Operatioanalyysi 2011, Harjoitus 3, viikko 39
|
|
|
- Lotta Lattu
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Operatioanalyysi 2011, Harjoitus 3, viikko 39 H3t1, Exercise 3.1. H3t2, Exercise 3.2. H3t3, Exercise 3.3. H3t4, Exercise 3.4. H3t5
2 (Exercise 3.1.) Find the (a) standard form, (b) slack form of the LP min z = 2x 1 + 3x 2 (0) s.t. 1 x 1 + x 2 9 (1) 2x 1 x 2 4 (2) 2 7x 1 + x (3) x 2 0 You can also make an Octave program that constructs the standard and slack forms to you automatically.
3 (Exercise 3.1.) Find the (a) standard form, (b) slack form of the LP min z = 2x 1 + 3x 2 (0) s.t. 1 x 1 + x 2 9 (1) 2x 1 x 2 4 (2) 2 7x 1 + x (3) x 2 0 You can also make an Octave program that constructs the standard and slack forms to you automatically. (a) (i) Muutetaan ongelma maksimointitehtäväksi (ii) poistetaan kaksoisepäyhtälöt
4 (a) (Exercise 3.1.(a)) 2 min z = 2x 1 + 3x 2 (0) s.t. 1 x 1 + x 2 9 (1) 2x 1 x 2 4 (2) 2 7x 1 + x (3) x 2 0 max z = 2x 1 3x 2 (0 ) s.t. x 1 + x 2 9 (1a ) x 1 + x 2 1 (1b ) 2x 1 x 2 4 (2) 7x 1 + x (3a ) 7x 1 + x 2 2 (3b ) x 2 0
5 (a) (Exercise 3.1.(a)) 2 min z = 2x 1 + 3x 2 (0) s.t. 1 x 1 + x 2 9 (1) 2x 1 x 2 4 (2) 2 7x 1 + x (3) x 2 0 max z = 2x 1 3x 2 (0 ) s.t. x 1 + x 2 9 (1a ) x 1 + x 2 1 (1b ) 2x 1 x 2 4 (2) 7x 1 + x (3a ) 7x 1 + x 2 2 (3b ) x 2 0 (i) Kerrotaan vielä epäyhtälöt (1b*) ja (3b*) miinus yhdellä, jolloin erisuuruus-merkki kääntyy ja (ii) sijoitetaan x 1 = p 1 m 1. (p 1 0 ja m 1 0.)
6 (a) (Exercise 3.1.(a)) 3 Standardi muoto: x 1 = p 1 m 1, (p 1 0,m 1 0) max z = 2p 1 2m 1 3x 2 s.t. p 1 m 1 + x 2 9 p 1 + m 1 x 2 1 2p 1 2m 1 x 2 4 7p 1 7m 1 + x p 1 + 7m 1 x 2 2 p 1,m 1,x 2 0
7 (a) (Exercise 3.1.(a)) 3 Standardi muoto: x 1 = p 1 m 1, (p 1 0,m 1 0) max z = 2p 1 2m 1 3x 2 s.t. p 1 m 1 + x 2 9 p 1 + m 1 x 2 1 2p 1 2m 1 x 2 4 7p 1 7m 1 + x p 1 + 7m 1 x 2 2 p 1,m 1,x 2 0 (b) Lisätään slack-muuttujat
8 (b) (Exercise 3.1.(b)) 4 Slack muoto: max z = 2p 1 2m 1 3x 2 s.t. p 1 m 1 +x 2 +s 1 = 9 p 1 + m 1 x 2 +s 2 = 1 2p 1 2m 1 x 2 +s 3 = 4 7p 1 7m 1 +x 2 +s 4 = 100 7p 1 +7m 1 x 2 +s 5 = 2 p 1,m 1,x 2,s 1,s 2,s 3,s 4,s 5 0
9 (Exercise 3.2.) Solve the LP of Exercise 3.1 by checking all the corners (of its slack form). Checking all the corners may be hard work. So, if you are lazy and clever, you can make an Octave program that checks the corners for you.
10 (Exercise 3.2.) Solve the LP of Exercise 3.1 by checking all the corners (of its slack form). Checking all the corners may be hard work. So, if you are lazy and clever, you can make an Octave program that checks the corners for you. Ensin katsomme pohjustukseksi alkuperäisen LP-mallin graafisen ratkaisun käyvän alueen nurkkapisteet. Tämä ei ole vielä tehtävän ratkaisu, sillä tehtävässä pyydetää nurkkaratkaisut slack-muodolle. Slack-muodossa muuttujia on 8, joten emme voi sitä piirtää. Piirros auttaa ymmärtämään lopullista ratkaisua.
11 (Exercise 3.2.) 6 x 2 max z = 2x 1 3x 2 s.t. x 1 + x 2 9 (1a) x 1 + x 2 1 (1b) 2x 1 x 2 4 (2) 7x 1 + x (3a) 7x 1 + x 2 2 (3b) x 2 0 (4) x 1
12 (Exercise 3.2.) 6 x 2 max z = 2x 1 3x 2 s.t. x 1 + x 2 9 (1a) x 1 + x 2 1 (1b) 2x 1 x 2 4 (2) 7x 1 + x (3a) 7x 1 + x 2 2 (3b) x 2 0 (4) (1a) x 1
13 (Exercise 3.2.) 6 x 2 max z = 2x 1 3x 2 s.t. x 1 + x 2 9 (1a) x 1 + x 2 1 (1b) 2x 1 x 2 4 (2) 7x 1 + x (3a) 7x 1 + x 2 2 (3b) x 2 0 (4) (1b) (1a) x 1
14 (Exercise 3.2.) 6 x 2 max z = 2x 1 3x 2 s.t. x 1 + x 2 9 (1a) x 1 + x 2 1 (1b) 2x 1 x 2 4 (2) 7x 1 + x (3a) 7x 1 + x 2 2 (3b) (2) x 2 0 (4) (1b) (1a) x 1
15 (Exercise 3.2.) 6 x 2 max z = 2x 1 3x 2 s.t. x 1 + x 2 9 (1a) x 1 + x 2 1 (1b) 2x 1 x 2 4 (2) 7x 1 + x (3a) 7x 1 + x 2 2 (3b) (2) x 2 0 (4) (1b) (1a) x 1 (3a)
16 (Exercise 3.2.) 6 x 2 max z = 2x 1 3x 2 s.t. x 1 + x 2 9 (1a) x 1 + x 2 1 (1b) 2x 1 x 2 4 (2) 7x 1 + x (3a) 7x 1 + x 2 2 (3b) (2) x 2 0 (4) (3b) (1b) (1a) x 1 (3a)
17 (Exercise 3.2.) 6 x 2 max z = 2x 1 3x 2 s.t. x 1 + x 2 9 (1a) x 1 + x 2 1 (1b) 2x 1 x 2 4 (2) 7x 1 + x (3a) 7x 1 + x 2 2 (3b) (2) x 2 0 (4) (3b) (1b) (1a) x 1 (4) (3a)
18 (Exercise 3.2.) 6 D x 2 max z = 2x 1 3x 2 s.t. x 1 + x 2 9 (1a) x 1 + x 2 1 (1b) 2x 1 x 2 4 (2) 7x 1 + x (3a) 7x 1 + x 2 2 (3b) (2) x 2 0 (4) C E (3b) A B(1b) (1a) x 1 (4) (3a)
19 (Exercise 3.2.) 7 D x 2 max z = 2x 1 3x 2 s.t. x 1 + x 2 9 (1a) x 1 + x 2 1 (1b) 2x 1 x 2 4 (2) 7x 1 + x (3a) 7x 1 + x 2 2 (3b) (2) x 2 0 (4) C E (3b) A B(1b) x 1 (1a) (4)
20 (Exercise 3.2.) 7 x 2 D E (3b) max z = 2x 1 3x 2 s.t. x 1 + x 2 9 (1a) x 1 + x 2 1 (1b) 2x 1 x 2 4 (2) 7x 1 + x (3a) 7x 1 + x 2 2 (3b) (2) x 2 0 (4) A B(1b) C x 1 (1a) (4) A = (1,0) B = (2,0) C = (4.333,4.667) D = ( 1.167, ) E = (0.167,0.833)
21 (Exercise 3.2.) 7 x 2 D E (3b) max z = 2x 1 3x 2 s.t. x 1 + x 2 9 (1a) x 1 + x 2 1 (1b) 2x 1 x 2 4 (2) 7x 1 + x (3a) 7x 1 + x 2 2 (3b) (2) x 2 0 (4) A B(1b) C x 1 (1a) (4) A = (1,0) B = (2,0) PARAS on B! C = (4.333,4.667) D = ( 1.167, ) E = (0.167,0.833)
22 (Exercise 3.2.) 8 Seuraavaksi aloitamme tehtävän ratkaisemisen. Slack-muotoisessa mallissa on 8 muuttujaa (xp 1, xm 1, x 2, s 1, s 2, s 3, s 4 ja s 5 ), ja 5 rajoitetta. Kantaan kuuluvat viisi muuttujaa voidaan valita ( ) 8 5 = 8! 5!(8 5)! = = 56 tavalla. Ei siis kannata vääntää käsin se olisi hirmuinen urakka.
23 (Exercise 3.2.) 8 Seuraavaksi aloitamme tehtävän ratkaisemisen. Slack-muotoisessa mallissa on 8 muuttujaa (xp 1, xm 1, x 2, s 1, s 2, s 3, s 4 ja s 5 ), ja 5 rajoitetta. Kantaan kuuluvat viisi muuttujaa voidaan valita ( ) 8 5 = 8! 5!(8 5)! = = 56 tavalla. Ei siis kannata vääntää käsin se olisi hirmuinen urakka. Tiedostossa or11h3t1.m on octave-koodi, joka tulostaa kantaratkaisut. Ohjelma tulostaa kantaratkaisuja 40 kappaletta, sillä osa kantaratkaisu-yhtälöryhmistä eivät ratkea, koska kerroinmatriisin determinantti on nolla. Kun vielä listalta poistetaan ei-käyvät, niin lista on seuraava:
24 (Exercise 3.2.) 9 k xp1 xm1 x2 s1 s2 s3 s4 s5 -z Paras kantaratkaisu on #3 (BV #6 = {x 1,s 1,s 2,s 4,s 5 }, NBV #6 = {x 2,s 3 }) x 1 = 2,x 2 = 0,s 1 = 7,s 2 = 1,s 3 = 0,s 4 = 86,s 5 = 12, z = 4.
25 (Exercise 3.3.) Solve the LP of Exercise 3.1 with (a) stu_lp_solver, (b) glpk. a-kohdassa tarvitaan standardi-muoto. max mz = z = 2p 1 2m 1 3x 2 s.t. p 1 m 1 + x 2 9 p 1 + m 1 x 2 1 2p 1 2m 1 x 2 4 7p 1 7m 1 + x p 1 + 7m 1 x 2 2 p 1,m 1,x 2 0
26 H3t3 a). (Exercise 3.3.a)) 11 max mz = z = 2p 1 2m 1 3x 2 s.t. p 1 m 1 + x 2 9 p 1 + m 1 x 2 1 2p 1 2m 1 x 2 4 7p 1 7m 1 + x p 1 + 7m 1 x 2 2 p 1,m 1,x 2 0 c = 2 2 3, A = , b =
27 H3t3 a). (Exercise 3.3.a)) 12 c = [2-2 -3] ; A = [1-1 1; ; ; 7-7 1; ]; b = [ ] ; [mz_max, x_max] = stu_lp_solver(c,a,b) ################################# # mz_max = 4 # x_max = # # 2 # 0 # 0
28 H3t3 b). (Exercise 3.3.b)) 13 b-kohdassa tarvitaan muoto, jossa kaksois-epäyhtälöt on hajotettu kahdeksi tavalliseksi epäyhtälöksi. Koska merkkirajoite ei koske kuin toista muuttujaa, määritellään muuttujat vapaiksi, mutta x 2 :ta koskeva merkkirajoite lisätää rajoitteisiin eksplisiittisesti. min z = 2x 1 + 3x 2 (0 ) s.t. x 1 + x 2 9 (1a ) x 1 + x 2 1 (1b ) 2x 1 x 2 4 (2) 7x 1 + x (3a ) 7x 1 + x 2 2 (3b ) x 2 0 (x 2 :n merkki)
29 H3t3 b). (Exercise 3.3.b)) 14 ( 2 c = 3 min z = 2x 1 + 3x 2 s.t. x 1 + x 2 9 x 1 + x 2 1 2x 1 x 2 4 7x 1 + x x 1 + x 2 2 x 2 0 ), A = , b = [x_min, z_min]=glpk(c,a,b,[],[],"uluull","cc",1)
30 H3t3 b). (Exercise 3.3.b)) 15 c = [-2, 3] ; A = [1,1; 1,1; 2,-1; 7,1; 7,1; 0,1]; b = [9, 1, 4, 100, 2, 0] ; [x_min, z_min] = glpk(c,a,b,[],[],"uluull","cc",1) ################################# # x_min = # # 2 # 0 # # z_min = -4 #
31 (Exercise 3.4.) Find all the optima of the LP max z = 3x 1 + 6x 2 s.t. 5x 1 + 7x 2 35 x 1 + 2x 2 2 x 1,x 2 0 Ratkaistaan kaikki kantaratkaisut. Sitä varten tehdään ensin slack-muoto.
32 (Exercise 3.4.) 17 max z = 3x 1 + 6x 2 s.t. 5x 1 + 7x 2 + s 1 = 35 x 1 + 2x 2 + s 2 = 2 x 1,x 2,s 1,s 2 0 BV = {x 1,x 2 }
33 (Exercise 3.4.) 17 max z = 3x 1 + 6x 2 s.t. 5x 1 + 7x 2 + s 1 = 35 x 1 + 2x 2 + s 2 = 2 x 1,x 2,s 1,s 2 0 x 1 = 56/17 x 2 = 45/17 s 1 = 0 s 2 = 0 z = 6 BV = {x 1,x 2 } { 5x1 + 7x 2 = 35 x 1 + 2x 2 = 2 x 1 = 56/ x 2 = 45/ z = 6
34 (Exercise 3.4.) 18 max z = 3x 1 + 6x 2 s.t. 5x 1 + 7x 2 + s 1 = 35 x 1 + 2x 2 + s 2 = 2 x 1,x 2,s 1,s 2 0 x 1 = 56/17 x 2 = 45/17 s 1 = 0 s 2 = 0 z = 6 BV = {x 1,s 1 }
35 (Exercise 3.4.) 18 max z = 3x 1 + 6x 2 s.t. 5x 1 + 7x 2 + s 1 = 35 x 1 + 2x 2 + s 2 = 2 x 1,x 2,s 1,s 2 0 x 1 = 56/17 x 2 = 45/17 s 1 = 0 s 2 = 0 z = 6 BV = {x 1,s 1 } { 5x1 + s 1 = 35 x 1 = 2 x 1 = 2 s 1 = 45 ei ole käypä
36 (Exercise 3.4.) 19 max z = 3x 1 + 6x 2 s.t. 5x 1 + 7x 2 + s 1 = 35 x 1 + 2x 2 + s 2 = 2 x 1,x 2,s 1,s 2 0 x 1 = 56/17 x 2 = 45/17 s 1 = 0 s 2 = 0 z = 6 BV = {x 1,s 2 }
37 (Exercise 3.4.) 19 max z = 3x 1 + 6x 2 s.t. 5x 1 + 7x 2 + s 1 = 35 x 1 + 2x 2 + s 2 = 2 x 1,x 2,s 1,s 2 0 x 1 = 56/17 x 2 = 45/17 s 1 = 0 s 2 = 0 z = 6 x 1 = 7 x 2 = 0 s 1 = 0 s 2 = 9 z = 21 BV = {x 1,s 2 } { 5x1 + = 35 x 1 s 2 = 2 x 1 = 7 s 2 = 9 z = 21
38 (Exercise 3.4.) 20 max z = 3x 1 + 6x 2 s.t. 5x 1 + 7x 2 + s 1 = 35 x 1 + 2x 2 + s 2 = 2 x 1,x 2,s 1,s 2 0 x 1 = 56/17 x 2 = 45/17 s 1 = 0 s 2 = 0 z = 6 x 1 = 7 x 2 = 0 s 1 = 0 s 2 = 9 z = 21 BV = {x 2,s 1 }
39 (Exercise 3.4.) 20 max z = 3x 1 + 6x 2 s.t. 5x 1 + 7x 2 + s 1 = 35 x 1 + 2x 2 + s 2 = 2 x 1,x 2,s 1,s 2 0 x 1 = 56/17 x 2 = 45/17 s 1 = 0 s 2 = 0 z = 6 x 1 = 7 x 2 = 0 s 1 = 0 s 2 = 9 z = 21 x 1 = 0 x 2 = 1 s 1 = 28 s 2 = 0 z = 6 BV = {x 2,s 1 } { 7x2 + s 1 = 35 2x 2 = 2 x 2 = 1 s 1 = 28 z = 6
40 (Exercise 3.4.) 21 max z = 3x 1 + 6x 2 s.t. 5x 1 + 7x 2 + s 1 = 35 x 1 + 2x 2 + s 2 = 2 x 1,x 2,s 1,s 2 0 x 1 = 56/17 x 2 = 45/17 s 1 = 0 s 2 = 0 z = 6 x 1 = 7 x 2 = 0 s 1 = 0 s 2 = 9 z = 21 x 1 = 0 x 2 = 1 s 1 = 28 s 2 = 0 z = 6 BV = {x 2,s 2 }
41 (Exercise 3.4.) 21 max z = 3x 1 + 6x 2 s.t. 5x 1 + 7x 2 + s 1 = 35 x 1 + 2x 2 + s 2 = 2 x 1,x 2,s 1,s 2 0 x 1 = 56/17 x 2 = 45/17 s 1 = 0 s 2 = 0 z = 6 x 1 = 7 x 2 = 0 s 1 = 0 s 2 = 9 z = 21 x 1 = 0 x 2 = 1 s 1 = 28 s 2 = 0 z = 6 BV = {x 2,s 2 } { 7x2 = 35 2x 2 + s 2 = 2 x 2 = 5 s 2 = 8 ei ole käypä
42 (Exercise 3.4.) 22 max z = 3x 1 + 6x 2 s.t. 5x 1 + 7x 2 + s 1 = 35 x 1 + 2x 2 + s 2 = 2 x 1,x 2,s 1,s 2 0 x 1 = 56/17 x 2 = 45/17 s 1 = 0 s 2 = 0 z = 6 x 1 = 7 x 2 = 0 s 1 = 0 s 2 = 9 z = 21 x 1 = 0 x 2 = 1 s 1 = 28 s 2 = 0 z = 6 BV = {s 1,s 2 }
43 (Exercise 3.4.) 22 max z = 3x 1 + 6x 2 s.t. 5x 1 + 7x 2 + s 1 = 35 x 1 + 2x 2 + s 2 = 2 x 1,x 2,s 1,s 2 0 x 1 = 56/17 x 2 = 45/17 s 1 = 0 s 2 = 0 z = 6 x 1 = 7 x 2 = 0 s 1 = 0 s 2 = 9 z = 21 x 1 = 0 x 2 = 1 s 1 = 28 s 2 = 0 z = 6 x 1 = 0 x 2 = 0 s 1 = 35 s 2 = 2 z = 0 BV = {s 1,s 2 } { s s1 = 35 1 = 35 s 2 = 2 s 2 = 2 z = 0
44 (Exercise 3.4.) 23 max z = 3x 1 + 6x 2 s.t. 5x 1 + 7x 2 + s 1 = 35 x 1 + 2x 2 + s 2 = 2 x 1,x 2,s 1,s 2 0 x 1 = 56/17 x 2 = 45/17 s 1 = 0 s 2 = 0 z = 6 x 1 = 7 x 2 = 0 s 1 = 0 s 2 = 9 z = 21 x 1 = 0 x 2 = 1 s 1 = 28 s 2 = 0 z = 6 x 1 = 0 x 2 = 0 s 1 = 35 s 2 = 2 z = 0 Tavoitefunktion arvo on z = 6, jos x 1 56/17 x 2 s 1 = t 45/ (1 t) s , 0 t 1
45 24 (a) Is it possible that LP has no optima, but it is nevertheless bounded? This means that your value z is bounded by some number, but one can still always make any given decision better. (b) Is the previous possible for any optimization problem?
46 24 (a) Is it possible that LP has no optima, but it is nevertheless bounded? This means that your value z is bounded by some number, but one can still always make any given decision better. (b) Is the previous possible for any optimization problem? Vastaus: (a) ei (b) kyllä.
47 24 (a) Is it possible that LP has no optima, but it is nevertheless bounded? This means that your value z is bounded by some number, but one can still always make any given decision better. (b) Is the previous possible for any optimization problem? Vastaus: (a) ei (b) kyllä. (b)-kohta on helpompi, joten aloitamme siitä. Optimointitehtävällä max z = x 1 s.t. 0 < x 1 < 1 ei ole optimia vaikka arvot ovat rajoitettu välille 0 < z < 1
48 (a) #1 25 (a)-kohdassa aukottoman perustelun antaminen ei ole helppoa. Seuraavassa on annettu kolme erilaista perustelua. Perusteluyritys #1 (kuvaileva) Oleellinen seikka on se, että käyvän alueen reunapisteet ovat käypiä. Oletamme nyt, että ongelma on maksimointitehtävä ja tavoitefunktion arvot on rajoitettu välille M z = f (x) M Olkoon aluksi t = M + 1. Tarkastellaan niitä päätösmuuttuja -avaruuden pisteitä, joissa f (x) = t. Pisteet muodostavat hypertason T (t), joka liikkuu käypää aluetta kohden, kun t:tä pienennetään. Ensimmäinen piste, jossa T koskettaa käypää aluetta on käyvän alueen reunan piste ja siis optimipiste.
49 (a) #1 25 (a)-kohdassa aukottoman perustelun antaminen ei ole helppoa. Seuraavassa on annettu kolme erilaista perustelua. Perusteluyritys #1 (kuvaileva) Oleellinen seikka on se, että käyvän alueen reunapisteet ovat käypiä. Oletamme nyt, että ongelma on maksimointitehtävä ja tavoitefunktion arvot on rajoitettu välille M z = f (x) M Olkoon aluksi t = M + 1. Tarkastellaan niitä päätösmuuttuja -avaruuden pisteitä, joissa f (x) = t. Pisteet muodostavat hypertason T (t), joka liikkuu käypää aluetta kohden, kun t:tä pienennetään. Ensimmäinen piste, jossa T koskettaa käypää aluetta on käyvän alueen reunan piste ja siis optimipiste. Miksi on olemassa ensimmäisen kosketuksen piste? (?!?!)
50 (a) #2 26 Perustelu #2 (lineaarialgebran keinoin) Tarkastellaan LP-mallin slack-muotoa. Jokainen käypä kantaratkaisu x i antaa yhden käyvän alueen nurkkapisteen joka on käypä ratkaisu ja jossa tavoitefunktio saa arvon z i = f (x i ) = c x i.
51 (a) #2 26 Perustelu #2 (lineaarialgebran keinoin) Tarkastellaan LP-mallin slack-muotoa. Jokainen käypä kantaratkaisu x i antaa yhden käyvän alueen nurkkapisteen joka on käypä ratkaisu ja jossa tavoitefunktio saa arvon z i = f (x i ) = c x i. Kahden kantaratkaisun x i ja x j painotettu keskiarvo x = t 1 x i + t 2 x j (jossa painojen summa on t 1 + t 2 = 1) on myös käypä ratkaisu, sillä Ax = A(t 1 x i + t 2 x j ) = t 1 Ax i + t 2 Ax j = t 1 b + t 2 b = b. ja f (x) = c (t 1 x i + t 2 x j ) = t 1 z i + t 2 z j.
52 (a) #2 27 Vastaavasti painotettu keskiarvo kaikista käyvistä kantaratkaisuista x = N k=1 t k x k (jossa painojen summa on t k = 1) on myös käypä ratkaisu ja f (x) = c ( t k x k ) = t k z k. (Se, että kaikki käyvän alueen pisteet saadaan kantaratkaisujen painotettuina keskiarvoina, on melko luonnollinen ajatus, mutta jää nyt todistamatta!)
53 (a) #2 27 Vastaavasti painotettu keskiarvo kaikista käyvistä kantaratkaisuista x = N k=1 t k x k (jossa painojen summa on t k = 1) on myös käypä ratkaisu ja f (x) = c ( t k x k ) = t k z k. (Se, että kaikki käyvän alueen pisteet saadaan kantaratkaisujen painotettuina keskiarvoina, on melko luonnollinen ajatus, mutta jää nyt todistamatta!) Kantaratkaisuja (nurkkapisteitä) on paljon, mutta kuitenkin vain äärellinen määrä. Voimme siis aina löytää parhaan nurkkapisteen. Paras käyvän alueen piste löytyy nyt niin, että annetaan parhaalle nurkkapisteelle paino 1 ja muille nurkkapisteille painot 0. Saatu piste on kaikista paras ja käypä, siis optimiratkaisu.
54 (a)#3 28 Perustelu #3 (topologian keinoin) Käypä alue on R n :n suljettu joukko (reuna on mukana). R n :n rajoitettu, suljettu joukko on kompakti. Topologiasta tiedämme, että jos K R n on epätyhjä ja kompakti ja f : K R on jatkuva funktio, niin f saa kompaktissa joukossa K suurimman arvonsa. LP-mallin käypä alue on kompakti ja tavoitefunktio on jatkuva, joten edellisen nojalla optimi on olemassa. Jos jokin sana jäi epäselväksi, niin googlaamalla löytyy selityksiä. Hyvä kirjallinen lähde on mm. Jussi Väisälä (2007), Topologia I, Limes ry, ISBN
Operatioanalyysi 2011, Harjoitus 4, viikko 40
Operatioanalyysi 2011, Harjoitus 4, viikko 40 H4t1, Exercise 4.2. H4t2, Exercise 4.3. H4t3, Exercise 4.4. H4t4, Exercise 4.5. H4t5, Exercise 4.6. (Exercise 4.2.) 1 4.2. Solve the LP max z = x 1 + 2x 2
Operatioanalyysi 2011, Harjoitus 2, viikko 38
Operatioanalyysi 2011, Harjoitus 2, viikko 38 H2t1, Exercise 1.1. H2t2, Exercise 1.2. H2t3, Exercise 2.3. H2t4, Exercise 2.4. H2t5, Exercise 2.5. (Exercise 1.1.) 1 1.1. Model the following problem mathematically:
Talousmatematiikan perusteet: Luento 12. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 12 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
Talousmatematiikan perusteet
kevät 19 / orms.30 Talousmatematiikan perusteet 8. harjoitus, viikko 11 (11.03..03.19) L Ma 12 A2 R0 Ti 14 16 F43 R01 Ma 12 14 F43 L To 08 A2 R02 Ma 16 18 F43 R06 To 12 14 F140 R03 Ti 08 F42 R07 Pe 08
Lineaarinen optimointi. Harjoitus 6-7, Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän. c T x = min!
Lineaarinen optimointi Harjoitus 6-7, 016. 1. Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän c T x = min! (T) Ax b x 0 duaalitehtävän duaali on tehtävä (T). Ratkaisu. (P) c T x = min! Ax b x
Talousmatematiikan perusteet
kevät 2019 / orms.1030 Talousmatematiikan perusteet 7. harjoitus, viikko 7 1. Oheisessa taulukossa on erään tuotteen hintaindeksejä. Laske hinnan keskimääräinen kasvuvauhti vuosina 2000-2005 vuosi indeksi
On instrument costs in decentralized macroeconomic decision making (Helsingin Kauppakorkeakoulun julkaisuja ; D-31)
On instrument costs in decentralized macroeconomic decision making (Helsingin Kauppakorkeakoulun julkaisuja ; D-31) Juha Kahkonen Click here if your download doesn"t start automatically On instrument costs
1. Lineaarinen optimointi
0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on
Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R
Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
1 Johdanto LP tehtävän luonteen tarkastelua Johdanto herkkyysanalyysiin Optimiarvon funktio ja marginaalihinta
Sisältö Johdanto 2 LP tehtävän luonteen tarkastelua 3 Johdanto herkkyysanalyysiin 5 2 Optimiarvon funktio ja marginaalihinta 5 3 Johdanto duaaliteoriaan 6 2 LP-tehtävän standardimuoto 9 Johdanto Optimoinnista
Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät
Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Systeemianalyysin Laboratorio 19.3.2008 Sisällys Leikkaustasomenetelmät yleisesti Leikkaustasomenetelmät generoivilla kokonaislukujoukoilla Gomoryn leikkaavat
Demo 1: Simplex-menetelmä
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x
Harjoitus 8: Excel - Optimointi
Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen
The CCR Model and Production Correspondence
The CCR Model and Production Correspondence Tim Schöneberg The 19th of September Agenda Introduction Definitions Production Possiblity Set CCR Model and the Dual Problem Input excesses and output shortfalls
LP-mallit, L19. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto. Graafisen ratkaisun vaiheet. Optimin olemassaolo
LP-mallit, L19 Yleistä 1 LP-mallit on yksi Operaatioanalyysin (Operations Research) perustyökaluista. Perusongelma: Miten pitää suorittaa operaatio mahdollisimman hyvin, kun käytettävissä on rajalliset
LP-mallit, L8. Herkkyysanalyysi. Varjohinta. Tietokoneohjelmia. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto.
LP-mallit, L8 Yleistä 1 LP-mallit on yksi Operaatioanalyysin (Operations Research) perustyökaluista. Perusongelma: Miten pitää suorittaa operaatio mahdollisimman hyvin, kun käytettävissä on rajalliset
On instrument costs in decentralized macroeconomic decision making (Helsingin Kauppakorkeakoulun julkaisuja ; D-31)
On instrument costs in decentralized macroeconomic decision making (Helsingin Kauppakorkeakoulun julkaisuja ; D-31) Juha Kahkonen Click here if your download doesn"t start automatically On instrument costs
Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät
Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät ja sisäpistemenetelmät Lagrangen välttämättömien ehtojen ratkaiseminen Newtonin menetelmällä Jos tehtävässä on vain yhtälörajoituksia, voidaan minimipistekandidaatteja
Malliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 5 2.2.28 Tehtävä a) Tehtävä voidaan sieventää muotoon max 5x + 9x 2 + x 3 s. t. 2x + x 2 + x 3 x 3 x 2 3 x 3 3 x, x 2, x 3 Tämä on tehtävän kanoninen muoto, n = 3 ja m =. b) Otetaan
Esimerkki 1 (Rehun sekoitus) 1
1 Karjankasvattaja käyttää luonnosta saadun nurmirehun lisäksi lisäravinnetta 200kg/päivä. Lisäravinne sekoitetaan maissista ja soijasta. Ravinteen ominaisuuksiin vaikuttaa raaka-aineiden proteiini- ja
Malliratkaisut Demo 1
Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,
2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo
2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan
Malliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x
Malliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x
Alternative DEA Models
Mat-2.4142 Alternative DEA Models 19.9.2007 Table of Contents Banker-Charnes-Cooper Model Additive Model Example Data Home assignment BCC Model (Banker-Charnes-Cooper) production frontiers spanned by convex
Harjoitus 7: vastausvihjeet
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.
Capacity Utilization
Capacity Utilization Tim Schöneberg 28th November Agenda Introduction Fixed and variable input ressources Technical capacity utilization Price based capacity utilization measure Long run and short run
4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen
4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen Käypä kantaratkaisu löytyy helposti, esimerkiksi tapauksessa Ax b, b 0 x 0 jolloin sen määräävät puutemuuttujat. Tällöin simplex-menetelmän alustus
Mat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.3140 Lineaarinen ohjelmointi 4.10.2007 Luento 4 Ekstreemipisteiden optimaalisuus ja Simplex (kirja 2.4-2.6, 3.1-3.2) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 2007 / 1 Luentorunko Degeneroituvuus Ekstreemipisteiden
Simplex-algoritmi. T Informaatiotekniikan seminaari , Susanna Moisala
Simplex-algoritmi T-6.5 Informaatiotekniikan seminaari..8, Susanna Moisala Sisältö Simplex-algoritmi Lähtökohdat Miten ongelmasta muodostetaan ns. Simplextaulukko Miten haetaan käypä aloitusratkaisu Mitä
Luento 6: Monitavoiteoptimointi
Luento 6: Monitavoiteoptimointi Monitavoiteoptimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f 1,, f m Esimerkiksi opiskelija haluaa oppia mahdollisimman hyvin ja paljon mahdollisimman
, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
Returns to Scale II. S ysteemianalyysin. Laboratorio. Esitelmä 8 Timo Salminen. Teknillinen korkeakoulu
Returns to Scale II Contents Most Productive Scale Size Further Considerations Relaxation of the Convexity Condition Useful Reminder Theorem 5.5 A DMU found to be efficient with a CCR model will also be
Luento 3: Simplex-menetelmä
Luento 3: Simplex-menetelmä Kuten graafinen tarkastelu osoittaa, LP-tehtävän ratkaisu on aina käyvän alueen kulmapisteessä, eli ekstreemipisteessä (extreme point). Simplex-menetelmässä ekstreemipisteitä,
1. Liikkuvat määreet
1. Liikkuvat määreet Väitelauseen perussanajärjestys: SPOTPA (subj. + pred. + obj. + tapa + paikka + aika) Suora sanajärjestys = subjekti on ennen predikaattia tekijä tekeminen Alasääntö 1: Liikkuvat määreet
8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku
38 8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku Edellä kuvattu simplex-algoritmi tarvitsee alkuratkaisuksi käyvän kantaratkaisun eli käyvän joukon kärkipisteen. Sellaisen voi konstruoida seuraavilla tavoilla:
Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.
Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli Esimerkki. Maalitehdas valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M1 ja M2. Sisämaalin maksimikysyntä on 2 tonnia/päivä. Sisämaalin
On instrument costs in decentralized macroeconomic decision making (Helsingin Kauppakorkeakoulun julkaisuja ; D-31)
On instrument costs in decentralized macroeconomic decision making (Helsingin Kauppakorkeakoulun julkaisuja ; D-31) Juha Kahkonen Click here if your download doesn"t start automatically On instrument costs
Kimppu-suodatus-menetelmä
Kimppu-suodatus-menetelmä 2. toukokuuta 2016 Kimppu-suodatus-menetelmä on kehitetty epäsileiden optimointitehtävien ratkaisemista varten. Menetelmässä approksimoidaan epäsileitä funktioita aligradienttikimpulla.
Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
Operatioanalyysi 2011, Harjoitus 5, viikko 41
Operatioanalyysi 2011, Harjoitus 5, viikko 41 H5t1, Exercise 5.2. H5t2, Exercise 5.3. H5t3, Exercise 5.4. H5t4, Exercise 5.5. H5t5, Exercise 6.1. (Exercise 5.2.) 1/5 1 5.2. Consider Manuel Example s 4.0.1
Lineaarialgebra MATH.1040 / voima
Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.
Malliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 2.2.217 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös muotoon
anna minun kertoa let me tell you
anna minun kertoa let me tell you anna minun kertoa I OSA 1. Anna minun kertoa sinulle mitä oli. Tiedän että osaan. Kykenen siihen. Teen nyt niin. Minulla on oikeus. Sanani voivat olla puutteellisia mutta
Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali
Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Käsittelemme seuraavaksi lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa. Kuten luennossa 2 esitettiin, kohdefunktion optimiarvon herkkyys z, kun rajoitusyhtälön i, 1 i m, oikea
TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS
1. Suorakaiteen muotoisen lämmönvaraajan korkeus on K, leveys L ja syvyys S yksikköä. Konvektiosta ja säteilystä johtuvat lämpöhäviöt ovat verrannollisia lämmönvaraajan lämpötilan T ja ympäristön lämpötilan
Malliratkaisut Demot 6,
Malliratkaisut Demot 6, 19.2.21 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös
FinFamily PostgreSQL installation ( ) FinFamily PostgreSQL
FinFamily PostgreSQL 1 Sisällys / Contents FinFamily PostgreSQL... 1 1. Asenna PostgreSQL tietokanta / Install PostgreSQL database... 3 1.1. PostgreSQL tietokannasta / About the PostgreSQL database...
Luento 7: Kokonaislukuoptimointi
Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Lineaarisessa optimointitehtävässä (LP) kaikki muuttujat ovat jatkuvia. Kokonaislukuoptimoinnin (ILP = Integer LP) tehtävässä kaikilla muuttujilla on kokonaislukurajoitus
1 Rajoitettu optimointi I
Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause
Johdatus verkkoteoriaan luento Netspace
Johdatus verkkoteoriaan luento 3.4.18 Netspace Matriisioperaatio suunnatuissa verkoissa Taustoitusta verkkoteorian ulkopuolelta ennen kuljetusalgoritmia LP-ongelma yleisesti LP = linear programming =
Information on Finnish Language Courses Spring Semester 2017 Jenni Laine
Information on Finnish Language Courses Spring Semester 2017 Jenni Laine 4.1.2017 KIELIKESKUS LANGUAGE CENTRE Puhutko suomea? Do you speak Finnish? -Hei! -Moi! -Mitä kuuluu? -Kiitos, hyvää. -Entä sinulle?
Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )
Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään
Kertausta Talousmatematiikan perusteista Toinen välikoe
Kertausta Talousmatematiikan perusteista Toinen välikoe 1 päätösmuuttujat (x 1,x 2,...) tavoitefunktio (z = c 1 x 1 + c 2 x 2 +...) rajoitteet (a i1 x 1 + a i2 x 2 + b i ) Mallin Formaatti käypä alue Optimipisteen
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Nuku hyvin, pieni susi -????????????,?????????????????. Kaksikielinen satukirja (suomi - venäjä) (www.childrens-books-bilingual.com) (Finnish Edition)
Nuku hyvin, pieni susi -????????????,?????????????????. Kaksikielinen satukirja (suomi - venäjä) (www.childrens-books-bilingual.com) (Finnish Edition) Click here if your download doesn"t start automatically
The Viking Battle - Part Version: Finnish
The Viking Battle - Part 1 015 Version: Finnish Tehtävä 1 Olkoon kokonaisluku, ja olkoon A n joukko A n = { n k k Z, 0 k < n}. Selvitä suurin kokonaisluku M n, jota ei voi kirjoittaa yhden tai useamman
S-55.1100 SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA
S-55.00 SÄHKÖKNKKA A KONKKA. välikoe 2..2008. Saat vastata vain neljään tehtävään!. aske jännite U. = 4 Ω, 2 = Ω, = Ω, = 2, 2 =, = A, 2 = U 2 2 2 2. ännitelähde tuottaa hetkestä t = t < 0 alkaen kaksiportaisen
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 (1) Tarkastellaan tason (a, )-topologiaa. (Tässä topologiassa A R 2 on avoin jos ja vain jos A =, A = R 2 tai A = {(x, y) R 2 x > a ja y > b} joillekin a, b R.) Jokaiselle
Talousmatematiikan perusteet
kevät 219 / orms.13 Talousmatematiikan perusteet 9. harjoitus, viikko 12 (18.3. 22.3.219) L Ma 1 12 A22 R5 Ti 14 16 F453 R1 Ma 12 14 F453 L To 8 1 A22 R2 Ma 16 18 F453 R6 Pe 12 14 F14 R3 Ti 8 1 F425 R7
x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox
Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen
Esimerkkitehtäviä, A-osa
Esimerkkitehtäviä, A-osa MAB1, harjaantuu käyttämään matematiikkaa jokapäiväisen elämän ongelmien ratkaisemisessa Jussi myy torilla marjoja. Erään asiakkaan ostokset maksavat 8,65e. Asiakas antaa Jussille
Efficiency change over time
Efficiency change over time Heikki Tikanmäki Optimointiopin seminaari 14.11.2007 Contents Introduction (11.1) Window analysis (11.2) Example, application, analysis Malmquist index (11.3) Dealing with panel
Information on Finnish Language Courses Spring Semester 2018 Päivi Paukku & Jenni Laine Centre for Language and Communication Studies
Information on Finnish Language Courses Spring Semester 2018 Päivi Paukku & Jenni Laine 4.1.2018 Centre for Language and Communication Studies Puhutko suomea? -Hei! -Hei hei! -Moi! -Moi moi! -Terve! -Terve
Salasanan vaihto uuteen / How to change password
Salasanan vaihto uuteen / How to change password Sisällys Salasanakäytäntö / Password policy... 2 Salasanan vaihto verkkosivulla / Change password on website... 3 Salasanan vaihto matkapuhelimella / Change
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 3. Luennon sisältö
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 3. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän sallittu alue Optimointitehtävien muunnoksia Lineaarisen yhtälöryhmän perusmuoto ja perusratkaisut Lineaarisen optimointitehtävän
Malliratkaisut Demo 4
Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) f(x) = 2x + 21. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että imoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) f(x) = x (pienin kokonaisluku
Luetteloivat ja heuristiset menetelmät. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki
Luetteloivat ja heuristiset menetelmät Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Branch and Bound sekä sen variaatiot (Branch and Cut, Lemken menetelmä) Optimointiin
ASCII-taidetta. Intro: Python
Python 1 ASCII-taidetta All Code Clubs must be registered. Registered clubs appear on the map at codeclubworld.org - if your club is not on the map then visit jumpto.cc/18cplpy to find out what to do.
make and make and make ThinkMath 2017
Adding quantities Lukumäärienup yhdistäminen. Laske yhteensä?. Countkuinka howmonta manypalloja ballson there are altogether. and ja make and make and ja make on and ja make ThinkMath 7 on ja on on Vaihdannaisuus
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Kertausta Talousmatematiikan perusteista Toinen välikoe
Kertausta Talousmatematiikan perusteista Toinen välikoe 1 Parametrit D Kysyntä (kpl/vuosi) h Yksikköylläpito-kustannus (euro/kpl/vuosi) K Tilauskustannus (euro) Tarkista aina yksiköiden yhteensopiminen
min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
Choose Finland-Helsinki Valitse Finland-Helsinki
Write down the Temporary Application ID. If you do not manage to complete the form you can continue where you stopped with this ID no. Muista Temporary Application ID. Jos et onnistu täyttää lomake loppuun
Kevään 2011 pitkän matematiikan ylioppilastehtävien ratkaisut Mathematicalla Simo K. Kivelä /
Kevään 0 pitkän matematiikan ylioppilastehtävien ratkaisut Mathematicalla Simo K. Kivelä / 8.7.0 a) b) c) a) Tehtävä Yhtälö ratkaistaan yleensä Solve-funktiolla: Solve x 3 x, x x 4 Joissakin tapauksissa
Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari
Julkinen opetusnäyte Yliopisto-opettajan tehtävä, matematiikka Klo 8:55-9:15 TkT Simo Ali-Löytty Aihe: Lineaarisen yhtälöryhmän pienimmän neliösumman ratkaisu Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari 1 y y
Malliratkaisut Demot 5,
Malliratkaisut Demot 5, 2.2.25 Tehtävä : a) Tehtävä voidaan sieventää muotoon max 5x + 9x 2 + x 3 s. t. 2x +x 2 x 3 x 3 x 2 3 x 3 3 x,x 2,x 3 Tämä on tehtävän kanoninen muoto,n = 3 jam =. b) Otetaan käyttöön
Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z
16. Allocation Models
16. Allocation Models Juha Saloheimo 17.1.27 S steemianalsin Optimointiopin seminaari - Sks 27 Content Introduction Overall Efficienc with common prices and costs Cost Efficienc S steemianalsin Revenue
Results on the new polydrug use questions in the Finnish TDI data
Results on the new polydrug use questions in the Finnish TDI data Multi-drug use, polydrug use and problematic polydrug use Martta Forsell, Finnish Focal Point 28/09/2015 Martta Forsell 1 28/09/2015 Esityksen
Talousmatematiikan perusteet: Luento 15. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 15 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden rajoittamatonta optimointia:
Luento 6: Monitavoitteinen optimointi
Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Monitavoitteisessa optimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f,,f m Esimerkki ortfolion eli arvopaperijoukon optimoinnissa: f
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
Harjoitus 6 ( )
Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,
Uusi Ajatus Löytyy Luonnosta 4 (käsikirja) (Finnish Edition)
Uusi Ajatus Löytyy Luonnosta 4 (käsikirja) (Finnish Edition) Esko Jalkanen Click here if your download doesn"t start automatically Uusi Ajatus Löytyy Luonnosta 4 (käsikirja) (Finnish Edition) Esko Jalkanen
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,
4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 4. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä
4x4cup Rastikuvien tulkinta
4x4cup Rastikuvien tulkinta 4x4cup Control point picture guidelines Päivitetty kauden 2010 sääntöihin Updated for 2010 rules Säännöt rastikuvista Kilpailijoiden tulee kiinnittää erityistä huomiota siihen,
Travel Getting Around
- Location Olen eksyksissä. Not knowing where you are Voisitko näyttää kartalta missä sen on? Asking for a specific location on a map Mistä täällä on? Asking for a specific...wc?...pankki / rahanvaihtopiste?...hotelli?...huoltoasema?...sairaala?...apteekki?...tavaratalo?...ruokakauppa?...bussipysäkki?
C++11 seminaari, kevät Johannes Koskinen
C++11 seminaari, kevät 2012 Johannes Koskinen Sisältö Mikä onkaan ongelma? Standardidraftin luku 29: Atomiset tyypit Muistimalli Rinnakkaisuus On multicore systems, when a thread writes a value to memory,
Oppimistavoitematriisi
Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä ja yhtälöpareja Osaan muokata
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
Lineaarinen optimointitehtävä
Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä yhtälörajoittein: min kun n j=1 n j=1 c j x j a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Merkitään: z = alkuperäisen objektifunktion arvo käsiteltävänä
A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:
Ellipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio
Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä