Kappale 9: Lukujonografiikka
|
|
- Esa Lahtinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kappale 9: Lukujonografiikka 9 Johdanto: Sekvenssigrafiikka Sekvenssigrafiikan vaiheet Sekvenssi- ja funktiografiikan erot Aika- ja verkkokaavioiden sekä kustomoitujen kaavioiden akseleiden asetukset Verkkokaaviot Kustomoidut kaaviot Taulukon luominen lukujonon avulla Tässä kappaleessa kerrotaan, miten lukujonoja piirretään TI-89- laskimella. Ennen tätä kappaletta kannattaa lukea kappale 6: Tavallinen funktiografiikka. Lukujonot lasketaan vain peräkkäisien kokonaislukujen arvoilla. Kaksi yleistä lukujonotyyppiä ovat: Ei-rekursiivinen (palautumaton) Jonon termi n on riippumattoman muuttujan n funktio. Jokainen termi on riippumaton muista termeistä. Seuraavassa esimerkkijonossa voit laskea suoraan termin u(5) ilman, että ensin pitäisi laskea u(1) tai jokin muu aiempi termi. u(n) = 2 ù n kun n = 1, 2, 3,... u(n) = 2 ù n antaa jonon 2, 4, 6, 8, 10,... n on aina sarja peräkkäisiä kokonaislukuja. Sarjan aloittaa mikä tahansa positiivinen kokonaisluku tai nolla. Huom! Rekursiivinen jono voi viitata toiseen jonoon. Esimerkiksi, u2(n) = nñ +u1(nì 1). Rekursiivinen (palautuva) Jonon termi n määrittyy suhteessa yhteen tai useampaan muuhun termiin, jotka ovat muotoa u(nì 1), u(nì 2) jne. Aiempien termien lisäksi rekursiivinen jono voidaan määritellä myös suhteessa termiin n (kuten u(n) = u(nì 1) + n). Seuraavissa esimerkeissä et voi laskea mitä on u(5), ennen kuin olet laskenut termit u(1), u(2), u(3) ja u(4). u(n) = 2 ùu(nì1) kun n = 1, 2, 3,... Alkuarvolla 1: u(n) = 2 ù u(nì 1) antaa jonon 1, 2, 4, 8, 16,... Ensimmäinen termi on määrittämätön, koska edeltävää termiä ei ole. Ensimmäiselle termille pitää siis määrittää alkuarvo. Määritettävien alkuarvojen määrä riippuu rekursion syvyydestä. Esimerkiksi jos jokainen termi määritellään suhteessa kahteen aiempaan termiin, täytyy kahdelle ensimmäiselle termille määrittää alkuarvot. Kappale 9: Lukujonografiikka 127
2 Johdanto: Sekvenssigrafiikka Pienessä metsässä on 4000 puuta. Joka vuosi 20% puista kaadetaan (80% jää pystyyn) ja 1000 uutta puuta istutetaan. Käytä sekvenssiä ja laske puiden määrä metsässä kunkin vuoden lopussa. Vakiintuuko puiden määrä jossain vaiheessa? Alussa 1 vuoden jälkeen 2 vuoden jälkeen 3 vuoden jälkeen x x (.8 x ).8 x (.8 x (.8 x ) ) Vaihe Näppäimet Näyttö 1. Avaa MODE-valintaikkuna. Valitse Graph-tilaksi SEQUENCE. 3 B 4 2. Avaa ja tyhjennä Y=editori. Määritä sekvenssiksi u1(n) = ipart(.8ù u1(nì 1)+1000). Ota ratkaisusta kokonaislukuosa iparttoiminnolla. Puita ei kaadeta murto-osina. Kun haluat ipart(-komennon, näppäile 2I, ½, tai kirjoita komento. 3. Määritä alkuarvoksi ui1, jota käytetään ensimmäisenä terminä. 4. Avaa Window-editori. Aseta n- ja plotikkunamuuttujat. nmin=0 ja nmax=50 laskevat 50 vuotta vanhan metsän koon. 5. Aseta x- ja y-ikkunamuuttujille esimerkkilaskuun sopivat arvot. # ƒ8 2I14.8jU1c jn 1d«1000d 4000 $ 0D50D 1D1D 0 D 50D 10D0D 6000D Avaa grafiikkanäyttö. % 7. Valitse Trace. Siirrä kohdistin jäjittämään vuosi kerrallaan. Kuinka monta vuotta (nc) kestää, ennen kuin puiden määrä (yc) vakiintuu? Jäljitys alkaa kohdasta nc=0. nc on vuosien määrä. xc = nc koska n kaavioidaan x-akselilla. yc = u1(n), puiden lukumäärä vuonna n. B ja A tarpeen mukaan Sekvenssien oletusesitystyyli on neliö (Square). 128 Kappale 9: Lukujonografiikka
3 Sekvenssigrafiikan vaiheet Kun piirrät lukujonoja, noudata kappaleessa 6 Tavallinen funktiografiikka y(x) -funktioille annettuja ohjeita. Lukujonoja koskevat poikkeukset kuvataan seuraavilla sivuilla. Lukujonojen piirtäminen Aseta Graph-tilaksi (3)SEQUENCE. Aseta myös kulmatila, jos tarpeen. Määritä sekvenssit ja, jos tarpeen, alkuarvot Y=editorilla ( #). Vihje: Jos haluat kytkeä tilastokaavioita (kappale 16), pois, paina 5 tai poista valinta -näppäimellä. Valitse ( ) piirrettävät sekvenssit. Älä valitse alkuarvoja. Huom! Sekvenssien oletustyyli on Square (neliö). Aseta esitystyyli (2ˆ) sekvenssille. Vihje: Zoom vaihtaa myös tarkasteluikkunan. Määritä tarkasteluikkuna ( $). Muuta grafiikan esitystapaa ( Í tai ƒ 9), jos tarpeen. Piirrä valitut sekvenssit ( %). Kuvaajan tutkiminen Vihje: Jos haluat laskea sekvenssin jäljityksen aikana, syötä n-arvo näppäimistöltä. Grafiikkanäytössä: Voit nähdä minkä tahansa pikselin koordinaatit vapaasti liikkuvalla kohdistimella. Merkityn kohdan koordinaatit näet, kun jäljität sekvenssin. Voit suurentaa tai pienentää osan kuvaajasta Zoom - työkalupalkkivalikon toiminnoilla. Laske sekvenssi Math -työkalupalkkivalikon avulla. Sekvenssigrafiikassa voit valita vain 1:Value. Kaavioi sekvenssi Time- (oletus), Web tai Custom -akselilla. Kappale 9: Lukujonografiikka 129
4 Sekvenssi- ja funktiografiikan erot Tässä kappaleessa oletetaan, että tiedät jo, miten y(x)- funktioita piirretään (kappale 6: Tavallinen funktiografiikka). Tässä osassa kuvataan sekvenssigrafiikan erityispiirteitä. Graph-tilan asetukset Aseta 3 -näppäimellä Graph = SEQUENCE, ennen kuin määrität sekvenssejä tai asetat ikkunamuuttujia. Y=editorissa ja Windoweditorissa voit syöttää vain nykyisen Graph-tilan asetuksia. Sekvenssien määrittäminen Y=editorilla Voit määrittää sekvenssejä väliltä u1(n) ja u99(n). Määritä ui vain rekursiivisissa sekvensseissä, jotka vaativat yhden tai useampia alkuarvoja. Huom! Kun syötetään kaksi tai useampia alkuarvoja, pitää käyttää luetteloa. Jos sekvenssi vaatii enemmän kuin yhden alkuarvon, syötä ne luettelona sulkeiden { } sisällä ja pilkuilla erotettuina. Syötä {1,0}, vaikka sekvenssiluettelossa näkyykin {1 0}. Huom! Jos haluat, voit valita sekvenssikuvaajan akselin. Oletusakseli on TIME. Vihje: Voit määritellä funktioita ja yhtälöitä missä tahansa grafiikkatilassa Home-näytön Definekomennolla (ks. Liite A). Jos sekvenssi edellyttää alkuarvoa, etkä syötä sitä, saat virheilmoituksen kun yrität piirtää kuvaajan. Voit valita sekvenssikuvaajan akselit Y=editorin valikosta 2 Axes. Lisätietoja sivulla 134. Akselit TIME WEB CUSTOM Kuvaus Piirtää arvon n x-akselille ja arvon u(n) y-akselille. Piirtää arvon u(n-1) xakselille ja arvon u(n) y-akselille. Voit valita x- ja y-akselit. Y=editorissa on riippumaton funktioluettelo kaikista Graph-tilaasetuksista. Oletetaan esimerkiksi: Määrittelet FUNCTION-grafiikkatilassa sarjan y(x)-funktioita. vaihdat SEQUENCE-grafiikkatilaan ja määrittelet sarjan u(n)-sekvenssejä. Kun palaat FUNCTION-grafiikkatilaan, ovat määrittelemäsi y(x)-funktiot edelleen Y=editorissa. Kun palaat SEQUENCEgrafiikkatilaan, ovat u(n)-sekvenssisi edelleen määritetyt. 130 Kappale 9: Lukujonografiikka
5 Sekvenssien valitseminen TIME- ja WEB-akseleilla TI-89 piirtää vain valitut sekvenssit. Jos syötät sekvenssejä, jotka edellyttävät alkuarvoa, sinun täytyy syöttää vastaava ui arvo. Huom! TIME- ja CUSTOMakseleilla lasketaan kaikki määritetyt sekvenssit, vaikka niitä ei olisi piirretty. Voit valita sekvenssin. Et voi valita sen alkuarvoa. Jos määrität sekvenssin CUSTOM-akseleille oletusasetuksin, sekvenssi piirretään aina, vaikka sitä ei olisi valittu. Esitystyylin valitseminen Sekvenssikuvaajille voi valita vain tyylit Line, Dot, Square ja Thick. Dot ja Square merkitsevät vain ne erilliset kokonaislukuarvot (plotsteplisäyksin), joilla sekvenssi on kaavioitu. Ikkunamuuttujat Window-editorissa on kaikille Graph-tila-asetuksille riippumaton sarja ikkunamuuttujia (aivan kuten Y=editorissa on riippumattomat funktioluettelot). Sekvenssikuvaajissa käytetään seuraavia ikkunamuuttujia. Huom! Muuttujien nmin ja nmax pitää olla positiivisia kokonaislukuja. nmin voi olla myös nolla. Huom! Muuttujien nmin, nmax, plotstrt ja plotstep pitää olla kokonaislukuja 1. Jos syötät muita kuin kokonaislukuja, syötteet pyöristetään kokonaisluvuiksi. Muuttuja nmin, nmax plotstrt plotstep xmin, xmax, ymin, ymax xscl, yscl Kuvaus Pienimmät ja suurimmat laskettavat n-arvot. Sekvenssit lasketaan kohdissa: u(nmin) u(nmin+1) u(nmin+2)... lisäys... u(nmax) Ensimmäiseksi piirretty termin numero (riippuu muuttujasta plotstep). Jos haluat aloittaa piirretty esimerkiksi sekvenssin toisesta termistä, aseta plotstrt = 2. Ensimmäinen termi lasketaan kohdassa nmin, mutta sitä ei kaavioida. In-arvon lisäys vain piirtämistä varten. Tämä vaikuttaa vain siihen, mitkä pisteet piirretty, ei sekvenssin laskemiseen. Oletetaan esimerkiksi, että plotstep = 2. Sekvenssi lasketaan jokaisen peräkkäisen kokonaisluvun kohdalla, mutta piirretty vain joka toisen kokonaisluvun kohdalla. Tarkasteluikkunan rajat. x- ja y-akselin merkkien välinen etäisyys. Kappale 9: Lukujonografiikka 131
6 Ikkunamuuttujat (Jatkoa) Standardiarvot (jotka saat kun valitset Zoom -työkalupalkkivalikosta 6:ZoomStd): nmin = 1. xmin = ë 10. ymin = ë 10. nmax = 10. xmax = 10. ymax = 10. plotstrt = 1. xscl = 1. yscl = 1. plotstep = 1. Jos haluat varmistaa, että pisteitä kaavioidaan riittävästi, voit muuttaa n- ja plot-muuttujien asetuksia. Seuraavat esimerkit rekursiivisista sekvensseistä havainnollistavat, miten plotstrt vaikuttaa kuvaajaan. Kuvaajan piirretty aloitetaan ensimmäisestä termistä. Huom! Muuttujaa plotstrt lukuun ottamatta kuvaajissa käytetään samoja ikkunamuuttujia. Kuvaajan piirretty aloitetaan yhdeksännestä termistä. plotstrt=1 plotstrt=9 TIME-akseleilla (Y=editori : 2 Axes), voit asettaa plotstrt = 1 ja piirtää silti vain valitun osan sekvenssistä. Määrittele tarkasteluikkuna, joka näyttää vain sen osan koordinaatistotasosta, jota haluat tarkastella. Voit tehdä seuraavia asetuksia: xmin = ensimmäinen piirrettävä n-arvo xmax = nmax (voit myös käyttää muita arvoja) ymin ja ymax = sekvenssin odotettavissa plotstrt=1 nmax Grafiikan esitystavan vaihtaminen Esitystapaa Graph Order ei voi valita. TIME- ja CUSTOM-akseleilla moninkertaiset sekvenssit piirretty aina samanaikaisesti. WEB-akseleilla moninkertaiset sekvenssit piirretty aina peräkkäin. 132 Kappale 9: Lukujonografiikka
7 Kuvaajan tutkiminen Vihje: Jos haluat laskea sekvenssi jäljityksen aikana, anna n-arvo ja paina. Vihje: QuickCenteriä voi käyttää milloin tahansa jäljityksen aikana, vaikka kohdistin olisikin vielä näytössä. Voit tutkia kuvaajaa samoilla työkaluilla kuin funktiografiikassa. Koordinaatit näkyvät grafiikan esitystavan asetusten mukaisesti napamuodossa tai suorakulmamuodossa. Työkalu Vapaasti liikkuva kohdistin Sekvenssikuvaajissa: Toimii samoin kuin funktiokuvaajissa. Zoom Toimii samoin kuin funktiokuvaajissa. Trace Vaikuttaa vain x- (xmin, xmax, xscl) ja y- (ymin, ymax, yscl) ikkunamuuttujiin. Ei vaikuta n- ja plot-ikkunamuuttujiin (nmin, nmax, plotstrt, plotstep) paitsi jos valitset 6:ZoomStd (joka asettaa kaikille ikkunamuuttujille oletusasetukset). Eri akseleilla (TIME, CUSTOM tai WEB) Trace toimii hyvin eri tavoin. TIME- ja CUSTOM-akseleilla kohdistinta siirretään sekvenssissä yhden plotstep-muuttujan verran kerrallaan. Jos haluat siirtyä noin kymmenen kaavioitua kohtaa eteenpäin, paina 2 B tai 2 A. Kun aloitat jäljityksen, kohdistin on ensimmäisen valitun sekvenssin termissä, jonka numero on määritetty plotstrt-muuttujaan, vaikka se olisi tarkasteluikkunan ulkopuolella. QuickCenter vaikuttaa kaikkiin suuntiin. Jos siirrät kohdistimen pois näytöstä (ylös tai alas, vasemmalle tai oikealle), keskitä tarkasteluikkuna kohdistimen sijaintiin -näppäimellä. WEB-akseleilla jäljityskohdistin seuraa verkkoa, ei sekvenssiä. Lisätietoja sivulla 135. Math Voit valita sekvenssikuvaajissa vain 1:Value. TIME- ja WEB-akseleilla esitetään määritetyn n- arvon u(n)-arvo (jota edustaa yc). CUSTOM-akseleilla x- ja y-muuttujia vastaavat arvot riippuvat valituista akseleista. Kappale 9: Lukujonografiikka 133
8 Aika- ja verkkokaavioiden sekä kustomoitujen kaavioiden akseleiden asetukset Sekvenssigrafiikassa voit valita kuvaajan akselityypin. Eri tyypit esitellään tässä osassa. AXES-valintaikkuna Paina Y=editorissa 2. Toiminto Kuvaus Voimassa olevasta Axesasetuksesta riippuen eräät kohdat voivat näkyä himmennettyinä. Jos haluat poistua muutoksia tekemättä, paina N. Axes TIME Kaavioi y-akselille u(n) ja x-akselille n. Build Web X Axis ja Y Axis WEB Kaavioi y-akselille u(n) ja x-akselille u(n-1). CUSTOM Voit valita x- ja y-akselit. Toimii vain, jos Axes = WEB. Määrittää, piirretäänkö verkko käsin (TRACE) vai automaattisesti (AUTO). Lisätietoja sivulla 135. Toimii vain, jos Axes = CUSTOM. Voit valita arvon tai sekvenssin, jotka kaavioidaan x- ja y-akseleille. Lisätietoja sivulla 138. Voit muuttaa näitä asetuksia samalla tavalla kuin esimerkiksi MODEvalintaikkunassa. 134 Kappale 9: Lukujonografiikka
9 Verkkokaaviot Verkkokaaviossa piirretään u(n) vastaan u(nì 1), jolloin voit tutkia rekursiivisen sekvenssin pitkän aikavälin käyttäytymistä. Tämän kappaleen esimerkeissä havainnollistetaan myös, miten alkuarvot vaikuttavat sekvenssin käyttäytymiseen. Verkkokaavioihin käyvät funktiot Sekvenssin pitää täyttää seuraavat ehdot, muutoin se ei piirry oikein WEB-akseleilla. Sekvenssin: Pitää olla rekursiivinen vain yhdellä rekursiotasolla; u(nì 1) mutta ei u(nì 2). Sekvenssissä ei voi viitata muuttujaan n suoraan. Sekvensissä ei voi viitata mihinkään muuhun sekvenssiin. Graph-näytössä Kun olet valinnut WEB-akselit ja avannut grafiikkanäytön, TI-89: Piirtää y=x-neutraaliakselin. Piirretty valitut sekvenssimääritelmät funktioina, joissa u(nì 1) on riippumaton muuttuja. Tämä muuttaa rekursiivisen sekvenssin tehokkaasti ei-rekursiiviseen muotoon piirtämistä varten. Otetaan esimerkiksi sekvenssi u1(n) = 5ìu1(nì1) ja alkuarvo ui1=1. TI-89 piirtää y=x-neutraaliakselin ja piirtää kaavion y = 5ì x. Verkon piirtäminen Kun sekvenssi on kaavioitu, verkko voidaan esittää käsin tai automaattisesti. Esitystapa riippuu siitä, mitkä asetukset olet valinnut AXES-valintaikkunan kohdassa Build Web. Jos Build Web = TRACE Verkko: Verkkoa ei piirretä ennen kuin painat. Sitten verkko piirretään vaihe kerrallaan kun siirrät jäljityskohdistinta (sinulla pitää olla alkuarvo ennen kuin voit käyttää Trace-toimintoa). Huom! WEB-akseleilla et voi jäljittää sekvenssiä pitkin, kuten muissa grafiikkatiloissa. AUTO Piirtää verkon automaattisesti. Jos haluat jäljittää verkon ja nähdä sen koordinaatit, paina. Verkko: Huom! Verkko alkaa kohdasta plotstrt. n-arvoa lisätään yhdellä joka kerran kun verkko siirtyy sekvenssiin (plotstep ohitetaan). 1. Alkaa x-akselilta alkuarvosta ui (kun plotstrt = 1). 2. Liikkuu pystysuoraan (ylös tai alas) sekvenssiin nähden. 3. Liikkuu vaakasuoraan y=x-neutraaliakseliin nähden. 4. Toistaa pysty- ja vaakasuoraa liikettä, kunnes n=nmax. Kappale 9: Lukujonografiikka 135
10 Esimerkki: suppeneminen 1. Määrittele Y=editorissa ( #) u1(n) = ë.8u1(nì 1) Aseta alkuarvoksi ui1 = ë Paina 2. Aseta Axes = TIME. 3. Avaa Window-editori ( $), ja aseta ikkunamuuttujat. 4. Piirrä sekvenssi ( %). Oletuksen mukaan sekvenssi esitetään tyylillä Square. nmin=1. xmin=0. ymin=ë 10. nmax=25. xmax=25. ymax=10. plotstrt=1. xscl=1. yscl=1. u(n) n Vihje: Jos haluat siirtää kohdistimen jäljityksen aikana määritettyyn arvoon n, kirjoita arvo ja paina. Vihje: Kun nc-arvo muuttuu, kohdistin on sekvenssissä. Kun painat B, nc pysyy ennallaan mutta kohdistin on nyt y=x-neutraaliakselilla. 5. Paina Y=editorissa 2. Aseta Axes = WEB ja Build Web = AUTO. 6. Avaa Window-editori ( $), ja aseta ikkunamuuttujat. 7. Piirrä sekvenssi uudelleen. y=ë.8x Verkkokaaviot näkyvät aina viivoina valitusta esitystyylistä riippumatta. y=x nmin=1. xmin=ë 10. ymin=ë 10. nmax=25. xmax=10. ymax=10. plotstrt=1. xscl=1. yscl=1. 8. Paina. Jäljityskohdistin seuraa verkkoa, kun painat B-näppäintä. Näytössä näkyvät kohdistimen koordinaatit nc, xc ja yc (missä xc edustaa termiä u(nì 1) ja yc termiä u(n)). Kun jäljität termin nc suurempia arvoja, huomaat termien xc ja yc lähenevän suppenemispistettä. u(n) u(nì1) Esimerkki: hajaantuminen 1. Avaa Y=editori ( #) ja määritä u1(n) = 3.2u1(nì1) ì.8(u1(nì1)) 2. Aseta alkuarvoksi ui1 = Paina 2. Aseta Axes = TIME. 3. Avaa Window-editori ( $), ja aseta ikkunamuuttujat. 4. Piirrä sekvenssi ( %). Koska sekvenssi hajaantuu nopeasti suuriksi negatiivisiksi arvoiksi, vain muutama piste piirretty. nmin=0. xmin=0. ymin=ë 75. nmax=10. xmax=10. ymax=10. plotstrt=1. xscl=1. yscl=1. u(n) n 136 Kappale 9: Lukujonografiikka
11 5. Paina Y=editorissa 2. Aseta Axes = WEB ja Build Web = AUTO. 6. Avaa Window-editori ja vaihda ikkunamuuttujat. nmin=0. xmin=ë 10. ymin=ë 10. nmax=10. xmax=10. ymax=10. plotstrt=1. xscl=1. yscl=1. 7. Piirrä sekvenssi uudelleen. Verkkokaaviosta näkee, kuinka nopeasti sekvenssi hajaantuu suuriksi negatiivisiksi arvoiksi. y=x u(n) u(nì1) y=3.2xì.8xñ Esimerkki: Värähtely Huom! Vertaa tätä kuvaajaa hajaantumisesimerkkiin. Sekvenssi on sama, mutta alkuarvo on eri. Seuraavassa esimerkissä havainnollistetaan, miten alkuarvo voi vaikuttaa sekvenssiin. 1. Avaa Y=editori ( #), ja käytä samaa sekvenssiä kuin hajaantumisesimerkissä: u1(n) = 3.2u1(nì 1) ì.8(u1(nì 1)) 2. Aseta alkuarvo ui1 = Paina 2. Aseta Axes = TIME. 3. Avaa Window-editori ( $), ja aseta ikkunamuuttujat. 4. Piirrä kuvaaja ( %). nmin=1. xmin=0. ymin=0. nmax=100. xmax=100. ymax=5. plotstrt=1. xscl=10. yscl=1. u(n) n 5. Paina Y=editorissa 2. Aseta Axes = WEB ja Build Web = AUTO. 6. Avaa Window-editori ja muuta ikkunamuuttujat. nmin=1. xmin=ë 2.68 ymin=ë 4.7 nmax=100. xmax=6.47 ymax=4.7 plotstrt=1. xscl=1. yscl=1. Huom! Verkko siirtyy radalle, joka värähtelee kahden vakaan pisteen välillä. Huom! Jos aloitat verkkokaavion myöhemmästä termistä, vakaa värähtelyrata näkyy selvemmin. 7. Piirrä sekvenssi uudelleen. u(n) u(nì1) y=x y=3.2xì.8xñ 8. Paina. Jäljitä verkko B -näppäimellä. Kun jäljität suurempia nc-termin arvoja, xc ja yc värähtelevät pisteiden ja välillä. 9. Aseta Window-editorissa plotstrt=50. Piirrä sitten sekvenssi uudelleen. Kappale 9: Lukujonografiikka 137
12 Kustomoidut kaaviot CUSTOM-akselit ovat hyvin joustava valinta, kun piirrät sekvenssejä. Kuten seuraavassa esimerkissä osoitetaan, CUSTOM-akseleilla voi esittää yhden sekvenssin suhteen toiseen erityisen tehokkaasti. Esimerkki: Peto-saalismalli Määrittele biologiasta tuttua peto-saalis -mallia käyttäen ne jänisten ja kettujen määrät, joilla populaatiot pysyvät keskenään tasapainossa tietyllä alueella. R = Jänisten lukumäärä M = Jänisten lisääntymisnopeus, jos kettuja ei ole (suositus.05) K = Nopeus, jolla ketut voivat tappaa jäniksiä (suositus.001) W = Kettujen lukumäärä G = Kettujen lisääntymisnopeus, jos jäniksiä on (suositus.0002) D = Kettujen kuolleisuus, jos jäniksiä ei ole (suositus.03) R n = R n-1 (1 + M ì K W n-1 ) W n = W n-1 (1 + G R n-1 ì D) 1. Avaa Y=editori ( #). Määrittele sekvenssit ja alkuarvot termeille R n and W n. Huom! Oletetaan, että jäniksiä on alussa 200 ja kettuja 50. Huom! Jäljitä -näppäimellä jänisten lukumäärä u1(n) ja kettujen lukumäärä u2(n) ajanjaksona (n). u1(n) = u1(nì 1) ù ( ì.001 ù u2(nì 1)) ui1 = 200 u2(n) = u2(nì 1) ù ( ù u1(nì 1) ì.03) ui2 = Paina 2. Aseta Axes = TIME. 3. Avaa Window-editori ( $). Aseta ikkunamuuttujat. 4. Piirrä sekvenssi ( %). nmin=0. xmin=0. ymin=0. nmax=400. xmax=400. ymax=300. plotstrt=1. xscl=100. yscl= Paina Y=editorissa 2. Aseta Axes = CUSTOM, X Axis = u1 ja Y Axis = u2. 6. Muuta ikkunamuuttujat Window-editorissa. u1(n) u2(n) u(n) nmin=0. xmin=84. ymin=25. nmax=400. xmax=237. ymax=75. plotstrt=1. xscl=50. yscl=10. n Huom! Jäljitä -näppäimellä sekä jänisten (xc) että kettujen lukumäärä (yc) 400 sukupolven aikana. 7. Piirrä sekvenssi uudelleen. u2(n) u1(n) 138 Kappale 9: Lukujonografiikka
13 Taulukon luominen sekvenssin avulla Edellisissä osissa kuvattiin, miten sekvenssi piirretään. Voit myös käyttää sekvenssiä taulukon luomiseen. Lisätietoja taulukoista on kappaleessa 13. Esimerkki: Fibonaccin sekvenssi Fibonaccin sekvenssissä ensimmäiset kaksi termiä ovat 1 ja 1. Jokainen seuraava termi on kahden edellisen termin summa. 1. Avaa Y=editori ( #) ja määritä sekvenssi kuvan osoittamalla tavalla. Syötä {1,1}, vaikka sekvenssiluettelossa näkyykin {1 1}. 2. Aseta taulukkoparametreiksi ( &): tblstart = = 1 Independent = AUTO 3. Aseta ikkunamuuttujat ( $) niin, että nmin on saman arvoinen kuin tblstart. Toiminto on himmennetty, jos et käytä TIME-akseleita (Y=editorissa valitse 2 ). 4. Tee taulukko ( '). 5. Siirry alaspäin taulukossa (D tai 2D), niin näet sekvenssin loppuosan. Fibonaccin sekvenssi on pystyrivillä 2. Kappale 9: Lukujonografiikka 139
14 140 Kappale 9: Lukujonografiikka
Johdanto: Parametrigrafiikka Parametriyhtälöiden piirtämisen vaiheet Parametri- ja funktiografiikan eroja
Kappale 7: Parametrigrafiikka 7 Johdanto: Parametrigrafiikka... 128 Parametriyhtälöiden piirtämisen vaiheet... 129 Parametri- ja funktiografiikan eroja... 130 Tässä kappaleessa kerrotaan, miten parametriyhtälöitä
LisätiedotJohdanto: Jaetut näytöt Jaetun näytön asetukset ja näytöstä poistuminen Aktiivisen sovelluksen valitseminen
Kappale 14: Jaetut näytöt 14 Johdanto: Jaetut näytöt... 232 Jaetun näytön asetukset ja näytöstä poistuminen... 233 Aktiivisen sovelluksen valitseminen... 235 TI-89 / TI-92 Plus:ssä voit jakaa näytön ja
LisätiedotKappale 14: Jaetut näytöt
Kappale 14: Jaetut näytöt 14 Johdanto: Jaetut näytöt... 220 Jaetun näytön asetukset ja näytöstä poistuminen... 221 Aktiivisen sovelluksen valitseminen... 223 TI-89:ssä voit jakaa näytön ja käyttää kahta
LisätiedotKappale 11: Differentiaaliyhtälön piirtäminen
Kappale 11: Differentiaaliyhtälön piirtäminen 11 Johdanto: Differentiaaliyhtälön piirtäminen... 164 Yleiskatsaus: Differentiaaliyhtälöiden piirtämisen vaiheet... 166 Differentiaaliyhtälöiden ja funktioiden
LisätiedotKappale 6: Tavallinen Funktiografiikka
Kappale 6: Tavallinen Funktiografiikka 6 Johdanto: Tavallinen funktiografiikka... 94 Funktioiden piirtämisen vaiheet... 95 Graph-tilan asetukset... 96 Funktioiden määritteleminen piirtämistä varten...
LisätiedotTI-89 / TI-92 Plus ratkaisee tavallisten differentiaaliyhtälöiden ensimmäisen kertaluvun järjestelmiä. Esimerkiksi:
Kappale 11: Differentiaaliyhtälön piirtäminen 11 Johdanto: Differentiaaliyhtälön piirtäminen... 176 Yleiskatsaus: Differentiaaliyhtälöiden piirtämisen vaiheet... 178 Differentiaaliyhtälöiden ja funktioiden
LisätiedotNumeerinen ratkaisija on erityisen käyttökelpoinen yllä olevan kaltaisten yhtälöiden ratkaisussa.
Kappale 19: Numeerinen ratkaisija 19 Johdanto: Numeerinen ratkaisija... 334 Ratkaisijan avaaminen ja yhtälön syöttäminen... 335 Tunnettujen muuttujien määritteleminen... 337 Tuntemattoman muuttujan ratkaiseminen...
LisätiedotKappale 10: Kolmiulotteinen grafiikka
Kappale 10: Kolmiulotteinen grafiikka 10 Johdanto: Kolmiulotteinen grafiikka... 142 Kolmiulotteisten yhtälöiden piirtäminen... 144 Kolmiulotteisen grafiikan ja funktiografiikan erot... 145 Kohdistimen
LisätiedotPiirtäminen napakoordinaatistossa
8 Piirtäminen napakoordinaatistossa Yleiskatsaus: piirtäminen napakoordinaatistossa... 132 Napakoordinaattikuvaajan määrittäminen... 133 Piirtotyökalujen käyttäminen napakoordinaattipiirtotilassa... 136
LisätiedotFunktiot. 3.1 Itse määritellyn funktion lauseke Y = Funktio määritellään Y= -editorissa, jonne päästään näppäilemällä Y =.
0 Funktiot 3.1 Itse määritellyn funktion lauseke Y = Funktio määritellään Y= -editorissa, jonne päästään näppäilemällä Y =. Esim. 1 a) Kirjoita lauseke Y 1 = + 3 (kuva 1) ja paina ENTER. Muuttuja (suuri
LisätiedotKappale 16: Tilastot ja datakaaviot
Kappale 16: Tilastot ja datakaaviot 16 Johdanto: Tilastot ja datakaaviot... 242 Tilastollisen analyysin vaiheet... 246 Tilastollisen laskutoimituksen suorittaminen... 247 Tilastollisten laskutoimitusten
LisätiedotVektorit. Vektorin luominen... 192 Vektorin tuominen näyttöön... 195 Vektorin koon ja alkioiden muokkaaminen... 195 Vektorin poistaminen...
12 Vektorit Vektorin luominen... 192 Vektorin tuominen näyttöön... 195 Vektorin koon ja alkioiden muokkaaminen... 195 Vektorin poistaminen... 196 TI -86 M1 M2 M3 M4 M5 F1 F2 F3 F4 F5 192 Luku 12: Vektorit
LisätiedotTilastolliset toiminnot
-59- Tilastolliset toiminnot 6.1 Aineiston esittäminen graafisesti Tilastollisen aineiston tallentamisvälineiksi TI-84 Plus tarjoaa erityiset listamuuttujat L1,, L6, jotka löytyvät 2nd -toimintoina vastaavilta
LisätiedotAluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö
Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 ari.vesanen (at) oulu.fi 5. Rekursio ja induktio Rekursio tarkoittaa jonkin asian määrittelyä itseensä viittaamalla Tietojenkäsittelyssä algoritmin määrittely niin,
Lisätiedot1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
LisätiedotKappale 20: Kantaluvut
Kappale 20: Kantaluvut 20 Johdanto: Kantaluvut... 328 Kantalukujen syöttäminen ja muuntaminen... 329 Matemaattiset toiminnot Hex- ja Bin-luvuilla... 330 Bittien vertaileminen ja manipulointi... 331 Huom!
Lisätiedotz 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2
BM20A5700 - Integraauunnokset Harjoitus 2 1. Laske seuraavat raja-arvot. -kohta ratkeaa, kun pistät sekä yläkerran että alakerran muotoon (z z 1 )(z z 2 ), missä siis z 1 ja z 2 ovat näiden lausekkeiden
LisätiedotPeilaus pisteen ja suoran suhteen Pythonin Turtle moduulilla
Peilaus pisteen ja suoran suhteen Pythonin Turtle moduulilla ALKUHARJOITUS Kynän ja paperin avulla peilaaminen koordinaatistossa a) Peilaa pisteen (0,0) suhteen koordinaatistossa sijaitseva - neliö, jonka
LisätiedotTI-30X II funktiolaskimen pikaohje
0 TI-30X II funktiolaskimen pikaohje Sisältö Näppäimet... 1 Resetointi... 1 Aiempien laskutoimitusten muokkaaminen... 2 Edellisen laskutoimituksen tuloksen hyödyntäminen (ANS) ja etumerkki... 3 DEL ja
LisätiedotLuvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7
Luvuilla laskeminen TI-84 Plus käyttää laskujen suorittamiseen ns. yhtälönkäsittelyjärjestelmää (EOS TM, Equation Operating System), jonka avulla lausekkeiden syöttö tapahtuu matemaattisessa kirjoitusjärjestyksessä.
LisätiedotVaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot
LisätiedotHook2 Series. Quick Guide. 5 HDI, 5 TS, 7X GPS TS, 7 HDI, 7 TS, 9 TS, 9 HDI, and 12 TS DE, ES, FI, FR, IT, NL, NO, PT, SV, ZH
Hook2 Series Quick Guide 5 HDI, 5 TS, 7X GPS TS, 7 HDI, 7 TS, 9 TS, 9 HDI, and 12 TS DE, ES, FI, FR, IT, NL, NO, PT, SV, ZH www.lowrance.com HOOK2 Aloittaminen 5 HDI, 5 TS, 7x GPS TS, 7 HDI, 7 TS, 9 HDI,
LisätiedotMetropolia ammattikorkeakoulu 05.02.2015 TI00AA43-3004: Ohjelmointi Kotitehtävät 3
: http://users.metropolia.fi/~pasitr/2014-2015/ti00aa43-3004/kt/03/ratkaisut/ Tehtävä 1. (1 piste) Tee ohjelma K03T01.cpp, jossa ohjelmalle syötetään kokonaisluku. Jos kokonaisluku on positiivinen, niin
LisätiedotRekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä
LisätiedotOpenOffice.org Impress 3.1.0
OpenOffice.org Impress 3.1.0 Sisällysluettelo 1 Esityksen luominen...1 2 Dian rakenne...2 3 Dian lisääminen, poistaminen, siirtäminen ja kopioiminen...3 4 Diojen koon muuttaminen...3 5 Pohjatyylisivut...4
LisätiedotKun tilariville ilmestyy BATT-merkki, on aika vaihtaa paristot.
Liite C: Huolto- ja takuutiedot C Paristot... 578 Ongelmien ilmetessä... 581 TI-tuotepalvelu ja takuutiedot... 582 Tämä liitteen tiedot saattavat olla hyödyllisiä kun käytät TI-89 / TI-92 Plus-laskinta.
LisätiedotKappale 13: Taulukot. Taulukko luettelee sarjan riippumattoman muuttujan arvoja ja osoittaa riippuvan muuttujan vastaavan arvon.
Kappale 13: Taulukot 13 Johdanto: Taulukot... 210 Taulukon luominen... 211 Taulukkoparametrien asettaminen... 212 Automaattisen taulukon esittäminen... 214 Kysymystaulukon rakentaminen... 217 Kappaleessa
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.
LisätiedotLupa opetuskäyttöön pyydettävä. info@tietsikka.net. Näppäimistö. Kohdistimen ohjausnäppäimistö. Funktionäppäimistö. Kirjoitusnäppäimistö
Näppäimistö 2005 Päivi Vartiainen 1 Kohdistimen ohjausnäppäimistö Funktionäppäimistö Kirjoitusnäppäimistö Numeronäppäimistö Kohdistimen ohjausnäppäimistöllä siirretään hiiren osoitinta ruudulla. Kohdistin
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotFUNKTION KUVAAJAN PIIRTÄMINEN
FUNKTION KUVAAJAN PIIRTÄMINEN Saat kuvapohjan Plots/Insert Plot/XY plot Huomaa - ja y-akselin paikanvaraajat (ja näissä valmiina yksikön syöttöruutu). Siirrä - akselia ylös/alas. Palauta origo perinteiseen
Lisätiedotc) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a,
Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. 1. Lukion A ja lukion B oppilasmäärien suhde oli a/b vuoden 2017 lopussa. Vuoden 2017 aikana
Lisätiedotorigo III neljännes D
Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä
LisätiedotFUNKTION KUVAAJAN PIIRTÄMINEN
FUNKTION KUVAAJAN PIIRTÄMINEN Saat kuvapohjan painamalla @-näppäintä tai Insert/Graph/X-Y-POT. Kuvapohjassa on kuusi paikanvaraaja: vaaka-akselin keskellä muuttuja ja päissä minimi- ja maksimiarvot pystyakselin
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotMetropolia ammattikorkeakoulu TI00AA : Ohjelmointi Kotitehtävät 3 opettaja: Pasi Ranne
Seuraavista tehtävistä saatu yhteispistemäärä (max 7 pistettä) jaetaan luvulla 3.5 ja näin saadaan varsinainen kurssipisteisiin laskettava pistemäärä. Bonustehtävien pisteet jaetaan luvulla 4 eli niistä
LisätiedotP6SLite ohjaus- ja zoom komennot
1, Ohjaus zoom -toiminnot P6SLite ohjaus- ja zoom komennot Osa 1 pikanäppäintoiminnon Valitse APP-käyttöliittymää ja APP ilmestyy toimintopainikkeeseen. Paina + = ZOOM +, paina - = ZOOM-. 2, Manuaalinen
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotCondes. Quick Start opas. Suunnistuksen ratamestariohjelmisto. Versio 7. Quick Start - opas Condes 7. olfellows www.olfellows.net 1.
Condes Suunnistuksen ratamestariohjelmisto Versio 7 Quick Start opas Yhteystiedot: olfellows Jouni Laaksonen Poijukuja 4 21120 RAISIO jouni.laaksonen@olfellows.net www.olfellows.net olfellows www.olfellows.net
LisätiedotMukavia kokeiluja ClassPad 330 -laskimella
Mukavia kokeiluja ClassPad 330 -laskimella Tervetuloa tutustumaan Casio ClassPad laskimeen! Jos laskin ei ole yksin omassa käytössäsi, on hyvä tyhjentää aluksi muistit ja näytöt valikosta Edit->Clear All
LisätiedotHDS Gen3 Pikaopas. Yleiskuvaus. Nro Näppäin Toiminto
HDS Gen3 Pikaopas FI Yleiskuvaus 1 4 6 5 7 2 3 8 9 10 11 Nro Näppäin Toiminto 1 Kosketusnäyttö 2 Sivut-näppäin Aktivoi aloitussivun Kohdistin- Siirtää kohdistinta, siirtyy valikkokohteissa ja säätää arvoja
Lisätiedot19 Sovellukset TI -86 F1 F2 F3 F4 F5. M1 M2 M3 M4 M5 Petoeläin-saalis-malli... 299
19 Sovellukset TI -86 Matemaattisten toimintojen käyttö matriiseissa... 284 Kuvaajien välisen alueen täyttäminen... 284 Integrointilaskennan perusteoreema... 286 Sähköpiirit... 287 Ohjelma: Sierpinskin
Lisätiedot12. Differentiaaliyhtälöt
1. Differentiaaliyhtälöt 1.1 Johdanto Differentiaaliyhtälöitä voidaan käyttää monilla alueilla esimerkiksi tarkasteltaessa jonkin kohteen lämpötilan vaihtelua, eksponentiaalista kasvua, sähkölatauksen
LisätiedotExcelin käyttö mallintamisessa. Regressiosuoran määrittäminen. Käsitellään tehtävän 267 ratkaisu.
Excelin käyttö mallintamisessa Regressiosuoran määrittäminen Käsitellään tehtävän 267 ratkaisu. 1)Kirjoitetaan arvot taulukkoon syvyys (mm) ikä 2 4 3 62 6 11 7 125 2) Piirretään graafi, valitaan lajiksi
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotDatatähti 2019 loppu
Datatähti 2019 loppu task type time limit memory limit A Summa standard 1.00 s 512 MB B Bittijono standard 1.00 s 512 MB C Auringonlasku standard 1.00 s 512 MB D Binääripuu standard 1.00 s 512 MB E Funktio
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotKäyttäjän käsikirja WTN radiomajakka. Version: FIN180427
Version: FIN180427 Käyttäjän 1 käsikirja Sisällys 1 WTN-Radiomajakka Näytöt ja näppäimet... 3 2 Käynnistys ja toiminta-aika... 4 2.1 WTN-laitteen käynnistys... 4 2.2 WTN-laitteen sammutus... 4 2.3 Virransyöttö:...
LisätiedotExcel Perusteet. 2005 Päivi Vartiainen 1
Excel Perusteet 2005 Päivi Vartiainen 1 SISÄLLYS 1 Excel peruskäyttö... 3 2 Fonttikoon vaihtaminen koko taulukkoon... 3 3 Sarakkeen ja rivin lisäys... 4 4 Solun sisällön ja kaavojen kopioiminen... 5 5
LisätiedotAlgoritmit 1. Demot Timo Männikkö
Algoritmit 1 Demot 1 31.1.-1.2.2018 Timo Männikkö Tehtävä 1 (a) Algoritmi, joka tutkii onko kokonaisluku tasan jaollinen jollain toisella kokonaisluvulla siten, että ei käytetä lainkaan jakolaskuja Jaettava
LisätiedotKÄYTTÖOHJE LÄMPÖTILA-ANEMOMETRI DT-619
KÄYTTÖOHJE LÄMPÖTILA-ANEMOMETRI DT-619 2007 S&A MATINTUPA 1. ILMAVIRTAUKSEN MITTAUS Suora, 1:n pisteen mittaus a) Kytke mittalaitteeseen virta. b) Paina UNITS - näppäintä ja valitse haluttu mittayksikkö
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
Lisätiedot1 Funktiot, suurin (max), pienin (min) ja keskiarvo
1 Funktiot, suurin (max), pienin (min) ja keskiarvo 1. Avaa uusi työkirja 2. Tallenna työkirja nimellä perusfunktiot. 3. Kirjoita seuraava taulukko 4. Muista taulukon kirjoitusjärjestys - Ensin kirjoitetaan
Lisätiedot1. Lineaarinen optimointi
0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on
LisätiedotMatikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon
Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotLineaarialgebra MATH.1040 / voima
Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.
LisätiedotKäyttöpaneelin käyttäminen
Tässä luvussa on tietoja käyttöpaneelista, tulostinasetusten muuttamisesta ja käyttöpaneelin valikoista. Useimmat tulostinasetukset voidaan muuttaa sovellusohjelmalla tai tulostinajurilla. Sovellusohjelmalla
LisätiedotHarjoitus 3 -- Ratkaisut
Harjoitus 3 -- Ratkaisut 1 ' '-merkki kirjoitetaan =, ' '-merkki!=, ' '-merkki ==. Yhtälöiden ratkaisusta puhutaan lisää myöhemmin. a f x, y : If ehtolauseke x y, y tämä palautetaan, jos
LisätiedotTasohyppelypeli. Piirrä grafiikat. Toteuta pelihahmon putoaminen ja alustalle jääminen:
Tasohyppelypeli 1 Pelissä ohjaat liikkuvaa ja hyppivää hahmoa vaihtelevanmuotoisessa maastossa tavoitteenasi päästä maaliin. Mallipelinä Yhden levelin tasohyppely, tekijänä Antonbury Piirrä grafiikat Pelaajan
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Käytännön asiat Jonot Sarjat 1.1 Opettajat luennoitsija Riikka Korte
LisätiedotMatematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
LisätiedotHarjoitus 1: Matlab. Harjoitus 1: Matlab. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1. Syksy 2006
Harjoitus 1: Matlab Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen Matlab-ohjelmistoon Laskutoimitusten
LisätiedotGREDDY PROFEC B SPEC II säätäminen
GREDDY PROFEC B SPEC II säätäminen Päätin tehdä tällaisen ohjeen, koska jotkut ovat sitä kyselleet suomeksi. Tämä on vapaa käännös eräästä ohjeesta, joka on suunnattu Evoille (joka on koettu toimivaksi
LisätiedotKuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
LisätiedotKappale 18: Teksti-editori
Kappale 18: Teksti-editori 18 Johdanto: Tekstitoiminnot... 304 Text-editori-istunnon aloittaminen... 305 Tekstin syöttäminen ja muokkaaminen... 307 Erikoismerkkien syöttäminen... 311 Komentokielisen ohjelman
LisätiedotTAULUKOINTI. Word Taulukot
Word 2013 Taulukot TAULUKOINTI TAULUKOINTI... 1 Taulukon tekeminen... 1 Solusta toiseen siirtyminen... 1 Solun tyhjentäminen... 2 Taulukon Layout (Asettelu) välilehti... 2 Alueiden valitseminen taulukossa...
LisätiedotAloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi
Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)
Lisätiedot. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että
LisätiedotJuha Haataja 4.10.2011
METROPOLIA Taulukkolaskenta Perusteita Juha Haataja 4.10.2011 Lisätty SUMMA.JOS funktion käyttö (lopussa). Tavoite ja sisältö Tavoite Taulukkolaskennan peruskäytön hallinta Sisältö Työtila Omat kaavat,
LisätiedotOhjelmoinnin peruskurssi Y1
Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 16.9.2015 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 16.9.2015 1 / 26 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.
LisätiedotKODU. Lumijoen peruskoulu
KODU Lumijoen peruskoulu Sisällysluettelo 1. Aloitus... 2 1.1 Pelin tallennuspaikka... 2 1.2 Kodu Game lab... 3 2 Maan luominen... 4 2.1. Seinän tekeminen... 5 2.2. Vesialueen tekeminen peliin... 6 2.3.
LisätiedotPERUSLASKUJA. Kirjoita muuten sama, mutta ota välilyönti 4:n jälkeen 3/4 +5^2
PERUSLASKUJA Matemaattisten lausekkeiden syöttäminen: Kirjoita ilman välilyöntejä /+^2 Kirjoita muuten sama, mutta ota välilyönti :n jälkeen / +^2 Kopioi molemmat matematiikka-alueet ja liiku alueen sisällä
LisätiedotKirjoita oma versio funktioista strcpy ja strcat, jotka saavat parametrinaan kaksi merkkiosoitinta.
Tehtävä 63. Kirjoita oma versio funktiosta strcmp(),joka saa parametrinaan kaksi merkkiosoitinta. Tee ohjelma, jossa luetaan kaksi merkkijonoa, joita sitten verrataan ko. funktiolla. Tehtävä 64. Kirjoita
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
Lisätiedot9. Kappale -ryhmä - Kappalemuotoilut
9. Kappale -ryhmä - Kappalemuotoilut Aloitus -välilehdellä Kappale -ryhmästä löytyvät kaikki kappalemuotoilut. Huomaa, että kappalemuotoilut ovat aina voimassa seuraavaan kappalemerkkiin asti. Kappalemerkki
LisätiedotKAAVAT. Sisällysluettelo
Excel 2013 Kaavat Sisällysluettelo KAAVAT KAAVAT... 1 Kaavan tekeminen... 2 Kaavan tekeminen osoittamalla... 2 Kaavan kopioiminen... 3 Kaavan kirjoittaminen... 3 Summa-funktion lisääminen... 4 Suorat eli
LisätiedotAvaa ohjelma ja tarvittaessa Tiedosto -> Uusi kilpailutiedosto
Condess ratamestariohjelman käyttö Aloitus ja alkumäärittelyt Avaa ohjelma ja tarvittaessa Tiedosto -> Uusi kilpailutiedosto Kun kysytään kilpailun nimeä, syötä kuvaava nimi. Samaa nimeä käytetään oletuksena
LisätiedotOHJELMOINTILAITE 10/50
OHJELMOINTILAITE 10/50 1 2 3 4 5 6 17 16 15 7 14 8 13 12 11 10 9 1) Näyttö 1 taivutuksen nro. 2) Näyttö 2 kulma 3) LED merkkivalo MANUAALI 4) OFF-SET. 5) Taivutussuunta. 6) Palautus 7) Käynnistys ja resetointi.
LisätiedotKSAO Liiketalous 1. Asiakirjan ulkoasuun vaikuttavat tekstin muotoilut ja kappale muotoilut. Kappaleen ulkoasuun vaikuttavia tekijöitä:
KSAO Liiketalous 1 Asiakirjan ulkoasuun vaikuttavat tekstin muotoilut ja kappale muotoilut. Kappaleen ulkoasuun vaikuttavia tekijöitä: tekstin tasaus sisennys riviväli; kappaleen sisäiset rivivälit kappaleiden
LisätiedotGeoGebra-harjoituksia malu-opettajille
GeoGebra-harjoituksia malu-opettajille 1. Ohjelman kielen vaihtaminen Mikäli ohjelma ei syystä tai toisesta avaudu toivomallasi kielellä, voit vaihtaa ohjelman käyttöliittymän kielen seuraavasti: 2. Fonttikoon
LisätiedotKAPPALEMUOTOILUT. Word Kappalemuotoilut
Word 2013 Kappalemuotoilut KAPPALEMUOTOILUT KAPPALEMUOTOILUT... 1 Tekstin tasaaminen... 1 Sisentäminen... 1 Koko kappaleen sisentäminen... 2 Sisennyksen poistaminen... 2 Riippuva sisennys (sivuotsikko)...
LisätiedotHarjoitustehtävät 6: mallivastaukset
Harjoitustehtävät 6: mallivastaukset Niku Määttänen & Timo Autio Makrotaloustiede 31C00200, talvi 2018 1. Maat X ja Y ovat muuten identtisiä joustavan valuuttakurssin avotalouksia, mutta maan X keskuspankki
LisätiedotYKSIKÖT Tarkista, että sinulla on valittuna SI-järjestelmä. Math/Units Ohjelma tulostaa/käyttää laskennassaan valittua järjestelmää.
YKSIKÖT Tarkista, että sinulla on valittuna SI-järjestelmä. Math/Units Ohjelma tulostaa/käyttää laskennassaan valittua järjestelmää. HUOM! Käytettäessä yksikköjä on huomioitava dokumentissa käytettävät
LisätiedotCROSSTRAINER (Model E 7000P)
CROSSTRAINER (Model E 7000P) Kuva 1 Poista pultit (C4) tiivisterenkaat (C5) ja mutterit (C6) takavakaajasta (C). Laita kaksi pulttia (C4) takavakaajan läpi, kiinnittääksesi kannattimen laitteeseen (A),
LisätiedotTaulukkolaskentaa selkokielellä EXCEL
Taso 1 1 MICROSOFT Taulukkolaskentaa selkokielellä EXCEL Tuomas Seitsemän veljeksen Tuomas on vakaa ja vahva kuin tammi. Hänellä ei ole juuri mielikuvitusta, hän ei keksi mitään itse, vaan ideat tulevat
LisätiedotYleistä vektoreista GeoGebralla
Vektoreita GeoGebralla Vektoreilla voi laskea joko komentopohjaisesti esim. CAS-ikkunassa tai piirtämällä piirtoikkunassa. Ensimmäisen tavan etuna on, että laskujen tueksi muodostuu kuva. Tästä on varmasti
LisätiedotTässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms.
OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
LisätiedotValintanauhan komennot Valintanauhan kussakin välilehdessä on ryhmiä ja kussakin ryhmässä on toisiinsa liittyviä komentoja.
Pikaopas Microsoft Excel 2013 näyttää erilaiselta kuin aiemmat versiot. Tämän oppaan avulla pääset alkuun nopeasti ja saat yleiskuvan uusista ominaisuuksista. Komentojen lisääminen pikatyökaluriville Pidä
LisätiedotFullHD herätyskello-valvontakamera
FullHD herätyskello-valvontakamera Käyttöohje Ajan asetus Kun kellonaika on näytössä paina SET, näytöllä näkyy nyt vuosi aseta oikea aika UP ja DOWNnäppäimillä ja paina SET uudelleen. Aset kuukausi, päivä,
Lisätiedot