Satunnaismuuttujien mittausasteikot 93
|
|
- Saija Sami Härkönen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Havaintoainesto: otos Havaintoaineiston kuvaus Otossuureet, otostunnusluvut Otos 90 Otosta tarvitaan, kun koko perusjoukon tutkiminen on mahdotonta esim. seuraavista syistä: joukko on ääretön tai erittäin suuri kaikkia joukon alkioita ei tunneta tai voida tavoittaa tutkimus/mittaaminen on kallista tai aikaa vievää mittauksen tekeminen voi vahingoittaa tai tuhota tutkimuskohteen. varmennetaan kokeellisesti jotain ilmiötä koskevaa teoriaa
2 Havaintoainesto: otos Havaintoaineiston kuvaus Otossuureet, otostunnusluvut Otoksen poiminta 91 Otoksen poiminta voi käytännössä tarkoittaa tarkkailevaa havainnointia kokeiden suorittamista mittauksia kyselyjä, haastatteluja tiedon keräämistä valmiista tietokannoista Otokseen perustuva päättely sisältää virhemahdollisuuksia. Päätelmiin liittyvä epävarmuus on pyrittävä ilmaisemaan johtopäätösten yhteydessä (esim. virhemarginaalit).
3 Havaintoainesto: otos Havaintoaineiston kuvaus Otossuureet, otostunnusluvut Termilogia 92 Perusjoukko, populaatio (Ω) on tutkimuksen kohdejoukko, josta otos poimitaan. Satunnaisotos perusjoukosta Ω on sellainen äärellinen joukko Ω:n alkioita, johon jokaisella perusjoukon alkiolla on etukäteen yhtäsuuri valintatodennäköisyys ja valinnat ovat toisistaan riippumattomia. Otokseen valittuja alkioita a 1,..., a n kutsutaan tilastoyksiköiksi ja n on otoskoko. Otos satunnaismuuttujasta: Yhden muuttujan X arvot otoksessa muodostavat jonon satunnaismuuttujia (X 1, X 2,..., X n ), jotka ovat täydellisesti riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa. Otoksen realisaatio on sen havaittujen arvojen jono, jota merkitään pienillä kirjaimilla (x 1, x 2,..., x n ).
4 Havaintoainesto: otos Havaintoaineiston kuvaus Otossuureet, otostunnusluvut Satunnaismuuttujien mittausasteikot 93 Nominaali- eli luokitteluasteikko: luokkien välillä ei järjestystä. Ordinaali- eli järjestysasteikko: luokat voidaan asettaa järjestykseen, mutta luokkien välisiä eroja ei voida vertailla Intervalli- eli välimatka-asteikko: muuttuja-arvot voidaan asettaa järjestykseen ja arvojen erotuksilla on mielekäs tulkinta. Suhdeasteikko: kuten intervalliasteikko, mutta asteikossa absoluuttuinen nollakohta.
5 Havaintoainesto: otos Havaintoaineiston kuvaus Otossuureet, otostunnusluvut Havaintoaineiston kuvaus 94 Suuren numerojoukon sisältämää informaatiota pyritään tiivistämään olennaisen tutkittavan tiedon esille saamiseksi. Ennen varsinaisten otostunnuslukujen laskemista ja tilastollista päättelyä luokitellaan havainnot (jos ne ovat intervalli- tai suhdeasteikollisia) lasketaan luokkafrekvenssit ym. jakaumaa kuvaavia lukuja taulukoidaan piirretään jakauman pylväsdiagrammi (diskreetit muuttujat) tai histogrammi + frekvenssimonikulmio (jatkuvat muuttujat).. Näin saadaan käsitys arvojen suuruusluokasta ja levinneisyydestä sekä jakauman muodosta
6 Havaintoainesto: otos Havaintoaineiston kuvaus Otossuureet, otostunnusluvut Otossuure 95 Otossuure on otoksesta laskettu reaaliarvoinen suure. Satunnaismuuttujan T (X 1, X 2,..., X n ) jakaumaa kutsutaan T :n otantajakaumaksi. Otoskeskiarvo: x = x 1 + x x n n = 1 n Otosvarianssi: [ s 2 = 1 n n (x i x) 2 = 1 xi 2 n 1 n 1 i=1 i=1 Otoshajonta: s = s 2 n i=1 x i ] 1 n n ( x i ) 2 i=1
7 Havaintoainesto: otos Havaintoaineiston kuvaus Otossuureet, otostunnusluvut Luokiteltu aineisto 96 Otoskeskiarvo: x = 1 n k f i y i i=1 Otosvarianssi: s 2 = 1 n 1 [ n i=1 f i y 2 i ] 1 n n ( f i y i ) 2 i=1 Missä k = luokkien lukumäärä, y i =luokkavälin keskikohta, f i = luokkafrekvenssi.
8 Havaintoainesto: otos Havaintoaineiston kuvaus Otossuureet, otostunnusluvut Empirinen jakauma 97 Keskilukuja Moodi: se havaintoarvo, jolla on suurin frekvenssi (ei välttämättä yksikäsitteinen).. Mediaani: järjestetyn otoksen keskimmäinen havaintoarvo tai kahden keskimmäisen keskiarvo, kun n on parillinen Hajontalukuja Keskipoikkeama: 1 n n x i x i=1 Vaihteluväli: R = x max x min Variaatiokerroin: V = s x
9 Havaintoainesto: otos Havaintoaineiston kuvaus Otossuureet, otostunnusluvut Empirinen jakauma 98 Hajontalukuja Kvartaalipoikkeama: (Q 3 Q 1 ) n missä alakvartiili Q 1 on arvo, jota pienempiä havaintoja on 25%, yläkvartiili Q 3 on arvo, jota pienempiä havaintoja on 75% (ja suurempia 25%). Kvartiilivälille (Q 1, Q 3 ) jää puolet havainnoista. s Keskiarvon keskivirhe: n
10 Havaintoainesto: otos Havaintoaineiston kuvaus Otossuureet, otostunnusluvut Outliers: Poikkeavat havainnot 99 Eräs kriteeri poikkeavien havaintojen tunnistamiselle: Olkoon kvartiilivälin pituus (interquartile range) IQR = Q 3 Q 1. Jos x < Q IQR tai x > Q IQR niin havaintoarvoa x voidaan pitää poikkeavana havaintona.
11 Piste-estimaatit Luottamusvälit Piste-estimaatit 100 Parametrien estimointi on populaation/otosavaruuden tunnuslukujen arviointia. Parametrin θ estimaattori, merk. ˆθ tai ˆθ(X 1, X 2,..., X n ) on siis satunnaismuuttuja. Hyvä estimaattori on: Harhaton E(ˆθ) = θ Minimivarianssinen D 2 ˆθ tarkentuva lim n P( ˆθ(X 1,..., X n ) θ < ɛ) = 1 kaikilla ɛ > 0.
12 Piste-estimaatit Luottamusvälit Piste-estimaatit 101 Tavallisimpia estimaattoreita: Odotusarvo: ˆµ = X Varianssi: ˆσ 2 = s 2 Bin(n, p)-jakauman parametri: ˆp = P = X n Exp(λ)-jakauman parametri: ˆλ = 1/X Näistä kolme ensimmäistä ovat harhattomia.
13 Piste-estimaatit Luottamusvälit Luottamusvälit 102 Estimoitavan parametrin θ (1 α)100%:n luottamusväli on otoksen määräämä väli, jolle parametrin θ todellinen arvo kuuluu todennäköisyydellä 1 α Tavallisimmat tasot: α = %:n luottamusväli α = %:n luottamusväli α = %:n luottamusväli
14 Piste-estimaatit Luottamusvälit Väliestimoinnin periaate 103 Muunnetaan otossuure (estimaattori) sellaiseen muotoon, johon sisältyy estimoitava parametri θ ja jonka jakauma on riippumaton θ:sta (vrt. normeeraus): olkoon tämä T θ (X 1,..., X n ). Otossuureen T θ (X 1,..., X n ) jakaumasta voidaan määrätä rajat (fraktiilit) a ja b siten, että P(a T θ (X 1,..., X n ) b) = 1 α Ja lisäksi P(T θ (X 1,..., X n ) < a) = α 2 P(T θ (X 1,..., X n ) > b) = α 2
15 Piste-estimaatit Luottamusvälit Väliestimoinnin periaate 104 Epäyhtälöparista a T θ (X 1,..., X n ) b ratkaistaan ylä- ja alaraja parametrille θ: L(X 1,..., X n ) θ U(X 1,..., X n ) Numeeriset rajat saadaan sijoittamalla ylä- ja alarajan lausekkeeseen otoksen realisaatio (x 1,..., x n ). Jos kiinnostuksen kohteena on vain parametrin alaraja TAI yläraja, voidaan vastaavalla tavalla muodostaa toispuoleinen luottamusväli θ:lle P(T θ (X 1,..., X n ) a) = 1 α tai P(T θ (X 1,..., X n ) b) = 1 α
16 Sokeria pussitetaan kilon paketeihin, mutta keskimääräinen paino ei yleensä ole tasan 1000 g. Tutkimuksessa punnittiin 12 satunnaisesti valittua pussia. Olkoon X pussissa olevan sokerin määrä (g) ja oletaan, että X N(µ, σ 2 ), missä annostelulaitteen aiheuttaman painon hajonnan tiedetään olevan 4.0 g. Estimoidaan aineiston perusteella X :n odotusarvo ja määritetään sen 95%:n luottamusväli (α = 0.05) Havainnot (g): 1004, 998, 1005, 1001, 999, 997, 1008, 1010, 1003, 1005, 1002, 998 Piste-estimaatti: ˆµ = x = g, n = 12, σ = 4.0 g Koska X i N(µ, σ 2 ), niin X N(µ, σ 2 /n), joten 95%:n varmuudella Z = X µ σ/ n N(0, 1) z Z z 0.975
17 z X µ σ/ n z z σ/ n X µ z σ/ n X z σ/ n µ X + z σ/ n X z σ/ n µ X + z σ/ n Sijoittamalla tähän saadut arvot ja taulukosta z = 1.96, saadaan odotusarvon 95%:n luottamusväliksi / 12 µ / µ µ µ = ± 2.26
18 Piste-estimaatit Luottamusvälit Odotusarvon luottamusväli 107 Varianssi tunnetaan Oletukset: X i N(µ, σ 2 ), i = 1,..., n, missä σ 2 tunnettu TAI otoskoko n suuri (n 50), jolloin σ 2 = s 2. Piste-estimaatti: ˆµ = x Otossuure: Z = x µ σ/ N(0, 1) n Otossuuren (1 α)100%: luottamusväli: z 1 α/2 x µ σ/ n z 1 α/2 Odostusarvon (1 α)100%: luottamusväli: x z 1 α/2 σ/ n µ x + z 1 α/2 σ/ n eli µ = x ± z 1 α/2 σ/ n
19 Piste-estimaatit Luottamusvälit Odotusarvon luottamusväli 108 Varianssi tuntematon Oletukset: X i N(µ, σ 2 ), i = 1,..., n, missä otoskoko pieni ja σ 2 tuntematon. Piste-estimaatti: ˆµ = x Otossuure: T = x µ s/ t(n 1) n Otossuuren (1 α)100%: luottamusväli: t 1 α/2 (n 1) x µ s/ n t 1 α/2(n 1) Odostusarvon (1 α)100%: luottamusväli: x t 1 α/2 (n 1)s/ n µ x + t 1 α/2 (n 1)s/ n eli µ = x ± t 1 α/2 (n 1)s/ n
20 Fyysikko määritti kastepistehygrometrin avulla ilman absoluuttisen kosteuden ( g/m 3) neljä kertaa ja sai tulokset 12.8, 12.7, 12.8, Määrää kosteuden odotusarvon 95%:n luottamusväli, kun määritystulos oletetaan normaalijakautuneeksi. Oletus: Kosteusmäärityksen tulos x N ( µ, σ 2) µ = x = 1 4 ( ) = 12.8 s 2 = 1 n 1 (xi x) 2 = 1 ( ( 0.1) ) = Hajonta tuntematon: Luottamusväli perustuu otossuureeseen T = x µ s/ t (n 1) n 95%:n luottamusväli odotusarvolle on µ = x ± t 1 α/2 (n 1) s/ n Sijoitetaan estimaatit ja t 1 α/2 (n 1) = t (3) = 3.18 µ = 12.8 ± /4 = 12.8 ± 0.13
21 Piste-estimaatit Luottamusvälit Suhteellisen osuuden luottamusväli 110 Oletukset: X Bin(n, p), missä n suuri Piste-estimaatti: ˆp = x/n Otossuure: Z = ˆp p p(1 p) n N(0, 1) Otossuuren (1 α)100%: luottamusväli: z 1 α/2 ˆp p p(1 p) n z 1 α/2 Suhteellisen osuuden (1 α)100%: luottamusväli: ˆp z 1 α/2 ˆp(1 ˆp) n p ˆp + z 1 α/2 ˆp(1 ˆp) n
22 Haastateltiin 200 satunnaista henkilöä, joilta kysyttiin kantaa pyöräilykypärän käyttöpakkoon. Haastatelluista 118 kannatti kypäräpakkoa. Laske 95% luottamusväli kannatusosuudelle koko väestössä. n=200, x=118 ˆp = x n = 0, 59 kannatusosuus otoksessa n suuri ja nˆp(1 ˆp) > 9, joten voidaan käyttää normaalijakaumaa Z = N(0, 1) ˆp p ˆp(1 ˆp) n 95% luottamusväli (α = 0, 05) ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) ˆp Z 0,975 n p ˆp + Z 0,975 n ˆp(1 ˆp) p = ˆp ± Z 0,975 n Sijoitetaan p = 0, 59 ± 1, 96 = 0, 59 ± 0, 07 % eli 59 ± 7 % 0,59 0,41 200
23 Piste-estimaatit Luottamusvälit Varianssin luottamusväli 112 Oletukset: X i N(µ, σ 2 ), i = 1,..., n, missä n suuri Piste-estimaatti: ˆσ2 = s 2 Otossuure: χ 2 (n 1)s2 = σ 2 χ 2 (n 1) Otossuuren (1 α)100%: luottamusväli: χ 2 (n 1)s2 α/2 (n 1) σ 2 χ 2 1 α/2 (n 1) Varianssin (1 α)100%: luottamusväli: (n 1)s 2 χ 2 1 α/2 (n 1) σ2 (n 1)s2 (n 1) χ 2 α/2
24 Kartongin tuotannon laadunvalvonnassa saatiin neliöpainon hajonnaksi 25 mittauksen otoksessa 0, 93g/m 2. Neliöpaino noudattaa normaalijakaumaa N(µ,σ 2 ). Mitä arvoa pienempi neliöpainon hajonta σ on 95%:n varmuudella kyseisen otoksen perusteella? χ 2 = (n 1)s2 σ 2 χ 2 (n 1) P(χ 2 χ 2 α(n 1)) = 1 α P( (n 1)s2 χ 2 σ α(n 1)) = 1 α 2 P(σ 2 (n 1)s2 χ 2 (n 1)) = 1 α α (n 1)s 2 P(σ ) = 1 α χ 2 α (n 1) Hajonta on (1 α)100%:n varmuudella pienempi kuin Tehtävä Otos n=25, s=0,93, α = 0, 05, xα(n 2 1) = x0,05 2 (24) = 13, 85 95%:n varmuudella σ 24 0,93 13,85 = 1, 22 n 1s x 2 α (n 1)
25 Piste-estimaatit Luottamusvälit Odotusarvojen erotuksen luottamusväli 114 Varianssit tunnetaan Oletukset: Kaksi perusjoukko, joissa riippumattomat otokset kokoa n 1 ja n 2 satunnaismuuttujista X 1 N(µ 1, σ1 2), X 2 N(µ 2, σ2 2 ). Varianssit tunnetaan tai otoskoot suuria Estimoitava: µ 1 µ 2 Piste-estimaatti: x 1 x 2 Otossuure: Z = x 1 x 2 (µ 1 µ 2 ) N(0, 1) σ 2 1 n 1 + σ2 2 n 2 Odotusarvojen erotuksen (1 α)100%: luottamusväli: µ 1 µ 2 = x 1 x 2 ± z 1 α/2 σ 2 1 n 1 + σ2 2 n 2
26 Piste-estimaatit Luottamusvälit Odotusarvojen erotuksen luottamusväli 115 Varianssit tuntemattomia Oletukset: Kaksi perusjoukko, joissa riippumattomat (pienet) otokset kokoa n 1 ja n 2 satunnaismuuttujista X 1 N(µ 1, σ1 2), X 2 N(µ 2, σ2 2 ). Varianssit tuntemattomia, mutta yhtäsuuria σ1 2 = σ2 2 Estimoitava: µ 1 µ 2 Piste-estimaatti: x 1 x 2 Otossuure: T = x 1 x 2 (µ 1 µ 2 ) T (n 1 + n 2 2) s 1 p n n 2 missä yhdistetty otosvarianssi s 2 p = (n 1 1)s (n 2 1)s 2 2 n 1 + n 2 2
27 Piste-estimaatit Luottamusvälit Odotusarvojen erotuksen luottamusväli 116 Varianssit tuntemattomia Odotusarvojen erotuksen (1 α)100%: luottamusväli: µ 1 µ 2 = x 1 x 2 ± t 1 α/2 (n 1 + n 2 2)s p 1 n n 2
28 Vertailtiin kahden tietokoneen laskentanopeuksia, jotka voidaan olettaa normaalijakautuneiksi (varianssit yhtäsuuret). Testiohjelma ajettiin 10 kertaa molemmissa koneissa ja laskettiin suoritusaikojen keskiarvot ja hajonnat: x 1 = 5.1 x 2 = 4.8 s 1 = 1.2 s 2 = 0.9 Muodosta 95%:n luottamusväli laskenta-aikojen odotusarvojen erotukselle. Laskentanopeudet testiohjelmalle X 1 N(µ 1, σ 2 1 ), X 2 N(µ 2, σ 2 2 ) σ2 1 = σ2 2 T = x 1 x 2 (µ 1 µ 2 ) s p 1 n n 2 t(n 1 + n 2 2) 95%:n luottamusväli: T ± t (n 1 + n 2 2)
29 µ 1 µ 2 = x 1 x 2 ± t (n 1 + n 2 2)s p 1 n n 2 x 1 = 5.1 x 2 = 4.8 s 1 = 1.2 s 2 = 0.9 n 1 = 10 n 2 = 10 Yhdistetty otosvarianssi: s 2 p = (n 1 1)s 2 1 +(n 2 1)s 2 2 n 1 +n 2 2 = = t (n 1 + n 2 2) = t (18) = %:n luottamusväliksi: µ 1 µ 2 = ± ( ) }{{} µ 1 µ µ 1 µ
30 Piste-estimaatit Luottamusvälit Varianssisuhteen luottamusväli 119 Oletukset: Estimoitava: σ 2 1 /σ2 2 Kaksi perusjoukko, joissa riippumattomat otokset kokoa n 1 ja n 2 satunnaismuuttujista X 1 N(µ 1, σ 2 1 ), X 2 N(µ 2, σ 2 2 ). Otossuure: F = s2 1 /σ2 1 s2 2 F (n 1 1, n 2 1) /σ2 2 Varianssisuhteen (1 α)100%: luottamusväli: 1 F 1 α/2 (n 1 1, n 2 1) s1 2 s2 2 σ2 1 σ 2 2 F 1 α/2 (n 1 1, n 2 1) s2 1 s 2 2 Huom! 1 F 1 α/2 (n 2 1, n 1 1) = F α/2(n 1 1, n 2 1)
31 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Testauksen vaiheet Hypoteesin asettelu 2. Riskitason valinta 3. Testisuureen valinta ja hylkäysehdon määrittäminen 4. Havaintoaineiston kerääminen ja testisuureen arvon laskenta 5. Johtopäätöksen tekeminen
32 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Hypoteesin asettelu 121 Tilastollisessa testauksessa asetetaan kaksi vaihtoehtoista hypoteesia: H 0 nollahypoteesi H 1 vastahypoteesi, vaihtoehtoinen hypoteesi Hypoteesien ero: Vastahypoteesi kuvaa yleensä poikkeamaa totutusta tilanteesta, vaikutusta, eroa, muutosta. Usein se asia, jota tutkija yrittää todistaa. Nollahypoteesi kuvaa vallitsevaa tilannetta, tai väittää ettei todellista vaikutusta, eroa tai muutosta ole. Nollahypoteesi pysyy voimassa, ellei sitä vastaan saada riittäviä todisteita.
33 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Riskitason valinta 122 Perinteisessä testauksessa johtopäätös, joka perustuu havaintoaineistoon, ilmoitetaan muodossa "H 0 hylätään"tai "H 0 jää voimaan". Testauksessa voidaan tehdä väärä johtopäätös kahdella tavalla: 1. H 0 hylätään, vaikka se on tosi. 2. H 0 hyväksytään, vaikka se ei ole tosi. Riskitaso α = todennäköisyys, että H 0 hylätään, vaikka se on tosi Testin voimakkuus kuvaa testin kykyä erottaa todellinen poikkeama satunnaisvaihtelusta. Testin voimakkuus riippuu yleisesti testattavan parametrin todellisesta arvosta,
34 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Testisuuren valinta 123 Testisuure, merk. yleisesti T (X 1, X 2,..., X n ), on otossuure, jonka perusteella voidaan tehdä johtopäätös siitä, kumpi hypoteesi on uskottavampi. Testisuure perustuu yleensä testattavan parametrin harhattomaan estimaattoriin ja sen jakauma täytyy tuntea nollahypoteesin vallitessa.
35 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Hylkäysehdon määrittäminen 124 Testisuureen mahdolliset arvot jaetaan tietyin kriteerein kahteen toisensa poissulkevaan joukkoon: nollahypoteesin hyväksymisalueeseen (merk. S 0 ) ja hylkäysalueseen (merk. S 1 ). Jos testisuureen arvo kuuluu alueeseen S 0, H 0 jää voimaan Jos testisuureen arvo kuuluu alueeseen S 1, H 0 hylätään. Määrätään hylkäysalueen raja tai rajat eli kriittinen arvo tai kriittiset arvot siten, että nollahypoteesin vallitessa testisuure kuuluu hylkäysalueelle (korkeintaan) todennäköisyydellä α.
36 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Havaintoaineiston kerääminen ja testisuureen arvon laskenta 125 Havaintoaineiston keräämiseen liittyvät otannan ja kokeiden suunnittelu, otoksen poiminta ja mittausten suorittaminen. Näitä käsittelevät tilastotieteen erikoisalueet koesuunnittelu ja otantateoria. Havainnoista eli otoksesta lasketaan valitun testisuureen arvo.
37 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Johtopäätöksen tekeminen 126 Tarkistetaan hylkäysehto vertaamalla testisuureen laskettua arvoa kriittiseen arvoon (tai arvoihin). Tilastollisena johtopäätöksenä joko "H 0 hylätään"tai "H 0 jää voimaan"(eli "H 0 hyväksytään") riskitasolla α. Muodollisesti Jos T (x 1, x 2,..., x n ) S 0, H 0 jää voimaan Jos T (x 1, x 2,..., x n ) S 1, H 0 hylätään.
38 Oletetaan, että sokerin pussituslaite on säädetty annostelemaan pussiin keskimäärin 1001 g sokeria, mutta epäillään keskiarvon kasvaneen. Laite on siinä tapauksessa säädettävä uudelleen, jotta raaka-ainekulut pysyisivät minimaalisina. Sokeripussien keskipainoksi saatiin n = 12 pussin otoksessa x = g. Painon keskihajonnan tiedetään olevan 4 g. Paino X N(µ, σ 2 ), missä σ = 4 g. Testataan hypoteeseja H 0 : µ = 1001 g H 1 : µ > 1001 g Kriittinen arvo tasolla = 0.05 saadaan N(0, 1)-jakauman taulukosta standardoidulle arvolle z = x µ 0 σ/ n missä µ 0 = 1001 on H 0 -hypoteesin väittämä arvo Hylkäysehto: Hylkää H 0, jos z > z 0.95
39 Testisuureen arvoksi saadaan z = x µ 0 σ/ n = / 12 = Kriittinen arvo tasolla α = 0.05 on z 0.95 = Johtopäätös: Koska z < z 0.95, niin H 0 jää voimaan. Keskipainon ei siis voida katsoa kasvaneen tilastollisesti merkitsevästi, vaan havaittua poikkeamaa voidaan pitää normaaliin satunnaisvaihteluun kuuluvana. Pussituslaitetta ei siis tarvitse säätää.
40 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Testisuureen P-arvo 129 P-arvo on todennäköisyys saada lasketun testisuureen suuruinen tai sitä suurempi poikkeama nollahypoteesin väittämästä arvosta, jos H 0 on tosi. P-arvo mittaa nollahypoteesin uskottavuutta: mitä pienempi testisuureen P-arvo, sitä vahvempi tuki vastahypoteesille! Jos tutkimuksen tekijä käyttää perinteistä testausta ja valitsee riskitason α etukäteen, johtopäätös tehdään seuraavasti. Tämä pätee kaikissa testeissä: Jos P < α, H 0 hylätään Jos P α, H 0 jää voimaan
41 Lasketaan P-arvo sokerin pussituslaiteen keskiarvolle. Testisuureen z = P-arvo on P = P(Z > 1.299) = 1 Φ(1.299) = Jos riskitasoksi on valittu α = 0.05, niin H 0 jää voimaan
42 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Odotusarvon testaus, varianssi tunnetaan: 131 Oletukset: X i N(µ, σ 2 ), i = 1,..., n, missä σ 2 tunnettu TAI n suuri (n 50) jolloin s 2 = σ 2. Hypoteesit: Tapaus 1: Tapaus 2: Tapaus 3: H 0 : µ = µ 0 H 0 : µ = µ 0 H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 H 1 : µ > µ 0 H 1 : µ < µ 0 Otossuure: Z = X µ 0 σ/ n Testisuureen Jakauma : Z N(0, 1), kun µ = µ 0
43 Nollahypoteesin hylkäysehto eri tapauksissa Tapaus 1: z > z 1 α/2 P( Z > z ) = 2[1 Φ( z )] Tapaus 2:z > z 1 α P(Z > z) = 1 Φ(z) Tapaus 3:z < z 1 α P(Z < z) = Φ(z)
44 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Odotusarvon testaus, varianssi tuntematon: 133 Oletukset: X i N(µ, σ 2 ), i = 1,..., n, otos pieni ja σ 2 tuntematon. Hypoteesit: Tapaus 1: Tapaus 2: Tapaus 3: H 0 : µ = µ 0 H 0 : µ = µ 0 H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 H 1 : µ > µ 0 H 1 : µ < µ 0 Otossuure: T = X µ 0 s/ n Testisuureen Jakauma : T t(n 1), kun µ = µ 0
45 Nollahypoteesin hylkäysehto eri tapauksissa Tapaus 1: t > t 1 α/2 (n 1) P = P(T > t ) = P(T > t ) + P(T < t ) Tapaus 2:t > t 1 α (n 1) P = P(T > t) Tapaus 3:t < t 1 α (n 1) P = P(T < t)
46 Generaattoreita valmistava tehdas ilmoittaa laitteen ulostulojännitteeksi 120 V. Mittaamalla saatiin 20:n suuruisesta otoksesta keskiarvoksi x = ja keskihajonnaksi s = 2.1. Voidaanko valmistajan ilmoituksen katsoa pitävän paikkaansa? Suorita kaksisuuntainen testaus riskitasolla α = Olkoon X N(µ, σ 2 ) jännitearvo H 0 : µ = 120 H 1 : µ 120 Otos : n = 20, x = 118.6, s = 2.1 Pieni otos, hajonta tuntematon testisuure T = x µ 0 s/ n t(n 1) H 0 hylätään riskitasolla α = 0.01, jos T > t 1 α/2 (n 1) = t 0,995 (19) = 2.86 Testisuureen arvo T = 118, ,1/ 20 = 2.98 Koska T > 2.86, H 0 hylätään: µ 120V
47 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Suhteellisen osuuden testaus, Suuri otos: 136 Oletukset: Hypoteesit: Kokoa n oleva otos (suuresta tai äärettömästä) perusjoukosta, jossa tutkittavan ominaisuuden/ tapahtuman suhteellinen osuus on p. Esiintymiskertojen määrä otoksessa: X Bin(n, p). Otoskoko n niin suuri, että normaalijakauma-approksimaatiota voi käyttää. Tapaus 1: Tapaus 2: Tapaus 3: H 0 : p = p 0 H 0 : p = p 0 H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 H 1 : p > p 0 H 1 : p < p 0 Otossuure: Z = ˆp p 0 p 0 (1 p 0 ) n N(0, 1) missä ˆp = x/n on tutkittavan tapahtuman suhteellinen osuus otoksessa.
48 Nollahypoteesin hylkäysehto eri tapauksissa Tapaus 1: z > z 1 α/2 P( Z > z ) = 2[1 Φ( z )] Tapaus 2:z > z 1 α P(Z > z) = 1 Φ(z) Tapaus 3:z < z 1 α P(Z < z) = Φ(z)
49 Erään aikakausilehden järjestämään yleisökilpailuun osallistuneista oli puolet lehden tilaajia. Yhteensä sadasta palkinnosta 58 meni lehden tilaajille ja vain 43 muille. Voidaanko tästä vetää johtopäätös, että arvonnasaa suosittiin lehden tilaajia vai oliko kaikilla sama mahdollisuus voittoon? X = tilaajien määrä voittajien joukossa X Bin(100, p) missä p = tilaajien osuus voitosta H 0 : p = 0, 5 H 1 : p > 0, 5 Otos : n = 100, ˆp = x/n = 58/100 = 0, 58 Testisuure ˆp P z = 0 N(0, 1), koska, n suuri ja, np (P0 0(1 P 0 ) > 9 (1 P 0 )/n z = 0,58 0,5 (0,5 0,5)/100 = 1, 60 H 0 hylätään riskillä α, jos Z > z 1 α α = 0, 05, z 1 α = z 0,95 = 1, 645 H 0 hyväksytään α = 0, 01, z 1 α = z 0,99 = 2, 33 H 0 hyväksytään
50 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Suhteellisen osuuden testaus, pieni otos: 139 Hypoteesit kuten edellä, nyt testisuureena X Bin(n, p), jonka arvo on otoksessa x. Nollahypoteesin hylkäysehto eri tapauksissa x ( ) n Tapaus 1: P(X x) = p0 k (1 p 0 ) n k < α/2 tai k P(X x) = n k=x Tapaus 2: P(X x) = Tapaus 3:P(X x) = k=0 ( ) n p0 k (1 p 0 ) n k < α/2 k n ( n k=x x k=0 k ) p k 0 (1 p 0 ) n k < α ( ) n p0 k (1 p 0 ) n k < α k
51 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Varianssitesti 140 Oletukset: X i N(µ, σ 2 ), i = 1,..., n Hypoteesit: Tapaus 1: Tapaus 2: Tapaus 3: H 0 : σ 2 = σ0 2 H 0 : σ 2 = σ0 2 H 0 : σ 2 = σ0 2 H 1 : σ 2 σ0 2 H 1 : σ 2 > σ0 2 H 1 : σ 2 < σ0 2 Otossuure: χ 2 = (n 1)s2 σ 2 0 χ 2 (n 1), kun σ = σ 0
52 Nollahypoteesin hylkäysehto eri tapauksissa Tapaus 1: χ 2 < χ 2 α/2 (n 1) tai χ 2 > χ 2 1 α/2 (n 1) Tapaus 2:χ 2 > χ 2 1 α (n 1) Tapaus 3:χ 2 < χ 2 α(n 1)
53 Tutkittiin robottikäden tarkkuutta mittaamalla sen kosketuskohdan etäisyys tarkoitetusta kosketuspisteestä. Etäisyyden otoshajonnaksi saatiin 25 mittauksesta s=0.92 mm. Testaa riskitasoa α = 0.05 käyttäen hypoteesit H 0 : σ 0.80 H 1 : σ > 0.80 Olkoon että etäisyys kosketuskohdasta X N(µ, σ 2 ) H 0 : σ 0.8 H 1 : σ > 0.8 Testisuure χ 2 = (n 1)s2 σ 2 0 Otos n=25 s=92 χ 2 = 24 0,922 0,8 2 = χ 2 (n 1) H 0 hylätään riskitasolla α = 0.05, jos χ 2 > χ 2 1 α (n 1) = χ2 0,95 (24) = Hylkäysehto ei ole voimassa H 0 jää voimaan
54 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Odotusarvojen vertailu, varianssi tunnetaan: 143 Oletukset: Hypoteesit: Otossuure: Kaksi perusjoukkoa, joissa riippumattomat otokset kokoa n 1 ja n 2 satunnaismuuttujista X 1 N(µ 1, σ1 2) ja X 2 N(µ 2, σ2 2 ). Varianssit tunnetaan tai otoskoot suuria Tapaus 1: Tapaus 2: H 0 : µ 1 µ 2 = d H 0 : µ 1 µ 2 d H 1 : µ 1 µ 2 d H 1 : µ 1 µ 2 > d Tapaus 3: H 0 : µ 1 µ 2 d H 1 : µ 1 µ 2 < d Z = x 1 x 2 d N(0, 1) kun µ σ 2 1 µ 2 = d 1 n 1 + σ2 2 n 2
55 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Odotusarvojen vertailu, varianssit tuntemattomia: 144 Oletukset: Hypoteesit: Otossuure: Kaksi perusjoukkoa, joissa riippumattomat (pienet) otokset kokoa n 1 ja n 2 satunnaismuuttujista X 1 N(µ 1, σ1 2) ja X 2 N(µ 2, σ2 2 ). Varianssit tuntemattomia, mutta yhtäsuuria σ1 2 = σ2 2 Kuten edellä T = x 1 x 2 d 1 s p + 1 t(n 1 + n 2 2) kun µ 1 µ 2 = d n 1 n 2 missä s 2 p = (n 1 1)s (n 2 1)s 2 2 n 1 + n 2 2
56 Vertailtiin kahta paperin puhkaisumittaria, jota varten poimittiin sattumanvaraisesti 40 näytettä samasta paperilaadusta ja mitattiin kummallakin mittarilla 20 näytettä. Tulokset olivat: n 1 = 20 n 2 = 20 x 1 = 58.0 m 2 x 2 = 55.6 m 2 = 4.0 m4 s = 3.8 m4 s 2 1 Tutkitaan, antavatko mittarit keskimäärin samanlaisia tuloksia: 2 2 H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 Riskitaso α = 0.05 Koska varianssit ovat tuntemattomia mutta yhtäsuuria ja otokset pieniä, käytetään t-testiä s 2 p = (n 1 1)s (n 2 1)s 2 2 n 1 + n 2 2 = = 3.9
57 t = x 1 x 2 s p 1 n n 2 = ( ) = H 0 hylätään, jos t > t 1 α/2 (n 1 + n 2 2) = t (38) 2.02 Johtopäätös: H 0 hylätään, mittareilla on systemaattista eroa.
58 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Varianssien vertailu 147 Oletukset: Hypoteesit: Kaksi perusjoukkoa, joissa riippumattomat otokset kokoa n 1 ja n 2 satunnaismuuttujista X 1 N(µ 1, σ 2 1 ) ja X 2 N(µ 2, σ 2 2 ). Tapaus 1: Tapaus 2: Tapaus 3: H 0 : σ1 2 = σ2 2 H 0 : σ1 2 = σ2 2 H 0 : σ1 2 = σ2 2 H 1 : σ1 2 σ2 2 H 1 : σ1 2 > σ2 2 H 1 : σ1 2 < σ2 2 Otossuure: F = s2 1 s 2 2 F (n 1 1, n 2 1), kun σ 2 1 = σ2 2
59 Nollahypoteesin hylkäysehto eri tapauksissa Tapaus 1: F < 1/F 1 α/2 (n 2 1, n 1 1) tai F > F 1 α/2 (n 1 1, n 2 1) Tapaus 2:F > F 1 α (n 1 1, n 2 1) Tapaus 3:F < 1/F 1 α (n 2 1, n 1 1)
60 Vertailtiin kahta paperin puhkaisumittaria, jota varten poimittiin sattumanvaraisesti 40 näytettä samasta paperilaadusta ja mitattiin kummallakin mittarilla 20 näytettä. Tulokset olivat: n 1 = 20 n 2 = 20 x 1 = 58.0 m 2 x 2 = 55.6 m 2 = 4.0 m4 s = 3.8 m4 s 2 1 Testataan menetelmien varianssien yhtäsuuruus: 2 2 H 0 : σ 2 1 = σ2 2 H 1 : σ 2 1 σ2 2 Riskitaso α = 0.05 Testisuure: F = s1 2/s2 2 F (19, 19) H 0 hylätään, jos F < F (19, 19) tai F > F (19, 19) Testisuureen arvo on F = 4.0/3.8 = 1.05 Kriittiset arvot ovat F (19, 19) = 1/F (19, 19) = 1/2.5 = 0.4 ja F (19, 19) = 2.5 H 0 jää voimaan
61 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä Odotusarvojen vertailu, parittaiset havainnot: 150 Oletukset: Hypoteesit: Muuttujien X N(µ 1, σ 2 1 ) ja Y N(µ 2, σ 2 2 ) arvo. mitataan n:stä tilastoyksiköistä, riippumattomana otoksena havaintoparit (x i, y i ), i = 1,..., n. Tapaus 1: Tapaus 2: Tapaus 3: H 0 : µ 1 = µ 2 H 0 : µ 1 µ 2 H 0 : µ 1 µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 H 1 : µ 1 > µ 2 H 1 : µ 1 > µ 2 Satunnaismuuttuja D i = X i Y i N(µ D, σd 2 ), missä µ D = µ 1 µ 2. Testaus palautuu yhden otoksen odotusarvotestiin. Otossuure: T = d s d / t(n 1) n missä d on erotusten otoskeskiarvo ja s d erotusten otoshajonta.
62 Malmin rautapitoisuus määritettiin kahdeksasta malminäytteestä, kustakin kahdella eri menetelmällä. Antavatko menetelmät samanlaisia tuloksia? Men Men Ero d i Kaksisuuntainen testi, H 0 : µ 1 = µ 2, H 1 : µ 1 µ 2 Valitaan riskitasoksi α = 0.05 H 0 hylätään, jos t > t 1 α/2 (n 1) = t (7) = 2.65 Testisuureen arvo t = n = 8, d = , s 2 d = d s d / n = /8 = H 0 jää voimaan: menetelmät antavat samanlaisia tuloksia
63 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä χ 2 -yhteensopivuustesti: 152 Seuraavassa tutkitaan tilastollisesti, noudattaako satunnaismuuttuja X annettua jakaumaa, jota tässä merkitään symbolisesti γ:lla. Jakauma voi olla diskreetti tai jatkuva. Hypoteesit: H 0 : X noudattaa jakaumaa γ H 1 : X ei noudata jakaumaa γ
64 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä χ 2 -yhteensopivuustesti: 153 1) Diskreetti satunnaismuuttuja Oletetaan että satunnaismuuttujalla X on äärellinen, diskreetti jakauma ja sen mahdolliset arvot ovat x 1,..., x k todennäköisyyksin p 1,..., p k, ts. P(X = x i ) = p i, i = 1,..., k Luvut p i ovat tuntemattomia. Olkoot tunnetun jakauman γ mukaiset eri arvojen todennäköisyydet π i i = 1,..., k. Havaintoaineisto: n:n suuruinen otos satunnaismuuttujasta X, josta arvoja x i havaitaan f i kpl. Näitä kutsutaan havaituiksi frekvensseiksi ja f i = n
65 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä χ 2 -yhteensopivuustesti: 154 Testin periaate: verrataan havaittuja frekvenssejä f i jakauman γ mukaisiin odotettuihin frekvensseihin e i, jotka ovat e i = nπ i Hypoteesit: H 0 : p i = π i kaikilla i = 1,..., k H 1 : p i π i ainakin joillakin i k Testisuure: χ 2 (f i e i ) 2 =, missä e i = nπ i Jakauma: i=1 e i Kun H 0 on voimassa χ 2 χ 2 (k 1) asymptoottisesti.
66 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä χ 2 -yhteensopivuustesti: 155 Hylkäysehto: Jakaumahypoteesi H 0 hylätään riskitasolla α, jos χ 2 > χ 2 1 α (k 1) Testin käytön edelletykset: 1) havainnot riippumattomat 2) n 50 3) kaikki odotetut frekvenssit e i 2 4) korkeintaan 20% odotetuista frekvensseistä < 5 Ääretön diskreetti jakauma: Havaitut satunnaismuuttujan arvot kuuluvat aina jollekin äärelliselle välille.
67 Olkoon X tietokoneen toimintahäiriöiden lukumäärä päivässä. Tutkitaan noudattaako X Poisson-jakaumaa. Havainnot H 0 : H 1 : X noudattaa Poisson-jakaumaa X ei noudata Poisson-jakaumaa x i f i n = f i = 100 Poisson(λ)-jakauman parametri on jakauman odotusarvo λ = EX. Sen estimaatti on otoskeskiarvo k ˆλ = x = 1 n f i x i = ( )/100 = 1.5 i=1 Poisson(1.5)-jakauman mukaiset todennäköisyydet: x i π i
68 Odotetut frekvenssit e i = nπ i : x i e i Testin käytön edellytykset 3 ja 4 eivät ole voimassa, joten yhdistetään kaksi viimeistä luokkaa, jolloin saadaan frekvenssit: Testisuureen arvo χ 2 = x i f i e i ( ) (4 6.6)2 6.6 = 3.37 Koska estimoitiin l = 1 parametri ja lopullinen luokkien lukumäärä k = 5, on testisuureen jakauma χ 2 (k 1 l) = χ 2 (3) Valitaan α = 0.05 χ (3) = 7.81 H 0 jää voimaan
69 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä χ 2 -yhteensopivuustesti: 158 2) Jatkuva satunnaismuuttuja Testataan, noudattaako jatkuva satunnaismuuttuja X jakaumaa, jonka kertymä funktio olkoon F. Ennen testisuureen arvon laskemista satunnaismuuttujan arvojoukko luokitellaan eli jaetaan äärelliseksi määräksi osavälejä: E 1 = (c 0, c 1 ] E 2 = (c 1, c 2 ]. E k = (c k 1, c k ] Testisuureen laskenta suoritetaan samalla tavalla kuin diskreetissä tapauksessa.
70 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä χ 2 -riippumattomuustesti: 159 Tutkitaan ovatko kaksi luokittelutasoista satunnaismuuttujaa X ja Y välillä riippuvuutta. Riippuvuus käsitetään tässä mahdollisimman yleisesti: se voi merkitä mitä tahansa yhteyttä ominaisuuksien X ja Y välillä, ei välttämättä suoraa vuorovaikutusta tai syy-seuraussuhdetta. Havaintoaineisto annetaan kontingenssitaulukkona, joka saadaan ristiintaulukoimalla kaksi muuttujaa X ja Y.
71 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä χ 2 -riippumattomuustesti: 160 F 1 F 2... F m E 1 n 11 n n 1m r 1 E 2 n 21 n n 2m r E k n k1 n k2... n km r k c1 c 2... c m n Missä E i,..., E k ovat muuttujan X luokat ja F i,..., F m muuttujan Y luokat n ij on niiden havaintojen (x, y) lukumäärä, joilla x E i, y F j
72 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä χ 2 -riippumattomuustesti: 161 Hypoteesi: tai H 0 : X ja Y riippumattomat H 1 : X :n ja Y :n välillä on riippuvuutta H 0 : Y :n vaakarivijakaumat samanlaisia X :n eri luokissa H 1 : Y :n vaakarivijakaumissa eroa tai H0: X :n pystyrivijakaumat samanlaisia Y :n eri luokissa H1: X :n pystyrivijakaumissa eroa. k m Testisuure: χ 2 (n ij e ij ) 2 = missä e ij = r i c j n i=1 j=1 Jakauma: Kun H 0 on voimassa χ 2 χ 2 ((k 1)(m 1)) asymptoottisesti. e ij
73 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä χ 2 -riippumattomuustesti: 162 Hylkäysehto: Jakaumahypoteesi H 0 hylätään riskitasolla α, jos χ 2 > χ 2 1 α ((k 1)(m 1)) Testin käytön edelletykset: 1) havainnot riippumattomat 2) n 50 3) kaikki odotetut frekvenssit e i 2 4) korkeintaan 20% odotetuista frekvensseistä < 5
74 Tutkitaan tupakoiniin harrastamista tyttöjen ja poikien keskuudesssa, kun haastattelemalla 40 tyttöä ja 60 poikaa on saatu seuraava kontingenssitaulu: Kyllä Ei Tytöt Pojat Nollahypoteesi voidaan lausua muodossa: H 0 : tupakointi ei riipu sukupuolesta Odotetut frekvenssit e ij : Kyllä Ei Tytöt Pojat Testisuureen arvon laskeminen: χ 2 = (5 10) (35 30) (20 15) (40 45)2 45 = 5.56
75 Luokkien lukumäärät ovat k = 2, m = 2, joten testisuureen jakauma on χ 2 ((k 1)(m 1)) = χ 2 (1). Valitaan riskitasoksi α = 0.05, jolloin testin kriittinen arvo on χ 2 1 α (1) = χ (1) = 3.84 Koska laskettu arvo χ 2 = 5.56 > 3.84 = χ (1), niin H 0 hylätään.
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
Lisätiedot806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.
806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotMTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Hypoteesin testauksesta Tilastollisessa testauksessa on kyse havainnoista tapahtuvasta päätöksenteosta. Kokeellisen tutkimuksen
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotTutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)
1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotEstimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio
17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
LisätiedotTilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo
Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Lisätiedot/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:
4.10.2016/1 MTTTP1, luento 4.10.2016 7.4 Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 4.10.2016/2
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
5.3.2018/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 5.3.2018, osa 1 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen vertaaminen
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
LisätiedotHypoteesin testaus Alkeet
Hypoteesin testaus Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Johdanto Kokeellinen tutkimus: Varmennetaan teoreettista olettamusta fysikaalisen systeemin käyttäytymisestä
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotParametrin estimointi ja bootstrap-otanta
Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta 1/27 Kevät 2003 Käytännön asioista
LisätiedotTeema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit
Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
Lisätiedotedellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾
ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos
Lisätiedotpisteet Frekvenssi frekvenssi Yhteensä
806118P JOHDATUS TILASTOTIETEESEEN Loppukoe 15.3.2018 (Jari Päkkilä) 1. Kevään -17 Johdaus tilastotieteeseen -kurssin opiskelijoiden harjoitusaktiivisuudesta saatujen pisteiden frekvenssijakauma: Harjoitus-
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 11 (vko 48/003) (Aihe: Tilastollisia testejä, Laininen luvut 4.9, 15.1-15.4, 15.7) Nordlund 1. Kemiallisen prosessin
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
Lisätiedot/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (kertausta) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:
2.10.2018/1 MTTTP1, luento 2.10.2018 7.4 Normaalijakauma (kertausta) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 2.10.2018/2
LisätiedotOtoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654
1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää
Lisätiedothttps://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
1 MTTTP3 Tilastollisen päättelyn perusteet 2 Luennot 8.1.2015 ja 13.1.2015 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
LisätiedotPOPULAATIO. Oikeastaan arvot, joista ollaan kiinnostuneita (mitatut numeeriset suureet, luokittelut).
KÄSITTEITÄ POPULAATIO Joukko, jota tutkitaan (äärellinen, ääretön). Oikeastaan arvot, joista ollaan kiinnostuneita (mitatut numeeriset suureet, luokittelut). Näiden välillä ei aina tehdä eroa, kun puhutaan
Lisätiedot9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut
9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t
LisätiedotHAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT
HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT F: E: Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies (1) 59 28 4 91 Nainen (2) 5 14 174 193 Yhteensä 64 42 178 284 Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
Lisätiedot10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut
10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset
Lisätiedot¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.
10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn
LisätiedotLisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo?
MTTTP5, kevät 2016 15.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen 1. Valitaan 25 alkion satunnaisotos jakaumasta N(µ, 25). Olkoon H 0 : µ = 12. Hylätään H 0, jos otoskeskiarvo
Lisätiedotriippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa.
12.11.2015/1 MTTTP5, luento 12.11.2015 Luku 4 Satunnaisotos, otossuure ja otosjakauma 4.1. Satunnaisotos X 1, X 2,, X n on satunnaisotos, jos X i :t ovat riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa. Sanonta
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 11. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 11. lokakuuta 2007 1 / 15 1 Johdantoa tilastotieteeseen Peruskäsitteitä Tilastollisen kuvailun ja päättelyn menetelmiä
Lisätiedot/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla
17.11.2016/1 MTTTP5, luento 17.11.2016 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla likimain Jos X ~ Bin(n, p), niin X ~ N(np, np(1 p)), kun n suuri. 17.11.2016/2
LisätiedotValitaan testisuure, jonka jakauma tunnetaan H 0 :n ollessa tosi.
9.10.2018/1 MTTTP1, luento 9.10.2018 KERTAUSTA TESTAUKSESTA, p-arvo Asetetaan H 0 H 1 Valitaan testisuure, jonka jakauma tunnetaan H 0 :n ollessa tosi. Lasketaan otoksesta testisuureelle arvo. 9.10.2018/2
Lisätiedot7.4 Normaalijakauma (kertausta ja täydennystä) Taulukosta P(Z 1,6449) = 0,05, P(Z -1,6449) = 0,05 P(Z 1,96) = 0,025, P(Z -1,96) = 0,025
26.3.2019/1 MTTTP1, luento 26.3.2019 7.4 Normaalijakauma (kertausta ja täydennystä) Z ~ N(0, 1), tiheysfunktion kuvaaja 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Taulukosta P(Z 1,6449) = 0,05, P(Z -1,6449) = 0,05 P(Z 1,96)
LisätiedotLuottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.
5.10.2017/1 MTTTP1, luento 5.10.2017 KERTAUSTA Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla todennäköisyydellä,
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
LisätiedotLuottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.
6.10.2015/1 MTTTP1, luento 6.10.2015 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
LisätiedotJos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan
17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 5
MS-A Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Tilastollinen testaus Tilastollisten testaaminen Tilastollisen tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta on esitetty jokin väite tai
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Bayesläiset piste- ja väliestimaatit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotOtoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden
1 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luento 30.9.2014 Olkoon satunnaisotos X 1, X 2,, X n normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ), tällöin ~ N(µ, σ 2 /n), kaava (6). Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Tilastollinen aineisto Tilastolliset menetelmät ovat eräs keino tutkia numeerista havaintoaineistoa todennäköisyyslaskentaa
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
Lisätiedot11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut
11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa
Lisätiedot3. a) Mitkä ovat tilastolliset mitta-asteikot? b) Millä tavalla nominaaliasteikollisen muuttujan jakauman voi esittää?
Seuraavassa muutamia lisätehtäviä 1. Erään yrityksen satunnaisesti valittujen työntekijöiden poissaolopäivien määrät olivat vuonna 003: 5, 3, 16, 9, 0, 1, 3,, 19, 5, 19, 11,, 0, 4, 6, 1, 15, 4, 0,, 4,
Lisätiedot1. Tilastollinen malli??
1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas TEOREETTISISTA JAKAUMISTA Usein johtopäätösten teko helpottuu huomattavasti, jos tarkasteltavan muuttujan perusjoukon jakauma noudattaa
LisätiedotTutkimustiedonhallinnan peruskurssi
Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,
LisätiedotLuottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.
6.10.2016/1 MTTTP1, luento 6.10.2016 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla
LisätiedotTilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä
Lisätiedotχ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 1: Johdanto. Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä ja malleja, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan
Lisätiedotr = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.
A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät
LisätiedotMTTTP5, luento Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta)
MTTTP5, luento 7.12.2017 7.12.2017/1 6.1.3 Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta) y = lepopulssi x = sukupuoli y = musikaalisuus x = sukupuoli
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotKynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto
Kynä-paperi -harjoitukset Taina Lehtinen 43 Loput ratkaisut harjoitustehtäviin 44 Stressitestin = 40 s = 8 Kalle = 34 pistettä Ville = 5 pistettä Z Kalle 34 8 40 0.75 Z Ville 5 8 40 1.5 Kalle sijoittuu
LisätiedotJos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
LisätiedotEstimointi. Luottamusvälin laskeminen keskiarvolle α/2 α/2 0.1
Estimointi - tehdään päätelmiä perusjoukon ominaisuuksista (keskiarvo, riskisuhde jne.) otoksen perusteella - mitä suurempi otos, sitä tarkemmat estimaatit Otokseen perustuen määritellään otantajakaumalta
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet. Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi Diskreetit muuttujat,
LisätiedotLuottamusvälit. Normaalijakauma johnkin kohtaan
Luottamusvälit Normaalijakauma johnkin kohtaan Perusjoukko ja otanta Jos halutaan tutkia esimerkiksi Suomessa elävien naarashirvien painoa, se voidaan (periaatteessa) tehdä kahdella tavalla: 1. tutkimalla
Lisätiedotc) A = pariton, B = ainakin 4. Nyt = silmäluku on5 Koska esim. P( P(A) P(B) =, eivät tapahtumat A ja B ole riippumattomia.
Tehtävien ratkaisuja 4. Palloja yhteensä 60 kpl. a) P(molemmat vihreitä) = P((1. pallo vihreä) ja (. pallo vihreä)) = P(1. pallo vihreä) P(. pallo vihreä 1. pallo vihreä) = 0.05 (yleinen kertolaskusääntö)
Lisätiedot/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla
16.11.2017/1 MTTTP5, luento 16.11.2017 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla ~,, ~,,. 16.11.2017/2 Esim. Tutkittiin uuden menetelmän käyttökelpoisuutta
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
Lisätiedot