Tähtitieteen historiaa, avaruusgeometrian tehtäviä ja muita tehtäviä

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tähtitieteen historiaa, avaruusgeometrian tehtäviä ja muita tehtäviä"

Transkriptio

1 Tähtitieteen historiaa, avaruusgeometrian tehtäviä ja muita tehtäviä A1. Antiikin kreikkalainen monitieteilijä Eratosthenes ( ) eaa. onnistui ensimmäisenä mittaamaan 240 eaa. maapallon ympärysmitan Syenen S ja Aleksandrian A välimatkan avulla. Kun auringonvalo osui kohtisuoraan Syenessä olevaan kaivoon, niin samalla hetkellä auringonsäteet muodostivat muodostivat kulman α pohjoisempana Aleksandriassa olevan kepin kanssa (ks. kuva). Aleksandria on samalla pituuspiirillä kuin Syene. Kulma α on sama kuin Aleksandriaan ja Syeneen piirrettyjen maapallon säteiden välinen kulma. Kulman α suuruudeksi Erastosthenes sai = 7,2 eli on Maan ympärysmitasta 1/50 osa. Aleksandrian ja Syenen välinen etäisyys b = stadionia. (1 stadion = 157 metriä). (Antiikin Kreikassa käytössä kolme hieman toisistaan poikkeavaa stadion-yksikköä). a) Minkä arvon Eratosthenes sai näillä arvoilla maapallon ympärysmitalle? b) Vertaa tulosta taulukon arvoon maapallon ympärysmitalle: 2π 6367 km. c) Kuinka monta prosenttia Erastostheneen tulos poikkeaa taulukon arvosta? [V: a) km, b) km, c) 2 %].

2 A2. Kreikkalainen Eratosthenes ( ) eaa. päätteli Kuun läpimitan Maahan verrattuna. Hän tarkasteli kuunpimennyksen aikana Kuun liikettä Maan varjossa ja sai Kuun läpimitaksi (halkaisijaksi) noin -osan maapallon halkaisijasta. Maapallon läpimitaksi oli jo aiemmin saatu noin km : π km. Kuun läpimitta oli siis Seuraavaksi Eratostheneen olikin helppo arvioida Kuun etäisyys Maasta. Yksi keino on katsella täysikuuta, sulkea toinen silmä ja ojentaa käsivarsi suoraksi. Tällöin Kuu voidaan peittää etusormen kynnellä (ks. kuvio). suuri kolmio Kuu pieni kolmio etusormen kynsi Kuvasta nähdään, että voidaan muodostaa kaksi yhdenmuotoista kolmiota. Kynnestä ja silmästä muodostuu pienempi kolmio sekä Kuusta ja silmästä suurempi, edellisen kolmion kanssa yhdenmuotoinen kolmio. Voidaan siis kirjoittaa verrantoja. a) Jos käsivarren pituuden ja sormen kynnen suhde on 100 : 1, niin kuinka suuri on Maan ja Kuun välinen etäisyys? b) Vertaa saatua tulosta taulukon arvoon Maan ja Kuun keskietäisyydelle: km. Kuinka monta prosenttia tulos poikkeaa taulukon arvosta? Huom! Kuun keskietäisyys on Maan ja Kuun keskipisteiden välinen etäisyys. [V: a) km Maan pinnasta, b) 20 %].

3 A3. Eräs varhaisempia menetelmiä maapallon koon määrittämiseksi on kreikkalaisen Poseidoniuksen (135-51) eaa. kehittämä mittausmenetelmä (ks. kuva). Hän havaitsi Canopus-tähden C nousevan Rhodoksella R juuri ja juuri horisontin yläpuolelle, mutta Rhodokselta likipitäen etelään sijaitsevassa Aleksandriassa kohoavan samanaikaisesti seitsemän ja puolen asteen (7,5 o ) korkeuteen. Koska hän tiesi etäisyyden Rhodokselta Aleksandriaan olevan meritse stadionia, hän pystyi päättelemään maapallon ympärysmitan (vrt. tehtävä A1). Huomaa, että Canopuksen lähettämät valonsäteet saapuvat tähden suuren etäisyyden vuoksi Rhodokselle ja Aleksandriaan yhdensuuntaisina. Oletetaan, että Poseidoniuksen käyttämä pituusmitta stadion oli 167 metriä. a) Laske, minkä arvon maapallon ympärysmitalle Poseidonus sai mittausmenetelmällään. b) Vertaa tulosta Eratostheneen mittaukseen (tehtävä A1) sekä taulukon arvoon maapallon ympärysmitalle: 2π 6367 km. c) Kuinka monta prosenttia Poseidoniuksen tulos poikkeaa taulukon arvosta? [V: a) km, b) +830 km, +80 km, c) 0,2 %].

4 A4. Kreikkalainen tähtitieteilijä Aristarkhos (noin ) eaa. ehdotti 200-luvulla eaa. ensimmäisenä heliosentristä eli aurinkokeskeistä aurinkokuntaa, jonka mukaan Maa kiertää Aurinkoa. Aristarkhos arvioi Auringon ja Kuun etäisyyden mittaamalla puolikuun hetkellä Kuun ja Auringon välisen kulman α, joka ei ole aivan suora kulma (ks. kuva). Hän sai kulmalle arvon α = 87 o. a) Jos Maan ja Kuun etäisyys on d, niin kuinka moninkertaiseksi hän sai Auringon ja Kuun etäisyyden (d:n avulla). b) Laske myös taulukon avulla (MAOL s. 112(108)) oikea arvo ko. suhteelle: ä. [Vast. a) 19 d, b) 390]. ä Kuu x d α = 87 o Aurinko Maa

5 A5. Auringon koko voidaan arvioida, kun sen etäisyys tiedetään. Yksi tapa on käyttää täydellistä auringonpimennystä ja tietoamme Kuun etäisyydestä ja läpimitasta. Täydellinen auringonpimennys näkyy vain lyhyen aikaa ja pienellä alueella, koska Aurinko ja Kuu ovat Maasta katsoen melkein samankokoiset. Alla oleva kuva (ei mittakaavassa) osoittaa, että auringonpimennyksen havaitsija on kahden yhdenmuotoisen kolmion kärjessä. Ensimmäisen kolmion kanta on Kuussa ja toisen Auringossa. Nykyään tiedetään, että Maan keskimääräinen etäisyys kuusta on km ja Auringosta km sekä Kuun läpimitta on 3480 km. suuri kolmio pieni kolmio Aurinko Kuu Maa a) Laske näiden tie tojen avulla yhdenmuotoisista kolmioista Auringon säteen suuruus. b) Laske Auringon tilavuus. c) Vertaa a)- ja b)-kohdan tuloksia taulukon arvoihin. [Vast. a) 6, m, b) 1, m 3, c) 6, m ja 1, m 3 ]. A6. Kuinka korkealle x on Helsingistä noustava kohtisuoraan ylöspäin, jotta pohjoisnapa näkyisi? Helsinki sijaitsee 60 leveyspiirillä (ks. kuva). Maapallo oletetaan ympyräksi, jonka säde R = 6370 km ja näkeminen oletetaan esteettömäksi. R Vihje : Ratkaise x lausekkeesta cos30 o = R + x. [V: 985 km].

6 A7. Avaruussukkula lentää 280 km:n korkeudella maan pinnasta. Voivatko astronautit sään salliessa nähdä Floridassa sijaitsevan Cape Canaveralin kun sukkula on täsmälleen Texasin Houstonin yläpuolella? Houstonin ja Cape Canaveralin etäisyys on 1400 km ja maapallon säde 6370 km. [V: Kyllä]. A8. Satelliitti kiertää km korkeudella maata pysyen maan suhteen paikallaan päiväntasaajan ja Helsingin pituuspiirin tasossa. Helsinki sijaitsee leveyspiirillä 60 o pohjoista leveyttä, ja maapallon säde on km. Näkyykö satelliitti Helsingin horisontin yläpuolella? [V: Ei]. A9. Kuu näkyy Maasta 0,52 :n suuruisessa kulmassa. Laske Kuun etäisyys Maasta, kun Kuun halkaisija on km. [V: km]. A10. Jos lähtisit Helsingistä ja kulkisit koko ajan suoraan länteen, kuinka pitkän vaelluksen jälkeen olisit jälleen Helsingissä. Helsinki sijaitsee leveyspiirillä 60 o pohjoista leveyttä. Maapallon säde on 6370 km. [V: km]. A11. Maapallon pinnasta 71 % on veden peitossa. Mikä on maapallon vesialueiden yhteispinta ala, kun maapallon säde on km? [V: 3, km 2 ]. A12. Helsingin ja Pekingin välinen lyhin etäisyys on km. Kuinka korkealla suoraan Helsingin yläpuolella olevan satelliitin pitäisi olla, että sieltä olisi näköyhteys Pekingiin? Maapallon ympärysmitta on km. [V: 5290 km]. A13. Satelliitti on suoraan Pohjoisnavan yläpuolella 3150 km:n korkeudessa. Näkyykö se New Yorkin horisontin yläpuolella, kun New York sijaitsee leveyspiirillä 41 o? Maapallon ympärysmitta on km. [V: Ei]. A14. Helsingin Olympiastadionin tornin korkeus on 72 m. Kuinka pitkälle tornista näkee? Maapallon säde on km. [V: 30 km]. A15. Satelliitti kiertää maapalloa päiväntasaajan yläpuolella kilometrin korkeudella. Onko satelliitista suora näköyhteys Helsinkiin silloin, kun satelliitti on Helsingin kautta kulkevan pituuspiirin yläpuolella? Maapallon säde on km ja Helsinki sijaitsee leveyspiirillä 60 o pohjoista leveyttä. [V: Ei]. A16. Kuu on avaruusaluksen ja Maan välissä. Avaruusaluksesta katsoen Kuu peittää juuri ja juuri Maan taakseen. Kuinka kaukana Kuun pinnasta avaruusalus tällöin on? Maan säde on km, Kuun säde on km, ja Kuun ja Maan keskipisteiden etäisyys on km. [V: km]. A17. Avaruusalus kiertää maata ympyrän muotoista rataa. Aluksen korkeutta nostetaan 20,0 km. Kuinka paljon kiertorata pitenee? [V: 126 km]. A18. Kuinka suuressa kulmassa Maa näkyy Kuusta? Kuun ja Maan välinen lyhin etäisyys on noin km ja Maan säde km. [V: 1,9 o ].

7 A19. Kaksi kaupunkia sijaitsee pohjoisella pallonpuoliskolla samalla pituuspiirillä. Kaupunkien välimatka on 333 km. Toinen on 37 o - leveyspiirillä ja toinen on tästä suoraan pohjoiseen. Määritä toisen kaupungin leveyspiiri, kun maapallon ympärysmitta on km. [V: 40 o ]. A20. Tukholmassa sijaitsevan pallomaisen hallin Globenin läpimitta on 110 metriä. Katsoja mittasi kahden euron kolikon läpimitaksi 26 mm ja piti kolikkoa 70 cm:n etäisyydellä silmästään. Tällöin Globen jäi melko tarkasti kolikon peittoon. Laske katsojan etäisyys Globenista. [V: 3,0 km]. A21. Helsingin ja Turun välimatka on 165 km. Jos Helsingin ja Turun välille rakennettaisiin suora tunneli, kuinka monta metriä olisi sen suurin etäisyys maanpinnasta? Maapallon ympärysmitta on km. [V: 535 m]. A22. Kaverisi väittää nähneensä Helsingistä kerrostalon katolta Tallinnaan. Tallinna sijaitsee Helsingistä likimain etelään, meritse noin 80 km päässä. Maapallon säde on noin 6370 km. Kuinka korkealle Helsingissä pitäisi kavuta, jotta voisi (teoriassa) nähdä Tallinnaan? [V: 500 m]. A23. Päiväntasaajan yläpuolella maapallon suhteen paikallaan pysyvä satelliitti näkyy Helsingistä suoraan etelään 4,0 o horisontin yläpuolella. Helsinki sijaitsee 60 o leveyspiirillä pohjoista leveyttä. Mikä on satelliitin korkeus maanpinnasta? Maapallon säde on km. [V: 8130 km]. A24. Satelliitti kiertää Maata ympyräradalla. Laske paljonko sen kiertorata lyhenee, jos se siirtyy 150 km alemmalle, Maata lähempänä olevalle, radalle. [V: 940 km]. A25. GPS-paikanninsatelliitti on km:n korkeudella maanpinnasta. Laske satelliitin maapallon pinnalta kattaman alueen säde. Maapallon säde on km. [V: 8500 km]. A26. Avaruusaluksesta nähdään juuri horisontissa oleva satelliitti. Satelliitti ja avaruusalus ovat yhtä etäällä maanpinnasta, ja niiden etäisyys toisistaan on km. Laske niiden etäisyys maanpinnasta. Maapallon säde on 6370 km. [V: 1700 km]. A27. Aurinko ja Kuu näkyvät Maasta katsottuna jokseenkin samankokoisina. Kun Kuu osuu kiertoradallaan Maan ja Auringon väliin, nähdään Maassa auringonpimennys. a) Piirrä kuva tilanteesta, jossa Kuu peittää Auringon (täydellinen auringonpimennys) b) Laske yhdenmuotoisten kolmioiden avulla Auringon halkaisija, kun tiedetään, että Maan etäisyys Auringosta on km, Maan etäisyys Kuusta on km ja Kuun säde on km. [V: b) km]. A28. Tietoliikennesatelliitti näyttää pysyvän jatkuvasti samassa kohdassa noin km:n korkeudessa maanpinnan yläpuolella. Kuinka suuressa kulmassa maapallo tällaisesta satelliitista näkyy, kun Maan säde on km? [V: 17 o ]. A29. Millä etäisyydellä silmästä biljardipallo näyttää yhtä suurelta kuin Kuu? Biljardipallon halkaisija on 52,5 mm. Kuun halkaisija on km ja keskietäisyys Maasta km. [V: 581 cm]. A30. Helsingin yliopiston tähtitornin pallokoordinaatit ovat 60 o 9 42,6 N ja 24 o E. Mitä nämä tarkoittavat? Ilmoita koordinaatit asteina. [V: 60,16 o N, 24,95 o ].

8 A31. Kuinka pitkä on leveyspiiri 60 o pohjoista leveyttä? Maapallon ympärysmitta on km. [V: km]. A32. Kravun kääntöpiiri on leveyspiiri noin 23,5 astetta pohjoista leveyttä eli sijaitsee maan akselin kaltevuuskulman etäisyydellä päiväntasaajasta. Se on pohjoisin kohta, jonne Aurinko voi paistaa kohtisuoraan ylhäältä eli zeniitistä. Tämä tapahtuu kerran vuodessa, kesäpäivänseisauksen aikaan kesäkuussa. Nimitys Kravun kääntöpiiri johtuu siitä, että antiikin aikana Aurinko oli, ollessaan siihen nähden zeniitissä, Maasta katsottuna tähtitaivaalla Kravun tähdistön suunnassa. Maapallon säde on 6370 km. Kuinka pitkä on Kravun kääntöpiiri? [V: km]. A33. Budapestissa (48 o N, 19 o E) asuva Sandor keskustelee puhelimassa Monterreyssa (25 o N, 101 o W) asuvan ystävänsä Felipen kanssa kevätpäiväntasauksen päivänä (21.3). Sandor kertoo Auringon juuri nousevan Budapestissä. Kuinka kauan kestää, ennen kuin Felipe voi nähdä Auringon nousun? [V: 8 tuntia]. A34. Rovaniemen lentokenttä (66 o 34 N, 25 o 50 E) sijaitsee lähellä napaiiriä. Laske kentän etäisyys päiväntasaajasta. Maapallon ympärysmitta on km. [V: km]. A35.Trondheim ja Tunis sijaitsevat samalla pituuspiirillä 10 o itäistä pituutta. Kuinka pitkä matka on Trondheimista (63 o N, 10 o E) suoraan etelään Tunisiin (37 o N, 10 o E)? Maapallon ympärysmitta on km. [V: km]. A36. Millä etäisyydellä (silmästä) pöytätennispallo näyttää yhtä suurelta kuin Kuu? Maan keskietäisyys Kuusta on km, Kuun säde on 1 738,2 km ja pöytätennispallon halkaisija 40 mm. Anna vastaus metrin kymmenesosan tarkkuudella. [V: 4,4 m]. A37. Satelliitti kiertää maapalloa kilometrin korkeudella. Kuinka suuressa kulmassa maapallo näkyy satelliitista? Maapallon ympärysmitta on km. [V: 110 o ]. A38. Satelliitti lentää pohjoisnavan yli. Millä korkeudella satelliitin on sijaittava, jotta sieltä voidaan havaita Moskova, joka sijaitsee 57. leveyspiirillä (57 o )? Maapallon ympärysmitta on km. [V: km]. A39. Kuinka suuressa kulmassa maapallo näkyy avaruusasemasta, joka on 350 km:n etäisyydellä maapallosta? Maapallon säde on km. [V: 140 o ]. A40. Laske Helsingin (60 o N, 25 o E) etäisyys maapallon pyörimisakselista. Laske sen avulla leveyspiirin 60 o N pituus. Maapallon säde R = km. [V: km, km]. A41. Kuinka pitkä matka Helsingistä (60 o N, 25 o E) on päiväntasaajalle? Entä pohjoisnavalle? Maapallon säde on km. [V: km, km]. A42. Lentokone lentää 11 kilometrin korkeudessa Kuopion yläpuolella. Voidaanko koneen ikkunasta kirkkaalla ilmalla nähdä Suomenlahti? Kuopion lyhin etäisyys Suomenlahdesta on noin 300 km. Maapallon ympärysmitta on km ja säde km. [V: Voidaan].

9 A43. Kuinka kauas aavalla merellä voisi nähdä veneen kannella seisova henkilö, jonka silmät ovat 2,1 metrin korkeudella veden pinnasta? Maapallon säde on km. [V: 5,2 km]. A44. Kuinka kauas Näsinneulan huipulla oleva henkilö voi nähdä, kun Näsinneulan korkeus on 168 metriä? Maapallon säde on km. [V: 46,3 km]. A45. Avaruusalus leijailee km päässä Maasta päiväntasaajan kohdalla. Kuinka suuren osan päiväntasaajasta avaruusaluksen miehistö näkee, kun maapallon ympärysmitta on km? [V: 48 % päiväntasaajasta]. A46. Kuinka korkealla Lontoon yläpuolella olevan viestintäsatelliitin tulee vähintään olla, jotta satelliitin lähetys tavoittaisi Helsingin? Lontoon ja Helsingin etäisyys on km. Maapallon ympärysmitta on km ja säde km. Lentokone lentää 11 kilometrin korkeudessa Kuopion yläpuolella. Voidaanko koneen ikkunasta kirkkaalla ilmalla nähdä Suomenlahti? Kuopion lyhin etäisyys Suomenlahdesta on noin 300 km. Maapallon ympärysmitta on km ja säde km. [V: 295 km]. A47. Kuinka kauas merelle voi nähdä veneen kannella seisova henkilö, jonka silmät ovat 2,80 metrin korkeudella veden pinnasta? Maapallon säde on km. [V: 6,0 km]. A48. Maapallo näkyy miehitetystä avaruusaluksesta 52 o :n kulmassa. Mikä on avaruusaluksen etäisyys Maasta? Maapallon säde on km. [V: km]. A49. Tallinna sijaitsee 80 km Helsingistä etelään. Kumpaankin satamaan halutaan rakentaa samankorkuiset tornit siten, että saadaan suora näköyhteys tornien huippujen välille. Kuinka korkeita tornien tulee olla? Maapallon ympärysmitta on km. [V: 130 m meren pinnan yläpuolelle]. A50. Maapallon pinnan kaarevuus havaitaan jo melko pienillä etäisyyksillä. Rannalla seisova 170 cm pitkä henkilö katselee merellä melojaa, joka on juuri etääntymässä horisontin taakse. Kuinka kaukana katsojan silmästä (linnuntietä) meloja tällöin on? Maapallon säde on km. [V: 4,7 km]. A51. Suomi sijaitsee likimain 20 ja 30 pituuspiirin välillä (itäistä pituutta). Avaruusalus kulkee avaruudessa juuri Suomen yläpuolella. Aluksesta nähdään koko Suomi 12 o kulmassa. Millä etäisyydellä maapallon pinnasta avaruusalus kulkee, kun Suomen pituus on km ja maapallon säde km? [V: km]. A52. Helsingin Pasilassa sijaitsee linkkitorni, jonka korkeus meren pinnasta mitattuna on 146 metriä. Kuinka korkealta paikalta Tallinnasta tornin huippu on mahdollista nähdä, kun Helsingin ja Tallinnan välinen etäisyys maapallon pintaa pitkin mitattuna on 85 km? Maapallon ympärysmitta on km. (YO-MAB-S08-9). [V: 138 m].

10 A53. Helsingin ja Moision keskustat sijaitsevat samalla pituuspiirillä 24 o 56 itäistä pituutta, Helsingin keskusta leveyspiirillä 60 o 9 pohjoista leveyttä ja Moision 62 o 26 pohjoista leveyttä. a) Kuinka kaukana keskustat ovat toisistaan? b) Kuinka korkealla Moision yläpuolella olevasta lentokoneesta voisi periaatteessa kirkkaalla säällä nähdä Helsinkiin? Maapallon ympärysmitta on km. (YO-MAB-K00-8). [V: a) 250 km, b) vähintään 5,1 km korkeudella]. A54. Laihia ja Kaavi ovat likimain 63. leveysasteella. Niiden leveyspiiriä pitkin mitattu etäisyys on 330 kilometriä. Kuinka paljon aikaisemmin Aurinko nousee Kaavilla kuin Laihialla? Maapallon säde on km. (YO-MAB-K97-9a). [V: 26 min]. A55. Tähtitieteessä etäisyydet ilmoitetaan usein yksikkönä parsek, joka on se etäisyys, josta Maan kiertoradan säde näkyisi yhden kulmasekunnin suuruisessa kulmassa. Kuinka monta kilometriä on parsek, kun Maan radan säde on km? (YO-MAB-K93-8). [V: 3, km]. A56. Kuinka kauas merelle voi nähdä rannalla seisova henkilö, jonka silmät ovat 170 cm korkeudella meren pinnasta? Maapallon säde on noin km. (YO-MAB-K87-9). [V: 4,66 km]. A57. Maapallon meridiaanin neljännes (matka päiväntasaajalta navalle) on km. Päiväntasaajan yläpuolella km korkeudella merenpinnasta on tietoliikennesatelliitti. Kuinka korkealla horisontin yläpuolella (0,1 o :n tarkkuudella) se on, jos se on suoraan etelässä tarkastelupaikasta, jonka leveyspiiri on 70,0 o (Utsjoki)? (YO-MAB-K89-10). [V: 11,5 o ]. A58. Kuinka suuressa kulmassa maapallo näkyy Kuun pinnalta kohdasta, joka on lähinnä Maata? Maan säde on km, Kuun säde on km ja Maan ja Kuun välinen etäisyys (keskipisteestä keskipisteeseen) on km. (YO-MAB-S91-7). [V: 1,91 o ]. A59. Kuinka korkealla pohjoisnavan yläpuolella olevan satelliitin on vähintään oltava, että se näkyisi Philadelphiassa? Maapallon säde on 6370 km ja Philadelphia sijaitsee 40 o :een leveyspiirillä. [V: 3540 km]. A60. Hämeenlinnan kaupunki sijaitsee 61. leveyspiirillä. Millä nopeudella Hämeenlinna kiertää Maan akselin ympäri? Maapallon säde on 6370 km. [V: 810 km/h]. A61. Kuu näkyy Maasta 0,52 :n suuruisessa kulmassa. Laske Kuun etäisyys Maasta, kun Kuun halkaisija on km. [V: km]. A 62. Kuu on avaruusaluksen ja Maan välissä. Avaruusaluksesta katsoen Kuu peittää juuri ja juuri Maan taakseen. Kuinka kaukana Kuun pinnasta avaruusalus tällöin on? Maan säde on km, Kuun säde on km, ja Kuun ja Maan keskipisteiden etäisyys on km. [V: km]. A63. Matka Helsingistä Singaporeen on 9400 km ja maapallon säde 6370 km. Jos Helsingistä rakennettaisiin suora tunneli Singaporeen, niin a) kuinka pitkä se olisi? b) kuinka syvällä maanpinnan alapuolella se kulkisi? [V: a) 8600 km, b) 1600 km].

11 A64. Praha ja Winnipeg sijaitsevat samalla leveyspiirillä, 50 o pohjoista leveyttä. Prahan sijainti on 15 o itäistä pituutta ja Winnipegin 97 o läntistä pituutta. Maapallon säde on 6370 km. Laske Prahan ja Winnipegin välinen etäisyys a) etäisyys leveyspiiriä pitkin kulkien. b) jos kaupunkien väli voitaisiin kulkea suoraa tunnelia pitkin. [V: a) 8000 km, b) 6800 km]. A65. Eiffel-torni näkyy 250 km:n päästä 50,4 o kulmassa. Missä kulmassa se näkyy 450 km:n päästä? [V: 33,9 o ]. A66. Avaruusalus kiertää maata ympyrän muotoista rataa. Aluksen korkeutta nostetaan 20,0 km. Kuinka paljon kiertorata pitenee? [V: 126 km]. A67. Raketti nousee pohjoisnavalta suoraan ylöspäin Maan säteen (6370 km) verran maanpintaa ylemmäs. Kuinka monta prosenttia Maan säteestä pitäisi olla päiväntasaajalle pystyyn nostetun seipään pituuden, jotta sen pää näkyisi rakettiin? [V: 15,5 %]. A68. Kuinka korkealle Lontoon yläpuolelle tulisi nousta, jotta näkisi (teoriassa) Helsingin? Lontoon ja Helsingin etäisyys maapalloa pitkin on 1900 km ja maapallon säde on noin 6370 km. [V: 290 km]. A69. Geostationaarinen satelliitti kiertää maapalloa päiväntasaajan yläpuolella noin km korkeudella. Kuinka suuressa kulmassa horisontin yläpuolella satelliitti näkyy Etelä-Suomessa 60 -leveyspiirillä? Maapallon ympärysmitta on km. [V: 22 %]. A70. Kaksi kaupunkia sijaitsee pohjoisella pallonpuoliskolla samalla pituuspiirillä. Toinen on 48 -leveyspiirillä ja toinen on 9 -leveyspiirillä. Laske kaupunkien välimatka, kun maapallon ympärysmitta on km. [V: 4300 km]. A71. Maan pintaa lähestyvästä avaruusaluksesta nähdään juuri ja juuri koko Suomi. Kuinka korkealla avaruusalus on Suomen keskipisteen yläpuolella, kun Suomen pituus on 1160 km ja maapallon säde on 6370 km? [V: 27 km]. A72. Satelliitti kiertää maapalloa 300 km korkeudessa, ja sen kierros maapallon ympäri kestää 90 min. Maapallon säde on 6370 km. Laske satelliitin nopeus. [V: km/h]. A73. Kuinka kauas maanpintaa pitkin voidaan nähdä Eiffel-tornin huipulta, kun tornin korkeus on 309,63 m? Maapallon säde on 6370 km. Jos Eiffel-torni olisi Kuussa, niin näkyisikö Kuussa pitemmälle pitkin kuunpintaa kuin Maassa? Perustelut laskemalla. Kuun säde on 1738 km. [V: 62,8 km, Ei. 32,8 km]. A74. Kappaleen paino on kääntäen verrannollinen maapallon keskipisteestä mitatun etäisyyden neliöön. Lentokoneen paino maan pinnalla on 550 kn. Kuinka paljon sen paino on 10 kilometrin korkeudessa? (~YO-MAB-K06-4). [V: 548 kn].

12 A75. Valokuvausfilmin herkkyys ilmaistaan kahdella asteikolla. Tyypillinen filmin herkkyyslukema on ISO 125/22 o. Ensimmäinen luku 125 on filmin herkkyys fysikaalisella mitta-asteikolla (yksikkönä 1/luksisekunti), jälkimmäinen luku 22 o on filmin herkkyys logaritmisella asteikolla. Lyhenne ISO ilmaisee, että kyseessä ovat kansainvälisen standardijärjestön (International Standardization Organization) vahvistamat asteikot. Logaritmisen asteikon lukema S o saadaan fysikaalisesta lukemasta S kaavalla S o = 1 + lg S. Täydennä herkkyyskuvaukset a) ISO 400/ ja ISO 2000/ b) ISO /17 o ja ISO /36 o. [V: a) 27 o, 34 o, b) 40, 3200]. A76. Maanjäristyksen voimakkuuden mittaamisessa käytettävä Richterin asteikko on logaritminen. Maanjäristyksen yhteydessä purkautuvan energiamäärän vaihteluväli on hyvin suuri ja voimakkaat järistykset ovat miljoonakertaisia pienimpiin verrattuna. Siksi voimakkuuksien mittarina käytetään niiden logaritmeja. Richterin asteikon kehitti v Charles F. Richter. Richterin asteikolla mitatut lukemat vaihtelevat välillä Järistyksen voimakkuuden mittaus tapahtuu seismografilla eri puolilla maapalloa sijaitsevilla havaintoasemilla. Seismografin piirtämään jatkuvaan käyrään, seismogrammiin, rekisteröityvät pienetkin järistykset. Richterin asteikon lukeman M ja järistyksen voimakkuuden E välisen riippuvuuden ilmaisee kaava log E = 11,8 + 1,5M 10 M = Richterin asteikon lukema, joka vastaa vapautuvan energian E määrää jouleina (J). a) Laske järistyksen energia, kun sen voimakkuus Richterin asteikolla on 7,8. Loviisan ydinvoimalaitos tuottaa yhdessä tunnissa energiaa 980 MWh = 3, J. Kuinka moninkertainen oli maanjäristyksessä vapautunut energia verrattuna Loviisan tunnissa tuottamaan energiaan? b) Kahden järistyksen energioiden suhde on 100-kertainen. Kuinka suuri on voimakkaamman järistyksen lukema Richterin asteikolla, kun heikomman järistyksen lukema on 5,4? [V: a) 3, J, kertainen, b) 6,7]. A77. Maanjäristyksen voimakkuutta mitataan ns. Richterin asteikolla, jossa asteikon lukeman M ja järistyksessä vapautuvan energian E (J) välillä on yhteys: lg E = 11,8 + 1,5M. a) rakennus on mitoitettu kestämään järistys, jos maanjäristyksessä vapautuva energia on 50 % suurempi kuin järistyksessä, jonka voimakkuus Richterin asteikolla on 6,8. Kuinka voimakkaan järistyksen rakennus kestää Richterin asteikolla mitattuna? (YO-K05-13). b) San Franciscon vuosien 1906 ja 1989 maanjäristysten suuruudet Richterin asteikolla olivat 8,2 ja 7,1. Määritä järistysten energioiden suhde. (YO-K90-6). [V: a) 6,9, b) 44,7].

13 A78. Maanjäristyksen voimakkuutta mitataan ns. Richterin asteikolla, jossa asteikon lukeman M ja järistyksessä vapautuvan energian E (J) välillä on yhteys: lg E = 11,8 + 1,5M. a) Intiassa tapahtui vuonna 1950 maanjäristys, jonka voimakkuudeksi mitattiin Richterin asteikolla 8,8. Vuonna 2003 Iranissa tapahtui maanjäristys, jonka voimakkuus oli 6,8 Richterin asteikolla. Laske maanjäristyksessä vapautuneiden energioiden suhde. Kuin monta kertaa voimakkuudeltaan suurempi oli Intian maanjäristys Iranin maanjäristykseen verrattuna? b) Kahden maanjäristyksen Richterin asteikon lukemat olivat 6,3 ja 4,3. Mikä oli niiden energioiden välinen suhde? [V: a) 1000, 1000-kertainen, b) 1000].

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4

766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 0. MUISTA: Tenttitehtävä tulevassa päätekokeessa: Fysiikan säilymislait ja symmetria. (Tästä tehtävästä voi saada tentissä kolme ylimääräistä pistettä. Nämä

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

1) Maan muodon selvittäminen. 2) Leveys- ja pituuspiirit. 3) Mittaaminen

1) Maan muodon selvittäminen. 2) Leveys- ja pituuspiirit. 3) Mittaaminen 1) Maan muodon selvittäminen Nykyään on helppo sanoa, että maa on pallon muotoinen olet todennäköisesti itsekin nähnyt kuvia maasta avaruudesta kuvattuna. Mutta onko maapallomme täydellinen pallo? Tutki

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012

Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 LIIKE Jos vahvempi kaveri törmää heikompaan kaveriin, vahvemmalla on enemmän voimaa. Pallon heittäjä antaa pallolle heittovoimaa, jonka

Lisätiedot

Tarinaa tähtitieteen tiimoilta FYSIIKAN JA KEMIAN PERUSTEET JA PEDAGOGIIKKA 2014 KARI SORMUNEN

Tarinaa tähtitieteen tiimoilta FYSIIKAN JA KEMIAN PERUSTEET JA PEDAGOGIIKKA 2014 KARI SORMUNEN Tarinaa tähtitieteen tiimoilta FYSIIKAN JA KEMIAN PERUSTEET JA PEDAGOGIIKKA 2014 KARI SORMUNEN Oppilaiden ennakkokäsityksiä avaruuteen liittyen Aurinko kiertää Maata Vuodenaikojen vaihtelu johtuu siitä,

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29.

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29. 1 Yhdenmuotoisuus Keskenään samanmuotoisia kuviota kutsutaan yhdenmuotoisiksi kuvioiksi. Yhdenmuotoisten kuvioiden toisiaan vastaavia kulmia kutsutaan vastinkulmiksi ja toisiaan vastaavia osia vastinosiksi.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

PÄIVÄNVALO. Lue alla oleva teksti ja vastaa sen jäljessä tuleviin kysymyksiin.

PÄIVÄNVALO. Lue alla oleva teksti ja vastaa sen jäljessä tuleviin kysymyksiin. ÄIVÄNVALO Lue alla oleva teksti ja vastaa sen jäljessä tuleviin kysymyksiin. ÄIVÄNVALO 22. KSÄKUUTA 2002 Tänään, kun pohjoisella pallonpuoliskolla juhlitaan vuoden pisintä päivää, viettävät australialaiset

Lisätiedot

SÁME JÁHKI - saamelainen vuosi

SÁME JÁHKI - saamelainen vuosi 6789067890678901267890678906789012678906 6789067890678901267890678906789012678906 6789067890678901267890678906789012678906 67890 67890 678906 678906 678906 67890 67890 67890 67890 67890 678906 678906 678906

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

yyyyyyyyyyyyyyyyy Tehtävä 1. PAINOSI AVARUUDESSA Testaa, paljonko painat eri taivaankappaleilla! Kuu kg Maa kg Planeetta yyy yyyyyyy yyyyyy kg Tiesitk

yyyyyyyyyyyyyyyyy Tehtävä 1. PAINOSI AVARUUDESSA Testaa, paljonko painat eri taivaankappaleilla! Kuu kg Maa kg Planeetta yyy yyyyyyy yyyyyy kg Tiesitk I LUOKKAHUONEESSA ENNEN TIETOMAA- VIERAILUA POHDITTAVIA TEHTÄVIÄ Nimi Luokka Koulu yyyyyyyyyy Tehtävä 1. ETSI TIETOA PAINOVOIMASTA JA TÄYDENNÄ. TIETOA LÖYDÄT MM. PAINOVOIMA- NÄYTTELYN VERKKOSIVUILTA. Painovoima

Lisätiedot

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

AURINKO VALON JA VARJON LÄHDE

AURINKO VALON JA VARJON LÄHDE AURINKO VALON JA VARJON LÄHDE Tavoite: Tarkkaillaan auringon vaikutusta valon lähteenä ja sen vaihtelua vuorokauden ja vuodenaikojen mukaan. Oppilaat voivat tutustua myös aurinkoenergian käsitteeseen.

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely Opetusmateriaali Fermat'n periaatteen esittely Hengenpelastajan tehtävässä kuvataan miten hengenpelastaja yrittää hakea nopeinta reittiä vedessä apua tarvitsevan ihmisen luo - olettaen, että hengenpelastaja

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!!

FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!! FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!! 1. Vastaa, ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin. Perustelua ei tarvitse kirjoittaa. a) Atomi ei voi lähettää

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Juha Ojanperä Har javalta

Juha Ojanperä Har javalta Tähtitaivaan alkeet Juha Ojanperä Harjavalta 06.10. - 08.12.2016 Kurssin sisältö 1. Kerta Taivaanpallo ja tähtitaivaan liike opitaan lukemaan ja ymmärtämään tähtikarttoja 2. kerta Tärkeimmät tähdet ja

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi

Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Vaakasuora heittoliike Heittoliikettä voidaan tarkastella erikseen vaaka- ja pystysuunnassa v=(v x,v y ) Jos ilmanvastausta ei oteta huomioon (yleensä ei), vaakasuunnalle

Lisätiedot

Theory Finnish (Finland)

Theory Finnish (Finland) Q1-1 Kaksi tehtävää mekaniikasta (10 pistettä) Lue yleisohjeet ennen tehtävien aloittamista. Osa A: Piilotettu kiekko (3,5 pistettä) Tässä tehtävässä käsitellään umpinaista puista sylinteriä, jonka säde

Lisätiedot

AMMATIKKA top

AMMATIKKA top AMMATIKKA top 6..006 Toisen asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU Nimi Oppilaitos Koulutusala Luokka Sarjat: MERKITSE OMA SARJA. Tekniikka ja liikenne: O. Matkailu-,

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta

Lisätiedot

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe 18.5.2015 Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset 7. a) Matti ja Maija lähtevät kävelemään samasta pisteestä vastakkaisiin

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

Pimennys- yms. lisäsivut Maailmankaikkeus nyt -kurssi

Pimennys- yms. lisäsivut Maailmankaikkeus nyt -kurssi Pimennys- yms. lisäsivut Maailmankaikkeus nyt -kurssi Asko Palviainen Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Ajanlasku Kuukalenteri vuodessa 12 kuu-kuukautta ei noudata vuodenaikoja nykyisistä kalentereista

Lisätiedot

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Tehtävät on koostettu Matematiikkalehti Solmun Matematiikkadiplomista V. Sivunumerot viittaavat sen diplomitehtävien sivuihin.

Tehtävät on koostettu Matematiikkalehti Solmun Matematiikkadiplomista V. Sivunumerot viittaavat sen diplomitehtävien sivuihin. 1 MITTAAMINEN II Tehtävät on koostettu Matematiikkalehti Solmun Matematiikkadiplomista V. Sivunumerot viittaavat sen diplomitehtävien sivuihin. Aihepiirejä: Suomen maantieto, nopeus, matka ja aika, erilaisten

Lisätiedot

MITTAAMINEN I. Käännä! matematiikkalehtisolmu.fi

MITTAAMINEN I. Käännä! matematiikkalehtisolmu.fi 1 MITTAAMINEN I Tehtävät sopivat peruskoulun alaluokille. Ne on koostettu Matematiikkalehti Solmun Matematiikkadiplomeista I IV. Sivunumerot viittaavat näiden diplomitehtävien sivuihin. Aihepiirejä: oma

Lisätiedot

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Maanpinnan kallistumien Satakunnassa

Maanpinnan kallistumien Satakunnassa Ennen maan pinnan asettumista lepotilaansa, eri paikkakunnat kohoavat erilaisilla nopeuksilla. Maan kohoaminen ilmeisesti sitä nopeampaa, mitä syvemmällä maan kamara ollut. Pohjanlahden nopea nousu verrattuna

Lisätiedot

2.1 Ääni aaltoliikkeenä

2.1 Ääni aaltoliikkeenä 2. Ääni Äänen tutkimusta kutsutaan akustiikaksi. Akustiikassa tutkitaan äänen tuottamista, äänen ominaisuuksia, soittimia, musiikkia, puhetta, äänen etenemistä ja kuulemisen fysiologiaa. Ääni kuljettaa

Lisätiedot

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ (ja MITTAA) a) jana toinen jana, jonka pituus on 3 b) kulma toinen kulma, jonka

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Aloitetaan kyselemällä, mitä kerholaiset tietävät aurinkokunnasta ja avaruudesta ylipäänsä.

Aloitetaan kyselemällä, mitä kerholaiset tietävät aurinkokunnasta ja avaruudesta ylipäänsä. LUMATE-tiedekerhokerta, suunnitelma AIHE: AURINKOKUNTA Huom! Valmistele maitopurkit valmiiksi. Varmista, että sinulla on riittävästi soraa jupiteria varten. 1. Alkupohdintaa Aloitetaan kyselemällä, mitä

Lisätiedot

Syntyikö maa luomalla vai räjähtämällä?

Syntyikö maa luomalla vai räjähtämällä? Syntyikö maa luomalla vai räjähtämällä? Tätä kirjoittaessani nousi mieleeni eräs tuntemani insinööri T. Palosaari. Hän oli aikansa lahjakkuus. Hän oli todellinen nörtti. Hän teki heti tietokoneiden tultua

Lisätiedot

Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a

Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 28.9.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Muunnokset ja mittayksiköt

Muunnokset ja mittayksiköt Muunnokset ja mittayksiköt 1 a Mitä kymmenen potenssia tarkoittavat etuliitteet m, G ja n? b Mikä on massan (mass) mittayksikkö SI-järjestelmässäa? c Mikä on painon (weight) mittayksikkö SI-järjestelmässä?

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

Cadets Sivu 1

Cadets Sivu 1 Cadets 2004 - Sivu 1 3 pistettä 1/ Laske 2004 4 200 A 400800 B 400000 C 1204 1200 E 2804 2/ Tasasivuista kolmiota AC kierretään vastapäivään pisteen A ympäri. Kuinka monta astetta sitä on kierrettävä kunnes

Lisätiedot

KUITUPUUN PINO- MITTAUS

KUITUPUUN PINO- MITTAUS KUITUPUUN PINO- MITTAUS Ohje KUITUPUUN PINOMITTAUS Ohje perustuu maa- ja metsätalousministeriön 16.6.1997 vahvistamaan pinomittausmenetelmän mittausohjeeseen. Ohjeessa esitettyä menetelmää sovelletaan

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Lukion. Calculus. MAA10 Integraalilaskenta. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. MAA10 Integraalilaskenta. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Integraalilaskenta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Integraalilaskenta (MAA Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Putkilokasveilla juuret ottavat veden. Sammalet ottavat vettä koko pinnallaan.

Putkilokasveilla juuret ottavat veden. Sammalet ottavat vettä koko pinnallaan. Joensuun yliopisto Metsätieteellinen tiedekunta Mallikysymyksiä ja -vastauksia valintakokeeseen 008 BIOLOGIA1. Veden kulkeutuminen kasveissa. Ydinasiat: Putkilokasveilla juuret ottavat veden. Sammalet

Lisätiedot

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011 1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 26. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 1 / 14 Hieman kertausta

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta) MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 3.3.06. ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

Eksponentti- ja logaritmifunktiot

Eksponentti- ja logaritmifunktiot Eksponentti- ja logaritmifunktiot Eksponentti- ja logaritmifunktiot liittyvät läheisesti toisiinsa. Eksponenttifunktio tulee vastaan ilmiöissä, joissa tarkasteltava suure kasvaa tai vähenee suhteessa senhetkiseen

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

Copyright 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.

Copyright 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley. Newtonin painovoimateoria Knight Ch. 13 Saturnuksen renkaat koostuvat lukemattomista pölyhiukkasista ja jääkappaleista, suurimmat rantapallon kokoisia. Lisäksi Saturnusta kiertää ainakin 60 kuuta. Niiden

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Kenguru 2011 Junior (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2011 Junior (lukion 1. vuosi) sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos et halua

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla.

Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla. FYS 103 / K3 SNELLIN LAKI Työssä tutkitaan monokromaattisen valon taittumista ja todennetaan Snellin laki. Lisäksi määritetään kokonaisheijastuksen rajakulmia ja aineiden taitekertoimia. 1. Teoriaa Huygensin

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot