MIKROTEORIA, HARJOITUS 3 KYSYNTÄ YLI AJAN JA EPÄVARMUUDEN VALLITESSA, OSTAJANA JA MYYJÄNÄ, SEKÄ TYÖN TARJONTA

Transkriptio

1 MIKROTEORI, HRJOITUS 3 KYSYNTÄ YLI JN J EPÄVRMUUEN VLLITESS, OSTJN J MYYJÄNÄ, SEKÄ TYÖN TRJONT Voistojen eistämässä kylässä kasvatetaan ainoana elinkeinona vehnää Sadot vaihtelevat vosittain, siten, että hyvä ja hono satovosi seaavat aina toisiaan Voden sato on 000 kiloa ja voden sato on 50 kiloa Kn satoa vaastoidaan, syövät otat siitä aina 5% Ratkaise, mikä viljan klts maksimoi kyläläisten hyödyn Piiä myös kva Paljonko viljaa otat syövät? Entä kn kylä avat maailmanmakkinoille? Hyötyfnktio: U (, ) djettiajoite, jossa -0,5, ω 000 ja ω 50: ω + ω + Ω + + Itse asiassa tässä on toinenkin ajoite lainaaminen ei ole mahdollista joten 000 (polveikas aj) Emme ota sitä mkaan Lagangen fnktioon, mtta vamistamme, että klts ei ylitä 000 kiloa Lagangen fnktio: L + Ω Ω 0 + Jakamalla ja ehdon polittain saamme +, jolloin 0, 75 3 ehdosta 0, ,75 0,75 ja 0, U Rotat syövät: 0,5(000 00) 00 Yhteydet paanevat: Usi bdjettiajoite: ,, 3,3

2 Nyt optimiehto: +,, jolloin bdjettiajoitteesta: 3,3 58,8 ja, 58,8 5 U 58, Ω Elät vain kaksi peiodia Ensimmäisellä peiodilla ansaitset eoa Toisella peiodilla olet eläkkeellä ja elät säästöillä Hyötyfnktiosi on motoa U(, ) Kohtaamasi koko, jolla voit ottaa tai antaa lainaa, on 0 % Jos kokotaso kohoaa, kinka käy peiodin kltkselle (kasvaako, pieneneekö vai säilyykö samana)? Kinka käy peiodin kltksen koon nostessa? Entä jos eon tlosi tlisivatkin peiodilla ( peidiodin tlo 0), kinka koon nos vaikttaisi peiodin kltkseesi? Hyötyfnktio: U (, ) djettiajoite, jossa,, ω ja ω 0: ω + ω + ω + + Lagangen fnktio: L + ω

3 ω + 0 Jakamalla ja ehdon polittain saamme +, jolloin ( + ) 3 ehdosta ( + ) ω + ω ω ja ( + ) ( + ) 7500 U ,5 milj Kompaatiivinen statiikka: 0 eli koolla ei vaiktsta eli peiodin klts säilyy samana ω > 0 eli koon nostessa peiodin klts kasvaa Kn kaikki tlot toisella peiodilla, bdjettiajoite ω ω + ω ja 3 ehdosta ( + ) ω ω 77,7 ( ) ω ja ( + ) ( + ) 5000 ( + ) U 77, ,8 milj Kompaatiivinen statiikka: ω < 0 eli koon nos johtaa peiodin kltksen laskn 4 + ( ) 0 eli koon nostessa peiodin klts säilyy samana 3 Klttajan täytyy ensin valita jompikmpi seaavista apajaisista: pajaiset tottavat 4000 todennäköisyydellä 0, ja 0 todennäköisyydellä 0,8 pajaiset tottavat 3000 todennäköisyydellä 0,5 ja 0 todennäköisyydellä 0,75 Sen jälkeen klttajan täytyy valita jompikmpi seaavista apajaisista: pajaiset tottavat 4000 todennäköisyydellä 0,8 ja 0 todennäköisyydellä 0, pajaiset tottavat 3000 todennäköisyydellä Oletetaan, että klttajan odotett hyöty on VNM-motoa a Oletetaan, että hyötyfnktio on motoa x) x / Onko klttaja iskin kaihtaja vai iskin akastaja? Mitkä valinnat hän tekee yo tilanteissa? valinta: pajainen :

4 Hyöty vaallisden odotsavosta: E U px + p x 0, ,80 ( )) ( 750) 750 7, 38 E U px + p x 0, ,750 E[ U ( p x + p x ) 0, ,80) ( 800) 800 8, 8 ( )) Odotett hyöty: [ ( )], 5 pajainen : Odotett hyöty: [ ( )] 3, 9 Koska E [ U ( )] > ( )], klttaja valitsee apajaisen valinta: pajainen : ( )) 300) 300 5, 57 Odotett hyöty: [ U ( )] p x + p x 0, ,0 50, E pajainen : ( )) 3000) , 77 Odotett hyöty: [ U ( )] p x , 77 E Koska [ U ( )] E U ( ) [ E > ], klttaja valitsee apajaisen Klttaja on iskin kaihtaja, koska E )) E[ U ( )] ( tai 0 (konkaavi) b Oletetaan, että hyötyfnktio on motoa x) x Onko klttaja iskin kaihtaja vai iskin akastaja? Mitkä valinnat hän tekee yo tilanteissa? valinta: pajainen : Hyöty vaallisden odotsavosta: )) px + p x ) 800) 800 0,4milj Odotett hyöty: E[ U ( )] px + p x 0, ,80 3,milj pajainen : )) 750) 750 0,55milj Odotett hyöty: E[ U ( )] p x + p x 0, ,750, 5milj Koska E [ U ( )] < E U ( )], klttaja valitsee apajaisen valinta: [ pajainen : )) 300) 300 0,4milj Odotett hyöty: E[ U ( )] p x + p x 0, , 0,8 milj pajainen : E ( )) 3000 ) milj Odotett hyöty: E[ U ( )] p x Koska [ U ( )] E U ( ) [ milj E < ], klttaja valitsee apajaisen Klttaja on iskin akastaja: )) E[ U ( )] ( tai 0 (konveksi) 4 Klttajan käytettävissä oleva aika on 4 tntia ja hänen osaketlonsa ovat 0 eoa/päivä on klts ja R vapaa-aika Kltshyödykkeen hinta on yksi ja klttajan tntipalkka on 0 eoa Seksiko modostvat päivittäinen optimaalinen työaika ja klts? Hyötyfnktio:

5 (, R) R U Olkoon osaketlot M0 ja sin mahdollinen käytettävissä oleva vapaa-aika R 4 Klts voidaan nyt kijoittaa: M + w( R R), missä ( R R) on työntekoon käytetty aika Tästä saadaan bdjettiajoite: + wr M + wr + 0 R Lagangen fnktio: L R R ( ) R 0 R R 30 0R 0 Sijoittamalla R ja 3 ehtoon saamme , jolloin R 8 ja 80 ja työaika 4 8 U Klttajan alkvaalliss on ω 0 ja ω 0 Klttajan hyötyfnktio on kvasilineaainen Olkoon hyödykkeen hinta yksi ja hyödykkeen hinta p Laske klttajan optimi Hyödykkeen hinta nosee siten, että p 3 Laske klttajan si optimi Minkä siset ovat sbstittio-, tavallinen tlo- ja vaalliss-tlovaiktkset? Käytä hyväksesi kvaa ja tietoa hyötyfnktion kvasilineaaisdesta Hyötyfnktio: ( x, x ) x x + 0 djettiajoite, jossa p, ω 0 ja ω 0: p x + x p ω + ω Lagangen fnktio: + 0x + x L x ω ( p ω + p x ) p x x 0 p 5x 0 x 5 p 5 p ω + ω p x x 0 x pω + ω x p Tällöin paametien annetilla avoilla alktilanteessa: x 70 ja x 00 pω + ω 5p p

6 Hinnan nosta (p 3): x 5 ja x Sbstittiovaikts: lkpeäisen optimin katta klkeva den bdjettisoan sntainen soa: p ' x + x 3x + x Sijoittamalla si hinta toiseen Lagange-yhtälöön saadaan x 5 s 85 ja bdjettisoasta tämän avlla 3x x 8, 3 3 s s 85 5 Siten sbstittiovaiktkseksi tlee x x x 70 4, Tavallinen tlovaikts: Vaallisden alkpeäisen avon mkainen den bdjettisoan sntainen soa: p' x + x pω + ω 3x + x Taas toisesta Lagange-yhtälöstä saadaan (tässä näkyy kvasilineaaiss, hyödykkeen kysyntä ei iip tlosta) x 5 n 5, ja 3x x n n s Siten tavalliseksi tlovaiktkseksi saadaan x x x 5 3, Vaallisstlovaikts: Vaallisden den avon mkainen den bdjsoan sntainen soa: p x + x p ' ω + ω 3x + x 300 ' x 5 x 5 m n x x x Optimi: ja Siten Kokonaisvaikts: s n m 5 70 x x + x + x

7 Mekitään pelien tottoja kvaavia satnnaismttjia pelien kijaimilla,, ja Olkoon w henkilön mielivaltainen alkvaalliss Määitellään myös seaavat satnnaismttjat: W + w, W + w, W + w ja W + w a) Henkilön hyödyn absolttisilla avoilla ei ole väliä Voidaan siis valita hyötyfnktio, jolla w)0 Nyt henkilö valitsee hkapelin, jos ja vain jos U ( W ) U ( W ) W 0 0, 0 )) W )) 0,89 0 Tämä on pyydetty ehto 0, , ,0 w) b) Oletetaan, että henkilö valitsi vaihtoehdon Pätee siis, että 0, (0 0, (5 0 Toisaalta W )) 0, 0 + 0,89 w) 0, 0 W )) 0, ,9 w) 0, 50 Sattmalta nämä ovat samat kin kohdan a) epäyhtälöehdossa olevat lvt Tästä seaa siis, että tlee päteä W )) W )) Henkilö siis valitsee hkapelin, jos ja vain jos hän valitsee myös hkapelin Mitkä hkapelit itse valitsisit? ja Katso kijan s Jos klttajan pefeenssejä kvaa mielivaltainen hyötyfnktio v(x), jolla v(w)k, niin samoja pefeenssejä kvaa myös hyötyfnktio x)v(x)-k Tällöin w)v(w)-kk-k0