Pikkuisen kombinatoriikkaa

Transkriptio

1 Pikkuisen kombinatoriikkaa Tässä esitellään tehtävien avulla muutamia matematiikkakilailuissaesiintyviä kombinatorisluotoisia menetelmiä. Välissä on muutama määritelmäkin. Joukkoja Joukon A osajoukkojen joukkoa merkitään P(A). Joukkoa P(A) kutsutaan joukon A otenssijoukoksi. Jos joukossa A on n alkiota, jokainen A:n osajoukko voidaan muodostaa rosessilla, jossa kunkin A:n alkion kohdalla äätetään, kuuluuko alkio kyseiseen osajoukkoon vai ei. Tällainen n:n kahden vaihtoehdon kohdalla valitsemisen rosessi voidaan tehdä n eri tavalla. Joukossa P(A) on siis n alkiota. Jos B A, niin B = {x A x/ B}. Juokko B on joukon B komlementtijoukko (A:n suhteen). Joukoilla B ja B ei ole yhteisiä alkioita. Niiden leikkausjoukko on siis tyhjä joukko: B B =.. Joukossa A on n alkiota. Olkoon S P(A), S = {A,A,..., A n } jokin sellainen A:n n :n osajoukon joukko, jossa jokaisen kolmen joukon leikkaus on eätyhjä. Osoita, että n k= A k. Ratkaisu. Joukosta S tehdystä oletuksesta seuraa, että jokaisen kahden S:n alkion leikkaus on eätyhjä ja että tyhjäjoukko ei kuulu joukkoon S. Jos A k S, niin A k / S. S:ään kuuluu tasan uolet kaikista P(A):n alkioista. Näiden joukkojen n komlementtijoukkoa eivät kuulu joukkoon S. Tästä seuraa, että jokainen A:n osajoukko joko kuuluu joukkoon S tai on jonkin S:ään kuuluvan joukon komlementti. Osoitetaan induktiolla, että jokainen leikkausjoukko k= on joukossa S. Asia on selvä, kun =. JoukoistaA A ja A A tasan toinen kuuluu joukkoon S. Jos se olisi A A, niin S:stä tehdyn oletuksen erusteella olisi A A A A. Mutta tämä ei ole mahdollista, koska joukon ja sen komlementin leikkaus on tyhjä. Siis A A S. Samalla tavalla nähdään, että jokaisen kahden S:n alkion leikkausjoukko on sekin S:n alkio. Induktioaskel on nyt triviaali: jos A k S, niin + k= k= A k ( ) A k = A k A + S. k= Erityisesti siis kaikkien S:n alkioiden leikkausjoukko kuluu joukkoon S eikä näinollenvoi olla tyhjä joukko.

2 . Olkoon A joukko ja f : P(A) P(A) sellainen, että ainakunx Y, niin f(x) f(y ). Osoita, että jollain T A ätee f(t )=T. Ratkaisu. Muodostetaan joukko K = {X A f(x) X}. Joukko K ei ole tyhjä, koska f(a) A ja siis ainakin A K. Muodostetaan K:hon kuuluvien A:n osajoukkojen leikkausjoukko T : T = X. X K Osoitetaan, että tämä T toteuttaa tehtävän ehdon. On osoitettava kaksi sisältymistä: T f(t )jaf(t ) T. Jälkimmäisen osoittamiseksi tarkastellaan mielivaltaista K:n alkiota X. Koska X on yksi niistä joukoista, joiden leikkaus on T, on varmasti T X. Mutta silloin f(t ) f(x) X. Edellinen sisältymisrelaatio seuraa funktion f määritellystä ominaisuudesta, jälkimmäinen siitä, että X K. Koska X oli mielivaltainen K:n alkio, on tullut osoitetuksi, että f(t ) on jokaisen K:n alkion osajoukko ja sisältyy siis myös kaikkien K:n alkioiden leikkausjoukkoon, joka on T. Siis f(t ) T.Tämä merkitsee myös sitä, että T K. Funktion f ominaisuudesta seuraa edelleen, että f(f(t )) f(t ). Siis myös f(t ) K. Näin ollen f(t ) on yksi niistä joukoista, joiden leikkaus on T, ja siis T f(t ). Todistus on valmis. Monesti käyttökeloinen havainto on laatikkoeriaate. Jos n + esinettä on sijoitettu n:ään laatikkoon, ainakin yhdessä laatikossa on ainakin kaksi esinettä. Verkot ovat struktuureja, joiden avulla kuvataan monenlaisia joukon alkioiden välisiä relaatioita. Verkkorakenteita on erilaisia. Seuraavassa verkko tarkoittaa yksinkertaista, suuntaamatonta verkkoa. Sen määrittelee äärellinen joukko V, jonka alkioita kutsutaan verkon solmuiksi ja jokin V :n kaksialkioisten osajoukkojen joukon osajoukko E, jonka alkioita kutsutaan verkon särmiksi. Verkkoa voidaan havainnollistaa iirtämällä V :n alkiot isteiksi taiallosiksijae:n alkiot istearien isteitä yhdistäviksi janoiksi tai kaariksi. Todetaan tässä muutama verkkoon liittyvä käsite. Verkon ketju on jono toisiinsa liittyviä särmiä, siis solmuareja {A,A }, {A,A 3 },..., {A k,a k }. Ketju yhdistää solmuta ja A k. Jos jokaiset kaksi verkon solmua voidaan yhdistää ketjulla, verkko on yhtenäinen. Ketju, jossa A = A k on uminainen ketju eli sykli. Verkko, jossa ei ole yhtään sykliä, on uu. 3. Osoita, että verkossa on aina vähintään kaksi solmua, joista lähtee yhtä montasärmää. Ratkaisu. Ratkaisu on laatikkoeriaatteen välitön sovellus. Olkoon verkossa n solmua, joista lähtee ainakin yksi särmä. Jokainen näistä solmuista yhdistyy ainakin yhteen, mutta enintään (n ):een toiseen solmuun. Solmusta lähtevien särmien lukumäärälläonn eri mahdollisuutta, mutta solmuja on n. Siis joistain kahdesta solmusta lähtevien särmien lukumäärän on oltava sama. 4. Osoita, että(äärellisen) joukon A osajoukot A i voidaan aina numeroida niin, että A 0 = ja että kaikilla ka k+ on joukko, joka saadaan A k :sta lisäämällä tai oistamalla yksi alkio. Ratkaisu. Tähän löytyy näärä induktiotodistus; induktio etenee A:n alkioiden lukumäärän mukaan. Jos A:ssa on vain yksi alkio a, jonoona 0 =, A = {a}. Oletetaan, että n-alkioisen joukon {x,x,..., x n } osajoukot voidaan järjestää tehtävän eh-

3 dot täyttävään jonoon A 0,A,..., A n. Voidaan olettaa, että tarkasteltava (n +)- alkioinen joukko on {x,x,..., x n,x n+ }. Sen kaikki osajoukot saadaan tehtävän ehdon täyttävään jonoon aloittamalla jonolla A 0,A,..., A n ja jatkamalla sitä jonolla A n {x n+ },A n {x n+ },..., A {x n+ },A 0 {x n+ }. On tavallista, että tehtävät, jotka matemaattisesti koskevat jotain tietynlaisen verkon ominaisuutta, muotoillaan vaikkaa niin, että verkon solmua vastaa jonkin seurueen jäsen ja verkon särmää kahden ihmisen tuttavuus. 5. Seurueessa on n henkilöä. Jos seurueen jäsenet A ja B tuntevat toisensa, heillä eiole muita yhteisiä tuttavia. Jos he eivät tunne toisiaan, seurueessa on tasan kaksi sellaista henkilöä, jotka tuntevat sekä A:n että B:n. Osoita, että jokaisella seurueen jäsenellä on yhtä monta tuttavaa. Ratkaisu. Merkitään M A :lla seurueen jäsenen A tuttavien joukkoa. On siis osoitettava, että kaikille seurueen jäsenille A, B joukoissa M A ja M B on yhtä monta alkiota. Olkoon siis A ja B kaksi seurueen jäsentä. Jos A ja B tuntevat toisensa, joukot M A ja M B ovat oletusten erusteella erillisiä. Tarkastellaan mielivaltaista M A :n alkiota X B. Nyt X/ M B. Henkilöillä X ja B on oletuksen mukaan tasan kaksi yhteistä tuttavaa. Toinen näistä ona. Olkoon toinen Y (Y A). Jos X olisi toinen M A :n alkio ja myös X :n ja B:n yhteiset tuttavat olisiva Y ja A, niin Y :llä jaa:lla olisi kolme yhteistä tuttavaa B, X ja X. Siis eri X:iä joukossa M A vastaavat eri Y :t joukossa M B. Tästä seuraa, että M B :n alkioiden lukumäärä on ainakin sama kuin M A :n. Mutta tässä tarkastelussa M A :n ja M B :n roolit voidaan vaihtaa, ja nähdään, että M A :n alkioiden lukumäärä on ainakin sama kuin M B :n. Joukoissa M A ja M B on oltava yhtä monta alkiota. Olkoot sitten A ja B sellaiset henkilöt, jotka eivät tunne toisiaan. Silloin on olemassa jokin C, jokatunteesekä A:n että B:n. Jo todistetun nojalla M A :n alkioiden lukumäärä on sama kuin M C :n ja myös M B :n alkioiden lukumäärä onsamakuinm C :n. Todistus on valmis. Permutaatioita Äärellisen joukon A ermutaatio on bijektio σ : A A. Voidaan olettaa, että A = S n = {,,...n}. Jos merkitään σ(k) =a k, niin ermutaatiota σ voidaan merkitä ( ) 3... n a a a 3... a n tai vain (a,a,..., a n ). Joukolla S n on n! =n(n )(n ) eri ermutaatiota. (a voidaan valita n:stä mahdollisuudesta, a (n ):stä jne.) Jos B = {i,i,..., i k } S n, niin A:n ermutaatio σ on sykli, josσ(i j )=i j+,kun j<k, σ(i k )=i ja σ(i) =i, kuni/ B. Kaksi sykliä ovat erillisiä, jos joukot, joiden alkiot ko. sykleissä vaihtuvat, ovat erillisiä. Identtinen ermutaatio id kuvaa jokaisen A:n alkion itselleen. Jokaisella ermutaatiolla σ on käänteisermutaatio σ, joka toteuttaa ehdot σ σ =idjaσ σ =id. (Merkintä f g tarkoittaa funktioiden f ja g yhdistämistä: (f g)(x) =f(g(x)).) 3

4 4 6. Osoita, että jokainen S n :n (muu kuin identtinen) ermutaatio saadaan tekemällä eräkkäin erillisiä syklejä. Ratkaisu. Induktio: Joukon S ainoa ei-identtimen ermutaatio on sykli (, ). Jos S k ermutaatiot voidaan yhdistää sykleistä kaikilla k<nja σ on S n :n ermutaatio ja σ() =, voidaan käyttää induktio-oletusta. Jos σ(), asetetaan a i = σ(), a i = σ(a i ), jne. Jollain k on oltava σ(a ik )=. Josk = n, σ on itse sykli. Jos k<n, voidaan käyttää induktio-oletusta joukkoon S n \{i,i,..., i k }. 7. Jos σ on joukon S n ermutaatio, niin on olemassa ermutaatiot σ ja σ niin, että σ = σ σ ja sekä σ σ että σ σ ovat identtisiä ermutaatioita. Ratkaisu. Koska σ voidaan yhdistää erillisistä sykleistä, on riittävää, että osoitetaan väite oikeaksi silloin, kun σ on sykli. Sijoitetaan syklin eräkkäiset alkion säännöllisen n-kulmion kärkiin. Permutaatio merkitsee monikulmion kiertoa sen keskiisteen ymäri kulman n 360 verran. On helo havaita, että kuvaus, joka saadaan yhdistämällä eilaukset kahden sellaisen suoran yli, joiden välinen kulma on α, on kierto, jonka kiertokulma on α. Permutaatiot σ ja σ voidaan siis realisoida sellaisina n-kulmion eilauksina, jotka säilyttävät kärjet kärkinä ja jotka taahtuvat sellaisten suorien yli, joiden välinen kulma on n 360. Peilaus toistettuna on identtinen kuvaus. Kuvassa on 7-kulmio; lähinnä kärkiä ovat kuvattavat, keskimmäisellä kehällä ensimmäisen eilauksen eli σ :n antamat kuvat ja ulomina σ :n antamat kuvat. 8. Määritä lukujen σ() σ() + σ(3) σ(4) + σ(5) σ(6) + σ(7) σ(8) + σ(9) σ(0) keskiarvo, kun σ käy läi kaikki joukon S 0 ermutaatiot. Ratkaisu. Yhtä hyvin voidaan tarkastella summien n S = σ(k ) σ(k) k= keskiarvoa, kun σ käy läi joukon S n ermutaatiot. Summan jokaisen yhteenlaskettavan keskiarvo on selvästi sama, joten haettu luku on n kertaa lukujen σ() σ() keskiarvo. Jos σ() = k, niin σ():n mahdollisia arvoja ovat kaikki luvut :stä n:ään, k oislukien. Luvun σ() σ() keskiarvo on siis ((k ) + (k ) (n k)) n = n ( (k )k + (n k)(n k +) ) = k (n +)k + n(n +). n

5 5 Kun käytetään hyväksi tunnettuja summien k saadaan kysytyksi keskiarvoksi ja k lausekkeita ja sievennetään, = 4n n n n k= ( n(n + )(4n +) (n +) 6 k (n +)k + n(n +) n n(n +) ) +n (n +) = Kun n = 5, summa on 55 ;tämä onalkueräisen kysymyksen vastaus. 3 n(n +) Olkoon σ joukon S n ermutaatio. Sanomme, että σ(i) on isotteleva luku, jos σ(j) <σ(i) kaikilla j, i<j n. Määritä ermutaatiossa keskimäärin olevien isottelevien lukujen määrä (kunσ käy läi kaikki S n :n ermutaatiot). Ratkaisu. Katsotaan mikä osuus ermutaatioista on sellaisia, joissa σ(k) on isotteleva. Isottelevuuteen eivät mitenkään vaikuta arvot σ(i), i<k. Olkootnämä arvot kiinnitettyjä. Permutaatioita, joissa on tämä tilanne, on kaikkiaan (n k + )! kaaletta. Jokainen ermutaatio, jossa σ(m) <σ(k) kaikilla m>kon sellainen, jossa σ(k) on isotteleva. Tällaisia ermutaatioita on (n k)! kaaletta. Niiden ermutaatioiden, joissa σ(k) on isotteleva osuus kaikista ermutaatioista on siten (n k)! (n k +)! = n k +. Tämänvoilukeaniin,että mielivaltaisessa ermutaatiossa on keskimäärin n k + kertaa σ(k) isotteleva. Koska k saa kaikki arvot :stä n:ään, isottelevia lukuja on ermutaatiossa keskimäärin n kaaletta. Geometriaa mukana 0. Säännöllisen n-kulmion n lävistäjää leikkaavat toisensa isteessä P,jokaeiolemo- nikulmion kärki. Osoita, että P on monikulmion keskiiste. Ratkaisu. Koska kahden isteen kautta kulkee tasan yksi suora, mitkään kaksi tehtävän lävistäjää eivät voi lähteä samasta monikulmion kärkiisteestä. Tarkastellaan yhtä ilmoitetuista n:stälävistäjästä; olkoon se l. Koska jokainen muu tehtävän lävistäjistäleikkaa l:n isteessä P, l:n molemilla uolilla on n monikulmion kärkeä. Tämä on mahdollista vain, jos l on yksi monikulmion äälävistäjistä. Päälävistjät kulkevat monikulmion keskiisteen kautta. Edellisestä seuraa, että kaikki n lävistäjää ovatäälävistäjiä, ja ne siis kulkevat kaikki monikulmion keskiisteen kautta. Lävistäjien yhteisen isteen on oltava monikulmion keskiiste. Itse asiassa riittää todetalävistäjistäkaksiäälävistäjiksi.

6 6. Jos äärellisen moni uoliallo yhdessä eittää koko allon, niin jotkin neljä uolialloa eittävät koko allon. Ratkaisu. Väite seuraa hiukan yleisemmästä tuloksesta. Jos jokin määrä uoliavaruuksia eittää koko avaruuden, niin neljä näistä jo eittää koko avaruuden. Asia voidaan todistaa edeten alemmista ulotteisuusluvuista korkeamiin. Jos äärellinen joukko uolisuoria eittää suoran, niin jotkin kaksi näistä eittävät suoran. Puolisuorat ovat muota [a, ) ja(, b] Molemia lajeja on, muuten eivät kaikki suoran isteet eittyisi. Jos a <a, niin uolisuora [a,infty) eittää uolisuoran [a, ). Jos a 0 on ienin luvuista a, niin uolisuora [a 0, ) eittää kaikki uolisuorat [a, infty) vastaavasti jos b 0 on suurin luvuista b, uolisuora (, b 0 ] eittää jokaisen uolisuoran (, b]. Siis uolisuorat [a 0, ) ja(, b 0 ] eittävät koko suoran. Osoitetaan sitten, että josäärellinen joukko uolitasoja eittää koko tason, jotkin kolme niistä riittävät eittämään koko tason. Todistetaan tämä induktiolla. Jos tasoja on vain kolme, ei ole mitään todistettavaa. Tehdään induktio-oletus: jos n uolitasoa eittääkoko tason, jotkin kolme niistä jo eittävät koko tason. Olkoon sitten käsillä jokinn +:n uolitason joukko, joka eittää koko tason. Olkoon yksi näistä uolitasoista. Jos :n ja jonkin toisen uolitason q reunat ovat yhdensuuntaisia, niin joko ja q jo yhdessä eittävät koko tason tai sitten toinen uolitasoista, esimerkiksi, sisältyy toiseen. Tällöin voidaan unohtaa uolitaso ja käyttää hyväksi induktio-oletusta. Jos taas :n reuna ei ole minkään muun uolitason reunan suuntainen, kaikki muut uolitasot erottavat :n reunasuorasta l uolisuoran. Kaksiulotteisen taauksen erusteella jotkin kaksi uolitasoista, esimerkiksi q ja r erottavat uolisuorat, jotka kokonaan eittavat :n reunan l. Nytq:n ja r:n reunasuorien leikkausiste on uolitasossa tai sen ulkouolella. Edellisessä taauksessa (iirrä kuva!) uolitasot, q, r eittävät koko tason, jälkimmäisessä taaukessa sisältyy q:n ja r:n yhdisteeseen. Tällöin :tä ei tarvita, ja voidaan käyttää indukio-oletusta. Sama äättely yleistyy kolmiulotteiseen avaruuteen. Osoitetaan induktiolla, että kaikilla n 4 n:n yhdessä koko avaruuden eittävän uoliavaruuden joukosta voidaan valita neljä uoliavaruutta, jotka yhdessä joeittävät koko avaruuden. Asia on selvä, kun n = 4. Tehdään lukua n koskeva induktio-oletus. Tarkastellaan (n + ):n uoliavaruuden joukkoa ja näistä yhtä; olkoon se. Jos:n ja jonkin toisen uoiavaruuden reunatasot ovat yhdensuuntaiset, niin joko uoliavaruudet yhdessä joeittävät avaruuden tai niistä toinen sisältyy toiseen. Jälkimmäisessä taauksessa sisältyvän avaruuden oistaminen joukosta ei muuta tilannetta, ja voidaan nojautua induktio-oletukseen. Ellei ole minkään muun reunatason kanssa yhdensuuntainen, kaikki muut uoliavaruudet erottavat :n reunataosta jonkin uolitason. Edellä todistetun mukaan jotkin kolme uolitasoista ja siis uoliavaruuksista eittävät :n reunatason. Jos näiden uolitasojen reunasuorissa on yhdensuuntaisia, alaudutaan uolitasojen reunasuorien yhdensuuntaisuuteen. Jos tasot ovat yleisessä asennossa, ne rajaavat tetraedrin, joka joko on :ssä tai:n ulkouolella. Edellisessä taauksessa ja muut kolme uoliavaruutta eittävät koko avaruuden, jälkimmäisessä sisältyy kolmen muun uoliavaruuden yhdisteeseen, voidaan jättää laskuista ois ja turvautua induktio-oletukseen. Seuraava tehtävä edustaa aika tyyillistätehtävätyyiä, jossa laatikkoeriaatetta sovelletaan inta-aloihin tai tilavuuksiin.

7 . Kuutionmuotoisen hallin särmän ituus on 9 metriä. Hallissa lentelee 98 itikkaa. Osoita, että jotkin kaksi näistä ovat alle metrin äässä toisistaan. Ratkaisu. Pidetään ituusyksikkönä metriä. Oletetaan, että mitkään kaksi itikkaa eivät ole alle yksikön äässä toisistaan. Silloin jokaisen ymärille voidaan ajatella allo, jonka säde on uoli ja jolla ei ole yhteistä sisäosaa minkään muun allon kanssa. Koska itikat voivat olla lähellä hallin reunojakin, allot eivät välttämättä ole hallin sisällä. Mutta jos hallia jatketaan uolella metrillä jokaisen seinän yli, niin tähän suuremaan halliin kaikkien allojen on mahduttava. Varsinkin niiden yhteisen tilavuuden on oltava enintään ( jatketun hallin tilavuus = 000. Mutta allojen yhteinen tilavuus on ) 98 4π 3 ( ) > 98 3, 6 = 64, 6 > 000. Pallot eivät mahdu halliin, joten jotkin niistä menevät toistensa äälle. Näiden allojen keskiisteissä olevien itikoiden etäisyys toistaan on alle. Tasasivuisen kolmion jako sen suuntaisilla tasavälisillä suorilla useaksi ienemmäksi tasasivuiseksi kolmioksi on suosittu tehtävien kehys. 3. Tasasivuisen kolmion sivun ituus on n. Jaetaan kolmio sen sivujen suuntaisilla suorilla tasasivuisiksi kolmioiksi, joiden sivun ituus on. Kuinka moni näiden ienten tasasivuisten kolmioiden sivuista voidaan värittää unaiseksi, niin että kuvioon ei synny yhtään unasivuista kolmiota? Ratkaisu. Tarkastellaan kolmion kannan suuntaisia jakosuoria. Kanta jakautuu n:ksi alaksi, sen yläuolella oleva jana (n ):ksi alaksi jne. Kolmioita syntyy jaossa kaikkiaan n(n +) n +(n ) + += kaaletta. Jokaisesta ienestä kolmiosta voi värittää enintään kaksi sivua unaiseksi. Punaisia sivuja voi olla enintään n(n + ) kaaletta. Jos väritetään joka kolmiosta esimerkiksi ison kolmion kannan ja vasemmanuoleisen kyljen suuntainen sivu, väritettyjä sivuja on juuri n(n + ), eikäyhtään unaista kolmiota ole syntynyt. 4. Kuinka monta sisäuolista suoraa kulmaa voi olla uminaisessa mutta itseään leikkaamattomassa n-sivuisessa murtoviivassa? Ratkaisu. Jos n = 3, vastaus on, jos n = 4, vastaus on 4. Jos n = 5, kolme kulmista voi olla suoria: esimerkiksi suorakaiteesta voidaan muodostaa viisikulmio leikkaamalla ois yksi kärjistä. Viisikulmiossa ei voi olla enemää kuin kolme suoraa kulmaa. Viisikulmion kulmasumma on Jos kulmista neljä olisi suoria kulmia, viides olisi 80 eikä siis kulma ollenkaan. Tarkastellaan sitten n-kulmiota, missä n 6. Jos siinä onk suoraa kulmaa, niin lout n k kulmaa ovat joka taauksessa < 360. Siis (n ) 80 < (n k) k 90. Eäyhtälö sievenee muotoon k < n + (n +) = 3 3 k n +. Tämä merkitsee, että 3 k n eli

8 8 Osoitetaan vielä, että yläraja aina myös saavutetaan. Kun n =6,yläraja on 5. Jos neliön yhdestä kulmasta leikataan ois ienemi neliö (jonka sivut ovat ison neliön sivujen suuntaiset), syntyy kuusikulmio, jossa viisi kulmaa on suoria (ja kuudes 70 ). Jos n = 7, yläraja on edelleen 5. Tällainen kuvio saadaan esimerkiksi edellisestä kuusikulviosta, jos siihen 70 kulman kohdalle tehdään ieni syvennys. Kun n =8,yläraja on 6; kahdeksankulmio, jossa on kuusi suoraa kulmaa saadaan vaikkaa liittämällä suorakaiteen yhteen sivuun ieni neliö. Käsitellyt taaukset muodostavat sellaisen induktion ohjan, jossa luvun n kasvattaminen 3:lla kasvattaa lukua k kahdella. Induktioaskel voidaan aina ottaa korvaamalla murtoviivan osa ABC jonkin sellaisen kärjen läheisyydessä, missä ABC > 80 osalla ADEF GC, missä kulmat ADE ja FGC ovat suoria kulmia. Tällöin monikulmion kärkien määrä kasvaakolmella ja sisäuolisten suorien kulmien määrä kahdella. Väritystehtävissä saatetaan värittää joa äärettömän moni iste muutamalla värillä. Vaikka intuitio sanoo, että lukemattomien mahdollisuuksien joukossa yleensä onjonkin ehdon täyttävä, esimerkiksi yksivärinen kuvi, niin tällaisen väitteen todistus on tehtävä tarkasti ja tietysti vain varmoihin tosiasioihin nojaten. 5. Jokainen tason iste on väritetty joko unaiseksi tai siniseksi. Osoita, että on olemassa tasasivuinen kolmio, jonka kaikki kärjet ovat samanvärisiä. Oletetaan, että missään tasasivuisessa kolmiossa ei ole kolmea samanväristä kärkeä. Jokaisessa tasasivuisessa kolmiossa on varmasti kaksi samanväristä kärkeä. Olkoon ABC jokin tasasivuinen kolmio, jossa A ja B ovat unaisia. Muodostetaan uusi tasasivuinen kolmio AEG niin, että B ja C ovat sivujen AG ja AE keskiisteet. Jos F on sivun EG keskiiste, niin myös BEF ja CFG ovat (ABC:n kanssa yhteneviä) tasasivuisia kolmioita. Peilataan vielä ABC BC:n yli tasasivuiseksi kolmioksi ADB. NytADBC ja BEFC ovat yhteneviä neljäkkäitä. Niiden lävistäjina CD ja CE ovat yhtäitkiä. Neljäkkään lävistäjien kohtisuoruudesta seuraa, ettäö CD AB ja CE BF. Koska FBE =60,myös ECD =0. Kolmio CDE on siis tasasivuinen. Jos tasossa ei olisi yhtään tasasivuista kolmiota, jonka kaikki kärjet ovat samanväriset, niin isteet D ja E olisivat sinisiä, iste E unainen ja iste F sininen. Mutta nyt G olisi sekä tasasivuisen kolmion AEG että tasasivuisen kolmion CFG kärki. Sen itäisi olla sekä sininen että unainen. Ristiriita osoittaa vastaoletuksen vääräksi. 6. Olkoot V, E ja S kueran monitahokkaan kärkien, särmien ja sivutahkojen lukumäärät.

9 Osoita, että V E + S =. (Eulerin monitahokaskaava). Ratkaisu. Esitetään tälle tärkeälle tulokselle kaksi erilaista todistusta. Ensimmäinen on induktiotodistus, joka tarvitsee muutaman erusasian verkoista. Todetaan ensin, että jos verkko on uu (tämä määriteltiin ylemänä), niin siinä on aina särmien lukumäärä yhtä ienemi kuin solmujen lukumäärä. Asia on varmasti näin, jos verkko muodostuu yhdestä särmästä. Oletetaan, että tilanne on voimassa, kun verkossa on n särmää. Olkoon sitten uu G sellainen, että siinä onn + särmää. Poistetaan yksi särmä e = {A, B} ja ne solmuista A ja B, joista ei lähde muita verkon särmiä. Jos kumaakaan A:sta ja B:stä ei oisteta, niin verkossa on, koska se on uu ja siis yhtenäinen, jokin A:n ja B:n yhdistävä ketju. Kun tähän ketjuun lisätään e saadaan sykli, vastoin G:stä tehtyäoletusta.jossekä A että B oistetaan, ei A:ta eikä B:tä voi yhdistää ketjulla G:n muihin solmuihin. Poisto kohdistuu siis tasan yhteen e:n äätesolmuun; särmien ja solmujen määrä vähenee yhdellä, joten lukumäärien erotus säilyy. Tasoverkko on sellainen verkko, jossa särmät eivät leikkaa toisiaan. Olkoon verkossa V kaaletta solmuja, E kaaletta särmiä ja erottakoot särmät S kaaletta alueita, mukaan lukien kaikkien särmien ulkouolelle jäävä alue. Jos verkko on uu, niin S = ja V E =. Siis V E + S =. Oletetaan, että Eulerinkaavaätee, kun S = n. Jos G on verkko, jossa S = n + ja jos G ei ole uu, niin yhden särmän oisto yhdistää kaksi aluetta. Syntyy verkko, jossa S ja E ovat molemmat vähentyneet yhdellä. Induktio-oletus takaa, että V E + S =myös verkossa G. Jos M on kuera monitahokas, se voidaan esimerkiksi soivasta lähellä yhtätahkoaolevasta isteestä rojisoida tasolle niin, että syntyy tasoverkko, johon edellä esitetty äättely soii. Esitetään vielä toinen taa erustella Eulerin monitahokaskaava. Siihen tarvitaan tieto allokolmion alasta. Pallokolmio on kolmen tason isoymyrän rajaama allon osa. Leikatkoot isoymyrät kolmion kärjissä kulmissa α, β, γ. Jokaiset kaksi isoymyrääleikkaavat samassa kulmassa myös allon toisella uolella, antiodiisteessä, joten isoymyräkolmikko muodostaa aina kaksi identtistä allokolmiota. Oletetaan allon säteeksi. Pallon inta-ala on silloin A =4π. Kaksi isoymyrää, jotka leikkaavat toisensa kulmassa α, rajaavat väliinsä kaksi viialetta allon innasta, ja näiden viialeiden yhteinen inta-ala on α A =4απ. (Tilanteen hahmottamiseksi voi ajatella ohjois- ja etelänaojen kautta π kulkevia meridiaaneja.) Jokainen allokolmioon tai sen antiodiallokolmioon kuulumaton allon iste kuuluu tasan yhteen kahden isonymyrän rajaamaan viialeeseen, mutta allokolmiota ja antiodiallokolmiota eittävät kaikki viialeet. Jos allokolmion ala on T, niin on oltava 4π =(α + β + γ) 4T. 9 Pallokolmion ala on siis T = α + β + γ π. Jos joukko isoymyröitä rajaa kueran allo-k-kulmion, jonka kulmat ovat α,α,..., α k, niin tämä voidaan ilkkoa (k ):ksi allokolmioksi, joiden kulmasumma on α + α +

10 0 + α k. Kun kolmioiden alat lasketaan yhteen, saadaan allo-n-kulmion alaksi k α i (k )π. () i= Olkoon nyt kuerassa n-tahokkaassa E särmää ja V kärkeä. Valitaan -säteisen allon keskiisteeksi jokin monitahokkaan sisäiste ja rojisoidaan monitahokas allolle. Jokainen k-kulmion muotoinen sivutahko rojisoituu joksikinallo-k-kulmioksi. Kun koko allon ala lasketaan näiden monikulmioiden summana, niin kaavan () mukaan alaan tulee kaikkien monikulmioiden kulmien summa. Mutta kulmat ovat kärkien ymärillä ja kattavat kunkin kärjen kohdalla täyden kulman. Kulmasumma on siis πv. Jokainen monikulmion sivu tulee lasketuksi kahdesti. Kun kaavan () k-termit lasketaan, saadaan siis Eπ. Koska monikulmioita on n = S kaaletta, summaan tulee vielä termi πs. Kaikkiaan siis 4π =πv πe +πs. Kun suistetaan luvulla π, saadaan Eulerin monitahokaskaava. Eulerin monitahokaskaava on yksi mahdollinen taa erustella se, että on olennaisesti vain viidenlaisia säännöllisiä monitahokkaita. 7. Osoita Eulerin kaavan avulla, että säännöllinen monitahokas on Platonin kaale eli tetraedri, kuutio, oktaedri, dodekaedri tai ikosaedri. Ratkaisu. Monitahokas on säännöllinen, jos sen kaikki sivutahkot ovat yhteneviä säännöllisiä monikulmioita ja joka kärjestä lähtee yhtä montasärmää. Oletetaan, että sivutahkot ovat n-kulmioita ja että jokakärjestä lähtee särmää. Silloin n 3ja 3. Jos särmien lukumäärä one, kärkien V ja sivutahkojen S, niin E = ns; jokainen särmähän liittyy kahteen sivutahkoon. Myöskin E = V, sillä jokainen särmä liittyy kahteen kärkeen. Eulerin monitahokaskaava tässä yhteydessä on siis E E + n E = eli E = + n. Erityisesti on oltava + n >. Tämän eäyhtälön toteuttavia kokonaislukuareja on vain viisi: (, n) =(3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3) ja (5, 3). Parit vastaavat järjestyksessä tetrtaedria(e = 6,V = 4,S = 4), kuutiota (E =, V =8,S = 6), dodekaedria (E = 30, V = 0, S = ), oktaedria (E =, V =6,S =8)jaikosaedria(E = 30, V =, S = 0). Tämä todistus osoittaa täsmällisesti ottaen vain sen, että vaintällaiset kaaleet ovat mahdollisia. Väitteen On olemassa tasan viisi säännöllistä monitahokasta todistukseen kuuluu vielä kyseisten kaaleiden olemassa olon osoittaminen esimerkiksi kertomalla, miten ne konstruoidaan.

11 Lasketaan sama asia kahdesti Keskeisimiä kombinatorisia eriaatteita on sen hyödyntäminen, että jokin asia voidaan laskea eri tavoin, mutta niin, että eri kautta saatujen tulosten samuutta käytetään hyödyksi. Yksinkertainen esimerkki on n-alkioisen joukon k-alkioisten osajoukkojen lukumäärän x määrittäminen laskemalla kuinka monta erilaista k:n ituista jonoa joukon alkioista voidaan muodostaa. Koska tämä lukumäärä voidaan määrittää suorittamalla eräkkäisiä n! valintoja joukon alkioista, lukumäärä onn(n ) (n k +) = (n k)!. Toisaalta voidaan ensin valita jonon jäsenet x:llä eri tavalla ja sitten asettaa ne jonoon k! eri tavalla. n! Siis x k! = (n k)!. Siis x = n! k!(n k)! = ( ) n. k 8. Olkoot ja q yhteistekijättömiä kokonaislukuja. Osoita, että + q + + q (q ) = q q + q + + ( )q. Ratkaisu. Suorakaiteessa, jonka kärjet ovat (0, 0), (, 0), (, q) ja(0,q), on ( )(q ) sellaista istettä, joiden molemmat koordinaatit ovat kokonaislukuja. (Tällaisia isteitä kutsutaan usein hilaisteiksi.) Koska :lläjaq:lla ei ole yhteisiätekijöitä, yksikään isteistä ei ole sillä suorakaiteen lävistäjällä. joka yhdistää isteet (0, 0) ja (, q). Tämän lävistäjän alauolisessa suorakaiteen osassa on symmetrian takia uolet isteistä, eli ( )(q ) istettä. Lävistäjän yhtälö on Hilaisteitä, joiden x-koordinaatti on k, on q + q + + y = q x. qk kaaletta. Siis ( )q = ( )(q ) Yhtälön oikea uoli ei muutu, kun ja q vaihtavat aikkaa. Todistettavan yhtälön eri uolilla olevat lausekkeet ovat siis samat ja yhtälö tosi. Seuraava on tyyillinen itse asiassa algebrallinen identiteetti, jonka totuuden erusteleminen käy mukavasti kombinatoriikan eriaatteita noudattamalla.

12 9. Osoita, että n ( ) n k = n k k= ( n n ). Ratkaisu. Todistettava yhtälö onsamakuin n ( )( ) ( ) n n n k = n. k n k n k= Yhtälön kummankin uolen voi tulkita vaikkaa niin, että se ilmoittaa kuinka monella tavalla voidaan muodostaa n-jäseninen artio n:n suomalaisen ja n:n ruotsalaisen rauhanturvaajan joukosta ja tälle artiolle johtajaksi suomalainen. Vasemmalla uolella valitaan k suomalaista ja n k ruotsalaista ja sitten yksi k:sta suomalaisesta johtajaksi; lasketaan sama eri k:n arvoilla ja sitten nämä yhteen. Oikealla uolella valitaan ensin yksi n:stä suomalaisesta johtajaksi ja sitten n muuta artion jäsentä jäljellä olevista(n ):stä rauhanturvaajasta. Seuraavassa on esimerkki tilanteesta, jossa laatikkoeriaatteen idean mukaan lasketaan tietyn ehdon täyttävien konfiguraatioiden lukumäärä, joka osoittautuu ienemmäksi kuin kaikkien mahdollisuuksien lukumäärä. Konfiguraatioiden joukossa on silloin välttämättä myös sellaisia, joissa ehto ei toteudu. 0. Osoita, että joukons 04 alkiot voidaan varustaa kahdella värillä niin, että jokainen S 04 :ään sisältyvä 8-jäseninen aritmeettinen jono sisältää molemmanvärisiä alkioita. Ratkaisu. Eri taoja varustaa S 04 :n alkiot kahdella värillä on 04. Sellaisia taoja värittää, joissa tietyt 8 alkiota ovat kaikki samanvärisiä, on 04 7 = 997, koska muut kuin valitut 8 alkiota voidaan värittää mielivaltaisesti ja näille 8:lle on kaksi vaihtoehtoa. Kuinka moni 8-jäseninen jono sisältyy joukkoon S 04? Jos jonon ensimmäinen jäsen on a jaerotusd>0, niin kaikki ne jonot, joille a +7d 04 kelaavat. Jokaista 04 a a:ta kohden on siten a:sta alkavaa mahdollista aritmeettista jonoa. Jonojen 7 lukumäärä on siten enintään 04 a 7 a= = Sellaisten väritysten määrä, joilla 8-jäseninen aritmeettinen jono on yksivärinen,eiole suuremi kuin < 997 =