Moraalinen uhkapeli: perusmalli ja optimaalinen sopimus

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Moraalinen uhkapeli: perusmalli ja optimaalinen sopimus"

Transkriptio

1 Moraalinen uhkapeli: perusmalli a optimaalinen sopimus Mat Optimointiopin seminaari Mauno Taaamaa

2 Esityksen rakenne Johdanto moraalisen uhkapelin käsite) Yksinkertaistettu tapaus a sen ratkaisu Yleinen malli a optimaalisen ratkaisun/sopimuksen ohto Optimaalisen ratkaisun/sopimuksen tulkinta Yhteenveto a kysymykset Kotitehtävä

3 Johdanto: Moraalinen uhkapeli Moraalisen uhkapelin edellytykset Agentti tekee päätöksen toiminta ), oka vaikuttaa hänen a Päämiehen saamaan hyötyyn Päämies pystyy vain tarkkailemaan tulosta, epätäydellistä signaalia toiminnasta Toiminta, onka Agentti suorittaa, ei ole Pareto-optimaalinen

4 Johdanto: Moraalinen uhkapeli Päämies ei voi pakottaa Agenttia toimimaan Paretooptimaalisesti, sillä hän ei tiedä mitä Agentti tekee Normaalisti Agentti on riskiä karttava a Päämies riskineutraali Päämies pyrkii vaikuttamaan Agentin saamaan hyötyyn lopputuloksen kautta: kannustimet a riskinkanto näiden välillä kompromissi) Mikäli Agentti riskineutraali, mitään kompromissia ei tarvita, vaan Agentti haluaa kantaa kaiken riskin

5 Yksinkertaistettu tapaus Kaksi toimintaa a), kaksi tulosta x) Agentti valitsee työskentelyn a=1) a työskentelemättä olemisen a = 0) välillä Kun a = 1, niin onnistumisen todennäköisyys on P, vastaavasti a = 0 niin todennäköisyys on p < P Päämies pystyy seuraamaan vain onnistuuko vai epäonnistuuko agentti Toiminnan hinta Agentille on normalisoitu siten, että agentin saama hyöty riippuen palkkiosta w) on uw) a, missä u on konkaavi Päämiehen saama hyöty onnistumisesta on x S a epäonnistumisesta on x F < x S

6 Yksinkertaistettu tapaus Päämies pyrkii saamaan Agentin valitsemaan a = 1, oten hän antaa palkkion w S onnistumisesta a w F epäonnistumisesta Täten Agentin saama hyöty Puw S ) + 1 P)uw F ) 1 puw S ) + 1 p)uw F ) P p)uw S ) uw F )) 1 Koska w S w F niin palkkoen erotus nousee kun P p olloin on vaikeampaa päätellä Agentin valintaa). Tällöin sanotaan, että kannustimen ollakseen toimiva on oltava korkea-asteisempi IC)

7 Yksinkertaistettu tapaus Myös yksilöllinen osallistumisraoite rationaalisuusehto) on pitää ottaa huomioon ulkopuolisen valinnan antama hyöty = U): Puw S ) + 1 P)uw F ) 1 U IR) Nyt IR-epäyhtälö)ehto redusoituu yhtälöksi, sillä muuten Päämies voi vähentää uw S ):sta a uw F ):sta pienen muutoksen, ε, oka ei muuta IC-ehtoa, mutta lisää Päämiehen hyötyä: Px S w S ) + 1 P)x F w F )

8 Yksinkertaistettu tapaus Lisäksi IC-ehto myös muodostuu yhtälöksi Sillä os se olisi tiukka epäyhtälö siitä voisi vähentää w S :stä termin 1 P)ε/u w S ) a lisätä w F :ään termin Pε/u w F ) Tällöin vielä IC-ehto olisi voimassa pienelle ε Nyt uw S ) vähenisi 1 P)ε verran a uw F ) kasvaisi Pε verran siten, että IR ehto pysyisi voimassa Kuitenkin Päämiehen kulut Pw S + 1 P) w F vähentyisi P1 P) ε1/u w S ) 1/uw F )) verran, oka on positiivinen sillä w S >w F a u on konkaavi

9 Yksinkertaistettu tapaus Nyt IC- a IR- ehdoista syntyy seuraavat ehdot: uw F ) = U p/p p) uw S ) = U 1 p)/p p) Josta ratkeaa Päämiehen odotettu hyöty: W 1 =Px S w S ) + 1 P)x F w F ) Mikäli Päämies katsoo, että Agentin kannustintoimet ovat liian kalliita, hän taroaa palkkioita w S = w F = w siten, että uw) = U a Päämies saa odotetun hyödyn: W 0 =px S + 1 p)x F w

10 Yksinkertaistettu tapaus Nyt W 1 W 0 on: W 1 W 0 = P p)x S x F )+w P w S 1 P)w F Koska palkkiot eivät riipu x S, x F :stä, oten os onnistuminen on Päämiehelle selvästi kiinnostavampi kuin epäonnistuminen x S x F on iso), niin hän valitsee kannustinpalkkion Tällöin on x S w S > x F w F optimitilassa, olloin voitto on aettu Agentin a Päämiehen kesken

11 Yleinen malli - pohustus Agentti voi valita n vaihtoehdoista toiminnan: a 1,a 2,,a n Vastaavasti tulee m kpl tuloksia: x 1,,x m Tulos on siis a priori signaali Agentin toiminnasta voitto/yliäämä Päämies- Agentti suhteesta Toiminnan vaihtoehdon a tuloksen välistä suhdetta kutsutaan toimintarakenteeksi : a i x tn:llä p i >0

12 Yleinen malli - lähtökohta Perusaatuksena on, että sopimusten tulee perustua palkkioihin, otka riippuvat tuloksesta: Päämies huomaa tuloksen x, hän maksaa palkkion w a pitää x w itsellään Agentin hyöty on separoituva palkkion a toiminnan suhteen, lisäksi toiminta on renormalisoitu siten, että marginaalikulut ovat vakiot Agentin hyöty on täten uw) a, missä u on kasvava a konkaavi Päämies on riskineutraali, olloin hänen hyötynsä on x w

13 Yleinen malli Agentin ohelma Agentti valitsee toimintansa Päämiehen taroaman palkkion w perusteella seuraavan ongelman pohalta max p i uw ) a i ) Kun Agentti valitsee a i, niin on n 1) kpl kannustinehtoa a rationaalisuusehto p i uw ) a i p k uw ) a k, IC k ) oka on voimassa k = 1,..,n a k n. p i uw ) a i U IR)

14 Yleinen malli Päämiehen ohelma Päämies voi valita sopimuksen w 1,,w n, oka maksimoi hänen odotettua hyötyään max p i x w ) Kun a i on optimaalinen ratkaisu, niin IR- a IC raoitteesiin liittyvät kertoimet λ 0 a µ 0 λ k p i uw ) a p k uw ) + a k ) 0 IC k ) µ p i uw ) a U ) 0 IR)

15 Yleinen malli Optimiratkaisu Ratkaisu tapahtuu Lagrangian yhtälön kautta Lw, λ, µ) = p i x w ) + λ p i uw ) a p k uw ) + a k ) + µ p i uw ) a U) Siitä saadaan ratkaistua 1 u' w ) = µ + n k = 1, k i λ 1 k p p k i ) Tämä redusoituu ykkösparhaaksi 1/ u w ) = µ 0, oka on samalla tehoikkain riskiako µ 0 toteuttaa aktiivisen IR:n) Termillä p k /p i on tärkeä rooli analyysissa, se voidaan ymmärtää tilastollisessa mielessä sitä kutsutaankin todennäköisyyssuhteeksi likelihood ratio) a pätee: p k /p i 1 kaikilla k, kun a i on estimaattori suhteelle annetulla x *)

16 Yleinen malli Optimiratkaisu Optimiratkaisu a i kiinnitetty Koska kaikki kertoimet λ k ovat ei-negatiivisia a funktio 1/u on kasvava, niin palkkio w liittyen tulokseen on suurempi kun on isompi määrä todennäköisyyssuhteita p k /p i <1 Päädytään ohtopäätökseen, että Päämies antaa parempaa palkkaa, kun hän tulkitsee tuloksesta, että Agentin suorittama toiminta olisi optimaalista

17 Yleinen malli Optimiratkaisun tulkinta Tutkitaan kuinka palkkio w riippuu tuloksesta Tiedetään, että kun Agentin toiminta on näkyvä a Päämies riskineutraali, niin optimaalinen palkka on vakio Jos Päämies on riskiä karttava a hänellä on konkaavi von Neumann-Morgenstern hyötyfunktio v, niin silloin marginaalihyötyen suhde on v x w ))/u w ) Tämä on itsenäinen tuloksesta, a optimiratkaisu w, on kasvava funktio :stä Vastaavanlainen tulos olisi hyvä saada myös tilanteessa, ossa Agentin toiminta ei ole havaittavissa Luonnollista olisi, että palkkion tulisi olla isompi, mitä enemmän hyödyn yliäämää on aettavissa

18 Yleinen malli Optimiratkaisun tulkinta Yleisesti pätee vain seuraavaa: 1. w ei voi olla tasaisesti vähenevä :ssä 2. Kuten ei myöskään x w ) 3. On olemassa,l) w > w l a x w x l w l

19 Yleinen malli Optimiratkaisun tulkinta Jos tuloksia on kahta vaihtoehtoa: onnistuminen a epäonnistuminen, niin optimaalinen palkkio-ohelma w: w 1 = w w 2 = w + sx 2 -x 1 ) Agentti saa siis peruspalkkion w, a bonuksen yliäämän perusteella mikäli hyväksyy sopimuksen 3. ehdon perusteella bonuskerroin: 0 < s 1

20 Yleinen malli Optimiratkaisun tulkinta Mikäli tuloksia enemmän kuin kaksi vaihtoehtoa, ei tarkempaa analyysia voi tehdä tekemättä lisäoletuksia toimintarakenteesta eli todennäköisyyksistä p i ) Tuloksella on siis kaksoisrooli: 1) kertoo aettavan hyödyn yliäämän 2) signaloi Päämiehelle minkälaisen toiminnan Agentti on mahdollisesti) tehnyt Ratkaisun rakenne täten määräytyy signaalin ominaisuuksista, kuten edellä nähtiin todennäköisyyssuhteesta

21 Yleinen malli Optimiratkaisun tulkinta Optimiratkaisu oli siis 1/ u w ) = µ + λ k 1 p k / p i ) *) Oletetaan, että korkeampi toiminta lisää todennäköisyyttä saada hyvä tulos vähintään yhtä palon kuin se lisää todennäköisyyttä saada huonompi tulos: kaikilla k < i, l <, pi pk p p il kl Tätä kutsutaan monotoniseksi todennäköisyyssuhde-ehdoksi MLRC: monotone likelihood ratio condition)

22 Yleinen malli Optimiratkaisun tulkinta MLRC kertoo siis että todennäköisyyssuhde kasvaa tuloksen kasvaessa Lisäksi siitä seuraa ensimmäisen asteen stokastinen dominanssi todistus kiran haroitus 5.6) Koska *):n kertoimet λ k ovat ei-negatiivisia, niin MLRC sanoo, että termit λ k 1 p k / p i ) ovat kasvavia, mikäli k < i a väheneviä muulloin Mielekäs ratkaisu saadaan kun ehdoksi tulee, että kertoimet λ k ovat nollia kun k > i, olloin ainoat aktiiviset kannustinraoitteet ovat ne, otka estävät Agenttia valitsemasta toimintaa, oka on vähemmän kallista kuin optimaalinen ratkaisu

23 Yleinen malli Optimiratkaisun tulkinta Mikäli tuloksia on vain kahdenlaisia, riittää MLRC takaa, että palkkio nousee tuloksen perusteella Yleisessä tapauksessa käytetään Jakaumafunktion konveksisuusehtoa CDFC - convexity of the distribution function condition) Kumulatiivinen akaumafunktio tuloksesta pitää olla konveksi a:ssa {a 1,, a n } Tarkemmin, kun i < < k a λ kuuluu [0,1] siten, että a = λa i + 1 λ)a k, niin CDFC P l λp il + 1 λ)p kl kaikilla l = 1,,m Yksi tulkinta CDFC:lle on, että se kuvaa toiminnasta tulevien tuloen vähenemistä, mutta Salinié kritisoi tulkintaa

24 Yleinen malli Optimiratkaisun tulkinta Olkoon a i optimaalinen toiminta Tällöin on l < i, olloin λ l on positiivinen Jos kaikki λ k = 0, k < i, niin optimaalinen palkkio sama, os mahdolliset toiminnat olisivat raoitettu A = {a i,,a n } Mutta tällöin optimaalinen palkkio olisi vakio, sillä a i on pienimmän kustannuksen toiminta oukossa A Nyt vakio palkkio voi implementoida toiminnan a 1, eikä a i oka on siis globaali optimi) ei päästä eteenpäin

25 Yleinen malli Optimiratkaisun tulkinta Tarkastellaan tilannetta, ossa Agentti on raoitettu toimintaan A = {a 1,,a i } a optimipalkkio w Tällöin a i on kallein toiminta a MLRC kertoo, että w kasvaa :ssä Tavoitteena todistaa, että w pysyy optimaalisena os Agentin annetaan valita toiminta raoittamattomasta oukosta A = {a 1,,a n }

26 Yleinen malli Optimiratkaisun tulkinta Vastatodistus: oletetaan, että on olemassa k > i siten, että Agentti haluaa valita a k :n: p k uw ) a k > p i uw ) a i Nyt l on indeksi toiminnalle, oka on vähemmän kallis kuin a i a onka kerroin λ k 0, p l uw ) a l = p i uw ) a i On olemassa λ kuuluu [0,1] siten, että a i = λa k + 1 λ)a l CDFC P i λp k + 1 λ)p l kaikilla = 1,,m

27 Yleinen malli Optimiratkaisun tulkinta Sioitetaan a käytetään CDFC:ää + = = = = = + = + + = = m l l m k k m l m l m k m k i m m m i i i a w u p a w u p a w u w u w u P a w u w u w u P a w u w u w u P a w u p ) ) 1 ) ) )) ) ) 1 ) )) ) ) )) ) ) λ λ λ λ

28 Yleinen malli Optimiratkaisun tulkinta Tulos on ristiriidassa a k :n a a l :n määritelmien kanssa Täten palkkio w on kasvava a optimaalinen ratkaisu yleiseen ongelmaan Pitää huomioida myös, että välttämättä aina intuitiiviset tulokset eivät päde, esim. Päämiehen odotettu tuotto ei nousekaan Agentin tullessa tuottoisammaksi stokastisen dominanssin mielessä, eli todennäköisyydet kasvavat) valitsi Agentti mitä tahansa kotitehtävä)

29 Yhteenveto Moraalinen uhkapeli erittäin yleinen elävässä elämässä Ratkaisu ongelmaan on sitoa Agentin palkkio tulokseen, käyttäen hyväksi kannustimia a tarvittaessa riskinakoa Johdettu optimaalinen sopimusehto a siitä saatu palkkio-ohelma 1/ u w ) = µ + λ k 1 p k / p i ) w kasvava tai kahden tuloksen tapauksessa w 1 = w w 2 = w + sx 2 -x 1 ) Kysymyksiä?

30 Kotitehtävä Kiran haroitus 5.3.1) Yksinkertaistettu tapaus kaksi toimintaa, kaksi tulosta) Lähde liikkeelle Päämiehen odotetusta hyödystä W 1 >W 0. Kiroita W 1 a osoita, että W p P1 P) 1 = 2 ) P p u' w 1 ) u' ) 1 < S w F 0

Moraalinen uhkapeli: laajennuksia ja sovelluksia

Moraalinen uhkapeli: laajennuksia ja sovelluksia Moraalinen uhkapeli: laajennuksia ja sovelluksia Sisältö Kysymysten asettelu Monen tehtävän malli Sovellusesimerkki: Vakuutus Sovellusesimerkki: Palkkion määrääminen Johtajan palkitseminen Moraalisen uhkapelin

Lisätiedot

Haitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli

Haitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli Haitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Mikko Hyvärinen 29.1.2008 Haitallinen valikoituminen kahden tyypin malli Haitallinen valikoituminen tarkoittaa että päämies

Lisätiedot

Signalointi: autonromujen markkinat

Signalointi: autonromujen markkinat Signalointi: autonromujen markkinat Mat-.414 Optimointiopin seminaari Klaus Mattila 1.0.008 1 Esityksen rakenne Johdanto Autonromujen markkinat: Akerlofin malli Kustannuksellinen signalointi: Spencen malli

Lisätiedot

Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu

Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Matias Leppisaari 29.1.2008 Esityksen rakenne Yleinen malli Käypyys ja rajoitusehdot Mallin ratkaisu Kotitehtävä

Lisätiedot

Haitallinen valikoituminen

Haitallinen valikoituminen Haitallinen valikoituminen Regulointi Verotus Vakuuttajamonopoli Kertausta Hyötyfunktiot Päämies: W(q,t) Agentti: U(q,t,ө) - q hyödykkeen määrä - t hinta (kassavirta, tms) - ө agentin tyyppi Päämies ei

Lisätiedot

Harjoitus 7: vastausvihjeet

Harjoitus 7: vastausvihjeet Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.

Lisätiedot

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista x + αd, α 0, on pisteestä x R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Lokaalit ääriarvot Yhden muuttujan funktion f (x) lokaali maksimi on piste x 0, jossa f (x) on suurempi kuin muualle pisteen x 0 ympäristössä, eli kun f (x 0 )

Lisätiedot

Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi

Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi Usean kauden tapaus 2 kauden yleistys Ääretön loppuaika Optimaalinen pysäytys Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / Ongelma t 0 x 0 t- t T x t- + x t + x T u

Lisätiedot

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista. + αd, α 0, on pisteessä R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin 2

Lisätiedot

Luento 9. June 2, Luento 9

Luento 9. June 2, Luento 9 June 2, 2016 Otetaan lähtökohdaksi, että sopimuksilla ei voida kattaa kaikkia kontingensseja/maailmantiloja. Yksi kiinnostava tapaus on sellainen, että jotkut kontingenssit ovat havaittavissa sopimusosapuolille,

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Yhteistyötä sisältämätön peliteoria jatkuu

Yhteistyötä sisältämätön peliteoria jatkuu Yhteistyötä sisältämätön peliteoria jatkuu Tommi Lehtonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Bayesilainen tasapaino Täysi informaatio Vajaa informaatio Staattinen Nash Bayes Dynaaminen Täydellinen

Lisätiedot

Bayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly

Bayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly Bayesin pelit Kalle Siukola MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 12.10.2016 Toistetun pelin esittäminen automaatin avulla Ekstensiivisen muodon puu on tehoton esitystapa, jos peliä

Lisätiedot

Sopimusteoria: Salanie luku 3.2

Sopimusteoria: Salanie luku 3.2 Sopimusteoria: Salanie luku 3.2 Antti Pirjetä Taloustieteiden kvantitatiiviset menetelmät Helsingin kauppakorkeakoulu 12.2.2008 1 Kilpaillut markkinat, yksi tai useampi päämies Agenttien 1 ja 2 tuottamat

Lisätiedot

Moraalinen uhkapeli: laajennuksia

Moraalinen uhkapeli: laajennuksia Morlinen uhkeli: ljennuksi Mt-2.4142 Otimointioin seminri Juho Kokkl 4.3.2008 steeminlsin Lbortorio Teknillinen korkekoulu Esitelmä 12 Juho Kokkl Otimointioin seminri - Kevät 2008 Esitksen rkenne Informtiivisuus

Lisätiedot

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 1. Olkoon herra K.:n hyötyfunktio u(x) = ln x. (a) Onko herra K. riskinkaihtaja, riskinrakastaja vai riskineutraali?

Lisätiedot

1. TILASTOLLINEN HAHMONTUNNISTUS

1. TILASTOLLINEN HAHMONTUNNISTUS 1. TILASTOLLINEN HAHMONTUNNISTUS Tilastollisissa hahmontunnistusmenetelmissä piirteitä tarkastellaan tilastollisina muuttujina Luokittelussa käytetään hyväksi seuraavia tietoja: luokkien a priori tn:iä,

Lisätiedot

Sekastrategia ja Nash-tasapainon määrääminen

Sekastrategia ja Nash-tasapainon määrääminen May 24, 2016 Sekastrategia Monissa peleissä ei ole Nash-tasapainoa puhtaissa strategioissa H T H 1, 1 1, 1 T 1, 1 1, 1 Ratkaisu ongelmaan löytyy siitä, että laajennetaan strategiat käsittämään todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoria

Luento 5: Peliteoria Luento 5: Peliteoria Portfolion optimointi Sijoittajan tehtävä Nashin tasapaino Vangin ongelma Nashin neuvotteluratkaisu 1 Portfolion optimointi Varallisuus A sijoitetaan n:ään sijoituskohteeseen (osake,

Lisätiedot

b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa.

b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa. 2.9. Epävarmuus ja odotetun hyödyn teoria Testi. Kumman valitset a) 10 euroa varmasti. b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa. Odotettu arvo 0,5* 15 + 0,5*5

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x) Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Hyöty (engl. utility) = arvo, jonka koemme riskitilanteessa eli, kun teemme päätöksiä epävarmuuden (todennäköisyyksien) vallitessa. Vrt.

Lisätiedot

1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100

1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100 HARJOITUS, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE 07.. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 0x +0xy +5y (b.) f(x,y) = 4x y xy +x+y +00 (a.) Funktion kriittiset pisteet ratkaisevat

Lisätiedot

Viime kerralta Epävarmuus ja riski Optimaalinen kulutus-säästämispäätös: Tulo- ja substituutiovaikutus analyyttinen tarkastelu Epävarmuus Epävarmuus

Viime kerralta Epävarmuus ja riski Optimaalinen kulutus-säästämispäätös: Tulo- ja substituutiovaikutus analyyttinen tarkastelu Epävarmuus Epävarmuus Viie kerralta Epävaruus ja riski Luento 5 4..010 Tulo- ja substituutiovaikutus hinnan uutoksessa Substituutiovaikutus budjettisuora kiertyi alkuperäisen valinnan ypärillä Tulovaikutus uusi budjettisuora

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Näissä harjoituksissa viljellään paljon sanaa paradoksi. Sana tulee ymmärtää laajassa mielessä. Suppeassa mielessähän

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Lineaarinen optimointi. Harjoitus 6-7, Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän. c T x = min!

Lineaarinen optimointi. Harjoitus 6-7, Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän. c T x = min! Lineaarinen optimointi Harjoitus 6-7, 016. 1. Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän c T x = min! (T) Ax b x 0 duaalitehtävän duaali on tehtävä (T). Ratkaisu. (P) c T x = min! Ax b x

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +

Lisätiedot

Projektin arvon aleneminen

Projektin arvon aleneminen Projektin arvon aleneminen sivut 99-07 Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / Arvon aleneminen Jatketaan projektin arvon tutkimista. Nyt huomioidaan arvon aleneminen. Syitä esimerkiksi: kaluston vanheneminen

Lisätiedot

Lineaarinen optimointitehtävä

Lineaarinen optimointitehtävä Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä yhtälörajoittein: min kun n j=1 n j=1 c j x j a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Merkitään: z = alkuperäisen objektifunktion arvo käsiteltävänä

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4 Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ

Lisätiedot

3. Teoriaharjoitukset

3. Teoriaharjoitukset 3. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 3.1 a Olkoot u ja v satunnaumuuttujia, joilla on seuraavat ominaisuudet: E(u = E(v = 0 Var(u = Var(v = σ 2 Cov(u, v = E(uv = 0 Näytä että deterministinen prosessi. x

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 1 Korkolaskentaa Oletetaan, että korkoaste on r Jos esimerkiksi r = 0, 02, niin korko on 2 prosenttia Tätä korkoastetta käytettään diskonttaamaan tulevia tuloja ja

Lisätiedot

2. Teoriaharjoitukset

2. Teoriaharjoitukset 2. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 2.1 Todista Gauss-Markovin lause. Ratkaisu. Oletetaan että luentokalvojen standardioletukset (i)-(v) ovat voimassa. Huomaa että Gauss-Markovin lause ei vaadi virhetermien

Lisätiedot

Luento 6: Monitavoiteoptimointi

Luento 6: Monitavoiteoptimointi Luento 6: Monitavoiteoptimointi Monitavoiteoptimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f 1,, f m Esimerkiksi opiskelija haluaa oppia mahdollisimman hyvin ja paljon mahdollisimman

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016

Lisätiedot

Pelien teoriaa: tasapainokäsitteet

Pelien teoriaa: tasapainokäsitteet Pelien teoriaa: tasapainokäsitteet Salanién (2005) ja Gibbonsin (1992) mukaan Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Jukka Luoma 1 Sisältö Staattinen Dynaaminen Staattinen Dynaaminen Pelityyppi Täydellinen

Lisätiedot

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Hintadiskriminaatio 2/2

Hintadiskriminaatio 2/2 Hintadiskriminaatio 2/2 Matti Hellvist 12.2.2003 Toisen asteen hintadiskrimiaatio eli tuotteiden kohdennus Toisen asteen hintadiskriminaatio toimii tilanteessa, jossa kuluttajat ovat keskenään erilaisia

Lisätiedot

Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki

Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Duaalisuus binäärisissä optimointitehtävissä Lagrangen duaalisuus Lagrangen

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Sopimusteoria: Salanie luku 3.2

Sopimusteoria: Salanie luku 3.2 Sopimusteoria: Salanie luku 3.2 Antti Pirjetä Antti.Pirjeta@hse. Helsingin kauppakorkeakoulu 12.2.2008 Kilpaillut markkinat, yksi tai useampi päämies Agenttien 1 ja 2 tuottamat voitot Oletetaan luvun 2.2

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Varian luku 12. Lähde: muistiinpanot on muokattu Varianin (2006, instructor s materials) muistiinpanoista

Varian luku 12. Lähde: muistiinpanot on muokattu Varianin (2006, instructor s materials) muistiinpanoista Epävaruus Varian luku 12 Lähde: uistiinpanot on uokattu Varianin (2006, instructor s aterials) uistiinpanoista Epävaruus Tähän asti ollaan tarkasteltu kuluttajan optiaalista valintaa sivuuttaen kokonaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 5A Vastaukset alkuviikolla

Lisätiedot

Luento 8. June 3, 2014

Luento 8. June 3, 2014 June 3, 2014 Luokka pelejä, joissa pelaajilla on epätäydellistä informaatiota toistensa preferensseistä ja joissa valinnat tehdään samanaikaisesti. Tämä tarkoittaa, että pelaajat eivät tiedä toistensa

Lisätiedot

Investointimahdollisuudet ja niiden ajoitus

Investointimahdollisuudet ja niiden ajoitus Investointimahdollisuudet ja niiden ajoitus Ratkaisu optiohinnoitteluteorian avulla Esitelmä - Eeva Nyberg Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / Tähän asti opittua NP:n rajoitteet vaikka NP negatiivinen

Lisätiedot

KKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n.

KKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n. TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.139 Optimointioppi Kimmo Berg 7. harjoitus - ratkaisut 1. Oletetaan aluksi, että epäyhtälöt eivät ole aktiivisia p i > 0. Tässä tapauksess KKTehdot

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

U missä U A := {U R n : U avoin ja U A}; intuitiivisesti suurin avoin joukko, joka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A

U missä U A := {U R n : U avoin ja U A}; intuitiivisesti suurin avoin joukko, joka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A Mitta a integraali Kesä 2 4. tehtävät Malliratkaisut (LS). Olkoon a i R i =, 2,... ono. Sanotaan, että i a i = os kaikille M R on olemassa i, olle kaikille i i pätee a i M. Sanotaan, että i a i = os i

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Pystysuuntainen hallinta 2/2

Pystysuuntainen hallinta 2/2 Pystysuuntainen hallinta 2/2 Noora Veijalainen 19.2.2003 Yleistä Tarkastellaan tilannetta jossa: - Ylävirran tuottajalla on yhä monopoliasema - Alavirran sektorissa vallitsee kilpailu - Tuottaja voi rajoitteillaan

Lisätiedot

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen. 4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,

Lisätiedot

Lyhyen aikavälin hintakilpailu 2/2

Lyhyen aikavälin hintakilpailu 2/2 Lyhyen aikavälin hintakilpailu 2/2 Ilkka Männistö Esitelmä 10 - Ilkka Männistö Optimointiopin seminaari - Kevät 2003 / 1 Kilpailun aste Markkinahinta ei kerro mitään kilpailun asteesta jos kustannusrakennetta

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava

Lisätiedot

Konsensusongelma hajautetuissa järjestelmissä. Niko Välimäki Hajautetut algoritmit -seminaari

Konsensusongelma hajautetuissa järjestelmissä. Niko Välimäki Hajautetut algoritmit -seminaari Konsensusongelma hajautetuissa järjestelmissä Niko Välimäki 30.11.2007 Hajautetut algoritmit -seminaari Konsensusongelma Päätöksen muodostaminen hajautetussa järjestelmässä Prosessien välinen viestintä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: 1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n

Lisätiedot

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että

Lisätiedot

Investointimahdollisuudet ja investoinnin ajoittaminen

Investointimahdollisuudet ja investoinnin ajoittaminen Investointimahdollisuudet ja investoinnin ajoittaminen Ajoituksen ratkaisu dynaamisella optimoinnilla Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / Esitelmän sisältö Investoinnin ajoitusongelman esittely Ongelman

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

3.7 Todennäköisyysjakaumia

3.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen

Lisätiedot

Taustatietoja ja perusteita

Taustatietoja ja perusteita Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:

Lisätiedot

4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä

4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 4. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R

Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 10. Kurssikerta Petrus Mikkola 22.11.2016 Tämän kerran asiat Globaali ääriarvo Konveksisuus Käännepiste L Hôpitalin sääntö Newtonin menetelmä Derivaatta ja monotonisuus

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta. 1200 b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy

Ratkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta. 1200 b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy Kotitehtävät 7. Aihepiirinä Investointi Ratkaisuehdotuksia 1. Investoinnin hankintameno on 9000 euroa ja siitä saadaan seuraavina vuosina vuosittain 1200 euron tulot. Määritä a) koroton takaisinmaksuaika

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Diofantoksen yhtälön ratkaisut

Diofantoksen yhtälön ratkaisut Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo Palautetaan aluksi mieliin yhden muuttujan funktion g(x) raja-arvo g(x). x a Tämä raja-arvo kertoo, mitä arvoa funktio g(x)

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

1. Vastaa seuraavaan tehtävään. Tehtävään liittyvä kuva on seuraavalla sivulla

1. Vastaa seuraavaan tehtävään. Tehtävään liittyvä kuva on seuraavalla sivulla A31C00100 Mikrotaloustiede Kevät 2017 HARJOITUKSET 3 1. Vastaa seuraavaan tehtävään. Tehtävään liittyvä kuva on seuraavalla sivulla (i) Alla olevan kuvan kuluttaja A) on riskinkaihtaja B) on riskineutraali

Lisätiedot

A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä. 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä.

A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä. 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä. HUUTOKAUPOISTA A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä. 2. Huutokauppapelejä voidaan käyttää taloustieteen

Lisätiedot