Tähtitieteen historiaa, avaruusgeometrian tehtäviä ja muita tehtäviä

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tähtitieteen historiaa, avaruusgeometrian tehtäviä ja muita tehtäviä"

Transkriptio

1 Tähtitieteen historiaa, avaruusgeometrian tehtäviä ja muita tehtäviä A1. Antiikin kreikkalainen monitieteilijä Eratosthenes ( ) eaa. onnistui ensimmäisenä mittaamaan 240 eaa. maapallon ympärysmitan Syenen S ja Aleksandrian A välimatkan avulla. Kun auringonvalo osui kohtisuoraan Syenessä olevaan kaivoon, niin samalla hetkellä auringonsäteet muodostivat muodostivat kulman α pohjoisempana Aleksandriassa olevan kepin kanssa (ks. kuva). Aleksandria on samalla pituuspiirillä kuin Syene. Kulma α on sama kuin Aleksandriaan ja Syeneen piirrettyjen maapallon säteiden välinen kulma. Kulman α suuruudeksi Erastosthenes sai = 7,2 eli on Maan ympärysmitasta 1/50 osa. Aleksandrian ja Syenen välinen etäisyys b = stadionia. (1 stadion = 157 metriä). (Antiikin Kreikassa käytössä kolme hieman toisistaan poikkeavaa stadion-yksikköä). a) Minkä arvon Eratosthenes sai näillä arvoilla maapallon ympärysmitalle? b) Vertaa tulosta taulukon arvoon maapallon ympärysmitalle: 2π 6367 km. c) Kuinka monta prosenttia Erastostheneen tulos poikkeaa taulukon arvosta? [V: a) km, b) km, c) 2 %].

2 A2. Kreikkalainen Eratosthenes ( ) eaa. päätteli Kuun läpimitan Maahan verrattuna. Hän tarkasteli kuunpimennyksen aikana Kuun liikettä Maan varjossa ja sai Kuun läpimitaksi (halkaisijaksi) noin -osan maapallon halkaisijasta. Maapallon läpimitaksi oli jo aiemmin saatu noin km : π km. Kuun läpimitta oli siis Seuraavaksi Eratostheneen olikin helppo arvioida Kuun etäisyys Maasta. Yksi keino on katsella täysikuuta, sulkea toinen silmä ja ojentaa käsivarsi suoraksi. Tällöin Kuu voidaan peittää etusormen kynnellä (ks. kuvio). suuri kolmio Kuu pieni kolmio etusormen kynsi Kuvasta nähdään, että voidaan muodostaa kaksi yhdenmuotoista kolmiota. Kynnestä ja silmästä muodostuu pienempi kolmio sekä Kuusta ja silmästä suurempi, edellisen kolmion kanssa yhdenmuotoinen kolmio. Voidaan siis kirjoittaa verrantoja. a) Jos käsivarren pituuden ja sormen kynnen suhde on 100 : 1, niin kuinka suuri on Maan ja Kuun välinen etäisyys? b) Vertaa saatua tulosta taulukon arvoon Maan ja Kuun keskietäisyydelle: km. Kuinka monta prosenttia tulos poikkeaa taulukon arvosta? Huom! Kuun keskietäisyys on Maan ja Kuun keskipisteiden välinen etäisyys. [V: a) km Maan pinnasta, b) 20 %].

3 A3. Eräs varhaisempia menetelmiä maapallon koon määrittämiseksi on kreikkalaisen Poseidoniuksen (135-51) eaa. kehittämä mittausmenetelmä (ks. kuva). Hän havaitsi Canopus-tähden C nousevan Rhodoksella R juuri ja juuri horisontin yläpuolelle, mutta Rhodokselta likipitäen etelään sijaitsevassa Aleksandriassa kohoavan samanaikaisesti seitsemän ja puolen asteen (7,5 o ) korkeuteen. Koska hän tiesi etäisyyden Rhodokselta Aleksandriaan olevan meritse stadionia, hän pystyi päättelemään maapallon ympärysmitan (vrt. tehtävä A1). Huomaa, että Canopuksen lähettämät valonsäteet saapuvat tähden suuren etäisyyden vuoksi Rhodokselle ja Aleksandriaan yhdensuuntaisina. Oletetaan, että Poseidoniuksen käyttämä pituusmitta stadion oli 167 metriä. a) Laske, minkä arvon maapallon ympärysmitalle Poseidonus sai mittausmenetelmällään. b) Vertaa tulosta Eratostheneen mittaukseen (tehtävä A1) sekä taulukon arvoon maapallon ympärysmitalle: 2π 6367 km. c) Kuinka monta prosenttia Poseidoniuksen tulos poikkeaa taulukon arvosta? [V: a) km, b) +830 km, +80 km, c) 0,2 %].

4 A4. Kreikkalainen tähtitieteilijä Aristarkhos (noin ) eaa. ehdotti 200-luvulla eaa. ensimmäisenä heliosentristä eli aurinkokeskeistä aurinkokuntaa, jonka mukaan Maa kiertää Aurinkoa. Aristarkhos arvioi Auringon ja Kuun etäisyyden mittaamalla puolikuun hetkellä Kuun ja Auringon välisen kulman α, joka ei ole aivan suora kulma (ks. kuva). Hän sai kulmalle arvon α = 87 o. a) Jos Maan ja Kuun etäisyys on d, niin kuinka moninkertaiseksi hän sai Auringon ja Kuun etäisyyden (d:n avulla). b) Laske myös taulukon avulla (MAOL s. 112(108)) oikea arvo ko. suhteelle: ä. [Vast. a) 19 d, b) 390]. ä Kuu x d α = 87 o Aurinko Maa

5 A5. Auringon koko voidaan arvioida, kun sen etäisyys tiedetään. Yksi tapa on käyttää täydellistä auringonpimennystä ja tietoamme Kuun etäisyydestä ja läpimitasta. Täydellinen auringonpimennys näkyy vain lyhyen aikaa ja pienellä alueella, koska Aurinko ja Kuu ovat Maasta katsoen melkein samankokoiset. Alla oleva kuva (ei mittakaavassa) osoittaa, että auringonpimennyksen havaitsija on kahden yhdenmuotoisen kolmion kärjessä. Ensimmäisen kolmion kanta on Kuussa ja toisen Auringossa. Nykyään tiedetään, että Maan keskimääräinen etäisyys kuusta on km ja Auringosta km sekä Kuun läpimitta on 3480 km. suuri kolmio pieni kolmio Aurinko Kuu Maa a) Laske näiden tie tojen avulla yhdenmuotoisista kolmioista Auringon säteen suuruus. b) Laske Auringon tilavuus. c) Vertaa a)- ja b)-kohdan tuloksia taulukon arvoihin. [Vast. a) 6, m, b) 1, m 3, c) 6, m ja 1, m 3 ]. A6. Kuinka korkealle x on Helsingistä noustava kohtisuoraan ylöspäin, jotta pohjoisnapa näkyisi? Helsinki sijaitsee 60 leveyspiirillä (ks. kuva). Maapallo oletetaan ympyräksi, jonka säde R = 6370 km ja näkeminen oletetaan esteettömäksi. R Vihje : Ratkaise x lausekkeesta cos30 o = R + x. [V: 985 km].

6 A7. Avaruussukkula lentää 280 km:n korkeudella maan pinnasta. Voivatko astronautit sään salliessa nähdä Floridassa sijaitsevan Cape Canaveralin kun sukkula on täsmälleen Texasin Houstonin yläpuolella? Houstonin ja Cape Canaveralin etäisyys on 1400 km ja maapallon säde 6370 km. [V: Kyllä]. A8. Satelliitti kiertää km korkeudella maata pysyen maan suhteen paikallaan päiväntasaajan ja Helsingin pituuspiirin tasossa. Helsinki sijaitsee leveyspiirillä 60 o pohjoista leveyttä, ja maapallon säde on km. Näkyykö satelliitti Helsingin horisontin yläpuolella? [V: Ei]. A9. Kuu näkyy Maasta 0,52 :n suuruisessa kulmassa. Laske Kuun etäisyys Maasta, kun Kuun halkaisija on km. [V: km]. A10. Jos lähtisit Helsingistä ja kulkisit koko ajan suoraan länteen, kuinka pitkän vaelluksen jälkeen olisit jälleen Helsingissä. Helsinki sijaitsee leveyspiirillä 60 o pohjoista leveyttä. Maapallon säde on 6370 km. [V: km]. A11. Maapallon pinnasta 71 % on veden peitossa. Mikä on maapallon vesialueiden yhteispinta ala, kun maapallon säde on km? [V: 3, km 2 ]. A12. Helsingin ja Pekingin välinen lyhin etäisyys on km. Kuinka korkealla suoraan Helsingin yläpuolella olevan satelliitin pitäisi olla, että sieltä olisi näköyhteys Pekingiin? Maapallon ympärysmitta on km. [V: 5290 km]. A13. Satelliitti on suoraan Pohjoisnavan yläpuolella 3150 km:n korkeudessa. Näkyykö se New Yorkin horisontin yläpuolella, kun New York sijaitsee leveyspiirillä 41 o? Maapallon ympärysmitta on km. [V: Ei]. A14. Helsingin Olympiastadionin tornin korkeus on 72 m. Kuinka pitkälle tornista näkee? Maapallon säde on km. [V: 30 km]. A15. Satelliitti kiertää maapalloa päiväntasaajan yläpuolella kilometrin korkeudella. Onko satelliitista suora näköyhteys Helsinkiin silloin, kun satelliitti on Helsingin kautta kulkevan pituuspiirin yläpuolella? Maapallon säde on km ja Helsinki sijaitsee leveyspiirillä 60 o pohjoista leveyttä. [V: Ei]. A16. Kuu on avaruusaluksen ja Maan välissä. Avaruusaluksesta katsoen Kuu peittää juuri ja juuri Maan taakseen. Kuinka kaukana Kuun pinnasta avaruusalus tällöin on? Maan säde on km, Kuun säde on km, ja Kuun ja Maan keskipisteiden etäisyys on km. [V: km]. A17. Avaruusalus kiertää maata ympyrän muotoista rataa. Aluksen korkeutta nostetaan 20,0 km. Kuinka paljon kiertorata pitenee? [V: 126 km]. A18. Kuinka suuressa kulmassa Maa näkyy Kuusta? Kuun ja Maan välinen lyhin etäisyys on noin km ja Maan säde km. [V: 1,9 o ].

7 A19. Kaksi kaupunkia sijaitsee pohjoisella pallonpuoliskolla samalla pituuspiirillä. Kaupunkien välimatka on 333 km. Toinen on 37 o - leveyspiirillä ja toinen on tästä suoraan pohjoiseen. Määritä toisen kaupungin leveyspiiri, kun maapallon ympärysmitta on km. [V: 40 o ]. A20. Tukholmassa sijaitsevan pallomaisen hallin Globenin läpimitta on 110 metriä. Katsoja mittasi kahden euron kolikon läpimitaksi 26 mm ja piti kolikkoa 70 cm:n etäisyydellä silmästään. Tällöin Globen jäi melko tarkasti kolikon peittoon. Laske katsojan etäisyys Globenista. [V: 3,0 km]. A21. Helsingin ja Turun välimatka on 165 km. Jos Helsingin ja Turun välille rakennettaisiin suora tunneli, kuinka monta metriä olisi sen suurin etäisyys maanpinnasta? Maapallon ympärysmitta on km. [V: 535 m]. A22. Kaverisi väittää nähneensä Helsingistä kerrostalon katolta Tallinnaan. Tallinna sijaitsee Helsingistä likimain etelään, meritse noin 80 km päässä. Maapallon säde on noin 6370 km. Kuinka korkealle Helsingissä pitäisi kavuta, jotta voisi (teoriassa) nähdä Tallinnaan? [V: 500 m]. A23. Päiväntasaajan yläpuolella maapallon suhteen paikallaan pysyvä satelliitti näkyy Helsingistä suoraan etelään 4,0 o horisontin yläpuolella. Helsinki sijaitsee 60 o leveyspiirillä pohjoista leveyttä. Mikä on satelliitin korkeus maanpinnasta? Maapallon säde on km. [V: 8130 km]. A24. Satelliitti kiertää Maata ympyräradalla. Laske paljonko sen kiertorata lyhenee, jos se siirtyy 150 km alemmalle, Maata lähempänä olevalle, radalle. [V: 940 km]. A25. GPS-paikanninsatelliitti on km:n korkeudella maanpinnasta. Laske satelliitin maapallon pinnalta kattaman alueen säde. Maapallon säde on km. [V: 8500 km]. A26. Avaruusaluksesta nähdään juuri horisontissa oleva satelliitti. Satelliitti ja avaruusalus ovat yhtä etäällä maanpinnasta, ja niiden etäisyys toisistaan on km. Laske niiden etäisyys maanpinnasta. Maapallon säde on 6370 km. [V: 1700 km]. A27. Aurinko ja Kuu näkyvät Maasta katsottuna jokseenkin samankokoisina. Kun Kuu osuu kiertoradallaan Maan ja Auringon väliin, nähdään Maassa auringonpimennys. a) Piirrä kuva tilanteesta, jossa Kuu peittää Auringon (täydellinen auringonpimennys) b) Laske yhdenmuotoisten kolmioiden avulla Auringon halkaisija, kun tiedetään, että Maan etäisyys Auringosta on km, Maan etäisyys Kuusta on km ja Kuun säde on km. [V: b) km]. A28. Tietoliikennesatelliitti näyttää pysyvän jatkuvasti samassa kohdassa noin km:n korkeudessa maanpinnan yläpuolella. Kuinka suuressa kulmassa maapallo tällaisesta satelliitista näkyy, kun Maan säde on km? [V: 17 o ]. A29. Millä etäisyydellä silmästä biljardipallo näyttää yhtä suurelta kuin Kuu? Biljardipallon halkaisija on 52,5 mm. Kuun halkaisija on km ja keskietäisyys Maasta km. [V: 581 cm]. A30. Helsingin yliopiston tähtitornin pallokoordinaatit ovat 60 o 9 42,6 N ja 24 o E. Mitä nämä tarkoittavat? Ilmoita koordinaatit asteina. [V: 60,16 o N, 24,95 o ].

8 A31. Kuinka pitkä on leveyspiiri 60 o pohjoista leveyttä? Maapallon ympärysmitta on km. [V: km]. A32. Kravun kääntöpiiri on leveyspiiri noin 23,5 astetta pohjoista leveyttä eli sijaitsee maan akselin kaltevuuskulman etäisyydellä päiväntasaajasta. Se on pohjoisin kohta, jonne Aurinko voi paistaa kohtisuoraan ylhäältä eli zeniitistä. Tämä tapahtuu kerran vuodessa, kesäpäivänseisauksen aikaan kesäkuussa. Nimitys Kravun kääntöpiiri johtuu siitä, että antiikin aikana Aurinko oli, ollessaan siihen nähden zeniitissä, Maasta katsottuna tähtitaivaalla Kravun tähdistön suunnassa. Maapallon säde on 6370 km. Kuinka pitkä on Kravun kääntöpiiri? [V: km]. A33. Budapestissa (48 o N, 19 o E) asuva Sandor keskustelee puhelimassa Monterreyssa (25 o N, 101 o W) asuvan ystävänsä Felipen kanssa kevätpäiväntasauksen päivänä (21.3). Sandor kertoo Auringon juuri nousevan Budapestissä. Kuinka kauan kestää, ennen kuin Felipe voi nähdä Auringon nousun? [V: 8 tuntia]. A34. Rovaniemen lentokenttä (66 o 34 N, 25 o 50 E) sijaitsee lähellä napaiiriä. Laske kentän etäisyys päiväntasaajasta. Maapallon ympärysmitta on km. [V: km]. A35.Trondheim ja Tunis sijaitsevat samalla pituuspiirillä 10 o itäistä pituutta. Kuinka pitkä matka on Trondheimista (63 o N, 10 o E) suoraan etelään Tunisiin (37 o N, 10 o E)? Maapallon ympärysmitta on km. [V: km]. A36. Millä etäisyydellä (silmästä) pöytätennispallo näyttää yhtä suurelta kuin Kuu? Maan keskietäisyys Kuusta on km, Kuun säde on 1 738,2 km ja pöytätennispallon halkaisija 40 mm. Anna vastaus metrin kymmenesosan tarkkuudella. [V: 4,4 m]. A37. Satelliitti kiertää maapalloa kilometrin korkeudella. Kuinka suuressa kulmassa maapallo näkyy satelliitista? Maapallon ympärysmitta on km. [V: 110 o ]. A38. Satelliitti lentää pohjoisnavan yli. Millä korkeudella satelliitin on sijaittava, jotta sieltä voidaan havaita Moskova, joka sijaitsee 57. leveyspiirillä (57 o )? Maapallon ympärysmitta on km. [V: km]. A39. Kuinka suuressa kulmassa maapallo näkyy avaruusasemasta, joka on 350 km:n etäisyydellä maapallosta? Maapallon säde on km. [V: 140 o ]. A40. Laske Helsingin (60 o N, 25 o E) etäisyys maapallon pyörimisakselista. Laske sen avulla leveyspiirin 60 o N pituus. Maapallon säde R = km. [V: km, km]. A41. Kuinka pitkä matka Helsingistä (60 o N, 25 o E) on päiväntasaajalle? Entä pohjoisnavalle? Maapallon säde on km. [V: km, km]. A42. Lentokone lentää 11 kilometrin korkeudessa Kuopion yläpuolella. Voidaanko koneen ikkunasta kirkkaalla ilmalla nähdä Suomenlahti? Kuopion lyhin etäisyys Suomenlahdesta on noin 300 km. Maapallon ympärysmitta on km ja säde km. [V: Voidaan].

9 A43. Kuinka kauas aavalla merellä voisi nähdä veneen kannella seisova henkilö, jonka silmät ovat 2,1 metrin korkeudella veden pinnasta? Maapallon säde on km. [V: 5,2 km]. A44. Kuinka kauas Näsinneulan huipulla oleva henkilö voi nähdä, kun Näsinneulan korkeus on 168 metriä? Maapallon säde on km. [V: 46,3 km]. A45. Avaruusalus leijailee km päässä Maasta päiväntasaajan kohdalla. Kuinka suuren osan päiväntasaajasta avaruusaluksen miehistö näkee, kun maapallon ympärysmitta on km? [V: 48 % päiväntasaajasta]. A46. Kuinka korkealla Lontoon yläpuolella olevan viestintäsatelliitin tulee vähintään olla, jotta satelliitin lähetys tavoittaisi Helsingin? Lontoon ja Helsingin etäisyys on km. Maapallon ympärysmitta on km ja säde km. Lentokone lentää 11 kilometrin korkeudessa Kuopion yläpuolella. Voidaanko koneen ikkunasta kirkkaalla ilmalla nähdä Suomenlahti? Kuopion lyhin etäisyys Suomenlahdesta on noin 300 km. Maapallon ympärysmitta on km ja säde km. [V: 295 km]. A47. Kuinka kauas merelle voi nähdä veneen kannella seisova henkilö, jonka silmät ovat 2,80 metrin korkeudella veden pinnasta? Maapallon säde on km. [V: 6,0 km]. A48. Maapallo näkyy miehitetystä avaruusaluksesta 52 o :n kulmassa. Mikä on avaruusaluksen etäisyys Maasta? Maapallon säde on km. [V: km]. A49. Tallinna sijaitsee 80 km Helsingistä etelään. Kumpaankin satamaan halutaan rakentaa samankorkuiset tornit siten, että saadaan suora näköyhteys tornien huippujen välille. Kuinka korkeita tornien tulee olla? Maapallon ympärysmitta on km. [V: 130 m meren pinnan yläpuolelle]. A50. Maapallon pinnan kaarevuus havaitaan jo melko pienillä etäisyyksillä. Rannalla seisova 170 cm pitkä henkilö katselee merellä melojaa, joka on juuri etääntymässä horisontin taakse. Kuinka kaukana katsojan silmästä (linnuntietä) meloja tällöin on? Maapallon säde on km. [V: 4,7 km]. A51. Suomi sijaitsee likimain 20 ja 30 pituuspiirin välillä (itäistä pituutta). Avaruusalus kulkee avaruudessa juuri Suomen yläpuolella. Aluksesta nähdään koko Suomi 12 o kulmassa. Millä etäisyydellä maapallon pinnasta avaruusalus kulkee, kun Suomen pituus on km ja maapallon säde km? [V: km]. A52. Helsingin Pasilassa sijaitsee linkkitorni, jonka korkeus meren pinnasta mitattuna on 146 metriä. Kuinka korkealta paikalta Tallinnasta tornin huippu on mahdollista nähdä, kun Helsingin ja Tallinnan välinen etäisyys maapallon pintaa pitkin mitattuna on 85 km? Maapallon ympärysmitta on km. (YO-MAB-S08-9). [V: 138 m].

10 A53. Helsingin ja Moision keskustat sijaitsevat samalla pituuspiirillä 24 o 56 itäistä pituutta, Helsingin keskusta leveyspiirillä 60 o 9 pohjoista leveyttä ja Moision 62 o 26 pohjoista leveyttä. a) Kuinka kaukana keskustat ovat toisistaan? b) Kuinka korkealla Moision yläpuolella olevasta lentokoneesta voisi periaatteessa kirkkaalla säällä nähdä Helsinkiin? Maapallon ympärysmitta on km. (YO-MAB-K00-8). [V: a) 250 km, b) vähintään 5,1 km korkeudella]. A54. Laihia ja Kaavi ovat likimain 63. leveysasteella. Niiden leveyspiiriä pitkin mitattu etäisyys on 330 kilometriä. Kuinka paljon aikaisemmin Aurinko nousee Kaavilla kuin Laihialla? Maapallon säde on km. (YO-MAB-K97-9a). [V: 26 min]. A55. Tähtitieteessä etäisyydet ilmoitetaan usein yksikkönä parsek, joka on se etäisyys, josta Maan kiertoradan säde näkyisi yhden kulmasekunnin suuruisessa kulmassa. Kuinka monta kilometriä on parsek, kun Maan radan säde on km? (YO-MAB-K93-8). [V: 3, km]. A56. Kuinka kauas merelle voi nähdä rannalla seisova henkilö, jonka silmät ovat 170 cm korkeudella meren pinnasta? Maapallon säde on noin km. (YO-MAB-K87-9). [V: 4,66 km]. A57. Maapallon meridiaanin neljännes (matka päiväntasaajalta navalle) on km. Päiväntasaajan yläpuolella km korkeudella merenpinnasta on tietoliikennesatelliitti. Kuinka korkealla horisontin yläpuolella (0,1 o :n tarkkuudella) se on, jos se on suoraan etelässä tarkastelupaikasta, jonka leveyspiiri on 70,0 o (Utsjoki)? (YO-MAB-K89-10). [V: 11,5 o ]. A58. Kuinka suuressa kulmassa maapallo näkyy Kuun pinnalta kohdasta, joka on lähinnä Maata? Maan säde on km, Kuun säde on km ja Maan ja Kuun välinen etäisyys (keskipisteestä keskipisteeseen) on km. (YO-MAB-S91-7). [V: 1,91 o ]. A59. Kuinka korkealla pohjoisnavan yläpuolella olevan satelliitin on vähintään oltava, että se näkyisi Philadelphiassa? Maapallon säde on 6370 km ja Philadelphia sijaitsee 40 o :een leveyspiirillä. [V: 3540 km]. A60. Hämeenlinnan kaupunki sijaitsee 61. leveyspiirillä. Millä nopeudella Hämeenlinna kiertää Maan akselin ympäri? Maapallon säde on 6370 km. [V: 810 km/h]. A61. Kuu näkyy Maasta 0,52 :n suuruisessa kulmassa. Laske Kuun etäisyys Maasta, kun Kuun halkaisija on km. [V: km]. A 62. Kuu on avaruusaluksen ja Maan välissä. Avaruusaluksesta katsoen Kuu peittää juuri ja juuri Maan taakseen. Kuinka kaukana Kuun pinnasta avaruusalus tällöin on? Maan säde on km, Kuun säde on km, ja Kuun ja Maan keskipisteiden etäisyys on km. [V: km]. A63. Matka Helsingistä Singaporeen on 9400 km ja maapallon säde 6370 km. Jos Helsingistä rakennettaisiin suora tunneli Singaporeen, niin a) kuinka pitkä se olisi? b) kuinka syvällä maanpinnan alapuolella se kulkisi? [V: a) 8600 km, b) 1600 km].

11 A64. Praha ja Winnipeg sijaitsevat samalla leveyspiirillä, 50 o pohjoista leveyttä. Prahan sijainti on 15 o itäistä pituutta ja Winnipegin 97 o läntistä pituutta. Maapallon säde on 6370 km. Laske Prahan ja Winnipegin välinen etäisyys a) etäisyys leveyspiiriä pitkin kulkien. b) jos kaupunkien väli voitaisiin kulkea suoraa tunnelia pitkin. [V: a) 8000 km, b) 6800 km]. A65. Eiffel-torni näkyy 250 km:n päästä 50,4 o kulmassa. Missä kulmassa se näkyy 450 km:n päästä? [V: 33,9 o ]. A66. Avaruusalus kiertää maata ympyrän muotoista rataa. Aluksen korkeutta nostetaan 20,0 km. Kuinka paljon kiertorata pitenee? [V: 126 km]. A67. Raketti nousee pohjoisnavalta suoraan ylöspäin Maan säteen (6370 km) verran maanpintaa ylemmäs. Kuinka monta prosenttia Maan säteestä pitäisi olla päiväntasaajalle pystyyn nostetun seipään pituuden, jotta sen pää näkyisi rakettiin? [V: 15,5 %]. A68. Kuinka korkealle Lontoon yläpuolelle tulisi nousta, jotta näkisi (teoriassa) Helsingin? Lontoon ja Helsingin etäisyys maapalloa pitkin on 1900 km ja maapallon säde on noin 6370 km. [V: 290 km]. A69. Geostationaarinen satelliitti kiertää maapalloa päiväntasaajan yläpuolella noin km korkeudella. Kuinka suuressa kulmassa horisontin yläpuolella satelliitti näkyy Etelä-Suomessa 60 -leveyspiirillä? Maapallon ympärysmitta on km. [V: 22 %]. A70. Kaksi kaupunkia sijaitsee pohjoisella pallonpuoliskolla samalla pituuspiirillä. Toinen on 48 -leveyspiirillä ja toinen on 9 -leveyspiirillä. Laske kaupunkien välimatka, kun maapallon ympärysmitta on km. [V: 4300 km]. A71. Maan pintaa lähestyvästä avaruusaluksesta nähdään juuri ja juuri koko Suomi. Kuinka korkealla avaruusalus on Suomen keskipisteen yläpuolella, kun Suomen pituus on 1160 km ja maapallon säde on 6370 km? [V: 27 km]. A72. Satelliitti kiertää maapalloa 300 km korkeudessa, ja sen kierros maapallon ympäri kestää 90 min. Maapallon säde on 6370 km. Laske satelliitin nopeus. [V: km/h]. A73. Kuinka kauas maanpintaa pitkin voidaan nähdä Eiffel-tornin huipulta, kun tornin korkeus on 309,63 m? Maapallon säde on 6370 km. Jos Eiffel-torni olisi Kuussa, niin näkyisikö Kuussa pitemmälle pitkin kuunpintaa kuin Maassa? Perustelut laskemalla. Kuun säde on 1738 km. [V: 62,8 km, Ei. 32,8 km]. A74. Kappaleen paino on kääntäen verrannollinen maapallon keskipisteestä mitatun etäisyyden neliöön. Lentokoneen paino maan pinnalla on 550 kn. Kuinka paljon sen paino on 10 kilometrin korkeudessa? (~YO-MAB-K06-4). [V: 548 kn].

12 A75. Valokuvausfilmin herkkyys ilmaistaan kahdella asteikolla. Tyypillinen filmin herkkyyslukema on ISO 125/22 o. Ensimmäinen luku 125 on filmin herkkyys fysikaalisella mitta-asteikolla (yksikkönä 1/luksisekunti), jälkimmäinen luku 22 o on filmin herkkyys logaritmisella asteikolla. Lyhenne ISO ilmaisee, että kyseessä ovat kansainvälisen standardijärjestön (International Standardization Organization) vahvistamat asteikot. Logaritmisen asteikon lukema S o saadaan fysikaalisesta lukemasta S kaavalla S o = 1 + lg S. Täydennä herkkyyskuvaukset a) ISO 400/ ja ISO 2000/ b) ISO /17 o ja ISO /36 o. [V: a) 27 o, 34 o, b) 40, 3200]. A76. Maanjäristyksen voimakkuuden mittaamisessa käytettävä Richterin asteikko on logaritminen. Maanjäristyksen yhteydessä purkautuvan energiamäärän vaihteluväli on hyvin suuri ja voimakkaat järistykset ovat miljoonakertaisia pienimpiin verrattuna. Siksi voimakkuuksien mittarina käytetään niiden logaritmeja. Richterin asteikon kehitti v Charles F. Richter. Richterin asteikolla mitatut lukemat vaihtelevat välillä Järistyksen voimakkuuden mittaus tapahtuu seismografilla eri puolilla maapalloa sijaitsevilla havaintoasemilla. Seismografin piirtämään jatkuvaan käyrään, seismogrammiin, rekisteröityvät pienetkin järistykset. Richterin asteikon lukeman M ja järistyksen voimakkuuden E välisen riippuvuuden ilmaisee kaava log E = 11,8 + 1,5M 10 M = Richterin asteikon lukema, joka vastaa vapautuvan energian E määrää jouleina (J). a) Laske järistyksen energia, kun sen voimakkuus Richterin asteikolla on 7,8. Loviisan ydinvoimalaitos tuottaa yhdessä tunnissa energiaa 980 MWh = 3, J. Kuinka moninkertainen oli maanjäristyksessä vapautunut energia verrattuna Loviisan tunnissa tuottamaan energiaan? b) Kahden järistyksen energioiden suhde on 100-kertainen. Kuinka suuri on voimakkaamman järistyksen lukema Richterin asteikolla, kun heikomman järistyksen lukema on 5,4? [V: a) 3, J, kertainen, b) 6,7]. A77. Maanjäristyksen voimakkuutta mitataan ns. Richterin asteikolla, jossa asteikon lukeman M ja järistyksessä vapautuvan energian E (J) välillä on yhteys: lg E = 11,8 + 1,5M. a) rakennus on mitoitettu kestämään järistys, jos maanjäristyksessä vapautuva energia on 50 % suurempi kuin järistyksessä, jonka voimakkuus Richterin asteikolla on 6,8. Kuinka voimakkaan järistyksen rakennus kestää Richterin asteikolla mitattuna? (YO-K05-13). b) San Franciscon vuosien 1906 ja 1989 maanjäristysten suuruudet Richterin asteikolla olivat 8,2 ja 7,1. Määritä järistysten energioiden suhde. (YO-K90-6). [V: a) 6,9, b) 44,7].

13 A78. Maanjäristyksen voimakkuutta mitataan ns. Richterin asteikolla, jossa asteikon lukeman M ja järistyksessä vapautuvan energian E (J) välillä on yhteys: lg E = 11,8 + 1,5M. a) Intiassa tapahtui vuonna 1950 maanjäristys, jonka voimakkuudeksi mitattiin Richterin asteikolla 8,8. Vuonna 2003 Iranissa tapahtui maanjäristys, jonka voimakkuus oli 6,8 Richterin asteikolla. Laske maanjäristyksessä vapautuneiden energioiden suhde. Kuin monta kertaa voimakkuudeltaan suurempi oli Intian maanjäristys Iranin maanjäristykseen verrattuna? b) Kahden maanjäristyksen Richterin asteikon lukemat olivat 6,3 ja 4,3. Mikä oli niiden energioiden välinen suhde? [V: a) 1000, 1000-kertainen, b) 1000].

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla

AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla Tähtitieteellinen merenkulkuoppi on oppi, jolla määrätään aluksen sijainti taivaankappaleiden perusteella. Paikanmääritysmenetelmänäon ristisuuntiman

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4

766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 0. MUISTA: Tenttitehtävä tulevassa päätekokeessa: Fysiikan säilymislait ja symmetria. (Tästä tehtävästä voi saada tentissä kolme ylimääräistä pistettä. Nämä

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit

Lisätiedot

1) Maan muodon selvittäminen. 2) Leveys- ja pituuspiirit. 3) Mittaaminen

1) Maan muodon selvittäminen. 2) Leveys- ja pituuspiirit. 3) Mittaaminen 1) Maan muodon selvittäminen Nykyään on helppo sanoa, että maa on pallon muotoinen olet todennäköisesti itsekin nähnyt kuvia maasta avaruudesta kuvattuna. Mutta onko maapallomme täydellinen pallo? Tutki

Lisätiedot

Pimennys- yms. lisäsivut Maailmankaikkeus nyt -kurssi

Pimennys- yms. lisäsivut Maailmankaikkeus nyt -kurssi Pimennys- yms. lisäsivut Maailmankaikkeus nyt -kurssi Asko Palviainen Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Ajanlasku Kuukalenteri vuodessa 12 kuu-kuukautta ei noudata vuodenaikoja nykyisistä kalentereista

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Tähtitieteelliset koordinaattijärjestelemät

Tähtitieteelliset koordinaattijärjestelemät Tähtitieteelliset Huom! Tämä materiaali sisältää symbolifontteja, eli mm. kreikkalaisia kirjaimia. Jos selaimesi ei näytä niitä oikein, ole tarkkana! (Tällä sivulla esiintyy esim. sekä "a" että "alpha"-kirjaimia,

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Luento 5: Stereoskooppinen mittaaminen

Luento 5: Stereoskooppinen mittaaminen Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 5: Stereoskooppinen mittaaminen AIHEITA Etäisyysmittaus stereokuvaparilla Esimerkki: "TKK" Esimerkki: "Ritarihuone"

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Tarinaa tähtitieteen tiimoilta FYSIIKAN JA KEMIAN PERUSTEET JA PEDAGOGIIKKA 2014 KARI SORMUNEN

Tarinaa tähtitieteen tiimoilta FYSIIKAN JA KEMIAN PERUSTEET JA PEDAGOGIIKKA 2014 KARI SORMUNEN Tarinaa tähtitieteen tiimoilta FYSIIKAN JA KEMIAN PERUSTEET JA PEDAGOGIIKKA 2014 KARI SORMUNEN Oppilaiden ennakkokäsityksiä avaruuteen liittyen Aurinko kiertää Maata Vuodenaikojen vaihtelu johtuu siitä,

Lisätiedot

1.4 Suhteellinen liike

1.4 Suhteellinen liike Suhteellisen liikkeen ensimmäinen esimerkkimme on joskus esitetty kompakysymyksenäkin. Esimerkki 5 Mihin suuntaan ja millä nopeudella liikkuu luoti, joka ammutaan suihkukoneesta mahdollisimman suoraan

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2 Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155. Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

PÄIVÄNVALO. Lue alla oleva teksti ja vastaa sen jäljessä tuleviin kysymyksiin.

PÄIVÄNVALO. Lue alla oleva teksti ja vastaa sen jäljessä tuleviin kysymyksiin. ÄIVÄNVALO Lue alla oleva teksti ja vastaa sen jäljessä tuleviin kysymyksiin. ÄIVÄNVALO 22. KSÄKUUTA 2002 Tänään, kun pohjoisella pallonpuoliskolla juhlitaan vuoden pisintä päivää, viettävät australialaiset

Lisätiedot

A-osio. Ei laskinta! Laske kaikki tehtävät. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa.

A-osio. Ei laskinta! Laske kaikki tehtävät. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. MAB2 koe Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Muista, että välivaiheet perustelevat vastauksesi. Muista kirjoittaa konseptille nimesi ja tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan. A-osio. Ei laskinta!

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain.

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. OSA 3: GEOMETRIAA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. G. GEOMETRIAA Hannu ja

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012

Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 LIIKE Jos vahvempi kaveri törmää heikompaan kaveriin, vahvemmalla on enemmän voimaa. Pallon heittäjä antaa pallolle heittovoimaa, jonka

Lisätiedot

SÁME JÁHKI - saamelainen vuosi

SÁME JÁHKI - saamelainen vuosi 6789067890678901267890678906789012678906 6789067890678901267890678906789012678906 6789067890678901267890678906789012678906 67890 67890 678906 678906 678906 67890 67890 67890 67890 67890 678906 678906 678906

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29.

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29. 1 Yhdenmuotoisuus Keskenään samanmuotoisia kuviota kutsutaan yhdenmuotoisiksi kuvioiksi. Yhdenmuotoisten kuvioiden toisiaan vastaavia kulmia kutsutaan vastinkulmiksi ja toisiaan vastaavia osia vastinosiksi.

Lisätiedot

Kartio ja pyramidi

Kartio ja pyramidi Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota

Lisätiedot

FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ

FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ MEKANIIKKA Nopeus ja keskinopeus 6. Auto kulkee 114 km matkan tunnissa ja 13 minuutissa. Mikä on auton keskinopeus: a) Yksikössä km/h 1. Jauhemaalaamon kuljettimen nopeus on

Lisätiedot

PIKAOPAS 1. Kellotaulun kulma säädetään sijainnin leveys- asteen mukaiseksi.

PIKAOPAS 1. Kellotaulun kulma säädetään sijainnin leveys- asteen mukaiseksi. Käyttöohje PIKAOPAS 1. Kellotaulun kulma säädetään sijainnin leveysasteen mukaiseksi. Kellossa olevat kaupungit auttavat alkuun, tarkempi leveysasteluku löytyy sijaintisi koordinaateista. 2. Kello asetetaan

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi

Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi Tähtitieteen perusteet, harjoitus 2 Yleisiä huomioita: Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi aurinkokunnan etäisyyksille kannattaa usein

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia

Lisätiedot

yyyyyyyyyyyyyyyyy Tehtävä 1. PAINOSI AVARUUDESSA Testaa, paljonko painat eri taivaankappaleilla! Kuu kg Maa kg Planeetta yyy yyyyyyy yyyyyy kg Tiesitk

yyyyyyyyyyyyyyyyy Tehtävä 1. PAINOSI AVARUUDESSA Testaa, paljonko painat eri taivaankappaleilla! Kuu kg Maa kg Planeetta yyy yyyyyyy yyyyyy kg Tiesitk I LUOKKAHUONEESSA ENNEN TIETOMAA- VIERAILUA POHDITTAVIA TEHTÄVIÄ Nimi Luokka Koulu yyyyyyyyyy Tehtävä 1. ETSI TIETOA PAINOVOIMASTA JA TÄYDENNÄ. TIETOA LÖYDÄT MM. PAINOVOIMA- NÄYTTELYN VERKKOSIVUILTA. Painovoima

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

Ratkaisut Tarkastelemme kolmiota ABC, jonka sivujen pituudet ovat!, & ja ' ja niiden vastaiset korkeudet

Ratkaisut Tarkastelemme kolmiota ABC, jonka sivujen pituudet ovat!, & ja ' ja niiden vastaiset korkeudet 197 Lausu logaritmeja käyttämättä jaksollisen desimaaliluvun (kymmenysluvun) 0,578703703 kuutiojuuri jaksollisena desimaalilukuna. [S3, pitempi kurssi] Ratkaisut 1917 197 1917 Tarkastelemme kolmiota ABC,

Lisätiedot

GeoGebran 3D paketti

GeoGebran 3D paketti GeoGebran 3D paketti vielä kehittelyvaiheessa joitakin puutteita ja virheitä löytyy! suomennos kesken parhaimmillaan yhdistettynä 3D-lasien kanssa tilattavissa esim. netistä (hinta noin euron/lasit) 3D-version

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

= 6, Nm 2 /kg kg 71kg (1, m) N. = 6, Nm 2 /kg 2 7, kg 71kg (3, m) N

= 6, Nm 2 /kg kg 71kg (1, m) N. = 6, Nm 2 /kg 2 7, kg 71kg (3, m) N t. 1 Auringon ja kuun kohdistamat painovoimat voidaan saada hyvin tarkasti laksettua Newtonin painovoimalailla, koska ne ovat pallon muotoisia. Junalle sillä saadaan selville suuruusluokka, joka riittää

Lisätiedot

Juha Ojanperä Har javalta

Juha Ojanperä Har javalta Tähtitaivaan alkeet Juha Ojanperä Harjavalta 06.10. - 08.12.2016 Kurssin sisältö 1. Kerta Taivaanpallo ja tähtitaivaan liike opitaan lukemaan ja ymmärtämään tähtikarttoja 2. kerta Tärkeimmät tähdet ja

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI

7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI 67 7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI Optisen systeemin peruspisteet saadaan systeemimatriisista. Käytetään seuraavan kuvan merkintöjä: Kuvassa sisäänmenotaso on ensimmäisen linssin ensimmäisessä pinnassa eli

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit Physica 9 1 painos 1(6) : 161 a) Kupera linssi on linssi, jonka on keskeltä paksumpi kuin reunoilta b) Kupera peili on peili, jossa heijastava pinta on kaarevan pinnan ulkopinnalla c) Polttopiste on piste,

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

AMMATIKKA top 16.11.2006

AMMATIKKA top 16.11.2006 AMMATIKKA top 16.11.2006 Toisen asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU Nimi Oppilaitos Koulutusala Luokka Sarjat: MERKITSE OMA SARJA 1. Tekniikka ja liikenne: O 2.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

ASTROFYSIIKAN TEHTÄVIÄ VI

ASTROFYSIIKAN TEHTÄVIÄ VI ASTROFYSIIKAN TEHTÄVIÄ VI 622. Kun katsot tähtiä, niin niiden valo ei ole tasaista, vaan tähdet vilkkuvat. Miksi? Jos astronautti katsoo tähtiä Kuun pinnalla seisten, niin vilkkuvatko tähdet tällöinkin?

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT Cadets 2004 - Sivu 1 3 pistettä 1/ Laske 2004 4 200 A 400800 B 400000 C 1204 1200 E 2804 2004 4 200= 2004 800= 1204 2/ Tasasivuista kolmiota AC kierretään vastapäivään pisteen A ympäri. Kuinka monta astetta

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

VALONTAITTOMITTARIN KÄYTTÖ

VALONTAITTOMITTARIN KÄYTTÖ VALONTAITTOMITTARIN KÄYTTÖ MERKITSE KUVAAN VALONTAITTOMITTARIN OSAT. 1. Okulaarin säätörengas 2. Asteikkorengas 3. Käyttökatkaisin 4. Linssipitimen vapautin 5. Linssialusta 6. Linssipidin 7. Linssipöytä

Lisätiedot

MATEMATIIKAN TYÖT KONNEVEDEN KENTTÄTYÖJAKSOLLA / KEVÄT 2015

MATEMATIIKAN TYÖT KONNEVEDEN KENTTÄTYÖJAKSOLLA / KEVÄT 2015 MATEMATIIKAN TYÖT KONNEVEDEN KENTTÄTYÖJAKSOLLA / KEVÄT 2015 Tehtäviin sisältyy Merikiikarin avulla suoritettavia mittauksia ja trigonometrian avulla suoritettavia laskutehtäviä. Tarvikkeet: Merikiikarit,

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

AURINKO VALON JA VARJON LÄHDE

AURINKO VALON JA VARJON LÄHDE AURINKO VALON JA VARJON LÄHDE Tavoite: Tarkkaillaan auringon vaikutusta valon lähteenä ja sen vaihtelua vuorokauden ja vuodenaikojen mukaan. Oppilaat voivat tutustua myös aurinkoenergian käsitteeseen.

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:.

MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:. AMMATIKKA top 17.11.005 MATEMATIIKAN KOE. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu Nimi: Oppilaitos:. Koulutusala:... Luokka:.. Sarjat: MERKITSE OMA SARJA 1. Tekniikka

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ YLIOPPILSTUTKINTO- LUTKUNT..7 MTEMTIIKN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ -osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän alla olevaan ruudukkoon.

Lisätiedot