1 B. 10 ].
20 2. Lineaarialgebraa ja tilastomatematiikkaa Ortonormaalisuus Määritelmä Vektorit a ja b ovat ortogonaaliset jos a T b = 0. Määritelmä Vektori a on normeerattu jos a T a = 1. Määritelmä Vektorijoukko {u 1, u 2,..., u n } on ortonormaali jos u T i u j = 0 kaikilla i j ja u T i u i = 1 kaikilla i = 1, 2,..., n. Mikä tahansa vektori v 0 voidaan normeerata seuraavasti: v 0 = v vt v Tällöin v 0 on normeerattu vektori, jolla on sama suunta kuin vektorilla v. Ominaisarvoista Matriisin A R n n ominaisarvot ovat yhtälön ratkaisut λ C. Ax = λx, x 0 (2.2) Tietyllä ratkaisulla λ 0 vektorit x ovat ominaisarvoon λ 0 liittyviä ominaisvektoreita. Yhtälölle (2.2) voidaan johtaa ekvivalentteja muotoja kulloisenkin käyttötarpeen mukaan. Siirtämällä termi λx = λix vasemmalle puolelle ja käyttämällä matriisitulon osittelulakia, saadaan yhtälön (2.2) kanssa yhtäpitävä muoto (A λi)x = 0. (2.3) Koska lineaarisella homogeenisella yhtälöryhmällä Bx = 0 on nollavektorista eroava ratkaisu jos ja vain jos matriisin B determinantti on nolla, niin yhtälön (2.3) kanssa yhtäpitävä on myös yhtälö A λi = 0. (2.4) Yhtälöstä (2.4) voidaan ratkaista ominaisarvot, ja yhtälöstä (2.3) edelleen ominaisvektorit. Matriisi on positiivisesti definiitti jos ja vain jos sen ominaisarvot ovat positiivisia. Matriisi on positiivisesti semidefiniitti jos ja vain jos sen ominaisarvot ovat ei-negatiivisia. 11
21 2. Lineaarialgebraa ja tilastomatematiikkaa 2.2 Tilastomatematiikkaa Tässä kappaleessa lähteenä ovat teokset [22], [12] [15]. Satunnaisilmiöllä tarkoitetaan reaalimaailman ilmiötä, jonka lopputulosta ei voida päätellä sen alkutilasta. [14] Havaittua satunnaisilmiötä kutsutaan satunnaiskokeen tulokseksi eli alkeistapaukseksi. Koska reaalimaailmassa satunnaisilmiöitä on ääretön määrä, rajoitutaan tilastomatematiikassa tiettyihin satunnaisilmiöihin. Kaikkien mahdollisten alkeistapausten muodostamaa joukkoa kutsutaan otosavaruudeksi Ω. Otosavaruuden Ω osajoukkoa kutsutaan tapahtumaksi. Merkitään kaikkien tapahtumien muodostamaa joukkoa symbolilla S. Kolmikko (Ω, S, p) on todennäköisyysavaruus. jos seuraavat kolme vaatimusta ovat voimassa: 1) Otosavaruus Ω on ei-tyhjä joukko. 2) Joukko S on σ-algebra eli toteuttaa seuraavat aksioomat: Ω S (2.5) A S Ω \ A S (2.6) A 1, A 2,... S i A i S. (2.7) 3) Kuvaus p : S R toteuttaa seuraavat aksioomat: 0 p(a) 1 kaikilla tapahtumilla A S (2.8) Jos A 1, A 2,... S ja A i A j = kun i j, (2.9) niin p( i A i ) = i p(a i ) Kuvausta p kutsutaan todennäköisyydeksi. p(ω) = 1. (2.10) Määritelmä Kuvaus x : Ω R n, n 1 (merkitään lyhyemmin x R n ), joka liittää vektorin x i = x(ω i ) jokaiseen otosavaruuden alkioon ω i on satunnaismuuttuja. 12
22 2. Lineaarialgebraa ja tilastomatematiikkaa Jos satunnaismuuttujasta johdetaan jokin muu satunnainen olio kuin vektori (esimerkiksi matriisi), niin tällöin puhutaan satunnaissuureesta. Koetoistoilla tarkoitetaan reaalimaailmassa tehtyjä havaintoja satunnaismuuttujan arvoista. Satunnaismuuttujan arvoja kutsutaan realisaatioiksi, otosvektoreiksi tai havainnoiksi. Koetoistoja indeksoidaan i:llä ja oletetaan, että koetoistoja tehdään aina numeroituva määrä, joten indeksoinniksi voidaan aina valita i = 1, 2, 3,... Koetoistoa i vastaava alkeistapahtuma on ω i ja tätä alkeistapahtumaa vastaava satunnaismuuttujan x arvo on x i = x(ω i ). Havaittujen otosvektoreiden joukkoa kutsutaan otokseksi. Satunnaismuuttuja x R n on jatkuva, jos sen ylinumeroituva arvojoukko on joko R n :n osaväli tai välien yhdiste ja satunnaismuutuja voi saada minkä tahansa arvon arvojoukostaan. [15] Avaruuden R n suljettu osaväli määritellään karteesisena tulona [a 1, b 1 ]... [a n, b n ]. Vastaavasti avoin osaväli määritellään (a 1, b 1 )... (a n, b n ). Olkoon satunnaismuuttujan x R n realisaatio x(ω) jaettu seuraavasti: x 1 (ω) x 2 (ω). x n (ω) = x 1 (ω) x 2 (ω). x p (ω). x p+q (ω) = [ xp (ω) x Q (ω) missä x P : Ω R p, x Q : Ω R q ja n = p + q. Tällöin sanotaan, että satunnaismuuttujat x P R p ja x Q R q ovat samassa kokeessa realisoituvia satunnaismuuttujia. ], 13
23 2. Lineaarialgebraa ja tilastomatematiikkaa Tilastollisia peruskäsitteitä Tiheysfunktio Jos jatkuva satunnaismuuttuja x R p käyttäytyy riittävän säännöllisesti, voidaan tapahtumaan A S liittyvä todennäköisyys kuvata tiheysfunktion f : S R : x f(x) avulla siten, että p(a) = f(x)dx. A Tästä eteenpäin oletetaan, että satunnaismuuttujalla on aina olemassa tiheysfunktio. Tilastollinen riippumattomuus Määritelmä Olkoon satunnaismuuttujalla x R p tiheysfunktio f(x), joka on määritelty koko avaruudessa R p. Olkoon x 1 x 2 x =.. x k Satunnaismuuttujat x i R n i (i = 1, 2,..., k) ja k i=1 n i = p ovat tilastollisesti riippumattomat jos tiheysfunktio f(x) voidaan esittää osamuuttujien tiheysfunktioiden f 1,..., f k tulona: f(x) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 )...f k (x k ). Satunnaismuuttujan odotusarvo Määritelmä Olkoon x R p satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f(x). Matriisiarvoisen funktion G(x) : R p R m m odotusarvo määritellään E(G(x)) = G(x)f(x)dx. R p Odotusarvo on olemassa jos yllämainittu integraali on olemassa. Integraali lasketaan matriisista komponenteittain. 14
24 2. Lineaarialgebraa ja tilastomatematiikkaa Esimerkki Erityisesti satunnaismuuttujan x odotusarvo saadaan seuraavasti E(x) = xf(x)dx. R p Kovarianssimatriisi Määritelmä Kovarianssimatriisi kuvaa satunnaismuuttujan x R p jakaumaa ja se määritellään odotusarvon avulla seuraavasti: Σ = E((x E(x))(x E(x)) T ), mikäli tarvittavat odotusarvot ovat olemassa. Varianssi ja keskihajonta Varianssi on reaaliluku ja sillä tarkoitetaan yksiulotteisen satunnaismuuttujan kovarianssia. Varianssia merkitään σ 2. Keskihajonta on varianssin neliöjuuri ja sitä merkitään symbolilla σ. Korrelaatio Olkoon satunnaismuuttujan x = [x 1, x 2,..., x p ] T kovarianssimatriisi σ 11 σ σ 1p σ 21 σ σ 2p Σ = σ p1 σ p2... σ pp Reaalisten satunnaismuuttujien x i ja x j välinen korrelaatio määritellään tällöin kaavalla σ ij corr(x i, x j ) =. σii σii Korrelaatio on luku, joka kertoo kahden satunnaismuuttujan välisestä line- 15
25 2. Lineaarialgebraa ja tilastomatematiikkaa aarisesta yhteydestä. Positiivinen korrelaatio kertoo, että mikäli satunnaismuuttuja saa suurempia arvoja, niin myös toinen satunnaismuuttuja saa todennäköisesti suurempia arvoja. Negatiivinen korrelaatio taas kertoo yhteyden olevan päinvastaista. Korrelaation itseisarvon numeerisille arvoille on valittu seuraavat sanalliset tulkinnat: corr(x i, x j ) Korrelaatio merkityksetön kohtalainen huomattava voimakas [24] Estimaateista Käytännön tilastomatematiikassa käytössä on vain otos, eikä satunnaismuuttujan todellisista ominaisuuksista ole tarkkaa tietoa. Niinpä täytyy määritellä otoksesta laskettavia estimaatteja tavallisimmille suureille. Seuraavassa käydään läpi näistä muutamia. Estimaattori on mielivaltaiselle otoskoolle käypä satunnaissuure, joka arvioi haluttua parametria ja on datamatriisin funktio. Käsitteellä estimaatti tarkoitetaan otoksesta laskettavaa numeerista arviota estimaattorille. [21] Parametrin θ (voi olla esimerkiksi skalaari, vektori, matriisi tai useampia näistä yhdessä) suurimman uskottavuuden estimaatti (maximum likelihood) ˆθ on otoksesta laskettava estimaatti, joka maksimoi uskottavuusfunktion L arvon otosvektoreilla x 1, x 2,..., x n L(x 1, x 2,...x n, θ) = f(x 1, θ)f(x 2, θ),..., f(x n, θ), missä f(x, θ) on satunnaismuuttujan x tiheysfunktio parametrein θ. Huomautus. Tyypillisesti estimoitavia parametreja ovat odotusarvo ja kovarianssimatriisi. Olkoon θ oikea parametrinarvo. Estimaattori ˆθ on harhaton jos E(ˆθ) = θ kaikilla mahdollisilla parametrinarvoilla θ ja otoksen suuruuksilla. Otoskeskiarvo Satunnaismuuttujan x odotusarvoa voidaan estimoida otoskeskiarvolla: x = 1 n x i = 1 n n XT 1. Otoskeskiarvo on harhaton estimaattori odotusarvolle. 16 i=1
26 2. Lineaarialgebraa ja tilastomatematiikkaa Otoskovarianssimatriisi Suurimman uskottavuuden estimaattori kovarianssimatriisille on S = 1 n (x i x)(x i x) T = 1 n n XT (I 1 n 11T )X. i=1 Kovarianssimatriisille estimaatti S u = 1 n (x i x)(x i x) T = 1 n 1 n 1 XT (I 1 n 11T )X on harhaton. i= Jakaumia Seuraavissa määritelmissä p 1 ja kaikki vapausasteet ovat luonnollisia lukuja. Normaalijakauma Määritelmä Satunnaismuuttuja x R on normaalijakautunut jos sen tiheysfunktio on muotoa f(x) = 1 ] [ σ 2π exp (x µ)2 2σ 2 ja σ > 0. Tällöin merkitään x N(µ, σ 2 ). Ylläolevan normaalijakauman tapauksessa satunnaismuuttujan x odotusarvo on µ ja varianssi σ 2. Multinormaalijakauma Määritelmä Satunnaismuuttuja x R p on multinormaalijakautunut kun sen tiheysfunktio on muotoa [ 1 f(x) = exp 1 ] (2π) p 2 det(σ) 2 (x µ)t Σ 1 (x µ), 17
27 2. Lineaarialgebraa ja tilastomatematiikkaa missä µ R p ja p p matriisi Σ on symmetrinen ja positiivisesti definiitti. Tällöin merkitään x N p (µ, Σ). Ylläolevan multinormaalijakauman tapauksessa satunnaismuuttujan odotusarvovektori on µ ja kovarianssimatriisi Σ. χ 2 -jakauma Määritelmä Olkoon x R p ja x N p (0, I) tällöin satunnaismuuttuja u = x T x on χ 2 -jakautunut vapausastein p. Tällöin merkitään u χ 2 (p). Wishartin jakauma Wishartin jakaumaa voidaan pitää edellä esitetyn χ 2 -jakauman yleistyksenä, missä satunnaissuure on matriisi. Määritelmä Olkoon satunnaismuuttujat z j R p, j = 1, 2,.., m riippumattomasti N p (0, Σ)-jakautuneet. Satunnaissuure Z = m j=1 zzt on tällöin Wishart-jakautunut vapausastein m. Tällöin merkitään Z W p (Σ, m). [11, s.174] Wilksin lambda-jakauma Määritelmä Olkoon satunnaissuure A R p p Wishart-jakautunut vapausastein m 1 ja satunnaissuure B R p p Wishart-jakautunut vapausastein m 2 riippumattomasti A:sta. Tällöin suhde A A + B noudattaa Wilksin lambda-jakaumaa parametrein p, m 1 ja m 2. [11] 18
28 2. Lineaarialgebraa ja tilastomatematiikkaa F-jakauma Määritelmä Olkoon samassa kokeessa realisoituvat satunnaismuuttujat x 1, x 2 R χ 2 -jakautuneita vapausastein n 1 ja n 2. Tällöin satunnaissuure F = n 2x 1 n 1 x 2 on F-jakautunut vapausastein n 1, n 2. Tällöin merkitään F F (n 1, n 2 ). Satunnaismuuttujan kertymäfunktio Määritelmä Satunnaismuuttujan x R n kertymäfunktio on F, jos se toteuttaa yhtälön p({x x y}) = F (y) kaikilla vakiovektorin y R n arvoilla. Epäyhtälö x y tulkitaan komponenteittain. Kertymäfunktion tulkinta on, että se kertoo todennäköisyyden millä satunnaismuuttuja x saa annettua vakiovektoria y pienemmän tai yhtäsuuren arvon. Yleistetty varianssi Määritelmä Olkoon satunnaismuuttujan x R n otoskovarianssimatriisi S. Tällöin satunnaismuuttujan x yleistetty varianssi on matriisin S determinantti S Tilastollinen testaus Hypoteesin testauksen periaatteena on tutkia, onko jokin väite mahdollinen annetussa tapauksessa. Testaus tapahtuu otoksen perusteella siten, että jos otos on merkittävästi ristiriidassa annetun hypoteesin negaation kanssa, voidaan hypoteesi hyväksyä. Hypoteesina voi olla esimerkiksi kahden ryhmän eli otosvektorijoukon otoksessa ryhmien kovarianssimatriisit ovat yhtäsuuret. 19
29 2. Lineaarialgebraa ja tilastomatematiikkaa Toinen esimerkki testattavasta hypoteesista voisi olla kahden ryhmän odotusarvot ovat erisuuret. Käytännön työssä nämä luonnollisesti muotoillaan matemaattisiksi väitteiksi. Testausta varten määritellään hypoteesista riippuen testisuure. Otoksesta lasketaan testisuureelle arvo, jonka perusteella hypoteesi joko hyväksytään tai hylätään. Testisuureen oletetaan noudattavan tunnettua jakumaa ja niin kutsuttu nollahypoteesi H 0 laaditaan siten, että sen ollessa tosi tämä jakauma tunnetaan. Testisuureen arvon ja tunnetun jakauman perusteella katsotaan sijoittuuko testisuureen arvo testisuureen jakauman harvinaiseen vai tavalliseen osaan. Jos testisuureen arvo on harvinaisella alueella, voidaan nollahypoteesi H 0 hylätä ja tämän negaatio H 1 ottaa käyttöön. Mikäli testisuureen arvo on tavallisella alueella, voidaan nollahypoteesin olettaa pätevän. Harvinaista aluetta kutsutaan kriittiseksi alueeksi. Kriittinen alue määräytyy kiinnitetyn p-arvon mukaan. Tämä p-arvo on tässä tutkimuksessa 0.1 ja tätä todennäköisyyttä vastaava osa testisuureen tiheysfunktion valitusta päästä määrää kriittisen alueen. Jos testisuureen suuret arvot ovat harvinaisia ja johtavat nollahypoteesin hylkäämiseen, on kriittinen alue jakauman oikealla hännällä ja testisuureen pienien arvojen ollessa harvinaisia vasemmalla hännällä. Jos testisuureen pienet ja suuret arvot johtavat nollahypoteesin hylkäämiseen, on kriittinen alue jakauman molemmilla hännillä. [14] Erotteluanalyysissä käytettäviä matriiseja Olkoon aineistomme otos, jota kuvaa matriisi X 1 X 2 X =. Rn p, X g missä lohkomatriisi X r sisältää r:nteen ryhmään R r kuuluvat otosvektorit x ri ja on muodostunut seuraavasti: 20
30 2. Lineaarialgebraa ja tilastomatematiikkaa X r = x T r1 x T r2. x T rn r, missä r = 1,..., g ja luonnollinen luku n r > 0 on ryhmään R r kuuluvien otosvektoreiden lukumäärä. Toisin sanoen otoksen vektori x ri on r:nnen ryhmän i:ttä havaintoa satunnaismuuttujasta x. Merkitään r:nnen ryhmän otoskeskiarvoa x r. Seuraavissa määritelmissä yllä mainitut merkinnät ovat voimassa. Määritelmä Havaintojen x ri kokonaisvaihtelun momenttimatriisi on g n r T = (x ri x)(x ri x) T. r=1 i=1 Määritelmä Ryhmien X 1, X 2,..., X g välisen systemaattisen vaihtelun momenttimatriisi on g B = n r (x r x)(x r x) T. r=1 Määritelmä Ryhmän X r sisäisen vaihtelun momenttimatriisi on n r W r = (x ri x r )(x ri x r ) T. i=1 Määritelmä Kaikkien ryhmien yhdistetyn sisäisen vaihtelun momenttimatriisi on g W = W r. [16] r=1 Matriisit B ja W r ovat positiivisesti semidefiniittejä. Matriisi W on positiivisesti definiitti. Yllä määriteltyjä matriiseja T, B, W r ja W käytetään erotteluanalyysiin liittyvissä luvuissa. 21
31 Luku 3 Erotteluanalyysi Tässä luvussa lähteinä ovat pääsääntöisesti [13], [10] ja [6]. 3.1 Menetelmän pääpiirteet Erotteluanalyysi (discriminant analysis, DA) voidaan jakaa kahteen ryhmään, tavalliseen erotteluanalyysiin (DA) ja monen ryhmän erotteluanalyysiin (MDA). Tästä eteenpäin puhuttaessa erotteluanalyysistä, tarkoitetaan yleistä monen ryhmän erotteluanalyysiä, jonka erityistapaus tavallinen erotteluanalyysi luonnollisesti on. Erotteluanalyysin lähtökohta on datan jaottelu ensin tietyn jaottelusäännön avulla. Tämä jaottelu voisi esimerkiksi olla neljä ikäryhmää, alle 10- vuotiaat, vuotiaat, vuotiaat ja yli 30-vuotiaat. Tämän jälkeen pyritään muodostamaan erottelufunktio, joka erottelee mahdollisimman hyvin eri ryhmät ennustavien muuttujien avulla. Erottelufunktiota tai erottelufunktioita voidaan käyttää myöhemmin ryhmään ennustamiseen, jolloin puhutaan ennustavasta erotteluanalyysistä (PDA, predictive discriminant analysis). Toinen erotteluanalyysin muoto on niin sanottu kuvaileva erotteluanalyysi (DDA, descriptive discriminant analysis). Tämän menetelmän periaatteena on saada tietoa niistä muuttujien muodostamista kokonaisuuksista, jotka vaikuttavat ryhmien erilaisuuteen. Matemaattisen teorian kannalta nämä kummatkin tavat ovat samoja, mutta tulkinnallisesti puhutaan eri menetelmistä. [10] 22
32 3. Erotteluanalyysi 3.2 Erotteluanalyysin teoriaa Olkoon n:n kappaleen otos p + 1-vektoreita {z 1, z 2,..., z n }. Olkoon jokainen otosvektori muotoa z k = [y k x T k ]T. Erotteluanalyysi lähtee liikkeelle jaottelusta, eli otosvektoreiden jakamisesta ryhmiin, joukkoihin R 1,..., R g tietyllä kriteerillä. Kriteerin on oltava luonteeltaan sellainen, että yksikään otosvektori ei kuulu useampaan kuin yhteen luokkaan. Otosvektorin ensimmäistä komponenttia y, jonka perusteella jaottelu tapahtuu kutsutaan kriteerimuuttujaksi. Muuttujia, joiden arvoista vektorit x k koostuvat, kutsutaan selittäviksi muuttujiksi. Esimerkki Olkoon kriteerimuuttujana henkilön ikä. Jaottelu voisi tapahtua esimerkiksi seuraavan taulukon mukaisesti y k < >25 Ryhmä R 1 R 2 R 3 Tällöin ne otosvektorit, joissa kriteerimuuttuja (ikä) on alle 18, tulevat jaotelluiksi ryhmään R 1. Otosvektorit, joissa kriteerimuuttuja on välillä tulevat jaotelluiksi ryhmään R 2. Lopuksi ne otosvektorit, joissa kriteerimuuttuja saa suurempia arvoja kuin 25, tulevat luokitelluiksi ryhmään R 3. Huomautus. Tässä oletetaan, että kaikkien otosvektorien kriteerimuuttuja tulee jaotelluksi johonkin ryhmään. Mikäli jokin kriteerimuuttuja ei täytä minkään ryhmän kriteereitä, voidaan tätä kriteerimuuttujaa vastaavat otosvektorit olettaa olevan pois alkuperäisestä otoksesta. Muodostetaan kriteerivektori y jaottelun mukaisesti kriteerimuuttujista: y = y 1 y 2. y n = missä kutakin ryhmää R r vastaa kriteerivektorin y lohko y r, missä r = 1,..., g. 23 y 1 y 2. y r. y g,
33 3. Erotteluanalyysi Merkitään ryhmään R r kuuluvien objektien lukumäärää n r :llä ja merkitään kaikkien ryhmiin kuuluvien objektien lukumäärää n = g n r. r=1 Muodostetaan datamatriisi X otosvektoreista x ri, i = 1,..., n r, r = 1,..., g seuraavasti. Jokaista ryhmää R r vastaa matriisi x T r1 x T r2 X r =.. x T rn r Edelleen näistä matriiseista muodostetaan analyysissä käytettävä datamatriisi X R n p X = missä kukin lohkomatriisi X i vastaa ryhmän R i objekteja siten, että kukin matriisin X i vaakarivi vastaa yhtä ryhmän realisaatiota ja jokaisessa vaakarivissä on p komponenttia. Oletetaan kutakin ryhmää R 1,..., R g vastaavat tiheysfunktiot f 1 (x), f 2 (x),..., f g (x) tunnetuiksi. Edelleen oletetaan, että kunkin ryhmän R r kovarianssimatriisit ovat identtiset, sekä ryhmien keskiarvovektorit ovat toisistaan eroavat. Näiden oletusten toteutumiseen ja testaamiseen palataan luvussa Erotteluanalyysin testisuureet. Erotteluanalyysissä tarkoituksena olisi löytää erottelufunktio d : R n R jonka avulla ryhmät R 1,..., R g saataisiin eroteltua mahdollisimman hyvin muuttujan x avulla. Intuitiivisesti tämä voitaisiin toteuttaa siten, että pyritään jollain tapaa esittämään reaalilukuna p-ulotteisen satunnaismuuttujan ryhmien sisäinen vaihtelu ja ryhmien välinen vaihtelu. Tämän jälkeen pyritään maksimoimaan ryhmien välisen vaihtelun suhde ryhmien sisäiseen vaihteluun, jolloin kuten kuvat 3.1 ja 3.2 osoittavat, päästään tässä mielessä hyvään erotteluun. Kuvissa kutakin ryhmää vastaa yksi tiheysfunktio, jotka kuvien tapauksissa ovat normaalijakaumia. 24 X 1 X 2. X g,
34 3. Erotteluanalyysi Kuva 3.1. Kolmen ryhmän tiheysfunktiot. Pieni ryhmien sisäinen vaihtelu ja suuri ryhmien välinen vaihtelu Kuva 3.2. Kolmen ryhmän tiheysfunktiot. Suuri ryhmien sisäinen vaihtelu ja pieni ryhmien välinen vaihtelu 25
35 3. Erotteluanalyysi Ennen kuin ylläolevaan tilanteeseen päästään, on lähdettävä liikkeelle määritellyistä käsitteistä kriteerivektori ja datamatriisi, joiden komponentit on ryhmitelty vastaavasti ryhmien jaottelun mukaan. Tarkastellaan aluksi lineaarikombinaatiota, jonka haluttaisiin toteutuvan y = y 1 y 2. y g = Xa = X 1 a X 2 a. X g a, (3.1) missä X on datamatriisi, joka sisältää selittävät muuttujat ja a on etsittävä vektori. Yhtälön toteuttavaa ratkaisua a ei yleisessä tapauksessa ole, joten vektori pyritään saamaan sellaiseksi, että ryhmien välisen hajonnan ja ryhmien sisäisen hajonnan välinen suhde olisi mahdollisimman suuri. Ryhmien sisäistä hajontaa valitaan kuvaamaan neliösumma a T Wa ja ryhmien välistä hajontaa neliösumma a T Ba, missä momenttimatriisit W ja B on määritelty määritelmissä (2.2.14) ja (2.2.15). Erottelufunktio määräytyy vektorin a 0 perusteella ja on muotoa: d : R n R : d(x) = a T x. (3.2) Etsitään vektoria a optimointiprobleeman ratkaisuna max a a T Ba a T Wa. (3.3) Seuraavassa kuvassa havainnollistetaan tilannetta, kuinka erottelufunktion määrävä vektori (kuvassa a) tulee sijoittumaan tietyssä kaksiulotteisessa tapauksessa. Punaiset pisteet vastaavat yhtä jaoteltua ryhmää (normaalipainoiset) ja siniset pisteet toista (ylipainoiset). Tässä tapauksessa pyritään löytämään erottelufunktio, joka pituuden ja kengännumeron perusteella erottelee painoluokan mahdollisimman hyvin. 26
36 3. Erotteluanalyysi dm Pituus a Normaalipainoiset Ylipainoiset 16 Kengännumero Kuva 3.3. Erottelufunktion määräävän vektori a määräytyminen etsittäessä erottelufunktiota kahden ryhmän tapauksessa Lause Matriisin W 1 B suurinta ominaisarvoa vastaava ominaisvektori on optimointiprobleeman (3.3) ratkaisu. Todistus: Merkitään maksimoitavaa funktiota f(a) = at Ba a T Wa. Ylläoleva voidaan kirjoittaa identiteettinä f(a)(a T Wa) = a T Ba. Derivoidaan tämä vektorin a suhteen, jolloin saadaan f(a)(a T Wa) + 2Waf(a) = 2Ba. Koska ääriarvokohdassa on välttämättä f(a) = 0, saadaan edellisestä yhtälöstä ääriarvokohdalle Ba = f(a)wa. 27
37 3. Erotteluanalyysi Koska matriisi W on positiivisesti definiitti, on sillä olemassa inverssi ja edellinen yhtälö saadaan muotoon W 1 Ba = f(a)a. (3.4) Yhtälön (3.4) nähdään olevan matriisin W 1 B ominaisyhtälö, missä ominaisarvo on f(a) ja vastaava ominaisvektori a. Funktio f(a) saa luonnollisesti globaalin maksiminsa, kun vektoriksi valitaan a suurinta positiivista ominaisarvoa vastaava ominaisvektori a 1. [12] Muut erottelufunktiot muodostetaan matriisin W 1 B positiivisia ominaisarvoja vastaavien ominaisvektoreiden avulla. Suuruusjärjestyksessä k:nnetta positiivista ominaisarvoa vastaava ominaisvektori on optimointitehtävän ratkaisu. [12] max at Ba a T Wa ehdoilla a T Wa j = 0, j = 1,..., k 1 Näin ollen erottelufunktion määräävä vektori löydetään ominaisarvotehtävänä. Yhtä positiivista ominaisarvoa vastaa aina yksi erottelufunktio. Matriisin W 1 B i:nneksi suurinta positiivista ominaisarvoa λ i vastaava ominaisvektori a i määrää ominaisarvoon λ i liittyvän erottelufunktion d i = a T i x. Matriisin W 1 B positiivisten ominaisarvojen ja siten erottelufunktioiden lukumäärä on korkeintaan min{p, g 1}, missä p on selittävien muuttujien lukumäärä ja g on jaoteltujen ryhmien lukumäärä. [13] Matriisilla W 1 B ja positiivisesti semidefiniitti matriisi W 1/2 BW 1/2 ovat similaarisia, joten niillä on samat ominaisarvot. Näin ollen ominaisarvot voidaan laskea positiivisesti semidefiniitin matriisin ominaisarvoina ja ne ovat aina ei-negatiivisia. 3.3 Erotteluanalyysin käsitteitä Optimointiprobleeman (3.3) ratkaisuna saadun ominaisarvoa λ i vastaavan normeeratun 1 ominaisvektorin a i komponentteja a 1, a 2,...a p kutsutaan erottelufunktion d i standardoiduiksi painokertoimiksi. 1 Voidaan normeerata esimerkiksi W-metriikan suhteen 28
38 3. Erotteluanalyysi Ei-standardoidut painokertoimet ã i saadaan komponenteittain standardoiduista seuraavalla kaavalla: s y ã i = a i s i missä s y on kriteerivektorin y komponenttien estimoitu keskihajonta ja s i on selittävän muuttujan x i estimoitu keskihajonta. Lisäksi ei-standardoituihin painokertoimiin tulee mukaan vakiotekijä tietyin kriteerein. [10, s. 40] Havainnon ˆx erottelupistemäärä (discriminant score) on erottelufunktion d i arvo pisteessä ˆx ts. a T i ˆx Ryhmän R i sentroidi µ i on ryhmään kuuluvien otosvektoreiden keskiarvo. Rakennematriisi (structure matrix) kertoo kunkin muuttujan yksittäisen korrelaation kunkin erottelufunktion arvoon. Tämän matriisin perusteella voidaan kukin erottelufunktio nimetä ja tulkita sen käyttäytymistä. Nimeäminen tapahtuu niiden muuttujien perusteella, jotka eniten korreloivat nimettävänä olevan erottelufunktion kanssa. Mikäli erotteluanalyysiä halutaan käyttää luokitteluun, on käytännön kannalta järkevää määritellä luokitteluun parhaiten soveltuva funktio. Luokittelu voitaisiin toki tehdä määriteltyjen erottelufunktioiden avulla siten, että havainto tulee luokitelluksi siihen ryhmään, jonka erottelupistemäärät ovat lähimpänä 2 kyseisen ryhmän sentroidin erottelupistemääriä. SPSS-ohjelmisto tarjoaa funktion, jonka perusteella käyttäjän on luokittelu helppo tehdä, minkä vuoksi se esitellään seuraavassa kappaleessa. Luokittelufunktion (classification function) perusteella havainnot luokitellaan ennalta jaoteltuihin ryhmiin. Havainto luokitellaan siihen ryhmään, jota vastaava luokittelufunktio saa suurimman arvon. Ryhmää R r vastaava luokittelufunktio määritellään L r (x) = (µ T r S 1 )x 1 2 µt r S 1 µ r + ln n r n, missä S = 1 W. Tämä voidaan esittää muodossa n g L r (x) = b T r x + c r. [10, s.59] Tällöin vektorin b r komponentit ovat ryhmään R r liittyvän luokittelufunktion kertoimet. 2 Se miten etäisyys määritellään onkin jo toinen juttu 29
39 3. Erotteluanalyysi 3.4 Erotteluanalyysin toiminta Edellä esitetyn teorian mukaan erotteluanalyysissä pyritään etsimään sellainen vektori a, että neliösummien a T Ba ja a T Wa välinen suhde maksimoituu. Tämä tehtävä palautuu lauseen (3.2.1) matriisin W 1 B ominaisarvotehtäväksi. Jokaista tämän matriisin positiivista ominaisarvoa vastaa yksi erottelufunktio, joka määräytyy tähän ominaisarvoon liittyvän normeeratun ominaisvektorin perusteella. 3.5 Askeltava erotteluanalyysi Edellä käsitellyssä teoriassa pidettiin mukana jatkuvasti kaikkia muuttujia riippumatta siitä, onko muuttujilla mitään vaikutusta erotteluun. Kun erottelufunktiota muodostetaan, ei yllämainittu proseduuri millään tapaa testaa, kannattaako muuttujaa ottaa malliin mukaan. Jotta erottelufunktion määrittelevästä vektorista saataisiin kohtuullisen kokoinen ja siten helpommin käsiteltävä ja jotta malliin ei otettaisi turhia muuttujia mukaan on kehitelty askeltava (stepwise) erotteluanalyysi. Lähteenä seuraavassa askeltavan menetelmän tapauksessa on [19][ss ] Ideana askeltavassa erotteluanalyysissä on tuoda malliin mukaan muuttuja, katsoa kuinka se erottelee ryhmiä ja jos se erottelee tarpeeksi hyvin, otetaan se mukaan malliin eli selittävien muuttujien joukkoon. Tämän jälkeen käydään kaikki mallissa olevat muuttujat läpi ja katsotaan voidaanko joku muuttuja ottaa mallista pois ilman, että menetetään merkittävästi erotteluinformaatiota. Erotteluinformaation määrän testaukseen voidaan käyttää Wilksin lambda suuretta. Oletetaan, että mallissa on mukana q muuttujaa. Algoritmi luonnollisesti lähtee liikkeelle siitä, että malliin otetaan ensin mukaan yksi muuttuja, eli tapauksesta q = 1. Kirjoitetaan dataan liittyvät matriisit W ja T muodossa [ ] W11 W W = 12 W 21 W 22 [ ] T11 T T = 12, T 21 T 22 30
40 3. Erotteluanalyysi missä matriisit T 11, W 11 R q q ovat momenttimatriisit, jotka on laskettu otosvektoreista, joissa on mukana mallissa olevien q:ta muuttujaa vastaavat komponentit. Voidaan ajatella, että ryhmät tulevat hyvin erotelluiksi, kun mallissa mukana olevien muuttujien näkökulmasta ryhmien keskiarvovektorit eroavat ja yksikään mallissa mukana olematon muuttuja ei tuo merkittävästi eroa ryhmien keskiarvovektoreihin. Olkoon kunkin ryhmän R i keskiarvovektori µ i R q i = 1,..., g muodostettu mallissa mukana olevista q:sta muuttujasta. Tarkastellaan hypoteeseja: H 0 : µ 1 = µ 2 =... = µ g H 1 : µ i µ j joillekin i j. Oletetaan, että ryhmät R 1,..., R g ovat multinormaalijakautuneita, jolloin suure W 11 / T 11 noudattaa Wilksin lambda-jakaumaa. Testataan lisäinformaatiota tarkastelemalla suhdetta (katso tulos (2.1)) Λ = W T = W 11 W 22 W 21 W 1 11 W 12 T 11 T 22 T 21 T 1 11 T 12 = Λ mukana Λ pois, (3.5) missä Λ mukana = W 11 T 11 ja Λ pois = W 22 W 21 W 1 11 W 12. Suure Λ T 22 T 21 T 1 11 T mukana muodostaa 12 testisuureen lisäinformaatiolle ja noudattaa myös Wilksin lambda-jakaumaa. Lisäksi se kertoo matriisin WT 1 determinantin muutoksen kun mallissa mukana olevien muuttujien vaikutus on poistettu. Ennen varsinaisen valintamenettelyn esittelyä kerrotaan, mitä erilaiset arvot suureille Λ mukana ja Λ pois merkitsevät. Perustelut pohjautuvat siihen, että momenttimatriiseista saadaan helposti vastaavat kovarianssimatriisit. Momenttimatriisin determinanttia voidaan siis ajatella yleistettynä varianssina. Jos Λ mukana 1, niin mallissa olevat q muuttujaa eivät erottele ryhmiä kovin hyvin toisistaan, sillä mallissa mukana olevien muuttujien ryhmien sisäinen yleistetty varianssi on lähes sama kuin kaikkien havaintojen yleistetty varianssi. Jos Λ mukana << 1, niin mallissa olevat q muuttujaa erottelevat ryhmiä hyvin toisistaan, sillä mallissa mukana olevien muuttujien ryhmien sisäinen yleistetty varianssi on hyvin pieni verrattuna kaikkien havaintojen yleistettyyn varianssiin. 31
41 3. Erotteluanalyysi Jos Λ pois 1, niin mallin ulkopuolella olevat p q muuttujaa eivät tuo oleellista muutosta suureen Λ arvoon, sillä determinantin WT 1 muutos on vähäinen. Jos Λ pois << 1, niin jokin mallin ulkopuolella oleva muuttuja tuo suureen Λ arvoon merkitsevän muutoksen ja sisältää siten erottelun kannalta oleellista informaatiota, sillä determinantin WT 1 arvo muuttuu selvästi, jolloin suhde W muuttuu siten, että sisäisen yleistetyn varianssin suhde kaikkien T havaintojen yleistettyyn varanssiin pienenee. Päätetään seuraavan ((q + 1):nnen) muuttujan valinnasta malliin. Valitaan se muuttuja, joka antaa suureelle Λ pienimmän arvon. F-jakautunut suure, joka kertoo kuinka paljon Wilksin lambda muuttuu, kun uusi muuttuja lisätään saadaan seuraavasti: F muutos = ( n g q )( 1 Λq+1 /Λ ) mukana g 1 Λ q+1 /Λ mukana (3.6) missä Λ q+1 viittaa Wilksin lambdaan (3.5), jossa uusi malliin mukaan tuotava (testattava) muuttuja on otettu huomioon. Jos tätä F-arvoa vastaava p-arvo alittaa kiinnitetyn merkitsevyystason (Fto-enter), valitaan uusi muuttuja malliin. Tämän jälkeen tutkitaan mallissa olevia muuttujia, voidaanko joku tai jotkut niistä pudottaa mallista pois erottelun kärsimättä ts. että suuretta (3.6) vastaava p-arvo jollain mallissa olevalla muuttujalla ylittaisi kiinnitetyn p-arvon (F-to-remove). Muuttujat käydään kukin yksitellen läpi ja jokaisella askeleella tarkistetaan malliin mukaan otettava muuttujaehdokas, sekä mallissa mukana olevat muuttujat. Askeltava menetelmä loppuu kun yhtään muuttujaa ei enää kelpuuteta malliin mukaan. Askeltava menetelmä siis valitsee malliin mukaan tulevat muuttujat. Kun muuttujat on valittu, suoritetaan tavallinen erotteluanalyysi käyttäen vain valittuja muuttujia vastaavaa osaa datamatriisista. 32
42 Luku 4 Erotteluanalyysin testisuureet 4.1 Wilksin lambda Tässä kappaleessa on pääsääntöisenä lähteenä [13]. Wilksin lambdaa käytetään erotteluanalyysissä testisuureena kahdessa eri yhteydessä. Sen avulla voidaan testata, ovatko jaoteltujen ryhmien keskiarvot toisistaan merkittävästi eroavia. Sitä käytetään myös testaamaan erottelufunktioiden tuomaa lisäerotteluinformaatiota. Hieman virheellisesti voidaan puhua erottelufunktioiden merkitsevyyden testaamisesta Wilksin lambda ryhmien keskiarvojen eron testisuureena Erotteluanalyysin kannalta keskeistä on, että jaotellut ryhmät todellakin eroavat toisistaan. Luonteva keino tämän eron selvittämiseen olisi tutkia ryhmien R 1, R 2,..., R g odotusarvojen µ 1, µ 2,..., µ g R p eroa. Siihen, että kaksi odotusarvoa µ l ja µ m eroavat toisistaan, riittää, että yksikin komponentti vektoreista µ l ja µ m eroaa tilastollisesti merkitsevästi. Merkitsevyyden testaamiseen voidaan käyttää Wilksin lambda testiä. Koska erotteluanalyysissä vaaditaan, että ryhmät R 1, R 2,..., R g, joita vastaavat odotusarvot ovat µ 1, µ 2,..., µ g eroavat toisistaan, asetetaan nollahypoteesiksi ryhmien odotusarvojen yhtäsuuruus: H 0 : µ 1 = µ 2 =... = µ g, 33
43 4. Erotteluanalyysin testisuureet jolloin H 1 : µ i µ j jollekin i j. Oletetaan lisäksi, että jokaisella ryhmällä on sama kovarianssimatriisi Σ. Suurimman uskottavuuden estimaattorit odotusarvolle µ = µ 1 =... = µ g ja kovarianssimatriisille Σ ovat nollahypoteesin vallitessa vastaavasti: x = 1 n XT 1 ja S = 1 n XT (I X 1 n 11T ) X. Testisuure Wilksin lambda on Λ = W T = W W + B, missä matriisit W ja B lasketaan kappaleen määritelmien mukaan annetusta otoksesta. Wilksin lambda voi saada arvoja välillä [0, 1]. Testisuureen Λ arvo, joka on selvästi pienempi kuin 1, tarkoittaa, että ryhmien keskiarvovektorit eroavat toisistaan. Testisuureen arvot lähellä 1:tä kertovat ryhmien keskiarvojen olevan (otoksen perusteella) samat. Jälkimmäisessä tapauksessa ei erotteluanalyysin oletukset toteudu. Testisuureen arvon 1 tulkinta on, että tällöin ryhmien keskiarvovektorit yhtyvät koko aineiston keskiarvovektoriin. Oletetaan, että ryhmien jakaumat ovat normaaleja ja nollahypoteesi H 0 on voimassa. Nyt voidaan tarkastella aineistoa otoksena jakaumasta N p (µ, Σ), jolloin matriisit W ja B ovat riippumattomia ja noudattavat Wishartin jakaumaa: W W p (Σ, n g) B W p (Σ, g 1). Niinpä testisuure Λ noudattaa Wilksin Λ-jakaumaa [3] parametreilla p, n g ja g 1. Testisuureelle voidaan käyttää approksimaatiota missä R = (1 Λ1/s )(ms p(g 1)/2 + 1), Λ 1/s p(g 1) m = (n 1)(p + g)/2 34
44 4. Erotteluanalyysin testisuureet ja [4] p s = 2 (g 1) 2 4 p 2 + (g 1) 2 5. Suure R on nyt likimain F-jakautunut vapausastein p(g 1) ja ms p(g 1) 2 + 1, jolloin testaus palautuu F-jakaumaan Wilksin Lambda erottelufunktioiden merkitsevyyden testisuureena Wilksin lambda tulee erotteluanalyysin tapauksessa esille myös toisessa yhteydessä, erottelufunktioiden tuoman lisäinformaation testauksessa. Erottelufunktioitahan on tunnetusti korkeintaan min{g 1, p}, mutta kun ajattellaan erotteluanalyysiä prosessina, ei sellaisia erottelufunktioita tarvita, jotka eivät tuo erotteluun mitään lisäinformaatiota jo muodostettujen erottelufunktioiden suhteen. On syytä huomata, että tässä vaiheessa oltaessa on jo varmistuttu siitä, että ryhmien keskiarvot eroavat toisistaan. Wilksin lambda ei kuitenkaan tässä tule esille kuin nimellisesti, sillä testisuureen jakaumaa voidaan arvioida suoraan χ 2 -jakauman avulla. Oletetaan, että kunkin ryhmän kovarianssimatriisi tunnetaan ja se on kullakin ryhmällä sama. Merkitään tätä kovarianssimatriisia totutulla tavalla symbolilla Σ. Merkitään ryhmän R i otoskeskiarvoa x i. Olkoot ryhmän R i otosvektorit peräisin normaalijakaumasta N p (µ i, Σ) kaikilla i = 1,..., g. Kun halutaan testata erottelufunktioiden tuomaa erotteluinformaatiota, niin aluksi testataan, eroavatko ryhmät ylipäätään toisistaan. Toisin sanoen ensin testataan erotteluinformaatio kaikilla erottelufunktioilla. Tämän jälkeen pudotetaan aina yksi erottelufunktio pois ja testataan, erottelevatko jäljelle jääneet erottelufunktiot ryhmiä toisistaan. Olkoon seuraavassa mukaan otettujen erottelufunktioiden lukumäärä r. Olkoot τ 1, τ 2,..., τ d ratkaisut yhtälölle B τσ = 0, (4.1) missä d on erottelufunktioiden maksimimäärä. Asetetaan hypoteeseiksi: H 0 : τ r+1 + τ r τ d = 0 H 1 : τ r+1 + τ r τ d > 0. 35
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotMaximum likelihood-estimointi Alkeet
Maximum likelihood-estimointi Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Maximum likelihood-estimointi p.1/20 Maximum Likelihood-estimointi satunnaismuuttujan X
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
5.3.2018/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 5.3.2018, osa 1 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotMatematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
Lisätiedot5.7 Uskottavuusfunktioon perustuvia testejä II
5.7 Uskottavuusfunktioon perustuvia testejä II Tässä pykälässä pohditaan edellä tarkasteltujen kolmen testisuureen yleistystä malleihin, joiden parametri on useampiulotteinen, ja testausasetelmiin, joissa
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
Lisätiedot1.1. Määritelmiä ja nimityksiä
1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotBM20A0700, Matematiikka KoTiB2
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotJos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotMatriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä
Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
LisätiedotPaikannuksen matematiikka MAT
TA M P E R E U N I V E R S I T Y O F T E C H N O L O G Y M a t h e m a t i c s Paikannuksen matematiikka MAT-45800 4..008. p.1/4 Käytännön järjestelyt Kotisivu: http://math.tut.fi/courses/mat-45800/ Luennot:
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
Lisätiedot1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotJos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan
17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot
Lisätiedot1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X
LisätiedotTutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)
1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu
Lisätiedotedellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾
ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
LisätiedotMATHM Hypermedian jatko-opintoseminaari
Erotteluanalyysi 24.3.2006 Miika Huikkola MATHM-67500 Hypermedian jatko-opintoseminaari Olemme käsitelleet tähän mennessä seuraavia tilastollisia menetelmiä ja datan analyysimenelmiä Regressioanalyysi
LisätiedotMS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotOminaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi
Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 5. luento.2.27 Lineaarialgebraa - Miksi? Neuroverkon parametreihin liittyvät kaavat annetaan monesti
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
Lisätiedot10 Moniulotteinen normaalijakauma
10 Moniulotteinen normaalijakauma Tässä luvussa tarkastellaan normaalijakauman moniulotteista yleistystä eli moniulotteista (eli monimuuttujaista) normaalijakaumaa (engl. multivariate normal distribution).
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotDeterminantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotOminaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
Lisätiedotominaisvektorit. Nyt 2 3 6
Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu Luennolla 6 Tarkastelimme yhden muuttujan funktion f(x) rajoittamatonta optimointia
Lisätiedot