Lineaarinen optimointi
|
|
- Kauko Heikkinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 L u e n t o Lineaarinen optimointi Luennon sisältö LP:n perusteet Mallien ratkaiseminen Katariina Kemppainen / Logistiikka
2 Lineaarinen optimointi
3 LP-malleilla monia käyttökohteita Karkea suunnittelu tuotantosuunnitelmat, resursointi (hlökunnan määrä), tuotesekoitukset, jne. - kustannustehokkain tuotantosuunnitelma tietylle tuotevalikoimalle - kustannusten minimointi vapaapäivien aikatauluttamisessa Töidenjärjestely työvuorot, ajoneuvojen allokointi, jne. - sairaanhoitajien optimaalinen määrä ja työaikataulut sairaalassa - jakelukustannusten minimointi sähköisessä kaupassa Prosessinhallinta materiaalin leikkaus jne. - jätteen määrän minimointi leikattaessa vesiputkia työmaalla Varastonhallinta varaston kontrollointi, toimittajien valinta jne. Jakelu ja sijainti reittien suunnittelu tavaralähetyksille, tehdasinvestoinnit, jne. - toimitusten allokointi tuotantolaitoksilta jakelukeskuksiin - uuden tuotantolaitoksen optimaalinen sijainti Luento beta 3
4 Tuotevalikoimapäätökset Kuinka paljon kahta tuotetta (A ja B) tulisi valmistaa seuraavan kuukauden tuoton maksimoimiseksi, kun tehtaalla on käytössään seuraava tuotantolinja ja resurssit? Tuotetiedot A B 2 h/yksikkö Alue 1 Alue h/yksikkö 2 h/yksikkö Alue h/yksikkö Tuote Myynti- Materiaalikustannus Alue 1 Alue 2 Alue 3 kustannus kate Min Max Vaadittavat työtunnit Työ- Yksikköhinta Myyntiennuste A $600 $ $100 $ B $600 $ $80 $ Työvoimatiedot Alue 1 Alue 2 Alue 3 Tuntipalkka $30 $20 $20 Käytössä olevat työtunnit Luento beta 4
5 Tavoite selvittää seuraavan kuukauden tuotannon maksimituotto Rajoitteet käyvälle ratkaisulle alueella 1 voidaan käyttää korkeintaan 336 työtuntia alueella 2 voidaan käyttää korkeintaan 336 työtuntia alueella 3 voidaan käyttää korkeintaan 336 työtuntia tuotetta A valmistettava yksikköä tuotetta B valmistettava yksikköä Päätösmuuttujat Tavoite ja rajoitteet optimaaliset tuotantomäärät tuotteita A ja B Työvoimarajoitteet Markkinointi- /kysyntärajoitteet Luento beta 5
6 Matemaattinen formulointi Päätösmuuttujat x A = A-tuotteen tuotantomäärä ensi kuussa x B = B-tuotteen tuotantomäärä ensi kuussa Tavoite yksikkökate tuotteelle A $ 450 ja tuotteelle B $ 420 Ł tavoitefunktio on muotoa: maksimoi 450x A + 420x B Työvoimarajoitteet jokainen yksikkö tuotetta A vaatii 2 työtuntia alueella 1, kun taas tuote B ei vaadi työtunteja alueella 1: Alue 1: 2X A 336 vastaavasti, työvoimarajoitteet alueille 2 ja 3 ovat: Alue 2: 2.5X B 336 Alue 3: 2.0X A + 1.5X B 336 Kysyntä-/markkinarajoitteet tuotteelle A voidaan esittää seuraavat epäyhtälöt: x A 75 ja x A 140 vastaavasti markkinakysyntä asettaa tuotteelle B seuraavat rajoitukset: x B 0 ja x B 140 Luento beta 6
7 Valikoimaongelma kaavamuodossa Max 450 x A x B ehdoilla 2 x A x B x A x B 336 x A 75 x A 140 x B 0 x B 140 Työvoimarajoitteet Markkinointirajoitteet Luento beta 7
8 Valikoimaongelma graafisessa muodossa 250 x A = 75 x A = 140 2x A = Määrä B x B = x B = x B = 0 Käypä ratkaisu Määrä A Alue 1 kapasiteetti Alue 2 kapasiteetti Alue 3 kapasiteetti M in A M ax A M in B M ax B Luento beta 8
9 Optimaalinen ratkaisu graafisesti 250 Määrä B Tavoitefunktion arvo pisteessä (100,50); Tuotto 450(100)+420(50)=66000 Optimaalinen ratkaisu pisteessä (75,124). Tavoitefunktion arvo: 450(75)+420(124)= x Määrä A Alue 1 kapasiteetti Alue 2 kapasiteetti Alue 3 kapasiteetti M in A M ax A M in B M ax B Luento beta 9
10
11
12
13 Miksi LP-malli? Tavoitefunktio ja rajoitteet ovat lineaarisia jokainen yksikkö tuotetta A tai B tuottaa saman verran katetta tavoitefunktioon, riippumatta siitä onko kyseessä 1. vai 100. yksikkö jokainen yksikkö tuotetta A tai B kuluttaa saman verran työtunteja käytössä olevilla resursseilla (alueet 1, 2 ja 3) mallissa ei ole ristikkäisiä tuotetermejä (kuten 4*x A *x B ) jokainen funktio on yksittäisten osiensa summa Muuttujien arvot jatkuvia esim. 75 x A ei x A {75, 90, 120, 140} Huom! usein muuttujien arvot voidaan pyöristää kokonaisluvuiksi ilman merkittävää vaikutusta ratkaisuun Mallissa ei ole epävarmuutta Luento beta 13
14 Kapasiteettirajoitteet Periaate yhden periodin tuotanto ei voi ylittää tarjolla olevaa kapasiteettia Esimerkki 1 henkilöstön määrä yhdellä periodilla (W t ) on yhtä suuri kuin henkilöstön määrä edellisellä periodilla (W t-1 ) + palkattujen määrä (H t ) - erotettujen määrä (F t ) H 1 H 2 H 3 H 4 W 0 W 1 W 2 W 3 W 4 Periodi 1 Periodi 2 Periodi 3 Periodi 4 F 1 F 2 F 3 F 4 Esimerkki 2 konekapasiteetti on yhtä suuri kuin olemassa oleva kapasiteetti (C t-1 ) + periodikohtainen alihankittu kapasiteetti (SC t ) + kapasiteetin lisäykset (CA t ) SC 1 SC 2 SC 3 SC 4 C 0 C 1 C 2 C 3 C 4 Periodi 1 Periodi 2 Periodi 3 Periodi 4 CA 1 CA 2 CA 3 CA 4 Luento beta 14
15 Materiaalivirran tasapainorajoitteet Periaate saapuva materiaalivirta = poistuva materiaalivirta - pätee jokaiselle jaksolle Esimerkki 1 loppuvarasto (I t ) on yhtä suuri kuin alkuvarasto (I t-1 ) + tuotanto (P t ) - myynti (S t ) periodilla P 1 P 2 P 3 P 4 I 0 I 1 I 2 I 3 I 4 Periodi 1 Periodi 2 Periodi 3 Periodi 4 Esimerkki 2 S 1 S 2 S 3 S 4 tuotantoprosessi muuttaa raaka-aineet tuotteiksi tiedettyjen suhdelukujen perusteella - materiaalia tuottavat muuttujat positiivinen merkki - materiaalia kuluttavat muuttujat negatiivinen merkki - esim. raaka-ainetta R tarvitaan tuottamaan T1,T2 tai T3 1 R- 0.2 T T T = epäyhtälöä käytetään, mikäli ylijäämämateriaaliin on mahdollisuus Luento beta 15
16 Tuotantoprosessin rajoitteet Suhdeyhtälö kertoo suhteen, jolla materiaalista saadaan useita tuotteita valmistusprosessissa - vaatii enemmän kuin yhden yhtälön - esim. yhdestä yksiköstä raaka-ainetta R1 voidaan saada 20 % T1- tuotetta, 50 % T2-tuotetta ja 30 % T3-tuotetta 0.2 R1-1 T1 = R1-1 T2 = 0.3 R -1 T 0 Resepti = määrittää missä suhteessa materiaaleja käytetään yhden tuotteen valmistuksessa - esim. resepti T1-tuotteelle voi olla: 50 % raaka-ainetta R1, 1 R1-0.5 T1 = 0 30 % raaka-ainetta R2, ja 1 R2-0.3 T1 = 0 20 % raaka-ainetta R3 1 R T = Luento beta 16
17 Muita mahdollisia rajoitteita Ylityö tavallisesti periodi-/jaksokohtainen päätös usein vain rajattu määrä tunteja voidaan lisätä Varastorajoitukset minimi tai maksimi periodikohtaiselle varastotasolle vaatimukset alku- tai loppuvarastolle Jälkitoimitukset tilausta ei aina peruta, vaikkei tavaraa pystytä toimittamaan heti (jälkitoimitukset) - periodikohtainen varasto I it on edellisen jakson varastotason ja jälkitoimitusten erotus ellei jälkitoimituksia sallita, periodilla toimitettujen yksiköiden määrä täytyy olla yhtä suuri kuin periodin toimitusennusteen kanssa Saanto vähentää työasemien tehokasta kapasiteettia erityisesti tuotantoprosessin alkupäässä Käyttöastetavoitteet jokaiselle resurssille pyritään saamaan sama hyötykäyttö (RHS:lle tietty kerroin) Luento beta 17
18 LP-mallien ominaisuuksia Lineaarisuus muuttumaton tuotto / kustannus / käyttöaste ei usein toteudu käytännössä, esim. volyymiedut ja -haitat Erotettavuus ja lisättävyys erotettavuus = esim. nettovoitto ja resurssien käyttöaste voidaan mitata eri tuotteille erikseen lisättävyys/yhteenlaskettavuus = erilliset vaikutukset voidaan summata Jakamattomuus ja jatkuvuus muuttujat saavat arvot (annetussa) reaalilukujatkumossa Yksi tavoitefunktio Tiedoissa ei epävarmuutta Luento beta 18
19 Mallien mahdollisia laajennuksia Resurssit tuotannon ulkoistaminen lisätyövoima Laajennettu suunnitteluhorisontti usean periodin ongelmat yleisiä kysymyksiä - kuinka paljon tuottaa kullakin viikolla? - kuinka paljon myydä kullakin viikolla? - kuinka paljon säilyttää varastossa kullakin viikolla? Volyymiedut Tuotannon siirtymät Luento beta 19
20 LP-mallien rakentaminen
21 Optimointimallien rakentaminen Määritä päätösmuuttujat mittaavat yleensä resurssien määrää tai jonkin aktiviteetin tasoa Määrittele tavoitefunktio riippuu normaalisti päätösmuuttujista Tunnista rajoitteet yleiset rajoitteet ylä- ja alarajat määritellyille muuttujille fyysiset rajoitteet esim. positiivisuus ja tasapainorajoitukset Määritä Excelin ratkaisimen (solver) asetukset Optimoi ja tulkitse saatu vastaus Luento beta 21
22 Mallin rakentaminen Excelissä Luo solut päätösmuuttujille määritä mallissasi yksi solu jokaiselle päätösmuuttujalle Luo solut tavoitefunktion kertoimille määritä solu jokaiselle tavoitefunktion kertoimelle kirjoita jokaiseen soluun asianomainen kaava tai kertoimen arvo Luo solu tavoitefunktiolle määritä yksi solu tavoitefunktion arvoa varten kirjoita tähän soluun tavoitefunktion kaava viittaamalla päätösmuuttujiin ja niiden kertoimiin. Luo solut rajoitteiden kertoimille määritä solu kaikille rajoitusten kertoimille mallissa. kirjoita jokaiseen soluun asian-omainen kaava tai arvo kertoimelle. Luo solut rajoiteyhtälöille (vasen puoli = LHS = left-hand side) määritä yksi solu jokaiselle rajoiteyhtälölle mallissa. jokaisessa solussa, kirjoita rajoiteyhtälön kaava viittaamalla päätösmuuttujiin ja kertoimiin. Luo solut rajoitteille (oikea puoli = RHS = right-hand side) määritä yksi solu jokaiselle rajoitteelle mallissa. jokaisessa solussa, kirjoita asianomainen kaava tai arvo rajoitteelle. Luento beta 22
23 Mahdollisia lopputuloksia Could not find a feasible solution ( käypää ratkaisua ei löydy ) ongelma on mahdoton toteuttaa käytännössä ei ole olemassa ratkaisua, joka täyttäisi kaikki rajoitukset mahdollisia syitä: näppäilyvirhe ja todellinen mahdottomuus (esim. ei riittävästä kapasiteettia tuottamaan minimikysyntä) Does not converge ( ei suppene ) ongelma on rajaton - algoritmi löytää loputtomiin parempia ja parempia ratkaisuja (päätösmuuttujia ei ehkä ole rajoitettu oikein) ongelman ratkaisemiseen varattu aika ei ole riittävä Found a solution ( ratkaisu löytyi ) ainutkertainen ei-degeroitunut optimi useita optimeja degeneroitunut optimi Luento beta 23
24 Auton tuotantomäärien suunnittelu Esim. 1 Huippukaara tuottaa kolmea eri automallia malli X: 40 työtuntia 1,0 tonni terästä - nettotuotto $1000 malli Y: 65 työtuntia - 1,5 tonnia terästä - nettotuotto $3000 malli Z: 110 työtuntia - 2,0 tonnia terästä - nettotuotto $6000 Käytössä olevat resurssit 16,000 työtuntia 600 tonnia terästä runsas tarjonta muita tarpeellisia resursseja Tehtävä formuloi LP-malli maksimoimaan kuukausittainen tuotto etsi optimaaliset tuotantomäärät automalleille oletetaan, että yritys kehittää mallin Q, joka vaatii 120 työtuntia ja 1,25 tonnia terästä ja jonka nettotuotto on $4000. Pitäisikö malli Q ottaa huomioon kuukausittaisessa valmistussuunnitelmassa? Luento beta 24
25 Mallin formulointi ja ratkaisu Esim. 1 Maksimoi 1000X Y Z ehdoilla 40X + 65Y + 110Z X + 1,5Y + 2Z 600 X, Y, Z 0 Rajoitteet X Y Z Arvo RHS Työvoiman kapasiteetti Teräs - materiaalirajoite 1 1, Tuotto Muuttujat 0,0 0,0 145,5
26 Sekoitusprosessi ongelma Esim. 2 Sekoitusongelma luonnollisen raaka-aineen ainesosat voivat vaihdella 10 tynnyrillistä saatavilla tiedetyin ominaisuuksin maksimoi saatavilla olevan raaka-aineen käyttö x i = osuus, joka tynnyristä i käytetään sekoituksessa (0 x i 1) Lopputuote tuotteen täytyy noudattaa valvovan viranomaisen määrittämiä vaatimuksia: - ainesosan A prosenttiosuuden täytyy olla välillä 54,0-56,0 % - ainesosan B prosenttiosuuden täytyy olla välillä 19,5-20,5 % - ainesosan C prosenttiosuuden täytyy olla välillä 24,2-25,8 % ainesosien A, B ja C painotetun summan täytyy olla tiettyjen rajojen sisällä esim. ainesosa A:n prosenttiosuuden alaraja sekoituksessa voidaan esittää seuraavalla sekoitusrajoitteella: (0,60)(80)x 1 +(0,59)(78)x 2 + +(0,48)(79)x 10 0,54(80x 1 +78x x 10 ) Luento beta 26
27 Esim. 2
28 Työvoiman suunnittelu ongelma Esim. 3 Palvelu puhelinpäivystys 7 päivää viikossa klo 9-17 suunnittelusyistä päivät on jaettu kahteen vuoroon - aamuvuoro (9-13) ja iltavuoro (13-17) Työvoimavaatimukset: Viikonpäivä Ma Ti Ke To Pe La Su Työntekijätarve aamuvuoro (a.m.) Työntekijätarve iltavuoro (p.m.) Työaikataulut ja kustannukset täysipäiväiset tilausten vastaanottajat - työssä 5 peräkkäistä päivää - $ 600 per viikko osa-aikaiset tilausten vastaanottajat - käytettävissä 3 peräkkäisenä puolikkaana päivänä - työskentelevät vain joko aamuvuorossa tai iltavuorossa - $ 200 per viikko Luento beta 28
29 Tehtävä Esim. 3 Rakenna ja ratkaise LP-malli, joka minimoi yrityksen viikoittaiset henkilöstökulut jos optimaalinen ratkaisu ei tuota kokonaislukuja vastaukseksi, ratkaise malli uudelleen kokonaislukuoptimointina (IP-malli). Luento beta 29
30 Optimaalinen työaikataulu Esim. 3
31 Mahdollisten suunnitelmien vertailu Esim. 3 Min Plan 1 Plan 2 Plan 3 Plan 4 Plan 5 Plan 6 Plan 7 Mon am Mon pm Tue am Tue pm Wed am Wed pm Thu am Thu pm Fri am Fri pm Sat am Sat pm Sun am Sun pm "tight half-days" Luento beta 31
32 Binäärimuuttujien käyttö - case kiinteät kustannukset - Pitäisikö tuotantolinja tai kone ottaa käyttöön? binäärimuuttujia (0 tai 1) voidaan käyttää osoittamaan päätöstä - muuttujan arvo = 0, mikäli uutta resurssia ei oteta käyttöön - muuttujan arvo = 1, mikäli uusi resurssi otetaan käyttöön Jokainen päätös vaatii oman muuttujan esim. kahden tuotantolinjan käyttöł2 binäärimuuttujaa - mahdollinen tavoitefunktio: 120X + 50Y P P2 - päätösmuuttujien kertoimia ovat kiinteät kustannukset Luento beta 32
33 Kiinteät tuotantokustannukset ongelma A-linjan testauksen kustannusfunktio kiinteä kustannus $ 2016 ja muuttuva kustannus $ 32 per tunti 0-1 päätösmuuttuja FA - FA = 0, jos A-linjan testivälineistöä ei käytetä viikolla - FA = 1, jos A-linjan testivälineistöä käytetään viikolla Ł rajoite: MA + MB 120 FA 0 C-linjan testauksen kustannusfunktio kiinteä kustannus $ 1200 ja muuttuva kustannus $ per tunti - FC=0, jos välineistöä ei käytetä viikolla - FC=1, jos välineistöä käytetään viikolla Ł rajoite: MC 48 FC 0 Tavoitefunktio maksimoi Z = 410MA + 520MB + 686MC FA FC - 32MA - 32MB - 38,5MC 378 MA MB + 647,50 MC 2016 FA 1200 FC Esim. 4 Luento beta 33
34 Kiinteät tuotantokustannukset formulointi Tavoitefunktio maksimoi tuotto maksimoi 378 MA MB + 647,50 MC FA FC Rajoitteet A-linjan testikapasiteetti MA + MB 120 FA 0 C-linjan testikapasiteetti MC 48 FC 0 työvoiman saatavuus 10 MA + 15 MB + 20 MC 2000 positiiviset kokonaislukumuuttujat MA, MB, MC binäärimuuttujat FA, FC Esim. 4 Luento beta 34
35 Esim. 4 Kiinteät tuotantokustannukset ratkaisu
36 Kokonaislukuoptimointi Excelissä IP-ongelman ratkaisu Excelin ratkaisimella aseta reunaehdot rajoite-valikossa - kokonaisluku int - binääriluku bin huomioi, ettei niihin kuulu LP-mallin mukaista herkkyysanalyysiä - herkkyysraportti ja rajoiteraportti puuttuvat ratkaisusta Luento beta 36
Lineaarinen optimointi
L u e n t o Tuotevalikoimapäätökset Lineaarinen optimointi Luennon sisältö LP:n perusteet Mallien ratkaiseminen Kuinka paljon kahta tuotetta (A ja B) tulisi valmistaa seuraavan kuukauden tuoton maksimoimiseksi,
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 12. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 12 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet
kevät 19 / orms.30 Talousmatematiikan perusteet 8. harjoitus, viikko 11 (11.03..03.19) L Ma 12 A2 R0 Ti 14 16 F43 R01 Ma 12 14 F43 L To 08 A2 R02 Ma 16 18 F43 R06 To 12 14 F140 R03 Ti 08 F42 R07 Pe 08
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet
kevät 2019 / orms.1030 Talousmatematiikan perusteet 7. harjoitus, viikko 7 1. Oheisessa taulukossa on erään tuotteen hintaindeksejä. Laske hinnan keskimääräinen kasvuvauhti vuosina 2000-2005 vuosi indeksi
LisätiedotPiiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R
Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä
LisätiedotLineaarinen optimointitehtävä
Lineaarinen optimointitehtävä min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n b m x 1, x 2,..., x n 0 1
LisätiedotMalliratkaisut Demo 1
Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x
LisätiedotHarjoitus 8: Excel - Optimointi
Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen
LisätiedotDemo 1: Lineaarisen tehtävän ratkaiseminen graafisesti ja Solverilla
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 2 Ehtamo Demo 1: Lineaarisen tehtävän ratkaiseminen graafisesti ja Solverilla Ratkaise lineaarinen optimointitehtävä graafisesti ja Excelin Solverin avulla.
LisätiedotDemo 1: Branch & Bound
MS-C05 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 7 Ehtamo Demo : Branch & Bound Ratkaise lineaarinen kokonaislukuoptimointitehtävä käyttämällä Branch & Boundalgoritmia. max x + x s.e. x + 4x 9 5x + x 9 x Z
LisätiedotLP-mallit, L19. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto. Graafisen ratkaisun vaiheet. Optimin olemassaolo
LP-mallit, L19 Yleistä 1 LP-mallit on yksi Operaatioanalyysin (Operations Research) perustyökaluista. Perusongelma: Miten pitää suorittaa operaatio mahdollisimman hyvin, kun käytettävissä on rajalliset
Lisätiedot1. Lineaarinen optimointi
0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on
LisätiedotAki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI
Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen
LisätiedotOPERAATIOANALYYSI ORMS.1020
VAASAN YLIOPISTO Talousmatematiikka Prof. Ilkka Virtanen OPERAATIOANALYYSI ORMS.1020 Tentti 2.2.2008 1. Yrityksen tavoitteena on minimoida tuotannosta ja varastoinnista aiheutuvat kustannukset 4 viikon
LisätiedotLuento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.
Luento : Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli simerkki: Maalifirma Sateenkaari valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M ja M. Sisämaalin maksimikysyntä on tonnia/päivä.
LisätiedotLP-mallit, L8. Herkkyysanalyysi. Varjohinta. Tietokoneohjelmia. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto.
LP-mallit, L8 Yleistä 1 LP-mallit on yksi Operaatioanalyysin (Operations Research) perustyökaluista. Perusongelma: Miten pitää suorittaa operaatio mahdollisimman hyvin, kun käytettävissä on rajalliset
Lisätiedot30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset
30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset Mitä on lineaarinen optimointi (LP)? LP= lineaarinen optimointiongelma (Linear Programming) Menetelmä, jolla etsitään
LisätiedotEsimerkki 1 (Rehun sekoitus) 1
1 Karjankasvattaja käyttää luonnosta saadun nurmirehun lisäksi lisäravinnetta 200kg/päivä. Lisäravinne sekoitetaan maissista ja soijasta. Ravinteen ominaisuuksiin vaikuttaa raaka-aineiden proteiini- ja
LisätiedotLuento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa
LisätiedotLineaarinen optimointi. Harjoitus 6-7, Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän. c T x = min!
Lineaarinen optimointi Harjoitus 6-7, 016. 1. Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän c T x = min! (T) Ax b x 0 duaalitehtävän duaali on tehtävä (T). Ratkaisu. (P) c T x = min! Ax b x
LisätiedotMIKROTEORIA, HARJOITUS 6 YRITYKSEN JA TOIMIALAN TARJONTA JA VOITTO TÄYDELLISESSÄ KILPAILUSSA, SEKÄ MONOPOLI
MIKROTEORIA, HARJOITUS 6 YRITYKSEN JA TOIMIALAN TARJONTA JA VOITTO TÄYDELLISESSÄ KILPAILUSSA, SEKÄ MONOPOLI 1a. Täydellisen kilpailun vallitessa yrityksen A tuotteen markkinahinta on 18 ja kokonaiskustannukset
LisätiedotOptimoinnin sovellukset
Optimoinnin sovellukset Timo Ranta Tutkijatohtori TTY Porin laitos OPTIMI 4.12.2014 Mitä optimointi on? Parhaan ratkaisun systemaattinen etsintä kaikkien mahdollisten ratkaisujen joukosta Tieteellinen
LisätiedotHarjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox
Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen
LisätiedotLuento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.
Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli Esimerkki. Maalitehdas valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M1 ja M2. Sisämaalin maksimikysyntä on 2 tonnia/päivä. Sisämaalin
Lisätiedot1 Johdanto LP tehtävän luonteen tarkastelua Johdanto herkkyysanalyysiin Optimiarvon funktio ja marginaalihinta
Sisältö Johdanto 2 LP tehtävän luonteen tarkastelua 3 Johdanto herkkyysanalyysiin 5 2 Optimiarvon funktio ja marginaalihinta 5 3 Johdanto duaaliteoriaan 6 2 LP-tehtävän standardimuoto 9 Johdanto Optimoinnista
LisätiedotTentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita.
Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita. Tehtävä 1 Mitä seuraavat käsitteet tarkoittavat? Monitahokas (polyhedron).
LisätiedotDemo 1: Simplex-menetelmä
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x
LisätiedotDuaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki
Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Duaalisuus binäärisissä optimointitehtävissä Lagrangen duaalisuus Lagrangen
LisätiedotVoitonmaksimointi esimerkkejä, L9
Voitonmaksimointi esimerkkejä, L9 (1) Yritys Valmistaa kuukaudessa q tuotetta. Kysyntäfunktio on p = 15 0, 05q ja kustannusfunktio on C(q) = 350 + 2q + 0, 05q 2. a) Yritys valmistaa nyt tuotteita kuukaudessa
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.34 Lineaarinen ohjelmointi 9..7 Luento Kokonaislukuoptimoinnin algoritmeja (kirja.-.) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / Luentorunko Gomoryn leikkaava taso Branch & Bound Branch & Cut Muita menetelmiä
LisätiedotVarastonhallinnan optimointi
Varastonhallinnan optimointi Timo Ranta Tutkijatohtori TTY Porin laitos OPTIMI 4.6.215 Peruskysymykset Kuinka paljon tilataan? Milloin tilataan? 2 (46) Kustannuksia Tavaran hinta Varastointikustannukset
LisätiedotMS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4 Ehtamo Duaalin muodostamisen muistisäännöt Duaalin muodostamisessa voidaan käyttää muistisääntötaulukkoa, jota voidaan lukea vasemmalta oikealle tai oikealta
Lisätiedot1 Rajoitettu optimointi I
Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause
LisätiedotKokonaislukuoptimointi
Kokonaislukuoptimointi Optimointitehtävät, joissa muuttujat tai osa niistä voivat saada vain kokonaislukuarvoja Puhdas kokonaislukuoptimointitehtävä: Kaikki muuttujat kokonaislukuja Sekoitettu kokonaislukuoptimointitehtävä:
LisätiedotLuento 4: Lineaarisen tehtävän duaali
Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Käsittelemme seuraavaksi lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa. Kuten luennossa 2 esitettiin, kohdefunktion optimiarvon herkkyys z, kun rajoitusyhtälön i, 1 i m, oikea
LisätiedotLuento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) vasemman puolen
LisätiedotTTY Porin laitoksen optimointipalvelut yrityksille
TTY Porin laitoksen optimointipalvelut yrityksille Timo Ranta, TkT Frank Cameron, TkT timo.ranta@tut.fi frank.cameron@tut.fi Automaation aamukahvit 28.8.2013 Optimointi Tarkoittaa parhaan ratkaisun valintaa
Lisätiedot4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen
4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen Käypä kantaratkaisu löytyy helposti, esimerkiksi tapauksessa Ax b, b 0 x 0 jolloin sen määräävät puutemuuttujat. Tällöin simplex-menetelmän alustus
LisätiedotPanoskysyntä. Luku 26. Marita Laukkanen. November 15, Marita Laukkanen Panoskysyntä November 15, / 18
Panoskysyntä Luku 26 Marita Laukkanen November 15, 2016 Marita Laukkanen Panoskysyntä November 15, 2016 1 / 18 Monopolin panoskysyntä Kun yritys määrittää voitot maksimoivia panosten määriä, se haluaa
LisätiedotDemo 1: Excelin Solver -liitännäinen
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 1 Ehtamo Demo 1: Excelin Solver -liitännäinen Ratkaise tehtävä käyttäen Excelin Solveria. max 3x 1 + x 2 s.e. 2x 1 + 5x 2 8 4x 1 + 2x 2 5 x 1, x 2 0 Ratkaisu
Lisätiedot8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14)
8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14) Markkinat ovat kilpailulliset silloin, kun siellä on niin paljon yrityksiä, että jokainen pitää markkinoilla määräytyvää hintaa omista toimistaan
Lisätiedot4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =
BMA58 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 6, Syksy 5. Olkoon [ 6 6 A =, B = 4 [ 3 4, C = 4 3 [ 5 Määritä matriisien A ja C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Näytä lisäksi että matriisilla B
LisätiedotHarjoitus 7: vastausvihjeet
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden
LisätiedotKokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät
Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Systeemianalyysin Laboratorio 19.3.2008 Sisällys Leikkaustasomenetelmät yleisesti Leikkaustasomenetelmät generoivilla kokonaislukujoukoilla Gomoryn leikkaavat
LisätiedotOvatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi.
5..0 Tehtävä Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi. (c) (d) Arvostelu Kanta on degeneroitunut jos ja vain jos sitä vastaava kantamatriisi on singulaarinen. Optimissa muuttujan
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 5 10.4.2017 Tehtävä 1 x 2 7 0,7 9,8 6 5 4 x 1 x 2 7 x 1 x 2 1 3 2 x 1 0 4,3 x 1 9 1 0,0 x 2 0 9,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S Optimointitehtävän sallittu
LisätiedotY56 Laskuharjoitukset 4 Palautus viim. ti klo (luennolla!) Opiskelijan nimi. Opiskelijanumero
Y56 Kevät 2010 1 Y56 Laskuharjoitukset 4 Palautus viim. ti 30.3. klo 12-14 (luennolla!) Opiskelijan nimi Opiskelijanumero Harjoitus 1. Tuotantoteknologia Tavoitteena on oppia hahmottamaan yrityksen tuotantoa
LisätiedotLineaarisen ohjelman määritelmä. Joonas Vanninen
Lineaarisen ohjelman määritelmä Joonas Vanninen Sisältö Yleinen optimointitehtävä Kombinatorinen tehtävä Optimointiongelman tapaus Naapurusto Paikallinen ja globaali optimi Konveksi optimointitehtävä Lineaarinen
LisätiedotLuento 3: Simplex-menetelmä
Luento 3: Simplex-menetelmä Kuten graafinen tarkastelu osoittaa, LP-tehtävän ratkaisu on aina käyvän alueen kulmapisteessä, eli ekstreemipisteessä (extreme point). Simplex-menetelmässä ekstreemipisteitä,
Lisätiedotb 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b)
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-9 Optimointioppi Kimmo Berg 5 harjoitus - ratkaisut min Ax b (vertaa PNS-tehtävät) a x + + a n x n a) Ax b = a m x + + a mn x n = x a a m }{{}
LisätiedotTIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi
TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Jussi Hakanen Tietotekniikan laitos jussi.hakanen@jyu.fi AgC 426.3 Yleiset tiedot Tietotekniikan kandidaattiopintojen valinnainen kurssi http://users.jyu.fi/~jhaka/ldo/
LisätiedotLuetteloivat ja heuristiset menetelmät. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki
Luetteloivat ja heuristiset menetelmät Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Branch and Bound sekä sen variaatiot (Branch and Cut, Lemken menetelmä) Optimointiin
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 15. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 15 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden rajoittamatonta optimointia:
LisätiedotYksikkökate tarkoittaa katetuottoa yhden tuotteen kohdalla. Tämä voidaan määrittää vain jos myytäviä tuotteita on vain yksi.
KATETUOTTOLASKENTA laskennassa selvitetään onko liiketoiminta kannattavaa. Laskelmat tehdään liiketoiminnasta syntyvien kustannuksien ja tuottojen perusteella erilaisissa tilanteissa. laskennassa käytetään
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista x + αd, α 0, on pisteestä x R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, ORMS1030
Vaasan yliopisto, kevät 2017 Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 6. harjoitus, viikko 6 (27.2. 3.3.2017) R1 ma 12 14 F249 R5 ti 14 16 F453 R2 ma 14 16 F453 R6 to 12 14 F104 R3 ti 08 10 F140 R7 pe 08
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista. + αd, α 0, on pisteessä R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin 2
LisätiedotHARJOITUS- PAKETTI D
Logistiikka A35A00310 Tuotantotalouden perusteet HARJOITUS- PAKETTI D (10 pistettä) TUTA 17 Luento 14 Karkea tuotannonsuunnittelu Case Memorial Hospital 2 pistettä 1/10 2/10 Luento 15 Tuotannonsuunnittelu
LisätiedotOperatioanalyysi 2011, Harjoitus 3, viikko 39
Operatioanalyysi 2011, Harjoitus 3, viikko 39 H3t1, Exercise 3.1. H3t2, Exercise 3.2. H3t3, Exercise 3.3. H3t4, Exercise 3.4. H3t5 (Exercise 3.1.) 1 3.1. Find the (a) standard form, (b) slack form of the
LisätiedotVoidaan laskea siis ensin keskimääräiset kiinteät kustannukset AFC: 100 000 /10000=10
Harjoitukset 3 Taloustieteen perusteet Ratkaisuehdotukset Kesäyliopisto 2014 1. a) Autonrenkaita valmistavalla yhtiöllä on 100 000 :n kiinteät kustannukset vuodessa. Kun yritys tuottaa 10 000 rengasta,
LisätiedotLuento 6: Monitavoitteinen optimointi
Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Monitavoitteisessa optimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f,,f m Esimerkki ortfolion eli arvopaperijoukon optimoinnissa: f
LisätiedotMikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopiston 31C00100 Syksy 2015 Assist. Salla Simola kauppakorkeakoulu
Mikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopiston 31C00100 Syksy 2015 Assist. Salla Simola kauppakorkeakoulu Mallivastaukset - Loppukoe 10.12. Monivalinnat: 1c 2a 3e 4a 5c 6b 7c 8e 9b 10a I (a) Sekaniputus
LisätiedotProf. Marko Terviö Assist. Jan Jääskeläinen
Harjoitukset 3. 1. (a) Dismalandissa eri puolueiden arvostukset katusiivoukselle ovat Q A (P ) = 60 6P P A (Q) = 10 Q/6 Q B (P ) = 80 5P P B (Q) = 16 Q/5 Q C (P ) = 50 2P P C (Q) = 25 Q/2 Katusiivous on
LisätiedotOsa 11. Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14)
Osa 11. Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14) Markkinat ovat kilpailulliset silloin, kun siellä on niin paljon yrityksiä, että jokainen pitää markkinoilla määräytyvää hintaa omista
Lisätiedot1. Kuntosalilla on 8000 asiakasta, joilla kaikilla on sama salikäyntien kysyntä: q(p)= P, missä
A31C00100 Mikrotaloustiede Kevät 2017 1. Kuntosalilla on 8000 asiakasta, joilla kaikilla on sama salikäyntien kysyntä: q(p)= 18 1.5P, missä q on käyntejä kuukaudessa keskimäärin. Yhden käyntikerran rajakustannus
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet
kevät 219 / orms.13 Talousmatematiikan perusteet 9. harjoitus, viikko 12 (18.3. 22.3.219) L Ma 1 12 A22 R5 Ti 14 16 F453 R1 Ma 12 14 F453 L To 8 1 A22 R2 Ma 16 18 F453 R6 Pe 12 14 F14 R3 Ti 8 1 F425 R7
LisätiedotGraafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria
Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.4 Lineaarinen ohjelmointi..7 Luento 7 Duaalisimple ja herkkyysanalyysi (kirja 4.5, 5., 5.5-5.6) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / Duaalisimple Herkkyysanalyysi Luentorunko Parametrinen ohjelmointi
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, ORMS1030
Tamprn ksäyliopisto, syksy 2016 Talousmatmatiikan prustt, ORMS1030 2. harjoitus, (p 4.11.2016) 1. Yritys valmistaa kappaltavaraa kappaltta viikossa. Yhdn kappaln matriaali- ja palkkakustannus on 7, jotn
LisätiedotStokastinen optimointi taktisessa toimitusketjujen riskienhallinnassa (valmiin työn esittely)
Stokastinen optimointi taktisessa toimitusketjujen riskienhallinnassa (valmiin työn esittely) Esitelmöijä Olli Rentola päivämäärä 21.1.2013 Ohjaaja: TkL Anssi Käki Valvoja: Prof. Ahti Salo Työn saa tallentaa
LisätiedotY56 laskuharjoitukset 6
Y56 Kevät 00 Y56 laskuharjoitukset 6 Palautus joko luennolle/mappiin tai Katjan lokerolle (Koetilantie 5, 3. krs) to.4. klo 6 mennessä (purku luennolla ti 7.4.) Ole hyvä ja vastaa suoraan tähän paperiin.
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 7. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 7 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 1 / 43 Luennon 7 sisältö Interpolointi ja approksimointi Interpolaatiovirheestä Paloittainen
LisätiedotEllipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio
Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä
LisätiedotHarjoitus 5 ( )
Harjoitus 5 (14.4.2015) Tehtävä 1 Figure 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S. Optimointitehtävän sallittu alue S on pisteiden (0, 0), (0, 7), (4, 3), (9, 8) ja (9, 0) määräämä viisikulmio. Kyseinen alue saadaan
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 7. Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion derivointi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 7 Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion derivointi Viime luennolla Funktion Derivaatta f (x) kuvaa funktion muutosnopeutta Toinen derivaatta f x = D f x kuvaa muutosnopeuden
Lisätiedot1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100
HARJOITUS, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE 07.. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 0x +0xy +5y (b.) f(x,y) = 4x y xy +x+y +00 (a.) Funktion kriittiset pisteet ratkaisevat
LisätiedotLineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen
Lineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen Jos sallittuja kokonaislukuratkaisuja ei ole kovin paljon, ne voidaan käydä kaikki läpi yksitellen Käytännössä tämä ei kuitenkaan ole yleensä mahdollista
LisätiedotSimplex-algoritmi. T Informaatiotekniikan seminaari , Susanna Moisala
Simplex-algoritmi T-6.5 Informaatiotekniikan seminaari..8, Susanna Moisala Sisältö Simplex-algoritmi Lähtökohdat Miten ongelmasta muodostetaan ns. Simplextaulukko Miten haetaan käypä aloitusratkaisu Mitä
LisätiedotHarjoitus 5 ( )
Harjoitus 5 (24.4.2014) Tehtävä 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S. Optimointitehtävän sallittu alue S on pisteiden (0, 0), (0, 7), (4, 3), (9, 8) ja (9, 0) määräämä viisikulmio. Kyseinen alue saadaan
LisätiedotKKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n.
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.139 Optimointioppi Kimmo Berg 7. harjoitus - ratkaisut 1. Oletetaan aluksi, että epäyhtälöt eivät ole aktiivisia p i > 0. Tässä tapauksess KKTehdot
LisätiedotLineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien
Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien ratkaiseminen Jerri Nummenpalo 17.09.2012 Ohjaaja: TkT Juuso Liesiö Valvoja: Prof. Ahti Salo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla.
LisätiedotLuento 7: Kokonaislukuoptimointi
Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Lineaarisessa optimointitehtävässä (LP) kaikki muuttujat ovat jatkuvia. Kokonaislukuoptimoinnin (ILP = Integer LP) tehtävässä kaikilla muuttujilla on kokonaislukurajoitus
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.34 Lineaarinen ohjelmointi..27 Luento 5 Simplexin implementaatioita (kirja 3.2-3.5) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 27 / Luentorunko (/2) Simplexin implementaatiot Naiivi Revised Full tableau Syklisyys
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 3. Luennon sisältö
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 3. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän sallittu alue Optimointitehtävien muunnoksia Lineaarisen yhtälöryhmän perusmuoto ja perusratkaisut Lineaarisen optimointitehtävän
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 13 Ti 23.2.2016 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
LisätiedotLaskennallinen älykkyys. Computational Intelligence
Laskennallinen älykkyys Computational Intelligence LASKENNALLISEN ÄLYKKYYDEN TUTKIMUS TUTKIMUSKOHTEITAMME Työvoiman hallinnan optimointi Reitti- ja logistiikkaoptimointi Ammattilaisliigojen sarjaohjelmien
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, ORMS1030
Tampereen kesäyliopisto, syksy 2016 Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030 1. harjoitus, (la 29.10.2016) 1. Laske seuraavat laskut. Laske kukin lasku ensin käsin kynää ja paperia käyttäen. Anna vastaukset
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.3140 Lineaarinen ohjelmointi 4.10.2007 Luento 4 Ekstreemipisteiden optimaalisuus ja Simplex (kirja 2.4-2.6, 3.1-3.2) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 2007 / 1 Luentorunko Degeneroituvuus Ekstreemipisteiden
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 2015 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7. harjoitus, viikko 17 R1 ma 16 18 D115 (20.4.) R2 ke 12 14 B209 (22.4.) 1. Määritä funktiolle f (x) 1 + 0,1x Taylorin sarja kehityskeskuksena
LisätiedotLuento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät
Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät ja sisäpistemenetelmät Lagrangen välttämättömien ehtojen ratkaiseminen Newtonin menetelmällä Jos tehtävässä on vain yhtälörajoituksia, voidaan minimipistekandidaatteja
LisätiedotMat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko
LisätiedotJohdatus verkkoteoriaan luento Netspace
Johdatus verkkoteoriaan luento 3.4.18 Netspace Matriisioperaatio suunnatuissa verkoissa Taustoitusta verkkoteorian ulkopuolelta ennen kuljetusalgoritmia LP-ongelma yleisesti LP = linear programming =
LisätiedotDigiajan menestyksekäs toimitusketju / Expak Materiaalivirtojen ohjaus ja optimointi Caset - Vilpe Oy, Airam Electric Oy Ab
Etelä Digiajan menestyksekäs toimitusketju 24.10.2018 / Expak Materiaalivirtojen ohjaus ja optimointi Caset - Vilpe Oy, Airam Electric Oy Ab Expak Systems Oy Tommi Hyyrynen WWW.EXPAK.FI Suomen Osto- ja
LisätiedotDatatähti 2019 loppu
Datatähti 2019 loppu task type time limit memory limit A Summa standard 1.00 s 512 MB B Bittijono standard 1.00 s 512 MB C Auringonlasku standard 1.00 s 512 MB D Binääripuu standard 1.00 s 512 MB E Funktio
Lisätiedot