Algoritmit 2. Demot Timo Männikkö

Transkriptio

1 Algoritmit 2 Demot Timo Männikkö

2 Tehtävä 1 (a) int laske(n) { if (n <= 1) return 1; for (i = 0; i < w; i++) x = laske(n/2); for (j = 0; j < n; j++) for (k = 0; k < n; k++) x++; return x; } T (n) = missä c 1, c > 0 vakioita Kun n > 1 tehdään w kertaa rekursiivinen kutsu syöttötiedon koolla n/2 suoritetaan n 2 kertaa vakioaikainen lause { c 1, kun n 1, wt (n/2) + cn 2, kun n > 1, Algoritmit 2 Kevät 2019 Demot /23

3 Tehtävä 1 (b) T (n) = { c 1, kun n 1 wt (n/2) + cn 2, kun n > 1 Master-lauseessa a = w, b = 2, α = 2 ja c 0 Tapaus w = 3: a < b α T (n) = Θ(n α ) = Θ(n 2 ) Tapaus w = 4: a = b α T (n) = Θ(n α log b n) = Θ(n 2 log 2 n) Tapaus w = 5: a > b α T (n) = Θ(n log b a ) = Θ(n log 2 5 ) (log 2 5 2,32) Algoritmit 2 Kevät 2019 Demot /23

4 Tehtävä 2 (a) Kruskal(N, E) { S = E; // kaikki tiet T = tyhjä joukko; while (T ei muodosta virittävää puuta) { valitse lyhin tie (u,v) joukosta S; poista tie (u,v) joukosta S; if (tie (u,v) ei aiheuta silmukkaa T:ssä) lisää tie (u,v) joukkoon T; } return T; } Algoritmit 2 Kevät 2019 Demot /23

5 Tehtävä 2 (a) jatkuu S T (A,B) (A,C) (A,D) (A,E) (B,C) (B,D) - (B,E) (C,D) (D,E) (A,B) (A,C) (A,D) (B,C) (B,D) (B,E) (C,D) (D,E) (A,B) (A,C) (A,D) (B,D) (B,E) (C,D) (D,E) (A,B) (A,C) (B,D) (B,E) (C,D) (D,E) (A,B) (A,C) (B,D) (B,E) (C,D) (A,C) (B,D) (B,E) (C,D) (A,E) (A,E) (B,C) (A,E) (B,C) (A,D) (A,E) (B,C) (A,D) (A,E) (B,C) (A,D) (A,B) Algoritmit 2 Kevät 2019 Demot /23

6 Tehtävä 2 (b) Prim(N, E) { U = {aloitussolmu}; T = tyhjä joukko; while (U ei sisällä kaikkia solmuja) { valitse lyhin tie (u,v), jolla u on U:ssa ja v ei ole U:ssa; lisää tie (u,v) joukkoon T; lisää solmu v joukkoon U; } return T; } Algoritmit 2 Kevät 2019 Demot /23

7 Tehtävä 2 (b) U T A - A E (A,E) A E D (A,E) (A,D) A E D B (A,E) (A,D) (A,B) A E D B C (A,E) (A,D) (A,B) (B,C) E 2 A 6 4 D B 3 C Algoritmit 2 Kevät 2019 Demot /23

8 Tehtävä 3 (a) Huffmanin koodit merkeille, joiden esiintymistiheydet ovat: a b c d e f g / \ 3 7 Algoritmit 2 Kevät 2019 Demot /23

9 Tehtävä 3 (a) jatkuu / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ 3 7 Algoritmit 2 Kevät 2019 Demot /23

10 Tehtävä 3 (a) jatkuu / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ 3 7 Algoritmit 2 Kevät 2019 Demot /23

11 Tehtävä 3 (a) jatkuu * / \ * / \ 0 / \ 1 * * / \ / \ / \ g * * a / \ / \ * c f b / \ d e Koodit: a b c d e f g Algoritmit 2 Kevät 2019 Demot /23

12 Tehtävä 3 (b) a b c d e f g Vakiopituinen koodi, 3 bittiä/merkki: = 315 bittiä Huffmanin koodit: = 273 bittiä Tilaa säästyy 42 bittiä, joka on 13,3 % vakiopituisen tarvitsemasta tilasta. Algoritmit 2 Kevät 2019 Demot /23

13 Tehtävä 4 (a) ababbabbbabb 0 1 a b a babbabbbabb a b ab ab abbabbbabb a b ab ba Algoritmit 2 Kevät 2019 Demot /23

14 Tehtävä 4 (a) jatkuu abab babbbabb a b ab ba abb ababba bbbabb a b ab ba abb bab ababbab bbabb a b ab ba abb bab bb Algoritmit 2 Kevät 2019 Demot /23

15 Tehtävä 4 (a) jatkuu ababbabbb abb a b ab ba abb bab bb bba ababbabbbabb a b ab ba abb bab bb bba Merkkijonon pituus 12 ja koodin pituus 7, joten tilaa säästyy 5/12 41,7 % Algoritmit 2 Kevät 2019 Demot /23

16 Tehtävä 4 (b) a b b 0 1 a b bb a b bb Algoritmit 2 Kevät 2019 Demot /23

17 Tehtävä 4 (b) jatkuu bba a b bb ba bbaaa a b bb ba aa bbaaabb a b bb ba aa aab Algoritmit 2 Kevät 2019 Demot /23

18 Tehtävä 4 (b) jatkuu bbaaabba a b bb ba aa aab bba bbaaabbaba a b bb ba aa aab bba ab bbaaabbababba a b bb ba aa aab bba ab bab Merkkijonon pituus 13 ja koodin pituus 8, joten tilaa säästyy 5/13 38,5 % Algoritmit 2 Kevät 2019 Demot /23

19 Tehtävä 5 Merkkijonoissa a (pituus m) ja b (pituus n) on kirjaimia aakkosjärjestyksessä Kukin kirjain voi esiintyä samassa merkkijonossa vain kerran Montako yhteistä kirjainta merkkijonoilla a ja b on? Algoritmit 2 Kevät 2019 Demot /23

20 Tehtävä 5 Taulukointimenetelmä: Jos merkit a i ja b j ovat samat, lasketaan merkkijonojen a 1 a 2... a i 1 ja b 1 b 2... b j 1 yhteiset merkit ja lisätään yksi Jos merkit a i ja b j eivät ole samoja, lasketaan merkkijonojen a 1 a 2... a i 1 ja b 1 b 2... b j sekä merkkijonojen a 1 a 2... a i ja b 1 b 2... b j 1 yhteiset merkit ja valitaan näistä suurempi Merkkijonot a[1..m] ja b[1..n] Yhteisten merkkien lukumäärä d[0..m][0..n] Algoritmit 2 Kevät 2019 Demot /23

21 Tehtävä 5 (a) 1. for (i = 0; i <= m; i++) d[i][0] = 0; 2. for (j = 0; j <= n; j++) d[0][j] = 0; 3. for (i = 1; i <= m; i++) { for (j = 1; j <= n; j++) { if (a[i] == b[j]) d[i][j] = d[i-1][j-1] + 1; else d[i][j] = max(d[i-1][j], d[i][j-1]); } } 4. return d[m][n]; Algoritmit 2 Kevät 2019 Demot /23

22 Tehtävä 5 (b) A B D G K M A C G J M P Algoritmit 2 Kevät 2019 Demot /23

23 Tehtävä 5 (c) C F K L N R T B C H K N R Algoritmit 2 Kevät 2019 Demot /23