031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4"

Transkriptio

1 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division

2 Tilastollinen aineisto Tilastolliset menetelmät ovat eräs keino tutkia numeerista havaintoaineistoa todennäköisyyslaskentaa hyödyntäen. Perusjoukosta eli populaatiosta kerätään otos, jonka perusteella tehdään päätelmiä koko populaatiosta. Tilastollisen tutkimuksen alkuvaiheet käsittävät aineiston keruun suunnittelun ja varsinaisen aineiston keruun. Havainnot täytyy hankkia siten, että niistä voidaan tehdä luotettavia johtopäätöksiä. Tällä kurssilla oletetaan, että aineisto on kerätty yksinkertaisella satunnaisotannalla. Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 42

3 Esimerkki Tarkastellaan puolueiden kannatuksen selvittämistä mielipidetutkimuksen avulla. Kysytään esimerkiksi kahdelta tuhannelta tietyllä tavalla valitulta äänioikeutetulta, mitä puoluetta he äänestäisivät, jos vaalit pidettäisiin nyt. Lasketaan vastausten perusteella kannatusprosentit puolueille. Tutkimukseen otettavien henkilöiden valinta ja tulosten luotettavuuden arviointi ovat tilastotieteellisiä ongelmia. Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 42

4 Havaintoaineiston kuvaus Satunnaisotos on jono (x 1,x 2,...,x n ), missä x i :t ovat havaintoja (realisaatioita) tutkittavasta ominaisuudesta (satunnaismuuttujasta) X. Koska otos sinällään ei anna havainnollista kuvaa X:n arvojen jakaantumisesta, havaintoaineistoa eli otosta kuvataan siitä laskettujen otostunnuslukujen avulla. Tärkeimpiä otostunnuslukuja ovat: Vaihteluväli: [min 1 i n x i,max 1 i n x i ]. Otoskeskiarvo: x = 1 n n i=1 x i. Otosvarianssi: s 2 = 1 n 1 n i=1 (x i x) 2. Otoskeskihajonta: s = 1 n 1 n i=1 (x i x) 2. Jukka Kemppainen Mathematics Division 4 / 42

5 Otostunnuslukuja Otoskovarianssi: s xy = 1 n 1 n i=1 (x i x)(y i y), joka on kahden muuttujan otoksen hajontaluku. Huomaa, että s xx on itse asiassa muuttujan x otosvarianssi. Keskiarvon keskivirhe: s n, jota käytetään keskiarvon x luotettavuuden arvioimisessa. Otosmediaani M d on se luku, jonka alapuolella on puolet havainnoista, { M d = min M #{x i x i M} } 0,5. n Jukka Kemppainen Mathematics Division 5 / 42

6 Otostunnuslukuja P-prosenttipiste M p on se luku, jonka alapuolella on p% havainnoista. Usein käytetään prosenttilukuja 25%, 50% ja 75%. Otosmoodi on se luokka, jossa on eniten havaintoja, kun havaintoaineisto on jaettu k:hon luokkaan E 1,E 2,...,E k (tavallisesti k = n). Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 42

7 Empiirinen jakauma Empiirinen jakauma tarkoittaa otoksesta määrättyä jakaumaa. Tyypillinen jakauma on esimerkiksi frekvenssijakauma, joka ilmoittaa havaintojen lukumäärän havaituille arvolle. Usein data on jaettu sopiviin luokkiin. Jos esimerkiksi mitattaisiin henkilöiden pituuksia, voisi olla järkevää jakaa data luokkiin 10 cm välein. Empiirisen jakauman avulla saamme osviittaa siitä, mikä on populaation jakauma. Tarvittaessa voimme tilastollisesti testata, noudattaako saamamme havaintoaineisto esimerkiksi normaalijakaumaa. Emme kuitenkaan puutu tällä kurssilla tähän. Jukka Kemppainen Mathematics Division 7 / 42

8 Empiirinen jakauma Otetaan yksinkertainen esimerkki frekvenssijakaumasta ja sen graafisesta havainnollistamisesta. Esim. 28 Eräällä kurssilla kertyi lisäpisteitä seuraavan taulukon mukaisesti Lisäpisteet Opiskelijoita Laske lisäpisteiden keskiarvo, keskihajonta, keskiarvon keskivirhe, mediaani ja moodi sekä piirrä havaintoja vastaava pylväsdiagrammi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 8 / 42

9 Esimerkin 28 ratkaisu Frekvenssijakauma on ilmoitettu taulukon muodossa ja sen graafista esitystä vastaa pylväsdiagrammi. Havaintoja on yhteensä n = 83, joten lisäpisteiden otoskeskiarvoksi saadaan x = 1 n n x i = 1 n i=1 6 i n i 4.39 i=1 ja (otos)keskihajonnaksi s = 1 n 1 6 n i (i x) , i=1 josta edelleen saadaan keskiarvon keskivirheeksi s/ n Mediaani on selvästikin 5 ja moodi taasen 6. Jukka Kemppainen Mathematics Division 9 / 42

10 Esimerkin 28 ratkaisu Pylväsdiagrammi on Jukka Kemppainen Mathematics Division 10 / 42

11 Tunnuslukujen estimoinnista Tilastollisen tutkimuksen keskeinen tehtävä on määrittää perusjoukon tunnuslukuja ja tehdä perusjoukkoa koskevia johtopäätöksiä yleistämällä otoksen tunnusluvut ja otoksesta tehdyt johtopäätökset koko perusjoukkoa koskeviksi. Estimoinnissa on kyse perusjoukon tunnuslukujen eli parametrien arvioiden eli estimaattien muodostamisesta. Estimointi suoritetaan siten, että kerätään X:stä satunnaisotos (x 1,...,x n ) ja sijoitetaan havainnot kaavaan eli estimaattoriin, jonka otoksessa saamaa arvoa käytetään kyseisen parametrin estimaattina. Jukka Kemppainen Mathematics Division 11 / 42

12 Estimoinnista Estimaattori on satunnaismuuttuja, joka saa tietyn arvon kussakin otoksessa (x 1,x 2,...,x n ). Se on siis otoksen funktio. Tällaista satunnaismuuttujaa sanotaan otossuureeksi. Yleisesti parametrin θ estimaattori on θ = g(x 1,...,X n ), missä g : R n R on jokin hyväksi havaittu funktio. Esimerkiksi odotusarvon ja varianssin estimaattoreiksi sopivat hyvin otoskeskiarvon ja otosvarianssin laskentakaavat. Tällä kurssilla tarkastellaan ainoastaan odotusarvon estimointia. Jukka Kemppainen Mathematics Division 12 / 42

13 Estimaattori ja estimaatti Olkoon θ estimoitava parametri ja θ = g(x 1,X 2,...,X n ) sen estimaattori. Estimaattorin otoksessa (x 1,...,x n ) saamaa arvoa ˆθ = g(x 1,...,x n ) sanotaan parametrin θ piste-estimaatiksi tai lyhyemmin estimaatiksi. Estimaattori on satunnaismuuttuja ja estimaatti otoksessa laskettu todellinen luku. Hyvä estimaattori on harhaton, sillä on pieni varianssi ja se on tarkentuu havaintojen lukumäärän kasvaessa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 13 / 42

14 Esimerkki Esim. 29 Olkoot x i havaintoja samalla tavalla jakautuneista satunnaismuuttujista X i, joille E(X i ) = µ. Totea, että otoskeskiarvo X = 1 n n k=1 X i toteuttaa ehdot (i) E(X) = µ (harhattomuus), (ii) Var(X) on pieni, kun n on suuri (pieni varianssi), (iii) lim n X = µ (tarkentuvuus). Havainnoista laskettua keskiarvoa x voidaan siis käyttää odotusarvon estimaattina ainakin, kun n on riittävän suuri. Jukka Kemppainen Mathematics Division 14 / 42

15 Hyvän estimaatin löytäminen Hyvän estimaatin löytämiseksi on olemassa erilaisia menetelmiä. Eräs yleisimmin käytetyistä on ns. suurimman uskottavuuden estimointi tai ML-estimointi (ML=Maximum Likelihood). Tarkastellaan seuraavaksi ML-estimointia yksityiskohtaisemmin. Jukka Kemppainen Mathematics Division 15 / 42

16 Suurimman uskottavuuden menetelmä Suurimman uskottavuuden menetelmä eli ML-menetelmä (ML=maximum likelihood) on suosittu jakauman parametrien estimointimenetelmä, koska sen antamilla estimaattoreilla on yleensä enemmän hyviä ominaisuuksia kuin muiden menetelmien antamilla estimaattoreilla. Tarkastellaan menetelmää aluksi yhden tuntemattoman parametrin tapauksessa. Olkoon f satunnaismuuttujan tiheysfunktio (diskreetissä tapauksessa pistetodennäköisyysfunktio), joka riippuu tuntematomasta parametrista θ, ja merkitään f(x) = f(x; θ). Jos (x 1,...,x n ) on riippumaton otos X:stä. Otosta vastaa likelihoodfunktio (tai uskottavuusfunktio) L(θ) = f(x 1 ;θ)f(x 2 ;θ) f(x n ;θ), joka on siis parametrin θ funktio. Jukka Kemppainen Mathematics Division 16 / 42

17 Suurimman uskottavuuden menetelmä Suurimman uskottavuuden menetelmässä parametri θ määrätään siten, että likelihoodfunktio saa maksiminsa kyseisellä θ:n arvolla. Jos L on derivoituva θ:n suhteen, niin PK I:n mukaan maksimi saavutetaan joko derivaatan nollakohdassa L θ = 0 tai parametria rajoittavan välin päätepisteissä. Joidenkin todennäköisyystiheyksien tapauksessa on järkevää tarkastella likelihoodfunktion sijaan sen logaritmia, jolloin derivaattaa koskeva ehto on ln L θ = 0. Jukka Kemppainen Mathematics Division 17 / 42

18 Suurimman uskottavuuden menetelmä Jos satunnaismuuttujan X jakaumassa on r estimoitavaa parametria θ 1,...,θ r, on L = L(θ 1,...,θ r ) parametrien θ 1,...,θ r funktio. Tällöin maksimi saavutetaan joko parametreja rajoittavan alueen reunalla tai gradientin nollakohdassa, jolloin L = = L = 0. θ 1 θ r Uskottavuusfunktion logaritmille gradienttia koskeva ehto on ln L θ 1 = = ln L θ r = 0. Gradientin nollakohta on maksimikohta, jos Hessin matriisi [ 2 L(θ 1,...,θ r ) θ i θ j ] r i,j=1 on gradientin nollakohdassa negatiivisesti definiitti (eli kaikki ominaisarvot ovat negatiivisia). Jukka Kemppainen Mathematics Division 18 / 42

19 Esimerkkejä Esim. 30 Liikenneonnettomuuksien lukumäärä eräässä vilkasliikenteisessä risteyksessä on Poisson-jakautunut odotusarvona θ onnettomuutta vuorokaudessa (θ tuntematon). Kolmenkymmenen vuorokauden pituisena ajanjaksona sattui risteyksessä 60 onnettomuutta. Estimoi θ suurimman uskottavuuden menetelmällä. Esim. 31 Olkoon X normaalijakautunut satunnaismuuttuja, X N(µ,σ 2 ). Estimoi suurimman uskottavuuden menetelmällä odotusarvo µ, kun σ tunnetaan. Jos yllä myös σ on tuntematon, johtaa ML-menetelmä kahden parametrin µ ja σ ääriarvotehtävään. Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 42

20 Luottamusväli Piste-estimaatin ongelma on siinä, ettei se kerro estimoinnin tarkkuudesta mitään. Tämän vuoksi parametria estimoidaan usein myös välinä, joka kertoo meille kuinka luotettava estimaatti on. Koska väli määrätään tietyn otantajakauman avulla ja koska tällä kurssilla käsiteltävät testit pohjautuvat normaalijakaumaan, käsitellään seuraavaksi tärkeitä otantajakaumia. Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 42

21 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia χ 2 -jakauma Olkoot Z 1,...,Z ν riippumattomia ja normaalijakautuneita satunnaismuuttujia, Z i N(0,1). Tällöin satunnaismuuttuja χ 2 ν = Z Z2 ν on χ 2 -jakautunut vapausasteilla ν. χ 2 -jakauman tiheysfunktio on x ν 2 1 e x 2 f ν (x) = 2 ν,kun x > 0 2Γ( ν 2 ) 0, muulloin. Tämä jakauma on keskeinen esimerkiksi χ 2 -yhteensopivuus- ja riippumattomuustesteissä, joita ei kuitenkaan käsitellä tällä kurssilla. Jukka Kemppainen Mathematics Division 21 / 42

22 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Studentin t-jakauma Olkoot Z 1,Z 2,...,Z ν,z N(0,1) riippumattomia satunnaismuuttujia. Silloin satunnaismuuttuja t ν = 1 ν Z ν i=1 Z2 i noudattaa Studentin t-jakaumaa vapausastein ν. Vapausasteet on nimittäjän neliösummassa olevien riippumattomien yhteenlaskettavien Z 2 i lukumäärä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 22 / 42

23 Tärkeitä lauseita Lause 17 Olkoot X 1,...,X n riippumattomia ja normaalijakautuneita sm:ia, X i N(µ,σ 2 ). Tällöin otoskeskiarvo X = 1 n n i=1 X i ja otosvarianssi S 2 = 1 n 1 ovat riippumattomia sm:ia. n (X i X) 2 i=1 Jukka Kemppainen Mathematics Division 23 / 42

24 Tärkeitä lauseita Lause 18 Olkoot X 1,...,X n kuten edellisessä Lauseessa. Tällöin (n 1)S 2 χ 2 σ 2 n 1. X µ S t n 1. n Huomautus 9 χ 2 - ja t-jakaumia nimitetään otantajakaumiksi, sillä Lauseen 18 mukaan niitä voidaan hyödyntää odotusarvon ja hajonnan estimoinnissa kuten jatkossa nähdään. Jukka Kemppainen Mathematics Division 24 / 42

25 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Määr. 24 (Fisherin F-jakauma) Olkoon X χ 2 -jakautunut sm. vapausasteilla m ja Y χ 2 -jakautunut sm. vapausasteilla n. Tällöin osamäärä F = X/m Y/n on Fisherin F-jakautunut vapausasteilla m ja n ja merkitään F F(m,n). Tämä jakauma on keskeinen esimerkiksi hajonnan testaamisessa ja ANOVAssa. Ei käsitellä näitä kuitenkaan tällä kurssilla. Jukka Kemppainen Mathematics Division 25 / 42

26 Luottamusvälin määritelmä Kuten edellä todettiin, tuntematonta parametria voidaan estimoida piste-estimaatin ohella väliestimaatilla, joka antaa informaatiota estimaatin tarkkuudesta. Edellytyksenä on, että tunnetaan tilanteeseen sopivan muuttujan jakaantumislaki. Tarkastellaan yleisellä tasolla parametrin luottamusvälin määritelmää ja tarkastellaan tällä kurssilla tarkemmin ainoastaan odotusarvon luottamusvälin määräämistä. Luottamusväli liittyy aina otokseen, joten siihen sisältyy automaattisesti epävarmuutta, jota sanotaan riskiksi ja merkitään usein symbolilla α. Parametrin θ luottamusväli riskillä α on satunnainen väli [θ L,θ U ], jolle pätee P(θ L θ θ U ) = 1 α, missä θ L ja θ U ovat otossuureita. Jukka Kemppainen Mathematics Division 26 / 42

27 Luottamusvälin määritelmä Siis tn. sille, että parametri θ on kyseisellä välillä [θ L,θ U ] on 100(1 α)%. Yhtälailla tn. sille, että θ ei ole kyseisellä välillä, on 100α%. Välille käytetään myös nimitystä 100(1 α)%:n luottamusväli. Usein käytetään 95%:n luottamusväliä. Huomautus 10 Käytännössä luottamusväli ilmoitetaan otoksesta saatuna realisaationa [ θ L, θ U ], mutta on tärkeää huomata, että väli vaihtelee otoksesta toiseen. Sopimus: Jatkossa luottamusvälillä tarkoitetaan väliä [θ 1,θ 2 ], joka on otoksesta laskettu realisaatio. Jukka Kemppainen Mathematics Division 27 / 42

28 Luottamusvälin tulkinta Koska luottamusväli [θ 1,θ 2 ] vaihtelee otoksesta toiseen, on luottamusvälin tulkinnassa oltava tarkkana. Huomaa, että tuntematon parametri on kiinteä luku ja laskettu väli vaihtelee otoksesta toiseen. Niinpä emme tarkkaan ottaen tiedä tn.:ää, millä tuntematon parametri θ kuuluu jollekin välille, vaikka tällaista ilmaisua usein käytetään. Riskin 5% tai yhtälailla 95%:n luottamusvälin oikea tulkinta on, että laskemalla 100 otoksesta luottamusvälit, tuntematon parametri kuuluu keskimäärin 95 laskettuun väliin ja ei kuulu keskimäärin 5 väliin. Jukka Kemppainen Mathematics Division 28 / 42

29 Luottamusvälin tyypit Luottamusväli voi olla: Yksisuuntainen luottamusväli Tällöin joko θ 1 = tai θ 2 = ja tarkastellaan onko estimoitava parametri jonkin rajan ala- vai yläpuolella kiintellä riskitasolla α. Kaksisuuntainen luottamusväli Usein θ 1 ja θ 2 valitaan niin, että väli on todennäköisyyksiin nähden symmetrinen, eli P(θ < θ L ) = P(θ > θ U ) = α/2. Jukka Kemppainen Mathematics Division 29 / 42

30 Otossuureiden määrääminen Koska välin [θl,θ U ] ylä- ja alaraja ovat otossuureita eli otoksesta riippuvia satunnaismuuttujia, voidaan niiden arvot laskea otoksen avulla. Ei ole yhtä ainoaa tapaa määrätä hyvät estimaattorit välin päätepistettä kuvaaviksi satunnaismuuttujiksi. Ongelma on sopivan otantajakauman löytäminen. Tällä kurssilla tarkastellaan ainoastaan odotusarvon estimointia. Käytetään hyväksi Esimerkissä 29 todettua tietoa, että X on hyvä odotusarvon estimaattori. Katsotaan esimerkkien avulla, miten sopivat estimaattorit voidaan löytää luottamusvälin päätepisteiksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 30 / 42

31 Esimerkkejä Esim. 32 Määrää 95 %:n luottamusväli normaalijakautuneen satunnaismuuttujan odotusarvolle, jonka varianssi σ 2 = 9, käyttämällä otosta, jossa n = 100 ja x = 5. Mitkä ovat välin päätepisteitä vastaavat estimaattorit? Vihje: Käytä hyväksi tietoa Z = X µ σ/ n N(0,1). Jukka Kemppainen Mathematics Division 31 / 42

32 Esimerkkejä Esim. 33 Mitattaessa dieselöljyn leimahduspistettä saatiin seuraavat tulokset ( C) 51.11, 52.78, 52.22, 50.00, Oletetaan, että mittaukset ovat normaalijakautuneita ja riippumattomia. Määrää leimahduspisteen odotusarvon 95 % luottamusväli (riskitaso 5 %). Vihje: Käytä Lausetta 18. Jukka Kemppainen Mathematics Division 32 / 42

33 Yhteenveto odotusarvon luottamusvälistä Tarkastellaan odotusarvon luottamusvälin määräämistä otoksen avulla riskitasolla α tn:n suhteen symmetrisessä tapauksessa. Odotusarvon luottamusväli, kun σ tunnetaan Jos täytyy estimoida normaalijakautuneen sm:n odotusarvoa, niin lasketaan otoksesta keskiarvo x, Käytetään hyväksi tietoa Z = X µ σ/ n N(0,1). Luetaan normaalijakauman taulukosta arvo z α/2 s.e. P(Z z α/2 ) = α/2 = P(Z z α/2 ). Luottamusväliksi saadaan [x z α/2 σ/ n,x + z α/2 σ/ n]. Jukka Kemppainen Mathematics Division 33 / 42

34 Odotusarvon luottamusväli Odotusarvon luottamusväli, kun σ on tuntematon Lasketaan otoksesta keskiarvo x ja hajonta s. Käytetään hyväksi Lausetta 18, jonka mukaan X µ S/ n t n 1. Luetaan Studentin t-jakauman taulukosta arvo t α s.e. P(t n 1 < t α/2 ) = α/2 = P(t n 1 > t α/2 ). Luottamusväliksi saadaan [x t α/2 s/ n,x + t α/2 s/ n]. Jukka Kemppainen Mathematics Division 34 / 42

35 Odotusarvon luottamusväli Huomaa molemmissa tapauksissa luottamusvälin sama muoto: piste-estimaatti ±r 0 piste-estimaatin keskivirhe, missä piste-estimaatti on x, kynnysarvo r 0 on joko z α/2 tai t α/2 siitä riippuen, että tunnetaanko hajonta σ vai ei. Sama muoto säilyy muillekin kuin odotusarvon estimaateille. Jukka Kemppainen Mathematics Division 35 / 42

36 Luottamusväli muille jakaumille Luottamusväli voidaan määrätä myös muille jakaumille kuin normaalijakaumalle edellä esitetyllä tavalla, kunhan n on riittävän suuri. Perusteluna on keskeinen raja-arvolause. Tarkastellaan seuraavassa luottamusvälin määräämistä binomijakautuneen satunnaismuuttujan parametrille p, kun n on riittävän suuri. Jukka Kemppainen Mathematics Division 36 / 42

37 Suhteellisen osuuden p luottamusväli Suhteellisen osuuden luottamusväli voidaan määrätä edellä kuvatulla tavalla, kun otoskoko n on riittävän suuri (np(1 p) > 9). Suhteellisen osuuden p estimaattori p = X n, missä X Bin(n,p), p(1 p) n. on harhaton ja sen keskihajonta on σ = ( Keskeisen raja-arvolauseen mukaan 1 n (p, X N Tällöin Z = X n p p(1 p) n = X np np(1 p) N(0,1). ) p(1 p) 2 ) n. Määrätään jälleen normaalijakauman taulukosta arvo z α/2, jolle P(Z > z α/2 ) = α/2 = P(Z < z α/2 ). Jukka Kemppainen Mathematics Division 37 / 42

38 Suhteellisen osuuden luottamusväli Tällöin P( z α/2 < X n p p(1 p) < z α/2 ) = 1 α, eli n X p(1 p) P( n z α/2 p X p(1 p) ) n n + z α/2 = 1 α. n Korvataan yllä p:n ala- ja ylärajalla esiintyvät X/n ja p otoksesta saatavalla ˆp = x n, jolloin parametrin p luottamusväliksi riskitasolla α tai yhtälailla p:n 100(1 α)%:n luottamusväliksi saadaan [ ˆp z α/2 ˆp(1 ˆp) n ˆp(1 ˆp) ],ˆp + z α/2. n Jukka Kemppainen Mathematics Division 38 / 42

39 Esimerkki Esim. 34 Ennen kevään 2012 presidentinvaalien ensimmäistä kierrosta Ylen Taloustutkimuksella teettämässä gallup-kannatustutkimuksessa saatiin seuraavat tulokset Ehdokas PA EB SE PH PL SN TS PV EOS Kannatus(%) Yllä esimerkiksi PA tarkoittaa Paavo Arhinmäkeä ja EOS tarkoittaa, ettei henkilö ole osannut sanoa tai ei ole halunnut ilmoittaa kantaansa. Kyselyyn osallistui 1457 henkilöä. Määrää SN:n kannatuksen 95 %:n luottamusväli. Jukka Kemppainen Mathematics Division 39 / 42

40 Normaalisuuden testaus (1/3) Koska tämän kurssin useimmat testit pohjautuvat normaalijakaumalle, on syytä tarkastella, ovatko havainnot todella peräisin normaalijakaumasta. Joissakin tapauksissa voidaan vedota keskeiseen raja-arvolauseeseen, muttei aina etenkään pienillä havaintoaineistoilla. Onneksi normaalisuuden testausta varten on olemassa erilaisia testejä: χ 2 -yhteensopivuustesti, Lillieforsin testi (Kolmogorov-Smirnov-testin muunnos), graafinen vertailu Tarkastellaan lähemmin viimeksi mainittua. Jukka Kemppainen Mathematics Division 40 / 42

41 Normaalisuuden testaus (2/3) Normaalisuutta voidaan tarkastella graafisesti kvantiili-kvantiili-käyrän (QQ-käyrä eng. QQ-plot) avulla. Sitä varten havainnot y 1,...,y n järjestetään suuruusjärjestykseen y (1) y (2) y (n 1) y (n). Järjestettyjä havaintoja verrataan normaalijakauman X N(µ,σ 2 ) kvantiileihin q(f i ) eli pisteisiin, joille F X (q(f i )) = f i i n Mikäli järjestetyt havainnot asettuvat lähelle suoraa, voidaan havaintoja pitää normaalijakautuneina. Jukka Kemppainen Mathematics Division 41 / 42

42 Normaalisuuden testaus (3/3) Kuvaan on piirretty erään vetokokeen aineiston QQ-käyrä. Tässä aineistossa oletusta, että vetolujuus X noudattaa normaalijakaumaa N(µ,σ 2 ), voidaan pitää järkevänä. Tässä on estimoitu µ x ja σ s. Havaintojen pitäisi olla suoralla y = x ja näin näyttäisi olevankin. Jukka Kemppainen Mathematics Division 42 / 42

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Maximum likelihood-estimointi Alkeet

Maximum likelihood-estimointi Alkeet Maximum likelihood-estimointi Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Maximum likelihood-estimointi p.1/20 Maximum Likelihood-estimointi satunnaismuuttujan X

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut 9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Hypoteesin testauksesta Tilastollisessa testauksessa on kyse havainnoista tapahtuvasta päätöksenteosta. Kokeellisen tutkimuksen

Lisätiedot

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio 17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 31.03.2012 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Jukka Kemppainen Mathematics

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta

Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta 1/27 Kevät 2003 Käytännön asioista

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden

Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden 1 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luento 30.9.2014 Olkoon satunnaisotos X 1, X 2,, X n normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ), tällöin ~ N(µ, σ 2 /n), kaava (6). Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu

Lisätiedot

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut 10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset

Lisätiedot

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen) 1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾ ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien mittausasteikot 93

Satunnaismuuttujien mittausasteikot 93 Havaintoainesto: otos Havaintoaineiston kuvaus Otossuureet, otostunnusluvut Otos 90 Otosta tarvitaan, kun koko perusjoukon tutkiminen on mahdotonta esim. seuraavista syistä: joukko on ääretön tai erittäin

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

Hypoteesin testaus Alkeet

Hypoteesin testaus Alkeet Hypoteesin testaus Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Johdanto Kokeellinen tutkimus: Varmennetaan teoreettista olettamusta fysikaalisen systeemin käyttäytymisestä

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4 Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

KURSSIN TILASTOMATEMATIIKKA KAAVOJA

KURSSIN TILASTOMATEMATIIKKA KAAVOJA KURSSIN TILASTOMATEMATIIKKA KAAVOJA X = S = s = Otossuureita X i tai x = x i (otoskeskiarvo) (X i X) = (x i x) = Xi x i E(X) =µ, var(x) = σ X x tai, E(S )=σ (otosvariassi) Normaalijakautuee populaatio

Lisätiedot

Batch means -menetelmä

Batch means -menetelmä S-38.148 Tietoverkkojen simulointi / Tulosten keruu ja analyysi 1(9) Batch means -menetelmä Batch means -menetelmää käytetään hyvin yleisesti Simulointi suoritetaan tässä yhtenä pitkänä ajona olkoon simuloinnin

Lisätiedot

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Odotusarvojen erotuksen testi, hajonnat σ 1 σ 2 tuntemattomia Oletetaan jälleen, että X ja Y ovat normaalijakautuneita.

Lisätiedot

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,

Lisätiedot

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo

Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Tentit: 4.11.2013 ja 2.12.2013. Loput kaksi tenttiä (vuonna 2014) ilmoitetaan myöhemmin. Tentissä on 4 tehtävää á 8 pistettä, aikaa 4 tuntia. Arvostelu 0 5.

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi Diskreetit muuttujat,

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Estimointi. Otantajakauma

Estimointi. Otantajakauma Otantajakauma Otantajakauma kuvaa jonkin parametrin arvojen (esim. keskiarvon) jakauman kaikille tietyn kokoisille otoksille. jotka perusjoukosta voidaan muodostaa Histogrammissa otantajakauman parametrin

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

Tilastollisen päättelyn perusteet

Tilastollisen päättelyn perusteet Tilastollisen päättelyn perusteet Tilastotiede käytännön tutkimuksessa -kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Motivointiako? opiskelijoiden, jotka kammoavat matematiikkaa tai eivät katso ehtivänsä tai haluavansa

Lisätiedot

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Satunnaismuuttujien välinen riippuvuus Kokeellisen tutkimuksen keskeinen tehtävä on selvittää mitattavien muuttujien välisiä

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas Keskivirheyksiköllä ilmaistuna voidaan erottaa otantajakaumalta kriittisiä kohtia: Keskimmäinen 95 % otoskeskiarvoista välillä [-1.96,+1.96] Keskimmäinen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2 Jukka Kemppainen Mathematics Division Satunnaismuuttuja Useissa luonnon- tai teknistieteellisissä sovellutuksissa satunnaiskokeen lopputulos on numeerinen lukuarvo.

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Tilastollisten aineistojen kuvaaminen

Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Tilastollisten aineistojen kuvaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastollisten aineistojen kuvaaminen >> Havaintoarvojen jakauma Tunnusluvut Suhdeasteikollisten

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Havaintoarvojen jakauma Tunnusluvut Suhdeasteikollisten muuttujien tunnusluvut

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Jakaumaoletuksien. testaaminen

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Jakaumaoletuksien. testaaminen Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Sisältö Tilastotieteessä tehdään usein oletuksia havaintojen jakaumasta. Useat tilastolliset menetelmät toimivat tehottomasti tai jopa virheellisesti, jos jakaumaoletukset

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

Estimointi. Luottamusvälin laskeminen keskiarvolle α/2 α/2 0.1

Estimointi. Luottamusvälin laskeminen keskiarvolle α/2 α/2 0.1 Estimointi - tehdään päätelmiä perusjoukon ominaisuuksista (keskiarvo, riskisuhde jne.) otoksen perusteella - mitä suurempi otos, sitä tarkemmat estimaatit Otokseen perustuen määritellään otantajakaumalta

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas JAKAUMAN MUOTO Vinous, skew (g 1, γ 1 ) Kertoo jakauman symmetrisyydestä Vertailuarvona on nolla, joka vastaa symmetristä jakaumaa (mm. normaalijakauma)

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas Ilman Ruotsia: r = 0.862 N Engl J Med 2012; 367:1562-1564. POIKKEAVAN HAVAINNON VAIKUTUS PAIRWISE VAI LISTWISE? Kun aineistossa on muuttujia, joilla

Lisätiedot

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 4

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 4 ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 1. Omppukone Oy valmistaa liukuhihnalla muistipiirejä kymmenen piirin sarjoissa. Omppukone arvioi, että keskimäärin

Lisätiedot

Korrelaatiokertoinen määrittely 165

Korrelaatiokertoinen määrittely 165 kertoinen määrittely 165 Olkoot X ja Y välimatka- tai suhdeasteikollisia satunnaismuuttujia. Havaintoaineistona on n:n suuruisesta otoksesta mitatut muuttuja-arvoparit (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x

Lisätiedot

1. TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN ESTIMOINTI

1. TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN ESTIMOINTI 1. TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN ESTIMOINTI Edellä esitelty Bayesiläinen luokittelusääntö ( Bayes Decision Theory ) on optimaalinen tapa suorittaa luokittelu, kun luokkien tnjakaumat tunnetaan Käytännössä tnjakaumia

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Tilastomatematiikka. Keijo Ruotsalainen University of Oulu, Faculty of Technology Division of Mathematics

Tilastomatematiikka. Keijo Ruotsalainen University of Oulu, Faculty of Technology Division of Mathematics Tilastomatematiikka Keijo Ruotsalainen University of Oulu, Faculty of Technology Division of Mathematics 20. maaliskuuta 2013 2 Tämä luentomoniste on tehty professori Keijo Ruotsalaisen luentojen pohjalta.

Lisätiedot

Tilastotieteen perusteet 2016, Juha Heikkilä. Jos tutkitaan koko perusjoukko, tehdään kokonaistutkimus.

Tilastotieteen perusteet 2016, Juha Heikkilä. Jos tutkitaan koko perusjoukko, tehdään kokonaistutkimus. 3 Otannasta 3.1 Otanta ja tilastollinen päättely Jos tutkitaan koko perusjoukko, tehdään kokonaistutkimus. Tällainen on esimerkiksi poliittisen kannan jakauman selvittämiseksi pidettävät vaalit. Kun perusjoukko

Lisätiedot

χ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

χ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Estimointi, Havaittu frekvenssi, Heterogeenisuus,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen

Lisätiedot

Identifiointiprosessi

Identifiointiprosessi Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi

Lisätiedot

Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu.

Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Ka6710000 TILASTOLLISEN ANALYYSIN PERUSTEET 2. VÄLIKOE 9.5.2007 / Anssi Tarkiainen Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Tehtävä 1. a) Gallupissa

Lisätiedot

Mallipohjainen klusterointi

Mallipohjainen klusterointi Mallipohjainen klusterointi Marko Salmenkivi Johdatus koneoppimiseen, syksy 2008 Luentorunko perjantaille 5.12.2008 Johdattelua mallipohjaiseen klusterointiin, erityisesti gaussisiin sekoitemalleihin Uskottavuusfunktio

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Väliestimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu

Lisätiedot

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse

Lisätiedot

η i (θ)t i (x) A(θ) + c(x),

η i (θ)t i (x) A(θ) + c(x), 288 Luku 10. Perusmallit ja niiden sovelluksia muotoa (10.9.1) log f θ (x) = p η i (θ)t i (x) A(θ) + c(x), i=1 missä θ = (θ 1,...,θ p ) ja A(θ), c(x), η i (θ) ja T i (x) ovat tunnettuja funktioita. Lisäksi

Lisätiedot

Matemaatikot ja tilastotieteilijät

Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat

Lisätiedot