Kappale 23: Tehtäviä 383

Transkriptio

1 Kappale 23: Tehtäviä 23 Seiväs-nurkka-ongelman analyysia Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan johtaminen Matriisin tutkiminen Yhtälö cos(x) = sin(x) Suuntaissärmiön vaipan minimipinta-alan etsiminen Opetusohjelman ajaminen Teksti-editorilla Rationaalifunktion hajottaminen Tilastojen tutkiminen: Tiedon suodattaminen luokittain CBL-ohjelma TI-89 / TI-92 Plus:lle Pesäpallon lentorata Kolmannen asteen polynomin kompleksinollakohdat Annuiteetti Rahan aika-arvo Rationaali-, reaali ja kompleksitekijät Simulaatio: Otanta ilman takaisinpanoa Tässä luvussa esitellään TI-89 / TI-92 Plus -laskinten toimintoja, joilla voidaan ratkaista, analysoida ja visualisoida todellisia matemaattisia ongelmia. Kappale 23: Tehtäviä 383

2 Seiväs-nurkka-ongelman analyysia Kymmenen metri levyinen käytävä ja viiden metri levyinen käytävä kohtaavat toisensa rakennuksen nurkassa. Määritä, kuinka pitkän seipään voi kuljettaa käytävästä toiseen. Seivästä ei saa kallistaa. Seipään suurin mahdollinen pituus käytävässä Seipään c maksimipituus on lyhin jana, joka koskee sisänurkkaa ja vastakkaisia seiniä alla olevan kaavion mukaisesti. Vihje: Käytä yhdenmuotoisuutta ja Pythagoraan teoreemaa ja määritä c:n pituus w:n suhteen. Määritä sitten c(w):n ensimmäisen derivaatan nollakohdat. c(w):n minimiarvo on seipään maksimipituus. w a 10 c a = w+5 b = 10a w 5 b Vihje: Määritä funktiot monimerkkisillä nimillä. 1. Määritä (Define) lauseke sivulle a muuttujan w suhteen ja tallenna se muodossa a(w). 2. Määritä lauseke sivulle b muuttujan w suhteen ja tallenna se muodossa b(w). 3. Määritä lauseke sivulle c muuttujan w suhteen ja tallenna se muodossa c(w) Syötä: Define c(w)= (a(w)^2+b(w)^2) Huom! Seipään maksimipituus on c(w):n minimiarvo. 4. Laske zeros()-funktion avulla c(w):n ensimmäisen derivaatan nollakohdat ja määritä c(w):n minimiarvo. 384 Kappale 23: Tehtäviä

3 5. Laske seipään maksimipituuden tarkka arvo. Syötä: c(2±) Vihje: Kopioi ratkaisu kohdasta 4 automaattisella liitostoiminnolla komentoriville sulkeiden c( ) sisälle ja näppäile. 6. Laske seipään maksimipituuden likimääräinen arvo. Ratkaisu: Noin 20,8097 metriä. Kappale 23: Tehtäviä 385

4 Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan johtaminen Tässä tehtävässä tutkitaan, miten neliökaavan voi johdatsaa: ë b bñ -4ac x = 2a Lisätietoja tämän esimerkin funktioiden käytöstä kappaleessa 3: Symbolinen manipulointi. Suoritetaan laskutoimitukset toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan hohtamiseksi Huom! Tässä esimerkissä käytetään TI-89 / TI-92 Plus laskutoimituksissa edellistä ratkaisua, jolloin näppäilyjä on vähemmän ja virheen mahdollisuus pienempi. Vihje: Jatka edellisen ratkaisun käyttöä (2±) vaiheissa 4 9 kuten vaiheessa kolme. Johda toisen asteen yhtälön ratkaisukaava täydentämällä yleistetyn toisen asteen yhtälön neliö. 1. Poista kaikki yhden merkin muuttujat nykyisestä kansiosta. TI-89: 2ˆ TI-92 Plus: ˆ Valitse 1:Clear a-z ja vahvista painamalla. 2. Syötä Perus-näytössä yleistetty toisen asteen yhtälö: axñ +bx+c=0. 3. Vähennä c yhtälön kummaltakin puolelta. TI-89: 2± jc TI-92 Plus: 2± C 4. Jaa yhtälön molemmat puoliskot korkeimman asteen kertoimella a. 5. Lavenna edellisen vastauksen ratkaisu expand()-funktiolla. 6. Viimeistele neliö lisäämällä ((b/a)/2) 2 yhtälön molemmille puolille. 386 Kappale 23: Tehtäviä

5 7. Jaa ratkaisu tekijöihin factor()- funktiolla. 8. Kerro yhtälön molemmat puolet arvolla 4añ. 9. Ota yhtälön molempien puolien neliöjuuri rajoitteella a>0 ja b>0 ja x> Ratkaise x. Vähennä kummastakin puolesta b ja jaa arvolla 2a. Huom! Tämä on toinen kahdesta yleisestä neliöratkaisusta (vaihe 9 rajasi toisen pois). Kappale 23: Tehtäviä 387

6 Matriisin tutkiminen Tässä tehtävässä tutkitaan erilaisia matriisitoimintoja. 3x3-matriisin tutkiminen Vihje: Voit selata ratkaisua historia-alueella kohdistimen avulla. Vihje: Voit selata ratkaisua historia-alueella kohdistimen avulla. Näiden ohjeiden avulla voit luoda satunnaismatriisin, täydentää ja löytää identiteettimatriisin ja ratkaista lopuksi käänteisen epäkelvon arvon. 1. Aseta Perus-näytössä RandSeed-komennolla satunnaisluku-generaattorin asetukseksi oletusasetus, ja luo sitten randmat()- komennolla satunnainen 3x3- matriisi ja tallenna se a:han. 2. Korvaa matriisin [2,3]-elementti muuttujalla x, ja täydennä matriisi sitten augment()- funktiolla 3x3-identiteetti a:han ja tallenna ratkaisu b:hen. 3. Supista sitten matriisin b rivi rref()-toiminnolla: Ratkaisun kolmella ensimmäisellä pystyrivillä on identitettimatriisi ja kolmella viimeisellä pystyrivillä a^ë Ratkaise x:n arvo. Käänteismatriisista tulee mitätön. Syötä: solve(getdenom( 2±[1,4] )=0,x) Ratkaisu: x=ë 70/ Kappale 23: Tehtäviä

7 Yhtälö cos(x) = sin(x) Tässä tehtävässä tutkitaan kahdella menetelmällä, missä cos(x) = sin(x) kun x:n arvo on välillä 0 ja 3p. Menetelmä 1: Piirroskaavio Vihje: Paina ja valitse 5:Intersection. Vastaa kehotteisiin ja valitse leikkaajalle A kaksi käyrää ja ala- ja ylärajat. Tutki, missä funktioiden y1(x)=cos(x) ja y2(x)=sin(x) kuvaajat leikkaavat toisensa. 1. Aseta Y=editorissa y1(x)=cos(x) ja y2(x)=sin(x). 2. Aseta Window-editorissa xmin=0 ja xmax=3p. 3. Paina ja valitse A:ZoomFit. 4. Etsi funktioiden leikkauspiste. 5. Huomioi x- ja y-koordinaatit. (Toista vaiheet 4 ja 5 löytääksesi muut leikkauspisteet.) Menetelmä 2: Symbolinen manipulointi Vihje: Korosta edellinen ratkaisu kohdistimella historia-alueelta. Kopioi yleisratkaisu - näppäimellä. Ratkaise yhtälö sin(x)=cos(x) x:n suhteen. 1. Syötä Perus-näytössä solve(sin(x)= cos(x),x). x:n ratkaisu on kohdassa, on mikä tahansa kokonaisluku. 2. Käytä funktioita ceiling() ja floor(). Etsi leikkauspisteiden katto ja kokonaisosa kuvan osoittamalla tavalla. Vihje: with -operaattorin saat painamalla: TI-89: Í TI-92 Plus: 2 È. 3. Syötä x:n yleisratkaisu ja rajoitetta kuvan osoittamalla tavalla. Vertaa menetelmällä 1 saatuun ratkaisuun. Kappale 23: Tehtäviä 389

8 Suuntaissärmiön vaipan minimipinta-alan etsiminen Tässä tehtävässä tutkitaan, miten suuntaissärmiön minimipintaalan voi löytää, kun suuntaissärmiön vakiotilavuus on V. Tarkempia tietoja tämän esimerkin vaiheista on kappaleissa 3: Symbolinen manipulointi ja kappaleessa 10: Kolmiulotteinen grafiikka. Suuntaissärmiön pintaalan kolmiulotteisen kuvaajan tutkiminen Määritä suuntaissärmiön vaipan pinta-alan funktio, piirrä kolmiulotteinen kuvaaja ja etsi Trace-työkalulla piste, joka on lähellä minimipinta-alaa. 1. Määritä Perus-näytössä suuntaissärmiön pinta-alalle funktio sa(x,y,v). Syötä: define sa(x,y,v)=2ù xù y+ 2v/x+2v/y 2. Valitse 3D Graph -tila. Syötä z1(x,y):lle funktio esimerkin mukaisesti tilavuudella v= Anna ikkunamuuttujille asetukset: eye= [60,90,0] x= [0,15,15] y= [0,15,15] z= [260,300] ncontour= [5] 4. Piirrä kuvaaja ja etsi Tracetyökalulla piste, joka on lähellä pinta-alafunktion minimiarvoa. 390 Kappale 23: Tehtäviä

9 Minimipinta-alan löytäminen analyyttisesti Vihje: Kun haluat ratkaisun tarkassa symbolimuodossa, paina. Kun haluat likimääräisen ratkaisun desimaalimuodossa, paina. Ratkaise ongelma analyyttisesti Perus-näytössä. 1. Ratkaise x ja y v:n suhteen. Syötä: solve(d(sa(x,y,v),1x)=0 ja (d(sa(x,y,v),y)=0, {x,y} 2. Etsi minimipinta-ala, kun v:n arvo on yhtä suuri kuin 300. Syötä: 300! v Syötä: sa(v^(1/3), v^(1/3),v) Kappale 23: Tehtäviä 391

10 Opetusohjelman ajaminen Teksti-editorilla Tässä tehtävässä ajetaan tekstieditorilla koeskripti. Tarkempia tietoja tekstitoiminnoista on kappaleessa 18: Teksti-editori. Opasohjelman ajaminen Kirjoita konekielinen ohjelma Teksti-editorilla, testaa jokainen rivi ja tarkastele ratkaisuja Perus-näytön historia-alueella. 1. Avaa Text-editori ja luo uusi muuttuja nimellä demo1. Huom! Komentosymbolin C saat 1:Command - työkalupalkkivalikosta. 2. Kirjoita seuraavat rivit Text-editoriin. : Compute the maximum value of f on the closed interval [a,b] : assume that f is differentiable on [a,b] C : define f(x)=x^3ì 2x^2+xì 7 C: 1!a:3.22! b C: d(f(x),x)! df(x) C : zeros(df(x),x) C : f(ans(1)) C : f({a,b}) : The largest number from the previous two commands is the maximum value of the function. The smallest number is the minimum value. 3. Paina ja valitse 1:Script view, niin näet Teksti-editorin ja Perusnäytön jaetussa näytössä. Siirrä kohdistin Teksti-editorin ensimmäiselle riville. 392 Kappale 23: Tehtäviä

11 Huom! Kun haluat palata Teksti-editorinäyttöön, paina ja valitse 2:Clear split. 4. Paina -näppäintä toistuvasti ajaaksesi ohjelman rivi kerrallaan. Vihje: Jos haluat avata Perus-näytön, paina kahdesti 2K. 5. Jos haluat nähdä ohjelman ratkaisut täysikokoisessa näytössä, siirry Perus-näyttöön. Kappale 23: Tehtäviä 393

12 Rationaalifunktion hajottaminen Tässä tehtävässä tutkitaan, mitä tapahtuu kun rationaalifunktio hajotetaan osamääräksi ja jakojäännökseksi. Tarkempia tietoja tämän tehtävän vaiheista on kappaleessa 6: Tavallinen funktiografiikka ja kappaleessa 3: Symbolinen manipulointi. Rationaalifunktion hajottaminen Huom! Esimerkkinäytöissä syötteet näkyvät käänteistyyppeinä. Kun halutaan tutkia rationaalifunktion f(x)=(xòì10xñìx+50)/(xì 2) hajottamista kuvaajassa: 1. Syötä Perus-näytössä rationaalifunktio alla esitetyllä tavalla ja tallenna se funktioon f(x). Syötä: (x^3ì 10x^2ì x+50)/ (xì 2)! f(x) 2. Jaa funktio osamäärään ja jakojäännökseen funktiolla (propfrac). Vihje: Korosta edellinen ratkaisu kohdistimella historia-alueelta. Kopioi se komentoriville - näppäimellä. 3. Kopioi edellinen ratkaisu komentoriville. tai Syötä: 16/(xì 2)+x^2ì 8ù xì Muokkaa edellistä ratkaisua komentorivillä. Tallenna jakojäännös kohtaan y1(x) ja osamäärä kohtaan y2(x) kuvan osoittamalla tavalla. Syötä: 16/ (xì 2)! y1(x): x^2ì 8ù xì 17! y2(x) 5. Valitse Y=editorissa paksu tyyli kuvaajalle y2(x). 394 Kappale 23: Tehtäviä

13 6. Lisää alkuperäinen funktio f(x) kohtaan y3(x) ja valitse grafiikkatyyliksi neliö. 7. Aseta Window-editorissa ikkunamuuttujat seuraavasti: x= [ë 10,15,10] y= [ë 100,100,10] Huom! Varmista, että Graph-tilaksi on valittu Function. 8. Piirrä kuvaaja. Huomaat, että 2. asteen poynomi y2(x) kuvaa periaatteessa funktion f(x) yleistä käyttäytymistä. Rationaalilauseke on pohjimmiltaan 2. asteen polynomi, kun x on riittävän suuri sekä positiiviseen että negatiiviseen suuntaan. Alempi kuvaaja on y3(x)=f(x) piirrettynä erikseen viivatyylillä. Kappale 23: Tehtäviä 395

14 Tilastojen tutkiminen: Tiedon suodattaminen luokittain Tässä tehtävässä tutkitaan tilastollisesti oppilaiden painoja niin, että dataa suodatetaan kategorioiden avulla. Lisätietoja tässä esimerkissä käytettävistä komennoista on kappaleessa 15: Data/Matrix-editori ja kappaleessa 16: Tilastot ja datakaaviot. Tiedon luokitteleminen Opiskelijat sijoitetaan yhteen kahdeksasta kategoriasta sukupuolen ja vuosikurssien määrän mukaan. Data (paino nauloissa) ja kategoria syötetään Data/Matrix-editorissa. Taulukko 1: Kategoria ja kuvaus Kategoria (C2) Vuosikurssi ja sukupuoli 1. vuosikurssi, poika 1. vuosikurssi, tyttö 2. vuosikurssi, poika 2. vuosikurssi, tyttö 3. vuosikurssi, poika 3. vuosikurssi, tyttö 4. vuosikurssi, poika 4. vuosikurssi, tyttö Taulukko 2: C1 (opiskelijan paino nauloissa) ja C2 (kategoria) C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C Kappale 23: Tehtäviä

15 Vertaile opiskelijoiden painoa ja vuosikurssimäärää seuraavasti. 1. Käynnistä Data/Matrix-editori ja luo uusi data muuttuja opiskelijat. 2. Syötä Taulukon 1 data pystyriville c1 ja kategoria pystyriville c2. Huom! Valmista useampia laatikkokaavioita, jotta voit vertailla datan eri osia. 3. Avaa Plot Setup - työkalupalkkivalikko. 4. Määritä Plot 1:n kaavio ja valikointiparametrit tämän näytön mukaisesti. 5. Kopioi Plot 1 Plot 2:een. 6. Toista edellinen kohta ja kopioi Plot 1 Plot 3:een, Plot 4:än ja Plot 5:een. Kappale 23: Tehtäviä 397

16 7. Paina ƒ ja muokkaa kohtaa Include Categories kaavioille Plot 2 - Plot 5 seuraavasti: Plot 2: {1,2} (1. vuosikurssi, poika, tyttö) Plot 3: {7,8} (4. vuosikurssi, poika, tyttö) Plot 4: {1,3,5,7} (kaikki pojat) Plot 5: {2,4,6,8} (kaikki tytöt) Huom! Vain Plot 1 - Plot 5 saa olla valittuna. 8. Poista Y=editorissa ne funktiot, jotka voidaan valita aiemmasta toiminnosta. 9. Esitä kaaviot painamalla ja valitsemalla 9:Zoomdata. 10. Vertaa opiskelijoiden mediaanipainoa eri alaryhmissä Trace-työkalulla. kaikki opiskelijat 1. vuosikurssi 4. vuosikurssi kaikki pojat kaikki tytöt mediaani, kaikki opiskelijat 398 Kappale 23: Tehtäviä

17 CBL-ohjelma TI-89 / TI-92 Plus:lle Tässä tehtävässä tutkitaan ohjelmaa, jota voidaan käyttää kun TI-89 / TI-92 Plus on liitetty Calculator-Based Laboratoryé (CBLé) -yksikköön. Ohjelma toimii Newtonin viilenemisen laki -kokeen mukaan, ja on samankaltainen kuin Coffee To Go -koe kirjassa CBL System Experiment Workbook. Voit kirjoittaa tekstin tietokoneen näppäimistöllä ja lähettää sen TI-GRAPH LINK:in kautta TI-89 / TI-92 Plus-laskimeen. Lisää TI-89 / TI-92 Plus CBL -ohjelmia löydät TI:n kotisivuilta osoitteesta: Ohjelmakomento :cooltemp() :Prgm :Local i :setmode("graph","function") :PlotsOff :FnOff :ClrDraw :ClrGraph :ClrIO :-10!xmin:99!xmax:10!xscl :-20!ymin:100!ymax:10!yscl :{0}!data :{0}!time :Send{1,0} :Send{1,2,1} :Disp "Press ENTER to start" :Disp "graphingtemperature." :Pause :PtText "TEMP(C)",2,99 :PtText "T(S)",80,-5 :Send{3,1,-1,0} : :For i,1,99 :Get data[i] :PtOn i,data[i] :EndFor :seq(i,i,1,99,1)!time :NewPlot 1,1,time,data,,,,4 :DispG :PtText "TEMP(C)",2,99 :PtText "T(S)",80,-5 :EndPrgm Kuvaus Ohjelman nimi Nimeä paikallismuuttuja; olemassa vain ajamisen aikana. Aseta TI-89 / TI-92 Plus funktion piirtämiseen. Kytke pois aiemmat kaaviot. Kytke pois aiemmat funktiot. Nollaa kaikki aiemmin piirretyt grafiikkanäytön kohdat. Nollaa kaikki aiemmat kuvaajat. Nollaa TI-89 / TI-92 Plus Program IO (syöte/ratkaisu) -näyttö. Aseta Window-muuttujat. Luo ja/tai nollaa luettelo nimeltä data. Luo ja/tai nollaa luettelo nimeltä time. Lähetä CBL-yksikön nollauskomento. Aseta CBL Chan. 2 tilaan AutoID lämpötilan mittausta varten. Kehota käyttäjää painamaan -näppäintä. Odota, kunnes käyttäjä on valmis aloittamaan. Nimiöi kuvaajan y-akseli. Nimiöi kuvaajan x-akseli. Lähetä Trigger-komento CBL:ään; kerää data reaaliaikaisesti. Toista kahta seuraavaa käskyä 99 lämpömittarilukeman ajan. Hae lämpötila CBL:stä ja tallenna se luetteloon. Kaavioi lämpötiladata kuvaajaan. Luo luettelo, joka edustaa time- tai data-näytteen numeroa. Kaavioi time ja data käyttämällä NewPlot- ja Trace-työkalua. Piirrä kuvaaja. Nimiöi akselit uudelleen. Päätä ohjelma. Voit käyttää myös Calculator-Based Ranger (CBR ) -ohjelmaa etäisyyden, nopeuden, kiihtyvyyden ja ajan matemaattisten ja tieteellisten yhteyksien tutkimiseen suorittamiesi toimintojen datan perusteella. Kappale 23: Tehtäviä 399

18 Pesäpallon lentorata Tässä tehtävässä esitetään parametrikuvaaja ja taulukko jaetun näytön avulla samanaikaisesti, jotta voidaan tutkia pesäpallon lentorataa.. Parametrisen kuvaajan ja taulukon asettaminen Tutki seuraavien ohjeiden mukaisesti pesäpallon lentorataa lyönnin jälkeen. Pallon lähtönopeus on 95 jalkaa sekunnissa ja lähtökulma on 32 astetta. 1. Aseta sivun Page 1 tilat viereisen esimerkin mukaisesti. 2. Aseta sivun Page 2 tilat viereisen esimerkin mukaisesti. Vihje: Astemerkin saat näppäilemällä Syötä pallon lentomatkan yhtälö vasemman puoliskon Y=editorissa, kun aika t on xt1(t). xt1(t)=95ùtùcos(32 ) 4. Syötä pallon korkeuden yhtälön oikean puoliskon Y=editorissa, kun aika t on yt1(t). yt1(t)=m16ùt^2+95ùtù sin(32 ) 400 Kappale 23: Tehtäviä

19 5. Tee seuraavat Windowmuuttujien asetukset: t values= [0,4,.1] x values= [0,300,50] y values= [0,100,10] Vihje: Näppäile 2a. 6. Siirry oikeaan puoliskoon ja piirrä kuvaaja. Vihje: Näppäile &. 7. Avaa TABLE SETUP -valintaikkuna ja aseta tblstart arvoon 0 arvoon 0.1. Vihje: Näppäile '. 8. Esitä taulukko vasemmassa puoliskossa ja korosta t=2 painamalla D. Huom! Kun siirrät jäljityskohdistinta kohdasta tc=0.0 kohtaan tc=3.1, näet pallon sijainnin hetkellä tc. 9. Siirry oikeaan puoliskoon. Paina ja jäljitä kuvaajaa siten, että arvot xc ja yc näkyvät kohdassa tc=2. Lisätehtävä Oletetaan, että alkunopeus on edelleen 95 jalkaa sekunnissa. Määritä lähtökulma, jolla pallo lentää pisimmälle. Kappale 23: Tehtäviä 401

20 Kolmannen asteen polynomin kompleksinollakohdat Tässä tehtävässä piirretään kuutiopolynomin kompleksinollia. Lisätietoja tämän esimerkin vaiheista löydät kappaleesta 3: Symbolinen manipulointi ja kappaleesta 10: Kolmiulotteinen grafiikka. Kompleksisten juurien esittäminen Vihje: Siirrä kohdistin historia-alueelle, korosta edellinen ratkaisu ja paina, niin se kopioituu komentoriville. Huom! Funktion itseisarvo pakottaa juuret koskettamaan x-akselia. Niinikään kahden muuttujan funktion itseis arvo pakottaa juuret koskettamaan xytasoa. Huom! Funktion z1(x,y) kuvaajaa käytetään moduulipintana. Lavenna 3. asteen polynomi (xì 1)(xì i)(x+i) esimerkin mukaisesti. Etsi funktion itseisarvo, piirrä moduulipinta ja tutki moduulipintaa Trace-työkalulla. 1. Lavenna Perus-näytössä lauseketta (xì 1)(xì i) (x+i) expand()-funktiolla ja etsi polynomi. 2. Kopioi ja liitä viimeisin ratkaisu komentoriville ja tallenna se funktioon f(x). 3. Määritä f(x+yi):n itseis arvo abs()-funktiolla. (Laskutoimitus saattaa kestää 2 minuuttia.) 4. Kopioi ja liitä viimeisin ratkaisu komentoriville ja tallenna se funktioon z1(x,y). 5. Aseta yksikkö 3D-grafiikkatilaan, kytke akselit grafiikkapohjaan ja tee seuraavat Window-muuttujien asetukset: eye= [20,70,0] x= [ë 2,2,20] y= [ë 2,2,20] z= [ë 1,2] ncontour= [5] 402 Kappale 23: Tehtäviä

21 Huom! Laskeminen ja kuvaajan piirtäminen saattaa kestää kolme minuuttia. 6. Paina Y=editorissa: TI-89: Í TI-92 Plus: F ja tee seuraavat asetukset: Axes= ON Labels= ON Style= HIDDEN SURFACE 7. Piirrä moduulipinnan kuvaaja. 3D-kuvaajaa käytetään esittämään juurien kuva pisteessä, jossa pinta koskettaa xy-tasoa. 8. Tutki funktioarvoja Tracetyökalun avulla kohdissa x=1 ja y=0. 9. Tutki funktioarvoja Tracetyökalun avulla kohdissa x=0 ja y= Tutki funktioarvoja Tracetyökalun avulla kohdissa x=0 ja y=ë 1. Yhteenveto Huomaa, että zc on nolla kaikille funktion arvoille vaiheissa 7 9. Siten polynomin xòìxñ+xì 1 kompleksinollat 1,ë i ja i voidaan esittää kolmella pisteellä, joissa moduulipinnan kuvaaja koskettaa xy-tasoa. Kappale 23: Tehtäviä 403

22 Annuiteetti Tätä toimintoa voidaan käyttää korkotason, alkupääoman, maksuerien ja annuiteetin tulevan arvon laskemiseen. Annuiteetin koron löytäminen Määritä esimerkin mukaan korko (i) annuiteetille, jossa alkupääoma (p) on 1,000, lainajaksojen määrä (n) on 6 ja loppuarvo (s) on 2, Syötä Perus-näytössä yhtälö, jolla ratkaiset arvon p. 2. Syötä yhtälö, jolla ratkaiset arvon n. Vihje: with ( ) -operaattorin syöttäminen: TI-89: Í TI-92 Plus: 2 È Vihje: Liukulukuratkaisun saat näppäilemällä. 3. Syötä yhtälö, jolla ratkaiset arvon i käyttämällä withoperaattoria. solve(s=pù (1+i)^n,i) s=2000 and p=1000 and n=6 Ratkaisu: Korko on %. Annuiteetin loppuarvon laskeminen Laske annuiteetin loppuarvo edellisen esimerkin arvoilla koron ollessa 14%. Syötä yhtälö, jolla ratkaisen arvon s. solve(s=pù (1+i)^n,s) i=.14 and p=1000 and n=6 Ratkaisu: Kun korko 14%, loppuarvo on 2, Kappale 23: Tehtäviä

23 Rahan aika-arvo Tässä tehtävässä luodaan funktio, jonka avulla voidaan laskea jonkin nimikkeen rahoituskustannukset. Lisätietoja esimerkin toiminnoista kappaleessa 17: Ohjelmointi. Rahan aika-arvo -funktio Vihje: Pidemmän tekstin voit kirjoittaa tietokoneella ja siirtää TI-GRAPH LINK:illä laskimeesi TI-89 / TI-92 Plus. Määritä Program-editorissa seuraava rahan aika-arvo -funktio (tvm): temp1= maksuerien lukumäärä, temp2= vuosikorko, temp3= nykyarvo, temp4= kuukausierä, temp5=tuleva arvo ja temp6=maksukauden alkamis- tai päättymisajankohta (1=kuukauden alku, 0=kuukauden loppu). :tvm(temp1,temp2,temp3,temp4,temp5,temp6) :Func :Local tempi,tempfunc,tempstr1 :ë temp3+(1+temp2/1200ù temp6)ù temp4ù ((1ì (1+temp2/1200)^ (ë temp1))/(temp2/1200))ì temp5ù (1+temp2/1200)^(ë temp1)! tempfunc :For tempi,1,5,1 :"temp"&exact(string(tempi))! tempstr1 :If when(#tempstr1=0,false,false,true) Then :If tempi=2 :Return approx(nsolve(tempfunc=0,#tempstr1) #tempstr1>0 and #tempstr1<100) :Return approx(nsolve(tempfunc=0,#tempstr1)) :EndIf :EndFor :Return "parameter error" :EndFunc Kuukausierän laskeminen Määritä kuukausierä pääomalle , kun maksuerien lukumäärä on 48 ja vuosikorko on 10%. Syötä tvm-arvot Perus-näytössä pmt:n laskemiseksi. Ratkaisu: Kuukausierä on Maksuerien lukumäärän laskeminen Määritä lainan maksamiseen tarvittavien maksuerien lukumäärä, jos maksuerän suuruus on 300 kuukaudessa. Syötä tvm-arvot Perus-näytössä n:n laskemiseksi. Ratkaisu: Maksuerien lukumäärä on Kappale 23: Tehtäviä 405

24 Rationaali-, reaali ja kompleksitekijät Tässä tehtävässä etsitään lausekkeiden rationaali-, reaali- ja kompleksitekijöitä. Lisätietoja käytettävistä vaiheista kappaleessa 3: Symbolinen manipulointi. Tekijöiden hakeminen Syötä alla olevat lausekkeet Perus-näytössä. 1. factor(x^3ì 5x) esittää rationaaliratkaisun. 2. factor(x^3+5x) esittää rationaaliratkaisun. 3. factor(x^3ì 5x,x) esittää reaaliratkaisun. 4. cfactor(x^3+5x,x) esittää kompleksisen ratkaisun. 406 Kappale 23: Tehtäviä

25 Simulaatio: Otanta ilman takaisinpanoa Tässä tehtävässä suoritetaan simulaatio, jossa erilaisia värillisiä palloja otetaan uurnasta korvaamatta niitä. Lisätietoja käytettävistä toiminnoista kappaleessa 17: Ohjelmointi. Poimiminen ilman takaisinpanoa -funktio Määritä Program-editorissa drawball() funktioksi, jonka voi kutsua kahdella parametrilla. Ensimmäinen parametri on luettelo, jossa jokainen elementti on tietyn väristen pallojen lukumäärä. Toinen parametri on poimittavien pallojen lukumäärä. Funktio palauttaa luettelon, jossa kukin elementti on poimittujen pallojen lukumäärä väreittäin. :drawball(urnlist,drawnum) :Func :Local templist,drawlist,colordim, numballs,i,pick,urncum,j :If drawnum>sum(urnlist) :Return too few balls :dim(urnlist)! colordim :urnlist! templist :newlist(colordim)! drawlist :For i,1,drawnum,1 :sum(templist)! numballs :rand(numballs)! pick :For j,1,colordim,1 :cumsum(templist)! urncum (jatkuu viereisellä palstalla) :If pick urncum[j] Then :drawlist[j]+1! drawlist[j] :templist[j]ì 1! templist[j] :Exit :EndIf :EndFor :EndFor :Return drawlist :EndFunc Poimiminen ilman takaisinpanoa Oletetaan, että laatikossa on n1 yhden väristä palloa, n2 toisen väristä palloa, n3 kolmannen väristä palloa jne. Simuloi pallojen poimimista korvaamatta niitä. 1. Syötä satunnainen siemenluku RandSeed-komennolla. 2. Oletetaan, että laatikossa on 10 punaista palloa ja 25 valkoista palloa. Poimi laatikosta 5 palloa korvaamatta niitä. Syötä drawball({10,25},5). Ratkaisu: 2 punaista palloa ja 3 valkoista palloa. Kappale 23: Tehtäviä 407

26 408 Kappale 23: Tehtäviä