Pikkuisen kombinatoriikkaa

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Pikkuisen kombinatoriikkaa"

Transkriptio

1 Pikkuisen kombinatoriikkaa Tässä esitellään tehtävien avulla muutamia matematiikkakilailuissaesiintyviä kombinatorisluotoisia menetelmiä. Välissä on muutama määritelmäkin. Joukkoja Joukon A osajoukkojen joukkoa merkitään P(A). Joukkoa P(A) kutsutaan joukon A otenssijoukoksi. Jos joukossa A on n alkiota, jokainen A:n osajoukko voidaan muodostaa rosessilla, jossa kunkin A:n alkion kohdalla äätetään, kuuluuko alkio kyseiseen osajoukkoon vai ei. Tällainen n:n kahden vaihtoehdon kohdalla valitsemisen rosessi voidaan tehdä n eri tavalla. Joukossa P(A) on siis n alkiota. Jos B A, niin B = {x A x/ B}. Juokko B on joukon B komlementtijoukko (A:n suhteen). Joukoilla B ja B ei ole yhteisiä alkioita. Niiden leikkausjoukko on siis tyhjä joukko: B B =.. Joukossa A on n alkiota. Olkoon S P(A), S = {A,A,..., A n } jokin sellainen A:n n :n osajoukon joukko, jossa jokaisen kolmen joukon leikkaus on eätyhjä. Osoita, että n k= A k. Ratkaisu. Joukosta S tehdystä oletuksesta seuraa, että jokaisen kahden S:n alkion leikkaus on eätyhjä ja että tyhjäjoukko ei kuulu joukkoon S. Jos A k S, niin A k / S. S:ään kuuluu tasan uolet kaikista P(A):n alkioista. Näiden joukkojen n komlementtijoukkoa eivät kuulu joukkoon S. Tästä seuraa, että jokainen A:n osajoukko joko kuuluu joukkoon S tai on jonkin S:ään kuuluvan joukon komlementti. Osoitetaan induktiolla, että jokainen leikkausjoukko k= on joukossa S. Asia on selvä, kun =. JoukoistaA A ja A A tasan toinen kuuluu joukkoon S. Jos se olisi A A, niin S:stä tehdyn oletuksen erusteella olisi A A A A. Mutta tämä ei ole mahdollista, koska joukon ja sen komlementin leikkaus on tyhjä. Siis A A S. Samalla tavalla nähdään, että jokaisen kahden S:n alkion leikkausjoukko on sekin S:n alkio. Induktioaskel on nyt triviaali: jos A k S, niin + k= k= A k ( ) A k = A k A + S. k= Erityisesti siis kaikkien S:n alkioiden leikkausjoukko kuluu joukkoon S eikä näinollenvoi olla tyhjä joukko.

2 . Olkoon A joukko ja f : P(A) P(A) sellainen, että ainakunx Y, niin f(x) f(y ). Osoita, että jollain T A ätee f(t )=T. Ratkaisu. Muodostetaan joukko K = {X A f(x) X}. Joukko K ei ole tyhjä, koska f(a) A ja siis ainakin A K. Muodostetaan K:hon kuuluvien A:n osajoukkojen leikkausjoukko T : T = X. X K Osoitetaan, että tämä T toteuttaa tehtävän ehdon. On osoitettava kaksi sisältymistä: T f(t )jaf(t ) T. Jälkimmäisen osoittamiseksi tarkastellaan mielivaltaista K:n alkiota X. Koska X on yksi niistä joukoista, joiden leikkaus on T, on varmasti T X. Mutta silloin f(t ) f(x) X. Edellinen sisältymisrelaatio seuraa funktion f määritellystä ominaisuudesta, jälkimmäinen siitä, että X K. Koska X oli mielivaltainen K:n alkio, on tullut osoitetuksi, että f(t ) on jokaisen K:n alkion osajoukko ja sisältyy siis myös kaikkien K:n alkioiden leikkausjoukkoon, joka on T. Siis f(t ) T.Tämä merkitsee myös sitä, että T K. Funktion f ominaisuudesta seuraa edelleen, että f(f(t )) f(t ). Siis myös f(t ) K. Näin ollen f(t ) on yksi niistä joukoista, joiden leikkaus on T, ja siis T f(t ). Todistus on valmis. Monesti käyttökeloinen havainto on laatikkoeriaate. Jos n + esinettä on sijoitettu n:ään laatikkoon, ainakin yhdessä laatikossa on ainakin kaksi esinettä. Verkot ovat struktuureja, joiden avulla kuvataan monenlaisia joukon alkioiden välisiä relaatioita. Verkkorakenteita on erilaisia. Seuraavassa verkko tarkoittaa yksinkertaista, suuntaamatonta verkkoa. Sen määrittelee äärellinen joukko V, jonka alkioita kutsutaan verkon solmuiksi ja jokin V :n kaksialkioisten osajoukkojen joukon osajoukko E, jonka alkioita kutsutaan verkon särmiksi. Verkkoa voidaan havainnollistaa iirtämällä V :n alkiot isteiksi taiallosiksijae:n alkiot istearien isteitä yhdistäviksi janoiksi tai kaariksi. Todetaan tässä muutama verkkoon liittyvä käsite. Verkon ketju on jono toisiinsa liittyviä särmiä, siis solmuareja {A,A }, {A,A 3 },..., {A k,a k }. Ketju yhdistää solmuta ja A k. Jos jokaiset kaksi verkon solmua voidaan yhdistää ketjulla, verkko on yhtenäinen. Ketju, jossa A = A k on uminainen ketju eli sykli. Verkko, jossa ei ole yhtään sykliä, on uu. 3. Osoita, että verkossa on aina vähintään kaksi solmua, joista lähtee yhtä montasärmää. Ratkaisu. Ratkaisu on laatikkoeriaatteen välitön sovellus. Olkoon verkossa n solmua, joista lähtee ainakin yksi särmä. Jokainen näistä solmuista yhdistyy ainakin yhteen, mutta enintään (n ):een toiseen solmuun. Solmusta lähtevien särmien lukumäärälläonn eri mahdollisuutta, mutta solmuja on n. Siis joistain kahdesta solmusta lähtevien särmien lukumäärän on oltava sama. 4. Osoita, että(äärellisen) joukon A osajoukot A i voidaan aina numeroida niin, että A 0 = ja että kaikilla ka k+ on joukko, joka saadaan A k :sta lisäämällä tai oistamalla yksi alkio. Ratkaisu. Tähän löytyy näärä induktiotodistus; induktio etenee A:n alkioiden lukumäärän mukaan. Jos A:ssa on vain yksi alkio a, jonoona 0 =, A = {a}. Oletetaan, että n-alkioisen joukon {x,x,..., x n } osajoukot voidaan järjestää tehtävän eh-

3 dot täyttävään jonoon A 0,A,..., A n. Voidaan olettaa, että tarkasteltava (n +)- alkioinen joukko on {x,x,..., x n,x n+ }. Sen kaikki osajoukot saadaan tehtävän ehdon täyttävään jonoon aloittamalla jonolla A 0,A,..., A n ja jatkamalla sitä jonolla A n {x n+ },A n {x n+ },..., A {x n+ },A 0 {x n+ }. On tavallista, että tehtävät, jotka matemaattisesti koskevat jotain tietynlaisen verkon ominaisuutta, muotoillaan vaikkaa niin, että verkon solmua vastaa jonkin seurueen jäsen ja verkon särmää kahden ihmisen tuttavuus. 5. Seurueessa on n henkilöä. Jos seurueen jäsenet A ja B tuntevat toisensa, heillä eiole muita yhteisiä tuttavia. Jos he eivät tunne toisiaan, seurueessa on tasan kaksi sellaista henkilöä, jotka tuntevat sekä A:n että B:n. Osoita, että jokaisella seurueen jäsenellä on yhtä monta tuttavaa. Ratkaisu. Merkitään M A :lla seurueen jäsenen A tuttavien joukkoa. On siis osoitettava, että kaikille seurueen jäsenille A, B joukoissa M A ja M B on yhtä monta alkiota. Olkoon siis A ja B kaksi seurueen jäsentä. Jos A ja B tuntevat toisensa, joukot M A ja M B ovat oletusten erusteella erillisiä. Tarkastellaan mielivaltaista M A :n alkiota X B. Nyt X/ M B. Henkilöillä X ja B on oletuksen mukaan tasan kaksi yhteistä tuttavaa. Toinen näistä ona. Olkoon toinen Y (Y A). Jos X olisi toinen M A :n alkio ja myös X :n ja B:n yhteiset tuttavat olisiva Y ja A, niin Y :llä jaa:lla olisi kolme yhteistä tuttavaa B, X ja X. Siis eri X:iä joukossa M A vastaavat eri Y :t joukossa M B. Tästä seuraa, että M B :n alkioiden lukumäärä on ainakin sama kuin M A :n. Mutta tässä tarkastelussa M A :n ja M B :n roolit voidaan vaihtaa, ja nähdään, että M A :n alkioiden lukumäärä on ainakin sama kuin M B :n. Joukoissa M A ja M B on oltava yhtä monta alkiota. Olkoot sitten A ja B sellaiset henkilöt, jotka eivät tunne toisiaan. Silloin on olemassa jokin C, jokatunteesekä A:n että B:n. Jo todistetun nojalla M A :n alkioiden lukumäärä on sama kuin M C :n ja myös M B :n alkioiden lukumäärä onsamakuinm C :n. Todistus on valmis. Permutaatioita Äärellisen joukon A ermutaatio on bijektio σ : A A. Voidaan olettaa, että A = S n = {,,...n}. Jos merkitään σ(k) =a k, niin ermutaatiota σ voidaan merkitä ( ) 3... n a a a 3... a n tai vain (a,a,..., a n ). Joukolla S n on n! =n(n )(n ) eri ermutaatiota. (a voidaan valita n:stä mahdollisuudesta, a (n ):stä jne.) Jos B = {i,i,..., i k } S n, niin A:n ermutaatio σ on sykli, josσ(i j )=i j+,kun j<k, σ(i k )=i ja σ(i) =i, kuni/ B. Kaksi sykliä ovat erillisiä, jos joukot, joiden alkiot ko. sykleissä vaihtuvat, ovat erillisiä. Identtinen ermutaatio id kuvaa jokaisen A:n alkion itselleen. Jokaisella ermutaatiolla σ on käänteisermutaatio σ, joka toteuttaa ehdot σ σ =idjaσ σ =id. (Merkintä f g tarkoittaa funktioiden f ja g yhdistämistä: (f g)(x) =f(g(x)).) 3

4 4 6. Osoita, että jokainen S n :n (muu kuin identtinen) ermutaatio saadaan tekemällä eräkkäin erillisiä syklejä. Ratkaisu. Induktio: Joukon S ainoa ei-identtimen ermutaatio on sykli (, ). Jos S k ermutaatiot voidaan yhdistää sykleistä kaikilla k<nja σ on S n :n ermutaatio ja σ() =, voidaan käyttää induktio-oletusta. Jos σ(), asetetaan a i = σ(), a i = σ(a i ), jne. Jollain k on oltava σ(a ik )=. Josk = n, σ on itse sykli. Jos k<n, voidaan käyttää induktio-oletusta joukkoon S n \{i,i,..., i k }. 7. Jos σ on joukon S n ermutaatio, niin on olemassa ermutaatiot σ ja σ niin, että σ = σ σ ja sekä σ σ että σ σ ovat identtisiä ermutaatioita. Ratkaisu. Koska σ voidaan yhdistää erillisistä sykleistä, on riittävää, että osoitetaan väite oikeaksi silloin, kun σ on sykli. Sijoitetaan syklin eräkkäiset alkion säännöllisen n-kulmion kärkiin. Permutaatio merkitsee monikulmion kiertoa sen keskiisteen ymäri kulman n 360 verran. On helo havaita, että kuvaus, joka saadaan yhdistämällä eilaukset kahden sellaisen suoran yli, joiden välinen kulma on α, on kierto, jonka kiertokulma on α. Permutaatiot σ ja σ voidaan siis realisoida sellaisina n-kulmion eilauksina, jotka säilyttävät kärjet kärkinä ja jotka taahtuvat sellaisten suorien yli, joiden välinen kulma on n 360. Peilaus toistettuna on identtinen kuvaus. Kuvassa on 7-kulmio; lähinnä kärkiä ovat kuvattavat, keskimmäisellä kehällä ensimmäisen eilauksen eli σ :n antamat kuvat ja ulomina σ :n antamat kuvat. 8. Määritä lukujen σ() σ() + σ(3) σ(4) + σ(5) σ(6) + σ(7) σ(8) + σ(9) σ(0) keskiarvo, kun σ käy läi kaikki joukon S 0 ermutaatiot. Ratkaisu. Yhtä hyvin voidaan tarkastella summien n S = σ(k ) σ(k) k= keskiarvoa, kun σ käy läi joukon S n ermutaatiot. Summan jokaisen yhteenlaskettavan keskiarvo on selvästi sama, joten haettu luku on n kertaa lukujen σ() σ() keskiarvo. Jos σ() = k, niin σ():n mahdollisia arvoja ovat kaikki luvut :stä n:ään, k oislukien. Luvun σ() σ() keskiarvo on siis ((k ) + (k ) (n k)) n = n ( (k )k + (n k)(n k +) ) = k (n +)k + n(n +). n

5 5 Kun käytetään hyväksi tunnettuja summien k saadaan kysytyksi keskiarvoksi ja k lausekkeita ja sievennetään, = 4n n n n k= ( n(n + )(4n +) (n +) 6 k (n +)k + n(n +) n n(n +) ) +n (n +) = Kun n = 5, summa on 55 ;tämä onalkueräisen kysymyksen vastaus. 3 n(n +) Olkoon σ joukon S n ermutaatio. Sanomme, että σ(i) on isotteleva luku, jos σ(j) <σ(i) kaikilla j, i<j n. Määritä ermutaatiossa keskimäärin olevien isottelevien lukujen määrä (kunσ käy läi kaikki S n :n ermutaatiot). Ratkaisu. Katsotaan mikä osuus ermutaatioista on sellaisia, joissa σ(k) on isotteleva. Isottelevuuteen eivät mitenkään vaikuta arvot σ(i), i<k. Olkootnämä arvot kiinnitettyjä. Permutaatioita, joissa on tämä tilanne, on kaikkiaan (n k + )! kaaletta. Jokainen ermutaatio, jossa σ(m) <σ(k) kaikilla m>kon sellainen, jossa σ(k) on isotteleva. Tällaisia ermutaatioita on (n k)! kaaletta. Niiden ermutaatioiden, joissa σ(k) on isotteleva osuus kaikista ermutaatioista on siten (n k)! (n k +)! = n k +. Tämänvoilukeaniin,että mielivaltaisessa ermutaatiossa on keskimäärin n k + kertaa σ(k) isotteleva. Koska k saa kaikki arvot :stä n:ään, isottelevia lukuja on ermutaatiossa keskimäärin n kaaletta. Geometriaa mukana 0. Säännöllisen n-kulmion n lävistäjää leikkaavat toisensa isteessä P,jokaeiolemo- nikulmion kärki. Osoita, että P on monikulmion keskiiste. Ratkaisu. Koska kahden isteen kautta kulkee tasan yksi suora, mitkään kaksi tehtävän lävistäjää eivät voi lähteä samasta monikulmion kärkiisteestä. Tarkastellaan yhtä ilmoitetuista n:stälävistäjästä; olkoon se l. Koska jokainen muu tehtävän lävistäjistäleikkaa l:n isteessä P, l:n molemilla uolilla on n monikulmion kärkeä. Tämä on mahdollista vain, jos l on yksi monikulmion äälävistäjistä. Päälävistjät kulkevat monikulmion keskiisteen kautta. Edellisestä seuraa, että kaikki n lävistäjää ovatäälävistäjiä, ja ne siis kulkevat kaikki monikulmion keskiisteen kautta. Lävistäjien yhteisen isteen on oltava monikulmion keskiiste. Itse asiassa riittää todetalävistäjistäkaksiäälävistäjiksi.

6 6. Jos äärellisen moni uoliallo yhdessä eittää koko allon, niin jotkin neljä uolialloa eittävät koko allon. Ratkaisu. Väite seuraa hiukan yleisemmästä tuloksesta. Jos jokin määrä uoliavaruuksia eittää koko avaruuden, niin neljä näistä jo eittää koko avaruuden. Asia voidaan todistaa edeten alemmista ulotteisuusluvuista korkeamiin. Jos äärellinen joukko uolisuoria eittää suoran, niin jotkin kaksi näistä eittävät suoran. Puolisuorat ovat muota [a, ) ja(, b] Molemia lajeja on, muuten eivät kaikki suoran isteet eittyisi. Jos a <a, niin uolisuora [a,infty) eittää uolisuoran [a, ). Jos a 0 on ienin luvuista a, niin uolisuora [a 0, ) eittää kaikki uolisuorat [a, infty) vastaavasti jos b 0 on suurin luvuista b, uolisuora (, b 0 ] eittää jokaisen uolisuoran (, b]. Siis uolisuorat [a 0, ) ja(, b 0 ] eittävät koko suoran. Osoitetaan sitten, että josäärellinen joukko uolitasoja eittää koko tason, jotkin kolme niistä riittävät eittämään koko tason. Todistetaan tämä induktiolla. Jos tasoja on vain kolme, ei ole mitään todistettavaa. Tehdään induktio-oletus: jos n uolitasoa eittääkoko tason, jotkin kolme niistä jo eittävät koko tason. Olkoon sitten käsillä jokinn +:n uolitason joukko, joka eittää koko tason. Olkoon yksi näistä uolitasoista. Jos :n ja jonkin toisen uolitason q reunat ovat yhdensuuntaisia, niin joko ja q jo yhdessä eittävät koko tason tai sitten toinen uolitasoista, esimerkiksi, sisältyy toiseen. Tällöin voidaan unohtaa uolitaso ja käyttää hyväksi induktio-oletusta. Jos taas :n reuna ei ole minkään muun uolitason reunan suuntainen, kaikki muut uolitasot erottavat :n reunasuorasta l uolisuoran. Kaksiulotteisen taauksen erusteella jotkin kaksi uolitasoista, esimerkiksi q ja r erottavat uolisuorat, jotka kokonaan eittavat :n reunan l. Nytq:n ja r:n reunasuorien leikkausiste on uolitasossa tai sen ulkouolella. Edellisessä taauksessa (iirrä kuva!) uolitasot, q, r eittävät koko tason, jälkimmäisessä taaukessa sisältyy q:n ja r:n yhdisteeseen. Tällöin :tä ei tarvita, ja voidaan käyttää indukio-oletusta. Sama äättely yleistyy kolmiulotteiseen avaruuteen. Osoitetaan induktiolla, että kaikilla n 4 n:n yhdessä koko avaruuden eittävän uoliavaruuden joukosta voidaan valita neljä uoliavaruutta, jotka yhdessä joeittävät koko avaruuden. Asia on selvä, kun n = 4. Tehdään lukua n koskeva induktio-oletus. Tarkastellaan (n + ):n uoliavaruuden joukkoa ja näistä yhtä; olkoon se. Jos:n ja jonkin toisen uoiavaruuden reunatasot ovat yhdensuuntaiset, niin joko uoliavaruudet yhdessä joeittävät avaruuden tai niistä toinen sisältyy toiseen. Jälkimmäisessä taauksessa sisältyvän avaruuden oistaminen joukosta ei muuta tilannetta, ja voidaan nojautua induktio-oletukseen. Ellei ole minkään muun reunatason kanssa yhdensuuntainen, kaikki muut uoliavaruudet erottavat :n reunataosta jonkin uolitason. Edellä todistetun mukaan jotkin kolme uolitasoista ja siis uoliavaruuksista eittävät :n reunatason. Jos näiden uolitasojen reunasuorissa on yhdensuuntaisia, alaudutaan uolitasojen reunasuorien yhdensuuntaisuuteen. Jos tasot ovat yleisessä asennossa, ne rajaavat tetraedrin, joka joko on :ssä tai:n ulkouolella. Edellisessä taauksessa ja muut kolme uoliavaruutta eittävät koko avaruuden, jälkimmäisessä sisältyy kolmen muun uoliavaruuden yhdisteeseen, voidaan jättää laskuista ois ja turvautua induktio-oletukseen. Seuraava tehtävä edustaa aika tyyillistätehtävätyyiä, jossa laatikkoeriaatetta sovelletaan inta-aloihin tai tilavuuksiin.

7 . Kuutionmuotoisen hallin särmän ituus on 9 metriä. Hallissa lentelee 98 itikkaa. Osoita, että jotkin kaksi näistä ovat alle metrin äässä toisistaan. Ratkaisu. Pidetään ituusyksikkönä metriä. Oletetaan, että mitkään kaksi itikkaa eivät ole alle yksikön äässä toisistaan. Silloin jokaisen ymärille voidaan ajatella allo, jonka säde on uoli ja jolla ei ole yhteistä sisäosaa minkään muun allon kanssa. Koska itikat voivat olla lähellä hallin reunojakin, allot eivät välttämättä ole hallin sisällä. Mutta jos hallia jatketaan uolella metrillä jokaisen seinän yli, niin tähän suuremaan halliin kaikkien allojen on mahduttava. Varsinkin niiden yhteisen tilavuuden on oltava enintään ( jatketun hallin tilavuus = 000. Mutta allojen yhteinen tilavuus on ) 98 4π 3 ( ) > 98 3, 6 = 64, 6 > 000. Pallot eivät mahdu halliin, joten jotkin niistä menevät toistensa äälle. Näiden allojen keskiisteissä olevien itikoiden etäisyys toistaan on alle. Tasasivuisen kolmion jako sen suuntaisilla tasavälisillä suorilla useaksi ienemmäksi tasasivuiseksi kolmioksi on suosittu tehtävien kehys. 3. Tasasivuisen kolmion sivun ituus on n. Jaetaan kolmio sen sivujen suuntaisilla suorilla tasasivuisiksi kolmioiksi, joiden sivun ituus on. Kuinka moni näiden ienten tasasivuisten kolmioiden sivuista voidaan värittää unaiseksi, niin että kuvioon ei synny yhtään unasivuista kolmiota? Ratkaisu. Tarkastellaan kolmion kannan suuntaisia jakosuoria. Kanta jakautuu n:ksi alaksi, sen yläuolella oleva jana (n ):ksi alaksi jne. Kolmioita syntyy jaossa kaikkiaan n(n +) n +(n ) + += kaaletta. Jokaisesta ienestä kolmiosta voi värittää enintään kaksi sivua unaiseksi. Punaisia sivuja voi olla enintään n(n + ) kaaletta. Jos väritetään joka kolmiosta esimerkiksi ison kolmion kannan ja vasemmanuoleisen kyljen suuntainen sivu, väritettyjä sivuja on juuri n(n + ), eikäyhtään unaista kolmiota ole syntynyt. 4. Kuinka monta sisäuolista suoraa kulmaa voi olla uminaisessa mutta itseään leikkaamattomassa n-sivuisessa murtoviivassa? Ratkaisu. Jos n = 3, vastaus on, jos n = 4, vastaus on 4. Jos n = 5, kolme kulmista voi olla suoria: esimerkiksi suorakaiteesta voidaan muodostaa viisikulmio leikkaamalla ois yksi kärjistä. Viisikulmiossa ei voi olla enemää kuin kolme suoraa kulmaa. Viisikulmion kulmasumma on Jos kulmista neljä olisi suoria kulmia, viides olisi 80 eikä siis kulma ollenkaan. Tarkastellaan sitten n-kulmiota, missä n 6. Jos siinä onk suoraa kulmaa, niin lout n k kulmaa ovat joka taauksessa < 360. Siis (n ) 80 < (n k) k 90. Eäyhtälö sievenee muotoon k < n + (n +) = 3 3 k n +. Tämä merkitsee, että 3 k n eli

8 8 Osoitetaan vielä, että yläraja aina myös saavutetaan. Kun n =6,yläraja on 5. Jos neliön yhdestä kulmasta leikataan ois ienemi neliö (jonka sivut ovat ison neliön sivujen suuntaiset), syntyy kuusikulmio, jossa viisi kulmaa on suoria (ja kuudes 70 ). Jos n = 7, yläraja on edelleen 5. Tällainen kuvio saadaan esimerkiksi edellisestä kuusikulviosta, jos siihen 70 kulman kohdalle tehdään ieni syvennys. Kun n =8,yläraja on 6; kahdeksankulmio, jossa on kuusi suoraa kulmaa saadaan vaikkaa liittämällä suorakaiteen yhteen sivuun ieni neliö. Käsitellyt taaukset muodostavat sellaisen induktion ohjan, jossa luvun n kasvattaminen 3:lla kasvattaa lukua k kahdella. Induktioaskel voidaan aina ottaa korvaamalla murtoviivan osa ABC jonkin sellaisen kärjen läheisyydessä, missä ABC > 80 osalla ADEF GC, missä kulmat ADE ja FGC ovat suoria kulmia. Tällöin monikulmion kärkien määrä kasvaakolmella ja sisäuolisten suorien kulmien määrä kahdella. Väritystehtävissä saatetaan värittää joa äärettömän moni iste muutamalla värillä. Vaikka intuitio sanoo, että lukemattomien mahdollisuuksien joukossa yleensä onjonkin ehdon täyttävä, esimerkiksi yksivärinen kuvi, niin tällaisen väitteen todistus on tehtävä tarkasti ja tietysti vain varmoihin tosiasioihin nojaten. 5. Jokainen tason iste on väritetty joko unaiseksi tai siniseksi. Osoita, että on olemassa tasasivuinen kolmio, jonka kaikki kärjet ovat samanvärisiä. Oletetaan, että missään tasasivuisessa kolmiossa ei ole kolmea samanväristä kärkeä. Jokaisessa tasasivuisessa kolmiossa on varmasti kaksi samanväristä kärkeä. Olkoon ABC jokin tasasivuinen kolmio, jossa A ja B ovat unaisia. Muodostetaan uusi tasasivuinen kolmio AEG niin, että B ja C ovat sivujen AG ja AE keskiisteet. Jos F on sivun EG keskiiste, niin myös BEF ja CFG ovat (ABC:n kanssa yhteneviä) tasasivuisia kolmioita. Peilataan vielä ABC BC:n yli tasasivuiseksi kolmioksi ADB. NytADBC ja BEFC ovat yhteneviä neljäkkäitä. Niiden lävistäjina CD ja CE ovat yhtäitkiä. Neljäkkään lävistäjien kohtisuoruudesta seuraa, ettäö CD AB ja CE BF. Koska FBE =60,myös ECD =0. Kolmio CDE on siis tasasivuinen. Jos tasossa ei olisi yhtään tasasivuista kolmiota, jonka kaikki kärjet ovat samanväriset, niin isteet D ja E olisivat sinisiä, iste E unainen ja iste F sininen. Mutta nyt G olisi sekä tasasivuisen kolmion AEG että tasasivuisen kolmion CFG kärki. Sen itäisi olla sekä sininen että unainen. Ristiriita osoittaa vastaoletuksen vääräksi. 6. Olkoot V, E ja S kueran monitahokkaan kärkien, särmien ja sivutahkojen lukumäärät.

9 Osoita, että V E + S =. (Eulerin monitahokaskaava). Ratkaisu. Esitetään tälle tärkeälle tulokselle kaksi erilaista todistusta. Ensimmäinen on induktiotodistus, joka tarvitsee muutaman erusasian verkoista. Todetaan ensin, että jos verkko on uu (tämä määriteltiin ylemänä), niin siinä on aina särmien lukumäärä yhtä ienemi kuin solmujen lukumäärä. Asia on varmasti näin, jos verkko muodostuu yhdestä särmästä. Oletetaan, että tilanne on voimassa, kun verkossa on n särmää. Olkoon sitten uu G sellainen, että siinä onn + särmää. Poistetaan yksi särmä e = {A, B} ja ne solmuista A ja B, joista ei lähde muita verkon särmiä. Jos kumaakaan A:sta ja B:stä ei oisteta, niin verkossa on, koska se on uu ja siis yhtenäinen, jokin A:n ja B:n yhdistävä ketju. Kun tähän ketjuun lisätään e saadaan sykli, vastoin G:stä tehtyäoletusta.jossekä A että B oistetaan, ei A:ta eikä B:tä voi yhdistää ketjulla G:n muihin solmuihin. Poisto kohdistuu siis tasan yhteen e:n äätesolmuun; särmien ja solmujen määrä vähenee yhdellä, joten lukumäärien erotus säilyy. Tasoverkko on sellainen verkko, jossa särmät eivät leikkaa toisiaan. Olkoon verkossa V kaaletta solmuja, E kaaletta särmiä ja erottakoot särmät S kaaletta alueita, mukaan lukien kaikkien särmien ulkouolelle jäävä alue. Jos verkko on uu, niin S = ja V E =. Siis V E + S =. Oletetaan, että Eulerinkaavaätee, kun S = n. Jos G on verkko, jossa S = n + ja jos G ei ole uu, niin yhden särmän oisto yhdistää kaksi aluetta. Syntyy verkko, jossa S ja E ovat molemmat vähentyneet yhdellä. Induktio-oletus takaa, että V E + S =myös verkossa G. Jos M on kuera monitahokas, se voidaan esimerkiksi soivasta lähellä yhtätahkoaolevasta isteestä rojisoida tasolle niin, että syntyy tasoverkko, johon edellä esitetty äättely soii. Esitetään vielä toinen taa erustella Eulerin monitahokaskaava. Siihen tarvitaan tieto allokolmion alasta. Pallokolmio on kolmen tason isoymyrän rajaama allon osa. Leikatkoot isoymyrät kolmion kärjissä kulmissa α, β, γ. Jokaiset kaksi isoymyrääleikkaavat samassa kulmassa myös allon toisella uolella, antiodiisteessä, joten isoymyräkolmikko muodostaa aina kaksi identtistä allokolmiota. Oletetaan allon säteeksi. Pallon inta-ala on silloin A =4π. Kaksi isoymyrää, jotka leikkaavat toisensa kulmassa α, rajaavat väliinsä kaksi viialetta allon innasta, ja näiden viialeiden yhteinen inta-ala on α A =4απ. (Tilanteen hahmottamiseksi voi ajatella ohjois- ja etelänaojen kautta π kulkevia meridiaaneja.) Jokainen allokolmioon tai sen antiodiallokolmioon kuulumaton allon iste kuuluu tasan yhteen kahden isonymyrän rajaamaan viialeeseen, mutta allokolmiota ja antiodiallokolmiota eittävät kaikki viialeet. Jos allokolmion ala on T, niin on oltava 4π =(α + β + γ) 4T. 9 Pallokolmion ala on siis T = α + β + γ π. Jos joukko isoymyröitä rajaa kueran allo-k-kulmion, jonka kulmat ovat α,α,..., α k, niin tämä voidaan ilkkoa (k ):ksi allokolmioksi, joiden kulmasumma on α + α +

10 0 + α k. Kun kolmioiden alat lasketaan yhteen, saadaan allo-n-kulmion alaksi k α i (k )π. () i= Olkoon nyt kuerassa n-tahokkaassa E särmää ja V kärkeä. Valitaan -säteisen allon keskiisteeksi jokin monitahokkaan sisäiste ja rojisoidaan monitahokas allolle. Jokainen k-kulmion muotoinen sivutahko rojisoituu joksikinallo-k-kulmioksi. Kun koko allon ala lasketaan näiden monikulmioiden summana, niin kaavan () mukaan alaan tulee kaikkien monikulmioiden kulmien summa. Mutta kulmat ovat kärkien ymärillä ja kattavat kunkin kärjen kohdalla täyden kulman. Kulmasumma on siis πv. Jokainen monikulmion sivu tulee lasketuksi kahdesti. Kun kaavan () k-termit lasketaan, saadaan siis Eπ. Koska monikulmioita on n = S kaaletta, summaan tulee vielä termi πs. Kaikkiaan siis 4π =πv πe +πs. Kun suistetaan luvulla π, saadaan Eulerin monitahokaskaava. Eulerin monitahokaskaava on yksi mahdollinen taa erustella se, että on olennaisesti vain viidenlaisia säännöllisiä monitahokkaita. 7. Osoita Eulerin kaavan avulla, että säännöllinen monitahokas on Platonin kaale eli tetraedri, kuutio, oktaedri, dodekaedri tai ikosaedri. Ratkaisu. Monitahokas on säännöllinen, jos sen kaikki sivutahkot ovat yhteneviä säännöllisiä monikulmioita ja joka kärjestä lähtee yhtä montasärmää. Oletetaan, että sivutahkot ovat n-kulmioita ja että jokakärjestä lähtee särmää. Silloin n 3ja 3. Jos särmien lukumäärä one, kärkien V ja sivutahkojen S, niin E = ns; jokainen särmähän liittyy kahteen sivutahkoon. Myöskin E = V, sillä jokainen särmä liittyy kahteen kärkeen. Eulerin monitahokaskaava tässä yhteydessä on siis E E + n E = eli E = + n. Erityisesti on oltava + n >. Tämän eäyhtälön toteuttavia kokonaislukuareja on vain viisi: (, n) =(3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3) ja (5, 3). Parit vastaavat järjestyksessä tetrtaedria(e = 6,V = 4,S = 4), kuutiota (E =, V =8,S = 6), dodekaedria (E = 30, V = 0, S = ), oktaedria (E =, V =6,S =8)jaikosaedria(E = 30, V =, S = 0). Tämä todistus osoittaa täsmällisesti ottaen vain sen, että vaintällaiset kaaleet ovat mahdollisia. Väitteen On olemassa tasan viisi säännöllistä monitahokasta todistukseen kuuluu vielä kyseisten kaaleiden olemassa olon osoittaminen esimerkiksi kertomalla, miten ne konstruoidaan.

11 Lasketaan sama asia kahdesti Keskeisimiä kombinatorisia eriaatteita on sen hyödyntäminen, että jokin asia voidaan laskea eri tavoin, mutta niin, että eri kautta saatujen tulosten samuutta käytetään hyödyksi. Yksinkertainen esimerkki on n-alkioisen joukon k-alkioisten osajoukkojen lukumäärän x määrittäminen laskemalla kuinka monta erilaista k:n ituista jonoa joukon alkioista voidaan muodostaa. Koska tämä lukumäärä voidaan määrittää suorittamalla eräkkäisiä n! valintoja joukon alkioista, lukumäärä onn(n ) (n k +) = (n k)!. Toisaalta voidaan ensin valita jonon jäsenet x:llä eri tavalla ja sitten asettaa ne jonoon k! eri tavalla. n! Siis x k! = (n k)!. Siis x = n! k!(n k)! = ( ) n. k 8. Olkoot ja q yhteistekijättömiä kokonaislukuja. Osoita, että + q + + q (q ) = q q + q + + ( )q. Ratkaisu. Suorakaiteessa, jonka kärjet ovat (0, 0), (, 0), (, q) ja(0,q), on ( )(q ) sellaista istettä, joiden molemmat koordinaatit ovat kokonaislukuja. (Tällaisia isteitä kutsutaan usein hilaisteiksi.) Koska :lläjaq:lla ei ole yhteisiätekijöitä, yksikään isteistä ei ole sillä suorakaiteen lävistäjällä. joka yhdistää isteet (0, 0) ja (, q). Tämän lävistäjän alauolisessa suorakaiteen osassa on symmetrian takia uolet isteistä, eli ( )(q ) istettä. Lävistäjän yhtälö on Hilaisteitä, joiden x-koordinaatti on k, on q + q + + y = q x. qk kaaletta. Siis ( )q = ( )(q ) Yhtälön oikea uoli ei muutu, kun ja q vaihtavat aikkaa. Todistettavan yhtälön eri uolilla olevat lausekkeet ovat siis samat ja yhtälö tosi. Seuraava on tyyillinen itse asiassa algebrallinen identiteetti, jonka totuuden erusteleminen käy mukavasti kombinatoriikan eriaatteita noudattamalla.

12 9. Osoita, että n ( ) n k = n k k= ( n n ). Ratkaisu. Todistettava yhtälö onsamakuin n ( )( ) ( ) n n n k = n. k n k n k= Yhtälön kummankin uolen voi tulkita vaikkaa niin, että se ilmoittaa kuinka monella tavalla voidaan muodostaa n-jäseninen artio n:n suomalaisen ja n:n ruotsalaisen rauhanturvaajan joukosta ja tälle artiolle johtajaksi suomalainen. Vasemmalla uolella valitaan k suomalaista ja n k ruotsalaista ja sitten yksi k:sta suomalaisesta johtajaksi; lasketaan sama eri k:n arvoilla ja sitten nämä yhteen. Oikealla uolella valitaan ensin yksi n:stä suomalaisesta johtajaksi ja sitten n muuta artion jäsentä jäljellä olevista(n ):stä rauhanturvaajasta. Seuraavassa on esimerkki tilanteesta, jossa laatikkoeriaatteen idean mukaan lasketaan tietyn ehdon täyttävien konfiguraatioiden lukumäärä, joka osoittautuu ienemmäksi kuin kaikkien mahdollisuuksien lukumäärä. Konfiguraatioiden joukossa on silloin välttämättä myös sellaisia, joissa ehto ei toteudu. 0. Osoita, että joukons 04 alkiot voidaan varustaa kahdella värillä niin, että jokainen S 04 :ään sisältyvä 8-jäseninen aritmeettinen jono sisältää molemmanvärisiä alkioita. Ratkaisu. Eri taoja varustaa S 04 :n alkiot kahdella värillä on 04. Sellaisia taoja värittää, joissa tietyt 8 alkiota ovat kaikki samanvärisiä, on 04 7 = 997, koska muut kuin valitut 8 alkiota voidaan värittää mielivaltaisesti ja näille 8:lle on kaksi vaihtoehtoa. Kuinka moni 8-jäseninen jono sisältyy joukkoon S 04? Jos jonon ensimmäinen jäsen on a jaerotusd>0, niin kaikki ne jonot, joille a +7d 04 kelaavat. Jokaista 04 a a:ta kohden on siten a:sta alkavaa mahdollista aritmeettista jonoa. Jonojen 7 lukumäärä on siten enintään 04 a 7 a= = Sellaisten väritysten määrä, joilla 8-jäseninen aritmeettinen jono on yksivärinen,eiole suuremi kuin < 997 =

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä. Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Platonin kappaleet. Avainsanat: geometria, matematiikan historia. Luokkataso: 6-9, lukio. Välineet: Polydron-rakennussarja, kynä, paperia.

Platonin kappaleet. Avainsanat: geometria, matematiikan historia. Luokkataso: 6-9, lukio. Välineet: Polydron-rakennussarja, kynä, paperia. Tero Suokas OuLUMA, sivu 1 Platonin kappaleet Avainsanat: geometria, matematiikan historia Luokkataso: 6-9, lukio Välineet: Polydron-rakennussarja, kynä, paperia Tavoitteet: Tehtävässä tutustutaan matematiikan

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Avaruusgeometrian kysymyksiä

Avaruusgeometrian kysymyksiä Avaruusgeometrian kysymyksiä Tässä esitettävät tehtävät ja lauseet kattavat asioita, jotka saattavat tulla vastaan mahdollisissa kolmiulotteisen geometrian kilpailukysymyksissä. Lukemista helpottaa, jos

Lisätiedot

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2 Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat Matematiikan olympiavalmennus 05 helmikuun helpommat tehtävät Ratkaisuja. Määritä kolmiot, joiden kulmille α, β, γ pätee cos α cos β +sinαsin β sin γ =. Ratkaisu. Koska 0 < sin γ, täytyy olla cos(α β)

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 5: Ryhmät ja permutaatiot Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ryhmät ja permutaatiot Väritysongelma Jos meillä

Lisätiedot

Kartio ja pyramidi

Kartio ja pyramidi Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 5: Ryhmät ja permutaatiot Riikka Kangaslampi Syksy 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ryhmät ja permutaatiot Väritysongelma Jos

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta). Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

j(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1)

j(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Tentti ja välikokeiden uusinta 10.11.015 Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskimia tai taulukoita ei saa käyttää tässä kokeessa!

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä?

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 3.2.2012 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. 3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää

Lisätiedot

= = = 1 3.

= = = 1 3. 9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala

Lisätiedot

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin

Lisätiedot

52. Kansainväliset matematiikkaolympialaiset

52. Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 52. Kansainväliset matematiikkaolympialaiset Tehtävien ratkaisuja Tehtävä 1.Olkoon A = {a 1,a 2,a 3,a 4 } joukko, jonka alkioina on neljä eri suurta positiivista kokonaislukua. Joukon alkioiden summaa

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla

Lisätiedot

Kolmion kulmien summa. Maria Sukura

Kolmion kulmien summa. Maria Sukura Kolmion kulmien summa Maria Sukura Oppituntien johdanto Oppilaat kuulevat triangelin äänen. He voivat katsoa sitä ja yrittää nimetä tämän soittimen. Tutkimme, miksi triangelia kutsutaan tällä nimellä,

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden sisältöjen isteitysten luonnehdinta ei

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 2014 vaativammat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Onko olemassa ehdot a + b + c = d ja 1 ab + 1 ac + 1 bc = 1 ad + 1 bd + 1 cd toteuttavia reaalilukuja a, b, c, d?

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

ja siten kyseisen symmetriaryhmä on toinen dihedraaliryhmä (D 2 )

ja siten kyseisen symmetriaryhmä on toinen dihedraaliryhmä (D 2 ) APPROBATUR (MATP170) Harjoitus 7, Ratkaisut 1. Kuvaa kirjaimen H smmetriarhmä permutaatioiden avulla ja tee saadulle rhmälle kertotaulu. (Nimeä tätä varten kirjaimesta smmetrian mielessä tärkeitä kohtia

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen

Lisätiedot

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

Äärellisten mallien teoria

Äärellisten mallien teoria Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 5 ratkaisut (Hannu Niemistö) Tehtävä 1 OlkootGjaG neljän solmun verkkoja Määritä, milloing = 2 G eli verkot ovat osittaisesti isomorfisia kahden muuttujan suhteen

Lisätiedot

Kenguru 2015 Student (lukiosarja)

Kenguru 2015 Student (lukiosarja) sivu 1 / 9 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1 Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 010 Ratkaisuja OSA 1 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa seuraavat ehdot? Se on suurempi kuin 100. Se on pienempi kuin 00. Kun se pyöristetään

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Analyyttistä geometriaa kilpailutehtävien kautta

Analyyttistä geometriaa kilpailutehtävien kautta nalyyttistä geometriaa kilailutehtävien kautta Jouni Seänen. 4. 04 Johdanto. Joskus kehäkulmalauseeseen kyllästyy ja haluaa ratkaista geometrian tehtävän algebrallisesti. Tässä monisteessa esitetään tarkoitukseen

Lisätiedot

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1) . Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jenna Laine. Ramseyn teoria

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jenna Laine. Ramseyn teoria TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jenna Laine Ramseyn teoria Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Toukokuu 2017 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta LAINE, JENNA: Ramseyn teoria Pro

Lisätiedot

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA 4..005 OSA 1 Laskuaika 30 min Pistemäärä 0 pistettä 1. Mikä on lukujonon seuraava jäsen? Minkä säännön mukaan lukujono muodostuu? 1 4 5 1 1 1

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms.

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot