Satunnaismuuttujien mittausasteikot 93

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Satunnaismuuttujien mittausasteikot 93"

Transkriptio

1 Havaintoainesto: otos Havaintoaineiston kuvaus Otossuureet, otostunnusluvut Otos 90 Otosta tarvitaan, kun koko perusjoukon tutkiminen on mahdotonta esim. seuraavista syistä: joukko on ääretön tai erittäin suuri kaikkia joukon alkioita ei tunneta tai voida tavoittaa tutkimus/mittaaminen on kallista tai aikaa vievää mittauksen tekeminen voi vahingoittaa tai tuhota tutkimuskohteen. varmennetaan kokeellisesti jotain ilmiötä koskevaa teoriaa

2 Havaintoainesto: otos Havaintoaineiston kuvaus Otossuureet, otostunnusluvut Otoksen poiminta 91 Otoksen poiminta voi käytännössä tarkoittaa tarkkailevaa havainnointia kokeiden suorittamista mittauksia kyselyjä, haastatteluja tiedon keräämistä valmiista tietokannoista Otokseen perustuva päättely sisältää virhemahdollisuuksia. Päätelmiin liittyvä epävarmuus on pyrittävä ilmaisemaan johtopäätösten yhteydessä (esim. virhemarginaalit).

3 Havaintoainesto: otos Havaintoaineiston kuvaus Otossuureet, otostunnusluvut Termilogia 92 Perusjoukko, populaatio (Ω) on tutkimuksen kohdejoukko, josta otos poimitaan. Satunnaisotos perusjoukosta Ω on sellainen äärellinen joukko Ω:n alkioita, johon jokaisella perusjoukon alkiolla on etukäteen yhtäsuuri valintatodennäköisyys ja valinnat ovat toisistaan riippumattomia. Otokseen valittuja alkioita a 1,..., a n kutsutaan tilastoyksiköiksi ja n on otoskoko. Otos satunnaismuuttujasta: Yhden muuttujan X arvot otoksessa muodostavat jonon satunnaismuuttujia (X 1, X 2,..., X n ), jotka ovat täydellisesti riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa. Otoksen realisaatio on sen havaittujen arvojen jono, jota merkitään pienillä kirjaimilla (x 1, x 2,..., x n ).

4 Havaintoainesto: otos Havaintoaineiston kuvaus Otossuureet, otostunnusluvut Satunnaismuuttujien mittausasteikot 93 Nominaali- eli luokitteluasteikko: luokkien välillä ei järjestystä. Ordinaali- eli järjestysasteikko: luokat voidaan asettaa järjestykseen, mutta luokkien välisiä eroja ei voida vertailla Intervalli- eli välimatka-asteikko: muuttuja-arvot voidaan asettaa järjestykseen ja arvojen erotuksilla on mielekäs tulkinta. Suhdeasteikko: kuten intervalliasteikko, mutta asteikossa absoluuttuinen nollakohta.

5 Havaintoainesto: otos Havaintoaineiston kuvaus Otossuureet, otostunnusluvut Havaintoaineiston kuvaus 94 Suuren numerojoukon sisältämää informaatiota pyritään tiivistämään olennaisen tutkittavan tiedon esille saamiseksi. Ennen varsinaisten otostunnuslukujen laskemista ja tilastollista päättelyä luokitellaan havainnot (jos ne ovat intervalli- tai suhdeasteikollisia) lasketaan luokkafrekvenssit ym. jakaumaa kuvaavia lukuja taulukoidaan piirretään jakauman pylväsdiagrammi (diskreetit muuttujat) tai histogrammi + frekvenssimonikulmio (jatkuvat muuttujat).. Näin saadaan käsitys arvojen suuruusluokasta ja levinneisyydestä sekä jakauman muodosta

6 Havaintoainesto: otos Havaintoaineiston kuvaus Otossuureet, otostunnusluvut Otossuure 95 Otossuure on otoksesta laskettu reaaliarvoinen suure. Satunnaismuuttujan T (X 1, X 2,..., X n ) jakaumaa kutsutaan T :n otantajakaumaksi. Otoskeskiarvo: x = x 1 + x x n n = 1 n Otosvarianssi: [ s 2 = 1 n n (x i x) 2 = 1 xi 2 n 1 n 1 i=1 i=1 Otoshajonta: s = s 2 n i=1 x i ] 1 n n ( x i ) 2 i=1

7 Havaintoainesto: otos Havaintoaineiston kuvaus Otossuureet, otostunnusluvut Luokiteltu aineisto 96 Otoskeskiarvo: x = 1 n k f i y i i=1 Otosvarianssi: s 2 = 1 n 1 [ n i=1 f i y 2 i ] 1 n n ( f i y i ) 2 i=1 Missä k = luokkien lukumäärä, y i =luokkavälin keskikohta, f i = luokkafrekvenssi.

8 Havaintoainesto: otos Havaintoaineiston kuvaus Otossuureet, otostunnusluvut Empirinen jakauma 97 Keskilukuja Moodi: se havaintoarvo, jolla on suurin frekvenssi (ei välttämättä yksikäsitteinen).. Mediaani: järjestetyn otoksen keskimmäinen havaintoarvo tai kahden keskimmäisen keskiarvo, kun n on parillinen Hajontalukuja Keskipoikkeama: 1 n n x i x i=1 Vaihteluväli: R = x max x min Variaatiokerroin: V = s x

9 Havaintoainesto: otos Havaintoaineiston kuvaus Otossuureet, otostunnusluvut Empirinen jakauma 98 Hajontalukuja Kvartaalipoikkeama: (Q 3 Q 1 ) n missä alakvartiili Q 1 on arvo, jota pienempiä havaintoja on 25%, yläkvartiili Q 3 on arvo, jota pienempiä havaintoja on 75% (ja suurempia 25%). Kvartiilivälille (Q 1, Q 3 ) jää puolet havainnoista. s Keskiarvon keskivirhe: n

10 Havaintoainesto: otos Havaintoaineiston kuvaus Otossuureet, otostunnusluvut Outliers: Poikkeavat havainnot 99 Eräs kriteeri poikkeavien havaintojen tunnistamiselle: Olkoon kvartiilivälin pituus (interquartile range) IQR = Q 3 Q 1. Jos x < Q IQR tai x > Q IQR niin havaintoarvoa x voidaan pitää poikkeavana havaintona.

11 Piste-estimaatit Luottamusvälit Piste-estimaatit 100 Parametrien estimointi on populaation/otosavaruuden tunnuslukujen arviointia. Parametrin θ estimaattori, merk. ˆθ tai ˆθ(X 1, X 2,..., X n ) on siis satunnaismuuttuja. Hyvä estimaattori on: Harhaton E(ˆθ) = θ Minimivarianssinen D 2 ˆθ tarkentuva lim n P( ˆθ(X 1,..., X n ) θ < ɛ) = 1 kaikilla ɛ > 0.

12 Piste-estimaatit Luottamusvälit Piste-estimaatit 101 Tavallisimpia estimaattoreita: Odotusarvo: ˆµ = X Varianssi: ˆσ 2 = s 2 Bin(n, p)-jakauman parametri: ˆp = P = X n Exp(λ)-jakauman parametri: ˆλ = 1/X Näistä kolme ensimmäistä ovat harhattomia.

13 Piste-estimaatit Luottamusvälit Luottamusvälit 102 Estimoitavan parametrin θ (1 α)100%:n luottamusväli on otoksen määräämä väli, jolle parametrin θ todellinen arvo kuuluu todennäköisyydellä 1 α Tavallisimmat tasot: α = %:n luottamusväli α = %:n luottamusväli α = %:n luottamusväli

14 Piste-estimaatit Luottamusvälit Väliestimoinnin periaate 103 Muunnetaan otossuure (estimaattori) sellaiseen muotoon, johon sisältyy estimoitava parametri θ ja jonka jakauma on riippumaton θ:sta (vrt. normeeraus): olkoon tämä T θ (X 1,..., X n ). Otossuureen T θ (X 1,..., X n ) jakaumasta voidaan määrätä rajat (fraktiilit) a ja b siten, että P(a T θ (X 1,..., X n ) b) = 1 α Ja lisäksi P(T θ (X 1,..., X n ) < a) = α 2 P(T θ (X 1,..., X n ) > b) = α 2

15 Piste-estimaatit Luottamusvälit Väliestimoinnin periaate 104 Epäyhtälöparista a T θ (X 1,..., X n ) b ratkaistaan ylä- ja alaraja parametrille θ: L(X 1,..., X n ) θ U(X 1,..., X n ) Numeeriset rajat saadaan sijoittamalla ylä- ja alarajan lausekkeeseen otoksen realisaatio (x 1,..., x n ). Jos kiinnostuksen kohteena on vain parametrin alaraja TAI yläraja, voidaan vastaavalla tavalla muodostaa toispuoleinen luottamusväli θ:lle P(T θ (X 1,..., X n ) a) = 1 α tai P(T θ (X 1,..., X n ) b) = 1 α

16 Sokeria pussitetaan kilon paketeihin, mutta keskimääräinen paino ei yleensä ole tasan 1000 g. Tutkimuksessa punnittiin 12 satunnaisesti valittua pussia. Olkoon X pussissa olevan sokerin määrä (g) ja oletaan, että X N(µ, σ 2 ), missä annostelulaitteen aiheuttaman painon hajonnan tiedetään olevan 4.0 g. Estimoidaan aineiston perusteella X :n odotusarvo ja määritetään sen 95%:n luottamusväli (α = 0.05) Havainnot (g): 1004, 998, 1005, 1001, 999, 997, 1008, 1010, 1003, 1005, 1002, 998 Piste-estimaatti: ˆµ = x = g, n = 12, σ = 4.0 g Koska X i N(µ, σ 2 ), niin X N(µ, σ 2 /n), joten 95%:n varmuudella Z = X µ σ/ n N(0, 1) z Z z 0.975

17 z X µ σ/ n z z σ/ n X µ z σ/ n X z σ/ n µ X + z σ/ n X z σ/ n µ X + z σ/ n Sijoittamalla tähän saadut arvot ja taulukosta z = 1.96, saadaan odotusarvon 95%:n luottamusväliksi / 12 µ / µ µ µ = ± 2.26

18 Piste-estimaatit Luottamusvälit Odotusarvon luottamusväli 107 Varianssi tunnetaan Oletukset: X i N(µ, σ 2 ), i = 1,..., n, missä σ 2 tunnettu TAI otoskoko n suuri (n 50), jolloin σ 2 = s 2. Piste-estimaatti: ˆµ = x Otossuure: Z = x µ σ/ N(0, 1) n Otossuuren (1 α)100%: luottamusväli: z 1 α/2 x µ σ/ n z 1 α/2 Odostusarvon (1 α)100%: luottamusväli: x z 1 α/2 σ/ n µ x + z 1 α/2 σ/ n eli µ = x ± z 1 α/2 σ/ n

19 Piste-estimaatit Luottamusvälit Odotusarvon luottamusväli 108 Varianssi tuntematon Oletukset: X i N(µ, σ 2 ), i = 1,..., n, missä otoskoko pieni ja σ 2 tuntematon. Piste-estimaatti: ˆµ = x Otossuure: T = x µ s/ t(n 1) n Otossuuren (1 α)100%: luottamusväli: t 1 α/2 (n 1) x µ s/ n t 1 α/2(n 1) Odostusarvon (1 α)100%: luottamusväli: x t 1 α/2 (n 1)s/ n µ x + t 1 α/2 (n 1)s/ n eli µ = x ± t 1 α/2 (n 1)s/ n

20 Fyysikko määritti kastepistehygrometrin avulla ilman absoluuttisen kosteuden ( g/m 3) neljä kertaa ja sai tulokset 12.8, 12.7, 12.8, Määrää kosteuden odotusarvon 95%:n luottamusväli, kun määritystulos oletetaan normaalijakautuneeksi. Oletus: Kosteusmäärityksen tulos x N ( µ, σ 2) µ = x = 1 4 ( ) = 12.8 s 2 = 1 n 1 (xi x) 2 = 1 ( ( 0.1) ) = Hajonta tuntematon: Luottamusväli perustuu otossuureeseen T = x µ s/ t (n 1) n 95%:n luottamusväli odotusarvolle on µ = x ± t 1 α/2 (n 1) s/ n Sijoitetaan estimaatit ja t 1 α/2 (n 1) = t (3) = 3.18 µ = 12.8 ± /4 = 12.8 ± 0.13

21 Piste-estimaatit Luottamusvälit Suhteellisen osuuden luottamusväli 110 Oletukset: X Bin(n, p), missä n suuri Piste-estimaatti: ˆp = x/n Otossuure: Z = ˆp p p(1 p) n N(0, 1) Otossuuren (1 α)100%: luottamusväli: z 1 α/2 ˆp p p(1 p) n z 1 α/2 Suhteellisen osuuden (1 α)100%: luottamusväli: ˆp z 1 α/2 ˆp(1 ˆp) n p ˆp + z 1 α/2 ˆp(1 ˆp) n

22 Haastateltiin 200 satunnaista henkilöä, joilta kysyttiin kantaa pyöräilykypärän käyttöpakkoon. Haastatelluista 118 kannatti kypäräpakkoa. Laske 95% luottamusväli kannatusosuudelle koko väestössä. n=200, x=118 ˆp = x n = 0, 59 kannatusosuus otoksessa n suuri ja nˆp(1 ˆp) > 9, joten voidaan käyttää normaalijakaumaa Z = N(0, 1) ˆp p ˆp(1 ˆp) n 95% luottamusväli (α = 0, 05) ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) ˆp Z 0,975 n p ˆp + Z 0,975 n ˆp(1 ˆp) p = ˆp ± Z 0,975 n Sijoitetaan p = 0, 59 ± 1, 96 = 0, 59 ± 0, 07 % eli 59 ± 7 % 0,59 0,41 200

23 Piste-estimaatit Luottamusvälit Varianssin luottamusväli 112 Oletukset: X i N(µ, σ 2 ), i = 1,..., n, missä n suuri Piste-estimaatti: ˆσ2 = s 2 Otossuure: χ 2 (n 1)s2 = σ 2 χ 2 (n 1) Otossuuren (1 α)100%: luottamusväli: χ 2 (n 1)s2 α/2 (n 1) σ 2 χ 2 1 α/2 (n 1) Varianssin (1 α)100%: luottamusväli: (n 1)s 2 χ 2 1 α/2 (n 1) σ2 (n 1)s2 (n 1) χ 2 α/2

24 Kartongin tuotannon laadunvalvonnassa saatiin neliöpainon hajonnaksi 25 mittauksen otoksessa 0, 93g/m 2. Neliöpaino noudattaa normaalijakaumaa N(µ,σ 2 ). Mitä arvoa pienempi neliöpainon hajonta σ on 95%:n varmuudella kyseisen otoksen perusteella? χ 2 = (n 1)s2 σ 2 χ 2 (n 1) P(χ 2 χ 2 α(n 1)) = 1 α P( (n 1)s2 χ 2 σ α(n 1)) = 1 α 2 P(σ 2 (n 1)s2 χ 2 (n 1)) = 1 α α (n 1)s 2 P(σ ) = 1 α χ 2 α (n 1) Hajonta on (1 α)100%:n varmuudella pienempi kuin Tehtävä Otos n=25, s=0,93, α = 0, 05, xα(n 2 1) = x0,05 2 (24) = 13, 85 95%:n varmuudella σ 24 0,93 13,85 = 1, 22 n 1s x 2 α (n 1)

25 Piste-estimaatit Luottamusvälit Odotusarvojen erotuksen luottamusväli 114 Varianssit tunnetaan Oletukset: Kaksi perusjoukko, joissa riippumattomat otokset kokoa n 1 ja n 2 satunnaismuuttujista X 1 N(µ 1, σ1 2), X 2 N(µ 2, σ2 2 ). Varianssit tunnetaan tai otoskoot suuria Estimoitava: µ 1 µ 2 Piste-estimaatti: x 1 x 2 Otossuure: Z = x 1 x 2 (µ 1 µ 2 ) N(0, 1) σ 2 1 n 1 + σ2 2 n 2 Odotusarvojen erotuksen (1 α)100%: luottamusväli: µ 1 µ 2 = x 1 x 2 ± z 1 α/2 σ 2 1 n 1 + σ2 2 n 2

26 Piste-estimaatit Luottamusvälit Odotusarvojen erotuksen luottamusväli 115 Varianssit tuntemattomia Oletukset: Kaksi perusjoukko, joissa riippumattomat (pienet) otokset kokoa n 1 ja n 2 satunnaismuuttujista X 1 N(µ 1, σ1 2), X 2 N(µ 2, σ2 2 ). Varianssit tuntemattomia, mutta yhtäsuuria σ1 2 = σ2 2 Estimoitava: µ 1 µ 2 Piste-estimaatti: x 1 x 2 Otossuure: T = x 1 x 2 (µ 1 µ 2 ) T (n 1 + n 2 2) s 1 p n n 2 missä yhdistetty otosvarianssi s 2 p = (n 1 1)s (n 2 1)s 2 2 n 1 + n 2 2

27 Piste-estimaatit Luottamusvälit Odotusarvojen erotuksen luottamusväli 116 Varianssit tuntemattomia Odotusarvojen erotuksen (1 α)100%: luottamusväli: µ 1 µ 2 = x 1 x 2 ± t 1 α/2 (n 1 + n 2 2)s p 1 n n 2

28 Vertailtiin kahden tietokoneen laskentanopeuksia, jotka voidaan olettaa normaalijakautuneiksi (varianssit yhtäsuuret). Testiohjelma ajettiin 10 kertaa molemmissa koneissa ja laskettiin suoritusaikojen keskiarvot ja hajonnat: x 1 = 5.1 x 2 = 4.8 s 1 = 1.2 s 2 = 0.9 Muodosta 95%:n luottamusväli laskenta-aikojen odotusarvojen erotukselle. Laskentanopeudet testiohjelmalle X 1 N(µ 1, σ 2 1 ), X 2 N(µ 2, σ 2 2 ) σ2 1 = σ2 2 T = x 1 x 2 (µ 1 µ 2 ) s p 1 n n 2 t(n 1 + n 2 2) 95%:n luottamusväli: T ± t (n 1 + n 2 2)

29 µ 1 µ 2 = x 1 x 2 ± t (n 1 + n 2 2)s p 1 n n 2 x 1 = 5.1 x 2 = 4.8 s 1 = 1.2 s 2 = 0.9 n 1 = 10 n 2 = 10 Yhdistetty otosvarianssi: s 2 p = (n 1 1)s 2 1 +(n 2 1)s 2 2 n 1 +n 2 2 = = t (n 1 + n 2 2) = t (18) = %:n luottamusväliksi: µ 1 µ 2 = ± ( ) }{{} µ 1 µ µ 1 µ

30 Piste-estimaatit Luottamusvälit Varianssisuhteen luottamusväli 119 Oletukset: Estimoitava: σ 2 1 /σ2 2 Kaksi perusjoukko, joissa riippumattomat otokset kokoa n 1 ja n 2 satunnaismuuttujista X 1 N(µ 1, σ 2 1 ), X 2 N(µ 2, σ 2 2 ). Otossuure: F = s2 1 /σ2 1 s2 2 F (n 1 1, n 2 1) /σ2 2 Varianssisuhteen (1 α)100%: luottamusväli: 1 F 1 α/2 (n 1 1, n 2 1) s1 2 s2 2 σ2 1 σ 2 2 F 1 α/2 (n 1 1, n 2 1) s2 1 s 2 2 Huom! 1 F 1 α/2 (n 2 1, n 1 1) = F α/2(n 1 1, n 2 1)

31 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Testauksen vaiheet Hypoteesin asettelu 2. Riskitason valinta 3. Testisuureen valinta ja hylkäysehdon määrittäminen 4. Havaintoaineiston kerääminen ja testisuureen arvon laskenta 5. Johtopäätöksen tekeminen

32 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Hypoteesin asettelu 121 Tilastollisessa testauksessa asetetaan kaksi vaihtoehtoista hypoteesia: H 0 nollahypoteesi H 1 vastahypoteesi, vaihtoehtoinen hypoteesi Hypoteesien ero: Vastahypoteesi kuvaa yleensä poikkeamaa totutusta tilanteesta, vaikutusta, eroa, muutosta. Usein se asia, jota tutkija yrittää todistaa. Nollahypoteesi kuvaa vallitsevaa tilannetta, tai väittää ettei todellista vaikutusta, eroa tai muutosta ole. Nollahypoteesi pysyy voimassa, ellei sitä vastaan saada riittäviä todisteita.

33 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Riskitason valinta 122 Perinteisessä testauksessa johtopäätös, joka perustuu havaintoaineistoon, ilmoitetaan muodossa "H 0 hylätään"tai "H 0 jää voimaan". Testauksessa voidaan tehdä väärä johtopäätös kahdella tavalla: 1. H 0 hylätään, vaikka se on tosi. 2. H 0 hyväksytään, vaikka se ei ole tosi. Riskitaso α = todennäköisyys, että H 0 hylätään, vaikka se on tosi Testin voimakkuus kuvaa testin kykyä erottaa todellinen poikkeama satunnaisvaihtelusta. Testin voimakkuus riippuu yleisesti testattavan parametrin todellisesta arvosta,

34 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Testisuuren valinta 123 Testisuure, merk. yleisesti T (X 1, X 2,..., X n ), on otossuure, jonka perusteella voidaan tehdä johtopäätös siitä, kumpi hypoteesi on uskottavampi. Testisuure perustuu yleensä testattavan parametrin harhattomaan estimaattoriin ja sen jakauma täytyy tuntea nollahypoteesin vallitessa.

35 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Hylkäysehdon määrittäminen 124 Testisuureen mahdolliset arvot jaetaan tietyin kriteerein kahteen toisensa poissulkevaan joukkoon: nollahypoteesin hyväksymisalueeseen (merk. S 0 ) ja hylkäysalueseen (merk. S 1 ). Jos testisuureen arvo kuuluu alueeseen S 0, H 0 jää voimaan Jos testisuureen arvo kuuluu alueeseen S 1, H 0 hylätään. Määrätään hylkäysalueen raja tai rajat eli kriittinen arvo tai kriittiset arvot siten, että nollahypoteesin vallitessa testisuure kuuluu hylkäysalueelle (korkeintaan) todennäköisyydellä α.

36 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Havaintoaineiston kerääminen ja testisuureen arvon laskenta 125 Havaintoaineiston keräämiseen liittyvät otannan ja kokeiden suunnittelu, otoksen poiminta ja mittausten suorittaminen. Näitä käsittelevät tilastotieteen erikoisalueet koesuunnittelu ja otantateoria. Havainnoista eli otoksesta lasketaan valitun testisuureen arvo.

37 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Johtopäätöksen tekeminen 126 Tarkistetaan hylkäysehto vertaamalla testisuureen laskettua arvoa kriittiseen arvoon (tai arvoihin). Tilastollisena johtopäätöksenä joko "H 0 hylätään"tai "H 0 jää voimaan"(eli "H 0 hyväksytään") riskitasolla α. Muodollisesti Jos T (x 1, x 2,..., x n ) S 0, H 0 jää voimaan Jos T (x 1, x 2,..., x n ) S 1, H 0 hylätään.

38 Oletetaan, että sokerin pussituslaite on säädetty annostelemaan pussiin keskimäärin 1001 g sokeria, mutta epäillään keskiarvon kasvaneen. Laite on siinä tapauksessa säädettävä uudelleen, jotta raaka-ainekulut pysyisivät minimaalisina. Sokeripussien keskipainoksi saatiin n = 12 pussin otoksessa x = g. Painon keskihajonnan tiedetään olevan 4 g. Paino X N(µ, σ 2 ), missä σ = 4 g. Testataan hypoteeseja H 0 : µ = 1001 g H 1 : µ > 1001 g Kriittinen arvo tasolla = 0.05 saadaan N(0, 1)-jakauman taulukosta standardoidulle arvolle z = x µ 0 σ/ n missä µ 0 = 1001 on H 0 -hypoteesin väittämä arvo Hylkäysehto: Hylkää H 0, jos z > z 0.95

39 Testisuureen arvoksi saadaan z = x µ 0 σ/ n = / 12 = Kriittinen arvo tasolla α = 0.05 on z 0.95 = Johtopäätös: Koska z < z 0.95, niin H 0 jää voimaan. Keskipainon ei siis voida katsoa kasvaneen tilastollisesti merkitsevästi, vaan havaittua poikkeamaa voidaan pitää normaaliin satunnaisvaihteluun kuuluvana. Pussituslaitetta ei siis tarvitse säätää.

40 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Testisuureen P-arvo 129 P-arvo on todennäköisyys saada lasketun testisuureen suuruinen tai sitä suurempi poikkeama nollahypoteesin väittämästä arvosta, jos H 0 on tosi. P-arvo mittaa nollahypoteesin uskottavuutta: mitä pienempi testisuureen P-arvo, sitä vahvempi tuki vastahypoteesille! Jos tutkimuksen tekijä käyttää perinteistä testausta ja valitsee riskitason α etukäteen, johtopäätös tehdään seuraavasti. Tämä pätee kaikissa testeissä: Jos P < α, H 0 hylätään Jos P α, H 0 jää voimaan

41 Lasketaan P-arvo sokerin pussituslaiteen keskiarvolle. Testisuureen z = P-arvo on P = P(Z > 1.299) = 1 Φ(1.299) = Jos riskitasoksi on valittu α = 0.05, niin H 0 jää voimaan

42 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Odotusarvon testaus, varianssi tunnetaan: 131 Oletukset: X i N(µ, σ 2 ), i = 1,..., n, missä σ 2 tunnettu TAI n suuri (n 50) jolloin s 2 = σ 2. Hypoteesit: Tapaus 1: Tapaus 2: Tapaus 3: H 0 : µ = µ 0 H 0 : µ = µ 0 H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 H 1 : µ > µ 0 H 1 : µ < µ 0 Otossuure: Z = X µ 0 σ/ n Testisuureen Jakauma : Z N(0, 1), kun µ = µ 0

43 Nollahypoteesin hylkäysehto eri tapauksissa Tapaus 1: z > z 1 α/2 P( Z > z ) = 2[1 Φ( z )] Tapaus 2:z > z 1 α P(Z > z) = 1 Φ(z) Tapaus 3:z < z 1 α P(Z < z) = Φ(z)

44 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Odotusarvon testaus, varianssi tuntematon: 133 Oletukset: X i N(µ, σ 2 ), i = 1,..., n, otos pieni ja σ 2 tuntematon. Hypoteesit: Tapaus 1: Tapaus 2: Tapaus 3: H 0 : µ = µ 0 H 0 : µ = µ 0 H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 H 1 : µ > µ 0 H 1 : µ < µ 0 Otossuure: T = X µ 0 s/ n Testisuureen Jakauma : T t(n 1), kun µ = µ 0

45 Nollahypoteesin hylkäysehto eri tapauksissa Tapaus 1: t > t 1 α/2 (n 1) P = P(T > t ) = P(T > t ) + P(T < t ) Tapaus 2:t > t 1 α (n 1) P = P(T > t) Tapaus 3:t < t 1 α (n 1) P = P(T < t)

46 Generaattoreita valmistava tehdas ilmoittaa laitteen ulostulojännitteeksi 120 V. Mittaamalla saatiin 20:n suuruisesta otoksesta keskiarvoksi x = ja keskihajonnaksi s = 2.1. Voidaanko valmistajan ilmoituksen katsoa pitävän paikkaansa? Suorita kaksisuuntainen testaus riskitasolla α = Olkoon X N(µ, σ 2 ) jännitearvo H 0 : µ = 120 H 1 : µ 120 Otos : n = 20, x = 118.6, s = 2.1 Pieni otos, hajonta tuntematon testisuure T = x µ 0 s/ n t(n 1) H 0 hylätään riskitasolla α = 0.01, jos T > t 1 α/2 (n 1) = t 0,995 (19) = 2.86 Testisuureen arvo T = 118, ,1/ 20 = 2.98 Koska T > 2.86, H 0 hylätään: µ 120V

47 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Suhteellisen osuuden testaus, Suuri otos: 136 Oletukset: Hypoteesit: Kokoa n oleva otos (suuresta tai äärettömästä) perusjoukosta, jossa tutkittavan ominaisuuden/ tapahtuman suhteellinen osuus on p. Esiintymiskertojen määrä otoksessa: X Bin(n, p). Otoskoko n niin suuri, että normaalijakauma-approksimaatiota voi käyttää. Tapaus 1: Tapaus 2: Tapaus 3: H 0 : p = p 0 H 0 : p = p 0 H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 H 1 : p > p 0 H 1 : p < p 0 Otossuure: Z = ˆp p 0 p 0 (1 p 0 ) n N(0, 1) missä ˆp = x/n on tutkittavan tapahtuman suhteellinen osuus otoksessa.

48 Nollahypoteesin hylkäysehto eri tapauksissa Tapaus 1: z > z 1 α/2 P( Z > z ) = 2[1 Φ( z )] Tapaus 2:z > z 1 α P(Z > z) = 1 Φ(z) Tapaus 3:z < z 1 α P(Z < z) = Φ(z)

49 Erään aikakausilehden järjestämään yleisökilpailuun osallistuneista oli puolet lehden tilaajia. Yhteensä sadasta palkinnosta 58 meni lehden tilaajille ja vain 43 muille. Voidaanko tästä vetää johtopäätös, että arvonnasaa suosittiin lehden tilaajia vai oliko kaikilla sama mahdollisuus voittoon? X = tilaajien määrä voittajien joukossa X Bin(100, p) missä p = tilaajien osuus voitosta H 0 : p = 0, 5 H 1 : p > 0, 5 Otos : n = 100, ˆp = x/n = 58/100 = 0, 58 Testisuure ˆp P z = 0 N(0, 1), koska, n suuri ja, np (P0 0(1 P 0 ) > 9 (1 P 0 )/n z = 0,58 0,5 (0,5 0,5)/100 = 1, 60 H 0 hylätään riskillä α, jos Z > z 1 α α = 0, 05, z 1 α = z 0,95 = 1, 645 H 0 hyväksytään α = 0, 01, z 1 α = z 0,99 = 2, 33 H 0 hyväksytään

50 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Suhteellisen osuuden testaus, pieni otos: 139 Hypoteesit kuten edellä, nyt testisuureena X Bin(n, p), jonka arvo on otoksessa x. Nollahypoteesin hylkäysehto eri tapauksissa x ( ) n Tapaus 1: P(X x) = p0 k (1 p 0 ) n k < α/2 tai k P(X x) = n k=x Tapaus 2: P(X x) = Tapaus 3:P(X x) = k=0 ( ) n p0 k (1 p 0 ) n k < α/2 k n ( n k=x x k=0 k ) p k 0 (1 p 0 ) n k < α ( ) n p0 k (1 p 0 ) n k < α k

51 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Varianssitesti 140 Oletukset: X i N(µ, σ 2 ), i = 1,..., n Hypoteesit: Tapaus 1: Tapaus 2: Tapaus 3: H 0 : σ 2 = σ0 2 H 0 : σ 2 = σ0 2 H 0 : σ 2 = σ0 2 H 1 : σ 2 σ0 2 H 1 : σ 2 > σ0 2 H 1 : σ 2 < σ0 2 Otossuure: χ 2 = (n 1)s2 σ 2 0 χ 2 (n 1), kun σ = σ 0

52 Nollahypoteesin hylkäysehto eri tapauksissa Tapaus 1: χ 2 < χ 2 α/2 (n 1) tai χ 2 > χ 2 1 α/2 (n 1) Tapaus 2:χ 2 > χ 2 1 α (n 1) Tapaus 3:χ 2 < χ 2 α(n 1)

53 Tutkittiin robottikäden tarkkuutta mittaamalla sen kosketuskohdan etäisyys tarkoitetusta kosketuspisteestä. Etäisyyden otoshajonnaksi saatiin 25 mittauksesta s=0.92 mm. Testaa riskitasoa α = 0.05 käyttäen hypoteesit H 0 : σ 0.80 H 1 : σ > 0.80 Olkoon että etäisyys kosketuskohdasta X N(µ, σ 2 ) H 0 : σ 0.8 H 1 : σ > 0.8 Testisuure χ 2 = (n 1)s2 σ 2 0 Otos n=25 s=92 χ 2 = 24 0,922 0,8 2 = χ 2 (n 1) H 0 hylätään riskitasolla α = 0.05, jos χ 2 > χ 2 1 α (n 1) = χ2 0,95 (24) = Hylkäysehto ei ole voimassa H 0 jää voimaan

54 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Odotusarvojen vertailu, varianssi tunnetaan: 143 Oletukset: Hypoteesit: Otossuure: Kaksi perusjoukkoa, joissa riippumattomat otokset kokoa n 1 ja n 2 satunnaismuuttujista X 1 N(µ 1, σ1 2) ja X 2 N(µ 2, σ2 2 ). Varianssit tunnetaan tai otoskoot suuria Tapaus 1: Tapaus 2: H 0 : µ 1 µ 2 = d H 0 : µ 1 µ 2 d H 1 : µ 1 µ 2 d H 1 : µ 1 µ 2 > d Tapaus 3: H 0 : µ 1 µ 2 d H 1 : µ 1 µ 2 < d Z = x 1 x 2 d N(0, 1) kun µ σ 2 1 µ 2 = d 1 n 1 + σ2 2 n 2

55 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Odotusarvojen vertailu, varianssit tuntemattomia: 144 Oletukset: Hypoteesit: Otossuure: Kaksi perusjoukkoa, joissa riippumattomat (pienet) otokset kokoa n 1 ja n 2 satunnaismuuttujista X 1 N(µ 1, σ1 2) ja X 2 N(µ 2, σ2 2 ). Varianssit tuntemattomia, mutta yhtäsuuria σ1 2 = σ2 2 Kuten edellä T = x 1 x 2 d 1 s p + 1 t(n 1 + n 2 2) kun µ 1 µ 2 = d n 1 n 2 missä s 2 p = (n 1 1)s (n 2 1)s 2 2 n 1 + n 2 2

56 Vertailtiin kahta paperin puhkaisumittaria, jota varten poimittiin sattumanvaraisesti 40 näytettä samasta paperilaadusta ja mitattiin kummallakin mittarilla 20 näytettä. Tulokset olivat: n 1 = 20 n 2 = 20 x 1 = 58.0 m 2 x 2 = 55.6 m 2 = 4.0 m4 s = 3.8 m4 s 2 1 Tutkitaan, antavatko mittarit keskimäärin samanlaisia tuloksia: 2 2 H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 Riskitaso α = 0.05 Koska varianssit ovat tuntemattomia mutta yhtäsuuria ja otokset pieniä, käytetään t-testiä s 2 p = (n 1 1)s (n 2 1)s 2 2 n 1 + n 2 2 = = 3.9

57 t = x 1 x 2 s p 1 n n 2 = ( ) = H 0 hylätään, jos t > t 1 α/2 (n 1 + n 2 2) = t (38) 2.02 Johtopäätös: H 0 hylätään, mittareilla on systemaattista eroa.

58 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Varianssien vertailu 147 Oletukset: Hypoteesit: Kaksi perusjoukkoa, joissa riippumattomat otokset kokoa n 1 ja n 2 satunnaismuuttujista X 1 N(µ 1, σ 2 1 ) ja X 2 N(µ 2, σ 2 2 ). Tapaus 1: Tapaus 2: Tapaus 3: H 0 : σ1 2 = σ2 2 H 0 : σ1 2 = σ2 2 H 0 : σ1 2 = σ2 2 H 1 : σ1 2 σ2 2 H 1 : σ1 2 > σ2 2 H 1 : σ1 2 < σ2 2 Otossuure: F = s2 1 s 2 2 F (n 1 1, n 2 1), kun σ 2 1 = σ2 2

59 Nollahypoteesin hylkäysehto eri tapauksissa Tapaus 1: F < 1/F 1 α/2 (n 2 1, n 1 1) tai F > F 1 α/2 (n 1 1, n 2 1) Tapaus 2:F > F 1 α (n 1 1, n 2 1) Tapaus 3:F < 1/F 1 α (n 2 1, n 1 1)

60 Vertailtiin kahta paperin puhkaisumittaria, jota varten poimittiin sattumanvaraisesti 40 näytettä samasta paperilaadusta ja mitattiin kummallakin mittarilla 20 näytettä. Tulokset olivat: n 1 = 20 n 2 = 20 x 1 = 58.0 m 2 x 2 = 55.6 m 2 = 4.0 m4 s = 3.8 m4 s 2 1 Testataan menetelmien varianssien yhtäsuuruus: 2 2 H 0 : σ 2 1 = σ2 2 H 1 : σ 2 1 σ2 2 Riskitaso α = 0.05 Testisuure: F = s1 2/s2 2 F (19, 19) H 0 hylätään, jos F < F (19, 19) tai F > F (19, 19) Testisuureen arvo on F = 4.0/3.8 = 1.05 Kriittiset arvot ovat F (19, 19) = 1/F (19, 19) = 1/2.5 = 0.4 ja F (19, 19) = 2.5 H 0 jää voimaan

61 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Odotusarvojen vertailu, parittaiset havainnot: 150 Oletukset: Hypoteesit: Muuttujien X N(µ 1, σ 2 1 ) ja Y N(µ 2, σ 2 2 ) arvo. mitataan n:stä tilastoyksiköistä, riippumattomana otoksena havaintoparit (x i, y i ), i = 1,..., n. Tapaus 1: Tapaus 2: Tapaus 3: H 0 : µ 1 = µ 2 H 0 : µ 1 µ 2 H 0 : µ 1 µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 H 1 : µ 1 > µ 2 H 1 : µ 1 > µ 2 Satunnaismuuttuja D i = X i Y i N(µ D, σd 2 ), missä µ D = µ 1 µ 2. Testaus palautuu yhden otoksen odotusarvotestiin. Otossuure: T = d s d / t(n 1) n missä d on erotusten otoskeskiarvo ja s d erotusten otoshajonta.

62 Malmin rautapitoisuus määritettiin kahdeksasta malminäytteestä, kustakin kahdella eri menetelmällä. Antavatko menetelmät samanlaisia tuloksia? Men Men Ero d i Kaksisuuntainen testi, H 0 : µ 1 = µ 2, H 1 : µ 1 µ 2 Valitaan riskitasoksi α = 0.05 H 0 hylätään, jos t > t 1 α/2 (n 1) = t (7) = 2.65 Testisuureen arvo t = n = 8, d = , s 2 d = d s d / n = /8 = H 0 jää voimaan: menetelmät antavat samanlaisia tuloksia

63 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä χ 2 -yhteensopivuustesti: 152 Seuraavassa tutkitaan tilastollisesti, noudattaako satunnaismuuttuja X annettua jakaumaa, jota tässä merkitään symbolisesti γ:lla. Jakauma voi olla diskreetti tai jatkuva. Hypoteesit: H 0 : X noudattaa jakaumaa γ H 1 : X ei noudata jakaumaa γ

64 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä χ 2 -yhteensopivuustesti: 153 1) Diskreetti satunnaismuuttuja Oletetaan että satunnaismuuttujalla X on äärellinen, diskreetti jakauma ja sen mahdolliset arvot ovat x 1,..., x k todennäköisyyksin p 1,..., p k, ts. P(X = x i ) = p i, i = 1,..., k Luvut p i ovat tuntemattomia. Olkoot tunnetun jakauman γ mukaiset eri arvojen todennäköisyydet π i i = 1,..., k. Havaintoaineisto: n:n suuruinen otos satunnaismuuttujasta X, josta arvoja x i havaitaan f i kpl. Näitä kutsutaan havaituiksi frekvensseiksi ja f i = n

65 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä χ 2 -yhteensopivuustesti: 154 Testin periaate: verrataan havaittuja frekvenssejä f i jakauman γ mukaisiin odotettuihin frekvensseihin e i, jotka ovat e i = nπ i Hypoteesit: H 0 : p i = π i kaikilla i = 1,..., k H 1 : p i π i ainakin joillakin i k Testisuure: χ 2 (f i e i ) 2 =, missä e i = nπ i Jakauma: i=1 e i Kun H 0 on voimassa χ 2 χ 2 (k 1) asymptoottisesti.

66 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä χ 2 -yhteensopivuustesti: 155 Hylkäysehto: Jakaumahypoteesi H 0 hylätään riskitasolla α, jos χ 2 > χ 2 1 α (k 1) Testin käytön edelletykset: 1) havainnot riippumattomat 2) n 50 3) kaikki odotetut frekvenssit e i 2 4) korkeintaan 20% odotetuista frekvensseistä < 5 Ääretön diskreetti jakauma: Havaitut satunnaismuuttujan arvot kuuluvat aina jollekin äärelliselle välille.

67 Olkoon X tietokoneen toimintahäiriöiden lukumäärä päivässä. Tutkitaan noudattaako X Poisson-jakaumaa. Havainnot H 0 : H 1 : X noudattaa Poisson-jakaumaa X ei noudata Poisson-jakaumaa x i f i n = f i = 100 Poisson(λ)-jakauman parametri on jakauman odotusarvo λ = EX. Sen estimaatti on otoskeskiarvo k ˆλ = x = 1 n f i x i = ( )/100 = 1.5 i=1 Poisson(1.5)-jakauman mukaiset todennäköisyydet: x i π i

68 Odotetut frekvenssit e i = nπ i : x i e i Testin käytön edellytykset 3 ja 4 eivät ole voimassa, joten yhdistetään kaksi viimeistä luokkaa, jolloin saadaan frekvenssit: Testisuureen arvo χ 2 = x i f i e i ( ) (4 6.6)2 6.6 = 3.37 Koska estimoitiin l = 1 parametri ja lopullinen luokkien lukumäärä k = 5, on testisuureen jakauma χ 2 (k 1 l) = χ 2 (3) Valitaan α = 0.05 χ (3) = 7.81 H 0 jää voimaan

69 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä χ 2 -yhteensopivuustesti: 158 2) Jatkuva satunnaismuuttuja Testataan, noudattaako jatkuva satunnaismuuttuja X jakaumaa, jonka kertymä funktio olkoon F. Ennen testisuureen arvon laskemista satunnaismuuttujan arvojoukko luokitellaan eli jaetaan äärelliseksi määräksi osavälejä: E 1 = (c 0, c 1 ] E 2 = (c 1, c 2 ]. E k = (c k 1, c k ] Testisuureen laskenta suoritetaan samalla tavalla kuin diskreetissä tapauksessa.

70 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä χ 2 -riippumattomuustesti: 159 Tutkitaan ovatko kaksi luokittelutasoista satunnaismuuttujaa X ja Y välillä riippuvuutta. Riippuvuus käsitetään tässä mahdollisimman yleisesti: se voi merkitä mitä tahansa yhteyttä ominaisuuksien X ja Y välillä, ei välttämättä suoraa vuorovaikutusta tai syy-seuraussuhdetta. Havaintoaineisto annetaan kontingenssitaulukkona, joka saadaan ristiintaulukoimalla kaksi muuttujaa X ja Y.

71 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä χ 2 -riippumattomuustesti: 160 F 1 F 2... F m E 1 n 11 n n 1m r 1 E 2 n 21 n n 2m r E k n k1 n k2... n km r k c1 c 2... c m n Missä E i,..., E k ovat muuttujan X luokat ja F i,..., F m muuttujan Y luokat n ij on niiden havaintojen (x, y) lukumäärä, joilla x E i, y F j

72 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä χ 2 -riippumattomuustesti: 161 Hypoteesi: tai H 0 : X ja Y riippumattomat H 1 : X :n ja Y :n välillä on riippuvuutta H 0 : Y :n vaakarivijakaumat samanlaisia X :n eri luokissa H 1 : Y :n vaakarivijakaumissa eroa tai H0: X :n pystyrivijakaumat samanlaisia Y :n eri luokissa H1: X :n pystyrivijakaumissa eroa. k m Testisuure: χ 2 (n ij e ij ) 2 = missä e ij = r i c j n i=1 j=1 Jakauma: Kun H 0 on voimassa χ 2 χ 2 ((k 1)(m 1)) asymptoottisesti. e ij

73 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä χ 2 -riippumattomuustesti: 162 Hylkäysehto: Jakaumahypoteesi H 0 hylätään riskitasolla α, jos χ 2 > χ 2 1 α ((k 1)(m 1)) Testin käytön edelletykset: 1) havainnot riippumattomat 2) n 50 3) kaikki odotetut frekvenssit e i 2 4) korkeintaan 20% odotetuista frekvensseistä < 5

74 Tutkitaan tupakoiniin harrastamista tyttöjen ja poikien keskuudesssa, kun haastattelemalla 40 tyttöä ja 60 poikaa on saatu seuraava kontingenssitaulu: Kyllä Ei Tytöt Pojat Nollahypoteesi voidaan lausua muodossa: H 0 : tupakointi ei riipu sukupuolesta Odotetut frekvenssit e ij : Kyllä Ei Tytöt Pojat Testisuureen arvon laskeminen: χ 2 = (5 10) (35 30) (20 15) (40 45)2 45 = 5.56

75 Luokkien lukumäärät ovat k = 2, m = 2, joten testisuureen jakauma on χ 2 ((k 1)(m 1)) = χ 2 (1). Valitaan riskitasoksi α = 0.05, jolloin testin kriittinen arvo on χ 2 1 α (1) = χ (1) = 3.84 Koska laskettu arvo χ 2 = 5.56 > 3.84 = χ (1), niin H 0 hylätään.

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012

Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Otanta Otantamenetelmiä Näyte Tilastollinen päättely Otantavirhe Otanta Tavoitteena edustava otos = perusjoukko

Lisätiedot

4. Seuraavaan ristiintaulukkoon on kerätty tehtaassa valmistettujen toimivien ja ei-toimivien leikkijunien lukumäärät eri työvuoroissa:

4. Seuraavaan ristiintaulukkoon on kerätty tehtaassa valmistettujen toimivien ja ei-toimivien leikkijunien lukumäärät eri työvuoroissa: Lisätehtäviä (siis vanhoja tenttikysymyksiä) 1. Erään yrityksen satunnaisesti valittujen työntekijöiden poissaolopäivien määrät olivat vuonna 003: 5, 3, 16, 9, 0, 1, 3,, 19, 5, 19, 11,, 0, 4, 6, 1, 15,

Lisätiedot

Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu.

Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Ka6710000 TILASTOLLISEN ANALYYSIN PERUSTEET 2. VÄLIKOE 9.5.2007 / Anssi Tarkiainen Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Tehtävä 1. a) Gallupissa

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet

1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet VAASAN YLIOPISTO/KESÄYLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia A KURSSIKYSELYAINEISTO: 1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4

Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN...6 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO...7 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET...9

Lisätiedot

Matemaatikot ja tilastotieteilijät

Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Tentit: 4.11.2013 ja 2.12.2013. Loput kaksi tenttiä (vuonna 2014) ilmoitetaan myöhemmin. Tentissä on 4 tehtävää á 8 pistettä, aikaa 4 tuntia. Arvostelu 0 5.

Lisätiedot

1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet

1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet VAASAN YLIOPISTO/AVOIN YLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia 1 KURSSIKYSELYAINEISTO: 1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka

Lisätiedot

Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta?

Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta? Yhden otoksen suhteellisen osuuden testaus Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta? Hypoteesit H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 tai H 1 : p > p 0 tai H 1 : p < p 0 Suhteellinen osuus

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KURSSIN SISÄLTÖ Johdanto Mittaaminen ja aineiston hankinta Mitta-asteikot Otanta Aineiston esittäminen ja data-analyysi Havaintomatriisi Yksiulotteisen

Lisätiedot

Tilastotieteen jatkokurssi syksy 2003 Välikoe 2 11.12.2003

Tilastotieteen jatkokurssi syksy 2003 Välikoe 2 11.12.2003 Nimi Opiskelijanumero Tilastotieteen jatkokurssi syksy 2003 Välikoe 2 11.12.2003 Normaalisti jakautuneiden yhdistyksessä on useita tuhansia jäseniä. Yhdistyksen sääntöjen mukaan sääntöihin tehtävää muutosta

Lisätiedot

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa. Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.

Lisätiedot

SISÄLTÖ 1 TILASTOJEN KÄYTTÖ...7 MITÄ TILASTOTIEDE ON?

SISÄLTÖ 1 TILASTOJEN KÄYTTÖ...7 MITÄ TILASTOTIEDE ON? SISÄLTÖ 1 TILASTOJEN KÄYTTÖ...7 MITÄ TILASTOTIEDE ON?...7 TILASTO...7 TILASTOTIEDE...8 HISTORIAA...9 TILASTOTIETEEN NYKYINEN ASEMA...9 TILASTOLLISTEN MENETELMIEN ROOLIT ERI TYYPPISET AINEISTOT JA ONGELMAT...10

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyysjakaumia 8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma

Lisätiedot

Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto

Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto Tutkimusaineistomme otantoja Hyödyt Ei tarvitse tutkia kaikkia Oikein tehty otanta mahdollistaa yleistämisen

Lisätiedot

Aki Taanila TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN ALKEET

Aki Taanila TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN ALKEET Aki Taanila TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN ALKEET 21.5.2014 SISÄLLYS 0 JOHDANTO... 1 1 TILASTOLLINEN PÄÄTTELY... 2 1.1 Tiekartta... 4 2 YHTÄ MUUTTUJAA KOSKEVA PÄÄTTELY... 5 2.1 Keskiarvon luottamusväli... 5 2.2

Lisätiedot

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 ja mittaaminen >> Tilastollisten aineistojen kerääminen Mittaaminen

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4

Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 Sisällysluettelo ESIPUHE 1. PAINOKSEEN... 3 ESIPUHE 2. PAINOKSEEN... 3 SISÄLLYSLUETTELO... 4 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 6 1.1 KESKEISTEN KÄSITTEIDEN KERTAUSTA... 7 1.2 AIHEESEEN PEREHTYMINEN...

Lisätiedot

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4 Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 2. TODENNÄKÖISYYS...

Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 2. TODENNÄKÖISYYS... Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO... 9 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET... 11 TEHTÄVIÄ... 13

Lisätiedot

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus: 1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:

Lisätiedot

Tavanomaisten otostunnuslukujen, odotusarvon luottamusvälin ja Box ja Whisker -kuvion määritelmät: ks. 1. harjoitukset.

Tavanomaisten otostunnuslukujen, odotusarvon luottamusvälin ja Box ja Whisker -kuvion määritelmät: ks. 1. harjoitukset. Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahden riippumattoman otoksen t-testit,

Lisätiedot

1.1 Tilastomenetelmät luotettavan tutkimuksen perustana 1 1.1.1 Otos vs. näyte 1 1.1.2 Tilastollinen päättely ja tieteellisyyden kriteerit 2

1.1 Tilastomenetelmät luotettavan tutkimuksen perustana 1 1.1.1 Otos vs. näyte 1 1.1.2 Tilastollinen päättely ja tieteellisyyden kriteerit 2 Sisältö 1 JOHDANTO 1 1.1 Tilastomenetelmät luotettavan tutkimuksen perustana 1 1.1.1 Otos vs. näyte 1 1.1. Tilastollinen päättely ja tieteellisyyden kriteerit TEOREETTINEN JAKAUMA 3.1 Satunnaismuuttuja

Lisätiedot

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1 2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

Aineistoista. Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin

Aineistoista. Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin Aineistoista 11.2.09 IK Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin Muotoilussa kehittyneet menetelmät, lähinnä luotaimet Havainnointi:

Lisätiedot

1 TILASTOMATEMATIIKKA... 2 2 TILASTOTIETEEN PERUSKÄSITTEITÄ... 3 3 MUUTTUJAT... 6 4 FREKVENSSIJAKAUMA... 8 5 AINEISTON LUOKITTELU...

1 TILASTOMATEMATIIKKA... 2 2 TILASTOTIETEEN PERUSKÄSITTEITÄ... 3 3 MUUTTUJAT... 6 4 FREKVENSSIJAKAUMA... 8 5 AINEISTON LUOKITTELU... SISÄLLYSLUETTELO 1 TILASTOMATEMATIIKKA... 2 1.1 JOHDANTO... 2 1.2 LINKKEJÄ... 2 1.3 LÄHTEET... 2 2 TILASTOTIETEEN PERUSKÄSITTEITÄ... 3 2.1 HAVAINTOAINEISTO... 3 2.2 POPULAATIO... 3 2.3 OTOS... 3 2.4 HAVAINTOAINEISTON

Lisätiedot

b6) samaan perusjoukkoon kohdistuu samanaikaisesti useampia tutkimuksia.

b6) samaan perusjoukkoon kohdistuu samanaikaisesti useampia tutkimuksia. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I 1. välikoe 11.3.2011 (Jari Päkkilä) VALITSE VIIDESTÄ TEHTÄVÄSTÄ NELJÄ JA VASTAA VAIN NIIHIN! 1. Valitse kohdissa A-F oikea (vain yksi) vaihtoehto. Oikeasta vastauksesta

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

TESTINVALINTATEHTÄVIEN VASTAUKSET

TESTINVALINTATEHTÄVIEN VASTAUKSET TESTINVALINTATEHTÄVIEN VASTAUKSET Vastaukset on merkitty keltaisella, muuttujien mittaustasot muuttujan kuvauksen perässä ja muu osa vastauksesta kysymyksen perässä. Tehtävä 1. Talousmatematiikan kurssin

Lisätiedot

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,

Lisätiedot

Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko

Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko Raija Leppälä 29. helmikuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Jatkuvista jakaumista 2 1.1.1 Normaalijakauma 2 1.1.2 Studentin t-jakauma 3 1.2 Satunnaisotos,

Lisätiedot

Aineistokoko ja voima-analyysi

Aineistokoko ja voima-analyysi TUTKIMUSOPAS Aineistokoko ja voima-analyysi Johdanto Aineisto- eli otoskoon arviointi ja tutkimuksen voima-analyysi ovat tilastollisen tutkimuksen suunnittelussa keskeisimpiä asioita. Otoskoon arvioinnilla

Lisätiedot

1 TILASTOMENETELMIEN PERUSTEITA

1 TILASTOMENETELMIEN PERUSTEITA 1 TILASTOMENETELMIEN PERUSTEITA Insinööritieteissä suoritetaan usein erilaisia mittauksia tai kokeita, joiden tuloksena saadaan numeerisia havaintoaineistoja tutkittavasta ilmiöstä. Hyvinvointiteknologiassa

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 3 MAA Todennäköisyys ja tilastot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Todennäköisyys ja tilastot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Mitä tilastollinen analyysi on?

Mitä tilastollinen analyysi on? Mitä tilastollinen analyysi on? Tilastotiede (engl. statistics) on tieteenala, jonka kohteena ovat numeerisen tilastoaineiston keräämiseen ja muokkaamiseen, esittämiseen, tilastolliseen analyysiin ja tulosten

Lisätiedot

Kemometriasta. Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka

Kemometriasta. Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka Kemometriasta Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka Mistä puhutaan? Määritelmiä Määritys, rinnakkaismääritys Mittaustuloksen luotettavuus Kalibrointi Mittausten

Lisätiedot

1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi

1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden ja homogeenisuden testaaminen Bowmanin ja Shentonin testi, Hypoteesi, 2 -homogeenisuustesti, 2 -yhteensopivuustesti,

Lisätiedot

Ohjeita kvantitatiiviseen tutkimukseen

Ohjeita kvantitatiiviseen tutkimukseen 1 Metropolia ammattikorkeakoulu Liiketalouden yksikkö Pertti Vilpas Ohjeita kvantitatiiviseen tutkimukseen Osa 2 KVANTITATIIVISEN TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI Sisältö: 1. Frekvenssi- ja prosenttijakaumat.2

Lisätiedot

Otanta ilman takaisinpanoa

Otanta ilman takaisinpanoa Otanta ilman takaisinpanoa Populaatio, jossa N alkiota (palloa, ihmistä tms.), kahdenlaisia ( valkoinen, musta ) Poimitaan umpimähkään (= symmetrisesti) n-osajoukko eli otos Merkitään tapahtuma A k = otoksessa

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

Tilastollisten menetelmien perusteet I TILTP2 Luentorunko, lukuvuosi 2011-2012

Tilastollisten menetelmien perusteet I TILTP2 Luentorunko, lukuvuosi 2011-2012 Tilastollisten menetelmien perusteet I TILTP2 Luentorunko, lukuvuosi 2011-2012 Raija Leppälä 17. lokakuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Todennäköisyyslaskentaa 5 2.1 Satunnaisilmiö ja tapahtuma 5 2.2 Klassinen

Lisätiedot

Aki Taanila TILASTOLLINEN PÄÄTTELY

Aki Taanila TILASTOLLINEN PÄÄTTELY Aki Taanila TILASTOLLINEN PÄÄTTELY 14.4.2012 SISÄLLYS 0 JOHDANTO... 1 1 TILASTOLLINEN PÄÄTTELY... 2 2 YHTÄ MUUTTUJAA KOSKEVA PÄÄTTELY... 7 2.1 Normaalijakautuneisuuden testaaminen... 7 2.2 Keskiarvon luottamusväli...

Lisätiedot

Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin!

Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! MAA6 Kurssikoe 1.11.14 Jussi Tyni ja Juha Käkilehto Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A-OSIO: Laske kaikki

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas LUENNOT Luento Paikka Vko Päivä Pvm Klo 1 L 304 8 Pe 21.2. 08:15-10:00 2 L 304 9 To 27.2. 12:15-14:00 3 L 304 9 Pe 28.2. 08:15-10:00 4 L 304 10 Ke 5.3.

Lisätiedot

Altisteiden ja sairauksien mittaaminen. Biostatistiikan näkökulmasta EPIDEMIOLOGIAN JA BIOSTATISTIIKAN PERUSTEET. L2 kevät 2007

Altisteiden ja sairauksien mittaaminen. Biostatistiikan näkökulmasta EPIDEMIOLOGIAN JA BIOSTATISTIIKAN PERUSTEET. L2 kevät 2007 EPIDEMIOLOGIAN JA BIOSTATISTIIKAN PERUSTEET L2 kevät 2007 mittaaminen Biostatistiikan näkökulmasta Janne Pitkäniemi VTM, MSc (biometry) HY, Kansanterveystieteen laitos 1 Perusjoukon ja otoksen käsitteet

Lisätiedot

TILASTOTIETEEN PERUSTEET, kl 2011

TILASTOTIETEEN PERUSTEET, kl 2011 TILASTOTIETEEN PERUSTEET, kl 2011 Luku 3: TILASTOLLINEN KUVAILU Tässä luvussa esittelemme menetelmiä, joilla havaintomatriisin yhden sarakkeen eli yhden muuttujan havaintojen sisältämä informaatio kuvaillaan

Lisätiedot

Mittaaminen menettely (sääntö), jolla tilastoyksikköön liitetään tiettyä ominaisuutta kuvaava luku, mittaluku.

Mittaaminen menettely (sääntö), jolla tilastoyksikköön liitetään tiettyä ominaisuutta kuvaava luku, mittaluku. 1/11 4 MITTAAMINEN Mittaaminen menettely (sääntö), jolla tilastoyksikköön liitetään tiettyä ominaisuutta kuvaava luku, mittaluku. Mittausvirhettä johtuen mittarin tarkkuudesta tai häiriötekijöistä Mittarin

Lisätiedot

Aki Taanila TILASTOLLINEN PÄÄTTELY

Aki Taanila TILASTOLLINEN PÄÄTTELY Aki Taanila TILASTOLLINEN PÄÄTTELY 17.6.2010 SISÄLLYS 0 JOHDANTO... 1 1 TILASTOLLINEN PÄÄTTELY... 2 2 YHTÄ MUUTTUJAA KOSKEVA PÄÄTTELY... 7 2.1 Normaalijakautuneisuuden testaaminen... 7 2.2 Keskiarvon luottamusväli...

Lisätiedot

TILASTOMATEMATIIKKA. Keijo Ruohonen

TILASTOMATEMATIIKKA. Keijo Ruohonen TILASTOMATEMATIIKKA Keijo Ruohonen 20 Sisältö I PERUSOTOSJAKAUMAT JA DATAN KUVAUKSET. Satunnaisotanta.2 Tärkeitä otossuureita 2.3 Datan esitykset ja graafiset metodit 6.4 Otosjakaumat 6.4. Otoskeskiarvon

Lisätiedot

Kuvioita, taulukoita ja tunnuslukuja. Aki Taanila 2.2.2011

Kuvioita, taulukoita ja tunnuslukuja. Aki Taanila 2.2.2011 Kuvioita, taulukoita ja tunnuslukuja Aki Taanila 2.2.2011 1 Tilastokuviot Pylväs Piirakka Viiva Hajonta 2 Kuviossa huomioitavia asioita 1 Kuviolla tulee olla tarkoitus ja tehtävä (minkä tiedon haluat välittää

Lisätiedot

1. JOHDANTO. SIS LLYSLUETTELO sivu 1. JOHDANTO 3

1. JOHDANTO. SIS LLYSLUETTELO sivu 1. JOHDANTO 3 1 2 22.10.2001 Tilastollisten menetelmien perusteet I Syksy 2001 Opintojakson www-sivu: http://www.uta.fi/~strale/p2syksy.html Huom. 1. Luentomateriaali on tarkoitettu ko. opintojakson opiskelijoille.

Lisätiedot

Järvitesti Ympäristöteknologia T571SA 7.5.2013

Järvitesti Ympäristöteknologia T571SA 7.5.2013 Hans Laihia Mika Tuukkanen 1 LASKENNALLISET JA TILASTOLLISET MENETELMÄT Järvitesti Ympäristöteknologia T571SA 7.5.2013 Sarkola Eino JÄRVITESTI Johdanto Järvien kuntoa tutkitaan monenlaisilla eri menetelmillä.

Lisätiedot

Sisällysluettelo SISÄLLYSLUETTELO...6 LYHYT SANASTO VASTA-ALKAJILLE...7 1. JOHDATUS PARAMETRITTOMIIN MENETELMIIN...9

Sisällysluettelo SISÄLLYSLUETTELO...6 LYHYT SANASTO VASTA-ALKAJILLE...7 1. JOHDATUS PARAMETRITTOMIIN MENETELMIIN...9 Sisällysluettelo SISÄLLYSLUETTELO...6 LYHYT SANASTO VASTA-ALKAJILLE...7 1. JOHDATUS PARAMETRITTOMIIN MENETELMIIN...9 1.1 PARAMETRITTOMIEN MENETELMIEN LYHYT HISTORIA 11 1.2 PARAMETRITTOMAT MENETELMÄT IHMISTIETEISSÄ

Lisätiedot

USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI

USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI TEORIA USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI Regressiomalleilla kuvataan tilanteita, jossa suureen y arvot riippuvat joukosta ns selittäviä muuttujia x 1, x 2,..., x p oletetun funktiomuotoisen

Lisätiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien

Lisätiedot

Tehtävä 1. Hypoteesi: Liikuntaneuvonta on hyvä keino vaikuttaa terveydentilaan. Onko edellinen hypoteesi hyvä tutkimushypoteesi? Kyllä.

Tehtävä 1. Hypoteesi: Liikuntaneuvonta on hyvä keino vaikuttaa terveydentilaan. Onko edellinen hypoteesi hyvä tutkimushypoteesi? Kyllä. Tehtävä 1 Hypoteesi: Liikuntaneuvonta on hyvä keino vaikuttaa terveydentilaan. Onko edellinen hypoteesi hyvä tutkimushypoteesi? Kyllä Ei Hypoteesi ei ole hyvä tutkimushypoteesi, koska se on liian epämääräinen.

Lisätiedot

Aki Taanila VARIANSSIANALYYSI

Aki Taanila VARIANSSIANALYYSI Aki Taanila VARIANSSIANALYYSI 18.5.2007 VARIANSSIANALYYSI 1 JOHDANTO...2 VARIANSSIANALYYSI...3 Yksisuuntainen varianssianalyysi...3 Kaksisuuntainen varianssianalyysi ilman toistoja...6 Kaksisuuntainen

Lisätiedot

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Tilastolliset toiminnot

Tilastolliset toiminnot -59- Tilastolliset toiminnot 6.1 Aineiston esittäminen graafisesti Tilastollisen aineiston tallentamisvälineiksi TI-84 Plus tarjoaa erityiset listamuuttujat L1,, L6, jotka löytyvät 2nd -toimintoina vastaavilta

Lisätiedot

Logistinen regressio, separoivat hypertasot

Logistinen regressio, separoivat hypertasot Logistinen regressio, separoivat hypertasot Topi Sikanen Logistinen regressio Aineisto jakautunut K luokkaan K=2 tärkeä erikoistapaus Halutaan mallintaa luokkien vedonlyöntikertoimia (odds) havaintojen

Lisätiedot

TASAVIRTAPIIRI - VASTAUSLOMAKE

TASAVIRTAPIIRI - VASTAUSLOMAKE TASAVIRTAPIIRI - VASTAUSLOMAKE Ryhmä Tekijä 1 Pari Tekijä 2 Päiväys Assistentti Täytä mittauslomake lyijykynällä. Muista erityisesti virhearviot ja suureiden yksiköt! 4 Esitehtävät 1. Mitä tarkoitetaan

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Tutkimustehtävien tekeminen

Opetusmateriaali. Tutkimustehtävien tekeminen Opetusmateriaali Tämän opetusmateriaalin tarkoituksena on opettaa kiihtyvyyttä mallintamisen avulla. Toisena tarkoituksena on hyödyntää pikkuautoa ja lego-ukkoa fysiikkaan liittyvän ahdistuksen vähentämiseksi.

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen. Stefan Emet

Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen. Stefan Emet Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen Stefan Emet Matematiikan ja tilastotieteen lts Turun yliopisto 24 Sisältö Johdanto. Todennäköisyys..................................2 Peruskäsitteitä.................................

Lisätiedot

Ohje tutkimustiedon tulkintaan

Ohje tutkimustiedon tulkintaan Ohje tutkimustiedon tulkintaan Tilastotyöryhmä 27.3.2003 Sisällysluettelo 1 Johdanto 1 2 Tutkimustiedon tulkinta 1 3 Tutkimuksen tuoteseloste 3 4 Keskeisiä tilastokäsitteitä 4 1. JOHDANTO 2. TUTKIMUSTIEDON

Lisätiedot

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla:

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla: MAA6. Loppukoe 8.11.01 Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Matikan

Lisätiedot

J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1

J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1 J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1 Poisson-prosessi Yleistä Poisson-prosessi on eräs keskeisimmistä jonoteoriassa käytetyistä malleista. Hyvin usein asiakkaiden saapumisprosessia jonoon

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

OHJ-7600 Ihminen ja tekniikka -seminaari, 4 op Käyttäjäkokemuksen kvantitatiivinen analyysi. Luento 3

OHJ-7600 Ihminen ja tekniikka -seminaari, 4 op Käyttäjäkokemuksen kvantitatiivinen analyysi. Luento 3 OHJ-7600 Ihminen ja tekniikka -seminaari, 4 op Käyttäjäkokemuksen kvantitatiivinen analyysi Luento 3 Tutkimussuunnitelman rakenne-ehdotus Otsikko 1. Motivaatio/tausta 2. Tutkimusaihe/ -tavoitteet ja kysymykset

Lisätiedot

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta Tuloperiaate Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta ja 1. vaiheessa valinta voidaan tehdä n 1 tavalla,. vaiheessa valinta voidaan tehdä n tavalla,

Lisätiedot

Maatalouden tutkimuskeskuksen julkaisuja

Maatalouden tutkimuskeskuksen julkaisuja Maatalouden tutkimuskeskuksen julkaisuja S A RJ A Lauri Jauhiainen Virallisten lajikekokeiden tulosten laskentaperusteet lir>, Maatalouden 100 tutkimuskeskus Lauri Jauhiainen Virallisten lajikekokeiden

Lisätiedot

54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös):

54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös): Tilastollinen tietojenkäsittely / SPSS Harjoitus 5 Tarkastellaan ensin aineistoa KUNNAT. Kyseessähän on siis kokonaistutkimusaineisto, joten tilastollisia testejä ja niiden merkitsevyystarkasteluja ei

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

Mielipiteet ydinvoimasta Maaliskuu 2015. Mielipiteet ydinvoimasta maaliskuu 2015

Mielipiteet ydinvoimasta Maaliskuu 2015. Mielipiteet ydinvoimasta maaliskuu 2015 Mielipiteet ydinvoimasta 2015 Sisältö sivu 1. Aineiston rakenne 3 2. Tutkimustulokset Yleissuhtautuminen ydinvoimaan energianlähteenä 5 Ydinvoiman hyväksyminen ilmastomuutoksen torjuntakeinona 11 3. Liitteet

Lisätiedot

LATVUSMASSAN KOSTEUDEN MÄÄRITYS METSÄKULJETUKSEN YHTEYDESSÄ

LATVUSMASSAN KOSTEUDEN MÄÄRITYS METSÄKULJETUKSEN YHTEYDESSÄ LATVUSMASSAN KOSTEUDEN MÄÄRITYS METSÄKULJETUKSEN YHTEYDESSÄ Metsä- ja puuteknologia Pro gradu -tutkielman tulokset Kevät 2010 Petri Ronkainen petri.ronkainen@joensuu.fi 0505623455 Metsäntutkimuslaitos

Lisätiedot

14 Jatkuva jakauma. Käsitellään kuitenkin ennen täsmällisiä määritelmiä johdatteleva

14 Jatkuva jakauma. Käsitellään kuitenkin ennen täsmällisiä määritelmiä johdatteleva 4 Jatkuva jakauma Edellä määriteltiin diskreetiksi satunnaismuuttujaksi sellainen, joka voi saada vain (hyppäyksittäin) erillisiä arvoja. Jatkuva satunnaismuuttuja voi saada mitä hyvänsä arvoja yleensä

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeteorologia Sami Haapanala syksy 2013 Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Mittalaitteiden staattiset ominaisuudet Mittalaitteita kuvaavat tunnusluvut voidaan jakaa kahteen luokkaan Staattisiin

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

KAHDEN RYHMÄN VERTAILU

KAHDEN RYHMÄN VERTAILU 10.3.2015 KAHDEN RYHMÄN VERTAILU Jouko Miettunen Center for Life-Course and Systems Epidemiology jouko.miettunen@oulu.fi Luennon sisältö Luokitellut muuttujat Ristiintaulukko, prosentit Khiin neliötesti

Lisätiedot

Viikko 2: Ensimmäiset ennustajat Matti Kääriäinen matti.kaariainen@cs.helsinki.fi

Viikko 2: Ensimmäiset ennustajat Matti Kääriäinen matti.kaariainen@cs.helsinki.fi Viikko 2: Ensimmäiset ennustajat Matti Kääriäinen matti.kaariainen@cs.helsinki.fi Exactum C222, 5.-7.11.2008. 1 Tällä viikolla Sisältösuunnitelma: Ennustamisstrategioista Koneoppimismenetelmiä: k-nn (luokittelu

Lisätiedot

Mielipiteet ydinvoimasta

Mielipiteet ydinvoimasta Mielipiteet ydinvoimasta Maaliskuu 12 Pauli Minkkinen 22262 TUTKIMUKSEN TILAAJA Energiateollisuus ry. TUTKIMUSMENETELMÄ: Puhelinhaastattelu HAASTATTELUAJANKOHTA: 28.2.-12.3.12 HAASTATTELUJEN MÄÄRÄ: 02

Lisätiedot

A-Osio. Ei saa käyttää laskinta, maksimissaan tunti aikaa. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat:

A-Osio. Ei saa käyttää laskinta, maksimissaan tunti aikaa. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat: MAA6 Loppukoe 26..203 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! Lue ohjeet huolella! A-Osio. Ei saa

Lisätiedot

1.9 Harjoituksia. Frekvenssijakaumien harjoituksia. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat. a) Kaikki aakkoset b) Kirjaimet L, E, M, C, B, A ja i.

1.9 Harjoituksia. Frekvenssijakaumien harjoituksia. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat. a) Kaikki aakkoset b) Kirjaimet L, E, M, C, B, A ja i. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat 1.9 Harjoituksia 1.1 Ulkolämpömittari näytti eilen 10 C ja tänään 20 C. Onko tänään kaksi kertaa niin kylmä kuin eilen? Miksi tai miksi ei? 1.2 Minkä luokkien muuttujia

Lisätiedot

Kombinatorinen optimointi

Kombinatorinen optimointi Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

Ennen seuraavia tehtäviä tarkista, että KUNNAT-aineistossasi on 12 muuttujaa ja 416 tilastoyksikköä.

Ennen seuraavia tehtäviä tarkista, että KUNNAT-aineistossasi on 12 muuttujaa ja 416 tilastoyksikköä. Tilastollinen tietojenkäsittely / SPSS Harjoitus 3 Tällä harjoituskerralla tarkastellaan harjoituksissa 2 tehtyjä SPSS-havaintoaineistoja KUNNAT, kyselya ja kyselyb. Aineistoihin tutustutaan mm. erilaisten

Lisätiedot

3. a) Otetaan umpimähkään reaaliluku väliltä [0,1]. Millä todennäköisyydellä tämän luvun ensimmäinen desimaali on 2 tai toinen desimaali on 9?

3. a) Otetaan umpimähkään reaaliluku väliltä [0,1]. Millä todennäköisyydellä tämän luvun ensimmäinen desimaali on 2 tai toinen desimaali on 9? MAA6 Kurssikoe 1.10.20 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Muista että välivaiheet perustelevat ratkaisusi! Lue ohjeet tarkasti! A-osio. Ei saa käyttää

Lisätiedot