Esimerkki 1 (Rehun sekoitus) 1

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Esimerkki 1 (Rehun sekoitus) 1"

Maija-Liisa Korhonen
5 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 1 Karjankasvattaja käyttää luonnosta saadun nurmirehun lisäksi lisäravinnetta 200kg/päivä. Lisäravinne sekoitetaan maissista ja soijasta. Ravinteen ominaisuuksiin vaikuttaa raaka-aineiden proteiini- ja kuitupitoisuudet, jotka ovat seuraavat prosenttiosuus raaka-aine proteiini kuitu hinta (e/kg) maissi 9.0% 2.0% 0.30 soija 60.0% 6.0% 0.90 Ravinne sekoitetaan niin, että siinä on vähintään 30% proteiinia ja enintään 5% kuitua. Miten vaatimukset täyttävä ravinne saadaan sekoitettua minimi-kustannuksin?

2 2 Päätösmuuttujat ovat x 1 = maissin käyttö (kg/päivä) x 2 = soijan käyttö (kg/päivä) Tavoitefunktio on minimoi z = 0.30x x 2 Rajoite 1: ravinteessa oltava vähintään 30% proteiinia 0.09 x x (x 1 + x 2 ) 0.21 x x 2 0

3 3 Rajoite 2: ravinteessa oltava enintään 5% kuituaa 0.02 x x (x 1 + x 2 ) 0.03 x x 2 0 Rajoite 3: ravinnetta sekoitetaan vähintään 200kg/päivä x 1 + x Muodostetaan LP-malli kokoamalla kaikki yhteen

4 4 Minimoi z = 0.30x x 2 ehdoin 0.21x x x x 2 0 x 1 + x Graafinen ratkaisu: 1.raj: 0.21x x 2 0 yläp. A:(0,0) B:(300,210) 2.raj: 0.03x x 2 0 alap. C:(0,0) D:(120,360) 3.raj: x 1 + x yläp. E:(0,200) F:(200,0)

5 5 x E D (2) B (1) A,C (3) F x 1

6 6 Tavoitesuora pisteen (150, 150) kautta 0.30x x 2 = 180, G : (0,200), H : (300,100) x 2 (2) (1) 250 G H (3) A,C x 1

7 7 Optimi on siis pisteessä, jossa ensimmäinen (1) ja kolmas (3) rajoitesuora leikkaavat toisiaan. { 0.21x x 2 = 0 x 1 + x 2 = 200 { 0.7x1 x 2 = 0 + x 1 + x 2 = { 1.7x1 = 200 x 1 + x 2 = 200 { x 1 = x 2 = Tässä pisteessä tavoitefunktio saa avron ( 10/3) z = = e/päivä.

8 8 Seuraavassa esimerkissä käypä alue ei muutu, mutta tavoitefunktio käy läpi jatkuvan muutosprosessin.. Yritys valmistaa kahta tuotetta A ja B. Yhdestä A-tuotteesta saatava kate on 0.50(e/kpl) ja yhdestä B-tuotteesta saatava kate on 2.50(e/kpl) Tuotevalintaongelman LP-malli on seuraava max z = 0.5x 1 + 2x 2 k 0 = 1/4 s.t. x 2 60 k 1 = 0 x 1 + 3x k 2 = 1/3 x 1 + x k 3 = 1 3x 1 + x k 4 = 3 Mallin yhteyeen on merkitty myös rajoitesuorien kulmakertoimet. Niitä katsotaan kohta.

9 9 x 2 60 A B (1) k 1 = 0 C z = 0.5x 1 + 2x 2 k 0 = 1/4 D (2) k 2 = 1/3 (3) k 3 = 1 E x 1 (4) k 4 = 3

10 10 Tuotteen A kate, eli x 1 :n kerroin tavoitefunktion lausekkeessa, kasvaa vähitellen siten, että se on ajan funktio c 1 (t) = t, (t on aika päivissä) Tavoitesuoran kulmakerroin on silloin myös ajan funktio k 0 (t) = c 1(t) 2 = t

11 11 Hetkellä t = 50 A:n kate on c 1 (50) = = 1.0 Tavoitesuoran kulmakerroin on k 0 (50) = 0.5 x 2 60 A B (1) k 1 = 0 C z = c 1 x 1 + 2x 2 k 0 (50) = = 0.50 D (2) k 2 = 1/3 (3) k 3 = 1 E x 1 (4) k 4 = 3

12 12 Hetkellä t = 250 A:n kate on c 1 (250) = = 3.0 Tavoitesuoran kulmakerroin on k 0 (250) = 1.5 x 2 60 A B (1) k 1 = 0 C z = c 1 x 1 + 2x 2 k 0 (250) = = 1.50 D (2) k 2 = 1/3 (3) k 3 = 1 E x 1 (4) k 4 = 3

13 13 Hetkellä t = 750 A:n kate on c 1 (750) = = 8.0 Tavoitesuoran kulmakerroin on k 0 (250) = 4.0 x 2 60 A B (1) k 1 = 0 C z = c 1 x 1 + 2x 2 k 0 (750) = = 4.0 D (2) k 2 = 1/3 (3) k 3 = 1 E x 1 (4) k 4 = 3

14 14 Optimipisteen siirtyminen pisteestä B pisteeseen C tapahtui, kun k 0 (t) = k t = t = Optimipisteen siirtyminen pisteestä C pisteeseen D tapahtui, kun k 0 (t) = k t = 1 t = 150

15 15 Optimipisteen siirtyminen pisteestä D pisteeseen E tapahtui, kun k 0 (t) = k t = 3 t = 550 Seuraavaksi piirrämme päätösmuuttujan x 1 optimiarvon ajan funktiona. (Piirros perustuu siis ajatukseen, että A:n kate kasvaa tasaisesti 5 senttiä päivässä.) Kuvasta näkyy, että tuotantomäärässä tapahtuu äkillisiä muutoksia ja muutosten väliajat tuotantomäärä on muuttumaton.

16 16 x t

17 17 Palataan esimerkin 2 alkutilanteeseen. Jos toisen rajoitteen RHS muuttuu määrän b 2 = 10, niin toinen rajoitesuora siirtyy oikealle max z = 0.5x 1 + 2x 2 s.t. x 2 60 x 1 + 3x x 1 + x x 1 + x 2 270

18 18 x 2 60 A B C (1) D (3) (2) E x 1 (4) Käypä alue laajeni, päätösmuuttujien arvot muuttuivat ja tavoitefunktion arvo parani.

19 19 b Palataan uudelleen esimerkin 2 alkutilanteeseen. Jos neljännen rajoitteen RHS muuttuu määrän b 4 = 10, niin neljäs rajoitesuora siirtyy oikealle max z = 0.5x 1 + 2x 2 s.t. x 2 60 x 1 + 3x x 1 + x x 1 + x

20 20 x 2 60 A B (1) C D (2) (3) E x 1 (4) Käypä alue laajeni taas, mutta nyt se ei hyödytä lainkaa. Optimipiste on edelleen samassa paikassa kuin aluksi!

21 21 Yritys valmistaa kahta tuotetta A ja B kahdella osastolla Os1 ja Os2. A-tuotteen kate on 2e/kpl ja B-tuotteen kate on 3e/kpl. Päätösmuuttujat: x 1 on tuotteen A valmistus (kpl/päivä) ja x 2 on tuotteen B valmistus (kpl/päivä) Osastojen työaika-rajoitteet ovat 2x 1 + x (h/vko, Os1) ja x 1 + 2x 2 75 (h/vko, Os2). Lisäksi on kysyntärajoite x 1 45.

22 22 LP-malli max z = 2x 1 + 3x 2 ehdoin 2x 1 + x Os1 x 1 + 2x 2 75 Os2 x 1 45 kysyntä >> c =[2 3]; >> A =[2 1; 1 2; 1 0]; >> b = [100; 75; 45]; >> [x,z] = glpk (c,a,b,[0,0],[], " UUU ","CC",-1) x = z = >>

23 23 Yritys saa mahdollisuuden palka uuden työntekijän (40h/vko). On ratkaistava mille osastolle uusi työresurssi lisätään. Merkitään Os1:n osuutta uudesta resurssista x 3 :lla ja Os2:n osuutta uudesta resurssista x 4 :llä. Silloin saamme optimoitavaksi mallin max z = 2x 1 + 3x 2 ehdoin 2x 1 + x x 3 Os1 x 1 + 2x x 4 Os2 x 1 45 kysyntä x 3 + x 4 = 40 lisäresurssi Viedään malli järkevään muotoon

24 24 max z = 2x 1 + 3x 2 ehdoin 2x 1 + x 2 x x 1 + 2x 2 x 4 75 x 1 45 x 3 + x 4 = 40 >> c =[ ] ; >> A=[ ; ; ; ] ; >> b = [ ; 7 5 ; 4 5 ; 4 0 ] ; >> [ x, z ] = g l p k ( c, A, b, [ 0, 0, 0, 0 ], [ ], UUUS, CCCC, 1) x = z =

25 25 Uusi resurssi sijoitetaan siis kokonaan osasto 2:lle. (x 3 = 0, x 4 = 40) Valmistusohjelma muuttui aika radikaalisti x 1 = 41 x 2 = 16 z = = 130 x 1 = 1 x 2 = 56 z = = 170 jolloin kokonaiskate kasvoi % = 30.7% Työresurssi kasvoi % = 22.9%

Samankaltaiset tiedostot

Talousmatematiikan perusteet

kevät 19 / orms.30 Talousmatematiikan perusteet 8. harjoitus, viikko 11 (11.03..03.19) L Ma 12 A2 R0 Ti 14 16 F43 R01 Ma 12 14 F43 L To 08 A2 R02 Ma 16 18 F43 R06 To 12 14 F140 R03 Ti 08 F42 R07 Pe 08