031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4"

Transkriptio

1 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division

2 Tilastollinen aineisto Tilastolliset menetelmät ovat eräs keino tutkia numeerista havaintoaineistoa todennäköisyyslaskentaa hyödyntäen. Perusjoukosta eli populaatiosta kerätään otos, jonka perusteella tehdään päätelmiä koko populaatiosta. Tilastollisen tutkimuksen alkuvaiheet käsittävät aineiston keruun suunnittelun ja varsinaisen aineiston keruun. Havainnot täytyy hankkia siten, että niistä voidaan tehdä luotettavia johtopäätöksiä. Tällä kurssilla oletetaan, että aineisto on kerätty yksinkertaisella satunnaisotannalla. Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 42

3 Esimerkki Tarkastellaan puolueiden kannatuksen selvittämistä mielipidetutkimuksen avulla. Kysytään esimerkiksi kahdelta tuhannelta tietyllä tavalla valitulta äänioikeutetulta, mitä puoluetta he äänestäisivät, jos vaalit pidettäisiin nyt. Lasketaan vastausten perusteella kannatusprosentit puolueille. Tutkimukseen otettavien henkilöiden valinta ja tulosten luotettavuuden arviointi ovat tilastotieteellisiä ongelmia. Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 42

4 Havaintoaineiston kuvaus Satunnaisotos on jono (x 1,x 2,...,x n ), missä x i :t ovat havaintoja (realisaatioita) tutkittavasta ominaisuudesta (satunnaismuuttujasta) X. Koska otos sinällään ei anna havainnollista kuvaa X:n arvojen jakaantumisesta, havaintoaineistoa eli otosta kuvataan siitä laskettujen otostunnuslukujen avulla. Tärkeimpiä otostunnuslukuja ovat: Vaihteluväli: [min 1 i n x i,max 1 i n x i ]. Otoskeskiarvo: x = 1 n n i=1 x i. Otosvarianssi: s 2 = 1 n 1 n i=1 (x i x) 2. Otoskeskihajonta: s = 1 n 1 n i=1 (x i x) 2. Jukka Kemppainen Mathematics Division 4 / 42

5 Otostunnuslukuja Otoskovarianssi: s xy = 1 n 1 n i=1 (x i x)(y i y), joka on kahden muuttujan otoksen hajontaluku. Huomaa, että s xx on itse asiassa muuttujan x otosvarianssi. Keskiarvon keskivirhe: s n, jota käytetään keskiarvon x luotettavuuden arvioimisessa. Otosmediaani M d on se luku, jonka alapuolella on puolet havainnoista, { M d = min M #{x i x i M} } 0,5. n Jukka Kemppainen Mathematics Division 5 / 42

6 Otostunnuslukuja P-prosenttipiste M p on se luku, jonka alapuolella on p% havainnoista. Usein käytetään prosenttilukuja 25%, 50% ja 75%. Otosmoodi on se luokka, jossa on eniten havaintoja, kun havaintoaineisto on jaettu k:hon luokkaan E 1,E 2,...,E k (tavallisesti k = n). Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 42

7 Empiirinen jakauma Empiirinen jakauma tarkoittaa otoksesta määrättyä jakaumaa. Tyypillinen jakauma on esimerkiksi frekvenssijakauma, joka ilmoittaa havaintojen lukumäärän havaituille arvolle. Usein data on jaettu sopiviin luokkiin. Jos esimerkiksi mitattaisiin henkilöiden pituuksia, voisi olla järkevää jakaa data luokkiin 10 cm välein. Empiirisen jakauman avulla saamme osviittaa siitä, mikä on populaation jakauma. Tarvittaessa voimme tilastollisesti testata, noudattaako saamamme havaintoaineisto esimerkiksi normaalijakaumaa. Emme kuitenkaan puutu tällä kurssilla tähän. Jukka Kemppainen Mathematics Division 7 / 42

8 Empiirinen jakauma Otetaan yksinkertainen esimerkki frekvenssijakaumasta ja sen graafisesta havainnollistamisesta. Esim. 28 Eräällä kurssilla kertyi lisäpisteitä seuraavan taulukon mukaisesti Lisäpisteet Opiskelijoita Laske lisäpisteiden keskiarvo, keskihajonta, keskiarvon keskivirhe, mediaani ja moodi sekä piirrä havaintoja vastaava pylväsdiagrammi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 8 / 42

9 Esimerkin 28 ratkaisu Frekvenssijakauma on ilmoitettu taulukon muodossa ja sen graafista esitystä vastaa pylväsdiagrammi. Havaintoja on yhteensä n = 83, joten lisäpisteiden otoskeskiarvoksi saadaan x = 1 n n x i = 1 n i=1 6 i n i 4.39 i=1 ja (otos)keskihajonnaksi s = 1 n 1 6 n i (i x) , i=1 josta edelleen saadaan keskiarvon keskivirheeksi s/ n Mediaani on selvästikin 5 ja moodi taasen 6. Jukka Kemppainen Mathematics Division 9 / 42

10 Esimerkin 28 ratkaisu Pylväsdiagrammi on Jukka Kemppainen Mathematics Division 10 / 42

11 Tunnuslukujen estimoinnista Tilastollisen tutkimuksen keskeinen tehtävä on määrittää perusjoukon tunnuslukuja ja tehdä perusjoukkoa koskevia johtopäätöksiä yleistämällä otoksen tunnusluvut ja otoksesta tehdyt johtopäätökset koko perusjoukkoa koskeviksi. Estimoinnissa on kyse perusjoukon tunnuslukujen eli parametrien arvioiden eli estimaattien muodostamisesta. Estimointi suoritetaan siten, että kerätään X:stä satunnaisotos (x 1,...,x n ) ja sijoitetaan havainnot kaavaan eli estimaattoriin, jonka otoksessa saamaa arvoa käytetään kyseisen parametrin estimaattina. Jukka Kemppainen Mathematics Division 11 / 42

12 Estimoinnista Estimaattori on satunnaismuuttuja, joka saa tietyn arvon kussakin otoksessa (x 1,x 2,...,x n ). Se on siis otoksen funktio. Tällaista satunnaismuuttujaa sanotaan otossuureeksi. Yleisesti parametrin θ estimaattori on θ = g(x 1,...,X n ), missä g : R n R on jokin hyväksi havaittu funktio. Esimerkiksi odotusarvon ja varianssin estimaattoreiksi sopivat hyvin otoskeskiarvon ja otosvarianssin laskentakaavat. Tällä kurssilla tarkastellaan ainoastaan odotusarvon estimointia. Jukka Kemppainen Mathematics Division 12 / 42

13 Estimaattori ja estimaatti Olkoon θ estimoitava parametri ja θ = g(x 1,X 2,...,X n ) sen estimaattori. Estimaattorin otoksessa (x 1,...,x n ) saamaa arvoa ˆθ = g(x 1,...,x n ) sanotaan parametrin θ piste-estimaatiksi tai lyhyemmin estimaatiksi. Estimaattori on satunnaismuuttuja ja estimaatti otoksessa laskettu todellinen luku. Hyvä estimaattori on harhaton, sillä on pieni varianssi ja se on tarkentuu havaintojen lukumäärän kasvaessa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 13 / 42

14 Esimerkki Esim. 29 Olkoot x i havaintoja samalla tavalla jakautuneista satunnaismuuttujista X i, joille E(X i ) = µ. Totea, että otoskeskiarvo X = 1 n n k=1 X i toteuttaa ehdot (i) E(X) = µ (harhattomuus), (ii) Var(X) on pieni, kun n on suuri (pieni varianssi), (iii) lim n X = µ (tarkentuvuus). Havainnoista laskettua keskiarvoa x voidaan siis käyttää odotusarvon estimaattina ainakin, kun n on riittävän suuri. Jukka Kemppainen Mathematics Division 14 / 42

15 Hyvän estimaatin löytäminen Hyvän estimaatin löytämiseksi on olemassa erilaisia menetelmiä. Eräs yleisimmin käytetyistä on ns. suurimman uskottavuuden estimointi tai ML-estimointi (ML=Maximum Likelihood). Tarkastellaan seuraavaksi ML-estimointia yksityiskohtaisemmin. Jukka Kemppainen Mathematics Division 15 / 42

16 Suurimman uskottavuuden menetelmä Suurimman uskottavuuden menetelmä eli ML-menetelmä (ML=maximum likelihood) on suosittu jakauman parametrien estimointimenetelmä, koska sen antamilla estimaattoreilla on yleensä enemmän hyviä ominaisuuksia kuin muiden menetelmien antamilla estimaattoreilla. Tarkastellaan menetelmää aluksi yhden tuntemattoman parametrin tapauksessa. Olkoon f satunnaismuuttujan tiheysfunktio (diskreetissä tapauksessa pistetodennäköisyysfunktio), joka riippuu tuntematomasta parametrista θ, ja merkitään f(x) = f(x; θ). Jos (x 1,...,x n ) on riippumaton otos X:stä. Otosta vastaa likelihoodfunktio (tai uskottavuusfunktio) L(θ) = f(x 1 ;θ)f(x 2 ;θ) f(x n ;θ), joka on siis parametrin θ funktio. Jukka Kemppainen Mathematics Division 16 / 42

17 Suurimman uskottavuuden menetelmä Suurimman uskottavuuden menetelmässä parametri θ määrätään siten, että likelihoodfunktio saa maksiminsa kyseisellä θ:n arvolla. Jos L on derivoituva θ:n suhteen, niin PK I:n mukaan maksimi saavutetaan joko derivaatan nollakohdassa L θ = 0 tai parametria rajoittavan välin päätepisteissä. Joidenkin todennäköisyystiheyksien tapauksessa on järkevää tarkastella likelihoodfunktion sijaan sen logaritmia, jolloin derivaattaa koskeva ehto on ln L θ = 0. Jukka Kemppainen Mathematics Division 17 / 42

18 Suurimman uskottavuuden menetelmä Jos satunnaismuuttujan X jakaumassa on r estimoitavaa parametria θ 1,...,θ r, on L = L(θ 1,...,θ r ) parametrien θ 1,...,θ r funktio. Tällöin maksimi saavutetaan joko parametreja rajoittavan alueen reunalla tai gradientin nollakohdassa, jolloin L = = L = 0. θ 1 θ r Uskottavuusfunktion logaritmille gradienttia koskeva ehto on ln L θ 1 = = ln L θ r = 0. Gradientin nollakohta on maksimikohta, jos Hessin matriisi [ 2 L(θ 1,...,θ r ) θ i θ j ] r i,j=1 on gradientin nollakohdassa negatiivisesti definiitti (eli kaikki ominaisarvot ovat negatiivisia). Jukka Kemppainen Mathematics Division 18 / 42

19 Esimerkkejä Esim. 30 Liikenneonnettomuuksien lukumäärä eräässä vilkasliikenteisessä risteyksessä on Poisson-jakautunut odotusarvona θ onnettomuutta vuorokaudessa (θ tuntematon). Kolmenkymmenen vuorokauden pituisena ajanjaksona sattui risteyksessä 60 onnettomuutta. Estimoi θ suurimman uskottavuuden menetelmällä. Esim. 31 Olkoon X normaalijakautunut satunnaismuuttuja, X N(µ,σ 2 ). Estimoi suurimman uskottavuuden menetelmällä odotusarvo µ, kun σ tunnetaan. Jos yllä myös σ on tuntematon, johtaa ML-menetelmä kahden parametrin µ ja σ ääriarvotehtävään. Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 42

20 Luottamusväli Piste-estimaatin ongelma on siinä, ettei se kerro estimoinnin tarkkuudesta mitään. Tämän vuoksi parametria estimoidaan usein myös välinä, joka kertoo meille kuinka luotettava estimaatti on. Koska väli määrätään tietyn otantajakauman avulla ja koska tällä kurssilla käsiteltävät testit pohjautuvat normaalijakaumaan, käsitellään seuraavaksi tärkeitä otantajakaumia. Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 42

21 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia χ 2 -jakauma Olkoot Z 1,...,Z ν riippumattomia ja normaalijakautuneita satunnaismuuttujia, Z i N(0,1). Tällöin satunnaismuuttuja χ 2 ν = Z Z2 ν on χ 2 -jakautunut vapausasteilla ν. χ 2 -jakauman tiheysfunktio on x ν 2 1 e x 2 f ν (x) = 2 ν,kun x > 0 2Γ( ν 2 ) 0, muulloin. Tämä jakauma on keskeinen esimerkiksi χ 2 -yhteensopivuus- ja riippumattomuustesteissä, joita ei kuitenkaan käsitellä tällä kurssilla. Jukka Kemppainen Mathematics Division 21 / 42

22 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Studentin t-jakauma Olkoot Z 1,Z 2,...,Z ν,z N(0,1) riippumattomia satunnaismuuttujia. Silloin satunnaismuuttuja t ν = 1 ν Z ν i=1 Z2 i noudattaa Studentin t-jakaumaa vapausastein ν. Vapausasteet on nimittäjän neliösummassa olevien riippumattomien yhteenlaskettavien Z 2 i lukumäärä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 22 / 42

23 Tärkeitä lauseita Lause 17 Olkoot X 1,...,X n riippumattomia ja normaalijakautuneita sm:ia, X i N(µ,σ 2 ). Tällöin otoskeskiarvo X = 1 n n i=1 X i ja otosvarianssi S 2 = 1 n 1 ovat riippumattomia sm:ia. n (X i X) 2 i=1 Jukka Kemppainen Mathematics Division 23 / 42

24 Tärkeitä lauseita Lause 18 Olkoot X 1,...,X n kuten edellisessä Lauseessa. Tällöin (n 1)S 2 χ 2 σ 2 n 1. X µ S t n 1. n Huomautus 9 χ 2 - ja t-jakaumia nimitetään otantajakaumiksi, sillä Lauseen 18 mukaan niitä voidaan hyödyntää odotusarvon ja hajonnan estimoinnissa kuten jatkossa nähdään. Jukka Kemppainen Mathematics Division 24 / 42

25 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Määr. 24 (Fisherin F-jakauma) Olkoon X χ 2 -jakautunut sm. vapausasteilla m ja Y χ 2 -jakautunut sm. vapausasteilla n. Tällöin osamäärä F = X/m Y/n on Fisherin F-jakautunut vapausasteilla m ja n ja merkitään F F(m,n). Tämä jakauma on keskeinen esimerkiksi hajonnan testaamisessa ja ANOVAssa. Ei käsitellä näitä kuitenkaan tällä kurssilla. Jukka Kemppainen Mathematics Division 25 / 42

26 Luottamusvälin määritelmä Kuten edellä todettiin, tuntematonta parametria voidaan estimoida piste-estimaatin ohella väliestimaatilla, joka antaa informaatiota estimaatin tarkkuudesta. Edellytyksenä on, että tunnetaan tilanteeseen sopivan muuttujan jakaantumislaki. Tarkastellaan yleisellä tasolla parametrin luottamusvälin määritelmää ja tarkastellaan tällä kurssilla tarkemmin ainoastaan odotusarvon luottamusvälin määräämistä. Luottamusväli liittyy aina otokseen, joten siihen sisältyy automaattisesti epävarmuutta, jota sanotaan riskiksi ja merkitään usein symbolilla α. Parametrin θ luottamusväli riskillä α on satunnainen väli [θ L,θ U ], jolle pätee P(θ L θ θ U ) = 1 α, missä θ L ja θ U ovat otossuureita. Jukka Kemppainen Mathematics Division 26 / 42

27 Luottamusvälin määritelmä Siis tn. sille, että parametri θ on kyseisellä välillä [θ L,θ U ] on 100(1 α)%. Yhtälailla tn. sille, että θ ei ole kyseisellä välillä, on 100α%. Välille käytetään myös nimitystä 100(1 α)%:n luottamusväli. Usein käytetään 95%:n luottamusväliä. Huomautus 10 Käytännössä luottamusväli ilmoitetaan otoksesta saatuna realisaationa [ θ L, θ U ], mutta on tärkeää huomata, että väli vaihtelee otoksesta toiseen. Sopimus: Jatkossa luottamusvälillä tarkoitetaan väliä [θ 1,θ 2 ], joka on otoksesta laskettu realisaatio. Jukka Kemppainen Mathematics Division 27 / 42

28 Luottamusvälin tulkinta Koska luottamusväli [θ 1,θ 2 ] vaihtelee otoksesta toiseen, on luottamusvälin tulkinnassa oltava tarkkana. Huomaa, että tuntematon parametri on kiinteä luku ja laskettu väli vaihtelee otoksesta toiseen. Niinpä emme tarkkaan ottaen tiedä tn.:ää, millä tuntematon parametri θ kuuluu jollekin välille, vaikka tällaista ilmaisua usein käytetään. Riskin 5% tai yhtälailla 95%:n luottamusvälin oikea tulkinta on, että laskemalla 100 otoksesta luottamusvälit, tuntematon parametri kuuluu keskimäärin 95 laskettuun väliin ja ei kuulu keskimäärin 5 väliin. Jukka Kemppainen Mathematics Division 28 / 42

29 Luottamusvälin tyypit Luottamusväli voi olla: Yksisuuntainen luottamusväli Tällöin joko θ 1 = tai θ 2 = ja tarkastellaan onko estimoitava parametri jonkin rajan ala- vai yläpuolella kiintellä riskitasolla α. Kaksisuuntainen luottamusväli Usein θ 1 ja θ 2 valitaan niin, että väli on todennäköisyyksiin nähden symmetrinen, eli P(θ < θ L ) = P(θ > θ U ) = α/2. Jukka Kemppainen Mathematics Division 29 / 42

30 Otossuureiden määrääminen Koska välin [θl,θ U ] ylä- ja alaraja ovat otossuureita eli otoksesta riippuvia satunnaismuuttujia, voidaan niiden arvot laskea otoksen avulla. Ei ole yhtä ainoaa tapaa määrätä hyvät estimaattorit välin päätepistettä kuvaaviksi satunnaismuuttujiksi. Ongelma on sopivan otantajakauman löytäminen. Tällä kurssilla tarkastellaan ainoastaan odotusarvon estimointia. Käytetään hyväksi Esimerkissä 29 todettua tietoa, että X on hyvä odotusarvon estimaattori. Katsotaan esimerkkien avulla, miten sopivat estimaattorit voidaan löytää luottamusvälin päätepisteiksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 30 / 42

31 Esimerkkejä Esim. 32 Määrää 95 %:n luottamusväli normaalijakautuneen satunnaismuuttujan odotusarvolle, jonka varianssi σ 2 = 9, käyttämällä otosta, jossa n = 100 ja x = 5. Mitkä ovat välin päätepisteitä vastaavat estimaattorit? Vihje: Käytä hyväksi tietoa Z = X µ σ/ n N(0,1). Jukka Kemppainen Mathematics Division 31 / 42

32 Esimerkkejä Esim. 33 Mitattaessa dieselöljyn leimahduspistettä saatiin seuraavat tulokset ( C) 51.11, 52.78, 52.22, 50.00, Oletetaan, että mittaukset ovat normaalijakautuneita ja riippumattomia. Määrää leimahduspisteen odotusarvon 95 % luottamusväli (riskitaso 5 %). Vihje: Käytä Lausetta 18. Jukka Kemppainen Mathematics Division 32 / 42

33 Yhteenveto odotusarvon luottamusvälistä Tarkastellaan odotusarvon luottamusvälin määräämistä otoksen avulla riskitasolla α tn:n suhteen symmetrisessä tapauksessa. Odotusarvon luottamusväli, kun σ tunnetaan Jos täytyy estimoida normaalijakautuneen sm:n odotusarvoa, niin lasketaan otoksesta keskiarvo x, Käytetään hyväksi tietoa Z = X µ σ/ n N(0,1). Luetaan normaalijakauman taulukosta arvo z α/2 s.e. P(Z z α/2 ) = α/2 = P(Z z α/2 ). Luottamusväliksi saadaan [x z α/2 σ/ n,x + z α/2 σ/ n]. Jukka Kemppainen Mathematics Division 33 / 42

34 Odotusarvon luottamusväli Odotusarvon luottamusväli, kun σ on tuntematon Lasketaan otoksesta keskiarvo x ja hajonta s. Käytetään hyväksi Lausetta 18, jonka mukaan X µ S/ n t n 1. Luetaan Studentin t-jakauman taulukosta arvo t α s.e. P(t n 1 < t α/2 ) = α/2 = P(t n 1 > t α/2 ). Luottamusväliksi saadaan [x t α/2 s/ n,x + t α/2 s/ n]. Jukka Kemppainen Mathematics Division 34 / 42

35 Odotusarvon luottamusväli Huomaa molemmissa tapauksissa luottamusvälin sama muoto: piste-estimaatti ±r 0 piste-estimaatin keskivirhe, missä piste-estimaatti on x, kynnysarvo r 0 on joko z α/2 tai t α/2 siitä riippuen, että tunnetaanko hajonta σ vai ei. Sama muoto säilyy muillekin kuin odotusarvon estimaateille. Jukka Kemppainen Mathematics Division 35 / 42

36 Luottamusväli muille jakaumille Luottamusväli voidaan määrätä myös muille jakaumille kuin normaalijakaumalle edellä esitetyllä tavalla, kunhan n on riittävän suuri. Perusteluna on keskeinen raja-arvolause. Tarkastellaan seuraavassa luottamusvälin määräämistä binomijakautuneen satunnaismuuttujan parametrille p, kun n on riittävän suuri. Jukka Kemppainen Mathematics Division 36 / 42

37 Suhteellisen osuuden p luottamusväli Suhteellisen osuuden luottamusväli voidaan määrätä edellä kuvatulla tavalla, kun otoskoko n on riittävän suuri (np(1 p) > 9). Suhteellisen osuuden p estimaattori p = X n, missä X Bin(n,p), p(1 p) n. on harhaton ja sen keskihajonta on σ = ( Keskeisen raja-arvolauseen mukaan 1 n (p, X N Tällöin Z = X n p p(1 p) n = X np np(1 p) N(0,1). ) p(1 p) 2 ) n. Määrätään jälleen normaalijakauman taulukosta arvo z α/2, jolle P(Z > z α/2 ) = α/2 = P(Z < z α/2 ). Jukka Kemppainen Mathematics Division 37 / 42

38 Suhteellisen osuuden luottamusväli Tällöin P( z α/2 < X n p p(1 p) < z α/2 ) = 1 α, eli n X p(1 p) P( n z α/2 p X p(1 p) ) n n + z α/2 = 1 α. n Korvataan yllä p:n ala- ja ylärajalla esiintyvät X/n ja p otoksesta saatavalla ˆp = x n, jolloin parametrin p luottamusväliksi riskitasolla α tai yhtälailla p:n 100(1 α)%:n luottamusväliksi saadaan [ ˆp z α/2 ˆp(1 ˆp) n ˆp(1 ˆp) ],ˆp + z α/2. n Jukka Kemppainen Mathematics Division 38 / 42

39 Esimerkki Esim. 34 Ennen kevään 2012 presidentinvaalien ensimmäistä kierrosta Ylen Taloustutkimuksella teettämässä gallup-kannatustutkimuksessa saatiin seuraavat tulokset Ehdokas PA EB SE PH PL SN TS PV EOS Kannatus(%) Yllä esimerkiksi PA tarkoittaa Paavo Arhinmäkeä ja EOS tarkoittaa, ettei henkilö ole osannut sanoa tai ei ole halunnut ilmoittaa kantaansa. Kyselyyn osallistui 1457 henkilöä. Määrää SN:n kannatuksen 95 %:n luottamusväli. Jukka Kemppainen Mathematics Division 39 / 42

40 Normaalisuuden testaus (1/3) Koska tämän kurssin useimmat testit pohjautuvat normaalijakaumalle, on syytä tarkastella, ovatko havainnot todella peräisin normaalijakaumasta. Joissakin tapauksissa voidaan vedota keskeiseen raja-arvolauseeseen, muttei aina etenkään pienillä havaintoaineistoilla. Onneksi normaalisuuden testausta varten on olemassa erilaisia testejä: χ 2 -yhteensopivuustesti, Lillieforsin testi (Kolmogorov-Smirnov-testin muunnos), graafinen vertailu Tarkastellaan lähemmin viimeksi mainittua. Jukka Kemppainen Mathematics Division 40 / 42

41 Normaalisuuden testaus (2/3) Normaalisuutta voidaan tarkastella graafisesti kvantiili-kvantiili-käyrän (QQ-käyrä eng. QQ-plot) avulla. Sitä varten havainnot y 1,...,y n järjestetään suuruusjärjestykseen y (1) y (2) y (n 1) y (n). Järjestettyjä havaintoja verrataan normaalijakauman X N(µ,σ 2 ) kvantiileihin q(f i ) eli pisteisiin, joille F X (q(f i )) = f i i n Mikäli järjestetyt havainnot asettuvat lähelle suoraa, voidaan havaintoja pitää normaalijakautuneina. Jukka Kemppainen Mathematics Division 41 / 42

42 Normaalisuuden testaus (3/3) Kuvaan on piirretty erään vetokokeen aineiston QQ-käyrä. Tässä aineistossa oletusta, että vetolujuus X noudattaa normaalijakaumaa N(µ,σ 2 ), voidaan pitää järkevänä. Tässä on estimoitu µ x ja σ s. Havaintojen pitäisi olla suoralla y = x ja näin näyttäisi olevankin. Jukka Kemppainen Mathematics Division 42 / 42

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 31.03.2012 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Jukka Kemppainen Mathematics

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

Hypoteesin testaus Alkeet

Hypoteesin testaus Alkeet Hypoteesin testaus Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Johdanto Kokeellinen tutkimus: Varmennetaan teoreettista olettamusta fysikaalisen systeemin käyttäytymisestä

Lisätiedot

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4 Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Tentit: 4.11.2013 ja 2.12.2013. Loput kaksi tenttiä (vuonna 2014) ilmoitetaan myöhemmin. Tentissä on 4 tehtävää á 8 pistettä, aikaa 4 tuntia. Arvostelu 0 5.

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas Keskivirheyksiköllä ilmaistuna voidaan erottaa otantajakaumalta kriittisiä kohtia: Keskimmäinen 95 % otoskeskiarvoista välillä [-1.96,+1.96] Keskimmäinen

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän

Lisätiedot

Korrelaatiokertoinen määrittely 165

Korrelaatiokertoinen määrittely 165 kertoinen määrittely 165 Olkoot X ja Y välimatka- tai suhdeasteikollisia satunnaismuuttujia. Havaintoaineistona on n:n suuruisesta otoksesta mitatut muuttuja-arvoparit (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x

Lisätiedot

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 4

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 4 ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 1. Omppukone Oy valmistaa liukuhihnalla muistipiirejä kymmenen piirin sarjoissa. Omppukone arvioi, että keskimäärin

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

Tilastotieteen perusteet 2016, Juha Heikkilä. Jos tutkitaan koko perusjoukko, tehdään kokonaistutkimus.

Tilastotieteen perusteet 2016, Juha Heikkilä. Jos tutkitaan koko perusjoukko, tehdään kokonaistutkimus. 3 Otannasta 3.1 Otanta ja tilastollinen päättely Jos tutkitaan koko perusjoukko, tehdään kokonaistutkimus. Tällainen on esimerkiksi poliittisen kannan jakauman selvittämiseksi pidettävät vaalit. Kun perusjoukko

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Väliestimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli

Lisätiedot

TILASTOMATEMATIIKKA. Keijo Ruohonen

TILASTOMATEMATIIKKA. Keijo Ruohonen TILASTOMATEMATIIKKA Keijo Ruohonen 20 Sisältö I PERUSOTOSJAKAUMAT JA DATAN KUVAUKSET. Satunnaisotanta.2 Tärkeitä otossuureita 2.3 Datan esitykset ja graafiset metodit 6.4 Otosjakaumat 6.4. Otoskeskiarvon

Lisätiedot

Tilastomatematiikka. Keijo Ruotsalainen University of Oulu, Faculty of Technology Division of Mathematics

Tilastomatematiikka. Keijo Ruotsalainen University of Oulu, Faculty of Technology Division of Mathematics Tilastomatematiikka Keijo Ruotsalainen University of Oulu, Faculty of Technology Division of Mathematics 20. maaliskuuta 2013 2 Tämä luentomoniste on tehty professori Keijo Ruotsalaisen luentojen pohjalta.

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

Matemaatikot ja tilastotieteilijät

Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat

Lisätiedot

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse

Lisätiedot

Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen

Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden

Lisätiedot

Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu.

Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Ka6710000 TILASTOLLISEN ANALYYSIN PERUSTEET 2. VÄLIKOE 9.5.2007 / Anssi Tarkiainen Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Tehtävä 1. a) Gallupissa

Lisätiedot

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia. Pertti Palo. 30.

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia. Pertti Palo. 30. FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia Pertti Palo 30. marraskuuta 2012 Saatteeksi Näiden vastausten ei ole tarkoitus olla malleja vaan esimerkkejä.

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyysjakaumia 8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Luento 4.9.2014 1 JOHDANTO

Luento 4.9.2014 1 JOHDANTO 1 1 JOHDANTO Luento 4.9.2014 Tilastotiede menetelmätiede, joka käsittelee - tietojen hankinnan suunnittelua otantamenetelmät koejärjestelyt kyselylomakkeet - tietojen keruuta - tietojen esittämistä kuvailevaa

Lisätiedot

1.1 Tilastomenetelmät luotettavan tutkimuksen perustana 1 1.1.1 Otos vs. näyte 1 1.1.2 Tilastollinen päättely ja tieteellisyyden kriteerit 2

1.1 Tilastomenetelmät luotettavan tutkimuksen perustana 1 1.1.1 Otos vs. näyte 1 1.1.2 Tilastollinen päättely ja tieteellisyyden kriteerit 2 Sisältö 1 JOHDANTO 1 1.1 Tilastomenetelmät luotettavan tutkimuksen perustana 1 1.1.1 Otos vs. näyte 1 1.1. Tilastollinen päättely ja tieteellisyyden kriteerit TEOREETTINEN JAKAUMA 3.1 Satunnaismuuttuja

Lisätiedot

Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä

Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä Harjoitukset: 2 Muuttujan normaaliuden testaaminen, merkitsevyys tasot ja yhden otoksen testit FT Joni Vainikka, Yliopisto-opettaja, GO218, joni.vainikka@oulu.fi

Lisätiedot

Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012

Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Otanta Otantamenetelmiä Näyte Tilastollinen päättely Otantavirhe Otanta Tavoitteena edustava otos = perusjoukko

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 9. luento. Pertti Palo

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 9. luento. Pertti Palo FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 9. luento Pertti Palo 22.11.2012 Käytännön asioita Eihän kukaan paikallaolijoista tee 3 op kurssia? 2. seminaarin ilmoittautuminen. 2. harjoitustyön

Lisätiedot

1. JOHDANTO. SIS LLYSLUETTELO sivu 1. JOHDANTO 3

1. JOHDANTO. SIS LLYSLUETTELO sivu 1. JOHDANTO 3 1 2 22.10.2001 Tilastollisten menetelmien perusteet I Syksy 2001 Opintojakson www-sivu: http://www.uta.fi/~strale/p2syksy.html Huom. 1. Luentomateriaali on tarkoitettu ko. opintojakson opiskelijoille.

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 6 1.1 KESKEISTEN KÄSITTEIDEN KERTAUSTA... 7 1.2 AIHEESEEN PEREHTYMINEN...

Lisätiedot

4. Seuraavaan ristiintaulukkoon on kerätty tehtaassa valmistettujen toimivien ja ei-toimivien leikkijunien lukumäärät eri työvuoroissa:

4. Seuraavaan ristiintaulukkoon on kerätty tehtaassa valmistettujen toimivien ja ei-toimivien leikkijunien lukumäärät eri työvuoroissa: Lisätehtäviä (siis vanhoja tenttikysymyksiä) 1. Erään yrityksen satunnaisesti valittujen työntekijöiden poissaolopäivien määrät olivat vuonna 003: 5, 3, 16, 9, 0, 1, 3,, 19, 5, 19, 11,, 0, 4, 6, 1, 15,

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa, kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla mahdollisesti on vaikutusta vastemuuttujan arvoon,

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 2. TODENNÄKÖISYYS...

Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 2. TODENNÄKÖISYYS... Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO... 9 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET... 11 TEHTÄVIÄ... 13

Lisätiedot

Metsämuuronen: Tilastollisen kuvauksen perusteet ESIPUHE... 4 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 2. AINEISTO...

Metsämuuronen: Tilastollisen kuvauksen perusteet ESIPUHE... 4 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 2. AINEISTO... Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 1.1 KESKEISTEN KÄSITTEIDEN KERTAUSTA...9 1.2 AIHEESEEN PEREHTYMINEN...9 1.3

Lisätiedot

Geenikartoitusmenetelmät. Kytkentäanalyysin teoriaa. Suurimman uskottavuuden menetelmä ML (maximum likelihood) Uskottavuusfunktio: koko aineisto

Geenikartoitusmenetelmät. Kytkentäanalyysin teoriaa. Suurimman uskottavuuden menetelmä ML (maximum likelihood) Uskottavuusfunktio: koko aineisto Kytkentäanalyysin teoriaa Pyritään selvittämään tiettyyn ominaisuuteen vaikuttavien eenien paikka enomissa Perustavoite: löytää markkerilokus jonka alleelit ja tutkittava ominaisuus (esim. sairaus) periytyvät

Lisätiedot

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,

Lisätiedot

2. Keskiarvojen vartailua

2. Keskiarvojen vartailua Havaintoaineiston perusteella näyttää ilmeiseltä, että alkuperäisen laastin sidoslujuus on suurempi. Ero sattumasta johtuvaa? Palataan tuonnempana. Tension bond strength data for Portland Cement formulation

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4

Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN...6 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO...7 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET...9

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

Epävarmuuden hallinta bootstrap-menetelmillä

Epävarmuuden hallinta bootstrap-menetelmillä 1/17 Epävarmuuden hallinta bootstrap-menetelmillä Esimerkkinä taloudellinen arviointi Jaakko Nevalainen Tampereen yliopisto Metodifestivaalit 2015 2/17 Sisältö 1 Johdanto 2 Tavanomainen bootstrap Bootstrap-menettelyn

Lisätiedot

Juha Ala-Luhtala Teräksen tilastollinen väsymisanalyysi. Diplomityö

Juha Ala-Luhtala Teräksen tilastollinen väsymisanalyysi. Diplomityö Juha Ala-Luhtala Teräksen tilastollinen väsymisanalyysi Diplomityö Tarkastajat: Professori Keijo Ruohonen ja Dosentti Esko Turunen Tarkastaja ja aihe hyväksytty Tieto- ja sähkötekniikan tiedekunnan osastoneuvoston

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Viikko 2: Ensimmäiset ennustajat Matti Kääriäinen matti.kaariainen@cs.helsinki.fi

Viikko 2: Ensimmäiset ennustajat Matti Kääriäinen matti.kaariainen@cs.helsinki.fi Viikko 2: Ensimmäiset ennustajat Matti Kääriäinen matti.kaariainen@cs.helsinki.fi Exactum C222, 5.-7.11.2008. 1 Tällä viikolla Sisältösuunnitelma: Ennustamisstrategioista Koneoppimismenetelmiä: k-nn (luokittelu

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Kuusinen/Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu, joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla on mahdollisesti vaikutusta vastemuuttujan

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1 2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta

Lisätiedot

1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi

1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden ja homogeenisuden testaaminen Bowmanin ja Shentonin testi, Hypoteesi, 2 -homogeenisuustesti, 2 -yhteensopivuustesti,

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KURSSIN SISÄLTÖ Johdanto Mittaaminen ja aineiston hankinta Mitta-asteikot Otanta Aineiston esittäminen ja data-analyysi Havaintomatriisi Yksiulotteisen

Lisätiedot

Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko

Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko Raija Leppälä 29. helmikuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Jatkuvista jakaumista 2 1.1.1 Normaalijakauma 2 1.1.2 Studentin t-jakauma 3 1.2 Satunnaisotos,

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 3 MAA Todennäköisyys ja tilastot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Todennäköisyys ja tilastot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teemassa 6 tutustuttiin todennäköisyyden ja satunnaisuuden käsitteisiin sekä todennäköisyyslaskennan perusteisiin. Seuraavaksi tätä aihepiiriä syvennetään perehtymällä

Lisätiedot

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin

Lisätiedot

Mitä tilastotiede on 7 Historiaa 8 Tilastotieteen nykyinen asema 9 Tilastollisen tutkimuksen vaiheet 10

Mitä tilastotiede on 7 Historiaa 8 Tilastotieteen nykyinen asema 9 Tilastollisen tutkimuksen vaiheet 10 SISÄLTÖ 1 TILASTOJEN KÄYTTÖ 7 Mitä tilastotiede on 7 Historiaa 8 Tilastotieteen nykyinen asema 9 Tilastollisen tutkimuksen vaiheet 10 Tilastoaineisto 11 Peruskäsitteitä 11 Tilastoaineiston luonne 13 Mittaaminen

Lisätiedot

ikä (vuosia) on jo muuttanut 7 % 46 % 87 % 96 % 98 % 100 %

ikä (vuosia) on jo muuttanut 7 % 46 % 87 % 96 % 98 % 100 % Testaa taitosi 1 1. Noppaa heitetään kahdesti. Merkitse kaikki alkeistapaukset koordinaatistoon. a) Millä todennäköisyydellä ainakin toinen silmäluvuista on 3? b) Mikä on a-kohdan tapahtuman vastatapahtuma?

Lisätiedot

Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto

Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto Tutkimusaineistomme otantoja Hyödyt Ei tarvitse tutkia kaikkia Oikein tehty otanta mahdollistaa yleistämisen

Lisätiedot

SISÄLTÖ 1 TILASTOJEN KÄYTTÖ...7 MITÄ TILASTOTIEDE ON?

SISÄLTÖ 1 TILASTOJEN KÄYTTÖ...7 MITÄ TILASTOTIEDE ON? SISÄLTÖ 1 TILASTOJEN KÄYTTÖ...7 MITÄ TILASTOTIEDE ON?...7 TILASTO...7 TILASTOTIEDE...8 HISTORIAA...9 TILASTOTIETEEN NYKYINEN ASEMA...9 TILASTOLLISTEN MENETELMIEN ROOLIT ERI TYYPPISET AINEISTOT JA ONGELMAT...10

Lisätiedot

Altisteiden ja sairauksien mittaaminen. Biostatistiikan näkökulmasta EPIDEMIOLOGIAN JA BIOSTATISTIIKAN PERUSTEET. L2 kevät 2007

Altisteiden ja sairauksien mittaaminen. Biostatistiikan näkökulmasta EPIDEMIOLOGIAN JA BIOSTATISTIIKAN PERUSTEET. L2 kevät 2007 EPIDEMIOLOGIAN JA BIOSTATISTIIKAN PERUSTEET L2 kevät 2007 mittaaminen Biostatistiikan näkökulmasta Janne Pitkäniemi VTM, MSc (biometry) HY, Kansanterveystieteen laitos 1 Perusjoukon ja otoksen käsitteet

Lisätiedot

b6) samaan perusjoukkoon kohdistuu samanaikaisesti useampia tutkimuksia.

b6) samaan perusjoukkoon kohdistuu samanaikaisesti useampia tutkimuksia. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I 1. välikoe 11.3.2011 (Jari Päkkilä) VALITSE VIIDESTÄ TEHTÄVÄSTÄ NELJÄ JA VASTAA VAIN NIIHIN! 1. Valitse kohdissa A-F oikea (vain yksi) vaihtoehto. Oikeasta vastauksesta

Lisätiedot

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Mitä tilastollinen analyysi on?

Mitä tilastollinen analyysi on? Mitä tilastollinen analyysi on? Tilastotiede (engl. statistics) on tieteenala, jonka kohteena ovat numeerisen tilastoaineiston keräämiseen ja muokkaamiseen, esittämiseen, tilastolliseen analyysiin ja tulosten

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,

Lisätiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien

Lisätiedot

14 Jatkuva jakauma. Käsitellään kuitenkin ennen täsmällisiä määritelmiä johdatteleva

14 Jatkuva jakauma. Käsitellään kuitenkin ennen täsmällisiä määritelmiä johdatteleva 4 Jatkuva jakauma Edellä määriteltiin diskreetiksi satunnaismuuttujaksi sellainen, joka voi saada vain (hyppäyksittäin) erillisiä arvoja. Jatkuva satunnaismuuttuja voi saada mitä hyvänsä arvoja yleensä

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Tilastomatematiikka TUDI

Tilastomatematiikka TUDI Miika Tolonen http://www.mafy.lut.fi/tilmattudi Laboratory of Applied Mathematics Lappeenranta University of Technology 10. syyskuuta 2014 Sisältö I Johdanto 1 Johdanto 2 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat

Lisätiedot

Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta?

Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta? Yhden otoksen suhteellisen osuuden testaus Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta? Hypoteesit H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 tai H 1 : p > p 0 tai H 1 : p < p 0 Suhteellinen osuus

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 7.6.2011 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 7.6.2011 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 7.6.2011 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Noudattakoon satunnaismuuttuja X normaalijakaumaa a) b) c) d) N(5, 15). Tällöin P (1.4 < X 12.7) on likimain

Lisätiedot

Mikrobikriteereiden arviointi esimerkkinä kampylobakteeri

Mikrobikriteereiden arviointi esimerkkinä kampylobakteeri Mikrobikriteereiden arviointi esimerkkinä kampylobakteeri Taustaa: NMDD-projekti 2011-2012 Rahoitus: pohjoismaiden ministerineuvosto Vast.tutkija: Maarten Nauta, DTU Epävarmuusanalyysin Bayes-mallinnus,

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas LUENNOT Luento Paikka Vko Päivä Pvm Klo 1 L 304 8 Pe 21.2. 08:15-10:00 2 L 304 9 To 27.2. 12:15-14:00 3 L 304 9 Pe 28.2. 08:15-10:00 4 L 304 10 Ke 5.3.

Lisätiedot

Matematiikan opiskelun esteiden analysointi logistisella regressioanalyysillä

Matematiikan opiskelun esteiden analysointi logistisella regressioanalyysillä TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknis-luonnontieteellinen osasto HELI RAASSINA Matematiikan opiskelun esteiden analysointi logistisella regressioanalyysillä DIPLOMITYÖ Aihe hyväksytty Teknis-luonnontieteellisen

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Vastaavasti voidaan määritellä korkeamman kertaluvun autoregressiiviset prosessit.

Vastaavasti voidaan määritellä korkeamman kertaluvun autoregressiiviset prosessit. Autokovarianssi: (kun τ 0) Γ t (τ) = E[(X t µ t )(X t τ µ t τ )] ( ) ( = E[ φ k ε t k φ j ε t τ j )] = = j=0 φ j+k E[ε t k ε t τ j ] k,j=0 φ j+k σ 2 δ k,τ+j k,j=0 = σ 2 φ j+k δ k,τ+j = = k,j=0 φ τ+2j I

Lisätiedot